（应用数学专业论文）非紧集上的拓扑熵及其变分原理.pdf

非紧集上的拓扑熵及其变分原理 提要 在本文中，我们讨论了非紧集上的拓扑熵，通过研究，我们得到了一些结果，主 要内容如下： 在第二章中，我们主要对映射考虑它的非紧集合上的拓扑熵设( x ，d ) 是紧度量 空间，t ：x _ x 是连续映射，p 是遍历不变测度， k 邛x ：嬲舰坐掣砘( 珊 我们得到变分原理；( t ) = m m 卸( t ，z ) l u ( z ) = 1 ) 这里 却( t ，) 是非紧集上的拓 扑熵，札( t ) 是通常定义的测度理论熵。事实上，我们证明了( t ) = 泖( t ，k ) 在第三章中，我们首先引入流在非紧集合上的拓扑熵的定义，接着利用拓扑熵定 义测度熵，分别得到拓扑熵、测度熵和时间1 - 映射的关系通过建立拓扑熵和测度 熵的变分原理，得到我们定义的拓扑熵和孙文祥定义的拓扑熵是等价的同时我们把 b r i n - k a t o k 的局部熵公式推广到流上 关键词：非紧集，拓扑熵，测度熵，变分原理 作者：沈菁华 指导老师：曹永罗 o nt h ev a r i a t i o n a lp r i n c i p l ef o rt h et o p o l o g i c a l a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ed i s c u s st h et o p o l o g i c a le n t r o p yf o rn o n c o m p a c ts e t s t h em a i nc o n t e n t f o u o w s ： i nc h a p t e r2 w es t u d yt h ed i s c r e t ec a s e f o rac o n t i n u o u st r a n s f o r m a t i o nt o fac o m p a c t s p a c e s ( x ，d ) ，w ec o n s i d e rt h es e to ft h ef o r m k 斗x ：觋概坐掣砘( 哪 w eg e tv a r i a t i o n a lp r i n c i p l eh u ( t ) = r m n h t ? ，z ) j p ( z ) = 1 ，w h e r e t ( e ) i st h et o p ( - l o g i c a le n t r o p yf o rn o n c o m p a c ts e t s ，h ( t ) i st h eu s u a lm e a s u r e t h e o r e t i ce n t r o p y i nf a c t ，w e p r o v et h ee q u a t i o nk ( t ) = h w p ( t ，k ) i nc h a p t e r3 w ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no ft h et o p o l o g i c a le n t r o p yf o rf l o w s o l ln o n c o m - p a c ts e t s ，a n db yu s i n gt h et o p o l o g i c a le n t r o p y ，w ed e f i n et h em e a s u r e t h e o r e t i ce n t r o p yf o r f l o w s w eg e tt h er e l a t i o nb e t w e e nt o p o l o g i c a le n t r o p y 、m e a s u r e t h e o r e t i ce n t r o p ya n dt h e u s u a le n t r o p yo ft i m e - o n em a p a n db ye s t a b l i s h i n gt h ev a r i a t i o n a lp r i n c i p l e b e t w e e nt o p ( l o g i c a le n t r o p y a n dm e a s l l r et h e o r e t i ce n t r o p y ，w ec o n c l u d et h a tt h et o p o l o g i c a le n t r o p y w t f i d l i sd e f i n e db yu si se q u i v a l e n tt os u nw e l l x i a n g sd e f i n i t i o n k e y w o r d s ：t o p o l o g i c a le n t r o p y , m e a s u r et h e o r e r i ce n t r o p y ，n o n c o m p a c ts e t s ，v a r i a t i “址 p r i n c i p l e i i w r i t t e nb ys h e nj i n g h u a s u p e r v i s e db yp r o f c a oy o n # u o 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明t 所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行 研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个 人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教 育机构的学位证书而使用过的材料对本文的研究作出重要贡献的个人和 集体，均已在文中以明确方式标明本人承担本声明的法律责任 研究生签名：地盘笙日期：礁2 生! 唑巧 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合 作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本入电子文 档的内容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文 被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布 ( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理 研究生签名 导师签名t 日期：礁翌基竺涩 日期l 唑：竺丝 非紧集上的拓扑熵及其变分原理一 引言 第一章引言 众所周知，拓扑熵是拓扑共扼的不变量，它在动力系统的研究中起着非 常重要的作用特别是近十年来，随着分形几何的发展，多重分形概念的 引入，非紧集合的拓扑熵越来越显示出它的重要价值，并且构成了联系拓 扑熵和测度理论熵、l y a p u n o v 指数等的一座桥梁 1 9 6 5 年，a d l e r ，k o n h e i m 和m c a n d r e w 1 】首先给出了紧空间上连续映射的拓 扑熵的定义1 9 7 3 年，b o w e n 2 把拓扑熵的定义推广到非紧集合上，这种 定义的方式非常类似于h a u s d o r i t 维数的定义，并且证明了当集合是紧不变 集时，这种定义和f 1 中的定义是等价的。上世纪九十年代，p e s i n 等人进一 步把拓扑压的概念也推广到非紧集合上，定义了非紧集上的拓扑压p z ( t , 妒) 当驴= 0 时，p z ( t ，o ) = h t o p z ) 在f 3 中，p e s i n 证明了变分原理 k 口) = i 卸z ) ：p ( z ) = 1 这里的肛是遍历的 本文第二章我们主要考虑下面的集合 k 邛x ：鲰撬些掣砘( 聊 ( 1 1 ) 由【4 】，我们有p 畔) = 1 我们证明了 “( t ) = m i n h t ( 正z ) b ( z ) 2l 非紧集上的拓扑熵及其变分原理 一引言 事实上，这个结果已包含在定理2 2 ( b o w e n 2 ) 中，但他的证明比较繁琐， 不易理解另一方面，我们实际证明了 h t o p ( e k ) = k ( t ) 也即我们给出了另一个与b o w e n 的不同的集合，证明了它的拓扑熵等于札( t ) 对于流，如果能用时间1 映射的熵来表示整个流的熵，那将非常有意 义，但事实上，在流和映射之间不存在平行的结论。例如，相对于时间1 映 射的不变测度通常不是流的不变测度，而同样，流的遍历不变测度也不一 定是时间i 映射的遍历不变测度b o w e n 在【5 中定义了紧度量空间上流的 拓扑熵，证明了在该定义下流的拓扑熵就等于时间1 ，映射的拓扑熵但是 因为用这个定义不好验证拓扑熵是共扼不变的，所以后来t h o m a s 在【7 】中用 重整化的思想重新定义拓扑熵，解决了不变性，并且证明了对紧度量空间 上没有不动点的流该定义和b o w e n 的定义是等价的孙文祥和v a r g a s 在 9 中同时定义了流的测度理论熵和拓扑熵，对于自由流这些量都和时间1 映 射的熵相等在【l o 】中，孙文祥用类似与k a t o k 定义映射的测度熵的方式定 义了流的测度熵，证明了它和时间1 映射的测度熵是相等的，并且利用变 分原理很自然的定义了拓扑熵 本文第三章主要是把流的熵的定义推广到非紧集合上，得到拓扑熵、局 部熵、测度理论熵之间的关系首先我们采用类似于定义映射在非紧集上 的拓扑熵的方式定义了非紧集上流的拓扑熵，得到该定义的拓扑熵等于时 间1 映射的拓扑熵同时，从非紧集合的拓扑熵可以定义测度理论熵唯( 妒) ， 通过建立拓扑熵和测度理论熵的变分原理，得到用非紧集合定义的拓扑熵 和孙文祥的拓扑熵是等价的在这一章中，我们还把b r i n - k a t o k 局部熵公式 2 非紧集上的拓扑熵及其变分原理一引言 推广到流上，从而也找到了一个集合k ，在其上流的拓扑熵就等于虬( 妒) 在 这个过程中，我们发现，事实上我们的测度熵虼( 曲) 和孙文祥【1 0 】用( t ，e ，6 ) 生成集定义的测度熵完全一致并且在映射的时候，我们已经知道，对于 测度地如果它不是遍历的，那么变分原理札( t ) = i n f h t o p ( t ，z ) ：p ( z ) = l ，不 一定成立，而现在通过流，我们可以得到一些映射，它可能具有非遍历的 不变测度p ，但对这个弘，却有等式 ，( 妒。) = i 叫“t 叩( 丸z ) ：p ( z ) = l 因而，通 过研究流的性质，我们可以得到更多的关于映射的性质 非紧集上的拓扑熵及其变分原理 二 拓扑熵的变分原理 第二章拓扑熵的变分原理 2 1 基本定义和已知结果 非紧集或非不变集上的拓扑熵最初是由b o w e n 给出定义的【2 】后来p e s i n 和p i t s k e l 3 把拓扑压的概念也推广到非紧集上本文采用【3 】中拓扑熵的一 个等价定义 设( x 棚是紧度量空间，t ：x _ + x 是连续映射对，我们定义一 个新的度量 “：d n ( z ：y ) = m a z d ( t i ( x ) ，t 。( y ) ) ：i = 0 ，n 1 ) 对v 0 ，记玩( 8 e ) 为在如度量下以z 为心，e 为半径的开球，i e b n ( z ，e ) = 可x ：d n ( 茁，y ) 0 ，如果z u i b 。，( x i , e ) ，则称r = b 。( ) ) i 为z 的开覆盖对r = b 。( ) ) i ，令n ( r ) = m i n i ( n 1 ) ，设s 芝o ，定义 m ( z ，s ，e ) = i 铲e x p ( 一i ) 这里的下确界是在所有满足n ( 1 1 ) 2 n 的r 覆盖中取我们可以看到，m ( z ，s ，n ，e ) 随着n 是不减的因此，下面的极限存在： m ( z ，s ，e ) 2 舰m ( z ，5 ，6 ) 一u p m ( z ，3 ，6 ) 不难知道，存在h t o p ( t ，z ，) ，使得 晒，扣卜。s h 懈t o p ( t , 列z , q , 非紧集上的拓扑熵及其变分原理 二 拓扑熵的变分原理 由【3 】可知，下述极限存在 卸( t ，z ) _ 觋h t , , p ( t ，z ，) 我们把“鲫亿z ) 称为，限制在z 上的拓扑熵，简称为z 的拓扑嫡 我们首先回顾一下非紧集上拓扑熵的基本性质和重要结论 引理2 1 【3 如上定义的拓扑熵满足 娜( 置z 1 ) s 却( t 1 2 2 ) ，z i z 2 互x 兽h t o p ( t , z ) = 8 u p i 泖( t ，磊) ，z = u = l z x 下面这个定理建立了非紧集上拓扑熵和测度理论熵之间的关系，从而 推广了紧致集合上拓扑熵的经典结论 定理2 1 【2 】设t ：x 。x 是紧度量空间上的连续映射，“是不变测度，z x 且p ( z ) ：l ，则h t o p ( t ，z ) b ( t ) 这里札( t ) 是测度理论熵 给定一个不变测度弘，z 称为是弘的通有点，如果概率测度序列 。= ；n 乏- 蛳邯( n 一+ 。o ) 这里矗是在点的狄拉克测度令 g 。= 忙b 畸忡) 叶p ，m - o 。) 。k = 0 如果p 是遍历的，则由b i r k h o f f 遍历定理可知p 凹，) = 1 由上面的定理我们 立刻可以得到h w p ( t ，g 。) ( t ) 事实上相反的不等式也是成立的 定理2 2 【2 】若p 是遍历不变测度，则 泖( t ，g p ) = “( t ) 非紧集上的拓扑熵及其变分原理 二 拓扑熵的变分原理 p e s i n 和p i t s k e l 在【3 中证明了如下的变分原理 定理2 3 设( x ，d ) 是紧度量空间，t ：x - x 是连续映射，z x 是不变集 令m t ( z ) = 驯p 是遍历不变测度，p ( z ) = 1 ) ，对任意z x ，用y ( 。) 表示序列 岛。) 的极限点集假定对每个z z ，有y ( s ) n m r ( z ) o ，则 泖口，z ) = s u ph u ( t ) p tc z ) 这个定理的条件非常难验证，然而，关于集合z 的条件无法再改进了 在 3 中，p e s i n 找到了这样的集合z ，对所有的。z ，条件y ( z ) nm t ( z ) o 不成立，则有严格不等式 如p ( t ，z ) s u p h 口( t ) ：p m t ( z ) j x u ( z ) = 1 成立 由这个定理，我们立即可以得到下面的推论： 推论2 1h w p ( t ，x ) = s u p h “( t ) ：弘e ( x ，t ) ，e ( x ，t ) 是遍历测度集合 由此我们可以看到，当x 是紧不变集时，非紧集上的拓扑熵和经典拓 扑熵的定义是等价的 引理2 2 4 设( x ，d ) 是紧度量空间，t ：x _ + x 是连续映射，p 是遍历不变 的概率测度，则 ( t ) ：觋热坐掣：躲甄尘掣， e 一0 哥了面 n e _ u 州( x ，7 0 非紧集上的拓扑熵及其变分原理 二 拓扑熵的变分原理 2 2 主要定理 我们已经知道，对紧度量空间( x ，d ) ，t ：x _ + x 是连续映射，p 是遍历 不变测度，我们有变分原理： p ( t ) = i n “ 。( 正z ) i 卢( z ) = l 在本文中，我们考虑特定的集合k ( 由公式( 1 1 ) 给出) ，证明了 卸( t ，) = h a ( t ) 从而进一步证明了 p ( t ) = m _ i n h t 0 p ( t ，z ) ju ( z ) = 1 ) 定理2 4 设( x ，d ) 是紧度量空间，t ：x _ x 是连续映射，p 是遍历不变的 概率测度， 则 k = z x ：毁热 l o gu ( i k ( z ，e ) ) 泖( t ，k ) = h u ( t ) 证明：( 1 ) 我们首先来证不等式“却( t ，k ) “( t ) = “( t ) 对 0 ，因为k ：当充分小，n 充分大时，有p ( ( z ，s ) ) e x p ( 一n ( “( t ) + 们) ，所以，令 则我们有 p ，寺= z k lp ( 晶( z ，e ) ) e x p ( 一n ( ( t ) + 7 ) ) ，似，es 丙1 ) k = u p ，斋，且，奇昂+ l ，南 ，= l 7 非紧集上的拓扑熵及其变分原理 二 拓扑熵的变分原理 由引理2 1 ，可知 h t o p ( t ，k ) 一u ，p h w p ( t ，p ，- k ) 下面我们来证对任意自然数n ，有h t 。( z p n ，击，e ) 5h v ( t ) 设f 是p ，专的最大( e ) 分离集( n 2 n ，e h ( t ) + 1 是任取的，且1 也是任意的，我们就有 t ( t ，k ) 茎 “( t ) ( 2 ) 下面我们再来证另外一个方向的不等式“泖仍k ) ( t ) 对v 6 0 ，一定存在一个正整数n 0 ，紧致集合娲c k ，p ( 凰) 21 6 ，使得对 v x ，n n ， 专，有 肛( b 。( g ，e ) ) se x p ( 一n ( h p ( t ) 一d ) ) 8 非紧集上的拓扑熵及其变分原理 二 据扑熵的变分原理 任取e 0 ，令 d ( z ，t ，妒) = 可xid ( 毋。z ，毋s ) 0 ，如果z 至u i d ( t i , 6 ，妒) ，则 称f ： d ( t ；，) ) 为z 的开覆盖对f = d ( ，曲) h 令t ( r ) = i n f ；( “) ，设 0 ，定义 m ( z ，a ，t ，e ) = 1 f e x p ( 瑚i ) 非紧集上的拓扑熵及其变分原理 三 流上的拓扑熵和测度熵 这里的下确界是在所有满足t ( r ) 2t 的开覆盖工1 中取我们可以看到 m ( z ，a ，t ，e ) 随着t 是不减的因此，下面的极限存在 m ( z ，a ，e ) 2 舰m ( z ，1 ，t ，5 ) 一u t p m ( z ，a ，t ，6 ) 不难知道，存在“挪( 啦z ，e ) ，使得 m c 互a ，e ，= 主o 。：；：等：主三 定义3 2 非紧集z 上流的拓扑熵 泖( 也z ) 定义为 h t o p ( 庐，z ) 21 i 。l n oh t o p ( 妒，z ，e ) ( 上述极限是存在的，参见【3 ) 设p 是b o r e l 概率测度，定义流币的测度熵 ；( 咖) 为 ：( ) = i n f h t 。p ( 妒，z ) ：p ( z ) = 1 ) 定理3 2 设( x ，d ) 是紧度量空间，妒是x 上的连续流，z x 是x 的任意 一个子集，则 h t o p ( 咖，z ) = ；h t o p ( 妒，z ) ，计 o 特别的，h 却( 咖，z ) = “却( l ，z ) 证明( 1 ) 固定r ，则对任意的t 0 ，一定存在对应的n t z + ，使得 一t r ，如果t ( ) t ，则 m ( z ，ze ，咖) 2 警莩e x p ( t ( ) 2 t 警唧( 一 ( n “+ 1 ) r ) t ( 一) 2 t 4 2 i n ，f e x p ( 一a r ( n “+ 1 ) ) 。( 前j ! i m ( z ， f ，n ，拓) 因为当_ o 。时，t o 。，所以 m ( z ， ，e ，) = j 骢m ( z ，入，t 毋) 对于任意的a 泖( 曲，互) ，有 所以 则 l 。i r a m ( z ，机，5 ，佴) = m ( z ， l e ，拓) m ( z ， ，：西) = 0 m ( 五a t ，e ，如) = 0 t ( 庐r ，z ，e ) sa f 1 4 非紧集上的拓扑熵及其变分原理 三流上的拓扑熵和测度熵 由a 的任意性，可知 娜( ，z ，) 曼h 卸( 屯z ，) r 再令e _ 0 ，得 却( 丸z ) ；h t , , p ( 妒，z ) ( 2 ) 对任意 0 ，一定存在d o ，t 当d ( z ，f ) 6 时，有 令 则 d ( 咖s z ，。y ) f 。 m ( 互入，n t ，e ，咖) r e ( z , , k r ，d ，“) 2 0 m ( 互1 7 ，6 ，妒r ) l h + n 。m ( 五 ，7 ，咖) m ( 五 ，e ，) 1 5 非紧集上的拓扑熵及其变分原理 三 流上的拓扑熵和测度熵 对于任意的a “泖( 妒，z ，d ) ，有 所以 故 由 的任意性，可知 又因为当_ 0 时，6 _ 0 所以 命题得证 3 2 流的变分原理 m ( z ，a ，民由) = 0 m ( 互； 庐) = o 泖( 也z ，) s ： 卸( 曲，五e ) ； 却( 妒，五6 ) h t o p ( 咖，z ) ；h t o p ( 办，z ) 口 定理3 3 设x 是紧度量空间，是x 上的连续流，则 这里h 却( 妒) = h t ( 也x ) h w p ( ) = s u pk ( ) 芦岛。 1 6 非紧集上的拓扑熵及其变分原理 三流上的拓扑熵和测度熵 证明 ( 1 ) 对v l t 岛，因为p ( x ) = l ，所以 所以 ( ，x ) 兰i n f ( h t o p ( 妒，z ) ：肛( z ) = 1 ) = 屹( ) 吲咖，x ) p s u 岛p 罐( 毋) ( 2 ) 对岛。，v t r ，任意可测集b ，定义 m ( b ) = p ( 丸( b ) ) ，m ( b ) = f o , u t ( b ) d t 显然p 。是l 一不变测度，m 是庐一不变测度且对任意b o r e l 集b ，若咖t ( b ) = = b 有 p t ( 日) = 卢t ( l ( b ) ) = p ( t ( 咖l ( b ) ) ) = p t + l ( b ) ) = p ( b ) = 0 或l 所以p 如。 又对任意的b o r e l 集b ，如果对v t r ，有也( b ) = b ，则一定有妒l ( b ) = b 所以 m ( b ) 。0m ( b ) d 亡 ，1 = 0 或l 所以m 岛，因为( x ，“庐1 ) 和( x ，m ，咖) 是同构的，所以 。( 机) = “( 妒1 ) 非紧集上的拓扑熵及其变分原理 三 流上的拓扑熵和测度熵 因为函数一z l o g z 是凹函数，所以 故 一1 m ( 1 ) o m ( t t ) d t = p ( 妒1 ) s u ph 静l ) s u ph ”( 1 ) p 句p 岛1 又因为对于映射，我们已经有变分原理 所以 “卸( ) 。溉b 1 ) “卸( ，x ) 一“泖( 咖l ，x ) 2 嚣b ( 乒1 ) s u ph i , ( 1 ) “如 因为对任意岛时，弘m 所以对任何一个集合z ，当“( z ) = l 时，有 所以 从而 h u ( 妒1 ) h 卿( 1 ，z ) 。( 1 ) si a f h “w ( l ，z ) ：p ( z ) = 1 ) = i n f h t ( 咖，z ) ：p ( z ) = 1 ) = k ( ) 泖( 咖，x ) 脞w 1 ) s u p 虻( ) p 如 1 8 非紧集上的拓扑熵及其变分原理 三 流上的拓扑熵和测度熵 综合( 1 ) ，( 2 ) ，命题得证 3 3 流上的b r i n - k a t o k 局部熵公式 我们进一步把b r i n - k a t o k 局部熵定理推广到流上 定理3 4 设( x ，d ) 是紧度量空间，妒是x 上的连续流，p 是一遍历不变的 概率测度，给定e 0 ，令 则 d ( z ，t ，咖) = y x ：d ( 咖。z ，咖s 掣) 0 , v t 0 ，一定存在对应的m n ，s t m t 茎t 0 ，一定存在d 0 ，使得当d ( z ，) d 时，有d ( 机z ，九y ) 一l o g p ( d ( z ，n t + l ，e ，) ) t l o g p ( d ( 。，n + l ，e ，币，) ) l i m 面- - l o g u ( d ( x , t , e , 妒) ) 一e _ o t l i r a e - * o f - - ，o o 坐等等芋剑 一 i 竹t + l l 下 因为当e 0 时，d 一0 ，又p 是妒一不变的，所以 同理 故 1 i 。面二! ! g 垡! 里垫里! ! 生型1 6 叶0t - - o on t 7 _ l i ml i r a + 0t o o l i r al i r a f _ 0 ”# _ + 。 l i r a l i r a e - o m i 十。 h ( 札 一l o g # ( d ( x ，n c + l ，e ，西) ) l i ml i m e _ o t _ 一l o g # ( d ( x ，t ，e ，妒) ) 一 l o g # ( d ( x ，m + 1 ，d ，仉) ) n 丁 l o g 弘( d ( 。，礼t + l ，d ，) ) ( n c + 1 ) 丁 o e z ； ，( 咖，嚣) 口e z ；b ( 如，。) a e z ( 3 1 ) 对任意。r ，由妒一。的一致连续性，我们有： 垤 0 ，一定存在7 o ，当 d ( 。，) 7 时，有d ( 一。g ，一，f ) e 因此，对v y 一。d ( 机。，t ，7 ，) ，即丸y 6 - d ( 咖。z ，t ，吖，币) ，有 所以 d ( 妒j + w 雾，妒。+ w y ) 7 ，0s u ，s d ( 毋叫z ，妒w y ) 二! 堡些! 里生! ! ! ! ! 盟! tt 因为当e _ + 0 时，7 - 0 ，再由公式( 3 1 ) ，我们在上式两边同时对e ，取极 限，得 从而我们有 ；( 如m z ) ；“( 如，z ) 。一z 口( 如，咖，z ) p ( 如，z ) ，e 。 v s r 因为弘是咖一不变测度，所以 ( 。( 妒，。z ) 一b ( 咖，。) ) d p 一0 j 所以，对几乎所有的q 有 。( ，母。) = p ( 妒r z ) ， v s r 因为p 是妒一遍历的，所以k ( 如，z ) 几乎处处是常数且等于k ( 咖，) 所以 。l i + m 。l 可。m 。- l o g # ( d t ( x , t , e , ) )e _ + 0 。c 2 1 ：兰札( 咖，z ) 兰 “( ，) 札( 咖1 ) n n 。 非紧集上的拓扑熵及其变分原理 三 流上的拓扑熵和测度熵 同理我们也可以得到 命题得证 l i 。1 i 。二! ! g 些嘤坐! ! 趔 e - - 0 。t 。- 。- 。1 。o o t 有了上述定理，同样我们可以定义集合k ， ：扛xi地面生型些删：札(洲t、 。e 叶0 - - + o ot 当p 是曲一遍历时，我们知道( ) = 1 计算k 7 的拓扑熵，得到 定理3 5 ( x ，d ) 是紧度量空间，妒是x 上的连续流，p 岛，则 h t o p ( ，k ) = 。( 妒l ) 证明和第二章映射的情况完全类似 接下来可以证明我们定义的测度理论熵和时间1 一映射的关系 定理3 6 ( x ，d ) 是紧度量空间，咖是x 上的连续流，p 岛，则 证明( 1 ) 虬( ) = h i , ( 妒1 ) ：( 妒) = b x f h t o p ( ，z ) ：p ( z ) = 1 ) sh t 。( 咖，k ) = h u ( 曲1 ) 非紧集上的拓扑熵及其变分原理三流上的拓扑熵和测度熵 ( 2 ) 显然p 也是咖l 不变的，因此，对任何一个集合z ，若p ( z 】= 1 ，则7 ，( 扎z ) 札( 咖1 ) 所以 命题得证 口 ，t ：( ) = i n f h , 口( 妒，z ) ：p ( z ) = 1 = i n f ( 庐1 ，z ) ：p ( z ) = 1 ) 礼( 庐1 ) 由此，我们可以看到，我们定义的测度理论熵和孙文祥用( t ，e ，6 ) 生成集 定义的测度熵完全一致再结合前面定理3 3 所得到的变分原理，就有我们 这里用非紧集定义的拓扑熵和孙文祥用变分原理定义的流的拓扑熵是等价 的有了这个定理，我们就得到流的局部熵公式： 推论3 7 设( x ，d ) 是紧度量空间，是x 上的连续流，p 是扣遍历不变的 概率测度，则 删= 嬲慧尘掣 ：l i 。面i 二垫g 望! 里 ! ! 生迹，。 从上面的讨论可以看到，通过流我们可以得到一些映射，它可能具有非 遍历的不变测度p ，但对这个p ，同样有变分原理 “( 蚓= i n f h b p ( l ，z ) ，p ( z ) = 1 ) 成立因而，通过研究流的性质，我们可以得到更多的关于映射的性质 非紧集上的拓扑熵变分原理参考文献 参考文献 ( 1 】a d l e rr l ，k o n h e i ma g a n dm c a n d r em h t o p o l o g i c a le n t r o p y ，t r a n s a m e r m a t h s o c 1 1 4 ( 1 9 6 5 ) ，3 0 9 - 3 1 9 【2 j 2 b o w e n r ，t o p o l o g i c a le n t r o p yf o rn o n c o m p a c ts e t s t r a n s a m e r m a t h s o c 1 8 4 ( 1 9 7 3 ) ，1 2 5 - 1 3 6 【3 】p e s i ny b ，d i m e n s i o nt h e o r y i nd y n a m i c a ls y s t e m s c o n t e m p o r a r yv i e w s a n da p p l i c a t i o n s u n i v e r s i t yo fc h i c a g op r e s s ，c h i c a g o ，1 9 9 7 4 】b r i nm a n dk a t o ka ，o n l o c a le n t r o p y l e c t u r en o t e si nm a