（地球探测与信息技术专业论文）广域电磁法一维正反演.pdf

摘要 广域电磁法( 岍e m ) 是中南大学何继善院士最近提出的一种新的 人工源频率域电磁测深法。该方法基于双极源电磁场表达式，计算出 精确的广域视电阻率；可以在广大的、不局限远区的区域进行观测， 同等收发距上增大勘探深度；尤其是只需要测量一个场分量( 电分量 或磁分量) 和同时测量多个频率，从而提高了相对精度和工作效率。 本文采用基于高斯克龙罗德正交法则的全局自适应积分方式将偶 极场表达式沿长接地导线积分，从而获得双极源场，在此基础上采用 逆样条插值法对广域视电阻率进行计算，并与卡尼亚视电阻率进行对 比分析，同时对电场总场与电场水平分量计算的视电阻率进行了分析 对比。进一步对双极源与偶极源的场进行定量对比，计算了非偶极效 应的误差范围，并分析了两种场源的差异性。 在一维正演的基础上，采用一种收敛速度快、反演精度高的最小 二乘反演方法对基于双极源电场计算的广域视电阻率进行反演，由于 基于双极源场的视电阻率更能准确地反映过渡带和近区地电断面电 性的垂向变化，不用进行近区和过渡区校正，避免了校正带来的误差， 提高了反演精度。 论文获得国家自然基金项目：广域电磁测深仪的基础研究 ( 4 0 8 2 7 0 0 2 ) 的资助。 关键词广域电磁法，非偶极效应，最小二乘反演 a b s t r a c t w i d ef i e l de l e c t r o m a g n e t i cm e t h o d ( 下e m ) ，w h i c hi si n t r o d u c e db y a c a d e m i c i a nj i s h a nh ei nc e n t r a ls o u t hu n i v e r s i t v i san e wc o n t r o l l e d s o u r c es o u n d i n gm e t h o di n 仔e q u e n c yd o m a i n b a s e do nt h eb i p o l a r s o u r c ef i e l de x p r e s s i o n ，t h ea c c u r a t ew i d ef i e l da p p a r e n tr e s i s t i v i t yh a s b e e nc a l c u l a t e d f o rt h eo b s e r v a t i o n sc a nb ec o n d u c t e di nw i d ef i e l d n o t l i m i t e dt ot h ef a rf i e l d ，t h ee x p l o r a t i o nd e p t hi si n c r e a s ew i t ht h es a m e t r a n s c e i v e rd i s t a n c e p a n i c u l a r l y w eo n l ym e a s u r eo n ec o m p o n e n to ft h e f i e l d ( e l e c t r i cf i e l dc o m p o n e n to rm a g n e t i cf i e l dc o m p o n e n t ) o ft h e c o n t r 0 1 l e ds o u r c ea n dm a k et h em e a s u r e m e n to fm u l t i p l ef 琵q u e n c i e sa t t h es a m et i m e t h e r e b yt h er e l a t i v ea c c u r a c ya n d e 币c i e n c ya r ei n c r e a s e d t h eb i p o l a rs o u r c ef i e l dh a sb e e no b t a i n e db yt h ei n t e g r a lo f d i p o l e s o u r c ef i e l de x p r e s s i o na l o n gt h el o n g 伊o u n d i n gw i r eu s i n gag l o b a l l y a d a p t i v es c h e m eb a s e do ng a u s s k 0 1 1 r o dr u l e s ，a n dt h ew i d ef i e l d a p p a r e n tr e s i s t i v i t yh a sb e e nc a l c u l a t e db yt h ei n v e r s es p l i n ei n t e r p o l a t i o n ， t h e nt h e c o m p 撕s o no fc a g i l i a r d印p a r e mh a sb e e nc 嘶e do u t f u r t h e n n o r et h ea p p a r e n tr e s i s t i v i t yc a l c u l a t e d b yt h ee l e c t r i cf i e l d h o z o n t a lc o m p o n e ma n dt h et o t a le l e c t r i cf i e l dw e r ea n a l y z e da n d c o m p a r e d t a l ( i n gq u a n t i t a t i v ec o m p 撕s o nt ot h eb i p o l a rs o u r c ea n d d i p o l es o u r c ef i e l d ， t h ee 1 1 o r r a n g eo fn o n d i p o l ee f 氨o c t sh a sb e e n c a l c u l a t e d b a s e d o n 也eo n e d i m e n s i o n a lf o 唧a r d ，u s i n gaf a s tc o n v e r g e n c e a n d h i 曲a c c u r a c yl e a s ts q u a 】si n v e r s i o nm e t h o dt om a k ei n v e r s i o no ft h e w i d ef i e l da p p a l i e n tr e s i s t i v i t yc a l c u l a t e db a s e do nt h eb i p 0 1 a rs o u r c ef i e l d a st h ee l e c t r i c a lv e r t i c a lc h a n g e so ft h eg e o e l e c t r i cs e c t i o nc a nb e r e f l e c t e db yt h eb i p o l a rs o u r c ew i d ef i e l dr e s i s t i v i t yi nt h et r a n s i t i o nz o n e a n dn e a li e t h ei l e a ra n d 舰n s i t i o nz o n ec o r r e c t i o ni su n n e c e s s a r y t h e n m ee 1 1 o rc a u s e db yc o n e c t i o nc a nb ea v o i d e d s ot h ei n v e r s i o na c c u r a c y i si m p r o v e d t h ep 印e rh a sw o nt h es u p p o r ta n d 允n d i n go fn a t i o n a ln a t u r a l s c i e n c ef o u n d a t i o n p r o je c t ， t 1 1 e b a s i sr e s e a r c ho fw i d ef i e l d e l e c t r o m a g n e t i cs y s t e m ( 4 0 8 2 7 0 0 2 ) k e y w o r d sw i d ef i e l de l e c t r o m a g n e t i cm e t h o d ，n o n - d i p o l ee f r e c t s ， 1 e a s ts q u a 心si n v e r s i o n i i i 中南大学硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 1 1 电磁测深方法和广域电磁法简介 电磁法是根据电磁感应原理，通过观测和研究电磁场的分布规律来研究地电 信息的一类方法的统称【1 捌，可分为时间域电磁法和频率域电磁法两类【3 棚。其中， 频率域电磁法又分为频率电磁剖面法和频率域电磁测深法。大地电磁测深法和可 控源音频大地电磁法是频率域电磁测深法中的两个重要分支。 2 0 世纪5 0 年代初，t i h o n o v 和c a 啦i a r d 提出了基于观测超低频天然大地电 场和磁场正交分型4 ，5 】，计算视电阻率的大地电磁法( m t ) 。由于频率很低，m t 法探测深度很大，但也使得其对浅层的分辨能力变差，工作效率低。m t 法还因 为受场源随机性的影响及其电阻率计算公式本身的误差传播，导致其信号强度微 弱，测量精度很低。2 0 世纪7 0 年代初，d w s 仃a n g w a y 和他的学生m a g o l d t e i n 提出了可控源音频大地电磁法i7 湛1 ( c s a m t ) 。c s a m t 法采用人工场源，在远区 测量电场和磁场正交分量，并计算卡尼亚电阻率，克服了m t 法场源的随机性和 信号微弱的缺点，提高了工作效率和分辨率。但c s a m t 法要求在电磁场接近平 面波的远区进行观测，这不仅限制了c s a m t 的测量区域，还降低了其信号强度。 且由于客观原因，测量时不得不进入非远区。在近区，靠近场源，e 按l ，3 而日 按1 ，2 衰减，使得视电阻率是，的函数；在中间区，e 按1 ，3 而日按1 ，3 1 ，2 之 间的某个比例衰减；在远区，远离场源，e 和都与1 ，3 成正比，故视电阻率与 ，无关。在非远区，由于电磁场分量随距离，变化而具有不同的变化规律，从而 引起视电阻率和相位差的畸变【9 。12 1 ，不能客观地反映地电变化。加之国内外电磁 法仪器都采用变频法，为避免信号叠加，一个测区只使用一台发送机，工作效率 较低。 为了克服这些缺陷，国内外学者做了大量工作【l3 ，1 4 】，但都不够完善、系统。 由中南大学何继善院士提出的广域电磁法( w f e m ) 从场的统一性出发，将用电距 离( p = ，万) 划分的“近区”，“过渡区”和“远区”有机地统一起来，改善了非远区 的畸变效应，在近区不会出现c s a m t 法的4 5 。渐近线，使得测深能在广大的、 不局限远区的区域进行，在同等收发距上可勘探的深度增大，即勘探同等深度可 用较小的收发距。采用人工场源发送信号，摆脱了m t 法天然场源随机变化和信 号微弱的不利因素。只测量一个场分量( 电分量或磁分量) ，提高了相对精度和 工作效率。采用伪随机编码信号，一次同时发送和接收强度相当的多个频率信号， 摒弃了c s a m t 法效率低下的变频法和奇次谐波法【b 】，有望实现台发送，多台 接受，提高了野外勘查速度。因此，广域电磁法具有普遍的可行性，同时对适合 中南大学学士学位论文 第一章绪论 w f e m 特征的电磁信号正反演理论进行研究也有着重要意义【1 6 1 。 1 2 国内外频率测深正反演研究情况 频率域电磁法已被广泛用于地球物理勘探中，有关层状大地水平电偶极子场 的计算已经很成熟【3 1 。w 砌e ta 1 【1 7 1 对一维水平电偶极子场的基本理论和数值模 拟方法进行了深入研究。殷长春【l8 】通过对频率测深电磁场计算公式中的积分核 进行了减去相当于均匀半空间的解析部分的处理，减少了快速h 锄k e l 变换滤波系 数，提高了计算速度。殷长割1 9 】利用频率测深任意角度上电磁场与轴向和赤道 向电磁场之问的关系，对电偶源频率测深任意角度方向上水平电场、水平和垂直 磁场进行了正演计算。翁爱华等【2 0 】采用高斯求积对h a i l l ( e l 积分进行直接积分，并 结合连分式展开的方法以提高积分求和的收敛速，与常规的快速h a i l l 【e l 滤波方 法相比，提高了电偶源频率测深响应计算精度。张辉掣2 l 】利用结合连分式展开 的高斯求积方法计算了多层介质中电偶源张量格林函数积分，解决了采用快速 h a i l l ( e l 变换时积分核发散的问题。尽管目前频率域电磁理论是建立在偶极发射， 偶极接收的基础上的，但在野外实际工作中，供电偶极通常为l 3k m ，而测点到 场源的距离受到发射场源功率和地质条件的制约，通常在4 8h 范围内，不能将 测点到场源的距离看作无限远。当工作频率较低时，就导致在过渡区和近区范围 内工作了，此时场源不能看作偶极子源，而是双极源【2 2 2 3 1 。王军等采用a n d e r s o n 自适应数字线性滤波器和g a u s s l e g e i l d r c 积分对层状大地上双极源频率电磁响 应进行了快速计算，并指出偶极源的场值大于双极源的场值。万乐等【2 2 】采用二 次曲线插值方法获得双极源范围内不同位置的偶极子产生的场，再进行求和就获 得了双极源场。在此基础上，殷长春1 2 5 j 通过将任意角度频率测深正演结果沿发 射源方向直接进行数值积分，从而获得了双极源场，并评价了简化积分方法和二 次插值法的计算精度，指出简化积分法精度较高，但结构性差。王若等【2 6 】借用 简化积分的思想并直接调用编译程序中提供的贝赛尔函数来计算双极源电磁场 响应。 采用双极源在过渡区和近区范围内工作时可增大有用信息，但发射场源和接 收装置问存在非偶极效应也随之出现。s t o y d 27 】将双极源电磁响应的计算用相 应等效偶极源电磁响应的计算来代替，对时间域中的非偶极效应进行了研究。李 吉松、朴化剁2 8 】提出了在理论量板上校正非偶极效应的方法，并给出了校正系 数表。 在频率域电磁测深法野外工作中，由于受工作条件和地质条件的制约，不得 不进入过渡区和近区范围内工作。为了避免非波区场效应造成的影响，进行资料 处理时不采用近场及过渡区场的资料，只采用远区场数据进行反演【2 9 _ o 】。但很 2 中南大学学士学位论文第一章绪论 多野外实测数据是在过渡区和近区获得的，且过渡区场和近场的资料仍然有大量 可利用信息。为了避免造成较大的资料浪费，许多学者提出近场校正的方法，即 把非波区的视电阻率校正到近似于波区的视电阻率时，再用m t 的方法来反演 1 3 l 】。但是，现在常用的近场校正方法是建立在地下介质分部均匀的基础上的【3 2 ，3 3 1 ， 当地下介质分部不均时，近场校正得到的数据精度不高，从而导致反演的结果不 够理想。此外，近场校正存在一定的局限性，仅能对非波区效应造成的视电阻率 的畸变进行校正，并不能将双极源的非波区场的观测数据校正为相应工作条件和 地质条件下的波区场的观测结果【3 硼。1 9 9 1 年，z o n g e 等提出了不做近场校正的 一维c s a m t 全资料最小二乘反演算、法【3 4 1 。1 9 9 3 年，b o e n l e r 等提出用c s a m t 全部资料进行反演，并指出非平面波校正会带来的负面影响1 3 5 】。1 9 9 9 年，r o u t l l 用c s a m t 全部资料对一维水平层状介质进行了反演【3 6 1 ，并将反演结果与做过近 场校正后用m t 方法得出的结果进行了对比，全资料反演的精度高，对深部地层 的电阻率的反演较为准确。1 9 9 9 年，) ( i n v o ul u 等采用快速松弛反演算法实现了 不做近场校正的2 5 维c s a m t 全资料反演【3 。7 1 。2 0 0 7 年，王若等采用网格参数法 和剥皮法联合应用的方法，使用两个控制参数作约束，进行了不做近场校正的 c s a m t 全资料反测2 酬。2 0 0 7 年，尚通晓等用阻尼最小二乘法直接对不进行近 区校正的卡尼亚视电阻率进行反演【2 。 1 3 研究意义 随着我国经济的高速发展，建设规模日益扩大，对石油、天然气、煤炭以及 各种金属、非金属矿物原料的需求不断增长。同时，随着找矿程度的不断深入， 浅部易于发现和利用的矿产日趋减少，对寻找深部有色金属矿藏的研究己构成当 今整个地质界的重要研究课题之一。对广域电磁法正反演理论的研究和资料精确 处理的方法以及仪器的研制是在这种大背景下应运而生的，它致力于解决现有电 磁法的一些缺陷，提高了相对精度和工作效率及探测电性结构的分辨率。广域电 磁法对现有理论进行了创新，采用计算精确的广域视电阻率，并引入伪随机编码 信号波形等方案，具有其前沿性和创新性。基于对现有的人工源频率域电磁测深 法的分析和对电性不均匀的地电断面的数值模拟结果的研究表明，这种方法具有 非常重要的理论意义和应用价值。因此对其基本原理及其正反演理论的研究探讨 是很有必要的。对于横向变化不大的介质结构可以近似为水平层状结构，所以采 用一维正反演方法可以解决一些野外实际问题。尽管对于复杂的地电条件需要采 用二维和三维方法，但由于受到理论研究进展和计算速度的制约，二维和三维方 法的实用化受到限制，此时，可以采用一维反演来对整体地电分布作定性认识。 此外，一维反演可作为二维、或三维反演的初始模型，为高维反演提供有价值的 气 中南大学学士学位论文第一章绪论 反演基础。一维反演算法研究的结论和提高效率的新算法，对于高维反演的运算 有借鉴的作用，对于w f e m 法之外的其他地球物理探测方法的反演运算也有借 鉴作用。因此对w f e m 法一维正反演进行研究具有较大的实用意义。 4 中南大学硕+ 学位论文第二章基本理论 第二章基本理论 在频率域电磁测深法野外工作中，由于受工作条件和地质条件的制约，测点 到场源的距离不能大到可以看作无限远的程度，当工作频率较低时，工作在过渡 区和近区范围内，此时场源不能看作偶极源，而是双极源【2 2 2 3 1 。本章从电磁场基 本理论出发，导出了均匀半空间和水平层状介质表面水平谐变电偶极子的水平电 场，并通过对偶极子场表达式沿长接地导线积分来获得双极源水平电场。 2 1 均匀半空间表面上水平电偶极子源的电场 2 1 1 模型和矢量位 设有一水平电偶极子位于上半空间，偶极矩为钇，距离分界面的高度为j l i ， 选取共同原点位于偶极子中心的直角坐标系和柱坐标系，偶极矩指向x 轴正向， z 轴垂直向下。 一 么r 一 岛一 y _ m 图2 1 半空间中的坐标系定义 设供给偶极子的电流为正弦波，其产生的电磁场为谐变场，即 e = p 1 拼，日= 风p 1 饼 在场源外的空间，介质均匀的条件下，该谐变场满足的m a x w e l l 方程组为： v e = 卸日， ( 2 1 ) v e = 0 ，( 2 2 ) v 日= ( 仃一泐) e ， ( 2 3 ) 中南大学学士学位论文 第二章基本理论 v 日= 0 ， ( 2 4 ) 式中，e 和日分别为电场矢量和磁场矢量；口为电导率；s 为介电常数；缈为 圆频率，以每秒弧度表示；代表磁导率。 根据磁场的散度为零，引进电偶极子场的矢量位： 日= v 么， 从而导出矢量位彳的波动方程式 v 2 彳+ 七2 彳= 0 ， ( 2 5 ) ( 2 6 ) 式中七2 为透过该介质的电磁波的波数的平方，七2 = 卸缈+ 国2 掣。 将电场置用矢量位彳表示为 五= 卸彳+ 去v v 彳= z 掣( 彳+ 古v v 彳) ， c 2 m 仃一l 黝 疗一 由于偶极子沿x 轴方向，故电偶极子场的分布相对于通过偶极子的铅垂面来 说是对称的。所以矢量位彳只有两个分量，即 么= 4 巳+ 4 口：， ( 2 8 ) 矢量位彳的微分方程( 2 6 ) 化作关于4 和4 的两个标量微分方程，在柱坐 标系中分别具有以下形式： 等+ 导誓+ 等+ 砖呜_ 0 ，( 剧，1 ) ( 2 9 ) 8 r zra ra z 2 j 再 1 “。 等七警+ 专等+ 等+ 碍鸣一o o ( 刎1 ) a r 2。r 西，2a 2 如2 7 。勺 vv - ， 2 1 2 边界条件和电磁场的解 在直角坐标系石，y ，z 中，电磁场的边界条件为致，q ，髟，e ，垦连 续，这样，我们就得到了在每个界面上关于矢量位彳的四个边界条件：( 当z = o 时) 4 0 = 4 ， ( 2 1 1 a ) 监：盟。( 2 1 1 b ) 瑟瑟 4 0 = 4 l ， ( 2 1 1 c ) 去( 警+ 警) = 击( 警+ 警) ， 晓t d ， 中南大学学士学位论文 第二章基本理论 由于4 的边界条件时独立的，于4 无关，而4 的边界条件则与4 有关， 因此必须先求解4 。求解4 的定解问题可归纳为 等七警+ 等+ 碍岛一o ，铲叫， 晓协， 4 0 = 4 i ，当z = 0 ( 2 1 2 b ) 监：盟，当z ：o ( 2 1 2 c ) 4 0i ：- 田专0 ， ( 2 1 2 d ) 4 li ：。一o ， ( 2 1 2 e ) 4 i 。一丝， ( 2 1 2 f ) 4 。l r 枷：一呐枷一石夏 。2 1 2 f ) 求解方程( 2 1 2 a ) 可以使用分离变量法，设 如= u ( ，) y ( z ) ， ( 2 1 3 ) 分离变量后可得到两个二阶常微分方程： 鸳+ ! 型+ 扰：u ：o ，( 2 “) 罟砌2 一劈胪o ， ( 2 1 5 ) 式( 2 1 3 ) 的解为所有可能的研的值的式( 2 1 4 ) 和式( 2 1 5 ) 解的组合 如= 等f ( q ( m ) p q 2 + 哆( 聊) p _ ：) 厶( ，z ，) 锄，( ，= o ，1 ) ( 2 1 6 ) 式中，厶( 朋厂) 为第一类零阶贝塞尔函数，= 聊2 一碍，( = o ，1 ) ，e ，哆为 待定系数。利用边界条件和贝塞尔函数的正交性，求解出q ，q ，便可得到如 的表达式 小等f 。* 蚓刮+ 焉胪”卜油，眨 铲等j c o 羔p 一，哗伽恸， 眨 由于鸣的边界条件中有吉( 警+ 警) 连续这一条件，因此可假定警和 警具有相同的形式，即假定 中南大学学士学位论文第二章基本理论 4 。= 等c o s 缈j c 0 g o 矿萨吣( 垅，) 锄， ( 2 1 9 ) 4 。= 等c o s 妒f 节哗嘲( 聊，) 锄， ( 2 2 0 ) 利用边界条件和贝塞尔函数的正交性，得到鸣的表达式为 4 。：丝c o s 缈f 三型盈二鱼上一p 一蚶p 郴叫( m ，) 咖，( 2 2 1 ) 4 。2 石c o s 缈上瓦丽恙蒜矿。“铲刚- 仰一溉( 2 2 1 ) 4 。：丝c 0 s 缈 。上煎生盈l p w p m 。：叫( m ，) 锄，( 2 2 1 )4 l2 石c o s 缈j ) 瓦画蒜蒜” ”1 刚l 伽力锄八2 2 u 令上半空间绝缘，并将电偶极子放在半空间表面，即 岛专，( 鸭= 历) ，五= o ， 得到均匀半空间表面水平谐变电偶极子的矢量位为 铲等f 熹以( 垅恸， ( 2 2 3 ) 铲等j c o 羔e 哪怕油， ( 2 2 4 ) 4 。：等c o s 妒c o 上冬矿以( 聊厂) 锄， ( 2 2 5 ) 4 。2 石s 妒土；磊。j - ( 聊厂) 锄， 5 ) 4 。：等c o s 缈c o 兰e 哪以( 研，) 咖， ( 2 2 6 ) 4 - 2 石s 缈土百i 矿j - ( 研r ) 咖， 6 ) 由( 2 7 ) 可导出均匀半空间表面水平谐变电偶极子的电场表达式 巨= 等 3 耐卿+ ( 1 一龇沿 。 ( 2 2 7 ) 227 k 平屡状大批嘉而7 k 平申儡极子源的申场 2 2 1 模型和波动方程 设有一水平电偶极子位于，l 层水平层状介质表面，偶极矩为钇，距离分界 面的高度为j i l 。选取共同原点位于电偶极子中心在地表的投影处的直角坐标系和 柱坐标系，使偶极矩指向x 轴正向，z 轴垂直向下。 中南人学学上学位论文第二章基本理论 d l h x 届 j i z l 厥 服 岛 z 图2 2 层状介质模型谐变电偶板子场坐标系示意图 由上节直接写出柱坐标系中关于4 和4 的标量微分方程： 等七誓+ 等+ 巧岛- o ，u = 叩，小 眨2 8 ， 等七誓专等+ 等+ 巧乃一o o ( 刎，l ，小眩2 9 ， 上一= 一j j 4 = n fi = i ”、 77 q ， 勿2 。，务。r 2a 2 。瑟2 “。，。巧一”。u 一”1 “7 。“” 2 2 2 边界条件和电磁场的解 在直角坐标系中，电磁场的边界条件为以髟te 置连续，在上一节已经 详细推导过矢量位月的边界条件，对于每一层均适用，这里不再重复，仅列出表 达式：当z = 乙( ，= 0 1 ，拧一1 ) 时 = 一， 醐，鸭+ i = - 一。 瑟玉 如= 鸣+ - ， 吉( 警+ 警) _ 去( 警+ 警) o ( 2 3 0 a ) ( 2 3 0 b ) ( 2 3 0 c ) ( 2 3 0 d ) 由于4 的边界条件是独立的，与彳：无关，而4 的边界条件则与4 有关， 因此必须先求解4 。求解4 的定解问题可归纳为 9 中南大学学士学位论文第二章基本理论 等弓誓+ 等+ 碍岛一o ，泸蜘帕 泣3 如= 如+ ，当z = 乃( ，= o ，l ，1 ) 时 誓：挈，当z ：枷= o ，1 ，州 昆瑟 ”。 7。 4 0 i ：一专o ， 如i ：一专o ， 州一一等。 解出方程( 2 3 1 a ) 的通解，并利用式 到4 的表达式为： ( 2 3 1 b ) ( 2 3 l c ) ( 2 3 1 d ) ( 2 3 1 e ) ( 2 3 1 f ) ( 2 3 l d ) ，式( 2 3 1 e ) ，式( 2 3 1 f ) ，可得 小等j c o 吲m p 一郴卜油， 旺3 2 ， 如= 等f ( q e 唧+ q ) 以( 脚r ) 锄，( j - o ，l ，嗍_ 1 ) ，( 2 3 3 ) 如= 等j c o 叩哗厶( 聊，) 咖， ( 2 3 4 ) 将式( 2 3 2 ) ，式( 2 3 3 ) ，式( 2 3 4 ) 代入边界条件( 2 3 1 b ) ，( 2 3 1 c ) 中，可得 到关于e ，q 的线性方程组，求解该线性方程组后得到递推关系式 f = 1 t尺；=三芝要号渊歹=刀一1刀一21， 2 3 5 从而得出彳，。的表达式 小等f ( 薏 卜c 州锄 ：笔f 兰百e j ，i o p 一厶( 朋，) 咖 2 石上i 画两旷刊。【脚归m ( 2 3 6 ) 求出4 。后可进而求解鸟。由于鲁具有c o s 缈j c o q 2 2 叫( 聊) 锄的形式。因此， 。 以 ” 假定 l o 中南大学学士学位论文第一二章基本理论 4 。= 等c o s 缈f ( g o p 懈) 叫( 聊r ) m 锄 如= 等c o s 妒j c o ( c p 一_ 2 + g p v ) ，鸠( 聊，) 研咖， ( 2 3 7 ) 厶= 等c o s 缈j c o c p 一哗吣( m ，) m 锄 司以验证，4 的这些表达式也确实符合其微分方程( 2 3 0 ) 式。将含有待定系数的 4 和已知的4 的表达式代入边界条件式，并利用贝塞尔函数的正交性，可得到 一组关于待定系数c 和q 的方程组，将上该方程组变形，并利用边界条件，便 可得到q 的递推关系式 f 兄= 1 尺，：啦竺业趔! ，( ，= ，刀一2 ，1 ) ，( 2 3 8 ) 【。+ - 岛+ - + 乃髟+ - 砌( 哆) 从而得到 小等唧双糍+ 舞卜圳删引2 舯) 进一步求出 孰。= 等唧志+ 蒜卜捌圳2 加， 取上半空间绝缘，并将电偶极子放在半空间表面，即 届专， = o ， 得到水平层状大地表面水平谐变电偶极子的矢量位 警l = 等c o s 缈j c o ( 寻+ 而耘) 以c m ，锄， 他4 ， 钒。= 等j c o 三矗柏懒， 泣4 2 ) 孰。一等唧j c o 南删咖， 苏l ：o 4 万 由聊+ ，1 1 碍卜 7 从而导出水平层状大地表面水平谐变电偶极子的电场表达式为 皿= 等c o s 2 确2 喝 ， 其中 q = 半一日厶+ 争厶， ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) ( 2 4 5 ) 中南大学学上学位论文第二章基本理论 式中 c 2 = 鱼卜f 掣l + 坐， ，| = j c o 三两加恸， 厶= j c o 等伽恸， 厶= j c d 等柏油， l = j c o 三赢柏恸， 2 3 水平层状大地表面双极源的电场 ( 2 4 6 ) ( 2 4 7 ) ( 2 4 8 ) ( 2 4 9 ) ( 2 5 0 ) 在频率域电磁法的实际工作中，观测点常常比较靠近发射源，需要把发射源 看作为双极源。对于长度为的双极源，设坐标原点位于发射场源彳曰的中心， 由上节可得出双极源在层状介质d 7 点产生的水平电场： 巨= 艺饵= 去艺( c 0 s 2 缈c i “n 2 伊c 2 ) 讲， ( 2 5 1 ) 式中：，= ( ，+ ，) 2 + y “，缈= a r c s i n ( y ，) ，( x 7 ，y ) 为测点d 坐标，为电偶源 以相对坐标原点的距离。 1 2 中南大学硕r ：学位论文第三章广域电磁法一维正演及视电阻率计算 第三章广域电磁法一维正演及视电阻率计算 频率域电磁法已被广泛用于地球物理勘探中，虽然目前有关层状大地水平电 偶极子场的计算已经很成熟。但在野外实际工作中，由于受到发射场源功率和地 质条件的制约，不得不在过渡区和近区范围内工作，此时场源不能看作偶极子源， 而是双极源【2 2 】。采用基于高斯克龙罗德正交法则的全局自适应积分方式将偶极 场表达式沿长接地导线积分，从而获得双极源场，在此基础上采用逆样条插值法 对广域视电阻率进行计算，并与卡尼亚视电阻率进行对比分析，同时对电场总场 与电场水平分量计算的视电阻率进行了分析对比。进一步对双极源与偶极源的场 进行定量对比，计算了非偶极效应的误差范围，并分析了两种场源的差异性。 3 1 双极源电场的计算 在频率域电磁测深法中，关于层状大地双极源场的积分算法主要有二次曲线 插值法，简化积分法和数值积分法等。二次曲线插值法的计算速度很快，然而因 受收发距、发射源长度、工作频率、地电断面性质及测点位置等因素影响，其计 算精度较低。因此本文仅采用简化积分法和数值积分法对双极源场进行计算，并 对其精度进行了评价。 3 1 1 简化积分法 简化积分法就是采用有限求和的方式【3 9 1 来近似上述积分，即先把长度为三的 双极源剖分成玎个偶极子源，然后将它们分别产生的场叠加起来。那么由( 2 5 1 ) 可写出采用该积分法时的双极源水平电场表达式： e = 峨= 寺蛾( ，；，够) 扣l二f = l 其中 蛾= 尝 c o s 2 仍c l ，一s i i l 2 仍g ， ， ( 2 4 4 ) q i ：丝丝，一只厶j + 旦厶， ( 2 4 5 ) f lf i c 2 i = 丛厶，一卸，+ 坐厶， ( 2 4 6 ) r ii i 式中 中南大学硕士学位论文第三章广域电磁法一维正演及视电阻率计算 式中：，；= 枷j c o 赤柏油， 驴j c o 寻饷油， 驴j c o 等伽伽， 驴j c o 熹矗枷油， 三为双极源的长度。 3 1 2g a u s s l ( m n r o d 积分法 ( 2 4 7 ) ( 2 4 8 ) ( 2 4 9 ) ( 2 5 0 ) ，仍= a r c s i n ( j ，；) ，( ，) 为测点d ，坐标， g a u s s l ( r o n m d 积分法就是直接采用基于高斯克龙罗德正交法则【柏】的全局自 适应积分方式对双极源场进行求解。 对偶极子电场进行数值积分，即对一高震荡函数进行积分，采用自适应 g a u s s l n r o d 积分法，保证了积分核的收敛，提高了计算精度和计算速度。关 于g a u s s型数值积分， 对于权函数功( x ) o ， 若取分点 砌口 五 恐 6 佃为相应直交多项式以( 工) 的零点，则可以求得 q ，哆，q ，使得f 国( x ) 厂( 工) 出主q 厂( 赡) = q 厂具有最高代数精度 2 刀一1 。然而，若以此对g a u s s 型积分通过加密分点施行进一步计算时( 从q 到 瓯+ 。) ，q 中已计算的函数值厂( ) ，( 除厂( 口) ) 外将全部无效，g 卅+ 。中的全部 函数值厂( ) 必须重新计算4 0 4 2 1 。采用 r 缈( x 矿( z ) 出喜q 厂( 毛) + 喜q 厂( 儿) ， ( 2 5 1 ) 进行处理，其中气为已确定的求积节点，即相应正交多项式n ( 工) 的零点。假设 ，( x ) = 兀( x 一以) ， ( 2 5 2 ) 七= l 1 4 中南大学硕：扛学位论文第三章广域电磁法一维正演及视电阻率计算 j ( x ) = 兀( x 一坛) ， 七= l ( 2 5 3 ) 则( 2 5 1 ) 式对所有不高于刀+ 聊一1 次多项式精确成立、对所有不高于m 一1 次多项式g ( x ) ，恒有r 功( x 户( x ) j ( x ) g ( x ) 出= o 。 基于这一结论，l n r o d 从刀点g a u s s 积分出发，增加胛+ 1 个求积节点儿，直 接考虑 r 国( x 矿( 工) 出喜厂( 赡) + 茎q 厂( 儿) ， ( 2 5 4 ) 对权函数国( 石) = 1 这一情况，叙述了g a u s s - i n r o d 法则。 设 见( z ) ) 为【口，6 】上关于权国( z ) o 的正交多项式序列，e ( z ) 的零点均为异 于吒的相异实零点，取石t ，y 。分别为以( z ) 的零点( 咒个) 与e ( z ) 的零点( 刀+ 1 个) 。将瓢，y 。带入( 2 5 4 ) 式右端，令厂( x ) = 1 ，矿棚，( 肌= 刀+ 1 ) 时( 2 5 4 ) 式精确成立，得到关于，魄的刀+ l 阶方程组 彳= 衲 而 y l y 。 一一+ m l一 + m i 一 + m lh + 所一l z i z 月 y ly x = ( q q ) r ， 6 = ( r 缈( x ) 出f 国( x ) 出) r ， 显然，d e t 彳o ，从而可解出唯一的口i ，国t ( 刀切个) ，将其与x 女，y t 一并 带入( 2 5 4 ) 式( _ ，l = ，l + 1 ) 即得具有一般权函数的g 眦s s 1 m n r o d 积分公式【4 2 】： f 缈( x 川出挚作t ) + 静币。) 。 3 2 视电阻率定义 视电阻率是地下电性不均匀体和地形起伏的一种综合反应，它能够反映介质 1 5 中南大学硕士学位论文第三章广域电磁法一维正演及视电阻率计算 电性的空间变化，或者说视电阻率是空间上介质真电阻率的复杂加权平均。 在实际工作中，m t 法和c s a m t 法一般采用卡尼亚视电阻率，其表达式为 只2 古阱 。 式中厂为工作频率，疋为电场水平分量，日，为磁场水平分量。只要测得e 和日， 便可计算出卡尼亚视电阻率。然而卡尼亚视电阻率是采用远区视电阻率定义的， 割裂了场的统一性，只有在满足远区条件时才能客观地反映地电变化，在非远区 会产生视电阻率和相位差的畸变【7 。9 1 。 广域视电阻率从场的统一性出发，用数值方法求取半空间电阻率关于场值的 反函数，它能将远区，中间区，近区联系起来，自适应地反映场的不同特性。 均匀半空间表面双极源产生的电场 巨= 篡d 巨= 等篡专 3 c o s 2 妒一2 + ( 1 一浙) 扩 讲， ( 3 2 ) 定义 q = 践专 3 c o s 2 缈一2 + ( 1 一洳) 矿 讲， ( 3 3 ) 由此可得 疋= 尝q ， ( 3 4 ) 对( 3 4 ) 两边取绝对值，变换得 = 芋阱 5 ) 公式( 3 5 ) 为视电阻率表达式，这是一个关于p 的隐性表达式，可以采用逆样 条插值法来求解。 3 3 视电阻率计算方法 在生产实践和科学研究中，因素之间往往存在着函数关系，但是却不知道具 体的解析表达式，还有些函数，虽然有明确的解析表达式，但却过于复杂而不便 进行理论分析和数值计算，因此需要构造一个既能反映函数特性又便于计算的简 单函数，以近似代替原来的函数，插值法就是构造近似函数的方法之一】。 利用函数列表作近似计算，并不意味着仅仅通过插值求得被插值函数厂( x 1 的近似函数或再作进一步的近似计算，仍然可以利用函数列表通过插值的方法求 得被插值函数反函数的近似或再作进一步的近似计算。这种由函数列表求出反函 数的插值多项式或者多项式在某些点上的值作为反函数或反函数在某些点上的 值的近似方法称为逆插值法【4 5 却】。 1 6 中南大学硕上学位论文 第三章广域电磁法一维正演及视电阻牢计算 假设要求函数y = ( x ) 的零点，并已知它在，l + 1 个节点而，五，上 的函数值为z ，即 厂( 玉) = z ，( f = o ，1 ，刀) ( 3 6 ) 假设在区间【而，毛】点上，厂( x ) 满足反函数定理中的条件，特别是 厂( x ) o ，因此有j = g ( y ) ，其中g 为厂的反函数，求g ( o ) 的值等价于求厂( x ) 的 零点。假设厂( 而) ，( 五) ，厂( 吒) 为y 的节点，且而，五，为这些 节点上的函数值，运用样条插值公式拟合函数g ( j ，) ，进而获取y = 0 时的函数值， 即为函数厂( x ) 的零点。 逆插值法已被国内学者成功的应用于视电阻率的计算【4 8 1 ，该计算方法步骤 如下所述。对公式( 3 4 ) 两边取绝对值可得， 阱等阱 定义 ( 3 7 ) c = ， ( 3 8 ) 二以 z ( p ) = p i c l ， ( 3 9 ) 可得 l 巨l = c z ( p ) ， ( 3 1 0 ) 公式( 3 1 0 ) 是场值对p 的函数，该式可以转换为函数z ( p ) 对p 的函数， 即用场值除以常数c 得到插值点处的函数值乙( 风) ，然后通过建立p 与函数 z ( p ) 的列表函数关系，在函数值为z o ( 岛) 处采用逆样条插值得到岛的值，即为 该场值所对应的视电阻率值。 逆插值法要求插值函数必须单调，否则会出现多解，所以在用逆插值之前， 必须检查该目标函数是否是单调吲4 8 1 。本文在用该插值法进行计算时，先根据 公式( 3 9 ) 检函数z ( 户) 是否是单调，通过计算，绘制出如下图形： 1 7 中南大学硕：l 学位论文第三章广域电磁法一维正演及视电阻率计算 图3 1 归一化电场曲线变化特征 从图中可以看出，函数z ( p ) 是单调的，这就从理论上具备了应用插值法的 前提，则对应的某一个z ( p ) ，可以使用逆样条插值法得到其对应p 值，从而求 出整个频段上的广域视电阻率值，最后绘制出相应的广域视电阻率曲线。广域视 电阻率算由场值直接参与计算，未作任何极限假设，对近区、过渡带和远区都适 用。 3 4 广域电磁法一维正演算例分析 3 4 1 广域电磁法理论曲线分析 在下列各图中，上为双极源的长度，“= 肛岛，肛为第f 层介质的电阻率， u = 历j i l i ，曩为第f 层介质的厚度。所取地电参数：双极源= 1 0 0 0 m ，供电电 流，= 1 0 么，第一层介质的视电阻率n = l o q m ，第一层介质的厚度| j l l = 1 0 0 0 所。 频率范围为1 0 - 4 1 0 2 h z 。a 为第一层介质中的波长，丑= 、1 0 7 岛厂，它不仅与 电磁场的频率有关，还与第一层的电阻率有关。 图3 2 为h 型模型广域电磁法理论曲线，从图3 2 中我们可以看出，每条测 深曲线的首支都能较好得反映第一层电阻率，收发距越大，尾支越能趋近第三层 的真电阻率。当第二层厚度有限( v ， 3 ) 时，随着第二层厚度的加大，中间低阻凹陷的幅度变大，影 响的频段变宽，对中间低阻层的反映更加明显。 中南大学硕士学位论文第三章广域电磁法一维正演及视电阻率计算 a 、 4 1 0 1 0 0 1 0 2 _ _ - 。- ：1 1 2 = o 1 ，如= l ，v 2 = o 2 r + r ，l = 3