人教A版数学选修2同步导学精品第二章推理与证明ppt课件

第二章,推理与证明,22直接证明与间接证明,23数学归纳法,自主预习学案,数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明_,当nk1时命题也成立,1用数学归纳法证明12(2n1)(n1)(2n1)时，在验证n1成立时，左边所得的代数式是()A1B13C123D1234解析当n1时，2n12113，所以左边为123故应选C,C,B,B,互动探究学案,命题方向1数学归纳法的基本原理及用数学归纳法证明恒等式,典例1,规律总结用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从nk到nk1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明nk1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝nk1证明目标的表达式变形,C,B,命题方向2用数学归纳法证明不等式,典例2,规律总结用数学归纳法证明不等式和证明恒等式注意事项大致相同，需要注意的是：(1)在应用归纳假设证明过程中，方向不明确时，可采用分析法完成，经过分析找到推证的方向后，再用综合法、比较法等其他方法证明(2)在推证“nk1时不等式也成立”的过程中，常常要将表达式作适当放缩变形，以便于应用归纳假设，变换出要证明的结论,命题方向3用数学归纳法证明整除问题,求证：an1(a1)2n1能被a2a1整除，nN*，aR思路分析证明整除性问题的关键是“凑项”，即采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出nk时的情形，从而利用归纳假设使问题得以解决证明(1)当n1时，a11(a1)211a2a1，命题显然成立(2)假设当nk(kN*)时，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，则当nk1时，ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1(a1)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1由归纳假设知，上式能被a2a1整除，故当nk1时命题也成立由(1)、(2)知，对一切nN*，命题都成立,典例3,规律总结用数学归纳法证明整除问题时，首先从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除其中的关键是“凑项”，可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法分析出因子，从而利用归纳假设使问题得到解决利用数学归纳法证明整除问题，由归纳假设P(k)能被p整除，证P(k1)能被p整除，也可运用结论：若P(k1)P(k)能被p整除P(k1)能被p整除或利用“P(k)能被P整除，存在整式q(k)，使P(k)Pq(k)”，将P(k1)变形转化分解因式产生因式p,例如本题中，在推证nk1命题也成立时，可以用整除的定义，将归纳假设表示出来，假设nk时，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，则ak1(a1)2k1(a2a1)q(a)(q(a)为多项式)，所以(a1)2k1(a2a1)q(a)ak1，所以nk1时，ak2(a1)2k1ak2(a1)2(a1)2k1ak2(a1)2(a2a1)q(a)ak1ak2(a1)2(a2a1)q(a)(a1)2ak1(a1)2(a2a1)q(a)ak1(a2a1)，显然能被a2a1整除，即nk1时，命题亦成立,跟踪练习3求证：当n为正奇数时，xnyn能被xy整除证明(1)显然，当n1时，命题成立，即x1y1能被xy整除(2)假设当n2k1(kN*)时命题成立，即(xy)能整除x2k1y2k1，则当n2k1时，x2k1y2k1x2x2k1x2y2k1x2y2k1y2y2k1x2(x2k1y2k1)(xy)(xy)y2k1，xy能整除(x2k1y2k1)，又xy能整除(xy)(xy)y2k1，(xy)能整除x2k1y2k1由(1)、(2)可知当n为正奇数时，xnyn能被xy整除,由已知条件首先计算数列an的前几项的值，根据前几项的特点，猜想出数列an的通项公式或递推公式，利用数学归纳法加以证明是求数列通项的一种常见的方法,归纳猜想证明,设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1(n1,2,3，)(1)求a1，a2；(2)求Sn的通项公式，并用数学归纳法证明,典例4,规律总结数学归纳法源于对某些猜想的证明，而猜想是根据不完全归纳法对一些具体的、简单的情形进行观察、类比而提出的给出一些简单的命题(n1,2,3，)，猜想并证明对任意自然数n都成立的一般性命题解题一般分三步进行：(1)验证P(1)，P(2)，P(3)，P(4)，；(2)提出猜想；(3)用数学归纳法证明,跟踪练习4在数列an中，a12，an1ann1(2)2n(nN*)，其中0(1)求a2，a3，a4；(2)猜想an的通项公式并加以证明解析(1)由an1ann1(2)2n，将a12代入，得a2a12(2)224；将a224代入，得a3a23(2)22238；将a3238代入，得a4a34(2)233416,(2)由a2，a3，a4，对an的通项公式作出猜想：an(n1)n2n证明如下：当n1时，a12(11)121成立假设当nk(kN*)时，ak(k1)k2k，则当nk1时，ak1akk1(2)2k(k1)k12kk1(2)2kkk12k1(k1)1k12k1由此可知，当nk1时，ak1(k1)1k12k1也成立由可知，an(n1)n2n对任意nN*都成立,数学归纳法证明：2222n12(2n11)(n2，nN),未用归纳假设而致误,典例5,辨析错解中的第二步没用到归纳假设，直接使用了等比数列的求和公式由于未用归纳假设，造成使用数学归纳法失误正解(1)当n3时，左边2226，右边2(221)6，等式成立；(2)假设nk时，结论成立，即2222k12(2k11)，那么nk1时，2222k12k2(2k11)2k22k22(2k1)所以当nk1时，等式也成立由(1)(2)可知，等式对任意n2，nN都成立点评在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可其中，第一步是递推的基础，验证nn0时结论成立的n0不一定为1，根据题目要求，有时可为2、3等；第二步是递推的依据，证明nk1时命题也成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法,1某命题与自然数有关，如果当nk(kN)时该命题成立，则可推得n