（光学专业论文）混沌孤子在frenkelkontorova链中的传输研究.pdf

摘要 摘要 自然界中存在的各种体系，包括物理系统。化学系统，生物系统等各种系统，他们的运动 大多呈现非线性动力学行为。目前对于非线性问题的研究可以分为两大类：一类是非线性系统 中的相干结构，例如孤子。涡旋以及各种复杂的斑图现象，另一类是讨论系统的稳定性问题， 研究各种分岔激变以及由此导致的混沌和流现象。近二十多年来非线性科学的迅速发展，成 为跨学科的研究前沿本文主要研究混沌孤子在f r e n k e l k n l 所w a 0 ) 链中的传输性质。 本文第一章是绪论，介绍孤子的基本知识，孤子研究历史及研究现状 第二章，介绍s i n e g o r d o n 方程的解析解，f k 链的基本知识，判断混沌的方法并介绍本 文中研究孤子传输性质的方法一最大横向l y a p u n o v 指数和最大延迟关联函数 第三章，采用环形的f k 网络构造得到路径混沌的孤子，发现对于路径混沌的孤子由于其 传输路径的混沌性不是我们研究的重点考虑在孤子的解析解周期性的输入情形下，单个受扰 受驱动单摆的动力学行为，发现在合适的参数条件下可以得到波形混沌的孤子。将混沌孤子输 入到f k 链中，考察系统参数变化对于混沌孤子的传输影响 第四章，我们利用最大横向l y a p u n o v 指数来判断波形混沌孤子的传输是否是同步的再利 用最大延迟关联函数可以判断波形混沌孤子的传输是否稳定的，给出混沌孤子在两条f k 链中 不同传输情况对应的f k 链参数空间，并考察了系统参数变化对于混沌孤子同步传输和传输能 力的影响。 第五章，总结本文的研究成果，提出展望 关键词：孤子，f r e n k e l - k o n t o r o v a 链，同步，稳定，传输。 一丝墅丝 a b s t r a c t a l lt h es y s t e m si nn a t u l ei n c l u d i n gp h y s i c a ls y s t e m , c h e m i c a ls y s t e m , a n db i o l o g i c a ls y s t e m e x h i b i tn o n l i n e a rd y n a m i cb e h a v i o u r s t h es t u d i e so nn o n l i n e a rs y s t e m sm a i n l yc o n t a i nt w oa s p e n , o n ef o rc o h e r e n td y n a m i c 蚰m 船o f t h en o n l i n e a rs y s t e m , f o re x a m p l es u l i t o u s ，g y r e ，a n dc o m p l e x p a t e n , a n da n o t h e rf o rr e s e a r c h0 1 1t h es t a b i i i t yo fn o n l i n e a rs y s t e m , s u c ha sb i f u r c a t i o n , c a t a c l y s m , a n dt h e i ri n d u c e dc h a o sa n dt u r b u l e n c e i nt h el a s tt w od e c a d e s ，t h en o n l i n e a rt m d e r g o e sar a p i d d e v e l o p m e n t , a n di sh a sb e c o m ea ni n t e r d i s c i p l i n os u b j e c tt h i sp a p e rm a i n l ys t u d i e st h et r a n s m i s s i o n o f c h a o t i cs o l i m u si nt h ef r e n k e l - k o n t o r o v a ( f k ) c h a i n w ei n m ) d u c et h eb a s i cc o n c e p t s ，d e v e l o p m e n ta n dr e s e a r c ha c t u a l i t yo ns o l i t o n si nt h e 1 s t c h a p t e r i nt h e2 r i dc h a p t e r , w ei n f f o d u c et h eb a s i cc o n c e p t so fa n a l y t i cs o l u t i o n so ft h es i n e - g o r d o n e q u a t i o na n df kc b a j i l ，a n dt h em e t h o dt oj u d g et h ec h a o s w ea l s oi n 仃o d 啪t h em a x i m a lu 扣i s v e t s e l y a p u n o ve x i m ) n e = l l ta n dm a x i m a ld e l a y e dc o r r e l a t i o nf i m c i i 蛆m e t h o d si ns t u d y i n gt h et r a n s m i s s i o no f s o l i t o u s kt b e3 r dc h a p t e r , w e 峨f kr i n gt oo b t a i nc h a o t i cs o l i t o u sw h i c ht r a n s m i s s i o np a t hi sc h a o t i c s oi sn o to wr e s e a r c hf o c u s w er e s e a r c ht h ed y n a m i c so f t h es i n o ed r i v e nd a m p e d p e n d u l u mw i t ht h e c o n s i d e r a t i o no f t h es o l i t o u sm j e c t e da n do b t a i nt h ec h a o t i cs o l i t o u sw h i c hw a v e f o r mi sc h a o t i cw i t h t h ep r o p e rp a r a m e t e r s w ei n j c c tt h i sc h a o t i cs o l l t o n si n t ot h ef kc h a i n , a n dt h ee f f e c tt o t h e t r a n s m i s s i o no f c h a o t i cs o l i t o u sf r o mc h a n g i 丑gd i f f e r e n tp a r a m e t e r so f t h e s y s t e mi so b t a i n e d ht b e4 t hc h a p t e r , j u d g i l l gb yc o m p u t i n gm a x i m a lt r a n s v e r s a ll y a p u n o ve x p o n e n ta n dm a x i m a l d e l a y e dc o r r e l a t i o nf u n c t i o nr e s p e c t i v e l y , w ec a no b t a i nn o to n l yw h e t h e rt h et r a n s m i s s i o nw a s s y n c h r o n o u sb u ta l s ow h e t h e rt h et r a n s m i s s i o nw a ss t e a d y t h ep a r a n l e t e l 3a 啪o f f kc l i a l ni nw h i c h t h et r a n s m i s s i o no f t h es o f i t o u si nf kc h a mi sd i f f e r e n tt oe a c ho t h e ri so b t a i n e d , a n dw ea l s oc o n s i d e f t h ee f f e c tt ot h es y n c h r o n o u st r a n s m i s s i o na n dw a u s m i s s i o na b i l i t yo fc h a o t i cs o l i t o n sf r o mc h a n 百n g d i f f e r e n tp a r a m e t e r so f t h e s y s t e m i nt h e5 t hc h a p t e r , w ec o n c l u d eo u tr e s u l t s , a n db r i n go u rp r o s p e c ti nt h ef o l l o w i n gr e s e a r c l l k e y w o r d s ：s o l i t o u s ，f r e n k e l - k o n t o r o v ac b a i n 。s y n c h r o n i z a t i o n , s t a b i l i z a t i o n , w a n s m i s s i o n 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或 证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：习趑 日 期： 2 q q z ：1 2 ：5 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论 文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子 文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查 阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理。 i 研究生签名：毒阻导师签 第一章绪论 1 1 孤子的基本知识 第一章绪论 孤子1 1 - 3 1 ( s o l i t o 璐) 又称孤立波，是一种在传输中保持自己的形状，幅度，速度不变的行 波，从物理的角度上看，它的产生可以看作非线性方程中由非线性引起的脉冲挤压和由色散g 起的扩展相抵消的情况下而得到的；而从数学的角度上看，它是一些非线性偏微分方程的非奇 异解。 例如对于一个线性行波方程： u t 一群m = 0 舯u - - u ( x 帆= 署，该方程的觥 u 予u k ，其中u k - - - - u t oe x p i ( 院一c o t ) ，国= k 3 ，掰i o 是常数。每个分量的 相速度依赖于七： 譬= 后2 ，因此不同的分量以不同的速度传播，这种现象称之为色散，即一 彤 个由很多u k 组成的脉冲将随着传播而散开 而对于一个没有色散的非线性波而言： 坼+ l i z l x = 0 ( 1 2 ) 其具有形式解甜= f ( x c t ) ，c = 甜。可见脉冲的不同点的速度是不同的，在行波的前 部的速度慢，而行波的后部速度快，这就造成了在传输的过程中后面向前面挤压而变形。 那么对于一些特殊的具有色散的非线性方程，如果由于非线性引起的脉冲挤压和由色散g 起的扩展相互抵消，那么行波就可以保持一种永久的形状，这就是孤子 东南大学硕士学位论文 1 2 研究历史 孤子最早是由苏格兰科学家s c o t t r u s s e l l 在爱丁堡格拉斯哥运河上偶然观察到的。他在 英国科学促进协会第1 4 届会议报告上发表的论波动h 1 是这样记载的：。一条在狭窄河 道的船被两匹马拉着前进。突然，船停了下来，河道内被船体带动的水团并未停止，他们聚集 在船头周围激烈的扰动着，然后水浪突然呈现出一个长度约3 0 英尺，高约1 1 5 英尺的滚圆 而平滑的巨大孤立波峰，以每小时约8 9 英里的速度向前推进了1 2 英里，最后终于消失在逶 逸的河道中”。r u s s e l l 后来又在浅水槽中利用多种方式激发得到孤子并认为自己观测到了流 体运动中的一个稳定解，并称之为。孤立波”。这个是公认的关于孤立波的最早报道。但是他并 没有使得物理学界认同他的观点 1 8 9 5 年荷兰科学家k 虮e 一”和他的学生d ev r i e s 研究了浅水波的运动，并在取得长波近 似和小振动的前提下，建立了k d v 方程( 1 3 ) u t + u u z + 肛m = 0 ( 1 3 ) 并且求出了能够与r u s s e l l 描述一致的，即具有形状不变的脉冲状孤立波解。从而在理论上证明 了孤立波的存在。虽然孤立波解也得到了，但是孤立波的稳定性质还没有解决而且由于众所 周知的非线性方程不满足叠加原理，当两个孤立波碰撞后是否会被破坏? 因此虽然得到了孤立 波，但是由于对其是否稳定的担心，对于孤立波的研究并没有大规模的开展 而上述的孤立波是出现在流体力学里的，那么在其他领域是否也有类似孤立波的存在呢? 这同样是一个令人费解的问题。1 9 3 9 年f r e n k e l m l 和k o n t o r o v a 在研究固体物理中晶体位错动力 学与塑性形变的关系，有一个位错传播运动的方程 一2 s m u ( 1 4 ) 该方程后来在很多的问题中出现，包括铁磁畴壁的传播。非线性光学中的自感应透明，以 及磁通量子在长约瑟夫森( j o s e p h s o n ) 传输链中传播的研究中，后来被称作s i n e - g o r d o n 方程。这 说明在其他非流体力学的领域里同样存在着孤立波 1 9 5 5 年，物理学家f e r m i , p a s t a , u l a m f i 将很多个相同的质点用非线性弹簧连接起来得到非 线性振动，在初始时刻时能量全部集中于某个质点上，期望得到在相当长的时间后，按照经典 的理论的认为，非线性作用能够使得能量均分，各态历经的现象出现，但是令人意外的是，在 经过相当长的时间后，几乎全部的能量又返回到了初始时的分布这就是著名的f p u 问题，由 于当时是在频域空间内研究此问题，故没有发现孤立波的存在这个问题在后来t o d a e 。】研究与 2 第一章绪论 之类似的问题一晶体中非线性振动一得到了孤立波解，该现象才得到了解释。这也激发起了人们 进一步了解孤子问题的兴趣。 研究发现类似与液面上的传输，孤子同样可以在等离子体内传输，并确立了在强磁场中等 离子体方程和浅水波方程的明显相似性，从而得到了k d v 方程的普遍物理特性。而k d v 方程 在以后的研究中被证明了可以描写冷等离子体磁流体波的运动：非谐振晶格的振动；等离子体 离子声波：弹性杆中纵向色散波：液、气两种混合态的压力波：管底下部流体的转动；低温下 非线性晶格声子波包的热激发等。与此同时，在非线性光学中的研究得到了非线性薛定谔( n l s ) 方程。非线性薛定谔( n l s ) 方程可以用来描述流体短波和小振幅极限方程，光纤中孤子传输 方程和光波自聚焦方程 1 9 6 2 年，物理学家p e r r i n g , s k y r m e 9 1 研究了关于基本粒子模型的s i n e - g o r d o n 方程，得到 该方程孤立波解的解析解，并发现该解析解具有弹性碰撞的特点。即碰撞后两个孤立波解也保 持有原有的形状和速度。s i n e - g o r d o n 方程在相变问题，晶格缺陷，自感应透明，自旋传输，铁 磁体的b l o c h 墙，超导j o s e p h s o n 结，超离子导体，电荷密度，表面外延等方面都有表现。 1 9 6 5 年，美国物理学家k r u s k a l , z 曲嘶用数值模拟方法研究了等离子体中孤立波碰 撞的非线性相互作用过程进一步证实了孤立波相互作用后不改变波形的论断。由于这种孤立 波具有类似与粒子碰撞不变的性质，他们命名这种孤立波( s o l i t a r yw a v e s ) 为孤立子( s o l i t o n s ) 。 从这以后，在许多的物理模型中都相继发现了这种碰撞后不变形的稳定的孤立波的事实，对于 孤子的研究开始日益蓬勃了起来，掀起了对孤子问题研究的热潮，并逐步形成了较为完整的孤 子理论，到今天孤子问题一直是科学研究的热点同样是在1 9 6 5 年，对于在光学中的孤立波现 象的研究也开始了，白聚焦空间孤子和非线性介质波导中的传输孤子相继被发现。这里孤立波 指的是一种包络孤波，在满足一定的条件下，可以不失真的传输，并且可以像粒子那样在碰撞 后保持自己的形状不变，被称作为光孤子 1 9 7 3 年，a h a s e g a w a , f t a p p e 一“】研究发现了无损耗光纤介质中的光场包络满足非线性薛 定谔( n l s ) 方程，在反常色散区存在亮孤子而在正常色散区存在暗孤子此后，在1 9 8 0 年 b e l l 实验室的e m o l l e n a u e r e l 2 1 等人第一次用实验证实了用人工方法可以在光纤中产生光孤子脉 冲，1 9 8 1 年a j h s e g a w a , k o d a m a l l ，】提出可以用光纤孤子作为信息载体进行信号传输的设想。这 些研究让人们看到了光孤子应用的前景，从此开始了研究光孤子通信的热潮。 目前，孤子理论已经广泛地出现在物理，天文，生物等领域中在目前已经发现有孤子现 象的系统包括1 1 1 ：星系中的密度波，木星的大红斑，非线性光学介质中的光波波思一爱因斯坦 凝聚态里的物质波，超导j o s e p h s o n 结，d n a 双链系统等等 3 东南大学硕士学位论文 1 3 研究现状 对于孤子的研究使得人们对进一步利用孤子充满了好奇与渴望，而光孤子在通信方面的 巨大应用价值和潜力又促进人们更进一步研究不同孤子的动力学行为。目前。对于孤子的研究 主要是研究孤子的动力学行为1 1 4 - 3 2 j ，包括孤子之间的互作用，混沌孤子的动力学行为，孤子在 链中的传输，混沌孤子的控制等等方面而利用混沌信号驱动复杂非线性网络的同步稳定性研 究已在不同领域中展开口”并有人考虑了混沌系统同步在通信上的应用眇删。我们注意到目前 对于混沌孤子在一端自由的链状f k 模型中传输性质研究尚未被涉及。而且在两条全同f k 链中 混沌孤子的同步性质也没有人研究过，这些正是本论文研究的重点通过研究这些问题，我们 相信下面一系列的问题将会得到解答：混沌孤子在f k 链中怎样传输的? f k 链中参数对于混沌 孤子的同步传输和稳定传输影响分别是什么? 怎样才能使得混沌孤子在f k 链中同步稳定的传 输? 而随着这些问题的解答，我们将会进一步了解混沌孤子传输性质及在。j o s e p h s o n 链中混沌 v o r t e x 的传输问题。 4 第二章基础知识介绍 第二章基础知识介绍 2 1s i n e g o r d o n 方程 s i n e - g o r d o n 方程首先是出现在微分几何中，一个负常曲率曲面对应与s i n e - g o r d o n 方程的 一个非零解。s i n e - g o r d o n 方程的形式为： “h 一2 s i l i u ( 2 1 ) 方程( 2 1 ) 有如下几种形式的基本孤子解- 其中x 是孤子坐标，c 是孤子传输速度而是 孤子坐标原点 1 k i n k 解 。 口：4 t a n - l e x p ( 石一c t 一而) 而】) ( 2 2 ) 2a n t i k i n k 解 甜：4 t a n 一 c x p 一( x c t x o ) l i j i 二i 孬】) 。：3 ) 3b r e a t h e r 解 u = 4 t a n 一1 ( t a n a ) s i n ( c o s d ) ( f 一如) 】s e c 研( s i n 口) ( x 一而) 】) ( 2 4 ) 其中的，t o ，a 是常数 甜：4 锄- l 堂型鹄 。：5 ， c o s h c t 、 ( 1 一c 2 ) 】 “ 图示2 1 ( a ) ，分别表示k i n k 解和m i t i k i n k 解，k i n k 和a n t i k i n k 都是孤子解具有孤子的一 东南大学硕士学位论文 u 2 万 。厂 j ( a ) x u 1 2 万 o 圈2 1 ( a ) k i n k ，彻t i k i n k 2 2f r e n k e l k o n t o r o v a 链 ) x 对于一个物理模型来说，其重要的性质就是这个模型的简单性和通用性。简单性可以使得 物理学家能够方便的去研究其本身的物理特性而不必过多纠缠于其复杂的数学性质上，而通用 性是指这个模型可以去描述很多不同的物理现象。由于这种物理模型能够在一种简单的形式下 描述众多的物理现象而引起物理学家广泛的注意，其最简单的例子就是一个单摆模型，它包含 不同物理模型的基本性质，出现在很多的物理研究中并且有着极为简单的形式 1 9 3 9 年物理学家f r e n k e l 和k o n t o r o v a 在研究缺陷周围晶体的结构和动力学行为的时候，分 别独立的引入了一个简单的一维物理模型：许多简谐耦合的粒子构成的链置于一个周期外势场 中，粒子问作用是最近邻的相互作用。这个模型无论从结构上还是从作用势的形式上都做到了 最简单，且保留了尺度竞争的精髓一一粒子间的间距和外势场的周期。f k 模型可以描述超离子 导体。捧挤子，位错动力学，电荷密度波和公度非公度相变等现象 图2 2 是f r e n k e l - k o n t o r o v a 链( f k 链) ，将许多个受扰受驱动的单摆用弹簧连接起来，这 就是f k 链的物理模型”。 妯 盯 j c 。，一 x 固 n 圈2 2f r e n k e l - k o n t o r o v a 链的物理模型 6 第二章基础知识介绍 对于f k 链中单个的受扰受驱动的单摆而言，其动力学方程是 争= 一b i 加。一口鲁十f c o s ( 矾) ( 2 6 ) 其中u 。是第n 个振子的位相，k 是基势场的强度，口是衰减系数，f 是驱动强度，是 驱动周期。目前对于单摆方程的非线性动力学研究已经很透彻，我们知道在口和f 取某些值的 情况下，会出现混沌现象，这将在第三章中具体介绍 对于由n 个振子组成的f k 链动力学方程，我们考虑振子即单摆之间的互耦合作用( 最近 邻振子问的相互作用) ，取耦合强度为，并且考虑到f k 链中的第一个振子只受第二个振子的 耦合作用，最后一个报子只受前一个振子的耦合作用那么对于整个f k 链上的振子有动力学 方程为： 争= 船m n 一专+ 融( 政) + y ( 一q ) ，n 一 争= - r , s 砜一专+ 髓( 州+ ，( + - 2 * u d ) ，n = z ，n 一，。： 争= 趣一噜+ 胁( 磺) + ，( 一u n ) ，n - n 其中k ，u 。，口，f ，参数定义同( 2 6 ) 式中定义相同- n 是振子数目在下文的研究中， 如不特殊说明。均取k = 1 国= 0 0 4 7 r 。 如果我们要将f k 链改变成f k 环，即第一个振子与最后一个振子是连接的，那么就要取得 环形边界条件：u 州2 1 l j + 2 石( 1 ) 2 3 混沌概念和判定方法 混沌是指确定性非线性动力学系统的无规行为或者内在的随机性，混沌不是噪声，而是对 初值条件极其敏感的有序的非周期运动有序指的是动力学方程是确定的，而非周期指的是其 运动行为随着时间的增长会出现指数发散，不具有可预测性混沌运动通常出现在某些耗散系 统，不可积哈密顿系统和非线性离散映射系统中，它是一种不稳定的有限定常活动，局限于有 限区域但轨道永不重复，也被描述为具有无穷大周期的周期活动。混沌活动具有有界性，遍历 性，内随机性，分维性，标度性，普适性和统计特征等特点在第三章对于受扰受驱动单摆的 7 东南大学硕士学位论文 分析中，我们将会看见混沌运动和一般周期运动之间在单摆位相的时间序列和单摆的相图上表 现出的区别。 目前对于混沌的研究可分为定性和定量两大类。其中定性的方法有直接观测法，分频采样 法庞加莱截面法和重构相空间法。定量的方法有李雅普诺夫( 1 y a p u n o v ) 指数分析法和自功 率密度分析法。除了上述的基本方法以外，还有其他分析混沌的方法，如分形维数分析法，测 度熵密度分析法。在实际应用中，常常不是单纯的使用某一种方法，而是将定性和定量的方法 结合起来，以获得更好的结果。在这里我们介绍李雅普诺夫指数方法 为了定量刻画在混沌系统中相邻的两点相互分离的快慢，人们引入了l y a p u n o v 指数。假设 在相空间中初始点为而，相邻点x o + 在一维空间中，舐是刀维的。在f = t o 时刻，以而 为中心，瓴，f o ) 为半径做n 维超球面，由于在各个方向上的收缩或扩散程度不同，随着时间 的演化在t 时刻。该行维超球面将变形为1 1 维超椭球面。此n 维超椭球面的第f 个坐标轴方向 的半轴长在f 时刻是出( ，r ) ，则l y a p t m o v 指数三的第f 分量为 ( 2 8 ) 三的一个分量分别表示轨道沿各自方向的收缩或者扩散的快慢程度。按照数值大小排列 厶岛厶一i 厶，即李雅普诺夫谱。其中最大的厶被称作为最大l y a p u n o v 指数 ( m a x i m a l l y a p u n o v e x p o n e n t ) 对于混沌运动来说，至少有一个l y a p u n o v 指数大于零。如l o r e n z 系统在参数为8 = 1 6 ，r = 4 5 9 2 ，i t - 4 0 时处在混沌态，其l y a p u n o v 指数为( 2 1 6 ，0 0 0 ，- 3 2 4 ) ， r o s s l e r 系统在参数a - - 0 1 5 ，b = 0 2 ，萨1 0 0 时处在混沌态，其l y a p u n o v 指数为( o 1 3 ，o 0 0 ，1 4 4 ) 。 因此，我们只需计算出待判断系统的m l e 是否大于零，就可以判断出这个系统是否处在混沌态 2 4 最大横向l y a p u n o v 指数 同步现象广泛存在于各种物理，化学生物系统，以及一些社会系统之中因此，深入研 究同步现象极其产生的机理有着重大的理论意义和重要的应用价值在非线性科学中，起初由 于混沌系统对初始条件极端的敏感由相差很小的不同初始条件所引发的两条轨迹将按指数迅 速分离因此人们认为混沌系统之间不可能保持同步。但在1 9 9 0 年，美国科学家p e 撬c m t o l l p o ! s 第二章基础知识介绍 提出了混沌系统能够同步即混沌同步( c h a o ss y n c h r o n i z a t i o n ) 思想。这打破了混沌系统不能同 步的思想，从而使人们对同步的理论有新的认识。近十年来，借助于控制和其它领域的一些理 论和方法，在混沌系统同步的基础上不断完善混沌同步的理论。并提出了各种混沌同步方案。 到目前为止，有关混沌同步的理论、方法以及同步用于混沌通信的研究仍然是混沌领域研究的 重要内容。对于混沌信号在不同链中的传输，在非线性动力学中，我们要考虑不同的链在混沌 信号传输情况下是否是同步的。如果是同步的，那么混沌信号的传输就是同步的。混沌信号传 输同步指的是混沌信号在不同链中的传输是否是同时的，是否会出现混沌信号在一条链中的传 输时间大于另一条链的传输时间。 在本文的研究中，判断在外界混沌信号输入情况下的两条f k 链是否同步可以用两种方法： 1 ，同步误差。将混沌信号输入到两条f k 链中，随着时间t 的演化，将两条f k 链中相应 振子的位相时间序列相减，若在某个时刻t p 二者之差趋于0 ，那么在t p 时刻以后的任意时 刻，两条链的相应振子均具有相同的位相，这表明此时( t 。) 上述两条f k 链中的位相己获得 同步，t l 。就是同步时间本论文中取误差范围精度是1 矿，即同步误差小于1 0 4 就视作两条 f k 链中的混沌孤子信号己同步这种方法的好处在于可以表示出同步时间t l 。的值，但是缺 点在于不够精确，因为对于可能出现的混沌间歇性同步来说，会在我们计算的时间内恰好两条 f x 链中相应振子的位相时间序列差为零，但是却在稍后的一段时间内不为零，因此这种计算方 法有它的局限性。 2 ，横向l y a p u n o v 指数( t r a n s v e r s a ll y a p u n o ve x p o r t e r ) 。横向i y a p m o v 指数是衡量非线性 网络中混沌同步的一个重要方法，相比于同步误差的方法，计算横向l y a p l m o v 指数更能够反映 两个系统的同步趋势。设f k 链中振子n ，n 的初始位相差为a u 。( 0 ) ，经过时间t 演化为 a u ( f ) ，u 。( o ) - 与a u 。( f ) 之间存在如下关系： a u 。( t ) = a u 。( 0 ) e 即 ( 2 9 ) 乃就是横向l y a p t m o v 指数( t l e ) 。根据式，当乃 0 ， 单摆的运动表现出混沌行为；右下方标示n o n - c h a o s 区域表示单摆的最大l y a p u n o v 指数 五h 0 ，容易出 现混沌行为 图3 2 0 一参数空间中最大1 y a p w 指教的分布 由图( 3 2 ) 取参数f = 0 4 ，口= o 1 ，对应最大l y a p m m v 指数五h 0 图3 4 是混沌情 况下的单摆的时间序列和相图。此时的单摆位相时间序列表现为随机的震荡，而相图不是一条 稳定的曲线，这表明单摆在同一位置处对应的运动速度并不确定，单摆运动显示出混沌的行为。 图3 4 混沌单摆位相时间序列( 左图) 和相田( 右图) 在第二章第- - , j , 节中已经给出了孤子k i n k 和a n t i k i n k 的解析表达式，见式( 2 2 ) 和( 2 3 ) 。 如果我们取输入周期t = 5 0 0 ，传输速度c - - - 0 1 ，将周期性k i n k - a n t i k i n k 图示如下( 图3 5 ) ， 圈3 5 周期性的k i n k - a n t i k i n k 在考虑单个受扰受驱动单摆的动力学行为后，我们将( 图3 5 ) 所示的k i n k - a n l i k i n k 输入到 此单摆中取k i n k - a m i l d n k 信号到单摆中的耦合强度为乃，则有周期性k i n k - 锄d k i l l l 【输入的受 扰受驱动单摆方程如下： 1 5 东南大学硕士学位论文 孑d 2 u = 一x s i n 一害+ 名c o s ( 酬) + 乃( u 一u ) ( 3 4 ) 我们选择不同的耦合强度 考察受扰受驱动单摆在不同的耦合强度万下输入 k i n k - a n 6 k i n k 的动力学行为当 分别等于0 1 5 ，0 2 0 3 - 0 5 时，在和参数范围内的单 摆的最大l y a p u n o v 指数分布如图3 6 所示。 图3 6 在不同耦舍强度虹止血吐i 蛐口k 输入下受扰受驱动单摆一咋的最大i y a p u n o v 指教，( i ) ，( ”，( c ) ，( d ) 图中的 分别等于0 1 5 ，0 2 ，o 3 - 0 5 其中( d ) 图上给出了色度与最大l y a p u n o v 指教对应的标尺 将图3 6 与图3 2 比较，可见在输入周期性的k i n k - a n t i k i n k 后，受扰受驱动单摆的动力学行 为发生了很大的改变以黑线为界，左方深色区域表示单摆的最大l y a p u n o v 指数五h 0 ，单 摆的运动表现出混沌行为；右方浅色区域表示单摆的最大l y a p u n o v 指数五h 0 ，单摆的运动 是确定的，没有表现出混沌行为产生混沌的c 一参数由原来的在耳较大和较小，且主 1 6 第三章混沌孤子的动力学研究 要取决于的边缘区域转变成取决于：只要足够小，那么无论乓的取值为多少，单摆都 处在混沌态对于图3 6 ( c ) ，取参数弓= o 0 0 5 ，= 0 o l ，此时单摆处在混沌区域内画出单 摆的位相时间序列图( 图3 7 ) ，可见单摆的位相完全表现出k i n k - a n t i k i n k 的形态并且是波形混 沌。判断这里的k i n k - a n t i k i n k 是否是混沌，我们还用了画出其时间间隔分岔图( 图3 8 ) 的方法 判别：在某个时刻t 时取出单摆位相值，然后在t + n t ( n = 1 , 2 ，。n ) 时刻再次取出单摆位相值，如 果k i n k - a n t i k i n k 是周期的，那么n 次取出的单摆位相值应该相同。否则k i n k - a n t i k i n k 就是混沌 的，并且是波形混沌。由图3 8 可见与用计算最大l y a p 哪指数的方法得到的图3 6 ( c ) 中结 果一致，证明参数耳= o 0 0 5 ，= o o l 时k n k - a n t i k n k 是混沌的- 这里要指出的是我们已经计 算过在不同的耦合强度 下，取f p 和使得单摆处在混沌区域内，都能够得到与之类似的结 果 圈3 8 耦合强度 却3 时受扰受驱动单摆的时间间隔分岔图 1 7 东南大学硕士学位论文 综上所述，我们首先考虑单个受扰受驱动单摆的动力学方程，得出其混沌参数范围，并进 一步研究了在不同的耦合强度 下周期性输入k i n k - a n t i k i n k 到单个受扰受驱动单摆的动力学行 为并得到了这种情况下单摆处在混沌区域内的参数范围。故我们可以利用这种方法在选择合适 的参数条件( 这里取 = o 3 ，f p = o 0 0 5 ，口p = o 0 1 ) 下，使得输入周期性k i n k - a n t i k i n k 到受扰 受驱动单摆中产生混沌的k i n k - a n t i k i n k 。而混沌k i n k - a n f t k i n k 是波形混沌，其传播的路径并不混 沌，就是说它的传输方向是一定的，故在信号传输方面有着潜在应用的意义，因此它在f k 链 中的传输性质也就是我们这篇论文研究的重点。 3 3 3网络参数对于混沌k i n k - a n t i k i n k 的传输影响 通过上一小节的研究，我们得到了波形混沌的k i n k - a m i k i n k 我们首先将其输入到一条f k 链中，考虑网络中不同参数对于其传输的影响。网络构型如图3 g 所示 12n k i n k - a n t i k i n k f kc h a i n 圈3 9 虹出锄龇输入到单摆去驱动一条雕链的网络构型 图3 9 中，为f k 链中振子问的互耦合强度。 为k i n k - a n t i k n k 输入到单摆中的耦合强度， 托为混沌k n k - a n t k n k 输入到f k 链中的耦合强度，振子数= 5 0 。f k 链的动力学方程如下， 其中各个参数同( 2 7 ) 式相同 i 争= 掘u 一哮+ e 懿( 刎+ 丌一) + 尼岵蜘飞) ，n = l 争= 埯砜一寺+ 陆( 缸) + 以+ 之) ，n 一夸；n 一旺， i 争= 讽一哮+ 风( + “一u 1 1 ) ，n n 1 8 第三章混沌孤子的动力学研究 示的需要，在第n 个振子的位相上加上常数n 1 ，这样就可以将不同振子的时间序列清晰的表示 出来，如图3 1 0 所示。在图示中，我们已经略去了初始时刻t 4 0 0 的瞬态点。 i c 一- 一_ 一_ k e = = 一 7 一，一一 i = h # 一一二一i ，- 二一一r t 一一= 一 、- 一。 一一 l 一一一。一一 一 一= ： 一 ：一： 一： h= =： * 一一= ：= ：一一一 ：= = = l 一一一，一一 一一一一一。一一一一一一 ：。：1 - 一一- 一- _ u 一一一一一一，一一 圈3 1 0 不同口值时，n ( 链中第1 个振子到第5 0 个振子的位相时间序列( 圉( a ) ( ”，( c ) 中，口的值分别为 口= 0 1 5 ，0 0 5 ，0 1 0 ) 其它参教：f = o 0 5 ty - l o ， z n 3 兄= l o 从图3 1 0 中可以得出结论：衰减系数口对f k 链中传输的混沌k i n l 【- a n t i k i n k 的作用是阻碍其传 东南大学硕士学位论文 输。当口= o 1 5 ( 图3 1 0 ( a ) ) ，混沌k j n k - a n t i k i n k 在传输到最后一个振子前就衰减消失了当口= 0 0 5 ( 图3 1 0 ( b ) ) ，混i 屯l d n k - a n t i k i n k 能够传输到最后，并在最后一个振子处反弹，向后传输一段距 离消失。当1 2 = o 1 0 ( 图3 1 0 ( c ) ) ，混湘c i n k - a n t i k j n k 传输到最后一个振子处消失。可见，随着口 的增大，混沌k i n k - t i 】( i n k 所能传输的距离会变小，但是如果o r 很小，又会造成混沌k i n k - a n t i k i n k 在最后一个振子处的反弹，从而造成波形的变化。 利用相同的方法考虑不同的驱动强度f 对于混沌k i 出6 k i l k 传输的影响，如图3 1 l 所示。 可见随着f 的增大，混沌孤子由稳定传输到最后趋向于在最后一个振子处振荡反弹而波形剧烈 变化，所以f 的取值不能太大 a ) 一+ 一。一一一 二一 ：二 ；：= # ：t 。一 m # 一二一= 一 一二t j j j 二 l 二一二一= i 一一二二一t - t 一一 。 - 一t。 - 一- = ；二一兰 。二j = 一二一：暑二二二一= = 二一二二：三；：二一一二二一三三； ：- - - + 一= 一二：一二二。= ：= ；一二；一一 ；+ 一 一一i 妄一一一 己。二：二= 一 二一，二二二一# ：二= 一：一二二，一二二= 一= = 二2 = = 二= 一一= = 禽萎i 三垂三薹；摩2 2 差。 一一一一 一三一 一一一一一一一 一 一一 一一一* 一 _ _ 。一。一- t 第三章混沌孤子的动力学研究 图3 1 1 不同p 值时，f k 链中第1 个振于到第5 0 个强子的位相时间序列( 图，( b ) ，( c ) 中，f 的值分别为：f = o 1 0 ， 0 2 0 ，0 3 0 ) 其它参敦：口昌o 1 ，2 1 0 ， 置o 3 ，托l o 考虑f k 链中不同的互耦合强度，对于混沌k i n k 此i n k 传输的影响，如图3 1 2 所示 ；三i 一 9 1 = = = = ； o _ _ 一j o f j 一- 一= 。：ji 一一一 二：2 一。一j ：j j t 。 j 一一二：j = 二一：二 一二j 一二jz 二t 主 l 一一一一一一，一 i ：i ；蒙一。一、1毫兰秀茎三一季 基至兹兰雾邕再 警。一2 ：一、- - ” 一 一。 一 2 l 东南大学硕士学位论文 a 一 ? 一一一j 一一一t 二，二一! 二三三一，= 。y ：一 一一一一：一= e 1 3 一二一三一二一蓍一蔓；垂：薹 。紊一 三二一 量荔童三二1 一二二蔓j 誊。一= = 三莎j 一，二一圣j 二三 ；! 一一；三；一一；一一j ：；三；一；一。= = = 巴；二- 一一二= 二三壬三；一一一= ；二工z 一一一三一一一：三 一一t = z ；：二_ 一一一一? 一一 一j 一一l ：一一一一+ ；i 基i