（应用数学专业论文）一类反应扩散方程的cauchy问题的整体弱解.pdf

哈尔滨t 程大学硕士学何论文 摘要 本文将考虑以下一类反应扩散方程的c a u c h y 问题： 一幽= ”1 l u l p l 甜一“，x er n , te ( 0 ，丁) ， 彭g ，o ) = 掰。g ) o , x e r ” 本文主要分三个方面； 首先，介绍了位势井，通过对位势井的推广，引进了位势井族 其次，利用位势井族方法研究了方程的c a u c h y 问题的整体解的存在性、 不变集合和解的真空隔离以及临界初值问题，给出方程解存在的门槛结果 最后，讨论初始条件改变时的解的存在情况以及在一定边界条件下解的 有限时间b o w u p ，并研究了整体解的渐进性质 关键词：反应扩散方程；整体解；存在性；爆破；位势井族 哈尔滨下程人学硕十学何论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h ec a u c h yp r o b l e m so fac l a s so f r e a c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o n s ： 甜。一”= i “l p 甜l “1 9 一“一“，x r n , le ( 0 ，丁) ， z ，g ，o ) - - o g ) o ，x r “ t h i st h e s i sm a i n l yc o n s i s t so ft h r e ep a r t s ： f i r s t ，t h i sp a p e ri n t r o d u c e st h ep o t e n t i a lw e l l b yu s i n gt h e p o t e n t i a lw e l lm e t h o d ，af a m i l yo fp o t e n t i a lw e l l sa r eg i v e n t h e n ，c a u c h yp r o b l e mi ss t u d i e db ym e a n so ft h ef a m il yo fp o t e n t i a l w e l l s a n dt h ek n o w nr e s u l t sa r eg e n e r a l i z e da n di m p r o v e de s s e n t i a l l y w eo b t a i nat h r e s h o l dr e s u l to fg l o b a le x i s t e n c e l a s t ，w ed i s c u s st h ec a s et h a tt h e i n it i a lc o n d it i o ni sc h a n g e d a n dw eh a v et h eb l o wu pp h e n o m e n o no fs o l u t i o n sf o rag i v e nb o u n d a r y c o n d i t i o n l a s tw es t u d yt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o l u t i o n s k e y w o r d s ：r e a c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o n ；g l o b a ls o l u t i o n ； e x i s t e n c e ；b l o w u p ：p o t e n t i a lw e l l s 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导下， 由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文献的引用 已在文中指出，并与参考文献相对应。除文中已注明引用的内 容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表的作品 成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承 担。 作者( 签字) ：皇衣， 日期： 上眈艿年多月7 日 哈尔滨工程人学硕l j 学位论文 第1 章绪论 近二十年来，反应扩散方程的研究日益受到重视，这是因为反应扩散方 程涉及的大量问题来自物理学、化学和生物学中许多的数学模型，比如化学 物质在搅拌情况下参与化学反应，多种生物群体生活在一起时，其繁衍、捕 食等过程也可用反应扩散现象来类比，因而有较强的实际背景；另一方面， 在反应扩散方程的研究中，对数学也提出了许多挑战性问题，因此引起愈来 愈多的人的注意 1 1 反应扩散方程及其c a u c h y 问题 反应一扩散过程是在生物、化学、物理学中常见的自然现象，而研究这 种现象首先对各种各样的类似于反应扩散系统的研究中归纳出的数学模型， 在实际的具体事实中得到广泛的验证和证实并且通过对数学模型的研究，还 可以预言在相应的实际过程中各种密度的分布情况，以及各自的发展变化情 况并可以预言各个发展过程中的相应的稳定状态和不稳定状态的分布关系 通常在数学上把以下半线性抛物方程 罢= d g ，“) 甜+ 厂g ，“，g r a d u ) ，g ，f ) q 尺”， o t 称为反应扩散方程，其中q r ”，以，m 1 一个偏微分方程通常有无穷多个解，而考虑到实际的物理背景，方程的 解必须满足事先给定的条件叫做定解条件，配备了定解条件的方程的解的问 题分两种：c a u c h y 问题和初边值问题c a u c h y 问题首先是在常微分方程理论 中引入，初值问题指的是求已知的微分方程在初始点处，满足适当的给定初 哈尔滨下程大学硕 ：学位论文 始条件的解的问题，以两个自变量的二阶偏微分方程为例，来叙述c a u c h y 问题，考虑自变量为x 和y 未知函数为“的二阶偏微分方程，假定这个方程能 够把甜用显式解出来，即它能够表示成为下列形式： 甜= p ( x ，y ，甜，“，甜，甜。，“) ， 设在某个值y = y 。上，给定了未知函数与未知函数关于y 的初始值 f “g ，y 。) = f ( x ) 1 甜y g ，) = g g ) 求方程在初始值条件下的解的问题称为初值问题，在初值问题中，初始值通 常指的是在y = y o 上给定不是必要的，它们可以在x - y 平面上的某曲线如上 给定，这时定解问题称为c a u c h y 问题，而不称为初值问题，虽然两个名称实 际同义 1 2 整体解的相关问题 非线性问题的解往往是不能直接求得的，通常对解的能量估计的基础上， 再利用相应的线性奇次方程的解在t 专佃时的衰减性质，并将两者有机地结 合起来，就可以在一定条件下对小初值的情形得到经典解的整体存在性而证 明了某些非线性发展方程初边值问题整体解的存在性后，决不能说明，该非 线性发展方程在任何定解条件下的解都存在整体解，而有大量的非线性发展 方程的定解问题在某些条件下不存在整体解，而且若存在局部解，局部解的 某种模也在有限时间内趋于无穷大，即非线性发展方程的c a u c h y 问题的整体 古典解通常只能在时间f 的一个局部范围存在，即使对充分光滑甚至还充分小 的初值也是如此，相应地，解在有限时间内失去正规性，而产生奇性，或者 2 哈尔滨下程人学硕l 学位论文 说，解或解的某些导数的模当t 专t ，时趋于无穷，这一现象称为解的b l o w u p 上世纪六十年代，f u j i t a 在文献 5 中研究了抛物方程的初值问题： = a u + u ，( t 9 x ) er ：xr ”， 甜( o ，x ) - - u o g ) ，x r ”， 给出了满足一定条件下的解的有限时刻爆破问题，引起了许多数学家的注意， 改变临界指数条件给出爆破解的估计，也证明了对不同空间维数的爆破范围， 相继的人们对于特定的模型都有了许多相应的研究，比如对于流体力学方程、 渗流方程、高阶抛物方程和双曲型方程的爆破性质的研究，给出了很好的结 论 研究偏微分方程的整体解，主要从下面两个方面来研究，第一，整体解 的存在性和唯一性，虽然许多偏微分方程在不考虑定解条件时，解的自由度 很大，但有许多偏微分方程竞连一个解也不存在，即使在一点的任意小的邻 域内也是如此；第二，解的稳定性理论 1 3 位势井方法及g a l e r k i n 方法介绍 非线性发展方程中有一部分不具有正定能量的方程或方程组，为解决这 类问题而提出了位势井方法，即由主部的一项控制另一项从而得到能量的正 定性的方法该方法是由s a t t i n g e r 于1 9 6 8 年在国际上首次提出，从而解决了 能量非正定的这类方程的整体解的存在性问题n 1 此后，很多数学家应用和 推广了该理论，而位势井理论就成为研究非线性发展方程解的整体存在性与 不存在性的一个基本重要的方法，比如1 9 7 2 年t s u t s u m i 对h i l b e r t 空间中的 哈尔滨工程人学硕i j 学位论文 半线性双曲和抛物方程进行研究利用了位势井理论得到结论n 1 | ，l e v i n e 于 1 9 8 7 年把该方法应用于具有非线性边界条件的发展方程的解的讨论上乜钉一 ，n a k a o 于1 9 9 1 年对柯西问题分别对位势井理论作了推广和应用m 3 但是 这些工作所引进的位势井与s a t t i n g e r 于1 9 6 8 年引进的位势井并没有本质的 区别而且这些位势井方法所得到的结果也基本相同：即当“。( x ) w 且 0 e ( 0 ) 0 ， 的初边值问题四1 徐润章，刘亚成在2 0 0 7 年研究如下具有2 个异号非线性源项 的波动方程的初边值问题： 村g 一”+ d b l p - i “一6 卜i q - i ”= o ，x q ，t o ， 利用伽辽金方法，得到了整体弱解在某些条件下的存在性n 7 1 刘亚成，李晓嫒在具有两个异号非线性源项的波动方程的整体强解中利 用近似解的积分估计给出了整体解在一定条件下的存在性n 1 徐润章，沈继 红，刘亚成利用位势井方法，解决了方程： 撑一a u - - i ( ) - - i i p - i “一6 l ”1 9 一“，x q ， 在不具正定能量情况下问题整体解的存在性问题n 引刘亚成，徐润章和于涛研 究了半线性热传导方程 “f a u = 甜7 一甜， 柯西问题解的存在性和不存在性以及解的真空隔离现象n 9 1 在本文中我们主要研究问题： 吩一“= l “l p - i “+ i 甜1 9 “一”，x r ”，f ( o ，丁) ， ( 1 1 ) 材g ，o ) = u o g ) o ，工r ”， ( 卜2 ) 哈尔滨t 程大学帧f ：掌位论文i i i l l 盲；薯i i 蔷i 昌i ；i ；i ；i i i i i i 宣i i i i i i ；i i ；i ；i 审宣i i 置宣暑 满足条件： ( h ) l g p 兰，即3 ；l g 1 1 5 常用空间及引理 定义1 1设qc r ”，0 t 0 0 ，1 p ，1 q 0 0 ，贝0 口c 。，丁；p c q ，= “c x ，r ，i 虿l 甜”。t a ) a r t o o ) ， 6 哈尔滨工程人学硕i j 学位论文 u p 。正。q ，= ( 孕b “( m e l t ) i 则 定义1 2 设qcr ”，0 t o o ，1 p ，贝i j r ( 咿；l p ( 驯= 扣，) je s s 测s u pbl p c n ) o o ) ， u l 即。q 2p 船恶肿， 引理1 3 ( i ) i i v u 忆( q ) 为5 ( n ) 的等价模； ( ii ) i l “忆( q ) 为h 3 ( q ) n z ( n ) 的等价模 引理1 4 设qc c 2 ，b ( x ) 为问题国+ 旯国= o ，缈i m = o 的特征函数系， ( i ) 如( x ) j 构成r ( q ) 的一个正交函数系； ( i i ) 如( x ) j 在h ：( q ) 中稠密； ( i i i ) b ( x ) 在日2 ( q ) n 日j ( q ) 中的闭线性扩张为h 2 ( q ) nh ：( q ) 引理1 。5 设1 g 0 0 ，k 。( x ，f ) 于口( 9 ) 弱收敛且( x ，f ) 一g ( x ，f ) a e 于q ，则g 。( x ，f ) 于口( q ) 弱收敛于- g ( x ，f ) 引理1 6 ( s o b o l e v 嵌入定理) 设qcr ”为有界域或无界域，且具有锥性 质，则 ( i ) 如果印 咒，则形p ( q ) 可嵌入到口( q ) 中，此时当印 聆 时，p g 墨且 甩一印 批l u l _ ，l ，则w ，( q ) 可嵌入到c ( q ) 中，且 l l u l l 。 c iu i 。，p 其中常数c ，c 。与u 无关，与七，玎，p ，g 有关； 有 ( i i i ) 如果助= n ，则对于v gp 垡 0 0 有形p ( q ) 可嵌入到口( q ) 中且 l l u l 。- c l u l l 。， 引理1 7 ( g - r o n w a l l 不等式) 设y ( t ) 1 2 ( o ，r ) 且存在常数口与b ，使得 y ( f ) 口+ b f y ( z ) d z ，o t t ，则有 y ( t ) a e 肌，0 f t 引理1 8 ( h o l d e r 不等式) 如果l p ，g o 。，一1 + 一1 = 1 ，则 pq 厂p ( q ) ，g 口( q ) j 居( q ) ， ii f 脾i j 1 店陋。n ，i l g l l 幽， i ql q 引理1 9 ( p o i n c a r e 不等式) 如果d 为域q 的直径，n 为其维数，则对于 f 月：( q ) 恒有 m 2 妊卜 引理1 1 0 ( l p ( q ) 列紧性定理) ( i ) 当1 p + 时，q ) 中一集合相对弱列紧( 即从其中一序列内部 能抽出弱收敛的子y u ) 的充要条件为：范数有界 为： ( i i ) 当1 p 栅时，则函数族xcl v ) 为( 相对) 强列紧的充要条件 8 哈尔滨工程大学硕士学位论文 o ， ) o ，使得丢，( 砌) i 卫：f = o ； ( i i i ) j 伽) 在o 五z 单调增加，在z 力 0 , 0 a 旯；，( 五“) o ，五 o ， 当z 五 0 0 时，同理可证 ( i v ) 计算 ，似) = 刀0 i v “0 2 + 删2 ) 一+ 1 川p + l 一刀+ 1 删： 1 1 呛尔滨t 程人学硕j j 学位论文 = 允丢j m ) ， 当0 0 ， “e n 占 、7 n 占= u e h ：q ) i l 0 ) = 0 ，i i v 甜忙o 引理2 2 若甜h 1 伍”) ，o 疗 0 特别艿= 1 时， 0 v u i i 0 这里，p ) 是满足方程办o ) = 万的唯一实根，其中 办o ) = c ，+ 1 ，川+ c ；“，纠， 令 则有 c 2 是日1 嵌入到l p + 1 ，l q “的嵌入常数 证明：假设o h 。 ，p ) ，则 暇峨：钟“；1 + c ；“；1 = ( 掣享1 + 掣鲫婚 0 引理2 3 若“h 1 伍”) ，厶g ) ，p ) ，特别，0 ) t o ) ，其中，p ) 同上 证明：若l 0 ) 口协2 。 万 丁p + l 这里口p ) = 圭一寿； ( i i ) l i m j od p ) = 0 ； ( i i i ) d ( 8 ) 毛eo 万1 时递增；1 万b 递减 证明： ( i ) 当如o ) = o ，o 时，由引理2 4 h 。，p ) 当o 0 ，力( 万) ：0 ；8 - - 0 0 ，五( 万) j 佃， 再由引理1 1 知 渤，以p - ) = 娥歹似) = o ， 。l i r a ，以p - ) = 。l i r a ，) = 一o o ， o - 4 - 0 0 卜 l i r a d ) = 0 ，j i md p ) = 嘲 j - - - + 0 、7 占_ 、7 ( i i i ) v o 万 万 1 或1 万。 万 a o ，则只需证明d p ) o 满足，0 ) ，p ) 一g p ，万”) ，定义a ( a ) 同上，厶( 五( 万) 甜) = o ， 旯( 万。) = 1 1 4 哈尔滨丁程人学硕1 二学位论文 令g 以) = ，q “) ， 瓦dg ( 力) = z ( 1 l v u l l 2 + 1 1 掰| | 2 _ 刑嗽：一旯州1 1 u q + l ，i = 去( ( 1 一万) o “l 片。+ 厶( 见“) ) ， 因为五p - 虬，所以厶q “) = 0 瓦dg 以) = 去( 1 一万埔f v 2 + 1 2 】 1 ) v o 万 0 ， g 防) = 万( 1 一万】川：。名p x 1 一万p2 p ”) ， ，0 ) 一，) 力p 1 一万步2 p ”x l a 7 ) ) = 占p ，万”) 0 ， 得证 2 ) 1 万。 p 一1 y 2p ”m p7 鼽p ) 一1 ) = 占p 一万”) 0 每i 理2 6 当o 万 o 且 ) d ) ，则 o | i 乙 鬻，荆寿特别当纠时叫咖悱删 呻吣智d 1 5 哈尔滨t 程大学硕 ：学位论文 证明：由 即 得证 b 寿洳胁而1 咖) 饥脚 口甜怫d p ) ， z j l 理：2 7 令o 万 孚，“圳假嘶胁m 陋 鬻， 舷l ) 智以岬) o 引理2 8 o 万 旦笋，甜日1 伍”) 假设， ) d p ) ，l o ) = o ，则 怯胁粥湖帅脚m ) - o 删怯郎掣d 对于o 艿 o ，( z f ) d p ) ) u o ) ， = z ，日1 ( r ”) l ，( 甜) o ，( 甜) d p ) ， b 占= “日1 ( r 咖材忆 厂p ) ) 引理2 9 设o 万 丁p + l ，那么 b 1 ( 艿) c cb ，2 ( 占) ，c 彰 1 6 哈尔派i 栏大掌坝_ f ：字位论又 1 b 。( 占) = “日1 ( r ”) l l “略 m i n r 2 p ) ，2 d p ) ) ) ， = 卜咖牡小鬻) 证明：首先由引理2 2l l u 。 o 另一方面，从 ，o ) 导：。和：。 2 d ( 6 ) ，我们能得到，o ) d p ) 因此瓯似) c g 剩余 部分由引理2 3 与引理2 7 可得cb r d 占1 引理2 10 ( i ) 若0 万 万”1 ，那么，c ； ( i i ) 若1 趴孚，那么c 引理2 11 设对“h ，( r ”) ，有o ， ) 0 ，4 疋是方程d ( 万) = ， ) 的两个实根，则l 0 ) 在区间8 1 万 0 ，可得h o 如果厶0 ) 在4 万 最不是不 变的，那么一定存在一个万 ，如) ，使得，萝0 ) = 0 因此可得 ) d p ) 这与， ) ：d ( 磊) ：d ( 疋) d p ) 矛盾 2 3 本章小结 本章针对所给问题，首先根据方程的能量特征定义了方程的位势井，并 分析了该位势井泛函的性质，然后在此基础上，定义的一族位势井及相应的 井深，并分析了该位势井的结构 1 7 哈尔滨丁程人学硕 ：学位论文 第3 章整体解的不变集合和真空隔离 问题( 1 - 1 ) 一( 1 - 2 ) 满足下面不等式： 胍胁+ 如“1 w ) 一面1 川p + l 一雨1 q 州+ l ， ( 3 一) 3 1 整体解的不变性 定义3 1 甜= “g ，f ) 是( 卜1 ) 一( 卜2 ) 的弱解，u ( x ，f ) r ( 0 ，t ；h 1 0 ”) ) ， “，l 2 ( o ，t ；l 2 ( r ”) ) 满足下面条件： ( i ) u t ，v ) + ( v “，v v ) + ( ) = ( 旷1 甜+ m q - i u ，v ) ，v v e h lr ”) ， r 【o ，t 】； ( i i ) u ( x ，o ) = ( x ) 0 ，x r ”； ( i i i ) iu t2 如+ ， ) ， 。) 定理3 1 甜h 1 陋”) ，0 e d ，磊 o 或i l v 甜。i i = 0 ，且满足，0 。) = p ，则问题( 卜1 ) 一( 卜2 ) 的 所有解都属于，其中4 艿 如； ( i i ) 若，0 。) o ，j ( u 。) = e ，则问题( 卜1 ) 一( 卜2 ) 的所有解都属于 ，西 万 o 或 哈尔滨t 程大学硕i ：学位论文 0 v “。0 = 0 ，t 是“o ) 的存在时间，如果i i v 甜。= 0 ，那么u o g ) 如若不然， 必有( ) = o ，磊 万 0 ，可得 l l v 甜。i j 0 ，纠。n 5 ，g 。) d 仔) ， 又由f 式 剧u l l l d f + 。) ， 。) = p = d ) = d ) d ( 万) ，反 万 屯， 得，0 。) 矗p ) 矛盾 下证甜( f ) ，其中4 万 如j lo f t 如果这不成立，那么必有一 气( o ，丁) ，甜( f o ) a ，万同上，即有厶( 甜( ) ) = o ，i i v u ( , o ) l l * o ，或 厂( 誓o 。”= d ) 由积分不等式( 3 - 1 ) 有 互l u t2 如+ ，0 ) ，0 。) d ( 8 ) ，v t 【o ，r i b , 万 o 或0 v “。0 = 0 ，丁是甜( f ) 的存 在时间，由( 3 1 ) 我们能得( ) o ，j ( u 。) d ( 万) ，则 u o g ) ，4 万 磊，t ( 0 ，丁) 下面我们证得 甜o ) ，4 万 岛，0 r t ，如果这不成立必有( o ，t ) ，存在 1 9 哈尔滨丁程人学硕卜学位论文 8 0 瓴，磊) 使得“( f 。) a ，即： k ( f 。) ) = o 或者，0 纯) ) = d 慨) 由积分不等式知j 0 k ) ) d ( 8 0 ) 若k0 ( ，0 ) ) = o ，t o 是第一个满足 i 占o ( u ( t 。) ) = o ，则在o ， o 得 “。n 艿所以怯( f 。】i r 瓴) ，得j 0 纯”d 瓴) ，这与( 3 3 ) 式矛盾因 此掰) 定理3 2 若在定理3 1 中，将假设，0 。- - - p 换成o ， 。) e ，则定理 3 1 的结论仍然成立 定理3 3 u o ( x ) ，码，畋，p 和定理3 1 相同，v 万( 瞑，疋) ，0 ，0 。) e 与在问题( 卜1 ) 一( 卜2 ) 的流之下是不变的从而，下面两个集合 屯2 而技屯，以2 磊搜如， 在问题( 1 - 1 ) 一( 1 - 2 ) 的流之下也是不变的 3 2 解的真空隔离 若o ，g 。) p ，则，( ) d ( 万) ，匹 万 岛由( 3 3 ) 式v d e ( 4 ，磊) ， u g 虬，对于( 卜1 ) 一( 卜2 ) 的所有解存在一个真空区间： u 。= 五星，：= 0 qq ”】厶o ) = o ，l i “1 1 o ，4 万 r o 则对所有o f r ，0 u l 片。厂o ，存在一 个气( 0 ，r ) ，0 l l u c , 。h 。 t o ，m , j 由l l u 。k = o ，可证得删阿。= o ，0 t r 3 3 本章小结 本章首先给出该反应扩散方程的积分不等式，并根据此不等式分析了该 方程的整体解的不变性，即如果解的初始值属于这个集合，那么解在任何时 刻都属于这个集合，得到解存在于两个彼此不相交的集合，这个不相交的条 件必然产生在其中没有解的区域，即解的真空隔离区域 2 1 哈尔滨t 程人学硕l j 学位论文 第4 章解的整体存在性及解的b l o wu p 本章将讨论问题( 1 1 ) ( 1 2 ) 整体解的衰减估计 4 1 整体解的存在性 定理4 1 设甜。o ) h 1 ( r ”) ， 。) 0 刚( 卜1 ) 一( 1 2 ) 存在 一个整体弱解“r ( 0 ，o o ；h 1 ( 尺”) ) ，u ，l 2 ( 0 ，o o ；l 2 ( r ”) ) ，r u w ，0 f c o 似解 证明：设 m ( x ) ) 为h 1 ( 尺”) 的一个基函数系，构造问题( 卜1 ) 一( 卜2 ) 的近 掰研( x ，f ) = g ，。( f ) _ ( x ) ，( 珑= l ，2 ，) ， ( 4 一1 ) 满足如下常微方程组的初值问题 。，m ) + ( v “所，v w ，) + ( “研，叱) = ( 1 砧脚r 1 “卅，k ) ， ( z ，o ) = 口朋w j ( x ) 寸“。( x ) 于日1 ( r 4 ) ， 将( 4 2 ) 乘以g 二( f ) ，再x c s 从0 至：l j t 求和，得 上l u , 1 1 2 如+ j ( u 。) = 4 u 。( 0 ) ) ，o ， ， 由( 4 3 ) j 0 。( 0 ) ) j ，0 。) ，我们可得 对充分大的m 由( 4 4 ) ( 4 2 ) ( 4 3 ) 互u m fn r + j g 。) d ，o ， ，( 4 - 4 ) ，o 。) = 扣蚶电1 1 2 ) 一而1 p + 。l 一击m 卟q + l ， 哈尔滨t 程人学硕i j 学位论文 圭6 v u n 2 也| 1 2 ) _ 面1 忱p + l 。一六”q + 。l j o 。) 虬 b 六卜噍+ 志地) 鲺 臣 则说明函。) 在r ( o ，o o ；h t ( r ”) ) 有界 b 击 ， 蚓小c 刘峨， c ? 刽d ， n 拈川+ ( 等产 u 月1 亿”) 嵌入到这里，= 等+ 。q - i u r n 卜i i 吣以圳( r ”) 嵌 入到口“，这里s ：生旦 g f l u m , 1 1 2 办 d ，o f 0 ，其中瓯 皖是方 程4 8 ) - e ( o ) 的两个实根，则i 口- j 题( 卜1 ) 一( 卜2 ) 存在一个整体弱解 甜( f ) r ( o ，o o ；h 1 ( 尺”) ) ，“，r ( o ，o o ；l 2 ( r ”) ) 且u 阡名，0 f o ，换成帆忆 ，陂) ，这里疋是方 程d p ) = 互( 0 ) 的较大的实根，则问题( 卜1 ) 一( 卜2 ) 存在一个整体弱解 “o ) r ( o ，o o ；h 1 ( r ”) ) ，u t o ) r ( o ，o o ；l 2 ( r ”) ) 且若d ( o ) ，0 。) d ， 有 愀肌鬻舢地m 眦趾鬻孙。一蛳 4 2 解的有限时间b l o wu p 定理4 4 设“。( z ) h 1 ( r ”) ，j ( u 。) d ，i ( u 。) 0 ，则问题( 卜1 ) 一( 卜2 ) 解 的存在时间是有限的，且在有限时间内b l o w u p ，即存在0 f o o ，使得 1 i r aq i 惮f = 佃 i y _ g i ：设“o ) 是问题( 卜1 ) 一( 卜2 ) 满足厂0 。) d r i ( u 。) 0 时， ) 0 ，使得i ( u ( t 。) ) = 0 ，且令是第一个使i ( u ( t 。”= 0 的时间，那么在 0 f 0 时，庸 0 ，存在时刻f o o 使肪也) 0 和 m o ) 心o 。一气) + m o 。) m ( t 。) ( t - t 。) ，r b ， 因此对于足够大的f ，我们有 0 1 ) m 0 + 1 肌1 1 2 即 脚一型似) 2 o ，( 4 - 6 ) 2 、， ( 2 ) 如果o ，0 。) d 由定理3 2 ，有“o ) 珞，1 万 8 2 ，0 即 ，占( u ) r p ) ，1 2 ，f 0 ， 对足够大的f 我们有 昙0 1 m o ) 0 + 1 批1 1 2 ， i 10 一l 渺o ) 2 + 1 p ) ， 因此由( 4 2 ) 我们也可得到( 4 3 ) 式，再由【9 】我们得证 4 3 门槛结果 推论4 5 在定理4 4 的中，我们可得 l i m s u p u ，0 2 = 佃， f - t l i m s u p 删：，= 佃 f _ r 推论4 6 设p ，q 满足( h ) ，甜。b ) h 1 伍”) ，假设j ( u 。) 0 时，i h - 题( 1 1 ) 一( 卜2 ) 有整体弱解；当，0 。) o ， i 口- j n ( 卜1 ) 一( 卜2 ) 有整体弱解甜o ) r ( o ，o o ；h 1 ( r ”) ) ，u t o ) l 2 ( 0 ，o o ；l 2 ( r ”) ) 且“旷= wua 形，0 t 0 ，0 u o 峙0 则取序列 2 m 满足： 0 厶 0 ，j ( u o 。( x ) ) = 歹( 厶( x ) ) ，( ) = d ，因此， 从定理4 1 可得，对每一m 问题( 卜1 ) ，( 5 一1 ) 存在一个整体弱解， “。o ) r ( o ，o o ；h 1 ( 尺”) ) ，“删l 2 ( o ，o o ；l 2 ( r ”) ) 且u r n o ) 矽，0 t o 。满足： 0 彬v ) + 勺v v ) + 0 。，v ) ：“。1 p 材。+ q v ) ，v v h i ( 尺”) ，( 5 - 2 ) 并且 从( 5 - 3 ) 式得 伽如+ s ( u 。) s j o 。) d ，o f ，( 5 - 3 ) 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 ，。) 骊p - 1m 矗， 似托2 + 揣川： 万 下面的证明同4 1 的类似 5 2 本章小结 本章研究了具有临界能量的情况，即初始能量等于位势井深度时，问题 的整体解的存在性，主要应用能量估计及g a l e r k i n 方法证明了整体解的存在 性从而扩展了上章关于整体解存在性的结果 哈尔滨t 程大学硕i ：学位论文 第6 章解的渐近性质 6 1 整体解的渐近性定理 定理6 1 设p ，g 满足( ) ，材。g ) h 1 k ”) 假设j ( u 。) o ， 问题( 1 - 1 ) 一( 卜2 ) 有整体弱解满足： i f 甜2 s f 缸。| | 2 p m ，o ) ，v v g ) 圩伍”) ， 对v d o ) c o ，。) ， m r a t ，w ) + 勺v w ) + g 。，w ) = k l p 材。+ 9 w 户w h 1 ( 尺”) ，( 6 - 2 ) 令w = “， 则 i l 沙d nm ) = o ，o r ，( 6 - 3 ) 从，0 。) o 和定理3 1 ，我们有材( ，) ，磊 艿 名，0 f 0 0 ， 4 盈是d ( 6 ) - - j 0 。) 的两个实根，因此，我们令厶( “) o ，4 万 唣和 又g ) 0 ，0 f o o 在( 6 3 ) 中 哈尔溟t 栏久掌坝士掌位论又 1 2 知m 1 6 , ) 1 1 坼+ ( “) 观。纵a o ，( 6 - 4 ) 三乙d ，i i 甜1 1 2 + ( 1 4 ) l i 甜o ：，o ，o r ， 应用g r o n w a l l 不等式，得2 - 0 ( 6 5 ) 证明：引理5 1 中已经证得问题( 1 - 1 ) 一( 卜2 ) 存在整体弱解，从定理4 4 ， 5 2 和( 3 - 2 ) ，假设“o ) 是满足j 0 。) = d 和j 0 。) 0 的问题( 卜1 ) 一( 卜2 ) 的整 体弱解，那么有，0 ) 0 , 0 f ，下面我们将证明两个假设： 0 ) 假设，( 甜) o ，o t o o ，则从0 ，“) = 一，0 ) o 以及则”，旷d f 在o f o 假设： 舀。= d f l0 d f ，( 6 - 6 ) 注意0 j 0 ) s 面 d 和“( f ) ，点 万 疋， ， ，4 最是d p ) = d ， 的两个实根，因此( “) o ，f 由( 6 4 ) 我们有 互l 沙d 1 1 2 + 0 一帅略o ，f l ， 再应用g r o n w a l l 不等式，可以推得： 2 - 0 ，0 s f o l l ， 哈尔滨丁程大学硕f ：学位论文 且互，忆0 2 如在o f ，。上是增函数，由( 6 6 ) 式得j o o 。”d iu r0 2 d f d ， 陋。) | i = o 由推论3 5 ，我们获得甜( f ) 兰o ，f l f o ，0 ) o 使得丢j q “) i 五：f = o ； ( i i i ) j 以“) 在0 兄sz 单调增加，在z 旯 o ，0 i 名；i ( t u ) o ，五 o ；当元 凡，日( a ) o ，所以 3 5 o j i 比 ， 旦钡 若 则 一| 朋 ， 哈尔滨1 = 程大学硕上学位论文 单调增加，彳五 0 0 同理可证 ( i v ) 计算 i ( a u ) = 名m i2 + 2 ) 一+ 删i 川p + l + 乏q + l 州q + i 五- - a 4zu)，da ， 当0 o ， n 艿= 函h ：( f 2 t l 。0 ) = 0 ，慨忙o ) 引理7 2 若“h 1 伍”) ，o - 1 “峙 o 特别万= 1 时， o i l v u l l 0 这里r p ) 是满足方程厅p ) = 万的唯一实根，其中 办( 厂) = c ，“，川一c ；+ 1 ，c l ，q 是h 1 嵌* n l p “， 证明：假设0 l l u l l 。 ，p ) ， 则 l l u l l ；：- i = l吖“；1 b + 1 i i “0 3 6 口+ 1 的嵌入常数 一c 州“嘣 h p - 。l c 圳“峤】慨。 制 哈尔滨t 程人学硕，l 二学位论文 令办) = c ，川一c ；“， 五0 ，) = 吖“删享1 一q + 1 窘= 万， 由于厅p ) 单调增加，贝uo - 2 p ) ， 譬这里口p ) = i 1 一寿； ( i i ) l i m 占oa ( 8 ) - 0 ； 3 7 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 ( i i i ) d p ) 在o 8 1 时递增，1 8 b 递减 z j l 理7 6 o 万 o 且，d ) d p ) ，则 呻l 臣 眺删 呻雌訾d 嗍7 7 令。 万 鬻， 舭咖) 嘴别荆虬陋郎訾d 删m ) 0 z j l 理= 7 8 令o 万 孚，