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非保守系统的拟变分原理及其应用研究 摘要 非保守系统是指载荷在使物体发生位移和变形的过程中其“输入功”与 路径有关的系统。非保守系统在实际工程中随处可见，力学问题绝大多数都 是非保守的。有一类典型的非保守系统，作用于系统的非保守力随物体的变 形而变化，我们将这种系统称为“伴生力”系统。将这种随物体的变形而变 化的非保守力称为“伴生力”，本文研究的非保守系统特指“伴生力”系统。 本文应用变积方法建立线弹性理论非保守系统的变分原理，因为非保守 系统的变分原理不是以某一泛函的驻( 极) 值形式出现，而只能是变分表达 式( 或称变分方程) 形式，所以我们称这种变分原理为拟变分原理。 本文首先研究弹性静力非保守系统的拟变分原理。推导了弹性静力学非 保守系统虚功原理、拟势能原理，论述了拟势能原理不同的表达形式，指出 虚功原理对保守系统和有伴生力的非保守系统均成立。推导了弹性力学非保 守系统余虚功原理、拟余能原理，介绍了拟余能原理的另一种表达形式。建 立了第一类两类变量的广义拟势能、拟余能原理，第二类两类变量的广义拟 势能、拟余能原理。推导了三类变量的完全广义拟变分原理，即三类变量广 义拟余能、拟势能原理。建立了反映本构关系和平衡方程的广义拟变分原理， 及反映本构关系( 另一种表示形式的) 和几何条件的广义拟变分原理。并且， 给出一个典型算例。应用弹性静力学第一类两类变量的广义拟余能原理，给 出同时求解该非保守系统的内力和变形两类变量的计算方法，并讨论了稳定 性。 第二，本文首次提出了拟驻值条件的概念，以拟势能原理为例介绍了拟 驻值条件的推导方法。阐述了拟变分原理各类条件完备性的两种含义；1 弹 性力学拟变分原理的先决条件和拟驻值条件一起构成适定的微分方程组；2 弹性力学拟变分原理的先决条件、补充条件和反映的规律一起正是弹性力学 的全部基本方程。作为拟变分原理各类条件完备性的应用，研究了四类拟变 分原理的拟驻值条件。以拟驻值条件为依据，研究了拟变分原理的分类。补 充了弹性静力学的另外两个拟变分原理。 第三，对弹性动力学非保守系统时间端值问题，建立了拟h a m i l t o n 原理， 拟余h a m i l t o n 原理。建立了第一类、第二类两类变量的广义拟变分原理。建 哈尔滨工程火学博士学位论文 立了三类变量的广义拟变分原理。建立了反映本构关系和动态平衡方程的广 义拟变分原理，及反映本构关系( 另一种表示形式的) 和几何条件的广义拟 变分原理。建立了反映本构关系的广义拟变分原理，及反映另一种表示形式 的本构关系的广义拟变分原理。并且，给出一个典型算例。应用拟h a m i i r o n 原理建立机翼翼段的运动方程，并讨论稳定性。 第四，对弹性动力学非保守系统初值问题，建立了卷积型拟势能原理， 卷积型拟余能原理。建立了卷积型两类变量的广义拟变分原理。建立了卷积 型三类变量的广义拟变分原理。建立了反映本构关系和动态平衡方程的卷积 型广义拟变分原理，及反映本构关系和几何条件的卷积型广义拟变分原理。 建立了反映本构关系的卷积型广义拟变分原理，及反映另一种表示形式的本 构关系的卷积型广义拟变分原理。 关键词：非保守系统；拟变分原理；伴生力：弹性理论 a b s t r a c t n o n - c o n s e r v a t i v es y s t e mr e f e r st ot h a tw h e r ew o r ki n p u ti sd e p e n d e n to nt h e l o a d i n gp a t hd u r i n gd i s p l a c e m e n ta n dd e f o r m a t i o nw h e nl o a d s f i r ei m p o s e d i tc a n b es e e ne v e r y w h e r ei np r a c t i c a le n g i n e e r i n ga n dm o s to ft h em e c h a n i c a lp r o b l e m s b e l o n gt ot h i sc a t e g o r y i ti s c a l l e df o l l o w e rf o r c es y s t e mi fn o n - c o n s e r v a t i v e f o r c ec h a n g e sw i t ht h ed e f o r m e dc o n f i g u r a t i o ni nat y p i c a ln o n c o n s e r v a t i v e s y s t e m t h e nt h ec o r r e s p o n d i n gf o r c ei sc a l l e df o l l o w e rf o r c e i np r e s e n tp a p e r n o n - c o n s e r v a t i v es y s t e mi ss p e c i f i e da sf o l l o w e rf o r c es y s t e m t h ev a r i a t i o n a li n t e g r a lm e t h o di si n t r o d u c e dt oe s t a b l i s ht h ev a r i a t i o n a l p r i n c i p l ef o rn o n - c o n s e r v a t i v es y s t e mi nl i n e a re l a s t i ct h e o r y s i n c es t a t i o n a r y ( e x t r e m e ) v a l u ef o raf u n c t i o n a ld o e s n te x i s ti nan o n - c o n s e r v a t i v es y s t e m ， v a r i a t i o n a le x p r e s s i o n s ( o rt h e ym a yb ec a l l e dv a r i a t i o n a le q u a t i o n s ) a r ea d o p t e d a n ds u c hv a r i a t i o n a lp r i n c i p l ei sc a l l e dq u a s i v a r i a t i o n a lp r i n c i p l e f i r s t l yq u a s i v a r i a t i o n a lp r i n c i r l cf o re l a s t o - s t a t i cn o n - c o n s e r v a t i v es y s t e mi s s t u d i e d v i r t u a lw o r kp r i n c i p l ea n d q u a s i p o t e n t i a le n e r g yp r i n c i p l e f o r n o n c o n s e r v a t i v es y s t e mi ne l a s t o - s t a t i c sa r ed e d u c e d d i f f e r e n te x p r e s s i o n sf o r q u a s i p o t e n t i a le n e r g yp r i n c i p l ea r cd i s c u s s e d v i r t u a lw o r kp r i n c i p l ei sa p p l i c a b l e t ob o t hc o n s e r v a t i v es y s t e ma n dn o n - c o n s e r v a t i v es y s t e mw i t hf o l l o w e rf o r c e c o m p l e m e n t a r y v i r t l l a lw o r kp r i n c i p l ea n dq u a s i c o m p l e m e n t a r ye n e r g yp r i n c i p l e i ne l a s t i c i t ya r ed e d u c e d a n o t h e re x p r e s s i o nf o rq u a s i - c o m p l e m e n t a r ye n e r g y p r i n c i p l ei sg i v e n 。t h ef i r s ta n dt h es e c o n dt y p e sg e n e r a l i z e dq u a s i p o t e n t i a l e n e r g yp r i n c i p l ea n dq u a s i - c o m p l e m e n t a r ye n e r g yp r i n c i p l ew h i c h 、i mt w ok i n d s o f v a r i a b l e sa r ee s t a b l i s h e d a l s ot o t a lg e n e r a l i z e dq u a s i - v a r i a t i o n a lp r i n c i p l ew i t h t h r e ek i n d so fv a r i a b l e s ，w h i c hi n c l u d e sg e n e r a l i z e dq u a s i - c o m p l e m e n t a r ye n e r g y p r i n c i p l ea n dq u a s i - p o t e n t i a le n e r g yp r i n c i p l ew i t ht h r e ek i n d so fv a r i a b l e s ，i s d e d u c e d g e n e r a l i z e dq u a s i - v a r i a t i o n a lp r i n c i p l ew h i c hi n d i c a t e sc o n s t i t u t i v e r e l a t i o na n de q u i l i b r i u me q u a t i o n si so b t a i n e d a n o t h e rh n dw h i c hi n d i c a t e s c o n s t i t u t i v er e l a t i o n ( i nd i f f e r e n tf o r m ) a n dg e o m e t r i cc o n d i t i o ni sg i v e n a t y p i c a l e x a m p l ei sg i v e n c o m p u t a t i o n a lm e t h o db yw h i c ht h ei n t e m a lf o r c ea n d i i 哈尔滨工程大学博士学位论文 i | i 目i _ i 自i i ；i i i i i i 蕾 d e f o r m a t i o nm a yb eo b t a i n e ds i m u l t a n e o u s l yi ss e tu pb yq u a s i - c o m p l e m e n t a r y e n e r g yp r i n t i p l ew i t ht w o k i n d so fv a r i a b l e si ne l a s t o s t a t i c s t h es t a b i l i t yi sa l s o d i s c u s s e d s e c o n d l y , t h ec o n c e p to fq u a s i - s t a t i o n a r yv a l u ec o n d i t i o ni sg i v e ni n i t i a l l y a n dd e r i v a t i o nm e t h o df o rq u a s i s t a t i o n a r yv a l u ec o n d i t i o ni si n t r o d u c e dw i t l l q u a s i - p o t e n t i a le n e r g yp r i n c i p l ea sa l le x a m p l e a sf o rt h ec a t e g o r i c a l n e s so f c o n d i t i o n sf o rt h eq u a s i v a r i a t i o n a lp r i n c i p l e ，t w ok i n d so fi n t r i n s i cm e a n i n ga r e e x p o u n d e d 鹊f o l l o w s ：f i r s t p r i o rc o n d i t i o n sa n dq u a s i - s t a t i o n a r yv a l u ec o n d i t i o n s f o rq u a s i v a r i a t i o n a lp r i n c i p l ei ne l a s t o - s m i l e sf o r ma p r o p e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n t e a m ；s e c o n d ，t h et o t a le q u a t i o n so fe l a s t i c i t ym a yb eo b t a i n e df r o mp r i o r c o n d i t i o n s ，s u p p l e m e n t a r y c o n d i t i o n sa n dt h el a w si n d i c a t e df o rt h e q u a s i - v a r i m i o n a lp r i n c i p l ei ne l a s t i c i t y w i t ht h ea p p l i c a t i o no fc a t e g o r i c a l n e s so f c o n d i t i o n sf o rt h eq u a s i v a r i a t i o n a lp r i n c i p l e ，q u a s i s t a t i o n a r yv a l u ec o n d i t i o n sf o r f o u rk i n d so fq u a s i - v a r i a t i o n a lp r i n c i p l e sa l ei n v e s t i g a t e d a c c o r d i n gt od i f f e r e n t q u a s i s t a t i o n a r yv a l u ec o n d i t i o n s ，q u a s i - v a r i a t i o n a lp r i n c i p l e s a r ec l a s s i f i e d a n o t h e rt w ok i n d so fq u a s i - v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e s a r es u p p l e m e n t e df o rt h e e l a s t o s m t i c s t h i r d l y , f o rt h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e mo fn o n - c o n s e r v a t i v es y s t e mi n e l a s t o - d y n a m i c s ，q u a s i - h a m i l t o np r i n c i p l ea n dq u a s i - c o m p l e m e n t a r yh a m i l t o n p r i n c i p l ea r ee s t a b l i s h e d 1 1 忙f i r s ta n dt h es e c o n dt y p e sg e n e r a l i z e dq u a s i - p o t e n t i a le n e r g yp r i n c i p l ea n dq u a s i c o m p l e m e n t a r ye n e r g yp r i n c i p l ew h i c hw i t i l t w ok i n d so f v a r i a b l e sa r eg i v e n a l s o g e n e r a l i z e dq u a s i r v a r i a t i o n a lp r i n c i p l ew i t h t h r e ek i n d so fv a i l a b l e si sd e d u c e d g e n e r a l i z e dq u a s i v a r i a t i o n a lp r i n c i p l ew h i c h i n d i c a t e sc o n s t i t u t i v er e l a t i o na n dd y n a m i ce q u i l i b r i u me q u a t i o n si so b t a i n e d a n o t h e rk i n dw h i c hi n d i c a t e sc o n s t i t u t i v e r e l a t i o n ( i nd i f f e r e n tf o r m ) a n d g e o m e t r i cc o n d i t i o n si sg i v e n a l s oat y p i c a le x a m p l ei sg i v e n t h ee q u a t i o n so f m o t i o no f t h ew i n g so f a p l a n ea r ee s t a b l i s h e db a s e do nq u a s i - h a m i l t o np r i n c i p l e ，t h e nt h es t a b i l i t yi sd i s c u s s e d f o u r t h l y , f o rt h e i n i t i a lv a l u ep r o b l e mo fn o n - c o n s e r v a t i v e s y s t e m i n e l a s t o 。d y n a m i c s ，q u a s i - p o t e n t i a le n e r g yp r i n c i p l ea n dq u a s i - c o m p l e m e n t a r y e n e r g yp r i n c i p l ei nc o n v o l u t i o n a lf o r m sa r ee s t a b l i s h e d 1 1 1 eg e n e r a l i z e dq u a s i v a r i a t i o n a lp r i n c i p l e si nc o n v o l u t i o n a lf o r m sw i t ht w ok i n d so f v a r i a b l e sa r e g i v e n 非保守系统的拟变分原理及其应用研究 a l s ot l l a tw i t ht h r e ek i n d so fv a r i a b l e si nc o n v o l u t i o n a lf o r r ni sd e d u c e d g e n e r a l i z e dq u a s i - v a r i a t i o n a lp r i n c i p l ei nac o n v o l u t i o n a lf o r mw h i c hi n d i c a t e s c o n s t i t u t i v er e l a t i o na n dd y n a m i ce q u i l i b r i u me q u a t i o n si so b t a i n e d a n o t h e rk i n d i nac o n v o l u t i o n a lf o r mw h i c hi n d i c a t e sc o n s t i t u t i v er e l m i o na n dg e o m e t r i c c o n d i t i o n si s # v e n g e n e r a l i z e dq u a s i - v a r i a t i o n a l p r i n c i p l ei nc o n v o l u t i o n a lf o r m s w h i c hi n d i c a t ec o n s t i t u t i v er e l a t i o n si nd i f f e r e n tf o r m sa r ed e r i v e d k e yw o r d s ：n o n - c o n s e r v a t i v es y s t e m ；q u a s i v a r i a t i o n a lp r i n c i p l e ；f o l l o w e rf o r c e ； e l a s t i c i t y 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导下， 由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文献等的 引用已在文中指出，并与参考文献相对应。除文中已经注明 引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经公开 发表的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律 结果由本人承担。 作者( 签字) ：童逸童塾 日期：2 0 0 5 年0 4 月2 0 日 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 变分原理的发展概况 科学史上第一个交分原理是几何光学中的最短时间原理，由法国学者费 马( f e r m a t ) 于1 6 6 2 年提出。费马认为“自然界以最容易的可允许的方法起 作用”。他根据对以前由斯涅耳( s n e l l ) 发现的光的折射定律的研究而提出 了这个原理，并证明了折射定律满足时间最短原理。费马原理 。- 一。 口- i 兰= i m s = m i n ( 1 卜1 ) ；v； 乃是表示几何光学定律的最普遍的数学公式。这里( x ，y ，z ) 是光学上非均匀 但各向同性介质( 光在其中由点p 到q 以速度v 传播) 的折射指数。1 6 8 7 年 牛顿( n e w t o n ) 发表了名著自然哲学的数学原理，在书中有在“稀疏”介 质中沿轴运动的转动物体所受的阻力为最小的形式问题，这个问题看来是力 学中的第一个变分问题。最为著名的变分问题是最速降线问题，它于1 6 9 6 年由约翰伯努利( j o h a n nb e r n o u l l i ) 以公开信的形式提出，而由他本人以 及莱布尼兹( l e i b n i z ) ，牛顿( n e w t o n ) ，雅伯努利( j a c o bb e r n o u l l i ) ， 洛必塔( l h o s p i t a l ) 等人予以解决。最速降线问题是无条件的，1 6 9 7 年 约翰f 自努利还解决了另一有名的有条件的变分问题短程线问题。最速降 线问题被认为是变分原理发生的起源。约翰伯努利的学生欧拉( e u l e r ) 是 变分法的奠基人之一，他第一个综合地研究变分问题并导出求解方程。 欧拉研究了等周问题，即在给定长度的所有简单闭曲线中确定一条线使 之保持最大面积的问题，并发表了一系列文章，奠定了数学新领域变分 学的基础。1 7 4 4 年欧拉发表了变分学的著名论文，其中特别给出了定积分 哈尔滨工程大学博士学位论文 ，= f ( x ，y ，y ) a x ，y ( 口) = 口，y ( 6 ) = ( 1 1 2 ) 取极值的必要条件，即欧拉方程 竺一旦竺：0亿n s6 )( 1 1 3 ) 砂咖砂 、 欧拉给出的对极值条件的推导并不是十分严格，后来拉格朗日( l a g r a n g e ) 给出了极值条件的严格推导。 在1 7 6 0 一1 7 6 1 年，拉格朗日发表了著作，其中提出了确定积分的最大和 最小的新方法，并应用这个方法去解各种动力学问题。实际上，从拉格朗日 开始了变分学的新阶段，他在研究有效算法时不仅给出了解决以前提出那些 问题的简单形式，而且应用它求解了力学的一系列复杂问题。特别是，拉格 朗日首先提出了函数变分的概念并严格地导出了积分取驻值的充要条件，即 现在大家熟悉的欧拉一拉格朗日方程。在这些历史上有名的变分命题的解 决过程中，欧拉和拉格朗日创立了现在大家熟知的变分法0 1 。 拉格朗日在青年时代就试着将变分法应用于力学，他在1 7 6 1 年发表的论 文可解不同动力学问题的方法追前法之应用中，探讨了用最小作用 量原理进行力学分析的可能性，并将欧拉于1 7 4 4 年发表的，质点在有心力场 中的变分方程推广到一般情况。在1 7 6 4 年发表的月球的天平动研究中， 对达朗贝尔( d a l e m b e r t ) 原理作了变分运算，并指出：“这方法可将物体的 全部运动规律归纳到它的平衡规律中去，从而有可能将动力学归入静力学”。 接着他又写了一系列论文，其成果集中反映在1 7 8 8 年出版的堪称分析力学开 山之作的分析力学中”1 。 力学的变分原理是分析力学的基础。力学的变分原理促进了与其相关的 强有力的数学形式体系，拉格朗日和哈密顿( h a m i l t o n ) 形式体系的发展。 哈密顿原理如同其它积分原理，不仅可以应用于有限自由度系统，而且可以 应用于带分布参数系统和连续介质。在可逆物理过程中，这些原理是某些泛 函取驻值的变分原理，而在不可逆过程的情形则是变分方程“3 。 第1 章绪论 各种自然现象和过程( 特别是力学现象) 通常由一组数理方程( 偏微分 方程、积分一微分方程或积分方程) 及初边值条件来描述，但人们通过长期 的探索研究，发现这些现象和过程常常使系统的某一整体量( 泛函) 取驻值 或极值，因而又可以用相应的变分原理来描述。后一描述法的突出优点是：1 ) 数学形式简单紧凑，但内含却甚丰富( 包含了全部数理方程及初边值条件组) 。 2 ) 是整体性描述，包括各种物理间断面上的相容条件。3 ) 有变域变分、 自然边界条件等特殊工具，能够自动捕获各种未知边( 分) 界面。4 ) 是 各种变分直接解法和有限元法的理论基础。可见，变分原理既体现了数学形 式上的简洁优美，又体现了物理内容上的丰富深刻，更具有工程应用上的价 值，确是代表了数学与物理的交融与贯通以及理论与实用的结合与统一。特 别是自上世纪5 0 一6 0 年代起，有限元法的兴起与蓬勃发展，使作为其主要理 论基础的变分原理又重新焕发了青春，取得了长足的发展。 h e l l i n g e r “1 和r e i s s n e r 。1 的不朽论文开创了研究广义变分原理的先河， 推动了变形体力学中广义变分原理的研究。国内外对变分原理的理论研究 c e - a a ，及基于变分原理的数值算法尤其是有限元法研究“”咖，都相当广泛。1 9 5 0 年我国学者钱令希1 研究余能原理，从理论上和应用上为研究广义变分原理 奠定了基础。1 9 5 4 年胡海昌建立了弹性力学和塑性力学的三类变量广义变 分原理，为后来发展起来的混合有限元素法提供了理论依据，并获得重要的 应用。随后1 9 5 5 年鹫津久一郎m 3 从最小势能原理出发也建立了三类变量广义 变分原理，现在称这类变分原理为胡海昌一鹫津久一郎变分原理。1 9 6 3 年钱 令希“”建议了极限分析中的一个广义变分原理。在工程中得到广泛应用。钱 伟长“和匡震邦“”倡导l a g r a n g e 乘子法，为建立各个学科领域的广义变分原 理提供了一个有效方法。g u r t i n “”建立了弹性力学初值问题的变分原理和广 义变分原理，我国学者罗恩“”为发展和应用变形体力学初值问题的变分原理 和广义变分原理做出重要贡献。刘高联【4 珂建立了流体力学的变分原理和广义 变分原理，对变分原理的发展作出重要贡献。 由于变形体力学中的广义变分原理在有限元素法和其它近似方法中获得 哈尔滨工程大学博士学位论文 巨大成功，随着数字电子计算机的广泛应用，广义变分原理的研究越来越受 到学术界的重视。国际和国内学者努力将广义交分原理的研究推广到一般力 学中去，但是，由于这一研究课题的难度很大，长期进展比较缓慢。近年来， 我国学者努力将广义变分原理的研究推广到一般力学中去，郭仲衡、粱立孚 在文献 4 6 4 7 中做了这一方面的初步尝试。梅风翔叫介绍了国外学者研究 一般力学中的变分原理的情况，将我国学者对一般力学中的变分原理的研究 引导到世界性研究的前沿。朱如曾“”引入广义d a l e m b e r t l a g r a n g e 原理， 应用凑合法建立了完整系统和非完接系统的第二类变分原理( 即广义变分原 理) ，并且将之写成正则形式。梁立孚8 ”应用对合变换推导出两类变量的 h a m i l t o n 原理，应用l a g r a n g e 乘子法推导出完整系统和非完整系统的两类 变量的有附加条件的广义变分原理和无附加条件的广义变分原理。推导了各 类变分原理的驻值条件。后来又在文献 5 1 中应用对合变换哑1 ，将两类变量的 广义变分原理的驻值条件变换为三类变量的基本方程。按照广义力和广义位 移之间的对应关系，将各基本方程乘上相应的虚量，代数相加，然后积分， 进而建立了完整系统的三类变量的广义变分原理和非完整系统的三类变量的 广义变分原理。 以上的研究着重点在保守系统。本文将研究非保守系统的变分原理和广 义变分原理。 非保守系涵盖了许多学科，在弹性非保守系统方面，随着工程技术的发 展，结构在非保守力作用下的动态稳定性问题倍受人们的关注，同时，这类 问题在理论上也有代表性，有许多人b o l o t i n 呻1 ，z i e g l e r 。“，l e i p h o l z m l ， h e r r m a n n 呻埽口b u n g a y 时1 等对此进行了系统的研究。该方面的研究在七八十年 代更为广泛，国外以l e i p h o l z “为代表，提出广义自菸轭的概念，建立了 广义的h a m i l t o n 原理，给出了著名的l e i p h o l z 杆模型。还有大量的非保守 力作用下结构稳定性的文章“7 3 。我国学者也作了大量工作，提出并完善了 各类拟变分原理，我国学者刘殿魁、张其浩在文献 8 2 3 的研究中发现， l e i p h o l z 仅研究非保守系统的势能原理，而忽视了对余能原理的研究，通过 4 第1 章绪论 发展l e i p h o l z 的研究，在伴生力系统的前提下，建立了非保守系统的余能原 理，进而建立了关于弹性理论非保守系统的广义变分原理。作为文献 8 2 的 研究的继续，文献 8 3 建立了非保守系统广义变分原理应用于有限元的计算 模型。中国地震局工程力学研究所，应用文献 8 2 和 8 3 非保守系统广义变 分原理的研究成果，对梁杆结构地震临界荷载的上、下限进行分析取得良好 的效果”“。熊跃熙3 从虚功原理出发，建立非线性弹性非保守系统的拟变分 原理，郑泉水从泛能量泛函出发，提出了非线性弹性理论静、动力学的非 保守问题的统一变分原理泛变分原理，黄玉盈、王武久”7 1 建立了非保守 系统自激振动的拟固有频率变分原理。还有一些学者”对伴生力作用下弹 性系统在不同边界条件下的响应进行了多方面的研究和计算。最近，梁立孚、 刘殿魁和宋海燕“”在中国科学上撰文重点研究弹性非保守系统两类变量的广 义变分原理，并且例举了恰当的算例。在粘性流体力学方面，有些文献致力 于建立完整的n a v i e r s t o k e s 方程的经典变分原理，如e c e ra 沿用c l e b s c h 变换的思想建立了n s 方程流速一涡量形式、流函数一涡量形式等的变分原理。 钱伟长。7 3 应用加权余量法导出了n s 方程的最大功率消耗原理和广义变分原 理，但都不是完全的经典变分原理。沈孝明采用正定对称系数矩阵统一对 微分方程组和初、边值条件组分别构造正定二次型，以形成极值泛函，建立 了粘性斜压非定常流的广义变分原理和极值原理，但如何选择系数矩阵等还 有待进一步讨论。梁立孚、石志飞1 应用l a p l a c e 变换，采用变积运算方法 建立了不可压缩粘弹性流体的变分原理及广义变分原理。关于粘性流体力学 变分原理的文献并不是很多，可见建立粘性流体力学变分原理有一定的难程 度。 在粘弹性力学方面，一些文献“”4 删根据已建立的粘弹性结构( 如薄板、 中厚板、t i m o s h o n k o 梁) 力学行为分析的数学模型，结合通常的笛卡尔内积 和卷积双线性形式，建立了相应的逆变分问题的变分原理及粘弹性薄板扰动 运动的变分原理。这些变分原理都是卷积型变分原理。关于粘弹性变分原理 的文献也不多。 哈尔滨工程大学博士学位论文 1 2 变分与变积方法 变分学的早期的工作都是介绍如何把泛函的极值或驻值问题化为微分方 程的边值问题。自从r i t z 提出直接求泛函极值的近似方法( 即著名的r i t z 法) 以后，人们发现从求近似解的角度来看，从泛函的驻值问题出发，常常比从 微分方程边值问题出发更为方便。而电子计算机广泛应用之后，这种观点得 到越来越多的赞同。于是人们的研究目标从原来把泛函的驻值问题化为微分 方程的边值问题，逐步转变为把微分方程的边值问题化为泛函的驻值问题( 并 不是所有的微分方程边值问题都能化为泛函的驻值问题，这里首先有一个转 化的可能性问题) 。这类问题称为变分学的逆问题。 经过e u l e r 、l a g r a n g e 以及随后的许多数学家的努力，对于前一类问题 ( 正问题) 已经建立了比较成熟、比较系统的方法。但是对于后一类新的逆 问题，虽然也已有许学者作了研究，但总的说来还不很成熟。变分原理作为有 限元法和其他近似计算方法的理论基础，随着电子计算机的迅猛发展，越来 越得到人们的重视。因此，寻求将微分方程的边( 初) 值问题转化为泛函的 驻( 极) 值问题的普遍方法，已成为数学工作者和力学工作者十分关注的课 题。 对于逆问题以往用得较多的是根据微分方程的物理和工程背景，采取尝 试和核对的办法，既先猜想一个泛函的极值或驻值问题，然后再核对一下， 看它是否与原来的微分方程问题等价“。在前人研究的凑合法的基础上，梁 立孚教授通过定义一个“变积”作为传统“变分”的逆运算，首创了变积法， 这是求解变分学反命题的一个适用性较广的新方法。应用变积方法对一般力 学、弹性静力学与动力学、电磁场理论及压电材料力学的变分原理及其应用 ( 包括有限元法及各种变分直接方法，离散分析等) 作了相当系统和深入的 研究。 以下，引入变积的概念，并以数学物理方法中的三类典型方程为例来说 明变积方法的梗概。 6 第1 章绪论 1 2 1 变分 设有定积分形式的泛函： 矿= f f ( x ，) ，) 斑 ( 1 2 一1 ) 自变函数为y ( x ) ，自变量为x 。 对式( 1 2 1 ) 进行变分运算可得 = f c 爹一丢爹触+ 爹酬：( i 2 - 2 ， 泛函的驻值条件为= 0 ，由于咖为独立变量，故式( 1 2 - 2 ) 为零的充要 条件为 在边界竺翥处( 1 2 - 3 )在边界x = 口和x = 6 处 这样便将泛函的驻值问题化成了微分方程的边值问题。 1 2 2 变积 设在函数空间中，将式( 1 2 3 ) 相对于自变函数y ( x ) 积分，则有 r = r f c 爹一叁争触+ f - 砂a f _ i 。b z 圳 为了与微积分学中的积分相区别，不妨称变分学中这种对函数空间的积 分为变积。 对式( 1 2 4 ) 在自变量z 域中分部积分，有 r = f f + 可a f 出= f r 脚驯) 出( 1 2 - 5 ) o | | 竺 d 一出 。 一 = 笪钞竺 哈尔滨工程大学博士学位论文 进而有 矿= r f ( 工，弘y ) d x ( 1 2 - 6 ) 可见式( 1 2 - 6 ) 与式( 1 2 1 ) 相同，由( 1 2 - 4 ) 到( 1 2 - 6 ) 的过程 正是由( 1 2 - 1 ) 到( 1 2 - 3 ) 的逆过程。这说明，正如积分是微分的逆运算 样，变积是变分的逆运算。 1 2 3 变积运算的另一种表示方法 在实际应用变积方法时，往往不写出变积的积分号，而是设法将问题化 为某个泛函的全变分。以下以数学物理方法中的三类典型方程为例来说明问 题。 1 2 3 1 p o i s s o n 方程对应的泛函 p o i s s o n 方程为 v 2 “= f ( x ，y )在a 中 ( 1 2 - 7 ) 其中，u = u ( x ，y ) 为可变函数，工，y 为自变量。空间边界条件为 i “= “l 抛 【面刮z 在翩甜上 在触v 上( 曲边界法线方向数) ( 1 2 8 ) 将式( 1 - 2 7 ) 和( 1 2 8 ) 乘上相应的虚量，然后积分，并代数相加，可得 护“一f ) 函d a + 小_ 矽等凼+ 小：一熹融= 。( 1 2 - 9 ) 应用g r e e n 定理 扩2 痂幽2l 。，熹鼬一f c 挚罢+ 考j 考，枷( 1 2 - 1 0 ) 将式( 1 2 - 1 0 ) 代入式( 1 。2 - 9 ) 第l 章绪论 i ic 罢艿罢+ 考艿争幽+ f i 厂占删一 小，) 万考+ 争妒l v u 2 占础= o 上式可以处理为一个泛函的驻值问题 矿= 扣2 + c 争2 m 删一小叫，争一l v u 2 础( 1 2 - 1 2 ) 这就是p o i s s o n ：b - 程对应的泛函。 1 2 3 2 波动方程对应的泛函 ( 一) 波动方程边值问题对应的泛函 波动方程为 窘_ v 2 “_ ，( 圳) ，在一上 其中，“= u ( x ，y ，) 为可变函数，z ，y ，t 为自变量。空间边界条件为 譬嚣栅在o a u 上_ t z fu l 。= 蚝( z ，y ) 龇锄化y ， 将式( 1 2 - 1 3 ) 、( 1 2 - 1 4 ) 、( 1 2 - 1 5 ) 乘上相应的虚量，然后积分，并 代数相加，可得 “( v 2 “一字切6 删出+ f 1l 。( 泌熹栅+ f ll ，( 旷等) 占础 o =姒 妒 一 锄一西 r l +姒 i l b 理 锄瓦定 矽 屿 舱 一 g 似 用电应 m 2 = 儿。熹占础一f i 学罢+ 熹占拗 一f i “拟班= 一“e 剐e 撇+ 肌挚幽田 将式( 1 2 - 1 7 ) 代入式( 1 - 2 - 1 6 ) ，得 儿。陋钔嗉+ 詈融】撇+ f l ，舻“触一j 。u 4 8 u ( w ， ) 幽+ 胁 ，y ，o ) 飞) 万垒冬掣+ 垒唾攀砌( ，o ) 】姒+o o f0 f f 1i a f s u d a 出一f 1ec 罢j 罢+ 考万考一詈万詈，幽卉= 。 上式可以处理为一个泛函的驻值问题，该泛函就是波动方程边值问题对应的 泛函。即 矿= 他( 。) 挚西+ 儿v u 2 鼬 扣( ，t 1 ) d , 4 + 拟w ，o ) - 吒】塑竽幽 + c f u a a a t 一圭f l r 白2 + c 2 一营2 脚 ( 二) 波动方程初值问题对应的泛函 波动方程为 窘= m 删，在彳上 其中，“= u ( x ，y ，f ) 为可变函数，x , y ，t 为自变量。空间边界条件为 f u 。( ，在棚“上 1 罢毯( ，) 茬磊茬 【石2 “2 ( ，) 在翎v 上 初始条件为 ”i t - o = u 5 ( 工，y ) ， = 1 t 6 ( x ，y ) 1 0 第1 章绪论 波动方程初值问题由式( 1 2 - 2 0 ) 、( 1 2 -