（信号与信息处理专业论文）多描述图像编码研究.pdf

摘要 摘要 多媒体技术的f i 断发展，网络信道传输的速率也是越来越快，而在高速嘲 络环境下，传统的基于包的数据传输通常会面临丢包或者误码等问题，凶此在 传输速率得到保障的前提卜，准确率成为人们关注的焦点。多描述编码将信源 编码成多个独立的描述分别传输，任何一个独立的码流都能够在解码端得到一 个质量在接收范围之内的数据，并且，获得的描述越多，恢复数据的质量就越 好，因此具有很强的鲁棒性。多捕述编码方法也越来越广泛的运用于视频，图 像以及各种多媒体信号的处理卜，并取得了很理想的效果。本文针对图像的多 描述编码主要做了以下两方面工作： 1 框架扩展下的多描述m d s q 编码的改进 v a i s h a m p a y a n 首先提m 了基于标量量化的多描述编码( m d s q ) ，利用，个 较复杂的标号函数对原有信号进行不i j 精度步长的量化，得到两个信息量较少 的码流。当遇到信道质量较差时，任意一个码流的丢失都会对信号的恢复产生 较大影响。因此，增加算法的码流数目，成为个改进算法的可行之道。本文 引入框架概念，利用归一化紧框架的特殊的鲁棒。阽质，对源信号进行扩展，将 维空间冗余的映射到多维空间r f l ，得到多个码流，从而在接收端接收到4 i 同 数目的信号，都能较好的恢复原信号。在仿真实验中我们利用4 2 的谐波紧框 架对图像数据进行扩展，将两个描述变为四个描述。实验结果显示，扯小差错 概j 瞽信道下，框架扩展后的m d s q 算法比原算法对图像的恢复有更好的信噪比， 从而算法的性能得到了定的提升。 2 感兴趣区域的1 卜线性变换多描述编码 由于多描述编码在经过筹错信道而丢失捕述后，必然会对恢复信号产生 定的影响，而有时候图像中各个部分对我们的重要性不定都是样的，我 们需要对图像中的感兴趣区域( r o ) 加以一定的保护措施，尽量减少其丢失的 信息量。因此，本文提m 了一种非线性变换的多捕述编码，利加特定的非线性 函数将图像进行变换，从而使感兴趣区域得到一定程度的扩展，再进行抽样形 成多描述编码。通过仿真实验，当图像通过差错信道而丢失描述时，本文算法 恢复的图像的r o i 区域的信噪比会大大高于普通的算法，并且在不同码率下， 都能够得到比较满意的结果。 关键词：多描述编码框架扩展信息冗余感兴趣区域 非线性几何变换 多级树集合分裂 a b s t r a c t a bs t r a c t b e c a u s eo ft h ed e v e l o p m e n to fm u l t i m e d i at e c h n o l o g y , t h et r a n s m i s s i o nr a t eo f t h en e t w o r kc h a n n e lb e c o m e sf a s t e ra n df a s t e r , a n di nt h eh i g h - s p e e dn e t w o r k e n v i r o n m e n t ，t h et r a d i t i o n a lp a c k e t b a s e dd a t at r a n s f e ri su s u a l l yf a c e dw i t ht h e p r o b l e m ss u c ha sp a c k e tl o s sa n db i te r r o r , s ow ep a ym o r ea n dm o r ea t t e n t i o nt ot h e a c c u r a c yo ft h ed a t at r a n s f e r m u l t i p l ed e s c r i p t i o nc o d i n gi sa na r i t h m e t i ct h a th a s s v o n gm b s t n e s s i td i v i d e st h es o u r c es i g n a li n t os e v e r a ls t r e a m s e a c hs t r e a mi sa d e s c r i p t i o na n da n yi n d e p e n d e n td e s c r i p t i o n sa r ea b l et or e c o v e rt h e o l ds i g n a li n r e c e p t i b l eq u a l i t y t h em o r ed e s c r i p t i o n sr e c e i v e dt h eb e t t e rq u a l i t yr e c o v e r e d m u l t i p l ed e s c r i p t i o nc o d i n gi sw i d e l yu s e di nv i d e o ，i m a g e s ，a n dm u l t i m e d i as i g n a l p r o c e s s i n ga n dg e t sv e r yg o o dr e s u l t s t h i sp a p e rr e s e a r c h so nm u l t i p l ed e s c r i p t i o n i m a g ec o d i n gm a i n l yi nt h ef o l l o w i n gt w oa s p e c t s ： 1 t h ei m p r o v e m e n to ft h em d s qa l g o r i t h mu s i n gt h ef l a m e - e x p a n s i o n m u l t i p l ed e s c r i p t i o nc o d i n gb a s e do ns c a l a rq u a n t i z a t i o ni sf i r s tp r o p o s e db y v a i s h a m p a y a n i tq u a n t if i e st h eo r i g i n a ls i g n a lb yac o m p l e xl a b l ef u n c t i o na n dt h e n g e t st w ol e s s d e t a i ls t r e a m s w h e nw ef a c et h ep o o rc h a n n e lq u a l i t y , t h el o s so fa n y s t r e a mw i l lb r i n gas i g n i f i c a n te f f e c t tt ot h er e s u l t s ow eu s et h en o r m a l i z e dt i g h t f r a m ew h i c hh a st h es t r o n gr o b u s t n e s st oe x p a n dt h eo r i g i n a ls i g n a lf r o mt h et w o - d i m e n s i o ns p a c et ot h em u l t i d i m e n s i o ns p a c e t h e nw ec a ng e tm u l t i p l es t r e a m s w h i c hc a nr e c o v e rt h es i g n a la tt h er e c e i v e de n d i nt h es i m u l a t i o ne x p e r i m e n t ，w e u s et h e4 2h a r m o ni ct i g h tf r a m et oe x p a n dt h ei m a g et of o u rd e s c r i p t i o n si n s t e a d o ft w od e s c r i p t i o n s t h er e s u l ts h o w st h a tt h ef r a m e e x p a n d e dm d s qa l g o r i t h mh a s ah i g h e rp n s rt h a nt h eo r i g i n a la l g o r i t h mi nt h es m a l le r r o rp r o b a b i l i t yc h a n n e l 2 m u l t i p l ed e s c r i p t i o nc o d i n gb a s e do nt h en o n l i n e a rt r a n s f o r m a t i o no ft h er e g i o n o fi n t e r e s t t h el o s eo ft h em u l t i p l ed e s c r i p t i o nw i l ld e f i n i t e l ya f f e c tt h er e c o v e r yo ft h e i m a g e ，b u tn o ta l lt h ep a n so ft h ei m a g eh a v et h es a m ei m p o r t a n c et ou s s ow en e e d t op a ym o r ea t t e n t i o nt ot h er e g i o no fi n t e r e s to ft h ei m a g e w ep r e s e n t san o n - l i n e a r t r a n s f o r m a t i o nm u l t i p l ed e s c r i p t i o nc o d i n g i tu s eas p e c i a ln o n l i n e a rf u n c t i o nt o t r a n s f o r mt h ei m a g e ，s ot h a tt h er e g i o no fi n t e r e s to ft h ei m a g ec a nb ee x p a n d e da n d t h e nw es a m p l e st h ee x p a n d e d i m a g et of o r mt h em u l t i p l ed e s c r i p t i o nc o d i n g t h e s i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a tw h e nt h ei m a g e d e s c r i p t i o n sa r el o s ti nt h e a b s t r a c t e r r o r - p r o n ec h a n n e l s ，t h i sa l g o r i t h mw i l lg e tah i g h e rp s n ro f t h er o i t h a nt h e o r d i n a r ya l g o r i t h m t h en e wa l g o r i t h mi sa b l et og e ts a t i s f a c t o r yr e s u l t si nt h e d i f f e r e mb i tr a t e k e yw o r d s ：m u l t i p l ed e s c r i p t i o nc o d i n g ，f r a m e e x p a n s i o n ，i n f o r m a t i o n r e d u n d a n c y ，r o i ，n o n l i n e a rg e o m e t r i ct r a n s f o r m a t i o n ，s p i h t i v 中国科学技术大学学位论文原创性声明 本人声明所旱交的学位论义，是本人在导师指导下进行研究_ l 作所取得的 成果。除已特另1 1 1 j t l 以标注和致谢的地方外，论文巾不包含任何他人已经发农或 撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中作 了明确的说明。 作者签名：趟签字日期：2 q 2 里：鱼： 中国科学技术大学学位论文授权使用声明 作为中请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者授权中国科学技术大学 拥有学位论文的部分使用权，即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构 送交论文的复印件和电子版，允许沦文被查| 剡和借l 喇，可以将学位论文编入中 国学位论文全文数据库等有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编学位论文。本人提交的电子文档的内容和纸质论文的内 容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 签字日期：丝! ! ：竖：呈 导师签名：显! 生 签字日期：捌! ：墨： 第1 章绪论 1 1 引言 第1 章绪论 随着信息科学技术的不断发展和经济水甲的不断提高，人们对于多媒体信 号在互联网以及无线信道中传输的需求也是越来越大。近年来网络视频流媒体 点播，网络视频会议，无线通信视频图像传输等等、l k 务取得了飞速发展，网络 信道传输能力的不断提高也为这些需求提供了强有力的保障。但是我们应该注 意剑，在多媒体信号通过信道传输过程中由于网络拥寨，信道干扰，路由延迟 而导致信弓数据的丢失，从而影响到接收端数据的恢复质量。因此，在保汪传 输速率的前提下，多媒体信号的传输质量已经越来越得到人们的重视。图像视 频等多媒体信号不同于需要无失真传输的文本信息，往往可以忍受一定的失真 度，当信号通过质量较好的信道时，能够得到较好的恢复，向- 通过质量较差信 道时，也能够得剑相对较模糊的图像或者视频。多描述编码( m u l t i p l e d e s c r i p ti o nc o d i n g ) “i 能够很好的适应信道在好坏两种情况卜对信号接收质量 的耍求，因此在通信领域得到越柬越多学者的研究。它的4 ：要思想是将信号分 成多束独立的码流传输，在接收端有任意的码流丢失时都可以用剩 f 接收剑的 码流恢复原信号，并且接收到的码流越多，信号恢复的质量越好，而当只收到 一束码流时，恢复信号也能够在我们承受的范围内。而对于同一副图像的不同 部分，由丁所含信息量自多自少，在图像质量损失不可避免的情况下，我们需 要在图像中对我们比较蕈要的那一部分，被称为感兴趣的区域( r o i ) 进行特别 的保护。因此，对多描述图像编码进行感兴趣区域的保护，能够更好的发挥编 码效率，从而符合人们的需求。 1 2 研究背景介绍 1 2 1 遇到的问题 百联网和无线通信网络均为不可靠传输信道：一方面足因为瓦联网具有很 强的异构性，用户可以随时随地通过有线或者无线的方式连入网络，而不同的 用户在c p u 的运算能力以及外设性能上都存在很大差异，用户接入互联例通过 的子网在物理介质，带宽资源和传输延时方面也部下差万别，甚至同一用户在 不同时问段的网络传输状况也不堪相同。互联i 卅的片构性以及多用户共亨信道 第l 章绪论 的特点，决定了它b e s t e f f o r t 的服务方式。因此，互联网的传输不能确保数 据接收的可靠性，也就是说数据包会由于各种各样的信道i 、口j 题而产生分组丢失 以及传输延时等。而另一方面，无线信道具有的高误码率，多径干扰，衰落等 性质决定了无线传输的环境比互联网更加恶劣，可能造成传输图像整图丢失或 者视频整帧丢失，从而导致传输信道完伞欠效。凶此，这也成为了实时图像和 视频传输技术发展的一个瓶颈。因此，对图像视频设计高效的压缩以及具有鲁 棒性能的编码方案，也就是图像视频的筹错控制技术( e r r o rc o n t r 0 1 ) h ，是 一项非常有意义和实用性的研究课题，下面我们就来介绍差错控制技术的研究 现状。 1 2 2 差错控制技术介绍 网络传输中的差错类型可以分为删除错误和随机比特错误。随机比特错误 是南于物理信道的问题导致比特反转，插入以及删除。随机比特错误对码流的 影响主要取决丁编码方法。当编码方案为定长编码时，随机比特错误只影响一 个码字，因此对码流影响较小：但是如果编码为变k 编码( 比如h u f f m a n 编码) 时，随机比特错误日j 能会导致接收到的码字与实际码流不同步，从而导致后面 的码字全部出错，只有等剑下一个同步码字出现才能恢复止常。删除比特错误 主要是由于包交换i 删络( 比如互联网) 中的包分组三失，突发性问题或短时间 系统故障所造成的。在变长编码中，随机比特错误也能引起删除错误，因为一 个比特的错误可能导致后面的比特都无法解码，成为无效码字。通常情况卜， 删除错误比随机比特错误造成的破坏性更人。 现有的差错控制技术1 i 要分为四类：传输层的差错控制技术：信源编码端 的差错控制技术；解码端的差错控制技术；编解码器交互的差错控制技术。 1 传输层的差错控制技术 这种技术卡要足在编码后的码流中进行检错和纠错，以及必要时候的数据 重传机制。实际应用中这种技术很难完全纠错，在解码端的码流仍然会存在一 定的错误。主要的方案有：前向纠错技术( f e c ) ，交织打包技术，限制延迟的 重传机制( 典型的a r c ) 机制) ，非平衡错误保护等。 2 信源编码端的差错控制技术 这种技术能够产生具有定鲁棒性的比特流，从而在解码端即使出现错 误，也仍然能够重建在接受范罔内的恢复图像。相较丁一些为了得剑好的压缩 效率而优化设计的编码方案，这种方案主要考虑图像信息传输的可靠性，因此 必须额外增加一些比特，从而降低了编码效率。这些额外的余比特引入后， 可以在有传输错误发生的情况下，用冗余的码流来对图像视频进行重建得剑较 2 第1 章绪论 好的恢复质量。编码效率以及兀余率是互相矛盾的两个方面，在设计具体算法 的时候必须平衡考虑到两者的关系。主要有错误隔离，限制预测循环，鲁棒的 二进制编码，分层编码，多描述编码( m d c ) ，以及联合信源信道编码。本文研 究的主要对象即为信源编码端的差错控制技术巾的多描述编码技术。 3 解码端的差错控制技术 解码端的差错控制技术的实现，主要有以下几个原因：首先，因为编码延 迟，计算复杂艘等因素，进行压缩后的比特流仍然存在。定的统汁，几余；其次， 编码端采用了一定的差错控制也可能带入冗余；最后，人类的视觉系统也能够 容忍一定程度的图像失真。这些因素都能够被利用在解码端进行差错控制，也 被称为错误隐藏。常见的错误隐藏技术主要是恢复纹理信息，比如利用运动补 偿的时间域内插，用运动矢量得到的前一帧的块估计当前帧中被破坏的块，错 误隐藏方法也能恢复编码模工l = 和运动矢量。 4 编解码端交互的差错控制技术 这种技术主要是利用到了解码器到编码器的反馈信道，让发送端和接收端同 时工作来进行筹错控制。在编码端，根据解码器的反馈信息来自适应改变编码参 数，达到最优的编码器设计。反馈信息包括错误宏块的时间和空i h j 位置，通过协 议栈进行允误妈传输，如果有必要可以使用重传机制。 1 2 3 国内外研究现状 在上节中，我们介绍了儿种主要的图像视频的差错控制技术。多描述编 码是其中一种蕈要的技术，同分层编码1 i 同，它可以运用到无优先级的1 i 可靠 传输中。多描述编码思想最早是由b e l l 实验窄的( ；e r s h o ，o z a r o w ，w i t s e n h a u s e n 等人于1 9 7 9 年提出，利用信息冗余来减少由于信道损坏而造成的语音信号丢失 造成的1 i 良影响1 。国际上最早将多捕述方法运用于视频图像的编码，源于1 9 7 9 年的i e e e 信息论研讨会上。a b b a sa e lg a m a l 和t h o m a sm c o v e r 证明了信号 恢复后的失真度和各描述速率之问的关系。“，从而为多描述编码的研究提供了 理论依据。直到1 9 9 3 年，v a i s h a m p a y a n 提出了第一个多捕述图像编码算法： 基丁标量量化的多描述编码( m u l t i p l ed e s c r i p t i o nb a s e do ns c a l a r q u a n t i z a ti o n ) 川。此算法利用一索引函数将信号量转化成两束码流分别传输， 得到了较好的结果，并且此算法简单实用，成为最为基础的多捕述算法方案而得 剑广泛j 够用。之后，v a is h a m p a y a n 本人对此算法进行了改进，提出了一种基丁熵 约束的m i ) s q 算法( e c m d s o ) 旧i 。此算法利用可变k 度编码概念，得到在高斯源信 号条件下比传统m i ) s q 算法更接近多捕述弹论速率一失真率边缘的结果。1 9 9 8 午以 后，随着互联网和多媒体技术的兴起，多批述编码越来越受剑研究人员的重视， 第1 章绪论 各种多描述编码算法的改进以及应用层出不穷。v i v e kkg o y a l 等人于1 9 9 8 年首 先将框架概念引入多描述编码，提出了利用框架的鲁棒性可以实现信号的多描述 编码的思想旧1 。之后g o y a l 等人将d c t 变换运用到图像的多描述编码中，取得了很 不错的效果。r o h i tp u r i 和k a n n a nr a m c h a n d r a n 两人将前向纠错编码引入源 信号的多描述编码中m 1 。a g n i e s z k a m i g u e la l e x a n d e re m o h r 和e v ea r i s k i n 三人把多捕述引入多级树集合分裂( s p i t h ) 算法中阳1 ，提出t m d s p i t h 算法并将 其用于网络分组传输中。2 0 0 0 年，s e r g i od s e r v e t t o 连同k a n n a nr a m c h a n d r a n ， v a i s h a m p a y a n 等人提出了一种基于小波的子带编码多描述图像算法，该算法只 需利用原有算法5 0 、6 0 的比特率就能够达到相同的信噪比。r u im a 和f a b r i c e l a b e a u 对m d s q 算法进行了改进，设计出了一种在噪声信道中具有很强鲁棒性的索 引分配方式i 。n i c o l af r a n c h i ，m a r c of u m a g a l l i 等人将多描述视频编码运用 n d ；可靠网络传输巾( i p 传输) | 1 引。可以说，多捕述编码算法的1 i 断创新是和多媒 体技术以及互联网的发展相辅相成的，由于其良好的抗t 扰能力从而存工业界得 到了广泛的应用。近年来，国内的许多学者也对多描述编码进行了广泛而深入的 研究”川川，在多捕述罔像方而，计文平等利用m o j e t t e 变换实现了一种图像多描 述编码方法：张楠等人提出一种基于方向提升小波变换的多描述图像编码方法 ；赵小青等人将多描述标量量化与s p i h t 编码联合起来，在差错信道下得到了 较好的结果l ；陈婧等提m 了基于x 树非平衡保护多捕述子带编码等”。 1 3 研究方法以及创新之处 本义提出了一种可适用于差错信道以及小可靠例络环境下图像传输的多描 述编码算法方案。我们注意到传统的多描述m d s q 算法是将信号分别量化成两个相 互独立的码流，也就是我们的索引分配函数是一张二维的表，分成的两个码流由 于其信息量过人，导致五失捕述后会对恢复信号造成比较人的影响，因此我们引 入了框架( f r a m e ) 这一概念。框架实质上足组任意空间的带有冗余的向量基 ，利用框架对m d s q 算法形成的两个码流进行空间扩展，从而得到多个描述子。 而框架的独特性质保证了在信道丢失捕述后，接收端仍然能够较好的恢复原信 号。仿真实验通过l e n a 图像的分析得剑了令人满意的结果：首先，本算法扩展了 描述个数，只要选取合适的扩展框架，我们可以得到任意多个描述个数：其次， 改进的算法在通过小概葺夏差错信道时，在同等条件下可以比原算法得到更高的信 噪比。 本文的另一项上作是提f l j 了一种具有广泛适应性的多描述罔像编码算法，利 用一个非线性函数对图像的感兴趣r 域进行扩展后采样得到的多捕述编码，在同 等码率以及相同描述个数接收情况下得到的r o i 信噪比，比朱进行变换的算法所 4 第1 章绪论 得到的结果要高。因此当我们对图像的某些部分有特殊的保护需求时，奉算法能 够很好的满足需要，凶此也具有非常广泛的应用前景。 1 4 本文结构安排 本文主要对以下几个方面进行深入研究和探讨： 第二章首先详细介绍了框架概念意义以及框架算子，分析了框架在信号重 构上的意义。并且对框架的实现进行了深入研究，构造出了单位圆上的紧框架， 以及通过量了测量启发而得到的新型紧框架的设计，最后讨论了紧框架的鲁棒 性。 第i 章引入了多描述编码算法思想，介绍了最基本的多描述编码算法流程， 分析了多描述算法的速率和失真率函数，i ：且介鲁“了目前广泛流行的几种多描 述算法。 第四章讨论了基于框架扩展的m d 跚算法的具体内容，包括传统m d s o 算法 介绍，以及算法所需耍的框架的具体形式。最后通过仿真实验得出算法的改进 效果。 第无章具体阐述了感兴趣区域的非线性变换多描述编码的思想以及算法。 包括如何选取合适的非线性变换函数，如何刈。图像进行扩展以及修复。同时我 们引入s p i h t 算法作为熵编码。通过实验得剑在不同描述下以及s p i h t 算法的 4 i 同码率下r o i 的恢复结果都令人满意。 第六章对全文所做的t 作进行总结，同时分析了多描述编码在将来多媒体 技术中的心用前景，对其发展方向进行了展望和预测。 第2 章框架理论简述 第2 章框架理论简述 2 1p 空间的基函数 信号的分解与重构是信号分析中的荩本问题。所i w d 解，是指将一个信号 f ( x ) r ( 尺) 与一系列函数慨( 力) 做内积运算所得到的值： q n z 称之为分解系数；它是厂( x ) 在基函数上的投影，因而能给出f ( x ) 中含有的与 e ( x 1 相关联的信息。 另一方面，= e 许多应用中我们还希望能利用经某种处理( 例如滤波) 之后 的分解系数数据重构近似信号厂( 工) 。如果以此为目的，必须能够在理论上保让： 在不对分解系数巳做任何加工的条件下，厂( x ) 可以通过 巳) 完全重构，即表达 式： ( 力= z c , ，反( 力= 巧，( 力 成寺。式l f j 邑( x ) ) 称为慨( 工) 的对偶。如果式中e ( 工) ) = 慨( x ) ，则重构公式 成为： 显然，当 厂( 曲= 巳吃( 力= 巳( x ) ( 2 1 ) = 4 = ：i 何= j ，z( 2 2 ) 则( 1 1 ) 式成立。( 1 2 ) 式称为正交归一化条件，并有如下定义： 定义满足正交门1 化条件的函数序列 巳( j ) ) 称为正交! j 。化函数系。而 个完备的正交归一化函数系称为正交归一化基| 2 ”i 。 2 2 框架的概念 d g a b o ry - 1 9 4 6 年首先引入了一个信号关丁基本信号的分解，来进行信号 处理。之后在1 9 5 2 年，r j d u f f 和a g s c h a e f f e r 进一步提炼了( , a b o r 的方 法，引入了框架的概念”。在平方n j 和空间即1 2 ( z ) 空问的序列集合 仍j 组成一 7 第2 章椎架婵论简述 个框架：若存在两个正的常数a 和b ( 0 a b o o ) 使得下式对所有f ( t ) l 2 ( r ) 恒成寺： a l l f l l 2 - 1 2 _ b i l s l l 2 ( 2 3 ) ， 式中 代表函数f ( t ) 与e p ，( t ) 的内积： = f f ( t ) q f ( t ) d t 正常数a 和b 分别称为框架的下边界和上边界。当a = b 时，称 仍) 为紧框架( t i g h t f r a m e ，t f ) ，特别的当a = b = 1 时，称 纪) 为正规紧框架。更特别的，- 当l b , l l = l 对 于任意f m 都成立的时候，我们称这一框架为归一化紧框架( u n i f o r m n o r m a l i z e dt i g h tf r a m e 。u n t f ) 。框架算子f 定义为： ( 嗣女- ，k = 1 , 2 , 3 朋 由此，f 足一个m n 的矩阵，并且第i 行足妒，( 缈，是仍的共轭转置) ，通过框架 算子f ，公式( 2 3 ) 可以写为 彳i n f + f b 实质卜来说f 是将空间r 扩展到空间卜的算子，i v i n 被称为框架j 几余度。 若 = o ，由框架定义可知，f = o ，即框架是完备的。 2 3 框架的意义 有离散小波变换知识口j 知， 即为离散小波系数，那么能否由 通过一个数值上稳定的方法霞构? 我们知道，限定f i f ( r ) 如果 = ，v m ，丹z ，jz = 正 或等价的 = 0 ，v m ，玎z ，jf = 0 ，则函数可通过其小波系数 来刻画。但我们不仅满足于刻画，还要能由 通过整个数值稳定的方法 重构f 。为了这一算法的存在性，必须使当( ) 与( ) 相差很小 时，z 与厶也相差很小。为了能精确地描述，需要建立函数空间和序列空间的 拓扑。在函数空间，已有h i l b e r t 空问拓扑。在序列空问，选择类似，2 一拓扑的 拓扑，使c = ( g ! 。) ；= 和c 2 = ( c 三。) 。胝z 的距离南 p c - c 20 = 一q 。1 2 来定义，这里隐含假定 ( 六。冼。碰，2 ( z z ) 发 r 第2 章框架理论简述 i 1 2 o o ，( w r ( r ) ) 在实际中，这是肯定的，下面将会看到，对适当的小波( 即沙具有时频衰减性 且却 ) = o ) ，总有 z l 1 2 - b i i s l f ( 2 4 ) 假定上式满足，由，2 ( z 2 ) 巾“接近”的意义，稳定性要求意味着如果i 1 2 很小，则l i s l l 2 也应很小。特别地，3 a 使得由i r 乏l ，可得出 l i s l l 2 口，任取厂r ( 尺) ，令厂= i f 2 】叫彪歹，很显然l 厂，。2 l ， 刚e l l s l l 怿口，但这意味着 “” t e l 阡i i s l l 2 口 或 a i i s l l 2 0 ( 2 5 ) 另一方而，如果对所有，上式被满足， 则j 要l 一 1 2 比 较小，距离m 7 , 一创就f i 可能任意大，从而( 2 4 ) 式等价于稳定性条件，联合式 ( 2 1 ) ，( 2 2 ) ，9 1 l j3 a o ，b 1 2 召i r l l 2 夥r ( 尺) 囚此，要山 通过一个数值上稳定的方法重构厂， 。；m ，门z ) 必须 构成一个框架。 若 是具有a = b = i 的紧框架，并日所有框架元素都具有单位范数，则框架 沙。) 是标准正交基。 证明： 令妒，是框架内的某个固定元素。由于a = b = i ，所以由框架定义得： i i n 。删除任 意向量纯c 后，剩余向量仍然组成一个框架。，i ：且其框架下界为a = m 一l ， 框架上界为b i = m n 1 2 。 证明：由于为一紧框架，我们可知l ( x ，吼) 1 2 = a ，对于任意x 有1 1 4 1 - - l = i 假发矽f 为从框架