（地球探测与信息技术专业论文）交流电测井高效数值模拟研究.pdf

中甫工业大学硕士论文鼻耍捅要k啦法涌并在矿产资源勘查特别是石油勘探中占有重要地位。目前广泛应用予油田和煤田生产。直流电阻率溯井只能在井内有导电泥浆时才能使用，其响应主要反映地层电导率。交流电涌井可以应用子各种井艰情况。利用的是交流电的互寤原理，使得发射线圈通过交流电时，接收线圈感应出与迪层参数有关的电动势。高频交流电涌井响应既反映地层电导率，又反映地层介电常数。本文从地球物理勘探中的电磁波在地层中的传播特征出发，提出了广义反射和广义透射的重要概念，并给出了其表达式。建立了交流电法测井在复杂地层环境下的物理和数学模型，根据此模型，建立了数学物理方程基于电磁场满足的h e l m h o l t z 方程和实际的渗透性地层环境，分析了瓣均匀介质中的波场，详细地介绍了交流电测井数值模式匹鬣法算法的实现。其核心思想是将二维闯题转化为一维( 纵向上) 的解祈递推和另一维( 径向上) 的数值计算。讨论了径向基函数，开发了相应的正演程序由于采用分域基函数，得弱的矩阵方程是稀疏对称的。计算了一些地层模型的响应。比较了其与解折解和有限元素解的数值模拟，结果表明了该方法的速度快、节省内存的优越性。而且，地层个数越多，其优越性越明显。在给出感应测井和介电测井方法原理的同时，针对痞应澜井的r信号与x 信号响应曲线以及介电测井的幅度比与相位差舱响应曲线进行了分析。得出的主要结论有：数值模式匹配法对于轴对称地层是一种效率很高的正演方法；x 信号的径向上的探测深度大予r 信号的探涌深度；r 信号的纵向上的分层能力好于x 信号的分层能力；一般情况下，可不予考虑井眼对幅度比与相位差的影响：幅度比与相位差曲线在分层能力和探溉深度上不匹配：对于常规仪器。在进行理论分析时，可以忽略把发射线蠢当成磁偶授予引起的误差。文中擐后给出了交流电测井反演的描述和基本思路。j j ，。?关键词：交流电测井数值衷螽数檀餐式匹配法基苦氟r 崩每与x 信号瞩度比与相差7 中南工业大学颈l 论文a 8 s t r a c te 箍c i e n tn u m e f i c a ls i m u l a t i o nr e s e a r c ho na cl o g g i n ga b s t r a c tb e i n ga l li m p o r t a n tm e t h o di nm i n e r a lr e s o u r c e ss u r v e y ( e s p e c i a l l yi np e t r o l e u me x p l o r a t i o n ) ，t h ee l e c t r i c a ll o g g i n gi sv i d e l yu s e di no i lf i e l d sa n dc o a lf i e l d s t h ee l e c t r i c a ll o g g i n gc o m m o n l yi n c l u d e sd c ( d i r e c tc u r r e n t ) l o g g i n ga n da c ( a l t e r n a t i n gc u r r e n t ) l o g g i n g a n dt h ef o r m e ri su s u a l l yu s e dt nc o n d u c t i v e m u db o r e h 0 1 e sa n dm a i n l vr e f l e c t sf o r m a t i o nr e s i s t i r it y ：t h el a t t e rcanb eu s e di na l m o s ta l lk in d so fb o r e h o l e sa n di t sr e s p o n s e sa r er e l a t e dt ot h ef o r m a t i o ne l e e t r i c a lp a r a m e t e r so fr e s i s t i v i t v d i e l e c t r i cc o n s t r n ta n dp e r m e a b i li t y t h e r e f o r e ，t h es t u d yo ff o r w a r dm o d e li n go fe l e c t r i c a l】o g g i n gi so fh i g hv a l h ea n ds i g n i f i c a n c e i nt h 【sp a p e r ，i m p o r t a n tc o n c e p t s ，g e n e r a li z e dr e f r a c t i o na n dg e n e r a li z e dt r a n s m i s s i o n a r ee x p o u n d e db a s e do nt h ee l e c t r o m a g n e t i cp r o p a g a t i o nf e a t u r e si ng e o p h y s i c a lp r o s p e c t i n g t h em a t h e m a t i c a la n dp h y s i c a lm o d e l so fa ce l e c t r i cl o g g i n ga r ef o r m e d m a t h e m a t i c a l p h y s i c a le q u a t i o no ft h e mi se s t a b li s h e d s t a r t e df r o mh e l m h o l t ze q u a t jo nt h a te mf i e l df u l f i l 】sa n dt h er e a lo s m o s i sf o r m a t i o ne n v i r o n m e n t w a v ea n df i e l di nf u l l h e t e r o g e n e o u sm e d i ai sa n a l y z e d t h en u m e r i c a lm o d e -m a t c h i n gm e t h o d ( n 懦) o fh el o g g i n g2 1 ) i n t ooned i m e n s i o n a la n a l y t i c a l_ i t hi t sc o r em e a n i n go ft r a n s f o r mr e c u r s i o na n dt h eo t h e rd j m e n s i o n a lh u m e r i c a ls o l u t i o n i si n t r o d u c e di nd e t a i l ：t h er a d i a lb a s i sf u n c t i o n sa r ed i s c u s s e d c o m p a r e dw i t hr e s u l t sf r o ma n a l y t i c a la n df r o mf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，t h i sm e t h o di sv e r i f l e dw i t hi t sa d v a nr a g eo fh i g hs p e e da n dl e s sm e m o r y s t o r a g e t h et h e o r ya n ds u r v e ym e t h o do fi n d u c t i o n o g g i n ga n dd i e l e c t r i cl o g g i n ga r ed is c u s s e d w it ht h es i m u l a t i o np r o g r a m sd e v e l o p e d ，t h er e s p o n s e so fs o m ef o r m a t i o nm o d e l sarec o m p u t e d 7 h er e s p o n s ec u r v e so fr s i g n a l ( r e a lp a r t ) a n dx - s i g n a l ( i m a g i n a r yp a r t ) o fi n d u c t i o n1 0 9a sw e l la sa m p l i t u d er a t i oa n dp h a s es h i f tc u r v e so ft h ed i e l e e t r i cl o g g i n ga r ea n a l y z e d t h em a i nc o n c l u s i o n sa r ea sf o l l o s ：k 姗i sa ne f f i c i e nlf o r , a r dm e t h o df o ra x i a l l ys y m m e t r i cf o r m a t i o n s ：t h er a d i a li n v e s t i g a l l o nd e p t ho fx s i g n a li sg r e a t e rt h a nt h a to l 、r - s i g n a l ：t h ev e r t i c a lr e s o l u t i o no fr - s i g n a lt sb e t t e rt h a nt h a to fx - s i g n a l ：m a g n e t i cf o r m a t i o n sc o u dcauses i g n i f i c a n tp e r t u r b a t i o n so nx - s i g n a l ：b o r e h o l e se f f e c to na m p l ir u d er a t i oa n dp h a s es h i f tcanu s u a j j yb ei g n o r e d ：t h ev e r t ic a lr e s o l u t i o na n dr a d i a li n v e s t i g a t i o nd e p t ho ft h e中南工业太掌颂士论文a b s t r a ( 了a m p l i t u d er a t i oa n d t h ep h a s es h i f td on o tm a t c he a c ho t h e r ：f o rt h ec o n v e n t i o n a le l e c t r i cl o g g i n gt o o l s ，t h ee r r o rc a u s e db yt h ea p p r o x i m a t i o nt h a tt h et r a n s m i t t e rc o i list r e a t e da st h ep o i n tm a g n e t i cd i p o l ecanb ei g n o r e d t h ed e s c r i p t i o na n de o g i t a t i o nr o u t eo fa cl o g g i n gi n v e r s i o nw i t hd b i mi sg i v e ni nt h ee n do ft h ep a p e r k e yw o r d s ：a cl o g g i n g ，n u m e r i c a lm o d e li n g ，n u m e r i c a lm o d n m a t c h i n gm e t h o d g a s i sf u n c t i o n s r s i g n a l ( r e s i s t i r es i g n a l ) a n dx - s i g n a、e a c li r es i ，一a m p l i r u d er a t i oa n dp h a s es h i f t中南工业大学磺士学位论文第一章地球物理蔫并藏值模搬爰其方法简介第一章地球物理测井数值模拟及其方法简介第一节地球物理测井概述地球物理测井学( 简称测井学) 是应用地球物理学的一个重要分支，它是用多种专门的传感器放入井内，沿井身测量钻井地质剖面上地层的各种物理量，研究地下岩石物理性质和渗流特性，寻找和评价油气及其它矿产资源的一门应用技术学科。现已广泛地用于油气、金属矿、煤田、工程和水文地质等许多方面。测井学l l l 包括涌井方法与理论基础、测井仪器与数据采集、测井数据处理与综合解释等既相互区剐又相互联系的三个部分。测并资料在油气勘探中有着十分广泛的应用，如地层评价、油藏描述、油井检测等。其中最基本和最重要的应用是地层评价。一方面因为地层评价是解决油气勘探开发中最核心的问题即寻找油气层与评价它们的产能，另一方面是因为它提供的结果常常是油藏描述及其地质、工程应用的基础资料。浏井资料记录的一般都是各种不同的物理参数，如电阻率、自然电位、声波速度、岩石体积密度、岩石中子俘获截面等，统称为测井信息。而测井资料的处理与解释的成果，如岩性( 岩石矿物成分) 、泥质含量( 粘土含量) 、含水饱和度、含油气饱和度、渗透率等等，统称为地质信息。在获取测井信息的过程中，一个很薰要的方面是对测井的方法和理论进行深入的探讨。这是本论文的出发点。法国的m a r c e l 和c o n r a ds c h l t m b e r g e r 兄弟在世界上首先发明了电阻率测井仪，并于1 9 2 7 年9 月在法国p e c h e l b r o n n 油田进行了首次测井工作。我国测井工作比西方国家晚了十多年，1 9 3 9 年1 2 月我国著名的地球物理勘探专家翁文波首次在四川石油沟l 号井测出了一条电阻率和一条自然电位曲线，并划分出气层位置。在地球物理测井中，电法测井是最基本也是最重要的测井方法，占整个测并工作量的6 0 以上。电法测井可分为直流电阻率澍井和交漉电铡井两大类i 。它们各自又有许多分支方法。交流电测并是利用井中发射的一定频率的电磁波在地层非均匀介质中形成涡流( 感应电流) ，接收天线翔接收这些二次源所产生的散射场，再将接收信号电动势换算为地层介质的视在的复介电常数作为测井响应记录下来。根据不同的需要，可以选择频率在1 0 一1 0 0 船j z ( 感应测井) 、1 0 - - , 5 0l t l z ( 深传播测井d p t ) 、以及1 1 g h z 电磁波传播测井( e p t ) 等。因为复介电常数孑= 6 - f 形，所以当频率很低( 如常使用的2 0 k l t z 感应测井) ，其虚部占主导，实际测井所得到的只是电导率响应。为了同时得到地层的视电导率和视介电常数信息，就必须提高1中南工业大学硕士学位论文第一章地球物理测井数值模拟及其方法简介工作频率，使得复介电常数的实都和虚部相当。e 既测井仅就是为此而设计的，但地层介质多为有耗的非均匀介质，而工作频率大幅度的提高使趋肤效应增大，电磁波传播衰减剧增，且径向探测深度大减。为了兼顾上述两个方面，又开发出工作在2 0 - 5 0 姗z 的“深传播电磁测井仪”b pd p t 仪-器，这就是常使用的介电测井仪。不同的工作频率要求不同的收发天线设计。感应测井和o p t 因为频率较低，收发天线均使用绕在芯棒上的圆环天线，它们可以看成是轴向上的赫兹磁偶极子，而e p t 仪器因为工作频率过高，采用背腔式裂缝天线作为收发天线。在天线的设计中，一个重要的问题是如何尽量消除收发的直接耦台，以便使接收天线能在较低的背景噪声电平条件下检测出较弱的地层介质的散射场信号。在感应测井中常采用复合线圈系( 如6 f f 4 0 ) ，用反向绕制的接收线圈对，通过调整匝数和收发线圈的距离使其中的直耦信号对消。当然，这样测量的总信号较双线圈系弱。图1 - 1 给出了感应测井线圈系的示意图。卜垡臼一图卜l 感应测井线圈系的结构示意圈直流电阻率测并受l j 将整个地层介质作为一个导电系统，利用电极间的电位差形成地层介质中的传导电流，测量该电位差和电流可以计算出地层介质的视在的电阻率作为测井响应记录下来。早期的直流电阻率测井利用楣距一定距离的点电极进行，从而诞生了普通电阻率法测井。后来测井工程师们通过电极系的专门设计使介质中的传导电流主要集中在地层中的某一部分。于是测井响应更明确地表现了该部分的电阻率信息。这些专门的电极系常称为聚焦型测井电极系。在直流电法测井以及低频交流电法测井中，一个非常重要的研究参数是岩石的电阻率。不同岩石的电阻率不同，而且差异较大。石油勘探中着重研究的沉积岩( 沉积岩储集层分为碎屑岩储集层和碳酸盐岩储集层两大类) 主要靠离子导电，电阻率一般比较小。而一些主要的造岩矿物( 石英、云母等) 电阻率比较大。大部分火成岩鸥电阻率较大。另外，石油电阻率也很高。一般认为，岩石电阻率的大小决定予以下因素：2中南工业大孝硬士学位论文第一章嫩肆物理铡井数值模投及箕方法箱介1 )岩石的组织结构；2 )岩石孔激内地层水分盐类的化学成分，浓度、温度：3 )岩石孔隙度：4 )岩石的含油饱和度测井分析家掌握了岩石电阻率与上述因素的关系，就可以通过对测井所湔得的电阻率曲线进行解释，得到储集层的重要参数孔隙度、含油饱和度。这些参数是始分油气层及评价油气层的重要依据。直流电测井秘感应浏井主要考虑电导率响应，丽介龟泓井同时考虑龟导率和介电常数的响应。第二节测井数值模拟的意义无论是电磁波测并还是直流电测井仪器都工作在极为复杂的非均匀介质环境中( 热盈t 2 所示) 。泓荇仪器工作耐，箕响应不可能正好反映出目的层的电参数信息。实际上，测井响应将在不回程度上受副井眼、侵入带和上、下围岩等的影响。因此，测井的电阻率响应与目的层的真电阻率是有一定差距的，称为视电阻率。为了让测井视电阻率响应尽可能地接近目的层的真电阻率，一方面要求设计出性能更好的测井仪器，另一方面要求对浏井响应散出梭正和正确的反演、解释。图1 - 3 是常规电阻率曲线解释和引入反演后的电阻率曲线解释示意图。图1 2 渗透层附近介质分布图l 泥浆电阻串2 一泥饼电阻率蛐洗带电阻牢扣过渡带扣艨状地层电阻苹3中南工业大学硬士学位 i 岳j t第二章广义反射和广义遗射第二章广义反射和广义透射第一节引言交流电涌井是电浏井的重要手段，是电磁波理论在地球物理中的具体体现对非均匀介质中场与波嘲嗍的研究是电涌井正演的基础。而对非均质的情况是从分层介质最先入手的。本章从交流电测井的实际出发，主要讨论了 r 1 5波的反射和透射，给出了广义反射和广义透射的重要概念，它们是后面要研究的n m m 法原理和电测井的严格解韵重要基础。第二节一维平面不均匀性标量方程的导出众所周知，当一各向同性介质的电磁性质( 即和占) 仅沿一个方向变化( 设为z 囱) ，不必求解完全形式的矢量波方程。实际上，对无源的情形矢量波方程可以简化为两个彼此无耦会的标量波方程，即横电波( 瓢) 和横磁波( 1 m ) 。对于t e 波，其电场垂直于z 向：对1 m 波，其磁场垂直子z 向。采用平面直角坐标系，t e 波( 鉴于交流电测井的实际，这里仅研究这种情况)的电场总是位于x y 平面内的。坐标变化总可以绕z 轴旋转以使得电场指向某一方向，如y 方向，卵e = e ，则无源介质中的鼠场矢量波方程为：胛f 。v 豆，一国2 芦面= 0 ( 2 - 1 )在上式中抽出y 分量，得：巨恻扩妄书= 。c 龙，同理，对t m 波而言巨忡，扣十= 。( 2 - 3 )注意这里t e 波和t m 波之问没有耦合。在复杂情形，如三维问题中，t e 波和t m 波之问的耦合必须考虑。d 币t ( 2 - 2 ) 和( 2 - 3 ) 中含有参项，对所有的z ，解必具有以下形式鼢 料却( 2 4 )因为介质在x 方向是不变的，故在x 方向必须满足相位匹配条件，即对所有的9中南工业大学碗士孝位论文第二章广义反射和广义蓬射z 值的解在x 方向必须具有相同的相位变化。其原因是，如果一个解在现有的坐标系中被确定，剐它在仅有x 方趣平移的新坐标系统中仍然成立。这时。在上式中对于所有的z 方向仅需要引入一个常相位因子e x p ( + i k ，x o ) ，而并不破坏其一般性。第三节平面分层界面上的反射和透射一单界面( 半空阃) 的反射和透射如图2 一l 所示，设有t e 型z 向平砸波( y 向极化) 入射到单界面( z 铀)x区域2圈2 - 1 单界面反射和透射示意圈处，则上半空间存在入射波和经界面反射的反射波，而下界面只存在透射波。它们的场分别为：e t , ( ：) = 印呐+ 俨一一( 2 - 5 )( ：) = t r s e o e 吣这里群5 和r ”分剔为界面处反射波和透射波与入射波幅度之比，称为局部反射系数和局部透射系数( 或称狭义反射和透射系数) 。k = 撕巧；，其中砖= 矗p 芦i 。在z - q ) 处代入边界条件c l ，= 包，d 出e i ，= 乓jz de 2 ,( 狮c l y2 包，h 出1 ，。忑t 掣7 )于是可以得到：1 0中南工业大学硕士学位论文第二章广义反射和广义透射尺m ：丝! ! ! 二丛生盐，乞七l ：+ h 也：7 瑾：兰丝! ! 2 t l = + p l 七2 ：t m 波的局部反射和透射系数可以类此j二三界面的反射和透射( 2 8 )( 2 9 )介质在z 向的一维非均匀性总可以用适当精细程度的平面分层结构来描述，而每一分层中的介质则是均匀的( 如图2 - 2 所示) 。i _ x些! i !兰_区域2，。垦塑! u吩c ：堡堇些二!区域；严n i n i弘n ，n图2 - 2 多层介质的反射和透射首先考虑t e 波从三层介质的反射( 如图2 - 3 所示) ：区域1 中的波可以写成岛，= 4 p 一晦，。+ r 1 2 e 2 “t 4 + 一，。】1 d id 21 d 3。d n ( 2 - 9 )其中趸：为反射系数，它是第一界面：= 一d l 处上行波幅值和下行波幅值之比。中南工业大擎硕士学位论文第二章广义反射和广义透射区域2沤域3图2 - 3 三层介质的反射区域2 中的波具有类似的形式岛。= a 2 e 一“2 + 憋3 9 2 “2 西屿】( 2 1 0 )其中心，是反射系数，它描述2 区中的下行波被3 区的反射情况。而3 区在z 向无限延伸，所以3 区中的波为岛，= 坞e 一如。( 2 。n )未知数4 和豆：可以通过波传播的寻迹，由界面的边界条件获得。具体地说，区域2 中的下行波为区域1 中的下行波的透射波和区域2 中上行波的反射波的叠加。所以在上界面：= 一d ：处，该边界条件为a 2 e 。b ，吐= a l e 啦j 吐正2 + 恐l a 2 r 2 3 e 2 “2 ；畦艰2 j 曲( 2 1 2 )上式右边第一项为1 区下行波的透射项在：= 吐处的幅值与透射系数五：的乘积。第二项为2 区上行波在：= 一吐处的反射项幅值乘于反射系数r ，。1 区中的上行波是由l 区中下行波的反射和2 区中上行波的透射形成，于是在界面= ；- d ，可以得到如下的约束条件：4 l 豆2 e 4 = r 1 2 4 e “t z + 疋1 4 r 3 e 2 蚝由- t k 2 j ( 2 1 3 )础心=zz中南工业大学硕士学位论文第二章广义反射和广义透射呜= 矗络嘉将( 2 - 1 4 ) 代入( 2 1 3 ) 可得昏盼茂第( 2 1 4 )( 2 - 1 5 )豆，称为三层介质的广义反射系数，它将1 区中的上行波和下行波幅值联系起来，包含了下层界面的反射以及第一层反射的影响。上式也可以用级数的形式来表达：豆2 = r 2 + 墨2 恐3 l ，士t 2 - 唾_ + 五2 吼l 五l # 4 如r ( 畦一血 + ( 2 1 6 )上式右边的第一项为第一界面的单次反射的结果，第n 项则是由三层介质的第n 次反射引起的。所以( 2 1 6 ) 对广义反射系数提供了一个清晰易懂的解释：可以看成是一射线族或几何光学级数，它是三层结构第二层中多次反射和透射的结果。三多界面的情形若在3 区下面再加一层，在前面的推导中只须将( 2 - 1 5 ) 中的k 用惑( 包含下层界面影响的广义反射系数) 代替。本来j b 仅为2 区中上行波和下行波之比t 若在3 区下面增加一层，这个比值变成砭。于是可以方便地将三层结构推广到任意多层结构的情形。一般地，对于n层结构，广义反射系数死。可以写成：1 3( 2 - 1 7 )中南工业大学硕士学位论文第二章广义反射和广义透射砜吨，+ 笺黪注意到氪爿+ ，= o ，所以各层的趸。都可以递推地求出。设第1 区的波为勺= 4 矿啦。+ 趸1 f + 。p 2 州呐。】与( 2 1 4 ) 类似，可以将4 用钆表达出来，1 1 1 1 ( 2 - 1 7 )( 2 1 8 )4 e 啦j 4l = i ：j i i 铸= 4 一。e 啦- l j 日q s 。c z 一，9 ，由于每层的磕。可以求出，所以每层的s 。，也可以解得。因为在1 区中的4是已知的，所以每一层的丘可以推导出为：4 e 睡“l = 4 e 啦z 画s 2 e 啦，畦一吐是j e 也叱j 面一1 q 一1 s - l ，：4 e 啦，4 最p ( t 一叶t & 一。( 2 - 2 0 )其中d o = 碣有了4 、趸i 。则任意场点的场可以方便地通过( 2 1 8 ) 导出。由此定义分层结构的广义透射系数为霉。：1 “- ip ( t 一。邑+ 。j l( 2 2 1 )上式的意义是n 区中下行波在界面z = 一“一，处的幅值正好是1 区中下行波在z = 一d ，处的幅值的。倍。1 4中南工业大学硕士学位论文第二章广义反射和广义透射这里袁几点需要指出。第一本章对多层结构的分析都是将源定在1 区，在实际的测井问题中，源是变化的，它穿越了所要研究的各层。源在其它各区的情形由本章讨论的的结果可以方便地导出，只不过每一层除了考虑下行波外，还需要考虑上行波。如果进行所谓“数值模式匹配”，则广义反射和广义透射系数将呈矩阵形式，称为广义反射和广义透射阵。在第三章里对此还将做详细阐述。第二，分层结构代替非均匀介质分布，需要遵循以下准则：每层层厚应该远小于波在介质中的波长。这就要求在做测井数值模拟，特别是高频测井数值模拟时，需要考虑的分层数可能要大于测井模型中给定的分层数。许多文献的许多工作【9 1 “嘟曾忽略了这一点。中南工业大学硪士学位论文第三章交漉电涓井矗效数值丧拉方法第三章交流电测井高效数值模拟方法第一节概述在非均匀介质中，交流电测井方法可以利用由m a x w e l l 方程组导出豹波动方程边值问题来描述。针对此波动方程，出现了许多好的数值模拟方法。其中文献t 1 1 1 的有限元素法( f e m ) 以其清晰的思想、良好的对边界的适应应用得较为成功。但是f e m 所涉及的未知量太多，而且径向和级向上( 二维情形) 均采用刹分，节点个数多，数据存储大。为了得到一个目标点上的解，需要计算所有节点上的结采，大大影响了其使用效果。特别是在需要进行快速反演解释的油田现场，f e m 往往不实用。针对这种情况，这里从波导理论中引入了所谓数值模式珏配法。其方法核心思想是在予午面上的一个方向上用解析解，而另一个方向上用数值解。从而把二维闯题转化为一维解析解和一维数值解的结合。它很好地结合了数值解法和解析解法各自的优点，能够求解那些无法得至h 解析解的复杂地层测井响应问题，但是叉比纯粹的数值解法速度快得多，大大减少了计算量，提高了计算效率。本章从测井环境的地层中电磁场所满足的麦克斯韦方程组出发，嗣用第二章讨论的非均匀介质中电磁波的传播理论。详细地阐述了轴对称条传下交流电测井数值模式匹配法( n 删枷c a lm o d e - m a t c h i n gm e t h o d ) 的算法和数值实现，给出了求解全非均匀介质中的波场的详细步骤。在比较了各种分域基函数之后，径向上采用幅度和斜度基函数逼近本征函数，绘出了所需求解的广义复特征值阿题中矩阵元素的解析表达式，从而使编程易于实现。实践证明n m m 法比起其它方法具有节省计算机内存、速度快等优点，而且精度很高。第二节全非均匀介质中的波场一目题的提出我们仅研究二维的情形，即地层轴对称，而且井是垂直的情况( 当源是三维的时候，这构成了二维半问题) 。在图3 _ 1 中，共有m 个水平界顽，它们的坐标是互 z 2 s 的各层，上行波材：是入射波，下行波吒是反射波；对于m s 各层，上行波与下行波角色互换，( 3 - 9 ) 式变为：越。( q ) ；g r e p + 残( ：) k o )= g r c ，b 三( z ) + 。；( 。”( 3 - 2 3 )式中q 二，q 二分别是对上行波和下行波的广义反射阵，它们分别代表，z m j 或 j ，负号适用于】，l s j 。由( 3 - 2 2 ) 式，可得反射阵的传播公式是：口：( = ) = t 稚a 孵( ：一：，) l z ( ，) e 【p l a 褂( ：一r ) 1 ( 3 - 2 5 )用下标( m ) + 和( 加) 一分别代表聊层内物理量在该层顶面和底面的取值。注意到电磁场边界条件，由于电场强度切向分量连续，邸：e = e f m l 圩( 3 - 2 6 )由v 。e 州掣h j 以：上掣由= 一f 掣j 以= 二半“l l “幺72 l( 3 - 2 7 )中南工业大学硕士学位论文第三章变漉电涓井高效数值模拟方法同时，磁场强度满足边界条件：( 日一) = 如( 3 2 8 a )以为界面电流面密度，魂为介质2 指向介质1 的单位法矢量。对于埘s呻的界面，如= o ，日的切向分量连续，即：-+n o ( 日l 一2 ) = 0( 3 2 8 b )这里以即为水平界面的切向分量，1 茧( 3 - 2 7 ) 和( 3 2 8 b ) 式得：亟坚：叠屠岔( 3 - 2 9 )需要指出的是，对于m = s 的界面，即源所在的界面，将不再满足( 3 2 8 b )式，需寻求另外的边界条件( 这正是后面源项要考虑的内容) 。现在的问题中，由边界条件( 3 2 6 ) 、( 3 - 2 9 ) 式分别得：g r c i ( ，+ q 矗灶) “盖) = g r c o ( j + q 厶，犴) “k ，) _( 3 - 3 0 )9 7 c 卅a 。( ，一 磕) ) 材盖) = g r ( k ；a 肿“( ，一( 恭。) 千) 噍，并由( 3 - 2 5 ) 式得：q 矗忏= e x p ( 一a 。k ) g = = i 。e x p ( 一a 。k )由( 3 - 2 2 ) 式得：磙) = e x p ( 一a 。k ) ；( 3 3 1 )( 3 - 3 2 )( 3 3 3 )式中k = 一z n l ，是第m 层豹厚度。由于e x p ( - a h ) 代表传播，从( 3 - 3 2 )式看出旦皇，；代表传播一反射一传播过程。将( 3 3 。) 、( 3 - 3 1 ) 两式左乘 g并对f 从0 到c o 积分，根据正交归一关系，分剐得：( ，+ q 薯) ) m 二) = 巴。，( ，+ 1 5 艺。，圩) l t 。，) -( 3 3 4 )a ，( ，一q 盎) ) z 去) = & 。，a 。，( ，一! j 仨。，f ) z 茜。，) _式中巴。，= c 三日c 0 ，可以证明：。= 聪，= 暖，( 3 - 3 5 )( 3 3 6 )r 3 3 7 )中南工业大学硕士学位论文第三章交流电测井高效数值模拟方法由( 3 3 4 ) 、( 3 - 3 5 ) 式可得出如下韵递推公式：g 如= r 。+ 乙_ ( ，一旺，f 心+ 。，) 4 ( 猛。f 时d l 。m l f = s ( _ ) h 氛式中墨。是在层面z ( 。持处向邻层的广义透射阵：( 3 3 8 )f 3 3 9 )s ( 卅 = ( ，r 。，1 2 乞。，犴) 。1 乙。：，( 3 - 4 0 )将( 3 3 8 ) 和( 3 - 4 0 ) 展开可以展现多重反射和透射过程。( 3 - 3 8 卜- ( 3 - 4 0 ) 式中：如。，= ( p 楸。，a 。+ a 。名。，) 。1 ( 。，a ，一a 。，)= ( 鼻。，。，一& 。，) ( 厶。八乏。+ ，)它是埘i 层对m 层入射波的狭义反射阵：已时，= 2 ( 。，a 卅，+ a ，只，) 。1 a ，它从m 层到m 1 层的狭义透射阵。( 3 - 4 1 )( 3 - 4 2 )如。h ，z k h 的表达式由( 3 - 4 1 ) 、( 3 - 4 2 ) 式右端各项下角标互换即得。第四节对源项的考虑和求解步骤在界面z s ，由于源的存在，边界条件不再是( 3 - 2 8 b ) 和( 3 3 1 ) 式，应是( 3 - 2 8 a ) 式，但是( 3 3 0 ) 式仍然满足。r 辆( 3 - 2 7 ) 、( 3 - 2 8 a ) 式知，代替( 3 - 3 1 )式的是：9 7 c s “a s + i ( ，一q 占“卜) 材0 + i 卜+ g r g a s ( ，一q 二卜) “二) + = i a j f f 孝( r )( 3 _ 4 3 )式中氧，) 是面电流在，方向上的分布密度。重复( 3 - 3 4 ) 与( 3 3 5 ) 式前面的步骤，得：( ，+ q 工j + ) “j = 砭要，( ，+ q 晶) 一) ”二。c 3 - - 4 4 )乓! j ( ，一q 二。，) “二+ ，卜+ ( ，一q 二，) 封二) t = 2 b 。( 3 - 4 5 )中南工业大学硬士学位论文第兰章交液电舅井高教教售辏报方法式中如= 等f 时) 静) g ( r ) d ro曩= 口b c , 。p ，s ( 州2 = a ：a ，。最( 6 )( 3 - 4 7 )( 8 )由于磊与真正层面相重合只是极偶然的情况。可以不予以考虑，( 基于此，在实际编程中，作如下处理：若磊与某一个层面重合，将发射线礴上提半个r l e v ，从而避免了a s 与a 州的不等) 所以( 3 - 4 3 ) 式中的c 。a ，+ l一律写为了g ，人。，变成：g 。g 人f ( ，一q l ，。) 吒+ 1 ) 一+ 9 7 g a s ( 卜( ! ! f 二卜) 吒卜= j 翻缈氨，) ( 3 4 3 )同理可得与( 3 4 4 ) 、( 3 - 4 5 ) 相对应的是：( ，+ ：囊i 卜) ：+ l 卜一( ，+ j ：矗+ ) 吒) + = 0 ( 3 - “)( ，一略，卜) l 矗l 卜+ ( ，一1 2 p ) l i 二h = 2 6 j( 3 - 4 5 )( 3 4 4 ) 、( 3 4 5 ) 式联立，解出：吒) + = ( ，一旦：占“卜q 二卜) 1 ( ，+ 1 2 - ，卜k( 3 - 4 9 )哦0 。卜= ( ，一q 二卜q 江。卜) 。( ，+ q 卜) 由于电流集中在发射线圈内，( 3 - 4 3 ) 式的电流面密度应是个尖脉冲：氤r ) = 1 j 烈，一口)( 3 - 5 1 )即满足约束条件f 善p ) 毋= 1 r ，将其代入( 3 4 6 ) 式得；i：华皤鼬) ( 3 - 5 2 )这里a 为发射线圈的半径由以上的分拆可以得出求解交流电溯井响应的基本步骤为：【1 】输入地层模型参数，包括地层个数，各层的侵入深度，及各部分的电性参数，仪器的尺寸和发射频率等。2 4中奄工业大掌磺士学位论文第三章交瘴电器并高效羲值棱掇方法【2 】选取基函数( 幅度基函数和斜度基函数) ，由( 3 1 9 ) 、( 3 2 0 ) 式用一维有限元法形成总体矩阵厶，b 。 3 1 求1 1 5 广义复特征值闯题( 3 - 1 s ) 式- 丸c = b c - 乙，( m = 1 , 2 ，m ) 。h 】确定源所在的位置及s 值。【5 】由于最上层没有下行波，最下层没有上行波，所以从q 当。= o ，q , - = o 出发，由( 3 - 3 8 ) 、( 3 - 4 0 ) 和( 3 - 3 2 ) 式可递推地求出q 0 ，q ，& 。卜，墨。h ，西，g ，s 2 ) _ t 一) 一。嘲由( 3 - 5 2 ) 式计算如，上一步已求得敛l ，露，n h ( 3 - 4 7 ) 和( 3 - 4 s ) 式求出吒) + ，略，卜，有了这两个入射波，由( 3 - 3 9 ) 和( 3 3 3 ) 式可推出各层入射波喀l ”，i 和l t ：，l 。+ + 。，同时各层的反射波f l t ( 3 - 2 4 ) 式求出。阴确定接收线圈所在的位置，由( 3 - 2 3 ) 式，令r ：a ，j = 靠( 接收线圈的半径和深度坐标) 即得接收线圈处的电场强度，由v ；2 m v n a 。e ( a 。，靠) 即得接收线圈中的感应电动势矿( 其中。为接收线圈匝数) 。在感应测井中，由电动势v 与直耦电动势可求得视电导率的r 信号和x 信号分量；在介电测井中，由两个接收线圈的电动势可以得到幅度比和相位差。第五节基函数的选取一常用的基函数基函数的选取在很大程度上影响着求解精度和速度。常用的基函数有三角形函数( 以下简称a 基函数) ，h 嗣, m i t e 函数，贝塞尔函数，幅度基函数与斜度基函数等。l 、基菌菝“1基函数表示式为：f ，一 ，f 丑一isr i 一o l正( ，) 2 1 旦三，fr(3-53)i k l 一1 0其它其导函数为：中南工业大学硕士学位论文第三章交流电测井高效数值模拟方法聊，= 黪，f - l ， ，i ， o i其它( 3 - 5 4 )基函数及其导函数的图象见图3 - 2 a 和3 2 b ，展开成基函数的特征函数曲线见图3 - 3 ，展开成其它基函数的特征函数曲线与此类似。，fi + 1图3 2 a 基函数fi 1“图3 - 2 b 基函数的导函数基函数的线性组合是折线。基函数是连续的，但在结点处一阶导数不连续，不满足边界条件( 3 1 7 ) 式。若选用基函数，需要选取较多的数量才能达到精度要求，基函数越多意味着广义特征值问题中矩阵的阶数越高，运算速度越慢，造成的误差也越大。图3 - 3 展开成基函数的特征函数2 、h e r m i t e 基函数h e r m i t e 基函数由于其对导数的适应性而获得广泛的应用。h e r m i t e 基函数表示式为：中南工业大学硕士学位论文第三章交流电测井高箍敦值模拟方法只( ，) ；( 上三_ 1 ) ：| 丝型+ 1 _ _ 2 ( 三鱼) ，+ 3 ( 二鱼) 2 ，r 茎t一c il 一一1j一一1一一1( 三i _ 1 ) ： 堑丑+ 】| _ - 2 ( 三! 卫) ，+ 3 ( 三吐) ：肛，钒。c “一cl k l 一j+ 】一+ 1 一f相应地，其导函数为：川p ) =o其它( 3 - 5 5 )i i _ = ：；了( r 一一，) ( 一r ) ，一t r i i ：! 万，一“) ( ，一，f ) ，+ ( 3 5 6 )o其它h e r m l t e 基函数及其导函数的图象见图3 _ 4 a 和3 4 b 中的g ：与露“。i - i e r m i t e 函数的线性组合连续并且有连续的一阶导数，其性质优于a 基函数，但在节点处其导数被强制为零，不符合前面所要求的基函数的条件。为此，进行改进，采用了下面的斜度基函数。3 、幅度基函数与斜度基函数文献【3 3 】中提出并使用的型函数( s h a p ef u n c t i o n ) ，包括幅度基函数与斜度基函数。在区阃l k 。，r i 。l ，( k - - 0 ，1 ) 内，定义线段比坐标：l l + k o ( ，) = 生，+ i 一+ t i：二玉生，( 妊o ，1 )十t i 一，l ”一u ，1 ，f + t 一“一l利用这种线段比坐标表示基函数十分方便，例如a 基函数可以表示为：f ( r ) = “i t ( ，) ，c + l l 蔓，+ t ，( 七= 0 , 1 )下标为奇数的基函数是幅度基函数g ：。，卜标为偶数的基函数是斜度基函数9 2 。中南工业大学硕士学能论文第三章交流电测井高教数值棱扭方法i9 2 i 一( 7 ) 一2 珐“一! ) - i 3 一t ( 7 ) 一- 厶，a l = , 2 一厶为两个接收线圈的间距。厶与厶的中点深度坐标定义为该仪嚣的深度坐标( 即介电测井的深度记录点) 。一般地，址为0 。2 o 4 i ，t 到扁与飓中点的距离为0 8 1 0 m ，介电测井工作频率一般为1 0 1 0 0 m ( h z ) 。由于电磁波传播教应的影响，电磁波在传播过程中要发生相位变化和幅度衰减，从丽使两个接收线圈中的信号在相位和幅度上有差别，并由此产生两种不同但又相互联系的介电测井方法。测量两个接收线圈的相位差来研究地层性质的方法，叫相位介电灏并；测量其信号幅度及其比值来研究地层性质的方法，删幅度介电涌并；大多数介电溺井仪器包括这两方面的测量项目。中南工业大学颈士学位论文第五章介电舅井数值模拟研究设发射线圈通以正弦交流电，= i o p ”，当发射线圈的尺寸和线圈距相比很小时，可以把发射线圈当作磁偶极予( 见附录的讨论) ，得到接收线圈r 1 与是的感应电势h 和屹l 电参数为西岛卢的均匀介质中) tr墨图5 - i 舟电测井原理示意图一肥巧= 一f ( ? 曼：( 1 + l 扎，) ，j = l ，2式中：c ：型驰冗传播常数c 复波数：七；国j 从f 一三)k = 征一i 8口= 莎万i i= 据州厢一删口与p 分别叫衰减系数和楣位常数。于是，接收线圈感应电压的幅度和相位分别表示为：阱譬肛万而谚( 5 一1 )( 5 2 )( 5 - 3 )( 5 - 4 )( 5 5 )中南工业大学礤士学位论文第五章介电涮井教佳接报研究铲i m ( i n ( v j ) 卜吩t a n 弋訾)( 从而得到采用分贝表示的衰减系数a 和相位差a 的计算公式：删。虹斟洲 o g ( a l 2 ) 2 + ( 1 偶m 。g k l ) 2 + ( 1 倔) 2 i+ 6 0 ( 1 0 9 l l l o g 厶) + 8 6