（光学工程专业论文）色散平坦光子晶体光纤在光通信中的应用.pdf

南京邮l b 学院颂上学位论文摘要 摘要 在信息社会日益发展的今天，具有巨大传输容量的光纤通信网作为骨干网 络己渗透到各种电信网络中，并且随着密集波分复用系统( d w d m ) 的发展和逐步 成熟，光纤通信网络正进一步向超高速、超大容量的方向发展。在高速率的d w d m 系统中，丌发敷设新一代光纤已成为构筑下一代电信网的重要基础。然而，由于 传统通信光纤容易受到损耗、色散和非线性效应的影响，使得进一步提高它的通 信性能变的越来越困难，从而激发人们开始寻求研制新型光纤以取代常规光纤。 本文讨论的带隙效应光子晶体光纤( p b g f s ) 就是其中的一种新型光纤。 p b g f s 近年来引起了人们越来越多的关注，同益成为研究的热点。p b g f s 具有 独特的几何结构，从截面上看，包层折射率呈周期性变化，而以低折射率的中心 缺陷作为纤芯；独特的几何结构使得光子晶体光纤能以独特的机理一一光子带隙 效应一一导光；独特的导光机理造就了光子晶体光纤独特的传输特性一一可控的 波导色散特性、理论上极低的损耗和非线性效应：从丽表现出作为光网络传输介 质的巨大潜力。 由于p b g f s 具有复杂的几何结构，电磁波理论难以得到精确的解析解，只 能通过采用数值方法进行计算机仿真来进行分析研究。本文采用平面波法( p w m l 和时域有限差分法( f d t d ) 两种数值方法研究p b g f s 的导光特性、色散特性等； 分析了光子晶体光纤包层周期性折射率变化对光子带隙的影响，表面模式的存在 及其对p b g f s 的影响，为合理选择光子晶体的结构形式提供了理论上的依据； 从理论上对光子晶体光纤的色散特性进行了详细的分析和研究：最后研究了光子 晶体光纤在d w d m 系统中的应用，它可以提高通信光纤的传输距离和通信容量。 光子晶体光纤解决了传统光纤中遇到的问题，从而预示着它在光纤通信领域中将 有重要的应用前景。 关键词：带隙效应光子晶体光纤，光子晶体带隙，缺陷态，平面波法，时域有限 差分法，色散特性，表面模 南京邮i u 学院倾l 学位论文摘赞 a b s t r a c t o p t i c a lf i b e rc o m m u n i c a t i o ns y s t e m sh a v eb e c o m et h eb a c k b o n en e t w o r ki nt h e f a s td e v e l o p m e n ti n f o r m a t i o ns o c i e t y w i t hm a t u r a t i o no fd e n s ew a v e l e n g t hd i v i s i o n m u l t i p l e x i n g ( d w d m ) t e c h n o l o g y , o p t i c a lf i b e rc o m m u n i c a t i o ni se v o l v i n gt o w a r d s s u p e rh i g hs p e e da n ds u p e rl a r g ec a p a c i t y i nh i g hs p e e dd w d ms y s t e m 、d e v e l o p i n g n o v e lf i b e rh a sb e c o m ei m p o r t a n tf o u n d a t i o no fn e x tg e n e r a t i o nt e l e c o mn e t w o r k h o w e v e r ，t r a d i t i o n a lf i b e r sa r es u b j e c tt ot h ei n f l u e n c eo ff i b e rl o s s e s ，d i s p e r s i o n ， n o n l i n e a re f f e c ta n ds oo n t h u sr e s e a r c h e r sh a v eb e g u nt od e v e l o pn o v e lf i b e r s t h ep h o t o n i cb a n dg a pf i b e r s ( p b g f s ) t h a tw ew i l lm a i n l yd i s c u s s e di nt h i s p a p e ra r eo n e o ft h en o v e lf i b e r sp e o p l ea r e p a y i n gm o r ea n dm o r ea t t e n t i o nt o i th a s u n i q u es t r u c t u r e sw i t hap e r i o d i c a lc h a n g eo fr e f r a c t i o ni n d e xi nt h ec l a d d i n ga n da d e f e c ti nt h ec o r e p b g f sh a v em a n ys i g n i f i c a n tp r o p e r t i e s - - c o n t r o l l a b l ed i s p e r s i o n ， v e r yl o wl o s s e sa n dn o n l i n e a r i t yi nt h e o r y a l lt h e s em a k ep b g f sag o o dc h o i c ea s t h em a i nm e d i u mo f t h eo p t i c a ln e t w o r ki nt h ef u t u r e d u et oi t sc o m p l e xg e o m e t r y , i ti sh a r dt oa n a l y s i sp b g f sp r e c i s e l yi nt h e o r y , s o n u m e r i c a la n a l y s i sm e t h o d sh a v et ob eu s e d i nt h i s p a p e r , t h ep r o p e r t i e s o f a i r - g u i d i n ga n dd i s p e r s i o no fp b g f sa r ed i s c u s s e dw i t ht h ec o m b i n a t i o no ft h ep l a n e w a v e sm e t h o d ( p w m ) a n dt h ef i n i t e - d i f f e r e n c et i m e d o m a i nm e t h o d ( f d t d ) w e a n a l y z et h ei n f l u e n c eo nt h ep h o t o n i cb a n dg a pb yc h a n g i n gt h ep e r i o d i c a lr e f r a c t i o n i n d e xi nt h ec l a d d i n go fp b g f s t h ea f f e c to fs u r f a c em o d ei sd i s c u s s e d ，w h i c h p r o v i d et h e o r yf o u n d a t i o nf o ra p p r o p r i a t e l yc h o o s i n gt h es t r u c t u r eo fp h o t o n i cc r y s t a l ， f i n a l l y , w es t u d i e dt h ea p p l i c a t i o n so fp b g f si nd w d ms y s t e m ，w h i c hc a ni m p r o v e t h et r a n s m i s s i o nd i s t a n c ea n d c a p a c i t y o fc o m m u n i c a t i o nf i b e r b e c a u s eo f r e m a r k a b l ep r o p e r t i e so fp c f , i tw o u l dh a v ei m p o r t a n ta p p l i c a t i o np r o s p e r i t yi n t e l e c o m m u n i c a t i o nr e g i o n k e yw o r d s ：p h o t o n i cb a n dg a pf i b e r s ( p b g f s ) ，p h o t o n i cb a n dg a p ( p b g ) ， d e f e c t m o d e ，p l a n e w a v em e t h o d ( p w m ) ，f i n i t e d i f f e r e n c e t i m e d o m a i nm e t h o d ( f d t d ) ，d i s p e r s i o np r o p e r t i e s , s u r f a c em o d e i l 南京邮电学院学位论文独创性声明 y7 6 5 0 7 7 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 含为获得南京邮电学院或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：日期： 南京邮电学院学位论文使用授权声明 南京邮电学院、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留 本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其 他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一 致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布 ( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权 南京邮电学院研究生部办理。 研究生签名：导师签名： 日期： 南京邮l u 学院硕士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 近几年来i t e m e t 网上各种形式的数据业务量急剧增长，促进了宽带骨干通 信网的建设。当前运营商建网的趋势是大容量，高速率，正开始向下一代可持续 发展的方向发展。光纤是最主要的传输媒质，其性能对传输信号的影响很大，所 以设计和采用特性优良的光纤是提高传输性能最有效的手段。理想的光纤特性应 该是具有很小的衰减、低的色散、色散平坦、较大的有效面积、理想的弯曲特性 等等。实际中传统光纤很难同时满足这些要求。丌发新型的低色散和色散平坦光 纤已成为下一代网络基础设施研究的重要课题之。本文研究的光子晶体光纤 ( p c f ) 就是一种极具发展潜力的光纤。 1 1 目前的光纤通信系统的概况 1 9 6 6 年英藉华人高锟提出用石英玻璃纤维作为传输煤质来进行通信“1 。1 9 7 0 年美国康宁公司首先拉制出低损耗光纤。由此开始，光纤数字通信系统得到飞速 发展。随着密集波分复用d w d m 技术、掺铒光纤放大器e d f a 技术和光时分复用 o t d m 技术的发展和成熟，光纤通信技术正向着超高速、大容量通信系统发展， 并且逐步向全光网络演迸。采用时分复用o t d m 和d w d m 技术相结合的1 6 t b i t s 的系统已经商用化。目前在d w d m 系统中有以下几种光纤使用的较为普遍，g 6 5 2 光纤( 常规单模光纤) ：工作波长为1 5 5 0 n m ，色散系数为1 7 p s n m k m ，在此工作 窗口具有较小的损耗值，但是由于存在较大的色散，在进行长距离传输时需要采 取色散补偿技术；g 6 5 5 ( 非零色散位移光纤) ：它的工作波长为1 5 5 0 n m ，零色 散波长位于1 5 5 0 h m 附近。当它的零色散波长小于1 5 5 0 h m 时具有正色散值，而零 色散波长大于1 5 5 0 n m 时具有负色散值，因而可以有效地避免四波混频造成的影 响。但它的主要缺点是可能产生调制不稳定现象或不能利用自相位调制来扩大色 散受限传输距离；全波光纤：它消除了常规光纤在1 3 8 5 n m 附近由于氢氧根离子 造成的损耗峰，损耗从原来的2 d b k m 降到0 3 d b k m ，这使光纤的损耗在1 3 1 0 1 6 0 0 n m 都趋于平坦，但它在色散和非线性方面没有突出表现；大有效面积光纤： 其有效面积达7 2 # m2 ，零色散点处于1 5 1 0 h m 附近，因而在相同的光纤功率时， 南京邮i b 学院硕士学位论文 第一章鳟 论 降低了光纤中传输的功率密度，可以有效地克服非线性效应的影响。它的主要缺 点是色散斜率偏大，在长距离传输时需要采取色散补偿技术。 近年来，人们发现利用介质折射率在空问上呈周期性分布的二维光子晶体可 以做成光子晶体光纤，其原理是利用光子晶体所特有的光子带隙效应来导光，与 传统的光纤相比，它具有很多奇特的特性，可以很好的解决传统光纤所遇到的损 耗，色散和非线性等问题，有效地扩展了光纤的应用领域。 本章首先对光子晶体及光纤的基本概念作一个简单的介绍，然后再介绍光 子晶体光纤的研究进展及其数值研究方法。 1 2 光子晶体简介 众所周知，电子在周期势场中传播时，由于电子波会受到周期势场的布拉格 散射，会形成能带结构，带与带之间可能存在带隙。电子波的能量如果落在带隙 中，传播是被禁止的。其实，不管任何波，只要受到周期性调制，都有能带结构， 也都有可能出现带隙。能量落在带隙中的波是不能传播的。电磁波或者光波也不 会例外。j 9 8 7 年e y a b n o l o v i t c h “1 在讨论如何抑制自发辐射时提出了光子晶体 这一新概念。几乎同时，s j o h n 。”在讨论光子局域时也独立地提出了这个概念。 光子晶体概念的提出向人们展示了一种新的控制光子的机制，它完全不同于以往 利用全反射来引导光传输。光子晶体( p h o t o n i cc r y s t a l s ) 是折射率在空间周 期性变化的介电结构，其变化周期和光的波长为同一个数量级。光子晶体也称为 光子带隙材料( p h o t o n i cb a n d g a pm a t e r i a l s ) ，也有人把它叫做电磁晶体 ( e l e c t r o m a g n e t i cc r y s t a l s ) 。 光在介质中传播服从麦克斯维方程“1 ： 经运算可得到方程 v 西( ，f ) = p ( ，) v 后( ，r ) = 0 v 。凰，f ) ：掣+ 7 ( 1 1 ) 讲 v 驯一掣 2 南京邮i 邑学院顾1 ：学位论文 第一章绪论 v 南v 埔( r ) = 7 ( ) 2 日- p ) ( 1 2 ) 这个方程类似电子的薛定谔方程，是线性本征值问题，只在特定的频率处有 解，而在某些频率区域没有解，这样就形成了类似电子晶体的能带结构，称之为 光子能带( p h o t o n i cb a n d ) 。能带之间的电磁波在光子晶体中是被禁止的，即存 在带隙，称为光子带隙( p h o t o n i cb a n d g a p ，简称p b g ) 。光子带隙的存在依赖于 空间变化的介电常数，光子晶体的介电常数之间相差越大，则越有可能出现光子 带隙；几何形状也影响光子带隙的出现，通过人工地改变光子晶体的对称结构也 可以产生光子带隙。 光子晶体按照空问分布的周期性可以分为：一维、二维和三维光子晶体。如 图l 所示。其中一维光子晶体就是我们通常所说的光学多层膜，多层介质膜周期 性地排列形成一维光子带隙，使某些频率范围的光子无法穿越，产生高效率的反 射。在实际的应用中，二维和三维光子晶体有着更广泛的前景，因此更受到人们 的重视。 图l一维光子晶体二维光子晶体二维光子品体 光子晶体的基本特征是具有光子带隙，光子带隙的存在带来许多新物理和新 应用。如果在光子晶体的周期性结构中引入缺陷，破坏其结构的周期性，那么在 光子禁带中引入缺陷态，与缺陷态频率吻合的光子被限制在缺陷的位置，一旦偏 离缺陷位置将迅速的衰减，这样就可以控制光波在缺陷中进行传输。人们在光子 晶体的基础上进一步提出了光子晶体光纤的概念。 南京邮i u 学院硕一0 学位论文 第一章缔论 1 3 光子晶体光纤简介 1 3 1 光子晶体光纤的研究进展 光子晶体光纤( p h o t o n i cc r y s t a lf i b e r ，简称p c f ) 的概念最早由 s t j r u s s e l l 等人在1 9 9 2 年提出8 1 。它是在石英光纤上规则地排列空气孔，而 光纤的纤芯由一个破坏包层周期性的缺陷态构成，这个缺陷态可以是大的空气孔 或实心的石英。这样从光纤的端面看，存在周期性的二维光子晶体结构，并且在 光纤的中心有缺陷念，光便可以沿着缺陷态在光纤中传输。 光子晶体光纤导光存在着两种截然不同的导光机制。一种是改进的全内反射 ( t i r ) 导光机理，另一种是光予带隙效应( p b g ) 导光机理。基于全内反射机理的光 子晶体光纤( t i r - p c f ) 的纤芯为实心的硅，与普通光纤的导光方式类似，它只要 求纤芯的折射率大于包层的等效折射率，只要使中间的缺陷区域和外围周期性结 构的包层出现有效折射率差，就可以使光波在其中传播。j c k n i g b t 等人在 o f c 9 6 上报道了第一个p c f ( 图1 1 ) 就是基于t i r 导光的。” 图1 1j e n i g h t 等人1 9 9 6 年首次报道的光子晶体光纤“ 而基于光子带隙效应导光的光子晶体光纤( p b g f s ) 则是在光纤的中心引入 额外的空气i l ，p c f 就有可能利用这个缺陷念沿着光纤纵向导光。这种导光机珊 与传统的常规光纤的全内反射导光机理有巨大的差异，这种独特的导光机理给 p b g f s 带来了独特的传输特性。最初提出光子晶体光纤概念的时候，就是希望利 用其光子带隙效应来导光。第一个真正利用完全二维光子带隙效应原理导光的光 子晶体光纤报道于1 9 9 8 年，结构如图卜2 ，它的包层为蜂窝型的空气孔排列， 南京邮i u 学院顿士学位论文 第一章缔论 图1 2 蜂窝结构p 1 3 6 f s 的截面图7 在其f 中心有一个作为缺陷的空气孔，光被局限在芯区附近传输”，但作为第一 种p b g f s ，这种光纤没有太大的实用价值。因为在这种p b g f s 中所能传输的光场 的绝大部分是分布在中心缺陷空气孔周围的硅中而非缺陷空气孔中，这造成该种 p b g f s 与常规光纤在色散和非线性效应等方面存在类似的不足。随后在1 9 9 9 年， 三角形结构的p b g f s 出现”1 ，其结构如图1 3 ，包层为三角形周期性结构，中心 抽取七个空心介质管作为纤芯，实验表明，这种p c f 能够实现光子带隙效应导光， 且光场的大部分集中在缺陷的空气孔中。这可以带来很多好处，例如由材料引起 的损耗、色散和非线性与常规光纤相比是很小的，从而有望极大地提高光波在光 纤中的传输距离。 图1 3 = 角结构p b g f s 的截面图 南京岍l u 学院坝l 学位论文 第一市绪论 图1 4 展示了由美国康宁公司c h a r l e n em 等人于2 0 0 3 年拉制的低损耗空芯 薄壁六角形p b g f s 具有较低的损耗，最低达到1 3 d b k m 0 1 。2 0 0 4 年， b l a z e p h o t o n i c s 公司通过减小光纤纵向微扰尤其是改进最里面两个空气孑l 环结 构将损耗较低到1 7 2 d b k m “。3 ，如图1 5 所示。虽然与普通单模光纤相比还有一 定的差距，但最新研究结果表明大部分损耗是由纤芯模式和表面模式耦合引起 的。表面模式是一种局域在p b g - - p c f 空气纤芯和介质周期分布的包层之暗j 的 一种缺陷模式，有待进一步的研究。 图i 42 0 0 3 年康j 。公亓7 拉制的薄壁六角形p b g f 的截面图 图1 52 0 0 4 年b l a z e p h o t o n i c s 公司低损耗( 1 7 2 d b k m ) p b g f 本文将重点放在带隙效应导光的光子晶体光纤( p b g f s ) 上，分析讨论p b g f s 的色散特性及应用。 6 南京邮i b 学院f ! l 一学位论义 筘一章绪论 1 3 2 光子晶体光纤数值计算方法简介 光子晶体光纤具有复杂的几何结构，出传统电磁场理论的解析方法很难得到 精确的解析解，因此需要利用数值计算方法，通过模拟电磁场在光子晶体光纤中 的传播过程来对p b g f s 进行分析研究。因此，采用一种简便、快捷的数值计算方 法对研究光子晶体光纤是非常重要的。 由于光子晶体有类似电子晶体的结构，人们通常采用分析电子晶体的方法理 论来分析光子晶体的特性，并取得了和试验一致的结果。主要的方法有：有限元 法( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d f e m ) 、平面波展开法( p l a n ew a v ee x p a n s i o nm e t h o d ， 简称：p w m ) 、时域有限差分法( f i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a i n 简称：f d t d ) 、 传输矩阵法( t r a n s f e rm a t r i xm e t h o d 简称：t m n ) 和散射矩阵法( s c a t t e r i n g m a t r i xm e t h o d 简称：s m m ) 等。这里简要地介绍以下几种方法。 1 3 2 1 全矢量有限元法1 全矢量有限元法是一种求解偏微分方程的方法，自2 0 世纪5 0 年代以柬被广 泛应用于求解热传导，电磁场，流体力学等连续性问题。这一方法首先需要在这 些方程所在的空间上对其进行离散化。所谓离散化，是指将一个大的区域划分成 一些结构简单形状任意的局部小区域( 即有限单元) 。空间离散化后，最初的偏 微分方程将变成某种形式的矩阵方程，它们把单元中某些特定节点上的输入( 已 知量) 与同一点上的输出( 未知量) 联系起来。为求解某个大型区域上的方程， 可以将子区域上的矩阵方程按节点叠加起来，得到一个总体矩阵方程而求解，也 可以采用“逐个单元”法求解，以避免产生巨大的总体矩阵。其计算精度是由计 算空间的离散化程度决定，场强变化剧烈的区域里网格划分得要很细，通常对硬 件要求较高。 1 3 2 2 平面波扩展方法”1 平面波展开法是比较常用的一种方法，它的基本思想是：将电磁场以平面波 的形式展开，可以将麦克斯韦议程组化成一个本征议程，求解该方程的本征值便 7 南京邮i u 学院坝i ：学位论文 第一章圭 论 得到传播的光予的本征频率。这种方法的不足之处是当光予晶体结构复杂或处理 有缺陷的体系时，可能因为计算能力的限制而不能计算或者难以准确计算。而且 如果介电常数不是常数而是随频率变化，就没有一个确定的本征方程形式，这种 情况下根本无法求解。 1 3 2 3 时域有限差分法“3 _ 1 们 时域有限差分法是电磁场数值计算的经典方法之一。它的基本思想是将一个 单位原跑划分成许多网状小格，列出网上每个结点的有限差分议程，利用行里渊 区边界的周斯条件，同样将麦克斯韦方程组化成矩阵形式的特征方程，这个矩阵 是准对角化的，其中只有少量的一些非零矩阵元，计算最小。但是由于有限差分 时域法没有考虑品格的具体形状，在遇到特殊形状晶格的光子晶体时，很难精确 求解。对于周期性的结构中存在缺陷或晶体不具备周期性时( 如p b g f s ) ，可以使 用非周期性的边界条件，目前使用最广泛的是完全匹配层( p e r f e c t l ym a t c h e d l a y e r ，p m l ) 吸收边界条件。 本文在对p b g f s 的研究过程中将p w m 和f d t d 两种方法结合起来，用p w m 计 算包层完整周期结构的带隙结构，用f d t d 方法仿真带有缺陷时的p b g f s ，各取 所长加以应用。这两种方法的基本原理在第二章中将作详细的介绍。 1 4 论文的研究重点和内容安排 本文主要分析研究带隙效应光子晶体光纤( p b g f s ) 作为传输介质，在解决光 纤通信系统面临的色散问题上的应用。由于光子晶体光纤结构的复杂性，在对光 子晶体光纤的各种特性的研究中，作者将p 删和f d t d 两种方法相结合，进行数 值模拟和仿真。下面是本文的内容安排： 第一章简要介绍以常规光纤为传输介质的d w d m 所面临的损耗、色散和非线 性效应问题。随后介绍光子晶体及光子晶体的概念和光子晶体光纤的研究进展。 晟后简单介绍用于分析光子晶体光纤的几种常用的数值计算方法。 第二章对p w m 和f d t d 这两种分析光子晶体光纤的数值计算方法作比较详细 的介绍，并对两种方法的优缺点和适用的范围进行比较，作为第三、第四章中分 析和计算仿真光子晶体光纤带隙结构，进一步讨论光予晶体光纤波导色散特性的 8 南京邮也学院硕士学位论文 第一章绪论 理论基础和基本工具。 第三章对折射率变化对p b g f s 中心缺陷导光特性的影响进行研究，分析在 p b g f s 中实现空气导光所必须满足的条件，并利用平面波方法计算仿真了不同周 期性介质折射率对光子带隙的影响。 第四章首先探讨了p b o f s 中表面模式的物理机制并探讨通过精确的结构设 计来避免表面模式的存在。并对研究p b g f s 缺陷态及波导色散特性的理论基础进 行论述，随后利用时域有限差分法计算仿真不同中心空气孔径条件下p b g f s 的波 导色散特性曲线。 第五章根据第四章的仿真结果讨论分析了p b g f s 的低色散和色散平坦特性 在现代光通信系统中的应用。 参考文献： 1 k a o ，k c a n dh o c k h a m ，g a ，”d i e l e c t r i c f i b r e s u r f a c ew a v e g u i d e sf o r o p t i c a l f r e q u e n c i e s ”，p r o c i e e v 0 1 1 1 3 ，n o 7 ，j u l y1 9 6 6 ，p p 1 1 5 1 - 1 1 5 8 a w a r d e d e l e c t r o n i cd i v i s i o np r e m i u m 2 y a b l o n o v i t c h e ，“i n h i b i t e ds p o n t a n e o u se m i s s i o ni n s o l i d - s t a t e p h y s i c s a n d e l e c t r o n i c s ”，v h y s r e v l e t t ，1 9 8 7 ，5 8 ( 2 0 ) ：2 0 5 9 2 0 6 1 3 j o h ns ，s t r o n g ，“l o c a l i z a t i o no fp h o t o n si nc e r t a i nd i s o r d e r e dd i e l e c t r i cs u p e r l a t t i c e s ”，p h y s r e v l e t t ，19 8 7 ，5 8 ( 2 3 ) ：2 4 8 6 2 4 8 9 4 】4 k a z u a k is a k o d a ，“o p t i c a lp r o p e r t i e so fp h o t o n i cc r y s t a l s ” s p f i n g e r - v e r l a g b e r l i nh e i d e l b e r g ，2 0 0 1 ，p 1 3 5 】s t j r u s s e l l ，e t a l “d e s i g n i n gap h o t o n i cc r y s t a lf i b r ew i t hf l m t e n e dc h r o m a t i c d i s p e r s i o n e l e c t r o n i c sl e r e r s ”，1 9 9 2 ，3 5 ：3 2 5 3 2 7 6 k n i g h t jc ，b i r k sta ，r u s s e l lps tj ，a t k i ndm “p u r es i l i c as i n g l e m o d ef i b e r w i t hh e x a g o n a lp h o t o n i cc r y s t a lc l a d d i n g ”，p o s t d e a d l i n ep a p e ra to f c 9 6 9 堕皇些! ! 兰堕堡：! 堂堡笙兰笙二主堕丝 7 】k n i g h tjc ，b r o e n gj ，b i r k sta ，r u s s e l lps tj “p h o t o n i cb a n dg a pg u i d a n c ei n o p t i c a lf i b e r s ”， s c i e n c e ，t 9 9 8 ，2 8 2 ：1 4 7 6 1 4 7 8 【8 】r f c r e g a n ，e t a l “s i n g l e m o d ep h o t o n i cb a n dg a pg u i d a n c eo fl i g h ti na i r ， s c i e n c e ”，1 9 9 9 ，2 8 5 ：1 5 3 7 1 5 3 9 【9 】c m s m i t h ，n v e n k a t a r a m a n ，m t g a l l a g h e r ，d m u l l e r ，j a w e s t ，n f b o r r e l l i ，d c a l l a n ，k k o c h ，“l o w l o s sh o l l o w - c o r es i l i c a a i rp h o t o n i cb a n d g a p f i b r e ，”n a t u r e4 2 4 ，6 5 7 - 6 5 9 ( 2 0 0 3 ) 1 0 b j m a n g a n ，l f a r r ，a l a n g f o r d ，e t ，a 1 ”l o wl o s s ( 1 7d b k m ) h o l l o wc o r e p h o t o n i cb a n d g a pf i b e r ”，p o s t d e a d l i n e p a p e r ，p d p 2 4 ，o f c 0 4 ，2 0 0 4 【l1 w a x m a l ma n dp k u c h m e n t ，k a ne _ c i e n tn i t ee l e m e n tm e t h o df o rc o m p u t i n g s p e c t r ao fp h o t o n i ca n da c o u s t i cb a n d g a pm a t e r i a l s ：i s c a l a rc a s e ”j c o m p u t p h y s 1 5 0 ，4 6 8 ( 4 8 1f 1 9 9 9 ) 【1 2 】h okm ，c h a nct s o u k o u l i scm “e x i s t e n c eo fap h o t o n i cg a pi np e r i o d i c d i e l e c t r i cs t r u c t u r e s ”，p h y s r e e l e r ，1 9 9 0 ，6 5 ：3 1 5 2 3 1 5 5 13 】m a r k o l o n c a re t a l d e s i g na n df a b r i c a t i o no fs i l i c o np h o t o n i cc r y s t a lo p t i c a l w a v e g u i d e s ，j o u r n a lo f l i l g h t w a v e t e c h n o l o g y , 2 0 0 0 ，1 8 ( 1 0 ) ：1 4 0 2 1 4 1 1 【1 4 高本庆时域有限差分法北京：国防工业出版社，1 9 9 5 0 南京邮i u 学院何 i ：学位论文 第二章平面波法( p w m ) 和时域肯限差分法( f d t d ) 的蕞本理论 第二章平面波法( p w m ) 和时域有限差分法( f d t d ) 的基本理论 在绪论中我们简单介绍了几种目前常用来研究光子晶体光纤的计算方法。如 平面波方法( p w m ) “、时域有限差分法( f d t d ) 心1 、有限元法( f e m ) ”等等。 本文在对p b g f s 的研究过程中将p w m 和f d t d 两种方法结合起来，用p w m 计算包 层完整周期结构的带隙结构，用f d t d 方法仿真带有缺陷时的p b ( ；f s ，并计算其色 散特性。下面我们介绍这两种计算方法的基本理论。 2 1 平面波法( p w m ) 基本理论h 1 平面波展丌法是在光子晶体带隙结构研究中比较常用的一种方法，它的基本 思想是：将电磁场以平面波的形式展开，可以将麦克斯韦议程组化成一个本征议 程，求解该方程的本征值便得到传播的光子的本征频率。 2 1 1 布洛赫定律啼1 对于周期性势场，即 矿( f 十五，) = y ( f ) ( 2 。1 ) 其中豆取布喇菲格子的所有格矢，单电子薛定谔方程为： 曰y ( i ) ：( 一要三 v z + 矿( i ) ) ( i ) ：s y ( i ) z m 薛定谔方程的本征函数矢按布喇菲格子周期性调幅的平面波 ( 尹) = 7 ( f ) 且 ( f + 豆，) = k ( i ) 豆是布喇菲格子的任一格矢。 ( 2 2 ) ( 2 - 3 ) ( 2 4 ) 南京邮l 也学院硕一l 学位论文 第二章平面波法( p w m ) 和时域有限差分法( f d t d ) 的基奉耻论 这样布洛赫定律就可以表述为对上述薛定谔方程的每一本征解，存在一波矢 k ，使得： y t ( i + 天，) = e i k r ( i )( 2 5 ) 对任意格矢五，都成立。 遵从周期势场单电子薛定谔方程的电子，或用布洛赫波函数描述的电子称为 靠洛赫电子。 2 1 2 晶体结构的周期性 理想晶体结构可以看成是由基元在空间中按一定方式作周期性无限排列而 构成的。不考虑基元的细节，用一点来代替基元的某个确定位置，这样就得到一 个在空削规则的，呈周期性无限分布的等同点的集合，称为布喇菲格子。布喇菲 格子的严格数学定义为： r ，= f i 玩+ z 2 a 2 + 毛( 2 6 ) 其中蟊，西：，毛是不共面的三个基矢，o ，：，是任意整数，r ，称为格矢。这 样任意格点都可以用冠来表示。平移任何格矢，布喇菲格子都不变，这说明所 有格点都是等同点。 布喇菲格子是在坐标空间中分析晶体结构的周期性，实际上，这种晶体结构 的周期性也可以在波矢空问( 或k 空间) 中加以描述。前者称为正格子，而后者 就是相对于这个正格子的倒格子。由坐标空间变换到波矢空间，对处理周期性结 构中的波动方程等问题是十分有益的。 倒格子的数学定义为： k h = h l b j + 2 6 2 + 3 屯 ( 2 7 ) 其中巨，b 2 ，b 一3 为倒格子基矢，h 。，h ：，h ，为任意整数，k h 为倒格矢。倒格子 和正格子的基矢之间满足以下关系： 玩6 = 2 筘口 ( f ，j = 1 , 2 ，3 ) ( 2 8 ) 每个倒格子基矢和两个正格子基矢正交，这样舌就可以表示为 1 2 南京邮i 匕学院硕i j 学位论文 第二章甲面波法( p w m ) 和时域何限差分法( f d t d ) 的堆牟理论 巨：熙，匠：烈，云：黑( 2 9 ) a l 。l 口2 口3j口l 【口2 a da l 【口2 乜3 ) 2 1 3 布里渊区 在倒格子中，以某一倒格点为原点从原点出发作所有倒格点的位置矢量的 垂直平分面，这些平面将把倒格子空间分割为许多部分，其中从原点出发不跨越 任何垂直平分面的点的集合称为第一布里渊区。从原点出发跨越( n 1 ) 个垂直 平分面达到的所有点的集合称为第n 个布里渊区。可以证明，各稚里渊区体积相 同，都可以通过倒格矢平移移到第一布里渊区，既无空隙也无重叠，第一布罩渊 区也叫简约布里渊区，它是倒格子空间最小的对称重复单元。在用p w m 求解光 子晶体光纤的带隙结构时，利用波矢空问的周期性，可以只对简约布罩渊区的波 矢进行计算，这样可以极大地节省内存和缩短计算时问( 事实上在实际汁算过程 中，由于简约布里渊区通常具有一定的对称性，仅计算某些对称点处的本征频率 即可) 。 2 1 4 平面波展开法( p 1 y m ) 哺1 1 由电磁场理论，在介电系数呈周期性分布的介质中，电磁场服从如下的 m a x w e l l 方程： v d p ，f ) = p p ，f j v 后p ，f ) = 0 v 。疗：曼掣+ 孔，f ) ( 2 1 0 ) v 。曲，r ) ：一掣 各向同性线性介质中的本征关系为： b ( r ，f ) = 6 0 譬( r ，f 归o ，f ) ( 2 11 ) 西( r ，r ) = ，店o ，r ) ( 2 1 2 ) 孔，f ) = 越o ，t ) ( 2 1 3 ) 其中b ( r ，f ) 为电位移矢量，西( ，f ) 为磁感应强度，曰( r ，) 为磁场强度，豆p ，t ) 为 堕皇业l ! 堂陡型i ! 堂垡论文多- 二章f 由波法( p w m ) 和时域存鞭差分法( f d 丁d ) 的接奉理论 电场强度，p ( r ，f ) 为电荷密度，了( ，f ) 为电流密度，e o 为真空中的介电常数，为 磁导率，盯为电导率，s ( ，f ) 为相对介电常数( 在p b g f s 中s ( ，f ) 为周期性函数) 。 假定介质是无损耗的，且所在空间为无源空间，则有p ( r ，f ) = 0 ，了( ，f ) = 0 占( ，r ) 为实数。如果我们输入的是随时间正弦振荡的场，则电磁场可写为 雷p ，) = 雪( ， a ( r ，f ) = 疗p k 其中c o 为振荡频率。 利用o o t _ ，印，( 2 8 ) 可改写为 f 21 4 ) ( 2 1 5 ) v s ( ，) 霹( ，) = 0 厅z ? h p ) 鼍舢 ( 2 1 6 ) v x 疗o ) = j o g 。占( ，拉o ) ”。1 “ v x 豆( r ，) = 一，徊o ) 由( 2 1 4 ) 可以得出： ( 1 ) v 疗= v 西= 0 说明没有空间电荷和电流源存在，疗可分解为横向 的平面波，每个平面波垂直于波矢方向。 ( 2 ) 厅是连续的，而丘不一定连续。基于这一点下面讨论疗，因为连续性 条件可以简化讨论和计算，而雷可以通过电场与磁场的关系 曲) 2 了南v 埔o )j s o s v ) 直接求得。 由式( 2 1 4 ) 消去霹可得： v 南v 厅( ，) = 7 0 9 2 日- p ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 由于s 扩) 为周期性函数，由布洛赫定理，周期性结构介质中的平面波将受到周期 性的调制，即： 疗( r ) = e “7 p k 1 4 ( 2 1 9 ) 堕室l 堕坠堂堕堡主堂垡堡文 第一二章、f 面波法( p w m ) 和时域肯限差分法( f d t d ) 的雉奉理论 p ) = p + j 圣，) 其中r ，为格矢，色为垂直于波失i 且平行于霄的单位矢量。 其中周期性函数s p ) 和 p ) 可展开成傅立叶级数 p ) = s 旺 即 南2 p 抄7 p ) = 幅 即 ( 2 2 i ) r 2 2 2 ) r 2 2 3 ) 从而， 疗( r ) = ( q ，伽+ 咖a 胁矗 ( 2 2 4 ) g ， 其中g ，为倒格矢，肌m 为垂直于g + 石的