第十七章 勾股定理3.doc

第十七章 勾股定理 一、选择题（共18小题；共90分）1. 若直角三角形的三边长分别为 2 ， 4 ， x ，则 x 的可能值有( )A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个 2. 三角形的三边长 a，b，c 满足 a+b2c2=2ab，则此三角形是( )A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形 3. 已知 ABC 的三边长分别为 5，13，12，则 ABC 的面积为( )A. 30B. 60C. 78D. 不能确定 4. 设 a，b 是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为 6，斜边长为 2.5，则 ab 的值是( )A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 5. 下列各组数中是勾股数的是( )A. 13 ， 14 ， 15B. 30 ， 40 ， 50C. 0.3 ， 0.4 ， 0.5D. 3a ， 4b ， 5c 6. 如果将长为 6cm，宽为 5cm 的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是( )A. 8cm B. 52cm C. 5.5cm D. 1cm 7. ABC 中，AB=13cm，AC=15cm，高 AD=12，则 BC 的长为( )A. 14 B. 4 C. 14 或 4 D. 以上都不对 8. 三角形的三边长分别为 2n2+2n,2n+1,2n2+2n+1（n 是自然数），这样的三角形是( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 锐角三角形或直角三角形 9. 下列各组正数为边长，能组成直角三角形的是( )A. a1 ， 2a ， a+1B. a1 ， 2a ， a+1C. a1 ， 2a ， a+1D. a1 ， 2a ， a+1 10. 如图所示，有一块直角三角形纸片，C=90，AC=4cm，BC=3cm，将斜边 AB 翻折，使点 B 落在直角边 AC 的延长线上的点 E 处，折痕为 AD，则 CE 的长为 A. 1cm B. 1.5cm C. 2cm D. 3cm 11. 已知 a，b，c 是 ABC 的三边长，且满足 a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2，则 ABC 的形状是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形 12. 如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点 A 处，则点 A 表示的数是 A. 112 B. 1.4 C. 3 D. 2 13. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=4，对角线 AC 的垂直平分线分别交 AD，AC 于点 E，O，连接 CE，则 CE 的长为 A. 3 B. 3.5 C. 2.5 D. 2.8 14. 如图是一个 66 的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，RtABC 的顶点都是图中的格点，其中点 A 、点 B 的位置如图所示，则点 C 可能的位置共有 A. 9 个B. 8 个C. 7 个D. 6 个 15. 2002 年8 月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的 勾股圆方图 ，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图 2 所示)，如果大正方形的面积是 13，小正方形的面积是 1，直角三角形的短直角边为 a，较长直角边为 b，那么 a+b2 的值为 A. 13 B. 19 C. 25 D. 169 16. 小丽和小芳二人同时从公园去图书馆，都是每分钟走 50 米，小丽走直线用了 10 分钟，小芳先去家拿了钱去图书馆，小芳到家用了 6 分钟，从家到图书馆用了 8 分钟，则以公园、图书馆和小芳家这三个地方为顶点所组成三角形为( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定 17. 已知 ABC 的三边为 a、b、c，且 a+b=4，ab=1，c=14，则 ABC 是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形 18. 如图，在平面直角坐标系中，RtOAB 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上，顶点 B 的坐标为 3,3，点 C 的坐标为 12,0，点 P 为斜边 OB 上的一动点，则 PA+PC 的最小值为 A. 132 B. 312 C. 3+192 D. 27 二、填空题（共20小题；共100分）19. 勾股定理的逆定理是 20. 若直角三角形的两直角边长分别是 3cm 和 xcm，则直角三角形的斜边长是 21. 在 ABC 中，若其三条边的长度分别为 9，12，15，则两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是 22. 在 ABC 中，C=90，c=10，a:b=3:4，则 a= ，b= 23. 如图所示，在矩形 ABCD 中，AC，BD 交于点 O，AB=6，AD=8，则 AO= 24. 如图所示，在网格中，小正方形边长为 1，则图中是直角三角形的是 25. 已知 a6+b8+c102=0，则以 a，b，c 为边长的三角形是 26. 如图，ABC 中，AB=AC=13，BC=10，D 为 BC 中点，DEAB 于 E，则 DE= 27. 已知 a，b，c 是 ABC 的三边，且满足 c2a2b2+ab=0，则 ABC 的形状为 28. 如图，RtABC 中，ACB=90 , A=15 , AB 的垂直平分线与 AC 交于点 D，与 AB 交于点 E，连接 BD，若 AD=14cm，则 BC= cm 29. 腰长为 5，一条高为 4 的等腰三角形的底边长为 30. 一个三角形三条边的长分别是 15cm，20cm，25cm，这个三角形最长边上的高是 31. 若直角三角形的两直角边长为 a，b，且满足 a26a+9+b4=0，则该直角三角形的斜边长为 32. 一个三角形的周长为 12，且三边 a，b，c 有如下关系：c=b1，b=a1，则这个三角形的面积为 33. 将一个边长为 4 的正方形截取一个角，剩下的四边形如图所示，则这个四边形的周长是 34. 三角形的三边长为 a 、 b 、 c，且满足等式 a+b2c2=2ab，则此三角形是 三角形（直角、锐角、钝角 ) 35. 已知，如图，四边形 ABCD 中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且 A=90，则四边形 ABCD 的面积 36. 一个三角形的三边之比为 5:12:13，且周长为 60cm，则它的面积是 37. 如图，等腰 RtABC 的直角边长为 1，以它的斜边上的高 AD 为腰作第一个等腰 RtADE；再以所作的第一个等腰 RtADE 的斜边上的高 AF 为腰作第二个等腰 RtAFG，以此类推，这样所作的第 n 个等腰直角三角形的腰长为 38. 如图 1，AB1C1 是边长为 1 的等边三角形；如图 2，取 AB1 的中点 C2，画等边三角形 AB2C2；如图 3，取 AB2 的中点 C3，画等边三角形 AB3C3，连接 B2B3；如图 4，取 AB3 的中点 C4，画等边三角形 AB4C4，连接 B3B4，则 B3B4 的长为 若按照这种规律已知画下去，则 BnBn+1 的长为 （用含 n 的式子表示） 三、解答题（共25小题；共325分）39. 已知在 RtABC 中，C=90，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c(1) 若 a=5，c=13，求 b；(2) 若 b=15，c=17，求 a 40. 试判断：三边长分别为 2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1 n0 的三角形是不是直角三角形 41. 已知 ABC 的三边长分别是 a，b，c，且 ac:a+b:cb=2:7:1，试判断 ABC 的形状 42. 图 1 、图 2 中的每个小正方形的边长都是 1，在图 1 中画出一个面积是 3 的直角三角形；在图 2 中画出一个面积是 5 的四边形 43. 古埃及人用下面方法画直角：把一根长绳打上等距离的 13 个结，然后用桩钉成如图所示的一个三角形，其中一个角便是直角，请说明这种做法的根据 44. 如图所示，在 ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AB=15，AC=13，AD=12，根据上述数据，你能求得 ABC 的面积吗？试试看 45. 阅读理解并解答问题：如果 a 、 b 、 c 为正整数，且满足 a2+b2=c2，那么 a 、 b 、 c 叫做一组勾股数(1) 例如 3 、 4 、 5 是一组勾股数，请写出一组不同于 3 、 4 、 5 的勾股数；(2) 如果 m 表示大于 1 的整数，且 a=2m，b=m21，c=m2+1，请说明 a 、 b 、 c 为勾股数 46. 直角三角形中两个直角边为 a，b，斜边为 c，斜边上的高为 h，那么以 c+h，a+b，h 为三边构成的三角形是什么形状的？说明理由 47. 在数轴上作出 10 的对应点 48. 如图，四边形 ABCD 中，B=90，AB=4，BC=3，CD=13，AD=12，求四边形 ABCD 的面积 49. 操作：剪若干个大小形状完全相同的直角三角形，三边长分别记为 a 、 b 、 c (如图)，分别用 4 张这样的直角三角形纸片拼成如图的形状，图中的两个小正方形的面积 S2 、 S3 与图中小正方形的面积 S1 有什么关系？你能得到 a 、 b 、 c 之间有什么关系？ 50. 如图所示，已知 AB:BC:CD:DA=2:2:3:1，且 ABC=90，求 DAB 的度数 51. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，ABC 的顶点均在格点上，试判断 ABC 是否为直角三角形？为什么？ 52. 如图所示，在 ABC 中，B=90 , AB=6 厘米，BC=3 厘米，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 B 以 2 厘米 / 秒的速度移动，点 Q 从点 C 开始沿 CB 边向点 B 以 1 厘米 / 秒的速度移动，如果 P 、 Q 分别从 A 、 C 同时出发，几秒钟后 P 、 Q 间的距离等于 25 厘米？( 把实际问题转化为几何问题 ) 53. 在 ABC 中，ACB=90，AC=4，BC=3，在 ABD 中，BD=12，AD=13，求 ABD 的面积 54. 一艘轮船以 16 海里 / 时的速度离开港向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以 12 海里 / 时的速度向西南方向航行，它们离开港一个半小时后相距多远？ 55. 据我国古代周髀算经记载，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五后人概括为“勾三、股四、弦五”(1) 观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从 3 起就没有间断过计算 1291，129+1 与 12251，1225+1，并根据你发现的规律，分别写出能表示 7，24，25 的“股”和“弦”的算式；(2) 根据（1）的规律，用关于 n（n 为奇数且 n3）的代数式来表示所有勾股数的勾、股、弦，合情猜想它们之间两种相等关系，并对其中一种猜想说明理由；(3) 继续观察 6，8，10；8，15，17；，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从 4 起也没有间断过运用类似上述探索的方法，直接写出关于 m（m 为偶数且 m4）的代数式来表示它们的“股”和“弦” 56. 已知 ABC 的三边长分别为 a，b，c，且 a+b=4，ab=1，c=14，试判断 ABC 的形状 57. 在 ABC 中，BC=a , AC=b , AB=c若 C=90，如图(1)，根据勾股定理，则 a2+b2=c2，若 ABC 不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想 a2+b2 与 c2 的关系，并证明你的结论 58. 如图，一块四边形的地 ABCD，已知 AD=4m，CD=3m，ADC=90，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积 59. 如图，四边形 ABCD 中，AB=4，BC=3，CD=13，DA=12 且 ABC=90，求四边形 ABCD 的面积 60. 已知某开发区有一块四边形空地 ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量 A=90，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要 200 元，求一共需要投入多少元 61. 我们学习了勾股定理后，都知道勾三、股四、弦五观察：3 、 4 、 5；5 、 12 、 13；7 、 24 、 25；9 、 40 、 41；，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从 3 起就没有间断过(1) 请你根据上述的规律写出下一组勾股数： ；(2) 若第一个数用字母 n（n 为奇数，且 n3）表示，那么后两个数用含 n 的代数式分别表示为 和 ，请用所学知识说明它们是一组勾股数 62. 勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积进行了证明著名数学家华罗庚提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言(1) 请根据图中直角三角形叙述勾股定理；(2) 以图中的直角三角形为基础，可以构造出以 a，b 为底，以 a+b 为高的直角梯形（如图2）请你利用图，验证勾股定理；(3) 利用图中的直角梯形，我们可以证明 a+bc2其证明步骤如下： BC=a+b，AD= ，又 在直角梯形 ABCD 中有 BC AD（填大小关系），即 ， a+bc0，2n2+2n+12n+1=2n20n0， 2n2+2n+1 为三角形中的最大边 2n2+2n+122n2+2n2=2n2+2n+1+2n2+2n2n2+2n+12n2+2n=4n2+4n+1=2n+12, 2n2+2n2+2n+12=2n2+2n+12 三边长分别为 2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1 n0 的三角形是不是直角三角形41. (1) 设 ac=2k，则a+b=7k,cb=k,联立方程组得ac=2k,a+b=7k,cb=k,解得a=3k,b=4k,c=5k. 3k2+4k2=5k2，即a2+b2=c2, ABC 是直角三角形42. (1) (1)只须画直角边为 2 和 3 的直角三角形即可这时直角三角形的面积为：1223=3；(2)画面积为 5 的四边形，我们可画边长的平方为 5 的正方形即可如图 1 和图 243. (1) 设相邻两个结点的距离为 m，则此三角形三边的长分别为 3m，4m，5m因为 32+42=52，所以 3m，4m，5m 为边长的三角形是直角三角形44. (1) 因为 AD 是 BC 边上的高，所以 ABD 和 ACD 都是直角三角形在 RtABD 中，根据勾股定理，得BD2=AB2AD2=152122=81,则BD=9.在 RtACD 中，根据勾股定理，得CD2=AC2AD2=132122=25,则CD=5.所以SABC=12BCAD=12BD+CDAD=129+512=84.45. (1) 5 、 12 、 13 45. (2) 由题意可知：a2=4m2 , b2=m212=m42m2+1 , c2=m2+12=m4+2m2+1 ,所以 a2+b2=m4+2m2+1=c2 .所以 a 、 b 、 c 为勾股数46. (1) 由勾股定理，得 a2+b2=c2由直角三角形的面积，得 12ab=12ch，即 ab=ch c+h2=c2+2ch+h2，a+b2=a2+2ab+b2， a+b2+h2=a2+2ab+b2+h2=c2+2ch+h2=c+h2 以 c+h，a+b，h 为三边构成的三角形是直角三角形47. (1) 如图，48. (1) 连接 AC在 ABC 中， B=90，AB=4，BC=3， AC=AB2+BC2=42+32=5，SABC=12ABBC=1243=6在 ACD 中， AD=12，AC=5，CD=13， AD2+AC2=CD2 ACD 是直角三角形 SACD=12ACAD=12512=30 四边形 ABCD 的面积 =SABC+SACD=6+30=3649. (1) 三个小正方形的面积满足 S2+S3=S1，其边长满足 a2+b2=c2 分别用 4 张直角三角形纸片，拼成如图 、图 的形状，观察图 、图 可发现，图 中的两个小正方形的面积之和等于图 中的小正方形的面积，即 S2+S3=S1，这个结论用关系式可表示为 a2+b2=c250. (1) 连接 AC AB:BC:CD:DA=2:2:3:1， 设 AB=2xx0，则 BC=2x，CD=3x，DA=x ABC=90， AB2+BC2=AC2， AC2=2x2+2x2=8x2 AC2+AD2=8x2+x2=9x2，CD2=3x2=9x2， AC2+AD2=CD2， DAC=90 AB=BC，ABC=90， BAC=45， BAD=BAC+CAD=45+90=13551. (1) 由勾股定理可得 AC=22+12=5；BC=42+22=20；AB=32+42=25， AC2+BC2=AB2， ABC 是直角三角形52. (1) 在直角三角形中 AB=6cm=2BC=23cm，且 P 的移动速度是 Q 的移动速度的 2 倍， BP , BQ 满足 BP=2BQ 设 t 秒后 PQ=25，则 BP=62t , BQ=3t，且 62t2+3t2=252，解得 t=1 或 5（舍） 1 秒钟后 P 、 Q 间的距离等于 25cm53. (1) ACB=90，AC=4，BC=3， AB2=AC2+CB2， AB=5 BD=12，AD=13， AD2=BD2+AB2， ABD=90， SABD=12ABBD=30答：ABD 的面积为 3054. (1) 轮船离开港一个半小时以后，AC=121.5=18，AB=161.5=24 . ABC 为直角三角形，由勾股定理，得 AC2+BA2=BC2 BC2=182+242 . BC2=900 . BC=30答：它们离开港一个半小时后相距 30 海里55. (1) 因为 1291=4，129+1=5，12251=12，1225+1=13，所以 7，24，25 “股”的算式为12491=12721,“弦”的算式为1249+1=1272+1.55. (2) 当 n 为奇数且 n3 时，“勾”“股”“弦”的代数式分别为 n，12n21，12n2+1它们之间的相等关系不唯一，例如相等关系：弦股=1；相等关系：勾2+股2=弦2对于：因为 弦股=12n2+112n21=12n2+1n21=1，所以成立或对于：因为 勾2+股2=n2+12n212=14n4+12n2+14=14n2+12=弦2，所以成立55. (3) 探索得，当 m 为偶数且 m4 时，“股”“弦”的代数式分别为 m221，m22+1（答案不唯一）56. (1) a+b=4， a2+2ab+b2=16 ab=1， a2+b2=14 c2=142=14， a2+b2=c2， ABC 为直角三角形57. (1) (1)当 ABC 是锐角三角形时，过点 A 作 ADCB，垂足为 D设 CD=x，则有 DB=ax，根据勾股定理得 b2x2=c2ax2，即 a2+b2=c2+2ax，因为 a0 , x0，所以 2ax0所以 a2+b2c2；(2)当 ABC 是钝角三角形时，过点 A 作 ADBC，交 BC 延长线于点 D，设 CD=x，则有 DB=a+x，根据勾股定理得 b2x2=c2a+x2，即 a2+b2=c22ax，因为 a0 , x0，所以 2ax0 , 所以 a2+b2c258. (1) 如图，连接 AC AD=4m，CD=3m，ADC=90， AC=AD2+CD2=25m=5m AB=13m，BC=12m， AB2=BC2+AC2，即 ABC 为直角三角形，所以这块地的面积为S=SA