（信号与信息处理专业论文）基于图像奇异性的多尺度变换图像去噪方法的研究.pdf

好0 i i 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得江酉型堇! ! 巫菹堂院 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究 所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名( 手写) ：夸多工巧 签字日期： 。f o 年月9 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解江西型技师范学院有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被 查阅和借阅。本人授权江西科技师范学院可以将学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编本 学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位 论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) ，、h 学位论文作者签名( 手写) ：夸曼i 巧导师签名( 手写) ：1 文们擀 签字日期：a o i o 年l ，月7 日 签字日期：o l o l o 年6 月i oe 1 摘要 摘要 随着图像信息的日益普及，图像在很多领域都有着非常重要的作用。但是 图像在采集、获取以及传输的过程中，往往要受到不同噪声和不同程度的污染， 为了后续更高层次的处理，很有必要对图像进行去噪预处理。 小波理论迅速发展，以其良好的时频局部化特性，为解决降低噪声的同时 能够很好地保留图像细节提供了良好的工具。小波变换能够很好地刻画信号的 非平稳特性，如：边缘、尖峰、断点等，这便于图像特征的提取。此外小波变 换还具有低熵性、去相关性、多分辨性和选择基的灵活性等特点。充分利用这 些特点，在小波变换域中能够十分有效地将噪声和信号区别开来。 曲波变换不仅具有多尺度的特性，而且由于引入了一个方向参量，而使它 具有各向异性的特征，对线条状特征有着良好的表征。对于二维图像而言，边 缘、轮廓等线条特征恰恰包含了最重要的信息，这使得曲波变换在数字图像处 理领域中有着良好的表现。 图像去噪是图像处理和分析的基本问题，如何从数字图像中尽可能多地去 除噪声，而保留更多的图像重要信息一直是研究人员广泛关注的问题。目前， 由于小波变换和曲波变换在分析图像奇异性方面的独特优势，而被人们广泛的 重视。本文所做的主要工作如下： ( 1 ) 在小波阈值图像去噪方法的基础上，对小波系数进行相应的调整。该方 法是先对小波变换后三个子带中绝对值小于阈值且是三个子带中绝对值最大的 高频小波系数进行自适应的调整，后进行图像阈值去噪。其中调整的百分比与 图像的高频系数和阈值有关。 ( 2 ) 针对传统图像去噪方法的不足，即：传统图像去噪方法，在利用小波变 换去除噪声的过程中没有很好地考虑图像边缘的处理，从而使处理后图像效果 存在一定程度的边缘模糊现象。本文在d o n o h o 小波阈值去噪方法的基础上提出 了一种基于图像边缘保护的图像去噪新方法。该方法首先对图像边缘进行提取 保护处理，后进行图像去噪。 ( 3 ) 利用小波变换和曲波变换在处理点奇异和曲线奇异方面的独特优势，提 出了小波和曲波联合的图像去噪方法。该方法首先分别采用小波变换和曲波变 i 摘要 换对图像进行去噪，后根据小波变换和曲波变换的权重系数，来进行联合重构。 其中权重系数与图像的奇异特性有关。 关键词：小波变换：曲波变换；图像去噪；图像奇异性：边缘保护 l i a b s t r a c t a b s t r a c t w i t ht h ei n c r e a s i n gp o p u l a r i t yo fi m a g ei n f o r m a t i o n ，t h ei m a g e sh a v eav e r y i m p o r t a n tr o l ei nm a n ya r e a s b u tt h ei m a g e so f t e ns u b j e c t t od i f f e r e n tn o i s ea n d d i f f e r e n td e g r e e so fp o l l u t i o ni nt h ec o l l e c t i o n ，a c c e s sa n dt r a n s m i s s i o np r o c e s s i n o r d e rt of o l l o wu pt oah i g h e rl e v e lo ft r e a t m e n t ，i ti se s s e n t i a lt ou s ed e n o i s i n g p r e p r o c e s s i n gt ot h ei m a g e w i t ht h er a p i dd e v e l o p m e n to fw a v e l e tt h e o r ya n di t sg o o dt i m e - f r e q u e n c y l o c a l i z a t i o np r o p e r t i e s ，t h ew a v e l e tt h e o r yp r o v i d e sag o o dt o o li nt h ep r o c e s so f r e d u c i n gn o i s ew h i l ep r o t e c t i n gi m a g ed e t a i l s t h ew a v e l e tt r a n s f o r mc a n d e s c r i b et h e s i g n a lo fn o n s t a t i o n a r yf e a t u r e sp r i m l y , s u c ha s ：e d g e s ，p e a k ，b r e a k p o i n t sa n ds oo n ， w h i c hf a c i l i t a t et h ee x t r a c t i o no fi m a g ef e a t u r e s i na d d i t i o n ，w a v e l e tt r a n s f o r ma l s o h a sal o we n t r o p yn m u r e ，r e l e v a n tn a t u r e ，m u l t i r e s o l u t i o n ，f l e x i b l eb a s ea n ds oo n w i t hu s i n gt h e s ef e a t u r e sa d e q u a t e l y , w ec a nd i s t i n g u i s hb e t w e e nn o i s ea n ds i g n a l w e l li nt h ew a v e l e tt r a n s f o r n ld o m a i n t h ec u r v e l e tt r a n s f o r i l ln o to n l yh a st h em u l t i s c a l ef e a t u r e s ，b u ta l s oh a st h e a n i s o t r o p i cc h a r a c t e r i s t i c sb e c a u s eo ft h ei n t r o d u c t i o no fa l lo r i e n t a t i o np a r a m e t e r a n di t sa n i s o t r o p i cc h a r a c t e r i s t i c sm a k ei th a v eag o o dc h a r a c t e r i z a t i o nt ot h el i n e f e a t u r e s f o rt h et w o d i m e n s i o n a li m a g e ，t h el i n ef e a t u r ec o n t a i n se d g e s ，c o n t o u rl i n e s a n ds oo nj u s tc o n t a i n st h em o s ti m p o r t a n ti m a g ei n f o r m a t i o n ，w h i c hm a k e sc u r v e l e t t r a n s f o r mh a v eg o o dp e r f o r m a n c ei nt h ef i e l do fd i g i t a li m a g ep r o c e s s i n g i m a g ed e n o i s i n gi st h eb a s i cp r o b l e m si nt h ei m a g ep r o c e s s i n ga n da n a l y s i s ，h o w t om a i n t a i nm o r ei m a g ei n f o r m a t i o nw h i l er e m o v i n gm o r en o i s eh a sb e c o m e i m p o r t a n tp r o b l e mt o r e s e a r c h e r s a tp r e s e n t ，w a v e l e tt r a n s f o r ma n dc u r v e l e t t r a n s f o r mt h e o r yh a v eb e e nn o t i c e dw i d e l yb e c a u s et h e yh a su n i q u ea d v a n t a g e si n a n a l y z i n gt h ei m a g es i n g u l a r i t y t h i sp a p e r sm a i n - w o r k i sa sf o l l o w s ： ( 1 ) b a s e do nt h ew a v e l e tt h r e s h o l dd e n o i s i n gm e t h o d ，w ea d j u s t e dt h ew a v e l e t c o e f f i c i e n t s i nt h i sp r o p o s e da p p r o a c h ，w ea d j u s t e dt h eh i g h f r e q u e n c yc o e f f i c i e n t s w h o s ea b s o l u t ev a l u ei ss m a l l e rt h a nt h et h r e s h o l da n db i g g e s ti nt h eh i g h f r e q u e n c y l i i a b s t r a c t c o e f f i c i e n t sa n dm a i n t a i nt h eh i g h - f r e q u e n c yc o e f f i c i e n t sw h o s ea b s o l u t ev a l u ei s b i g g e rt h a nt h et h r e s h o l di nt h ef i r s ts t e p ，t h e nu s i n gw a v e l e ti m a g ed e n o i s i n gm e t h o d t ot h ea d j u s t e dh i g h f r e q u e n c yc o e f f i c i e n t s i nt h i sp r o p o s e dm e t h o dt h ea d j u s t e d p e r c e n tc o r r e l a t e st ot h eh i g h f r e q u e n c yc o e f f i c i e n t sa n d t h et h r e s h o l d ( 2 ) i i lt h et r a d i t i o n a li m a g ed e n o i s i n gm e t h o d ，t h ei m a g ee d g ei n f o r m a t i o ni sn o t t a k e ni n t oa c c o u n tp r i m l yw h i l er e m o v i n gt h ei m a g en o i s e ，s ot h ed e n o s i n gi m a g eh a s ac e r t a i nd e g r e eo fe d g eb l u li nt h i sp a p e r , w ep r o p o s ea ni m a g ed e n o i s i n gm e t h o d b a s e do ni m a g ee d g ep r o t e c t i o n t h i sm e t h o de x t r a c t si m a g ee d g ei n f o r m a t i o ni nt h e f i r s ts t e p ，a n dt h e np r o t e c t st h ei n f o r m a t i o n t h el a s ts t e pi su s i n gt h et r a d i t i o n a l i m a g ed e n o i s i n gm e t h o dt ot h ed i s p o s e di m a g e ( 3 ) b a s e do nt h ew a v e l e ta n dc u r v e l e tt r a n s f o r mh a v eu n i q u ea d v a n t a g e si n d i s p o s i n gp o i n ts i n g u l a r i t ya n dc u r v es i n g u l a r i t yr e s p e c t i v e l y , w ep r o p o s e dan e w i m a g ed e n o i s i n gm e t h o db a s e dw a v e l e ta n dc u r v e l e tt r a n s f o r m i nt h i sm e t h o d ，w e u s ew a v e l e tt r a n s f o r ma n dc u r v e l e tt r a n s f o r mt ot h en o i s ei m a g ep a r t l y , a n dt h e n r e c o n s t r u c tt h ei m a g eb a s e do nt h ew e i g h tc o e f f i c i e n t so fw a v e l e tt r a n s f o r ma n d c u r v e l e tt r a n s f o r m i nt h i sp r o p o s e da p p r o a c h ，t h ew e i g h tc o e f f i c i e n t si sr e l a t e dt ot h e i m a g es i n g u l a r i t y k e y w o r d s ：w a v e l e tt r a n s f o r m ；c u r v e l e tt r a n s f o r m ；i m a g ed e n o i s i n g ；i m a g e s i n g u l a r i t y ；e d g ep r o t e c t i o n 第1 章绪论1 1 1 图像去噪方法简介1 1 2 小波、曲波变换的产生背景2 1 3 图像质量的评价3 1 4 论文的研究目的和意义4 1 5 论文的主要研究内容与章节安排5 第2 章小波与曲波分析理论基础7 2 1 小波变换理论7 2 1 1 连续小波变换7 2 1 2 离散小波变换8 2 1 3 多尺度分析( m r a ) 1 0 2 1 4 图像的小波变换1 1 2 2 曲波变换理论1 2 2 2 1 脊波变换理论1 3 2 2 1 1 脊波变换1 3 2 2 1 2 脊波变换的实现1 4 2 2 2 第一代曲波变换( 多尺度脊波变换) 1 5 2 2 3 第二代曲波变换1 7 2 2 3 1 连续曲波变换1 7 2 2 3 2 离散曲波变换1 9 2 3 图像奇异性分析2 1 第3 章多尺度变换在图像去噪中的应用2 3 3 1 小波去噪的描述2 3 3 2 多尺度图像去噪方法及其实验结果2 3 3 2 1 小波阈值图像去噪方法2 3 v 目录 3 2 1 1 小波阈值去噪的基本原理2 4 3 2 1 2 阈值函数的选取2 5 3 2 1 3 阈值的选取2 6 3 2 2 小波基联合图像去噪方法2 8 3 2 3 第二代曲波图像去噪方法2 9 3 2 4 三种图像去噪方法的实验结果及比较3 0 3 2 4 1 小波阈值图像去噪方法3 0 3 2 4 2 小波基联合图像去噪方法3 1 3 2 4 3 第二代曲波图像去噪方法3 2 3 2 4 4 三种图像去噪方法的比较3 3 第4 章小波去噪算法的改进3 5 4 1 新的基于小波变换的图像去噪方法3 5 4 1 1 噪声及去噪3 5 4 1 2 算法提出的依据3 6 4 1 3 高频小波系数分析3 7 4 1 4 算法的描述3 8 4 1 5 实验结果分析3 9 4 2 基于图像边缘保护的小波阈值图像去噪新方法4 2 4 2 1 问题的提出4 2 4 2 2 边缘及边缘的类型4 3 4 2 3 分块平均的算法4 3 4 2 4 图像边缘保护的小波阈值去噪4 5 4 2 5 实验结果及分析4 6 4 2 5 1 实验结果4 6 4 2 5 2 信噪比分析4 8 第5 章小波与曲波联合图像去噪方法的探索5 0 5 1 引言5 0 5 2 曲波变换系数的特点5 0 5 3 曲波变换图像去噪模型5 1 5 4 联合去噪算法描述 5 5 实验结果及分析 第6 章总结与展望5 7 6 1 全文总结5 7 6 2 工作展望5 8 参考文献5 9 攻读硕士期间的研究成果6 2 致谢6 3 1 1 图像去噪方法简介 第1 章绪论 随着计算机、通信和网络技术的迅速发展，人们现在已经步入信息生活的 时代。其中图像以其信息丰富、传输速度快、作用距离远、形象直观等一系列 优点成为人们获取信息的主要来源和利用信息的重要手段。然而，图像在生成、 获取和传输过程中不可避免会受到各种不同噪声不同程度的污染，图像的质量 会受到损坏，进而影响后续更高层次的图像处理。因此，图像去噪方法的研究 是图像处理的必要环节1 1 j 。 2 0 世纪8 0 年代发展起来的小波变换，因其独特的时频局部化特性，在图像 和噪声信号的区分以及有效去除噪声并保留有用信息等方面较传统傅里叶去噪 方法具有明显的优势。现有的小波去噪方法大致上可分为三大类：空域相关性 去噪【2 1 、基于奇异性检测的去噪【3 j 和小波域阈值去噪【4 1 。其中空域相关性去噪是 根据图像信号的小波系数在不同尺度间具有很强相关性，而噪声系数却弱相关 或不相关来进行图像去噪；基于奇异性检测的小波去噪是认为图像信号的 l i p s c h i t z 指数为正，噪声的l i p s c h i t z 指数为负，通过确定各尺度上图像信号的 模极大值，重构得到去噪信号。小波域阈值去噪是通过设定某一合适阈值，认 为小于该阈值的系数是由噪声产生的，将其置为o ，保留大于阈值的系数，从而 抑制信号中的噪声。 1 9 9 8 年c a n d e s 给出了脊波变换基本理论【5 】i 州，该理论巧妙地将二维函数中 的“直线奇异 转化为“点奇异 ，再进行小波变换，它能够获得对含“直线奇 异 的二维或更高维函数最优的非线性逼近阶。脊波变换图像去噪是利用图像 信号和白噪声的脊波变换的不同性质来进行图像去噪的。图像经过有限脊波变 换后，原始图像与噪声所体现的特征不同，图像特征的幅值较大，噪声在变换 域中分布均匀，通过设置阈值，将小于阈值的系数置为零，来去除噪声，保留 图像特征。由于脊波变换能够更好地表征图像中的直线，所以对那些分段光滑、 沿直线边缘奇异的图像来说，在脊波变换域去噪后，可以达到既去除噪声又很 好保留图像特征的目的。 第1 章绪论 曲波变换不仅具有多尺度特性，而且由于引入了一个方向参量n 而使它具 有各向异性的特征，从而对线条状特征有着良好的表征。对于二维图像而言， 边缘、轮廓等线条特征恰恰包含了图像最重要的信息，这使曲波变换在数字图 像处理领域中有着良好的表现。曲波图像去噪方法是基于阈值方法的，其基本 原理：图像经过曲波变换，一般来说，噪声信息在曲波域中表现为绝对值比较 小的曲波系数，通过某种原则确定某个阈值来判断噪声与信号，进而实现曲波 变换图像去噪。 1 2 小波、曲波变换的产生背景 长期以来，傅里叶变换在数学与工程技术的应用中都有着广泛的应用，傅 里叶变换是以正弦波及其高次谐波为标准基的，它在时( 频) 上的良好定位是以 频( 时) 域的全部信号分析为代价的，也就是说它不可能同时在时域和频域上都 具有良好的定位能力，而且傅里叶变换是建立在平稳信号的基础上，不能处理 非平稳信号。但是在傅里叶变换基础上发展起来的小波变换，与傅里叶变换相 比是一个时域和频域的局域网变换，它能够有效地从信号中提取信息，通过伸 缩和平移等运算功能对信号进行多尺度分析，进而弥补了傅里叶变换的不足， 被誉为傅里叶变换发展史上的里程碑捧j 。 小波分析是当前一个迅速发展的领域，经过十几年的探索研究，其重要的 数学形式化体系已基本建立，理论基础更加牢固，在许多方面都取得了出色的 应用效果，如：信号分析、图像去噪、图像识别、图像压缩、地震勘探，计算 机视觉、数字水印等。 虽然小波变换能够成功地运用于一维分段的光滑信号中，但是小波变换在 一维时所具有的优异特性并不能简单的推广n - 维或更高维的信号中。那是因 为由一维小波张成的二维小波具有有限的方向性，而不能最优或近似最优的表 示具有线或者面奇异的高维函数。但是自然物体的光滑边界使得自然图像的不 连续性大多体现为光滑曲线上的奇异性，而不仅仅是点奇异性。因此人们为了 克服小波变换在处理二维或更高维信号时的不足，提出了一系列多尺度变换如： 脊波变换、曲波变换、带波变换、子束波变换等，而在这其中占主导地位的是 脊波变换和曲波变换。 脊波理论是由e j c a n d e s 在1 9 9 8 年提出的，它是一种非自适应的高维函数 2 第1 章绪论 表示方法1 7 1 。脊波变换对具有线奇异性的二维图像的处理过程是先将图像经过 r a n d o n 变换，将线奇异性转化为点奇异性，再进行的小波变换，从而得到最优 的表示。但是对于自然图像而然，边缘是图像的不连续性所在，而通常图像的 边缘是曲线型的，这样经过r a n d o n 变换，奇异性仍然是曲线奇异性，而不是点 异性，这样脊波变换在处理曲线型奇异性方面也不是最优的。而后e j c a n d e s 提出了单尺度脊波变换【9 】【l o l ，它的基本思想是当把曲线无限的分割时，每一小段 曲线可以近似看成直线来进行处理。1 9 9 9 年c a n d e s 和d o n o h o 又在脊波变换理 论的基础上提出了第一代曲波变换1 1 1 。，第一代曲波变换虽然能够对具有曲线奇 异性的信号得到最优的表示，但是第一代曲波变换由于计算复杂度高，存在信 息冗余，而且对图像信号的大小具有一定的要求。2 0 0 2 年c a n d e s 和d o n o h o 又 提出了第二代衄波变换【1 2 1 【1 3 j ，它是基于频域的曲波实现方法。第二代曲波直接 从多尺度分析理论出发，在频域基础上实现曲波变换，而没有通过脊波变换来 实现，从而使曲波成为真正意义上的多尺度分析方法。 1 3 图像质量的评价 图像质量评价的研究是图像信息工程的基本技术之一。图像质量的含义包 括两个方面的内容：图像的逼真度，所谓图像的逼真度是描述被评价图像与标 准图像之间的偏离程度；图像的可懂度，所谓图像的可懂度是指图像向人或机 器提供信息的能力。评价方法的优劣对我们判断去噪方法的优劣有着很重要的 意义。现有的评价方法一般分为主观评价和客观评价两种【1 4 l 。 ( 1 ) 主观评价 图像的主观评价是以人作为图像的观察者，对图像优劣的评定则是通过人 的肉眼来进行观察的。选择主观评价的观察者主要有两类人：一类是未受过训 练的“外行 观察者；一类是对图像技术有一定经验的“内行 观察者，无论 是哪类观察者，他们对图像的观察都易受到观察者主观因素的影响，因此评价 结果存在一定的不确定性。 ( 2 ) 客观评价 图像质量的客观评价标准主要有： 均方误差( m s e ) 为 3 第1 章绪论 mse=击f厂(f，_)一厂(i，州mn 岛包l 。v “。“j 其中f ( i ，歹) 为理想无噪声图像，厂( f ，歹) 表示经过处理后重构的图像，图像的尺 寸为mxn 。 峰值信噪比( p s n r ) 为 p s n r 一1ol 。9 1o i _ j 毛享兰二二三兰王兰二! 乌 薹羲，小，) 】 其中f ( i ，j ) 为理想无噪声图像，厂( f ，) 表示经过处理后重构的图像，图像的尺 寸为m n 。 主观评价和客观评价这两种图像质量评价方法都有各自的优缺点。主观评 价方法能够反映人眼的视觉效果，但是视觉特性的准确模型还没有完全建立起 来，这样导致主观评价只是一个定性的描述方法，而不能做定量的描述。客观 评价方法能够对图像的质量作出定量的描述，但它不能反映人眼的真实感觉。 因此在衡量图像“去噪”算法的优劣时我们通常将主观与客观两种标准结合起 来考虑。 1 4 论文的研究目的和意义 图像信号在生成和传输的过程中，往往会受到噪声的干扰，而使图像的质 量变差，为了后续更高层次的分析，很有必要对图像进行去噪处理。图像去噪， 是一个古老的课题。 近年来，小波理论迅速发展，以其良好的时频局部化特性，为解决降低噪 声的同时能够很好保留图像细节提供了良好的工具。小波变换能够很好地刻画 信号的非平稳特性，如：边缘、断点、尖峰等，这便于图像特征的提取。除此 之外，小波变换还具有低熵性、去相关性、多分辨性和选择基的灵活性等特剧1 5 】。 现已有许多理论和实验证明，充分利用这些特点，在小波变换域中能够十分有 效地将噪声和信号区别开来。基于小波变换的图像去噪方法在图像去噪领域具 有很好的应用前景和极大的发展潜力。 传统的小波阈值图像去噪方法虽然一定程度上保留了大的高频系数，但是 第1 章绪论 那些偏小的重要的边缘和纹理的小波系数还是被萎缩甚至去掉了，因此无法很 好的保留图像的边缘和细节信息。针对传统的小波阈值图像去噪方法的不足， 一方面我们从小波变换后三个子带的高频小波系数入手，提高小波变换后三个 子带中绝对值小于阈值且是三个子带中绝对值最大的高频小波系数，后进行图 像阈值去噪；另一方面我们从图像边缘信息的提取入手，通过合理的方法先尽 可能多的提取图像的边缘，后进行图像的去噪。 。 图像是由最基本的点、线、面构成的，小波在表示具有点奇异的目标函数 时是最优的基，但是在表示线或超平面的奇异性时并不是最优的【1 6 j ，为了克服 这一局限性，早期是由c a n d e s 和d o n o h o 提出了脊波变换理论，虽然其弥补了 小波变换的不足，但是由于其对图像大小有一定的要求，而且算法比较复杂。 后来d o n o h o 等人又提出了快速曲波变换理论，其是在频域基础上建立起来了。 基于小波变换和快速曲波变换分别对点奇异性和曲线奇异性具有最优的函数表 示的特点，我们从图像的奇异特性出发，将二者结合起来，进行图像去噪。 1 5 论文的主要研究内容与章节安排 本文在小波这一数学理论的基础上，研究了与多尺度有关的图像去噪方法。 全文的安排具体如下： 第1 章为绪论，主要针对小波变换和曲波变换在图像去噪方面的优点，简 单介绍了小波、曲波图像去噪方法及其变换的产生背景，并介绍了图像的评价 标准，最后报告了本论文的研究目的、意义、内容及章节安排。 第2 章详细介绍了小波与曲波分析的理论，在基本原理方面主要介绍了连 续和离散小波变换、第一代和第二代曲波变换、多分辨分析和图像的奇异性分 析。本章理论为后续章节的图像去噪奠定了理论基础。 第3 章主要介绍了多尺度变换在图像去噪中的应用。分别介绍了小波阈值 图像去噪方法、小波基联合图像去噪方法和第二代曲波图像去噪方法的原理及 步骤，最后给出了各自的实验结果及评价。 第4 章首先分析了小波阈值图像去噪方法的不足，然后根据小波变换后高 频系数与阈值及高频系数之间的关系和边缘的特性，分别提出了改进小波变换 高频小波系数的图像去噪算法和图像边缘保护的小波图像去噪算法。这两种方 法都是小波阈值去噪方法的推广，通过调整相对于阈值绝对值较小且是三个子 5 第1 章绪论 带中绝对值最大的高频小波系数和对图像进行边缘保护来进行图像去噪，可以 改进小波阈值去噪后图像出现边缘模糊的现象。最后，通过仿真实验证明了这 两种算法的有效性。 第5 章首先介绍了曲波系数的特点和曲波图像去噪模型，然后基于小波变 换和曲波变换在图像去噪方面的优点，提出了小波变换与曲波变换联合的图像 去噪方法，并且详细介绍了采用该方法进行图像去噪的步骤。最后，通过仿真 实验证明了该算法的有效性。 第6 章是对全文的总结与展望，系统全面地概括了全文的主要研究内容； 针对论文的不足之处，提出了一些意见和建议，以供后续工作者参考借鉴。 6 第2 章小波与曲波分析理论基础 第2 章小波与曲波分析理论基础 2 1 小波变换理论 小波变换是在傅里叶变换的基础上发展起来的一种信号时频分析方法，它 具有多分辨分析和局部时频分析的特点，能够有效地从信号中提取有用信息， 由于小波变换能够通过伸缩和平移等运算功能对信号进行多尺度细化分析，而 被誉为分析信号的显微镜。传统意义上能使用傅罩叶变换的地方，都可以用小 波变换来取代。 2 1 1 连续小波变换 定义2 1 1 珊( t ) e l 2 ( r ) ，若其傅里叶变换满足 q = 正警c 允许性确 仁1 ， 则称妒( t ) 为一个基小波或称为母小波。 如果l f ，( t ) e l l ( r ) ，那么l f ，是连续的，a h ( 2 1 ) 式可推出 参( o ) - o 或f 妒( f 妞- o 将基小波函数妒( f ) 进行伸缩，平移得 小) 2 忑1 妒( 警) 啪 删 称妒。士( t ) 为依赖于参数口，b 的小波基函数，简称小波。口称为尺度因子，b 称为平移因子。若口，b 是连续变量，称l f ，。j ( t ) 为连续小波变换，若口，b 是离散 变量，称饥 ( t ) 为离散小波。 第2 章小波与曲波分析理论基础 定义2 1 2 ( 硝啪) = i 口f l r ( r 砂( 警产2 ( ) ( 2 2 ) 称( 2 2 ) 式为关于基小波l f ，( t ) 的连续小波变换( 或积分小波变换) 。 连续小波变换与傅里叶变换相类似，也具有平移不变性、线性性和伸缩共 变性，用数学语言描述如下： 平移不变性： ( 厂( f 一刁) ( 以，6 ) = ( 厂( f ) ) ( 吗6 一刁 ( 2 3 ) 线性性： ( ，( f ) + g ( f ) ) ( n ，6 ) = ( ，( f ) ) ( 口，6 ) + ( g ( f ) ) ( a , b ) ( 2 4 ) 伸缩共变性： ( 厂( c 帆，6 ) 2 忑i c ( 巾) ) p cc ) ( 2 5 ) v、， 另外小波变换还有自相似性和冗余性，其冗余性也是自相似性的直接反映 【1 7 】 o 因为在连续变换的尺度口和时间6 下小波基函数妒。jt ) 具有很大的相关性， 所以信号的小波变换系数( a , b ) 的信息是冗余的。为了减少小波变换后信息的 冗余度，我们引入离散小波变换。 2 1 2 离散小波变换 在大多数应用中，特别是在信号处理中，数据一般是用有限数目的值来表 示的，即要求将连续小波及其变换离散化。离散小波变换相对于傅里叶级数， 正如连续小波变换对应于傅里叶变换。所谓离散，是指尺度和位移的离散，而 对待分析信号和小波中的时间变量t 并没有被离散化。 1，l 、 在函数族缈。 ( f ) = 妒f 三二竺1 中，限制口，b 都是离散值，于是得到了离散 8 = 口南( 半) 2 口挑气呐) 仁6 ， 为了以一种数值稳定的方法重构厂，我们要求( 厂，妒。一) 满足稳定性条件，即 存在0 a ，b ，使 a i i f1 1 ；s 岍一) 1 2s b 眨 ( 2 7 ) 对所有厂r ( 尺) 成立。由此得到框架的概念。 定义2 1 3 在h l i b e r t 空间h 中的一族函数 ) 脚称为是一个框架，如果存 在0 a ，b o 。，使 4 i if 1 1 ；s 荟晒纺) 伽； ( 2 8 ) 对于所有厂e h 成立。并称a 与口是框架界。如果a = b ，还称框架是紧框 架。在框架中，对于所有厂e h ，有 利用内积恒等式，有 或在较弱的意义下，有 荟i ( 砌，1 2 = b i i i l l 么( 厂，g ) = ( 厂，妒，) ( 驴，g ) 厂一彳。1 ( 厂，乃k ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 注意：框架甚至是紧框架，也不一定是正交基。 定理2 1 2 如果 妒f 一是一个紧框架，而框架界a = 1 ，并且如果0 驴f l i _ 1 对 i jj e ， j ” 9 第2 章小波与曲波分析理论基础 于所有j j 成立，那么 ) 心构成日的一个正交基。 2 1 3 多尺度分析( m r a ) s m a l l a t 于1 9 8 7 年将计算机视觉领域的多尺度( 多分辨) 分析法【1 8 】【1 9 】引入到 小波分析中，并形成了具体的算法。 下面给出m r a 的定义。 定义2 1 4 假设 ) 尼为r ( 尺) 中的一列闭子空间，如果满足以下条件： ( 1 ) 单调性：哆c 匕。v y e z ( 2 ) 平移不变性：1 ( x ) e v , 兮厂( x 一七) 蟛v j ，k e z ( 3 ) 逼近性：，旦4 , o o 巧= r ( 尺) ，曼巧= 0 ) z ( 却伸缩性：，( x ) 巧营厂( 及) 巧d z 一 ( 5 ) r i e s e 基存在性：存在函数妒( x ) k 使得 驴( x 一七) ) 肥构成的r i e s e 基。 即 ( z 一七) ) 眉是线性无关的，且存在常数彳和b ，满足o 图2 6 给出了整个分解算法的主要流程。由于上述算法的每个步骤都是 可逆的所以可以构造