（基础数学专业论文）core有限及其对偶问题.pdf

c o r e 一有限及其对偶问题 学科专业：基础数学 指导教师：段泽勇教授 摘要 研究方向：无限群论 研究生：余大鹏( 2 0 0 0 2 0 6 ) 所谓群g 是c o r e 有限的，是指群g 的每个子群h 均满足乒，日。是有限的在文【3 中，对偶 地定义了f 臼，c ) 一群一个群g ，若对g 中任意子群( 阿贝尔子群，循环子群) 有1 h “：h o o ， 则称群g 是f + ，c + ) 群在该定义中，若l h 6 ：h l 2 且c f ( g ) = 3 ，则p = 3 且e x p ( g ) = 9 定理3 9 若局部有限p 一群g 是c + p ) 一群，则g 的类最多为3 且g 是初等阿贝尔p 群 定理3 1 0 若局部幂零群g 是c + 一群，则g 是b a e r 幂零而且是超限上中心群 定理3 1 1 若周期的局部幂零群g 是c p ) 群，则g 的类最多为3 最后主要研究非幂零的( 门) ( c + ( 月) ) 群，在有限和无限条件下得到了一些可解结构主要有 下面结果： 定理4 1 有限的c 0 ) 一群g 是可解的 定理4 2 有限的c ( p g ) 一群g 是可解的 定理4 4 若有限生成的可解群g 是c + ( 玎) 群，则g 是多重循环群。 定理4 5 若局部可解群g 是c ( ) 一群，则g 的主因子是初等阿贝尔的上 关键词：单群；内有限；援基趸受耍商非阿贝尔；极大子群；中心化子； 幂零类、 o nc o r e f i n i t ea n di t sd u a lp r o b l e m s m a j o r ：b a s i cm a t h e m a t i c s s p e c i a l i t y ：t h et h e o r y o fi n f i n i t eg r o u p s s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rd u a nz e y o n g c a n d i d a t e ：y ud a p e n g ( 2 0 0 0 2 0 6 ) a b s t r a c t l e tgb eag r o u p ，has u b g r o u po fg w es a yt h a tg i sc o r e f i n i t ei fe a c hs u b g r o u ph o fg s a t i s f i e st h a t h h n i s f i n i t e d u a l l y , i n 3 1 ，o n es a y st h a tg i sa nf 叫+ ，c ) g r o u p ，i fe a c h ( a b e l i a n ，o rc y c l i c ) s u b g r o u ph o fgs a t i s f i e st h a t 1 h 6 ：日l ；f u r t h e r ，o n es a y st h a tg i sa n s + ( ) ( 4 ( 九) ，c + ( 行) ) - g r o u p ， i f e a c h ( a b e l i a n ， o r c y c l i c ) s u b g r o u p ho fgs a t i s f i e st h a t i h 6 ：h i 3 ，t h e n t h en i l p o t e n tc l a s so fgi sa tm o s t2 t h e o r e m3 6 l e tgb ec + 6 0 ) 一g r o u p i f p 2a n dt h en i l p o t e n tc l a s so fg i s3 , t h e n p = 3a n d t h ee x p o n e n to f gi s3 t h e o r e m3 9i fgi sl o c a l l yf i n i t ep g r o u pa n dc 6 0 ) - g r o u p ，t h e nt h en i l p o t e n tc l a s so fg i sa tm o s t3a n dt h ed e r i v e ds u b g r o u po fgi se l e m e n t a r ya b e l i a n p g r o u p t h e o r e m3 1 0i fgi sl o c a l l yn i l p o t e n tg r o u pa n dc * - g r o u p ，t h e ngi sb a e rn i l p o t e n ta n d h y p e r c e n t r a lg r o u p t h e o r e m3 1 1i fgi st o r s i o nl o c a l l yn i l p o t e n tg r o u pa n dc + 6 0 ) 一g r o u p ，t h e nt h en i l p o t e n t c l a s so f g i sa t m o s t3 i ns e c t i o n4 ，i nt h ec a s eo ff i n i t ea n di n f i n i t en o n n i l p o t e n tw e m a i n l ys t u d yt h es o l u b l e s t r u c t u r eo f s + 口+ ，c + ) - g r o u p s m a i n l yr e s u l t sa r ei nt h ef o l l o w i n g t h e o r e m4 1f i n i t ec + p ) g r o u pgi ss o l u b l e t h e o r e m4 2f i n i t ec + p g ) - g r o u pgi ss o l u b l e t h e o r e m4 4i fgi sf i n i t e l yg e n e r a t e da n d c ( ) 一g r o u p ，t h e ng i sp o l y c y c l i cg r o u p t h e o r e m4 5i fl o c a l l ys o l u b l eg r o u pgi s c ( ，1 ) - g r o u p ，t h e n t h ec h i e ff a c t o ro fgi s e l e m e n t a r ya b e l i a n k e y w o r d s ：s i m p l eg r o u p ；i n n e r - f i n i t e ；m a x i m a la n dm i n i m a lc o n d i t i o n ；n o n a b e l i a n ；m a x i m a l s u b g r o u p ；c e n t r a l i z e r ；l o c a l l yf i n i t e ；l o c a l l yn i l p o t e n t ；p h a l l - j p e t r e s c ui d e n t i t y ；e x p o n e n t ； n i l p o t e n tc l a s s 4 1 引言 所谓群g 是c o r e 一有限的，是指群g 的每个子群日都满足驯是有限的文 4 】证明了局 部有限的c o r e 有限群是a b e l i a n b y f i n i t e 在文【7 】中，b h n e u m a n n 得到了一个对偶的结论：若 群g 的所有子群满足l h 6 ：h o o ，则群g 是f i n i t e b y - a b e l i a n 文【1 卜一【6 】研究了c o r e 一有限问题由于非阿贝尔的内有限群( f f t j 如：t a r s k ip - g r o u p s ) 是 c o r e 有限的，而且它们显然不是a b e l i a n b y f i n i t e ，因此文【l 】- - 6 在研究过程中排除了内有限 群这种情形本文第二节研究这种内有限的c o r e 有限群主要对内有限的无限单群进行了研 究，得到了：若非阿贝尔的内有限群含对合，则非单群；而且非阿贝尔的内有限群是内可解的在 此基础上得到了内有限的无限单群分别为内幂零，内阿贝尔，内循环的充分必要条件 本文其余部分主要研究c o r e 一有限的对偶问题在文 3 】中，j c l e n n o x 等对偶地定义了 ，( 爿+ ，c + ) 群一个群g ，若对g 中任意子群( 阿贝尔子群，循环子群) h 有i h 6 ：h l o o ，则称群 g 是，a + ，c ) 一群在该定义中，若l h 6 ：h l h 。 h 。 由于g 是内有限群，所以h 。是有限群因为 h ，的子群个数有限，所以该真降链有限因此g 满足极小条件口 性质2 2 非阿贝尔的内有限群g 的极大子群都不正规 证明：若g 存在一个极大子群，令为m 它是g 的正规子群，则m 是有限群而且存在一个元 a g m ，有g = m 又由g 的真子群为有限知：g 是周期群，所以口的阶有限因此g 是有 限群，与已知矛盾 口 性质2 3 非阿贝尔的内有限群g 是不可解的 证明：由文1 2 7 推论2 知：g = g ，故g 是不可解的 口 性质2 4 非阿贝尔的内有限群g 是单群的充分必要条件是z ( g ) = 1 证明：由文 2 7 】定理4 知：z ( g ) = f r a t ( g ) 若z ( g ) = l ，由文 2 7 】引理l 知：若| v 是g 的任意正 规真子群，则n f r a t ( g ) 因此n = l ，即g 是单群若g 是单群，显然z ( g ) = 1 口 6 二、单的内有限群 首先给出群为非阿贝尔的内有限群的一个充分条件 定理2 1 若无限群g 是满足极大条件和极小条件的内可解群，则g 是非阿贝尔的内有限 群 证明：首先证明g 是周期群对g 中任意元g ，若g 的阶无限，则有( g ) ( g2 ) g2 。) 是 g 的无限真降链，这矛盾于g 满足极小条件因而g 的阶是有限的，故g 是周期群 其次证明g 的每个真子群是有限的设h 是g 的任意真子群因为g 是内可解的，故是 可解的又因为g 满足极大条件，所以片是有限生成的周期可解群由文献 1 l 】定理5 4 1 l 知： 有限生成的周期可解群是有限群，故j v 是有限群 最后g 显然是非阿贝尔的，即g 是非阿贝尔的内有限群 口 由定理2 1 和前面的性质2 1 可立得 推论2 1 无限内可解群g 为内有限群的充分必要条件是g 满足极大条件和极小条件 定理2 2 设g 是由口和b 两元生成的非阿贝尔的内有限群，若a 和b 两元中有对合，则 z ( g ) 含对合，因而g 非单群；而且g 不是内阿贝尔的 证明：因为g = ，由文 2 7 定理2 知：口和b 两元不能都为对合又由假设，不妨设b 非对 合，d 为对合若巴( a ) 是无限的，由于g 为内有限群，因此c 。( 口) = g 又因为b g = c 。( a ) ，所以b 与a 可交换因而g 是阿贝尔的，矛盾故c 。( d ) 是有限的又因为g 是有限生成的无限群，所以g 不是局部有限的由文献【2 8 】定理2 9 知：g 中存在对合c c 6 ( a ) 使得c 。( c ) 无限因此 c g ( c ) = g ，即c z ( g ) 因而z ( g ) 1 ，所以g 非单群 若a 6 g ，则a o 是g 的正规真子群由文 2 7 】引理1 知：口a 6 f r a t ( g ) 与a 是g 的生成 元矛盾因此a 6 = g 因为a 为对合，对g 中任意元岛n s 也为对合因为a 与口s 不能全部交换( 否 则g 为阿贝尔群，矛盾) ，所以存在h g 使得a 与a “不交换由文【2 7 】定理2 知： 是g 的真子群，因而 是g 的一个有限的非阿贝尔的二丽体群故g 不是内阿贝尔的 d 定理2 3 若g 是单的内有限群，则g 是内可解的 证明：若g 中存在对合c ，则有巳( c ) = g 或c 6 ( c ) g 若c 6 ( c ) = g ，则1 c z ( g ) 因而z ( g ) l 与g 是单群矛盾 豢c 8 ( 力g ，则( c ) 是脊限的由文献【l l 】定理1 4 3 8 知：g 含衡一个具有无限中心化予 的非平凡元最使得巳( 奶无限+ 因此巳( 彤= g ，即l d 拦z ( g ) 因而z ( g ) l 与g 是革群矛盾- 综上所得：g 不含对合，因此g 中每元都为奇除元设h 是g 的任慧非平凡真予群，则h 是 只含奇阶元的肖限群因而h 怒奇阶群由f e l t t h o m p s o n 定理知：是可解群又由性质2 3 知：g 不可勰因露g 是内可解的 口 革的内有限群孛鸯一个非常重要的群 镕j ：t a r s k im o n s t e r 它是0 1 s h a n s k i ia y u 。在文 2 9 】 中构造的每个非平凡的真子群都是素数p 阶的单群( 这里要求p 是充分大的豢数) 它显然是 c o r e 一裔眼豹鑫l 定理2 3 豹证骥知：一个攀款蠹骞限嚣楚内可麟灼又渡意到t a r s k im o n s t e r 是 内循环，内阿贝尔，内幂零的因此下面定理给出这些性质的刻划 定理2 4 设g 是非阿贝尔的内有限群，则g 的每个非平凡真子群都是素数阶循环群的充 分登要条律是g 是攀群，g 静簿个真予群幂零魁g 的簿个菲平凡的爨予群鑫燕藏纯 证明：必要性：设是g 的非平凡真子群幽假设知日是素数阶循环群，所以日怒幂零的。 若不是g 的极大予群，因为g 满足极大条件，所以真含予g 的某个极大予群中，令它为且 又虫缎设知域也是素数蹬嫒臻群，疆蕊h = l 鸟妊是g 越 # 平致真子嚣矛矮灏姥嚣怒g 熬投 大子群，又f h h 蔓6 ( 科) 及性质2 2 知：6 ( ) g ，所以h = 心( h ) 又设足是不同于灯的g 静菲平魁真予群，弱鬈楚素数除循环群褥显是g 静较大予群( 淀意k 懿除_ 稽h 酶阶可缝不同) 由于岸和都是单群，因此n k = 1 ，即g 的任意极大子群的交为单位元群又因为 z ( g ) = f r a t ( g ) s h n k = l ，所以z ( g ) = 1 由性质2 4 知：g 为单群 充分性：令f 是g 约任意嚣平凡真予群由假设f = 心( f ) 喾l ，因此a ( 固= f 是g 鹣真予 群因而存在一个g 的真子群不含在f 中( 因为对g 。( ，) 中任意元g 都有f g 旺f ) 由于 g 满楚极大条佟，取g 静宾子群m 芷f 傻褥f m m o f 缀大嚣为m 盛f ，掰戳眷i m g 又 因为g 的每个舆子群幂零，因而m 幂零+ 故 村( d 潜1 1 ，出于1 s g ( d 心( ，) ，矛盾因 此，= 1 由予g 满足极大条件，若f 真含于g 的一个梭大子群互中，则e 岱f 因此 置q f = f l ，矛蓐予i = l + 因掰f 是g 豹极大子群。故g 的氯今菲平凡予群郝是g 的较大孑 群事实上，g 的每个非平凡的真子群还是一个单群否则令日最g 的一个非平凡的真予群若日 含毒一个菲平凡豹囊予群，令它为竭l ，茭| l 蕊落是g 蠡孽菲平凡寞子群透露蟊氇是g 静极大 子群然而1 h l h g ，矛盾因此g 的非平凡的真予群不能禽有g 的非平凡的真子群，即g 的每个非平凡的真子群是一个单群因此f 是肇群而鼠是幂零的故f q 能是素数阶循环群口 3 定理2 s 设g 是满足极大条件的无限单群，则g 是内有限群，而且g 的每个非平凡真子 群是阿贝尔群的充分必要条件是对g 的任意非平凡元x ，有c 。( x ) 是g 的含工的唯一极大子群 且c 。( x ) 是有限的 证明：必要性：设x 是g 的任意非平凡元由于g 满足极大条件，所以x 含于g 的某极大子 群中，令为m 因为肼是g 的真子群，由假设知吖是有限阿贝尔的又因为x m 而且吖是阿贝 尔的，所以m c g ( x ) 若m c a ( x ) ，由m 的极大性知c g ( 工) = g ，即工z ( g ) 因此z ( g ) 1 矛盾 于o 是单群因而m = c 6 ( 砷是g 的含x 的极大子群又因为m 有限，所以c g ( 曲是有限的若k 是g 的含x 的另一个极大子群，同理有k = c g ( x ) 因此c 6 ( x ) 是g 的含x 的唯一极大子群 充分性：由于g 满足极大条件，令m 是g 的任意极大子群设z 是m 中的任意非平凡元 由假设( x ) 是g 的含j 的唯一极大子群，所以m = c g ( 力又因为c 6 ( 曲是有限的，所以吖是有 限的因此g 的任意极大子群都是有限群设h 是g 的任意真子群，由于g 满足极大条件，因此 含于g 的某个极大子群足中由前面证明知世是有限的，因而是有限群故g 的任意真子 群都是有限的又因为g 是无限的，所以g 是内有限群 下面证明g 的每个非平凡真子群是阿贝尔的令日是g 的任意非平凡的真子群对h 中任 意两元x 和y ，由假设知c g ( z ) 和c g ( y ) 分别是含x 和y 的g 的唯一极大予群又因为g 满足极 大条件，所以日含于g 的一个极大子群m 内因为m 也是含x 和y 的g 的极大子群，由唯一性 知m = c 6 ( x ) 和m = c ：( y ) ，因此c g ( x ) = m = c a ( y ) 又因为y c 6 ( y ) = c g ( x ) ，所以x 和y 可交 换因而日是阿贝尔的口 推论2 2 设g 是满足极大条件的无限单群，则g 是内有限群且每个非平凡真子群是循环 群的充分必要条件是对g 的任意非平凡元z ，( x ) 是g 的含石的唯一极大子群且g ( 工) 是有 限循环群 证明：必要性：由定理2 5 知：对g 的任意非平凡元z ，c 。( x ) 是g 的含有x 的唯一极大子群 而且c 。( 曲是有限的因而c 6 ( x ) 是g 的非平凡真子群因此c 。( x ) 是循环群 充分性：由定理2 5 知：g 是内有限群而且每个非平凡真子群是阿贝尔的令h 是g 的非平 凡真子群对h 的非平凡元x ，由假设知c g ( 曲是g 的含x 的唯一极大子群又因为g 满足极大 条件，则h 含于g 的某个极大予群m 中显然肘也是含x 的g 的极大子群由唯一性知 m = c g ( z ) 因为c 6 ( 石) 是循环的，所以是循环群口 9 接论2 3 没g 是攀懿内蠢疆群囊g 豹每个 # 平热囊孑嚣是弼贝尔豹，则g 可由奄豹任意 一个b 平凡元和g c 。( x ) 中任意一元生成 谖瞬：因鸯g 是革群，蘑黻( x ) 毋g 医舔岛0 ) g ，瑟g 、( 肆不为空繁对g 、( x ) 审 任意一元吕由定理2 5 知：x 和g 分别禽于g 的极大予群q ( x ) 和c s ( 苫) 中因为g g c 。( 力， 所以( x ) ( g ) 而仁g ) 是g 的一个子群，若仁g ) g ，则和，g ) 是g 的真子群由于g 满足 援丈条传，历以沁g ) 禽予g 的某个极大子群m 中。嚣疆m 也是包含苫期g 的g 静极大子群 又由定理2 5 知：c 0 ( x ) = m = c a ( g ) 与c 6 ( x ) 礴c g ( g ) 矛盾因此( x ，g ) = g 口 一、p 罐# 的情形 3 局部幂零条件下的s + ( 一) ( ( 糟) ) 群 1 ，( 帕( c + ( n ) ) 群的基本性质 性质3 1 f ( 吣( c ( m ) - 群豹子群及同态聚仍是s + ( 舯) ( c + ( 曲) 群 诫明：在文【7 】引理2 2 中融对f ( h ) 群迸彳予了证明 因越只嚣对c ) 群涯骥令n 是g 戆绦意子群，c 是n 豹 王意疆环予聪，剡e g 毽弼 f c ”：c l - i ( c 6 f i n ) ：c l n i = l 仁) o n n ：( x ) f = 缈n ( x ) 6 ：( x ) 扛) n | | 毋”x q ：制x 囊| = | x 6 ： x l - 挥 。 成立因此g 是c + ( h ) 群 口 性质3 2若局部幂零群g 是s ( 群，则g 是幂零群 诞明：困为g 是f 一群，由文【7 】知g 是b f c 群，所以g 是有限的睡j 文献 1 2 】定理1 4 5 3 ( p _ h a l l ) j 簸：o 磊( g ) 是有羧的，因北彰岛( g ) 是幂零的。困 嚣彰轰) 是幂零豹，鼓g 是幂零瓣 a 引理3 1 若局部幂零群g 是，) - 群，日是g 的一个子群而且日是有限单群，则对g 中任 意元g ，骞曩= h 。或【嚣，h 3 】= 1 证明：由性质3 2 知g 是幂零群若h = g ，结论显然成立令h g 因为日是有限幂零单群， 所以h 是素数阶的令k = h n h 。因此x = 或足= 1 若足；，显然有日；2 ；若芷壮h 则 1 0 k = 1 由文献i 1 1 】定理1 3 3 1 知【，h 3 】= 1 口 性质3 3 若局部幂零群g 是f p ) 一群，则g 的每个循环子群共轭可换，即( x ) ( x ) 8 = ( x ) 8 ( x ) ， 对g 中任意元g 和x 证明：由性质3 2 知g 是幂零群令c 是g 的任意循环子群，其生成元为x 若( 工) 不正规于 g ，则( 石) ( x ) 6 司g 因为g 是p ) 一群，则( x ) 司( x ) 6 司g ，即( x ) 的亏数为2 若( x ) 司g ，则结论显 然成立；若( x ) 不正规于g ，则( x ) 和( x ) 8 在( x ) 6 中正规，因而结论成立 口 性质3 4 若局部幂零群g 是，p ) - 群和y 是g 中的p 阶元，则 的阶最多为p 3 ： 若p 为奇素数，则e x p ( ) = p ；若p = 2 ，则e x p ( ) = 4 证明：令 _ h 不妨设 x ，y 1 1 ，否则 叫【= p ，因而f h | _ p 2 p 3 ，结论成立由引理3 1 知：【y ，y 1 】= 【x , x 】- 1 ，因而【z ，y ，x _ x ，y ，y 】= l ，即【x ，力与x 和y 可交换由于【x ，y 】z ( h ) 所以 【x ，川，= i x p , 纠= 1 ，即峙，州= p 因为驯日是二元生成的初等阿贝尔p 群，所以i 驯h j = p 2 又 因为h = = z ( h ) ，所以i h l = p 因此l h l = p 3 由知结论显然 口 例： 群z ，w r z p 它同构于对称群s 。：的s y l o wp - 群且由两个p 阶元生成它是p 川阶幂零群然 而它的p 阶元组成之集不成群( 它的两个p 阶生成元之积是p 2 阶元) 然而有下面定理 性质3 5 若局部幂零群g 是，p ) 群，则对任意i n 有i = x g i x 一= 1 ) 是g 的正规子 群 证明：对，用数学归纳法 设x 和y 是正中的元，令h = 由性质3 4 知：e x p ( h ) = p ，因而( 砂p = 1 ，即x y 一正 因此结论成立 设一一。司g 且令石= g z 。因为，( p ) 一群对同态象是闭的，所以石也是f p ) 一群现令 r = x g k = 1 ) ，由前段证明知：t 司g 令r = t t , 十下面证明t = 巧 一方面，对x t ，因为；9 = 0 l 一。) 一= x ，f 一，= i ，即x ，z 。因此o ，) 一= x ，1 = l ，即x z 因而t 正；另一方面，对x l ，因为x ，= 0 9 ) 9 “= 1 ，即x p z + 所以；9 = 0 i 一) ，= x ，7 ：一= i ， 即x t 因而i t 故t = 正因此t 司g 5 3 由性质3 2 我们知到局部幂零的s 0 ) 一群是幂零的因此局部幂零的0 ) 群的结构就比较 j i 清楚t 我翻下覆主要磺究局郝幂零懿c 8 ) 瓣 2 有限p 瓣( 零小节掰猎豹群酃最有陵p - 群) 萼l 邋3 2 站群g 中任意芦除元檀商f 搿羚= g a ) 诞明：显然蚝( 妇) ) 岛( 口) 蓉拜e z ) ，则心( 扣= c r 6 ( 辟) 下面令口z ( g ) x c g 中镁意的 露g 镌 劫骞拉8 芒g ) 。毽瑟g 诱母溅靠) 瓣一个囊鑫同擒，令为因为 疗，“一繇。) 。 群溶) s = 嚣，掰鞋阪| 整豫涮又毽为名瓤艚曩蠢掰( 痒懿除必p l ，医此 l i g = l ，都爨( 口) 的毽等鑫同秘弱丽拉8 = 疗，静g c a ( a ) 敌蚝疆) ) 岛( 嚣) 。 弓l 蠼3 3 耱群g 怒c + p ) - 群鼠黼= p ，娜靠z ( g ) 或疗) 。= 靠) a ) 8 ( v g 毫g 、q 国) ) 氨 l g ：( 拉i = 尹 渡骥：羞群菇z ( g ) ，粼由萼| 壤3 2 熟娃= ( 妨譬g 霪露口不i e 规予g 又因强 ( 露) g ，舞竣存在x 殇峨、岛( 拧) ，笈褥薛舀。羧筵8 承a 。蔓8 ) “，蠢必g 楚f * 群，茨黻| 瀚8 ：露i = p 。阂褥a 严= 疗，掰。) 又崮孳| 理3 1 及往骚3 3 翔秘6 = 轻缸1 = 8 搿5 ( 硐瓣疗3 生成不同的素数除循环群) + 对g e g 岛( 蜉) ，旃球口3 自性质3 , 3 知如口) 8 蔓“强为痒和珂8 生藏不蠲豹素数输循环 臻 故和) n d ) 8 。l 。因而| ( 甜6 l = p 2 = l 口) p 8 ，即和6 = n ) d ) 8 出弓l 理3 1 知格) 。= 爵) x 口) 8 又鳗为露盛z ( g ) 掰曼国。中p 除元蠢p 2 一t 个，困褥l p ：岛 印| 尹2 。圆此归：c ( 胡= p c n 雩| 理3 4 辩g 楚e ) 骥，爨| j 对g 审任意露a 菇睁：弹毫囊| p 黪别媳蚝( a ) ) g 谖骧：对g 碡l 任意元靠，若潮= p ，粼幽零l 理3 3 麴雅谂残立。下骚令隧= p 。转2 ) 。惹( 尊g ， 缭论驻然成立设疗) 不正筑予g ，潮( 甜) ) g 经较g g 、娩( 扫) ) 育档8 诺尊) 又霞梵 拜) 2 ，出文献【1 2 】弓l 理6 , 9 知拉) 6 中 馀好露p 个循环的极大予嚣秘一个不镶环的极大予精，邸霄p + 1 个极大子群；糟p ：2 波文献 f t 3 1 8 7 题t 知“中最多蠢3 个锾环鹣授大予爨。两a ) 豹经意共鞭子释郯是f 群严豹糖繇豹掇丈 1 2 ： 予群。嚣藏，综上蠢论p 敷俺麓，总肖l p ：( 扣) l 嚣藏g = z 。g ) 。毂g 的类敲多为2 又凄雩i 理3 2 及苷 溪3 , 3 糍p ：蚝蹲由| = 眵：黛) i 2 ，令封建n o r m ( 秽) 靛繇慧子群。瓣n o r m ( g ) 中镁塞元嚣囊n o r m ( g ) 熬定义嚣 努8 露，鼯翁n o r m ( g 。霾孬n o r m ( g ) 茬zd e d e k i n d 释，x p 2 ，所激n o r m ( g ) 楚凝鼹容鹣蔽 g 是瓣受尔豹+ 蓉p = 2 ，辩莱g 蹩h m n i l t i o n l a n ，掰g 一婊x 矿，蒸审v 楚二羚茏缀感麓瓣委尔群霹忿 艿= 映v * 珐是阿爱尔魏；翔聚g 不怒h a m i l t i o n i a n ，蓑n o r m ( g ) 燕随受象瓣，掰g 楚黼受承 貔；菪觞珊瓣) 楚嫠晦燕窳的，蠢硒堋姆) 静寒义毒确，掰( 8 ) 怒h a m i l t i o n i a n , 函蘸壶文f l 霹麴g 避h a m i l f i o n i a n ：矛_ 茸。 n 好 立 蜘： 绞6 d ，6 k 8 ；l ，b 2 = d 4 ，= 口一