（基础数学专业论文）banach空间sturmliouville边值问题解的存在性.pdf

摘要 本文利用半序理论，非紧性测度，凝聚映射的不动点定理及锥上的不动点指数理论，讨 论了b a n a c h 空间e 中s t u r m l i o u v i l l e 边值问题 ( p ( t ) 砧7 ) ) + q ( t ) u 0 ) = f ( t ，u ( t ) ) ，t 【0 ，1 1 。0 4 ( o ) 一z o p ( o ) u ( o ) = 0 ，a l u ( 1 ) + 卢l p ( 1 ) 乱( 1 ) = 0 ， 解的存在性主要结果有： 一、通过建立新的极大值原理，讨论b a n a c h 空间中一般的s t u r m l i o u v i l l e 问题解的 存在性，在不假定，( ，u ) 连续，仅假定f ( t ，u ) 满足弱c a r a t h e o d o r y 条件，运用上下解单调 迭代方法，并结合非紧性测度的性质，研究了s t u r m l i o u v i l l e 边值问题最大解与最小解的 存在性 二、通过线性方程解算子谱半径的论证，在紧型条件下利用凝聚映射的l e r a y - s c h a u d e r 不动点定理及幂压缩映射不动点定理，获得了解的存在性与唯一性结果这些结 果推广了近期这方面已有的一些结果 三、对于正解存在性问题，我们应用凝聚映射的不动点指数理论，分别在超线性与次 线性情形下进行讨论，获得了一些正解存在的结果，主要结果推广和改进了1 9 9 6 年l o u b e n - d o g 对b a n a c h 空间s t u r m l i o u v i l l e 问题所建立的存在性定理 关键词：b a n a c h 空间s t u r m l i o u v i l l e 问题；凸锥；半序；上解；t n ；极大值原理；非 紧性测度；凝聚映射的不动点定理；不动点指数 中图分类号：0 1 7 5 2 5 a b s t r a c t b a s e do nt h ep a r t i a lo r d e rt h e o r y ，k u r a t o w s k im e a s u r eo fn o n c o m p a c t n e s s ，f i x e dp o i n t t h e o r e mo fc o n d e n s i n gm a p p i n ga n dt h ef i x e dp o i n ti n d e xt h e o r yi nc o n e s ，t h ep a p e rd i s c u s s e dt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n st ot h es t u r m l i o u v i l l ep r o b l e m s ( p ( t ) u ( t ) ) + q ( t ) u ( t ) = f ( t ，乱( t ) ) ，t 0 ，1 o l 0 u ( o ) 一f l o p ( o ) u ( o ) = 0 ，n 1 u ( 1 ) + 岛p ( 1 ) 让( 1 ) = 0 i nb a n a c hs p a c e sa n dt h em a i nr e s u l t sa r ea sf o l l o w s 1 t h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o n st ot h es t u r m l i o u v i l l ep r o b l e mi nb a n a c hs p a c ei s d i s c u s s e db ye s t a b l i s h i n gan e wm a x i m u m p r i n c i p l e w h e r ef ：i e e w h i c hd o e sn o tr e q u i r et ob ec o n t i n u o u s ，o n l ys a t i s f i e st h e c o n d i t i o no fw e a kc a r a t h e o d o r yc o n d i t i o n t h ea u t h o ro b t a i n st h ee x i s t e n c er e s u l t so f u p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n sb yu s i n gt h em o n o t o n ei t e r a t i v em e t h o dw i t hu p p e ra n dl o w e r s o l u t i o n s 2 b yd o i n gp r e c i s ec o m p u t a t i o n o fs p e c t r a lr a d i u so fl i n e a ro p e r a t o ro fl i n e a re q u a t i o n a n db yu s i n gm e a s u r eo fn o n e o m p a c t n e s sa n dl e r a y s c h a u d e rt y p ef i x e dp o i n tt h e o r e mo f c o n d e n s i n gm a p p i n g ，t h ee x i s t e n c ea n d t h eu n i q u e n e s so ft h es o l u t i o n sa r eo b t a i n e d ，w h i c h e x t e n dt h er e s u l t sr e c e n t l ya c h i e v e di nt h i sf i e l d 3 a sf o rt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n s ，t h ec o n et h e o r ya n dt h ef i x e dp o i n ti n d e xo f c o n d e n s i n gm a p p i n ga r ee m p l o y e d ，a n dt h er e s u l t so ft h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sa r e o b t a i n e di nt h ec a s eo fs u p e r l i n e a ra n ds u b l i n e a r t h ec o n c l u s i o n se x t e n da n di m p r o v et h e e x i s t e n c et h e o r e mw h i c hl o ub e n - d o n ge x t a b l i s h e di n1 9 9 6a b o u tt h eq u e s t i o no fs t u r m l i o u v i l l eo fb a n a c hs p a c e s a b s t r a c t k e y w o r d s ：s t u r m l i o u v i l l ep r o b l e m si nb a n a c hs p a c e s ；c o n v e xc o n e ；q u a dp a r t i a l o r d e r ；u p p e rs o l u t i o n ；l o w e rs o l u t i o n ；m a x i m u mp r i n c i p l e ；m e a s u r eo fn o n c o m p a c t n e s s ；f i x e dp o i n tt h e o r e mo fc o n d e n s i n gm a p p i n g ；f i x e dp o i n ti n d e x m r ( 2 0 0 0 ) s u b j e c t c l a s s i c a t i o n ：3 4 g 2 0 1 1 1 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北师范大学或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：l 坚鲎墨日期： 兰：! 生：i 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容， 可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名： 竺趁血 导师签名：查垒聋 日期： 望! 兰! ! ：； 前言 刖吾 b a n a c h 空间常微分方程是近3 0 年来发展起来的一个新的数学分支，它把常微分方程 理论与泛函分析理论结合起来，利用泛函分析方法研究b a n a c h 空间中的常微分方程它的 理论在无穷维常微分方程组、偏微分方程、临界点理论及不动点定理等方面都有重要的 应用因此引起了越来越多学者的关注与重视 b a n a c h 空间常微分方程的基本课题是建立类似于普通常微分方程的解的存在性与唯 一性结果，但由于有限维空间与无穷维空间的本质差异，有限维空间常微分方程的基本结 果，对无穷维空间的常微分方程不再成立【1 】- 【2 】，如古典常微分方程理论中p e a n o 存在性 定理就不再成立了即在无穷维b a n a c h 空间的情形，非线性项的连续性保证不了解的存在 性为了获得无穷维常微分方程的可解性，人们一般提出了三类条件，一类是紧型条件，一 类是耗散型条件( 见文 1 _ 【3 】) ，一类是序条件但耗散型条件适于一种非常特殊的情形近 年来人们使用紧型条件与序条件作了深入的工作，主要( 见文 4 】一 9 ) 本文的主要目的是讨论b a n a c h 空间中s t u r m l i o u v i l l e 问题解的存在性关于b a n a c h 空间中二阶常微分方程两点边值问题解的存在性已有许多结果如文【4 - 6 在非常强的条 件下，利用上下解方法获得了解的存在性，文【8 在非常强的条件下，利用凝聚映射的不动 点定理获得了解的存在性本文的目的是改进和推广这些工作，我们在较弱的条件下，获得 了s t u r m l i o u v i l l e 问题解的存在性结果，推广了上述作者的工作 本文使用的主要工具是半序理论，非紧性测度，锥上的不动点指数理论及凝聚映射的 l e r a y s c h a u d e r 不动点定理本文需要的这方面的结果整理在下面驵中在5 2 中我们通过 建立一个新的极大值原理，采用上下解单调迭代方法，在非常弱的条件下，获得了b a n a c h 空间中一般的s t u r m l i o u v i l l e 问题解的存在性结果，见定理2 1 ，该结果在不使用文【4 一 6 1 的序条件，不需要f ( t ，u ) 连续，仅假定f ( t ，“) 满足弱c a r a t h e o d o r y 条件，并结合非紧性测 度的性质，在比文 4 一 6 更为一般的方程及边界条件下，讨论s t u r m l i o u v i l l e 问题最大解 与最小解的存在性，获得了解的存在性结果，故该结果为新结果 在弱中，我们通过对线性方程解算子谱半径的论证，应用凝聚映射的l e r a y s c h a u d e r 1 不动点定理获得了若干解的存在性结果，与文 8 的条件相比，我们在比文f 8 d i l i c h l e t 边 界条件更为复杂的s t u r m l i o u v i l l e 边界条件下，将非线性项f ( t ，”) 由有界推广为至多线 性增长，获得的结果改进和推广了文f 8 1 中的主要结果 在5 4 中，我们运用凝聚映射的不动点指数理论研究了s t u r m l i o u v l l e 问题正解的存 在性近年来不动点指数理论被有效的应用于普通二阶及高阶常微分方程两点边值问题正 解的存在性问题，如文 1 1 一 1 3 _ 但对b a n a c h 空间二阶两点边值问题正解的讨论并不多见， 仅见文 9 一f l o 在文f l o 中，作者在要求f ( t ，u ) 一致连续的条件下，讨论s t u r m l i o u v i l l e 问题_ i ：f 解的存在性本节我们通过对非紧性测度的精细计算，将文 1 0 中对，一致连续性 的要求改进为连续，并且对，的限制放到了第一特征值与文f 1 0 1 相对照，定理4l 全面削 弱了其中的条件，并且我们分别在超线性与次线性情形下获得了正解存在性结果 2 预备结果 1 预备结果 1 锥与半序 熟知b a n a c h 空间中的序结构与闭凸锥是两个等价的概念，一个序关系总可由一个 闭凸锥引出( 见文 1 4 1 一 1 5 1 ) 设e 为b a n a c h 空间，p 为e 中的闭凸锥，则司由p 引出 e 中的序关系茎：z y 甘y zep ，使e 按“s ”构成有序b a n a c h 空间此时锥 p = z ei x 口) 称为e 的正元锥以后我们使用的半序总由一个锥引出，给出了一个 闭锥，就意味着确定了一个半序 e 中的闭凸锥p 称为j 下规锥，是指：存在常数n 0 ，使得当日z 曼y 时，有 忙| | n l l y l l 其中为正规常数 令s = 0 ，1 ，记c ( ，e ) 为定义于j 取值于e 的抽象连续函数按范数i 。= m a xi i 札( t ) l l 构成b a n a c h 空间，若e 为有序b a n a c h 空间，设其正元锥为p ，则c ( i ，e ) 按 序关系“曼u 甘u ( ) u 0 ) ，t _ ，亦为有序b a n a c h 空间，以后c ( z ，e ) 中的半序总是 这样引入显然该半序由6 ( i ，e ) 中的闭凸锥k = “c ( i ，e ) lu 只t ) 引出当p 为正规锥时，k 亦为正规锥，且正规常数相同 设e 为有序b a n a c h 空间，z ，y e ，茁y ，以后记陋，y = 让e iz ) ，称为 e 中的序k i n ，而对u ， c ( i ，e ) ，扎s ， t t ， 表示c ( i ，e ) 中的序i k f 司 设e 为e 的共轭空间，p 为e 中的闭凸锥，称f 中的集合 尸+ = 妒e + 1 妒( z ) 0 ，zep ) 为p 的共轭锥( 对偶锥) 关于对偶锥有以下结果： 引理1 1 设e 是b a n a c h 空间，p 为e 中的闭凸锥，茁e ，则 z 口 = v 妒p + ，妒( 卫) 0 该引理见文【1 4 】定理1 6 2 非紧性测度 3 预备结果 定义1 1 设e 是实b a n a c h 空间，s 是e 中有界集，令 0 ：( s ) = i n f 6 o ls = u b 。，d i a m ( b i ) sd ，i = 1 ，2 ，n i = 1 显然，0 ( s ) + 。，o ( s ) 叫做s 的k u r a t o w s k i 非紧性测度，其中d i a m ( b 1 ) 表示子集 b 。的直径非紧性测度具有如下的基本性质： ( i ) ( s ) = 0 铮s 相对紧集 ( i i ) sct = 乜( s ) s 。( t ) ( i i i ) ( 君) = o ( s ) ( i v ) a ( a s ) = 1a iq ( s ) ，其中a s = z i 。= n “，乱s ) ( ) o ( s + t ) a ( s ) + o ( t ) ，其中s + t = x 1z = y + u ，y s ，u t ( v i ) a ( 6 0 s ) = q ( s ) 其中s , t 表示e 中有界集，a 是实数 这些基本性质见文 1 5 此外我们还需要与非紧性测度有关的下列一些结果 引理1 2 设e 是b a n a c h 空间，若bcc ( z ，e ) 有界，且等度连续，则o ( b ( t ) ) 在 f 0 ，1 上连续，且 血( b ) 2 0 0 ，使g t 吵妒，则算子t 的谱半径r ( t ) 0 ，且存在第一特征值 a 1 = ( r ( t ) ) - 1 及与其所对应的特征函数( 其中p = c p c o ，1 l 妒( t ) 芝0 ，t 0 ，1 ) 3 凝聚映射及不动点定理 讨论b a n a c h 空间的常微分方程解的存在性，需要凝聚映射的不动点定理 定义1 2 1 5 1 设e 为b a n a c h 空间，dce ，q ：d _ e 为有界连续映射，即 q ：d _ e 连续，且把_ d 中的有界集映成有界集若对任意非相对紧的有界集scd ， 有：旧( s ) ) o ( s ) ，则称q ：d - e 为凝聚映射 定理1 1 ( 凝聚映射的l e r a y s c h a u d e r 不动点定理) 设e 为b a n a c h 空间，a ：e _ e 是凝聚映象，若集合 z iz e ，。= a a x ，0 a o 任取k 集压缩映象b ：可 p ( 0 曼k 0 ( s 3 ) 若q o = 1 = 0 ，有詹q ( t ) d t 0 关于问题( 2 1 ) ，当p ( t ) = 1 ，q ( t ) = 0 ，te 的特殊情形，已被一些作者采用上下解单调 迭代方法作过研究，见文献 4 _ 【6 _ 采用单调迭代方法研究非线性问题，往往受到两方面的 制约，一方面是构造迭代序列并判断其单调性，另一方面是验证序列的收敛性，这在无穷维 空间中均不易解决文献f 4 在弱序列完备b a n a c h 空间中不使用非紧性测度条件，利用上 下解的单调迭代方法获得问题解的存在性 文献 5 ， 6 】在一般b a n a c h 空间中增加了一个序条件，并且对保证序条件成立的常数 m ，工作了很强的限制，获得了与文 4 】类似的存在性结果 以上文 4 h 6 】均在特殊边界条件且( t ，“) 连续的情形下讨论本文的目的是，不假定 f ( t ，u ) 连续，仅假定f ( t ，札) 满足弱c a r a t h e o d o r y 条件，且在一般的s t u r m l i o u v i l l e 边界 条件下，通过建立问题( 2 1 ) 新的极大值原理，运用上下解单调迭代方法，研究了问题( 2 1 ) 最大解与最小解的存在性，获得了几个新结果 2 弱极大值原理与预备结果 为了用上下解单调迭代方法研究问题( 2 1 ) 解的存在性，先建立r 中的s t u r m l i o u v i l l e s t u r m l i o u v i l l e 问题解的存在性与上下解单调迭代方法 引理2 1假设条件( s 1 ) 一( s 3 ) 成立，若z w 2 , 1 ( ，) ，满足下式 贝z ( t ) 0 ，vt i 证明分三步 ( 1 ) 设q ( t ) 0 ，a e t 1 aet i 、 r 2 ( 茁) 0 ( 22 ) 反设z ( t ) 芝0 ，则| 如 o ，1 ) ，使。m 。i n l z ( t ) = z ( 如) = 5 0 ，n e t j _ ，故有譬南。t 。q ( t ) d t ) d t 0 ，故由 ( 2 5 ) 式可获得x ( t 1 ) 一 一 ，l，l k 岛 ，、l s t u r m l i o u v i l l e 问题解的存在性与上下解单调迭代方法 对( 2 6 ) 式两端同乘z ，从0 到1 积分，有 0 = 一( p ( t ) 。协) ) + q ( t ) x ( t ) x ( t ) d t 3 0 ，1 ( 27 ) ：p ( o ) x 7 ( o ) z ( o ) 一p ( 1 ) x ( 1 ) z ( 1 ) + ( p ( t ) z “+ q ( t ) x 2 ) d r 以下分情况讨论： 情形1 当阮0 ，风0 时，由边界条件知 p ( o ) z ( o ) 。( o ) 一p ( 1 ) z ，( 1 ) z ( 1 ) = 赛z 2 ( o ) + 畏z 2 ( 1 ) 将此式代八( 2 7 ) 式，要使( 2 7 ) 式成立，必有p ( t ) 。+ q ( t ) x 2 三0 ，又p ( t ) o ，v tej ， 故有z7 三0 ，q ( f ) z 2j0 ，即u c ，q ( o x 2 ；0 若。0 于，则必有口( t ) 三0 ，o 息te 此时 要使( 2 7 ) 式成立，当且仅当o f o = a ，= 0 ，这与假设( s 3 ) 矛盾，故z 蠹0 于，- 情形2 当凤：0 ，卢1 ：0 时，由条件( & ) 及边界条件知z ( o ) = z ( 1 ) ；0 ，此时方程 26 等价于以下方程 l 。( 。，：。，。e j ， l 。( o ) = 。( 1 ) = 0 反设此方程的解z ( t ) o ，t j ，若存在t l ( o ，1 ) 使器黯2 ( t ) = 茁( t 1 ) = 6 o ，且 z 协1 ) ：0 据z ( t ) 在t 1 点的连续性，总可找到一点t oe ( 0 ，t 1 ) ，使x i ( 如) 0 ，且 ：茎z ( t ) 6 ，vt j = t l 】 ( 2 8 ) 对e 述方程从t o 到t 】积分，有 0 矛盾若| 亡0 ( o ，1 ) ， 吏。r a 一 0 s t u r m l i o u v i l l e 问题解的存在性与上下解单调迭代方法 类似可汪凤= 0 ，卢l 0 ；风0 ，卢。= 0 两种情形 ( 3 1 _ 一般情形 设a 0 ，vh l 2 ( ，) ，由情形( 1 ) 知以下方程 rlx。+。，a：x。=，九ar,e。t，e：i。,， t=l 1 = ( l + a i a ，) 一1 = ( 2 i 1 一a i ) 一1 = b 巧1 ( 巧1 一a ) 。 = 死( ( 耳1 一a ，) 乃) 1 = 乃( 一a t e ) 。 = a “霹。1 n = o 则t 为诈算子在( 2 2 ) 式中，令l z ( t ) = h o ，o | e t i ，q 1 = r l ( z ) ，叩2 = r 2 ( z ) ，若为 以下方程 r l x 。 = ，h ：o m ? 2 。：，：啦， ：；! i 竺。，口e 麓二，：。 l x l = 0o e t i r 1 ( z 1 ) = 1 ，r 2 ( x 1 ) = 0 l x 2 = 0 ，o e t i r l ( g r 2 ) = 0 ，r 2 ( z 2 ) = 1 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 的解由( 2 2 ) 式，要证z 0 于，只需证黝20 ( i = 0 ，1 ，2 ) ，vt i ，由情形( 2 ) 知，方程 ( 2 1 0 ) 存在唯一解。o ，又由t = l 一1 为正算予，可推出z o 0 于， 1 1 ，、l，、l s t u r m l i o u v i l l e 问题解的存在性与上下解单调迭代方法 f 证方程( 2 1 1 ) 的解x 1 ( t ) o ，vt j 反设m i3 r a 吲i n x l ( ) = 。1 ( t 1 ) 0 ，使q 忆1 ( c ) 一卢p ( c ) u ：( c ) = 0 在区间【c 1 上，有 卜。0 ，征i c ，1 ， ( 2 1 3 ) lr j ( z 。) = a 饥( c ) 一卢7 p ( o ) z j ( c ) = 0 ，r 2 ( x ) = q - x l ( 1 ) + 卢- p ( 1 ) z ：( 1 ) = 0 由情形( 2 ) 知，方程( 2 1 3 ) 的解x l ( t ) 三0 于 c ，1 所以z l ( c ) = 0 ，。i ( c ) = 0 由初值问题解 的唯一性知，x l ( 幻三0 于j ，这与r 1 江1 ) = 1 矛盾，故反设不真，有。i ( d 0 于，。同理可 证x 2 ( t ) 0 于，则由解的叠加原理知z ( f ) 0 于， 记w 2 , 1 ( j ，e ) = 珏c 1 ( j ，e ) i 札绝对连续，”几乎处处存在，且憎( t ) l l l 1 ( ) 设 ( f ) 强可测，则i iu ( f ) l 是l e b e s g u e 可测的，对1sp 茎+ 。，记0 ( ，e ) = u ( t ) ：叶e 强可测u ( t ) 忙k ( ，r ) ) 为了研究方程( 2 1 ) ，先考虑e 中的线性边值问题 l “+ 。( ) “= h o ) ， 。， (z14) 、 ， lr l ) ：= a o u ( o ) 一风p ( o ) u 7 ( o ) = 0 ，r 2 ( u ) ：= a l u ( 1 ) + # i p ( 1 ) u ( 1 ) = 0 其中 el p ( ，e ) 关于问题( 2 1 4 ) ，有 引理2 2 设a ( t ) l 1 ( ，) ，a ( t ) 0 ，a e t ，对vh l p ( ，e ) ，则方程( 2 1 4 ) 存 在唯一解u = t h w 2 , 1 ( ，e ) 且丁：岛( j ，e ) _ w 2 ，1 ( ，e ) 为线性有界算子 证明 令d ( l 1 ) = 札w 2 ，1 ( ，e ) ：r i ( u ) = r 2 ( u ) = 目) ，则d ( l 1 ) 为w 2 1 ( ，e ) 的 闭子空间定义l 1 ：d ( l 1 ) _ w 2 , 1 ( ，e ) ，l l u = 一( p ( t ) ( ) ) + ( q ( t ) + o ( t ) ) u ( t ) 易知l 1 为线性有界算子由引理2 1 知，五为单射下证己l 为满射 任取h l ，( f ，e ) ，令 u ( t ) = ( t ，s ) h ( s ) d s 其中 ， 七( t ，s ) = 去卫o ) 可( s ) o 。ss 1 i 去$ ( s ) ( t ) ，0 s t 1 ， 1 2 s t u r m l i o u v i l l e 问题解的存在性与上下解单调迭代方法 这里w 0 为正常数，z ，y 满足 由文 7 知，k ( t ，s ) 0 ，v o 冬t ，s 1 ，故易知u 口( ，e ) ，且 即u d ( l 1 ) ，l 1 ( “) = h 因此l 1 ：d ( l 1 ) _ 妒( j ，e ) 为满射由b a n a c h 逆算子定理，l l 有有界逆算子t ：l p ( ，e ) _ d ( l 1 ) cw 2 ，1 ( ，e ) 定义2 1 设f ：，e _ e ，称_ 厂( f ，札) 满足弱c a r a t h e o d o r y 条件，是指它满足： ( 1 ) 对v 1 2 e ，f ( t ，u ) 关于t 强可测； ( 2 ) 对几乎所有的t j ，( t ，u ) 关于次连续，即存在如c ，m e s i o = m e s i ，使得只 要t i o ，u 。( t ) 斗u o ( t ) ，就有f ( t ，u 。) 弱收敛于，( t ，咖) 定义2 2 设v ( t ) w 2 , 1 ( j ，e ) ，若口( t ) 满足 l v 0 ，使o o ；当a o = 0 1 = 0 时，设q 0 关于问题( 3 1 ) 作为无穷维常微分方程组两点边值问题的抽象模型，当p ( t ) = 1 ，q ( t ) = 裂l 慨z ， 已被一些学者通过采用拓扑度及相关的不动点方法作过研究，见文献 1 ，i s ，1 9 在使用拓 u ( t ) = k ( t ，s ) f ( s ，u ( s ) ) d s ：= ( a u ) ( t ) 来处理，其中( t ，s ) 为相应的g r e e n 函数与普通的常微分方程相比较，主要的困难是：在 一般b a n a c h 空间中，上述积分方程相应的积分算子a 不再具有紧性为对a 应用凝聚映 射的拓扑度理论及相关的不动点定理，通常需要给f 附加一些用非紧性测度描述的”紧型 条件”如，文献 1 8 9 】要求：对任意r o , f 满足非紧性测度条件： a ( f ( t ，d ) ) l a ( d ) ，v t 0 ，1 ，dcb ( 口，r ) ， ( 3 3 ) 1 8 紧型条件下s t u r m l i o u v i l l e 问题解的存在性 其中l = l ( r ) ( 0 ，j ) 为常数在应用中，此条件是难以检验和使用的，即使对，l i p s c h i t z 连续的情形，由于要求系数l ；，也难以满足 本节我们的目的是对抽象空间中一般的两点边值问题( 3 1 ) ，在紧型条件下讨论其解的 存在性我们通过对线性方程解算子谱半径的论证，对非紧性测度的精细计算，将非线性项 f ( t ，u ) 由文 8 】中的有界性推广为至多线性增长，并且将( 33 ) 式中的三放宽了许多即按 本节的方法可将条件( 3 3 ) 式中的l 放宽到0 l 4 在讨论解的唯一性时，将l 放宽到 0 0 ，t 0 ，1 ) ； ( ”) ( l x ) ( t ) 三o ，x ( o ) = 岛，z ( o ) = a o ； ( v i ) ( l y ) ( t ) 三0 ，y ( 1 ) = 卢l ，( 1 ) = - - o q ； ( v i i ) 叫为正常数 紧型条件下s t u r m l i o u v i l l e 问题解的存在性 引理3 2 假设条件( p ) 成立，则由( 3 5 ) 在正特征函数h ( t ) 与第一特征值a 1 = ( r ( 丁) ) 证明由引理3 1 的性质( i i ) 知，存在t l ( 0 ，1 ) ，使t l ( a l ，b 1 ) 且k ( t ，8 ) 0 ，vt ，s 0 ，1 ，砂( t 1 ) 0 且妒( t ) = 0 ，vt 隹 a ( t 删= z l k ( z ， 故存在常数c 0 使c ( t 妒) ( ) 砂( t ) ， 题获证 式所定义的算子t 的谱半径r ( 丁) o ，且存 1 ，使h ( t ) = a l t h ( t ) ( 0 ，1 ) 使k ( h ，t 1 ) 0 ，则存在 a l ，b 1 c a l ，b 1 取妒c o ，1 满足妒( t ) 0 ，v t 1 ，b 1 ，则v t 【a l ，b 1 ，叽 s ) 矽( s ) d s k ( t ，s ) o ( s ) d s 0 j o , 1 v t 【0 ，1 由k r e i n r u t m a n 定理及引理1 6 知，问 定理3 1设e 为b a n a c h 空间，( t ，u ) c ( i e ，e ) ，若条件( p ) 成立，且，满足 下列条件 ( p 1 ) 存在常数c o ，c 1 0 使得 f ( t ，u ) i i c o + c l l l u l l ，vt i ，u e ( 3 7 ) ( p 2 ) 存在常数l 0 ，对任何有界集d c e ，有 ( ，( j ，d ) ) l a ( d ) ( p 3 ) c 1 a 1 ，l 0 则边值问题( 3 1 ) 至少存在一个解 证明作积分算子a ：c ( i ，e ) _ c ( i ，e ) ( 删= ，1 ，彬( s ，吣) ) d s 则a ：c ( i ，e ) _ c l ( j ，e ) 连续，且方程( 3 1 ) 的解等价于a 的不动点 动点，只需验证同伦族方程 rlu。=，a：f(兄t,。uu)，：。，tl ( 38 ) 为证算子a 有不 ( 3 9 ) 紧型条件下s t u r m l i o u v i l l e 问题解的存在性 的所有可能解“c ( i ，e ) 有一个不依赖于ae ( 0 ，1 ) 的先验界即对算子a 应用凝聚映 射的l e r a y s c h a u d e r 不动点定理 首先证明a 为凝聚映射 设bcc ( i ，e ) 有界，由条件( p 1 ) 知 一( a u ) ”i 扎b ) 有界，再结合边值条件知 ( a “) 7l “b ) 有界，从而知4 ( b ) 等度连续，由引理1 2 知0 = ( a ( b ) ) 2 学o ( a ( b ) ( ) ) 又因7 1 , b ，te ，由引理1 3 ，有 ( a “) ( t ) = k ( t ，8 ) f ( s ，u ( s ) ) d s j 0 ( j ( k ( t ，s ) d s ) 叫( s ，u ( s ) ) l s “ c ( 上k ( t ，s ) d s 廊( ，u 邶口”) 从而有 ，1 ( a ( b ) ) ( ) c ( k ( t ，s ) d s ) c o ( f ( i b ( ，) ) ) j 0 由非紧性测度的性质并结合条件( p 2 ) ，有 凸( a ( b ) ( f ) ) ( k ( t ，s ) d s ) c v ( f ( i b ( j ) ) j 0 冬l 。( b ( j ) ) o m _ t a x j ( j ，0 1 ( t ，5 ) d s ) = l m c r ( b ( i ) ) 再由引理14 ，可得 。( a ( b ) ( t ) ) 曼l m a ( b ( i ) ) 2 l m a ( b ) 对上式两边取最大值，可得n ( b ) ) l m a ( b ( i ) ) 2 l m c ￥( b ) ，由条件( p 3 ) 知0 2 l m 1 ，从而a 为凝聚映射 下证同伦族方程( 3 9 ) 式的所有可能解乱c | ( ，e ) 有一个不依赖于a ( o ，1 ) 的先 验界 设札ec ( z ，e ) ，满足u ( t ) = a a u ( t ) = a 露( t ，s ) f ( s ，u ( s ) ) d s ，0 a 石i 由( 3 1 1 ) 式，存在n o ，当n n o 时，丽：可击，即l i t “| | 毒，故有c 洲t “| | ( 等) “， o 。o o o o 丽e ( 嚣) “收敛，从而级数c ， i i t ”f f 收敛令m o = c o f i t i i 艺c ? l i t ”f f ，在( 3 1 0 ) 式中，令 n = un = 0 n = 0 扎- - + o 。得矽( t ) s 如，即怕( f ) ijs 且毛( 不依赖于a ) ，这样 i i ! m o 故由定理1 1 知，a 有 不动点即边值问题( 31 ) 至少存在一个解 注1 文f 8 j 要求非线性项f ( t ，u ) 有界，这是一个很强的条件我们把，( ，u ) 的条件 限制推广为至多线性增长 注2 按本文的论证方法，可将( 3 3 ) 式中的l 由0 l j 1 改进为0 l 0 ：v t i 及有界的d c f ，有 q ( ，( t ，d ) ) l a ( d ) ( p 3 ) 0 c 1 a l ，l 击 其中m = m 叫a x 。1 k ( t ，s ) 如 则边值问题( 3 1 ) 至少存在一个解 证e 月砹a 是足埋3 1 的让明中足义阴算于，对碉界的bcc ( i ，e ) ) 仔征口j 数于集 b = u n ) ，使得a ( a ( b ) ) 茎2 a ( a ( b ) ) ，而且我们有a ( a ( b - ) ) 5 唾( a ( b ) ( t ) ) 从而由 引理15 ，并结合条件( p 2 ) ，我们有 y - 1 ( a ( 岛) ( t ) ) = a ( fk ( t ，s ) f ( s ，u n ( s ) ) d s l n ) ) j 0 2 2 1 坤，s ) 州m ，州s 圳n ) ) d s 2 ：1 坤，s ) 酬剐s ) ) 如 蚴小) d s a ( 剐 2 l d ( b ) 。m ! 。a ! x ( j f 。k ( t ，s ) d s ) = 2 l m a ( b 1 ) 对上式两边取最大值得，得 a ( a ( b 1 ) ) 茎2 l m a ( b i ) 故有 口( 4 ( b ) ) 2 a ( a ( b 1 ) ) 4 l m a ( b 1 ) 由条件( p 3 ) 知0 4 l m 1 ，从而a 是凝聚映射，以下证明与定理3 1 的证明类似， 故略去 紧型条件下s t u r m - l i o u v i l l e 问题解的存在性 注4 与定理3 1 相比，( 砭) 比( p 2 ) 中对非线性项要求强，故( 巧) 中将l 丽1 改为 l 上4 m 定理3 3 设e 是b a n a c h 空间，c ( i e ，e ) ，假设条件( p ) 成立，若存在l ，且 0 l a 1 ，使对v 1 ，“2 e ，有 i i f ( t ，札。) 一f ( t ，u 1 ) | | 墨l i i u 2 一“t i | ( 3 1 2 ) 则边值问题( 3 1 ) 存在唯一解 证明设积分算子a ：c ( i ，e ) _ c ( f ，e ) 为( 3 8 ) 式定义的算予，即 ( a u ) ( t ) = k ( t ，s ) f ( s ，u ( s ) ) d s jo 则边值问题( 3 1 ) 的解等价于算子a 的不动点，因 ，1 i i ( a “u 。) o ) 一( a “u 。) ( t ) | | = i i k ( t ，s ) ，( s ，( a ”一1 u 2 ) ( s ) ) 一f ( s ，( a “一1 u - ) ( s ) ) d s l l j0 墨上lk 。，s ) l l ( a q - l u 2 ) ( s ) 一( a n - 1 u ) ( s ) i | d s = l t ( i i ( a ”1 u z ) ( s ) 一( a ”1 u t )