（基础数学专业论文）bck代数剩余格br0代数之间关系和反向三Ⅰ算法的若干研究.pdf

b c k 一代数，剩余格，b r o 一代数之间关系 和反向三i 算法的若干研究 李岩 摘要；剩余格是具有广泛应用的一类模糊逻辑代数系统，同样b c k - 代 数，引一代数也是非常重要的代数系统本文主要研究了b c k - 代数，剩余 格，b 凰一代数之间的关系并得出了若干结论，同时还研究了基于l u k a s i e w i c z 蕴涵算子的三i 约束和反向三i 约束算法和基于完备余剩余格上的反向三i 算法 并得出了若干结论最后，在附表页给出了b c k 一代数，剩余格，b 风一代数 之间的关系图 下面介绍本文的结构和主要内容， 第一章预备知识对文章中将要用到的有关b c k - 代数，剩余格，b 风一 代数基本概念和基本性质作了一个简要的叙述，并且给出了格b c k 一代数的概 念 第二章研究了b c k 一代数，剩余格，b 一代数之间的关系并得出了对 合格b c k 代数与正则剩余格是一对等价的代数系统；有界可换格b c k - 代 数与正规剩余格是一对等价的代数系统；m 矿一代数与有界可换b c k 一代数是 一对等价的代数系统；b 岛一代数与强正则剩余格是一对等价的代数系统等若干 结论 第三章研究了基于l u k a s i e w i c z 蕴涵算子的三i 约束和反向三i 约束算法 和基于完备余剩余格上的反向三i 算法并得出了基于l u k a s i e w i c z 蕴涵算子的三 i 约束和反向三i 约束算法的关于f m p 和f m t 问题的解；提出了c r l - 反向 三im i f m p 规则和c r l 一反向三im i f m t 规则；得出了基于完备余剩余格上 的反向三i 算法关于f m p 和f m t 问题的解和反向三im i f m p 算法以及反向三 im i f m t 算法是还原算法等若干重要结论；最后以l u k a s i e w i c z 余伴随对和风 余伴随对中的e 算子为特例给出了其关于反向三im i f m p 规则和关于反向三i m i f m t 规则的计算公式 关键词：b c k 一代数；剩余格；b r o 一代数；蕴涵算子；约束算法；余剩余 格；伴随对；余伴随对；三i 算法；还原性 t h em u t u a lr e l a t i o n sa m o n gb c k - a l g e b r a s ，r e s i d u a t e d l a t t i c e s ，b r 0 - a l g e b r a sa n ds o m er e s e a r c h e so i lo p p o s i t ed i r e c t i o nt r i p l ei m e t h o d l i y a n a b s t r a c t ：r e s i d u a t e dl a t t i c ei saf u z z yl o g i ca l g e b r as y s t e mw h i c hi sw i d e l yu s e d ，b c k - a l g e b r aa n db r o - a l g e b r aa r ea l s ov e r yi m p o r t a n ta l g e b r as y s t e m s i n t h i sp a p e r ，b yd i s c u s s i n gt h em u t u a lr e l a t i o n sa m o n gb c k - a l g e b r a s ，r e s i d u a t e d l a t t i c e s ，b n o - a l g e b r a s ，w eg e ts o m es i g n i f i c a n tr e s u l t s ；w ea l s og e ts o m es i g n i f i c a n t r e s u l t sb yd i s c u s s i n gb o t hr e s t r i c t e dt r i p l eim e t h o d ，o p p o s i t ed i r e c t i o nr e s t r i c t e d t r i p l eim e t h o du n d e rl u k a s i e w i c zi m p l i c a t i o no p e r a t o r a n do p p o s i t ed i r e c t i o nt r i p l e tm e t h o du n d e rc o m p l e t ec o - r e s i d u a t e dl a t t i c e i nt h el a s t ，t h er e l a t i o n sg r a p ha m o n g b c k - a l g e b r a s ，r e s i d u a t e dl a t t i c e s ，b r 0 - a l g e b r a sa r eg i v e ni nt h et a b u l a t e dp a p e r t h ec o n s t r u c t i o na n dt h em a i nc o n t e n t so ft h i sp a p e ra r ea sf o l l o w s ： c h a p t e r1 p r e l i m i n a r yk n o w l e d g e i nt h i sc h a p t e r ，w em a k ead e p i c t i o nf o r b a s i ck n o w l e d g ea n db a s i cc o n c l u s i o n so fb c k a l g e b r a s ，r e s i d u a t e dl a t t i c e s ，b r o a l g e b r a sw h i c hw o u l db eu s e di nt h ef o l l o w i n gc h a p t e r s c h a p t e r2 b yd i s c u s s i n gt h em u t u a lr e l a t i o n sa m o n gb c k - a l g e b r a s ，r e s i d u a t e dl a t t i c e s ，b r o - a l g e b r a s ，w eg e ts o m es i g n i f i c a n tr e s u l t s ，s u c ha si n v o l u t i o nl a t t i c e b c k - a l g e b r a sa n dr e g u l a rr e s i d u a t e dl a t t i c e sa r ee q u i v a l e n t ；b o u n d e dc o m m u t i v e l a t t i c eb c k - a l g e b r a sa n dn o r m a lr e s i d u a t e dl a t t i c e sa r ee q u i v a l e n t ；m v - a l g e b r a s a n db o u n d e dc o m m u t i v eb c k a l g e b r a sa r ee q u i v a l e n t ；b r o - a l g e b r a sa n ds t r o n g r e g u l a rr e s i d u a t e dl a t t i c e sa r ee q u i v a l e n ta n ds oo n c h a p t e r3 b yd i s c u s s i n gb o t hr e s t r i c t e dt r i p l eim e t h o da n do p p o s i t ed i r e c - t i o nr e s t r i c t e dt r i p l eim e t h o du n d e rl u k a s i e w i c zi m p l i c a t i o no p e r a t o r ，w eg i v eo u t t h ek e yt ot h eq u e s t i o no fr e s t r i c t e dt r i p l eim e t h o da n do p p o s i t er e s t r i c t e dt r i p l ei m e t h o dw i t hr e s p e c tt of m pa n df m tm o d e l su n d e rl u k a s i e w i c zi m p l i c a t i o no p - e r a t o r b yd i s c u s s i n gt h eo p p o s i t et r i p l eim e t h o du n d e rc o m p l e t ec o - r e s i d u a t e dl a t - t i c e ，w ei n t r o d u c ec r l - o p p o s i t ed i r e c t e dt r i p l eim i f m pf o r m u l aa n dc r l - o p p o s i t e d i r e c t e dt r i p l eim i f m tf o r m u l a ，a n dw e 舀v eo u tt h ek e yt oq u e s t i o no fo p p o s i t e l i d i r e c t e dt r i p l eim e t h o dw i t hr e s p e c tt of m pa n df m tm o d e l su n d e rc o m p l e t e c o - r e s i d u a t e dl a t t i c e w ea l s op r o v eo p p o s i t ed i r e c t e dt r i p l eim i f m pm e t h o da n d o p p o s i t ed i r e c t e dt r i p l eim i f m tm e t h o da l er e d u c i n gm e t h o d sa n ds oo n i nt h e l a s t ，u n d e rt h eo p e r a t o ro fl u k a s i e w i c zc o - a d j o i n tp a i r sa n dr 0c o - a d j o i n tp a i r s ，w e g i v eo u tt h ek e yt ot h eq u e s t i o no fo p p o s i t ed i r e c t e dt r i p l eim e t h o dw i t hr e s p e c tt o m i f m pf o r m u l aa n dm i f m tf o r m u l a k e y w o r d s ： b c k a l g e b r a s ；r e s i d u a t e dl a t t i c e s ；b r 0 a l g e b r a s ；i m p l i c a t i o n o p e r a t o r ；r e s t r i c t e dm e t h o d ；c o - r e s i d u a t e dl a t t i c e ；a d j o i n tp a i r s ；c o - a d j o i n tp a i r s ；t r i p l e im e t h o d ；r e d u c t o r i i i 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 作了明确说明并表示谢意。 作者签名：日期：坦三! 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师 范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索； 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：e t i # i ：趔! 前言 非经典逻辑的一个重要研究方向是对有关代数系统的研究，这一些研究成果 既促进了非经典逻辑的发展，又丰富了代数学的内容，在为数众多的多值逻辑与模 糊逻辑的代数系统中，剩余格是比较重要的，也是应用相当广泛的一类代数系统 p a v e l k a 以l u k a s i e w i c z 公理系统为背景，将剩余格理论引入模糊逻辑的研究，建 立了相当广泛的逻辑结构，并且它已成为模糊逻辑中相当理想的代数框架另外， l u k a s i e w i c z 在2 0 世纪3 0 年代提出多值逻辑后，随着2 0 世纪7 0 年代模糊集概念 的提出，徐扬、秦克云教授建立了格蕴涵代数，吴望名教授建立了模糊蕴涵代数， 王国俊教授建立了一种模糊命题演算的形式演绎系统与之在与之在语义上相匹 配的风一代数，随着研究的深入，吴洪博教授结合p e t rh a j e k 的观点建立了基础 口系统和与之相匹配的b 风一代数，增加了两者的适用范围日本数学家k i s e k i 于1 9 6 6 年从命题演算系统的角度，提出了b c k - 代数的概念5 0 多年来，对 b g k 一代数理论的研究已经有了丰硕的成果本文第二章详细的讨论的b c k - 代 数、剩余格、b 风一代数之间的关系，将它们联系起来，这样就便于利用其中一种 的代数的结构、性质以及其他的结论来探讨另外两种的结构、性质等此外，对逻 辑和代数学研究都有帮助， 模糊控制被应用于工业生产以后，已经取得了很大的成功，而模糊推理是模糊 控制的理论基础在z a d e h 提出模糊集理论后不久，他又提出模糊推理的m p 规则 ( 以后简称f m p ) 并给出了著名的c r i 算法f m p 及其c r i 算法一经提出就受到 了广泛的关注，此后针对c r i 算法，人们进行了大量的研究，并提出了许多新的模 糊推理方法，但这些方法大都是根据不同的模糊控制的要求提出的，因而它们更多 的注意了模糊推理方法的使用性，而忽视了模糊推理的严谨性，为了弥补c r i 算 法的若干缺陷和不足，王国俊首先提出了模糊推理的全蕴涵三i 算法，此后，不少 学者对这种新推理方法进行了研究，其中宋士基，吴澄提出了三i 算法的约束度理 论和反向三i 约束算法本文在第三章基于l u k a s i e w i c z 蕴涵算子给出了三i 约束 算法和反向三i 约束算法的计算公式，并且提出一般余剩余格中的反向三i 算法原 则，给出了一般余剩余格中的反向三ia - m i f m p 算法和反向三i 口一m i f m t 算 法，并基于l u k a s i e w i c z 余伴随对和余伴随对中的e 算子给出了反向三i 算 法的计算公式 第一章预备知识 1 1b c k 一代数的基本概念和结论 本节给出了本文所需要的有关b c k 一代数的基本知识和基本结论，所提及的 概念和命题参见文献【1 6 1 定义1 1 1 一个( 2 , 0 ) 型代数( x ， ，0 ) 为一个b c k - 代数，若 c a ，b ，c x 有； ( 1 ) ( a ( a + 6 ) ) b = o ； ( 2 ) ( ( n b ) + ( a + c ) ) ( c b ) = o ； ( 3 ) a a = 0 ； ( 4 ) 0 a = o ； ( 5 ) a b = b $ a = 0 ： a = b 命题1 1 2 设( x ， ，0 ) 为一个b c k - 代数，v a ，b x ，则可以定义偏序” a b 兮a b = 0 ，称之为b c k 一序 命题1 1 3 设( x ， ，0 ) 为一个b c k 一代数，v a ，b x ，则下列结论成立； ( 1 ) ( a ( n + 6 ) ) s6 ； ( 2 ) b ) ( a c ) c “； ( 3 ) ( a b ) 十c = ( a c ) 柏； ( 4 ) a b c 兮a c b ； ( 5 ) a b 辛n c b c ； ( 6 ) a b = 争c b c n ； ( 7 ) a b 6 ； ( 8 ) a 0 = a 定义1 1 4 设( x ， ，0 ) 为一个b c k 一代数，v a x ，如果存在元素1 x ， 满足a 1 ，则称( x ， ，0 ) 为有界b c k - 代数 定义1 1 5 设( x ， ，0 ) 为一个b c k 一代数， c a x ，令g ( a ) = 1 a ，若 2 ( ) = ( ( n ) ) = o 成立，则称( x ，+ ，0 ) 为对合b c k 一代数 命题1 1 6 设( x ，$ ，0 ) 为一个对合b c 一代数，v a ，b x ，则下列结论成 立； ( 1 ) a g ( b ) = b ( o ) ； 2 ( 2 ) n ( a ) b = n ( b ) $ ； ( 3 ) n ( a ) n ( b ) = ( 6 ) + ( n ) 定义1 1 7 设( x ， ，0 ) 为个对合b c k - 代数， b + ( b + a ) 成立，则称( x ，0 ) 为可换b c k - 代数 命题1 1 8 设( x ，$ ，0 ) 为一个可换b c k 一代数， 立l v a ，b x ，若a ( a b ) = c a ，b x ，则下列结论成 ( 1 ) a ab = o ( a 6 ) ； ( 2 ) a sb 号a = b $ ( b $ n ) 定义1 1 9 设( x ， ，0 ) 为一个b c k 一代数，v a ，b x ，若a ( b a ) = a 成 立，则称( x ，+ ，0 ) 为关联b c k 一代数 命题1 1 1 d 设( x ， ，0 ) 为一个关联b c k - 代数，v a ，b x ，则下列结论成 立； ( 1 ) a ( a 6 ) = b ( b 8 ) ； ( 2 ) ( a b ) c = ( a b ) ( a c ) 定义1 1 1 1 设( x ， ，0 ) 为个b c k 一代数，若( x ，) 构成格，则称( x ， ，0 ) 为格b c k 一代数，其中，为b c k 一序 命题1 1 1 2 设( x ， ，0 ) 为个有界可换b c k 一代数，令n a = 1 b o ，o 6 = a ，( a 柏) ，a vb = n ( n ( a ) a ( 6 ) ) ，则下列结论成立； ( 1 ) ( x ，v ，) 是以1 b ，o 口为最小元和最大元的分配格； ( 2 ) n ( avb ) = n ( a ) a ( 6 ) ，n ( aab ) = g ( a ) v ( 6 ) ； ( 3 ) ( a vb ) c = ( a c ) v ( b c ) ，( a c = ( a c ) ( b c ) 1 2 剩余格的基本概念和结论 本节给出了本文所需要的有关剩余格的基本知识和基本结论，所提及的概念 和命题参见文献【7 1 4 】 定义1 2 1 三元组( 厶一，固) 为一个剩余格，如果 ( 1 ) ( l ，) 是有界格，其中最小元为0 ，最大元为1 ； ( 2 ) ( 一，固) 是三上的伴随对； ( 3 ) ( l ，圆) 是以1 为单位的交换半群 命题1 2 2 设( l ，一，o ) 为一个剩余格，则下列结论成立： 3 ( 1 ) a b c 当且仅当bs 口一c ； ( 2 ) 1 _ a = o ； ( 3 ) 口_ = 1 ； ( 4 ) a b = 1 当且仅当a b ； ( 5 ) a 一( b a ) = 1 ； ( 6 ) a 一( b c ) = b 一( a c ) ； ( 7 ) a b ( b c ) 一( n c ) ； ( 8 ) a b ( c a ) 一( v 一6 ) ； ( 9 ) a vb ( ( o b ) 一b ) a ( ( 6 一a ) 一n ) ； ( 1 0 ) a 一( b ac ) = ( a b ) a ( a c ) ； ( 1 1 ) ( avb ) 一c = ( a b ) a ( b c ) ； ( 1 2 ) a 固b a ab ； ( 1 3 ) a 圆b _ c = a _ ( b _ c ) ； ( 1 4 ) a 圆( b vc ) = ( a ob ) v ( a o c ) ； ( 1 5 ) a o ( a _ b ) a a6 ； ( 1 6 ) o b ( a oc ) 一( b oc ) 定义1 2 3 设( 厶一，圆) 为一个剩余格，v a l ，令1 0 = g 一0 ，则称一为 l 上的非算予，如果m = a ，则称( l ，一，o ) 为一个正则剩余格 定义1 2 4 设( l ，一， ) 为一个正则剩余格，v a ，b ，c l ，若口一( b vc ) = ( a b ) v ( a c ) 成立，则称( 厶一， ) 为一个强正则剩余格 命题1 2 5 设( l ，一，o ) 为一个正则剩余格，v a ，b ，c l ，则下列结论成立t ( 1 ) ，口- - , b 当且仅当b n ； ( 2 ) 一( vb ) = ，n a ，6 ； ( 3 ) 一( 8 ab ) = ，o v ，6 ； ( 4 ) ，6 _ 咀= a _ 6 ( 5 ) a 固b = 一( o 一，6 ) ； ( 6 ) a b = ，( o 圆，6 ) ； ( 7 ) a 圆飞= o ； ( 8 ) ，o 一( a b ) = 1 ； ( 9 ) a 一一6 = b _ ，口； 4 ( 1 0 ) 咀一b = ，6 _ a 定义1 2 6 剩余格( l ，一， ) 称为正规的，如果v a ，b l ，( 一b ) 一b = ( b a ) _ a 成立 命题1 2 7 正规剩余格一定是正则的 注1 2 8 正则剩余格不一定是正规的 例1 2 9 考察r o 一单位区间，它是正则剩余格，但当取a = i ，b = i 1 时 ( a b ) 一b ( b a ) 一o ，因此它不是正规的 命题1 2 1 0 设( 厶一，圆) 为一个剩余格，v a ，b ，c l ，若a 一( b v c ) = ( a b ) v ( a c ) 成立，则l 必为分配格 命题1 2 1 l 设( l ，一，固) 为一个正规剩余格，v a ，b ，c l ，则下列结论成立： ( 1 ) a ab = a 固( a a6 ) ； ( 2 ) a b v c = ( a b ) v ( a c ) ( 3 ) a vb = ( a b ) 一b 1 3b 凰一代数的基本概念和结论 本节给出了本文所需要的有关鼠一代数的基本知识和基本结论，所提及的 概念和命题参见文献【1 5 1 9 1 定义1 3 1 设x 是( 、，v 一) 型代数，如果 ( i ) x 上有偏序，使( x ，) 成为有界分配格，且v 是关于序而言的上确 界运算； ( i i ) ，是关于序而言的逆序对合对应； ( i i i ) v a ，b ，c x ，以下条件成立； ( 1 ) ，o _ ，6 = b n ； ( 2 ) 1 _ a = a ，a - + a = l ； ( 3 ) b c ( n b ) 一( a c ) ； ( 4 ) a 一( b c ) = b 一( n c ) ； ( 5 ) a b v c = ( a b ) v 一c ) ； ( 6 ) a b ac = 一6 ) a ( a c ) 这里1 是最大元，并且记0 = ，l ，则称x 为基础风一代数，记为b 冗d 一 代数为了讨论方便起见，可以把b 凰一代数看作是一个( 2 ，2 ，2 ，1 ，0 ，0 ) 型代数 5 ( x ，v ，a ，一，一，0 ，1 ) 命题1 3 2 在b 一代数x 中，v a ，b ，c x ，则下列结论成立， ( 1 ) 口b 当且仅当。一b = 1 ； ( 2 ) o b 关于a 不增，关于b 不减； ( 3 ) o b o v c b v c ，_ b n a c - b a c ； ( 4 ) n b ( 一c ) v ( c 一砷； ( 5 ) ( o b ) v ( b 一口) = 1 ； ( 6 ) n b ( b c ) 一( a c ) ； ( 7 ) ，( nab ) = 一nv 一6 ，( n v = 一o a 一玩 ( 8 ) 一ovb 茎a 一6 ； ( 9 ) a vb c = ( n c ) a ( b c ) ； ( 1 0 ) nab _ c = ( a _ c ) v ( b _ c ) 命题1 3 3 在b 风一代数中定义o ，aob = ，( n 一- b ) ，则。是b 风一代数 中蕴涵算子一的伴随对即( n 圆b c 铮8 b c ) ，且下列结论成立： ( 1 ) n 一( b 一ob ) = 1 ； ( 2 ) n ob c = a 一( b c ) ； ( 3 ) o ob a a b 定义1 3 4 满足条件( ( 一b ) 一6 ) 一o vb = 1 的b 一代数是m y 一代 数 、 定义1 3 5 满足条件( 一b ) v ( ( n b ) 一一n v b ) = 1 的b 扁一代数是风一 代数 6 第二章b c k 一代数，剩余格，b 一代数之间的关系 上一章中，我们介绍了b c k 一代数，剩余格，曰凰一代数的基本概念和若 干结论，本章将重点讨论它们之间的关系，并给出了若干重要结论，最后附表页给 出了它们之间的关系图 2 1b c k 一代数和剩余格之间的关系 命题2 1 1 设( x ， ，0 ) 为个对合b c k - 代数，v a ，b x ，定义a b = b * a ， ，n = n ( a ) = 1 b a , a b = n ( n ( b ) o ) ，1 r = o b ，o r = 1 b ，其中o 口，1 日分别为 b c k 一代数的最小元和最大元，在x 上定义一个二元关系s 满足a - - rb 当且仅 当b a 则曼兄为偏序，且若( x ， ，0 ) 为对合格b c k 一代数时，( x ，一，o ) 为一 个正则剩余格 证明( 1 ) 很显然由于b c k 一序为偏序，可知 - - r 也为偏序 ( 2 ) v a ，b x ，o b a 铮a ro b 争as 兄1 r 则1 r 为( x ，_ ，o ) 的最大元， 又a 1 b 兮o n 月a ，则0 咒为( x ，_ ，o ) 的最小元 ( 3 ) a 圆b 兄惜c a q 峙c n ( n ( b ) o ) 铮c n ( n ( b ) a ) = 0 咎( n ( b ) a ) ，n ( c ) = o 营n ( b ) n ( c ) n ( b ) + a ( c ) 号n ( a ) n ( c ) n ( a ) ( n ( b ) a ) 寺n ( a ) n ( c ) n ( a ) ( n ( a ) 兮c o b 则b - na _ c 反之，b ra _ c = 争c a s6 辛n ( a ) n ( c ) b = n ( a ) + b n ( a ) t ( n ( a ) + ( c ) ) ( c ) j n ( b ) a g ( c ) 因此，a b 月c 当且仅当b ra c 因此( o ，一) 为伴随对 ( 4 ) ( a 固b ) oc = g ( g ( c ) + ( ( 6 ) + n ) ) = ( ( ( 6 ) ，a ) + c ) = n ( n ( b oc ) n ) = a o ( b 固c ) 又a 圆1 r = n ( n o r ) n ) = ( ( o b ) n ) = ( 1 日 n ) = a 并且a 圆b = g ( g ( b ) ) = g ( n ( a ) 6 ) = b 圆a 因此( x ，固) 为以1 丑为单位元的交换半群 7 ( 5 ) - - l a , = u ( 1 v ( a ) ) = n 因此若( x ，+ ，0 ) 为对合格b c k 一代数时，( x ，一，o ) 为一个正则剩余格 命题2 1 2 设( 厶一，p ) 为个正则剩余格，o ，b 厶定义口 b = b o ， 1 b = o r ，o b = 1 r ，u ( a ) = 哪= n _ o r ，则可定义一个二元关系b 满足口b6 当且仅当6 n ，则口为b c k 一序，且( l ， ，0 且) 构成个对合格b c k 一代数 证明( 1 ) 很显然由于为偏序，可知b 也为偏序，又o bb 兮6 营b _ n = 1 r 兮l l , 6 = o b ，则b 为b c k 一序， 以下证( 厶+ ，0 b ) 构成一个对合格b c k - 代数； ( 2 ) v a ，b ，c 厶则有b _ ( ( 6 一n ) 一o ) = ( b n ) 一p o ) = i n 因而( n ( n 柏) ) b = 0 b ； ( 3 ) ( 0 一b ) 一( ( 6 一c ) 一( 一c ) ) = 1 r 因而( ( c n ) ( c 6 ) ) ( 6 口) = 0 b ； ( 4 ) n _ o = i n 则8 o = 0 b ； ( 5 ) 若o 6 = b o = 0 b 则。一6 = b _ n = i n 则6 且b o 则o = 6 因而n 6 = b o = 0 b = o = 6 ；因此( l ， ，0 u ) 构成b c k 一代数 按照定义的序b ，由于o 1 r 专o b bn ， 则0 口为陋， ，o b ) 的最小元； 由于o rsn 寺。冬b1 b ，则1 县为( l ，$ ，o b ) 的最大元； 则( l ，t ，o b ) 构成有界b c k 一代数又( ( 口) ) = ，o = n ， 则( l ，$ ，o b ) 构成对合b c k - 代数 由于o a6 为，6 的下确界，即o ab a ，o ab b ，且v c l ，若c b ，c 口 均有c n b 成立，令o v bb = o ab ，则o 丑nv bb ，b 口n v bb ，且v c 厶若 6 口c ，o - bc 均有n v bb bc 成立； 因此n v 口b 为o ，b 在( 厶 ，0 口) 中的上确界， 同理n bb = n vb 为n ，b 在( l ， ，0 b ) 中的下确界 因而( l ，b ) 构成格，又b 为b c k 一序， 因而( l ，+ ，o b ) 构成一个对合格b c 一代数 推论2 1 3 对合格b c k 一代数与正则剩余格是一对等价的代数系统 命题2 1 4 设( x ， ，0 ) 为一个有界关联b c k - 代数，则( x ， ，0 ) 为一个有 界可换b c k 一代数 证明由命题1 1 1 0 即可得证 8 命题2 1 5 设( x ， ，0 ) 为一个有界可换b c k - 代数，则( x ， ，0 ) 为个对 合b c 一代数 命题2 1 6 设( x ， ，0 ) 为一个有界关联b c k 一代数，则( x ， ，0 ) 为个对 合b g 一代数 证明由命题2 1 4 和命题2 1 5 即可得证 命题2 1 7 设( x ，十，0 ) 为一个有界可换格b c k 一代数，则按照命题2 1 1 中 的定义( x ，一，固) 为一个正规剩余格 证明由命题2 1 1 知( x ，一，o ) 为一个正贝4 剩余格，又( a b ) 一b = 6 + ( b * a ) = a ( a 6 ) = ( 6 一a ) 一a 则( x ，一，q ) 为一个正规剩余格 推论2 1 8 设( x ，+ ，0 ) 为一个有界可换格b c k - 代数，则按照命题2 1 1 中 的定义( x ，一，圆) 为一个强正则剩余格 推论2 1 9 设( x ， ，0 ) 为个有界可换格b g k 一代数，则按照命题2 1 1 中 的定义( x ，一， ) 为一个分配格 证明由定义1 2 4 和命题1 2 1 0 和推论2 1 8 即可得证 命题2 1 1 0 设( x ， ，0 ) 为一个有界关联格b c k - 代数。则按照命题2 1 1 中的定义( x ，一，o ) 为一个正规剩余格 证明由命题2 1 1 知( x ，一，圆) 为一个正则剩余格，又( a b ) _ b = 6 $ ( b * a ) = a ( a 6 ) = ( 6 一a ) 一n 则( x ，一，o ) 为一个正规剩余格 推论2 1 1 1 设( x ， ，0 ) 为一个有界关联格b c k 一代数，则按照命题2 1 1 中的定义( x ，一，圆) 为一个强正则剩余格 推论2 1 1 2 设( x ， ，0 ) 为一个有界关联格b c k 一代数，则按照命题2 1 1 中的定义( x ，一，圆) 为一个分配格 证明由定义1 2 4 和命题1 2 1 0 和推论2 1 1 1 即可得证 命题2 1 1 3 设( x ，一，0 ) 为一个正规剩余格，则按照命题2 1 2 中的定义 ( l ，+ ，0 b ) 为一个有界可换格b c k - 代数 证明由命题2 1 2 知( l ， ，0 b ) 为个对合格b c k 一代数，又n 十( n 木6 ) = ( 6 一 a ) 一a = ( o b ) 一b = b ( b $ a ) 则( l ， ，o b ) 为一个有界可换格b c k 一代数 命题2 1 1 4 有界可换格b c k 一代数与正规剩余格是相互等价的代数系统 9 2 2b c k 一代数与b 砀一代数之间的关系 命题2 2 1 设( x ，v ，a ，一，一，0 ，1 ) 为b 岛一代数v a ，6 x ，定义n b = b n ，u ( a ) = ，o ，则( x ，+ ，o b ) 为一个有界b c k 一代数，其中o b = 1 证明( 1 ) b 一( ( 6 一n ) 一) = ( b o ) 一( b n ) = 1 因此( n ( o 6 ) ) 6 = 0 b ； ( 2 ) 由于b cs ( 口一一( o c ) 则( b c ) 一( ( 口一b ) 一一c ) ) = 1 因此( ( c o ) ( 6 o ) ) ( c b ) = 0 b ； ( 3 ) n _ n = 1 寺a - = 0 b ； ( 4 ) n _ 1 = 1 辛0 b = 0 b ； ( 5 ) o b = b n = 0 b 则b _ o = 1 且。一b = 1 ，则6 o 且n b ，因此 。一b ，因此( x ， ，0 b ) 为b c k 一代数，记它的b c k 一序为b ， 则讹，6 x ，n bb 营n 车b 竺o b c e b o = 1 号b 8 又在b 扁一代数中v b x ，有0 6 则在( x ，十，o b ) 中b b0 记0 最大元 1 b ，因此( x ， ，o b ) 为一个有界b c k 一代数 推论2 2 2 若x 为m y 一代数，则按照命题2 2 1 中的定义( x ， ，o b ) 为一 个有界可换b c k 一代数 证明由命题1 3 4 和命题2 2 1 知( x ， ，o b ) 为一个有界b c k 一代数，以下 证明( x ， ，o b ) 是可换的， v a ，6 x ，由于口一( ( 一6 ) 一6 ) = 1 因而os ( o 一6 ) 一b ， 由于b 一( ( 一b ) 一= ( 0 一b ) 一( 6 6 ) = ( n b ) 一1 = 1 因而6s ( 0 6 ) 一6 ，因而a vbs 缸一b ) 一b ， 由命题1 3 4 知( ( o b ) 一b ) 一( 口v6 ) = 1 则( _ 6 ) _ 6 口v6 ， 因而v6 = ( 口一b ) 一b ， 因此似一6 ) 一6 = vb = - 6 v o = ( b n ) _ n ， 则6 ( 6 $ n ) = n ( o b ) 因而( x ，+ ，0 b ) 是可换的，因此( x ，+ ，0 b ) 为一个有界可换b c k 一代数 命题2 2 3 设( x ， ，0 ) 为一个有界可换b c k 一代数，定义。一b = 十n ，一o = u ( a ) = 1 o ，a a b = 6 $ ( 6 n ) ，a v b = ，( ，n 1 6 ) = a v b ) ，则( x ，v ，一，o r ，1 冗) 是b 一代数，其中0 r = 1 ，i n = 0 证明在x 中定义二元关系r ：n - nb 铮n _ b = 1 r ， 由于o _ b = i n 营b 奉n = 呤b n 则o rb 兮b a 又b e 一序为偏序，则可得凡也为偏序 由命题1 1 1 2 知( x ，v ) 是以o r ，1 r 为最小元和最大元的分配格， 又在( x ，v ，一，0 r ，1 冗) 中， ( 1 ) 一口一一6 = ( 6 ) n ( a ) = b = b n ； ( 2 ) 1 r _ a = a 1 r = a 0 = a ；a _ 8 = o n = 0 = 1 r ( 3 ) ( o b ) 一( n c ) = ( c a ) ( b o ) c b = b _ c 因此b c r ( o b ) 一( o c ) ； ( 4 ) o 一( b c ) = ( c b ) $ n = ( c ) b = - b 一( o c ) ； ( 5 ) 由命题1 1 1 2 知 。一( b v c ) = ( b vc ) = ( b a ) v ( c o ) = ( 1 7 , 一b ) v ( 一c ) n 一( b ac ) = ( b a c ) n = ( b n ) ( c o ) = ( a b ) a ( a c ) ； 因此( x ，v ，一，o 冗，1 r ) 是b 风一代数， 此外，ab = b ( b a ) = ( a b ) 一b 则( ( 一砷一b ) 一( 口b ) = 1 因此( x ，v ，一，一，1 矗) 为m v 一代数 命题2 2 4m v 一代数与有界可换b c k 一代数是相互等价的代数系统 证明由命题2 2 3 和推论2 2 2 即可证得 命题2 2 5 设( x ， ，0 ) 是有界关联口c 一代数，1 是最大元，按照命题2 2 3 中的定义( x ，v ，一，0 r ，1 r ) 为m v 一代数 证明由命题2 2 4 和推论2 1 4 即可证得 定义2 2 6 设x 是b 岛一代数，f x ，f o , a ，b x 如果； ( 1 ) 若口f b f 贝4o 固b f ， ( 2 ) 若o f ，墨b ，则b f ，那么称f 为x 上的滤子 定义2 2 7 设f