（基础数学专业论文）g——不变微分方程的离散.pdf

g 一不变微分方程的离散 x s l 3 l j t h ed i s c r e t i z a t i o no fg i n v a r i a n td i n e r e n t i a l e q u a t i o n 刘震 2 0 0 2 年5 月1 日 在这篇文章中，我们定义了一般的多重空间的概念它就象在 微分方程几何中j e t 空间所扮的角色一样，形成微分方程数值分析 的几何基础通过应用活动标架理论，我们可以构造出微分不变量 和不变微分方程的保对称数值近似 a b s t r a c t i nt h l sp a p e r ，、v ei n t r o d u c ean e wg e n e r a lc o 璐t r u c t i o n ，n a m e d “m u l t i s p a c e ”，t h a tf o r m st h ep r o p e rg e o m e t r i c a lf o u n d a t i o nf o rt h en u m e f i c a la n a l y s i so fd i 任b r e n t i a le q u a t i o n s i nd i r e c t a n a l o g yw i t ht h e r o l ep l a y e db yj e t8 p a c eu n d e r l y j n gt h eg e o m e t r y0 fd i 丹e r e n t j a 】e q u a - t i o n s a p p l i c a t i o no ft h et h e o r yo fm o v i n gf r a m e s1 e a d st oc o s t r u c t s y m m e t y - p r e 8 e r v i n gn u m e r i c a la p p r o x i m a t i o n st od i f f h e n t i a li n v a r i a n t s a n dj n v a r j a n d j 赶b r e n t j a le a u a t i o n s 3 一个微分方程系统的对称群简单地说就是将这个系统的一个解变换成系统另外 解的群这些群由作用在系统的独立变量和相关变量上的变换组成p e t e r j o l v e r 介绍了一种方法可以较容易的求出微分方程的对称群一旦我们得到一个微分方程 系统的对称群，它就可以得到大量的应用首先，我们可以使用对称群的性质从已 知解来构造新解并且对称群可以提供一种区分微分方程的解等价与否的方式 对于一般微分方程，单参数子群的不变量意味着我们可以将方程的阶数降低一 阶若获得减少阶数方程的解，我们可以对其积分得到原来方程的解对于多参数 对称群，我们可以多次降低方程的阶数，但是除非这个群满足附加的“可解性”要 求，我们才能通过积分得到原始方程的解对于偏微分方程，我们可以使用对称群 来减少独立变量的个数，获得“群不变”的解， 1 活动标架理论是g a s t o nd a r b o u x 在研究刚体运动时首先引进的 丘l i ec ” t a n ( 2 ，3 ) 将该活动标架发展成一种有效的工具，用以研究子流形及其不变量在变 换群作用下的几何性质到了二十世纪七十年代，几位学者( 4 ，5 ，6 ，7 ) 开始试图将 活动标架理论从标架丛和联络中分离出来最近，m a r kf e l s 和p e t e rj o l v e r ( 【8 ，9 】) 建：蓝了活动标架理论的一种新方法，能够系统地应用于一般变换群其主旨是将活 动标架定义为变换群的一个等变映射所有经典的活动标架都可以用这种方法重新 解释，但这种新方法的应用要更为广泛在 1 0 ，1 l 】中，活动标架理论被应用于创建 解决多项式基本对称性和等价性问题的新的算法，而多项式基本对称性和等价性问 题则构成了经典不变量理论的基础在【1 2 中，射影面的微分不变量被作了分类， 并被用于生成在孤子理论中出现的可积p o i s s o n 流 对于定义在曲线上的多重空间，p e t e rj o l v e r 和m a r kf e l s 发展出一种新的活 动标架的方法来系统构造微分不变量和不变微分方程的数值近似 在现代数值分析中，用具有附加结构的数值格式来逼近一个问题近年来变的十 分广泛首先的例子是从h o m i l t o n 力学引出的辛积分和相关的保能量方法，【1 3 ，1 4 ，1 5 ， 许多学者，包括s h o k i n ， 1 6 】，d o r o d n i t s y n ， 1 7 ，1 8 】，a x f o r d 和j a e g e r s ，【1 9 ，b u d d 和 c o n s ， 2 0 ，正从事于对微分方程保对称数值格式的设计在不变量理论实践的应 用上，用群不变的数值格式来近似微分不变量已经被应用到保对称问题上 在第二节，我们首先介绍群，不变量，延拓以及j e t 丛等基本概念和相关定理 在第三节，我们详尽阐述活动标架理论以及用活动标架理论来许算不变量在最后 d5 2 群作用的不变性和延拓 一节，我们提出了一般的多重空间的概念然后通过使用活动标架理论，我们可以 构造微分不变量和不变微分方程的保对称数值近似 2 群作用的不变性和延拓 定义2 1 一个r 参数李群是一个群g ，它具有r 维光滑流形结构并且群运算 m ：g g g ，竹l ( 9 ， ) = 9 ，9 ， g 和逆运算 i ：g - g ，i ( 9 ) = 9 ， g g ， 是流形间光滑映射 定义2 2 一个r 参数局部李群有包含原点o 的连通开子集cy cr 7 和光 滑映射 m ：y y 斗r ， 定义群运算并且 i ：k _ + k 定义群的逆运算组成它具有如下性质： ( a ) 如果$ ，z k m ( 。，) 和m ( ，z ) 也在y 中，那么 m ( z ，m ( ，z ) ) = m ( m 0 ，) ，z ) ， ( b ) 对所有z um ( o ，口) = 。= m ( z ，o ) ， ( c ) 对中每一个点z ，m ( ，i ( z ) ) = o = m ( i ( z ) ，z ) 例2 3 令y = z ： 1 ) cr 具有群的乘积 m ( 。，v ) = 紫，。，”矿 逆映射是i ( 。) = z ( 2 z 1 ) ，定义在。= 。： ；) 上，那么m 定义一个局 部单参数子群 定义2 4 令m 是一个光滑流形，一个作用在m 上的局部变换群由一个局部李 群，局部作用的定义域( 开集u 且 e ) m cu c g m ) ，和具有如下性质的一个 光滑映射妒：u _ m 构成： 5 ( a ) 如果( h ，z ) u ，( g ，t f i ( ，z ) ) u 且( 9 ，z ) u 那么 妒( g ，讪( ，。) ) = 妒( 9 ，茁) ， ( b ) 对所有。m ， 妒( e ，茁) = 茁， ( c ) 如果( g ，z ) t ，那么0 ，妒( g ，z ) ) u 且 妒( 9 ，妒( g ，z ) ) = z 为了简化，我们用g z 表示妒( g ，z ) 那么定义2 4 的条件有如下简单形式： 9 ( z ) = ( 9 - ) z ，9 ， g ，。m e 。= z z m 9 1 ( g 。) = z ，g g ， 。m 以上，我们要求方程两边有意义 定义2 5 令g 是作用在流形m 上的局部变换群，一个函数f ：m _ ( 是 另外一个流形) 是一个g 不变的函数，如果对所有。m ，9 g ，只要9 z 有意 义， f ( 9 。) = f ( 。) 一个实值g 不变的函数f ：m _ r 被简单称作一个g 的不变量 我们经常对一个给定的变换群能决定多少不变量感兴趣为了使这个问题精确 些，我们首先注意到如果1 ( z ) ，p ( z ) 是一个变换群的不变量，f ( z 1 ，) 是 任何光滑函数，那么f ( 。) = f ( 1 ( 。) ，寸( z ) ) 也将是一个不变量这个不变量对一 个给定的问题没有提供任何新的信息，它被称作对不变量1 ，p 函数相关实际 上，我们需要仅仅区别对一个群作用函数无关的不变量，另外的不变量可以从它们 由上面形式获得 定义2 6 令f 1 ( z ) ，p ( z ) 足定义在流形m 上的光滑实值函数，( a ) 1 ， 被称为函数相关的，如果对每一点z m ，有一个z 的邻域u 和一个定义在褂的 任何开子集上的光滑不恒等于。的实值函数f ( 。1 ，) ，使得对所有z 阢 f ( f 1 ( z ) ，p ( z ) ) = o 62 群作用的不变性和延拓 ( b ) ，p 被称作函数无关的，如果当限制在任何开子集u c m 上，没有函数 相关既是说，对在开集uc m 上所有点。，如果f ( z 1 ，) 使得f ( f 1 ( z ) ，p ( z ) ) 2 o 成立，那么在彤的开子集上对所有点z ，f ( z 1 ，扩) ；o 例2 7 函数z 向和z y ( z 2 + 2 ) 在 ( 。，) ：o 上是函数相关，因为 南= 焉_ ，( ；) -研。再研刮。石j 。 定理2 8 令f = ( f 1 ，驴) 是从m 到融的光滑函数，那么f 1 ( z ) ，p ( z ) 是 函数相关的当且仅当对所有。m ，艇i 。的秩严格小于 定义2 9 一个群g 作用在m 上是半正则的，如果它的所有轨道维数相同一 个半正则群作用是正则的，如果对每一点z m 有一个任意小的邻域，它交每一个 轨道是一个连通的子集 下面是关于变换群的独立不变量数日的基本定理 定理2 1 0 令g 半正则的作用在r n 维流形m 上，它有s 维轨道如果。o m ， 那么在z o 的一个邻域，存在m s 个函数无关的局部不变量1 ( 。) ，”1 ( 。) 并 且定义在z o 附近的任何群g 的局部不变量有如下形式： ( z ) = f ( 1 ( z ) ，“1 ( ) ) ， 这里f 是光滑函数 如果群g 的作用是正则的，那么不变量在z o 的邻域是整体不变的 证明；使用n o b e n i u s 定理，对于由g 的无穷小生成元张成的向量场系统，在 z o 的附近我们可以找到平凡的局部坐标= 妒( z ) ，使得g 的轨道是薄片( 1 = e 1 i 一，g ”1 = c k 一。) 那么新的坐标”1 = 1 ( z ) ，旷一。= 1 ( 。) 是对g 的不变 量并且在每一个薄片上是常数而且任何g 的另外不变量在这些薄片上一定是常 数，因此是1 ，“的一个函数最后如果g 作用是正则的，我们能选择平凡 坐标片使得每个轨道在至多一个薄片里与它相交在这种情况下，1 ，m 一形 成整体不变量 在经典术语里，这个定理构造的不变量称为函数独立不变量的完备集我们可 以看出，一旦发现如此一个完备集，任何g 的另外不变量能被这些不变量的一个函 数所表示 性质2 1 1 令g 半正则的作用在流形m 上，令f 1 ( 。) ，一( 茹) 是定义在m 的一个开子集w 上的函数独立不变量的完备集如果一个子簇仲= 扛：f ( ) = o 7 是g 不变的，那么对每一个解。o ，有。o 的一个邻域形c 和一个等价的 g 不变的函数卢( z ) ：卢( f 1 ( z ) ，m s ( 。) ) ，它的解和f 的解在形上是一致的： 妒f n 形= 妒芦n 雨= 。形：f ( 1 ( 。) ，“( z ) ) = o ) 证明；首先，对于g 在。o 附近的平凡局部坐标y = ( 9 1 ，g ”) ，我们可以完备化 不变量9 1 = 1 ( z ) ，”m 一= p “( z ) 的集合实际上剩余坐标分= ( “，”) 能从给定坐标( z l ，z m ) 中选择，使得寸= 童= ( z “，。“) 例如，如果在z o 点幕蔓；芸寻o ，我们可以令集合童= ( 。m 一“，。“) 因此坐标变换是形式 = 砂( z ) = ( ( z ) ，童) 这里f ( 。) 表示不变量，童称为参变量根据这些坐标，我们 写f 扛) = f 白) = f ( f 扛) ，茁) 所以f = fo 妒一1 令 f ( f ( 茁) ) = f + 嬉( 茁) ，童o ) ， 这里南是在。o 参变量岔的值因为仲是g 不变的，在这些坐标下g 的轨道是 不变量的公共水平集( 薄片) f ( z ) = g ) ，并且点( f ( z ) ，亩) 和( ( 。) ，2 0 ) 在同一薄片 上，那么f + ( ( 。) ，岔) = o 当且仅当f + ( ( z ) ，2 0 ) = 0 假定我们考虑一个微分方程组妒包含p 个独立变量z = ( z 1 ，z 一) 和q 个相关 变量“= ( u 1 ，“9 ) ，方程组的解是u = ，( 。) 令x = 钟表示独立变量的空间， u ：r 。表示相关变量的空间我们现在解释一个李群g 中给定的变换9 怎样变换 一个函数= ，( 。) 首先，我们将函数u = ，( 。) 看作图 r ，= = ( 。，( z ) ) ：z q ) cx 以 这里nc x 是，的定义域，r ，是x u 的p 维子流形如果r ，包含于群变换9 的定义域，那么9 对r ，的变换是 g r ，= ( 窑，豇) = g - ( 。，u ) ：( z ，u ) r ，) 例2 1 2 令p = l ，口= l ，g = s d ( 2 ) 作用在x u2 矗2 上，那么g 的变换是 ( 茁，u ) h ( 茁，百) = ( zc 0 8 日一us i n o ，茁s i n p + t c o s 口) 若假定u = ，( 。) = 口z + b ，那么 z打蚋s i n 口+ d c 口 6 “2 ，2 赢矿丽。+ 丽而诵+ 8 2 群作用的不变性和延拓 定义2 1 3 给定一个光滑函数u = ，( 。) ，有一个诱导函数u 。p r ”，( 设杯 为函数，的n 次延拓，它被定义为 俨 = 黠， 这里j = ( j 1 ，靠) 例2 1 4 若u ：，( z ，) ，那么u = ，( z ，) 的二次延拓“( 2 ) = p r ( 2 ) ，( z ，v ) 是 ，呦，蛳h 甏，苗，象，磊， 定义2 1 5 变换群g 的n 次延拓p r ( “) g 被定义为使得它变换函数t = ，( 。) 的 微分为对应的变换函数矗= ，( 苗) 的微分，即 p r ( n ) 9 ( u 驴) = ( ，缸驴) 这里i 护= p r ( “( g ，) ( 茁o ) 例2 1 6 令p = q = 1 ，g = s 0 ( 2 ) ，对函数t = ，( ) 。它的一次延拓是p r ( 1 ) ，( 。) = ( ，( z ) ，( z ) ) 对给定点( 。o ，u o ，u ! ) 由线性泰勒多项式，( 。) = u o + u ：0 一z o ) = u ! z + ( u o 一 “! 。o ) ，这里，( 。o ) = u o ，( z o ) = u ：根据前面例2 1 2 的计算， 确= 豢箍篇甜茄美， 这里“! c o t 口，那么 釜0 = 0c n s 日一t 0s i n 目 因此 铲= ，( 护) = 一s i n p + u oc o s 口， 壮m 。) = 器罐篙 所以，延拓作用p r ( 1 ) s d ( 2 ) 是 p r c l ) 。( z ，“，“。) = ( z c 。s 一一u s ；n 。，。s t n 。+ u c 。s 。，：；篙) 定义2 1 7 令妒是一个微分方程组，g 是作用在这个方程组的独立变量和相 关变量空间的一个开子集m 上的局部变换群如果只要u = ，( 。) 是妒的一个解， 9 且对9 g ，9 ，有定义，那么u = 9 ，( z ) 也是这个微分方程组的解，则这个微分 方程组l p 被称为g 一不变的，g 被称为妒的对称群 定理2 1 8 令g 是作用在mc x 【，上的局部变换群，假设p r ( “) g 半正则的 作用在x u ( n ) 的一个开子集上，令”1 ( z ，u ( n ) ) ，矿( 。，“( “) 是函数独立的n 阶微 分不变量的完备集一个n 阶微分方程( z ，“( “) = o 以g 作为对称群当且仅当有 一个等价的方程 鑫( q 1 ( z ，t ( ”) ，矿( z ，t ( ”) ) ) = o 仅仅包含g 的微分不变量 特别是如果g 是单参数变换群，任何n 阶微分方程以g 作为对称群当且仅当 有一个等价的m 一1 ) 阶方程 鑫( ， ，d d ，一，d n 一1 d 圹一1 ) = 0 包含p r ( 1 ) g 的不变量= q ( 。，u ) ，乞u = ( $ ，“，u 。) 和它们的微分 例2 1 9 考虑二阶微分方程 它在变换群( z ，u ) + ( a z ，a u ) 作用下是不变的我们可以发现二次延拓作用的不变 最是 让du茁2 u z z ”2 ；，“2 “。面2 瓦瓦。 那么原方程就变为下面等价方程 ( u 刊等= 舭 定义2 2 0 令i 和f 是光滑流形m 的正则p 维子流形，r 和r 在公共点 如【1 n f 有n 次接触当且仅当存在包含z o = ( u o ) 的局部坐标片，它的坐 标( $ ，“) = ( z 1 ，扩，u 1 ，舻) 使得在r n 和r n 上，光滑函数u = ，( z ) 和 “= ，( 。) 的图在。o 是n 次等价的，即p r 扣) ，( z ) = p r ( “) ，( 。o ) 定义2 2 1 令m 是一个光滑流形，p 是一个固定整数o o 的子集上将这些式子代入挑辄，我们获 得不变量 风卸- 一。) 糕 州讯斗一。) 鬻 高次的多重不变量是 。乒_ k 旷：兰蝌 【z o z lj 2 取极限，它可以导出微分不变量，( n ) = ( u 。) 一( “+ 1 ) 2 u 。n ，且n 是这个微分不变量 的一次近似 对于一个g 不变的一般微分方程( z m u 。，u 一，u 。“) = o ，为了构造一个不 变的数值格式，我们仅仅将定义的函数“不变化”，就可以导出一个不变的数值近 似 ( o ，o ，l ，蚝v ，“) = o 例4 1 3 一个e u c l i d 群s e ( 2 ) 作用在m = r 2 上 ( ， ) = 口( 。，u ) = ( 。c o s p 一“s i n p + n ，。s i n p + “c o s 口+ 6 ) 一次变换公式是 0 = 0 0c o s f 一“os m f 十n ， 0 = $ 0 s l n f 十u 0c o s + d 舻z 。c o s e 咱s t n 。+ n ，”乒= 尝絮 我们选择正规化截面珈= 如：”f = o 以求出右活动标架 。：一。p 十。i 。口：一粤竺i 竺! ， 、1 + ( u 拿) 2 6 = 一。os i n 口一t o c 0 8 口= ! ；兰i 三兰! ， 、1 + ( ) 2 。 t a n p = 一u g 将活动标架公式代入提升的均差公式导出一系列的e u c l i d 多重不变量， 鲰h 凰：亟二雩堕刿， 1 + ( u g ) 2 卜凰：鱼 掣窒型丝坚型 l + ( t 拿) 2 由均差公式可以获得多重不变量， m ，= 糕= 瓮= 罱黜剩， 这里限 一风= 。( 毗) 一次多重不变量 ”孑h 玛= 。( ”孑) = 】_ o 二次的多重不变量是 ”坩h 巧v = 。( u y ) = 2 【如，l 如】= 2 ( 如如】一 如 ) ( 毛一日1 ) u s 1 + ( u g ) 2 2 而币习瑶露面乏丽再诱再巧瓦雨乒面 y 是e u c l i d 曲率的一个不变数值近似，即 。螋。v2 。志 2 6 参考文献 参考文献 【1 1o l v e r ，p j ，a p p n c a j o n s0 fl j eg r o u p sc o 功廊r e n 脚e q u a c o n s ，s e c o n de d i t i o n ，g r a d u a t e t e x t si nm a t h e m a t i c s ，v o i 1 0 7 ，s p r j n g e r v e r i a g ，n e wy o r k ，1 9 9 3 f 2 】c a r ta 1 1 ，e ，l am 百抽o d ed um p 6 r em 曲订e ，j at h d o r j ed e sg u p sc 伽j n u s ，e j 印e 印a c e s g 由j i 扣甜括由，e x p o s 6 sd eg 6 0 m 6 t r i en o5 ，h e r m a n n ，p a r i s ，1 9 3 5 戡c m a n 。色l a t h 6 0 r | ed e sg r o u p sf 蕊se tc o n t i n u se tl a 舶o m 6 t r i ed i 髓r e n t i e l l en a i 砸e s p a r a 施 o d ed ur 印缸m 0 b 旭c a l l i e r 8s c i e n t i 6 q u e s ，v 0 1 1 8 ，g a u t h i e r _ v i l l a r s ，p a 呱 1 9 3 7 【4 】g 咖i t h s ，p a ，o nc a r t a i l sm e t h o d o fl i eg r o u p sa n dm o v l n gf r 锄e sa sa p p l i e dt ou n i q u e n e 8 s a n de x i s t e n c eq u e s t i o n si nd i 髓r e n t i a lg e o m e t r y ，d u hm a mj 4 ln 9 列) ，7 7 5 - 踟4 【5 1 g r e e n ，ml ，t h em o v i “gf r 砌e ，d i 舶r e n t i n v a r i a n t sa i l dr i g i d i t yt h e o r e m sf o rc u r v e si n h o m 】g e n e o u ss p a c e s ，d u k em a 曲j 4 5 “9 7 剐，阳5 7 阳 【6 jc 1 1 e r n ，s - s ，m o v i “gf r a m e s ，i n ：e c 打a nc 恼m a 面田a 蜘u e sd ，a u o u r d 协“ls o cm a t h n a n c e ，a s t 6 r l s q u e ，n u m 6 r oh o r 8s 6r i e ，1 9 8 5 ，p p6 7 7 7 7 j e n s c n ，g r ，日培白e ro r d e rc o n a c co fs u b 埘a n j f o 埘0 f 伽0 9 锄e o u s 印a c e ，l e c t u r en o t e si n m a t h ，n o 6 1 0 ，s p d n g e r v 打1 a g ，n e wy o r k ，1 9 7 7 【8 1f e l e s ，m ，a n do l v e r ，p j ，m o v i “gc o f r a m e s i ap r a c t i c a la l g o r i t h m ，a c aa p p j m a 抽 5 1 口9 9 8 ) ，】卯- 到3 【9 f e l e s ，m ，a n d0 1 v e r ，p j ，m o v i n gc o f r a m e s u r e g u l a r l z a t i o na n dt h e o r e t i c a lf o u n d a t i o n 8 ， a c 妇a p p j m a j 1 5 5 门9 9 鲫，1 2 工2 0 8 【1 0 o l 、r e l ，pj ，a a s s j c 叫j h v 撕卸括n e 0 啊l o n d o nm a t h s o c s t u d e n tt e x t s ，v 0 1 4 4 ，c a m b r i d g e u n i v e r s 耐p r e s s ，c a m b r i d g e ，1 9 9 9 f i l 】b e r c h e n k o ，i a ia n do j v e r ，p j ，s y m m e t r i e so fp o i y n o m i a i s ，一s 姗b c b 加p ，t oa p p e a r 【1 2 】m a r j b e 髓，g ，a