（基础数学专业论文）almansi型分解及其应用.pdf

摘要 多调和函数作为多项式函数的最直接的推广，其理论在偏微分方程，数值计 算，小波分析，多复变函数论，弹性理论，雷达成像等领域中有许多重要应用a 1 m a i l s i 分解定理是多调和函数理论的核心定理，它是f i s c h e r 定理的推广，f i s c h e r 定理 是球调和函数理论的基础，f i s c h e r 分解通过f i s c h e r 内积和b a r g m a n n 变换紧密相连， b a r g m a n n 变换在h e i s e n g b e r g 群表示理论中有重要应用( 参见 5 9 ，3 6 】) 原始的a l m a - n s i 分解将多调和理论简化为调和函数理论，早期研究成果汇集在多调和函数一 书【3 】中 本文将系统地研究a l m a n s i 分解定理，建立有限型a l m a n s i 分解定理和无限型a l - m a n s i 分解定理，建立c l i 肋r d 分析，d u n k l - c l i 肋r d 分析，u m b r a l 分析理论中的相应 的a l m a n s i 分解定理 在有限型a 1 m a n s i 分解定理中，我们将研究双曲算子，双曲h e l m h o l t z 算子，d u n - l a p l a c e 算子，u r n b r a l h e l m h o l t z 算子相应的a l m a n s i 分解，这推广了古典的a l m a - 璐i 分解定理关于l 印l a c e 算子及其幂算子的理论我们所研究的函数将不再局限于 古典情形的复值函数，我们将研究c l i 肋r d 值函数值得指出的是，古典的c l i 肋r d 分 析大多局限于在c l i b r d 代数c 2 0 m 我们的理论适用于一般的c l i 舫r d 代数g f p i 口( 见 第二章和第四章) 作为有限型a l m a 璐i 分解定理的应用，我们完全解决了单位球上关于双曲算子 的r i q u i e r 问题利用d u n k l 算子的a l m a n s i 分解，我们给出了多重d u n k l 调和函数的 增长估计，从而得到了多重d u n l 【l 调和函数的l i o u v i l l e 定理( 见第四章和第五章) 无限型a l m a n s i 分解定理是级数形式的分解定理，函数的研究类型从多调和函 数扩充到了解析函数我们得到了星形域上解析函数无穷级数表示，其求和项由波 函数给出这一理论平行于单位球面上平方可积函数关于球调和函数的分解理论 ( 见第四章) 无限型a l m a n s i 分解定理中的级数表示由关于双曲算子的n o r m a l i z e ds y s t e m 给 出，这需要对n o r m a l i z e ds y s t e m 进行深入研究我们得到了波算子，d u n k l l a p l a c e 算 子的n o r m a l i z e ds y s t e m 古典情形的n o r m a l i z e ds y s t e m 处理的算子是可交换的，我 们在c l i 舫r d 分析中研究n o r m a l i z e ds y s t e m 将面临非交换的算子我们将n o r m a l i z e d s y s t e m 的研究领域推广到了非交换领域作为应用我们求解了h e l i i l h o l t z 方程的具体 摘要 形式解，研究了波算子的r i q u i e r 问题( 见第三章) 利用a l m a n s i 分解定理，我们试图研究c i i 舶r d 分析中的p o l y m o n o g e i l i c 函数理论， 例如其b e r e z i n 变换理论b e r e z i n 变换在物理上具有重要的应用古典的b e r e z i n 变换 涉及单位球上的全纯函数或者调和函数我们初步的结果给出了关于m o n o g e n i c 函 数的b e r e z i n 变换的恒等逼近性质采用的方法是利用m 6 b i u s 变换处理c l i 肋r d 分析 中复杂的b e r g m a n 核函数( 见第六章) 由于a l m a n s i 分解在c l i 肋r d 分析，d u n k l 分析，u m b r a l 分析等分析理论中起着重 要作用a l m a n s i 分解定理具有广阔的应用前景 关键词：d u n k l 算子，d i r a c 算子，a l m a n s i 分解，c l i 肋r d 分析，u m b r a l 分析 1 l l a b s t r a c t b e i n gt h ed i r e c tg e n e r a l i z a t i o no fp o l y n o m i a lf u n c t i o n s ，p o l y h a l r m o i l i cf u n c t i o i l s h a em a l l ya p p l i c a t i o n si np a r t i a ld i 伍e r e n t i a le q u a t i o n s ，n u m e r i c a lc o m p u t a t i o n ， w a v e l e ta n a l y s i s ，s e v e r a lc o m p l e xw l r i a b l e s ，e l a s t i c i t yt h e o r ya n dr a d a ri m a g et h e o r y t h ec l a s s i c a la l m a n s id e c o m p o s i t i o nt h e o r e mi st h ec o r et h e o r e mo ft h et h e o r yo f p o l y h a r m o n i cf u n c t i o n sa n di t i st h eg e n e r a l i z a t i o no ft h ef i s c h e rd e c o m p o s i t i o n t h e o r e m ，w h i c hi st h ef o u n d a t i o no fs p h e r i c a lh a r m o n i cf u n c t i o nt h e o r y t h ef i s c h e r d e c o m p o s i t i o ni sc l o s e l yr e l a t e dt ot h eb a r g m a n nt r a n s f o r mb yt h ef i s c h e ri n n e r p r o d u c ta n dt h eb a r g m a n nt r a n s f o r mh a sm a r l ya p p u c a t i o n si nt h er e p r e s e n t a t i o n t h e o r yo fh e i s e n b e r gg r o u p s ( 【5 9 ，3 6 】) t h ec l a s s i c a la l m a n s id e c o m p o s i t i o nr e d u c e s p o l y h a r m o n i cf u n c t i o l l st h e o r yt oh a r m o n i co n e s t h ee a r l ys t a g er e s u l t sw e r eg i v e n i nt h em o n o g r a p hp d f y 危。仃礼o n i cj 吃竹c 缸d n s ( 1 9 8 3 ) 【3 】 i nt h i st h e s i s ，w ew i l ls y s t e m a t i c a l l ys t u d yt h ea 1 m a n s it y p ed e c o m p o s i t i o n t h e o r e m s ，c o n s t r u c t i i l gt h ef i n i t et y p ea n di n 丘n i t et y p ea l m a n s id e c o m p o s i t i o n sa n d s e t t i n gu pc o r r e s p o n d i n ga l m a n s it y p ed e c o m p o s i t i o i l si nc l i 丘b r da n a l y s i s ，d u n l ( 1 一 c l i 助r da n a l y s i sa n du m b r a la i l a l y s i s f b rt h ef i n i t et y p ea l m a 璐id e c o m p o s i t i o i l s ，w ew i l ls t u d yh y p e r b o l i co p e r a t o r s ， h y p e r b o l i ch e l m h o l t zo p e r a t o r s ，d u n l ( 1 一l a p l a c eo p e r a t o r s ，a n du m b r a l h e l m h o l t z o p e r a t o r s t h ec l a s s i c a la l m a n s it y p ed e c o m p o s i t i o nt h e o r e m sd e a lw i t ht h el a p l a c e o p e r a t o ra n di t si t e r a 七e do p e r a t o r s o u ra p p r o a c h e sa r en ol o n g e rr e s t r i c t e dt o c l a s s i c a lc o m p l e x - v a l u e df u n c t i o n s ，b u ti i l s t e a dw es t u d yc l i 肋r d v a l u e df u n c t i o n s i ts h o u l db en o t e dt h a tc l a s s i c a lc l i f f b r da n a l y s i si sm a i n l yc o n c e r n e dw i t ht h e c l i 肋r da l g e b r ac f o njw h i l eo u rt h e o r yi sd e v e l o p e dw i t h i nt h ec l i f f o r da l g e b r a c f p ，口( s e ec h2a n d 4 1 a sa na p p l i c a t i o no ff i n i t ea h i l a n s it y p ed e c o m p o s i t i o i l s ，w ef u l l ys o l v et h e r i q u i e rp r o b l e mo fh y p e r b 0 1 i co p e r a t o r si nt h eu n i tb a l l m o r e o v e ru s i n gt h ea l m a n s it y p ed e c o m p o s i t i o no fd u n l 【lo p e r a t o r s ，w ed e r i v et h eg r o w t hr a t ee s t i m a t eo f p o l y d u n k lh a r m o n i cf u n c t i o n s i h e n c ep r o v i n gt h el i o u v i l l et h e o r e mf o rp o l y d u n k l h a r m o n i cf u n c t i o n s ( s e ec h4a n d5 ) l v 摘要 t h ei n 6 n i t ea l m a i l s it y p ed e c o m p o s i t i o n sh a v es e r i e sf o r m s w 色e x t e n dt h ed e - c o m p o s i t i o n sf r o mp o l y h a r m o n i cf u n c t i o n st oa n a l y t i cf u n c t i o n s w bd e r i v et h es e - r i e sf o r mr e p r e s e n t a t i o no fa n a l y t i cf u n c t i o r l si ns t a r l i k ed o m a i r 塔t h ec o m p o n e n t s o ft h es u ma r ew a v e - h a r m o n i cf u n c t i o n s ，w h i c ha l r et h eg e n e r a l i z a t i o no fs p h e r i c a l h a r m o n i c so fs q u a r ei n t e g r a b l ef u n c t i o n si nt h eu n i tb a l l ( s e ec h4 ) t h ei n 丘n i t ea l m a 工l s it y p ed e c o m p o s i t i o n si ns e r i e sf o r ma r eg i v e nb yi 玲功a a l i z e d s y s t e m so fh y p e r b o l i co p e r a t o r s t h i sn e e d sa ni n d e p t hs t u d yo fn o r m a l i z e ds y s t e m w bd e r i v et h en o r m a l i z e ds y s t e m so fw a ea n dd u n k l - l a p l a c eo p e r a t o r s c l a s s i c a l l y o p e r a t o r sc o m m u t e i nt h et h e o r yo fn o r m 2 l 1 i z e ds y s t e m t h eo p e r a t o r sw ec o n s i d e r i nc l i 珏b r da n a l y s i sa r en o n - c o m m u t i n g t h u st h es t u d yo fn o r m a u z e ds y s t e m sh a s t ob ee x t e n d e dt ot h en o n - c o m m u t i n gc a s e 。 a s 印p l i c a t i o 璐，w e 西v en o n - t r i v i a l f o r m a ls 0 1 u t i o n so fh e l m h o l t ze q u a t i o 璐a n ds t u d yt h er i q u i e rp r o b l e mo ft h ew a v e o p e r a t or s ( s e ec h3 ) u s i n ga l m a n s id e c o m p o s i t i o nt h e o r e m s ，w ei n t e n dt os t u d yp o l y m o n o g e n i c f u n c t i o nt h e o r yi nc l i f f o r da n a l y s i s ，f o re x a m p l et h eb e r e z i nt r a n s f o r mt h e o r y lw h i c h h a si m p o r t a n ta p p l i c a t i o n si np h y s i c s t h ec l a s s i c a lb e r e z i n 乞r a 珊f o r mt h e o r y 缸 c u s e sm a i n l yo nh o l o m o r p h i co rh a r m o n i cf u n c t i o l l so nt h eu n i tb a l l o u rp r i m a r y r e s u l tg i v e sa s y m p t o t i cp r o p e r t i e so fb e r e z i nt r a n s f o r mo fm o n o g e n i cf u n c t i o 璐o u r a p p r o a c hu s e st h em 6 b i u st r a i l s f o r m st oh a n d l ec o m p l i c a t e db e r g m a nk e r n e lf u n c - t i o n si nc l i 肋r da n a l y s i s ( s e ec h6 ) a l m a n s it y p ed e c o m p o s i t i o n sh a v eb r o a d 印p l i c a t i o nf o r e g r o u n d ，d u et ot h e i r i m p o r t a n tr o l e si nc 1 i 助r da n 甜y s i s ，d u i l l 【la n a l y s i 8a n du m b r a la n a l y s i s k e y w o r d s ：d u n l 【lo p e r a t o r ，d i r a co p e r a t o r ，a l m a 璐id e c o m p o s i t i o n ，c l i f i b r da n a l - y s i s ，u m b r a lc a l c u l u s v 中国科学技术大学学位论文原创性和授权使用声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工 作所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均己在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即： 学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位 论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名：到垂 妒7 年厂月厂日 致谢 作者自2 0 0 6 年开始博士研究生阶段学习以来，在导师任广斌教授的指导下，开 展多复变函数论方面的研究在平时的学习中他不仅传授给我大量最新的专业知识， 也教我进行学术研究的方法本文正是在任老师悉心指导下完成的，从论文的选题， 到得出初步结果，以至最后成文都凝聚了他大量的心血在生活上也得到了他无微 不至的关心和帮助任老师严谨踏实的治学态度，孜孜不倦的敬业精神，诚挚宽厚的 人格魅力是我终生学习的楷模! 作者谨向任老师致以崇高的敬意和衷心的感谢! 感谢史济怀教授在本科时传授的大量知识以及在讨论班的精彩报告同时要感 谢罗罗与刘聪文两位老师的报告与平时的讨论以及热心帮助同时感谢硕士期间的 导师李平教授对我的鼓励及帮助 感谢几位师弟师妹：陈英伟，周立芳，丁超，杨雪梅他们和我的讨论使我受益 良多 感谢科大数学系所有的老师和工作人员，为我们创造了良好的学习和生活环境， 使我在这里过得愉快而且充实 最后我要深深感谢辛勤抚育我成长的父母亲，感谢他们多年来一直默默地奉献， 全力支持我的学业 第一章绪论 1 1引言 记为r n 中的l a p l a c e 算子，方程 u = 0 的解称为调和函数而方程 m u = 0 的解就称为仇次多调和函数多调和函数具有许多与调和函数相同的性质，如l i o u v i l l e 定理，平均值定理，最大值原理等但是最直接的联系由a l m a n s i 分解定理给出 a l m a n s i 6 】在1 8 9 8 年证明了以下定理 a l m a n s i 分解定理： 若，是r 叫丁包含原点的星形域q 中m 次多调和函数，则存 在唯一的在q 上调和的函数，o ，仇一1 ，使得 厂( 茁) = 矗( z ) + i z l 2 ( z ) + + i z l 2 ( m 一1 厶一1 ( z ) a l m a n s i 分解定理类似于r i a y l o r 公式在t a y l o r 公式中 弛) - ，( 0 ) + t 掣+ 州t 等+ ， 如果形式上做替换一2 ，爱一，并且注意到 = 0 ，t = 0 ，仇一1 以及 晏掣：o ，t i _ 广一2u ， z l n ， 0 6z ： 那么我们就从形式上得到a l m a n s i 分解定理 a l m a n s i 分解定理是多调和函数理论的核心定理，它是f i s c h e r 定理的推广，f i s c h e r 分解是球调和函数理论的基础，f i s c h e r 分解通过f i s c h e r 内积和b a r g m a n n 变换紧 密相连，b a r g m a n n 变换在h e i s e n g b e 唱群表示理论中有重要应用【6 0 ，6 1 】a l m a n s i 分 解具有及其广泛的应用k o u n c h e v 【3 7 1 给出了a l m a n s i 分解在数值计算和小波分析中 第一章绪论 的应用a r o l l s z a j n ，c r e e s e ，l i p l 【i n f 3 1 给出了a l m a n s i 分解在多复变函数论中的应用 b a l k 9 1 给出了关于c a u c h y _ r i e m a i l n 算子的a l m a n s i 分解及其应用o b o l a s h 讥l i 【4 4 】给 出了a l m a n s i 分解在c u 助r d 分析中的边值问题中的应用 a l m a n s i 分解定理有各种类型的推广p a s c a l i 4 5 1 研究了c a u c h y - r i e m a 皿算子石 的a l m a n s i 分解p a v l o v i 6 4 6 1 研究了多调和b e r g m a n 空间中的a l m a i s i 分解定理最 近任广斌与其合作者研究了更多类型算子的a l m a i l s i 分解定理( f 4 8 ，4 9 ，5 0 ，5 1 】) 本文将建立c l i 肋r d 分析，d u n k l 分析以及u m b r a l 分析中的相应的有限型和无限 型a l m a n s i 分解定理 c l i 肋r d 分析是单复变函数理论在高维的推广由于c 1 i 肋r d 分析研究d i r a c 算子， 即l 印1 a c e 算子的平方根，而调和函数理论研究l 印l a c e 算子，因此关于c l i 肋r d 分析 的研究将获得比调和分析中更细致的结果将欧氏空间自然的嵌入到c l i 助r d 代数 中，欧氏空间中的向量可以获得作为分母的资格这种嵌入使得c l i 肋r d 代数成为研 究欧氏空间的自然框架，从而使得它能渗透到众多分析邻域，例如位势论，微分几 何，偏微分方程 1 1 ，2 8 ，4 0 】它的早期研究者有h a m i l t o n ，c l i 舶r d ，g r a s s m a i l n 等 人c l i 肋r d 代数及其s p i n o r 理论的进一步发展应归功于e c a r t a n ，w b y l ，c h e v 出 1 e y ，m r i e s z 等【5 7 1 其后，a h l f o r s 利用c l i 髓r d 数研究了共形变换理论【4 1 ，a t i y a h ， p e n r o s e ，n i e d r i c h 等开启了流形上d i r a c 算子的研究【2 ，8 1 近年来，s o m m e n ，r y a n ， m c i n t o s h 等推动了c l i 骱r d 分析在函数论方面的发展【l l ，1 7 ，4 7 ，5 7 1 第二章将简要 介绍c l i 肋r d 分析 d u n k l 分析的核心是d u n l 【l 算子，他是含参数的微分差分算子，与c o x e t e r 群紧 密相伴 2 1 ，3 1 ，5 5 1 它起源于关于m a c d o n a l d 猜想以及多变数超几何函数的研究4 2 ， 4 3 】d u n k l 分析理论由于d u n k l 和x u 2 1 】建立的多变数正交多项式理论而日趋成熟， 在数学和物理上，它已有广泛的应用。例如，在数学上，c h e r e d n i k 将d u n k l 理论应用 于分次仿射h e c k e 代数的表示理论【1 5 】在物理上，它在c a l o g e r o - m o s e r - s u t h e r l a n d 型 量子多体可积系统理论中起着核心作用，从而在量子混沌，超导理论，黑洞理论具有 重要应用f 2 0 1 u m b r a l 分析是统一连续与离散的强有力工具它在很多数学分支，例如组合论， 特殊函数论，逼近论，概率统计，拓扑以及物理学中都有重要应用( 参见f 1 3 1 ) u m b r a l 分析可以看作量子力学中h e i s e n b e r g 交换关系【p m 】= i d 的抽象理论其中p 表示 动量算子，m 表示坐标算子 2 第一章绪论 在u m b r a lc l i 肋r d 分析中我们以d 即记动量算子以蟛= j ( 巧。孑+ d 7 孑巧) 记坐标算子，这里 0 ，( 星) = d 即( 巧，( 互) ) 一z j 0 即厂( 互) 是p i n c h e r l e 导数它们满足h e i s e n b e r 分w 宅y l 关系 【o 即。王小= o = 【弓，z ：】，【d z 钥= 妨七i d u m b r a lc 1 i 肋r d 分析是关于u m b r a ld i r a c 算子 的函数理论 当c 乞取为通常的偏微分算子杀时，d 7 就化为通常的d i r a c 算子d 当d 。取为差 分算子时，就得到相应的离散分析理论 在【5 4 】中，r e n 与f a u s t i n o 建立了下列u m b r a l 意义下p o l y m o n o g e n i c 函数的a l m a - n s i 分解定理 定理考虑定义在星形域qcr “上取值在u m b r a lc l i 行o r d 代数c n 中的p o l y m o - n o g e n i c 函数，即它被算子( d 矿零化则存在唯一下列分解 ，= + z ，2 + + ( z ) 七一1 ， 其中厶，j = 1 ，七都是u m b r a lm o n o g e n i c 函数 第四章将推广上述结果，建立关于双曲算子，双曲h e l m h o l t z 算子，d u n k l l a p l a - c e 算子iu i n b r a l h e i m h o l t z 算子的a l m a n s i 分解 我们将研究无限型的a l m a n s i 分解定理，给出级数形式的分解定理，研究的函 数类将从多调和函数扩充到解析函数我们将给出星形域上解析函数的无穷级数 表示，其求和项由波函数给出这是单位球面上平方可积函数关于球调和函数分解 理论的推广无限型a l m a n s i 分解定理中的级数表示由关于双曲算子的n o r m “z e d s y s t e m 给出 我们系统地研究了波算子，d u n k l - l 印l a c e 算子的n o r m a l i z e ds y s t e m 关于给定 算子的n o r m a l i z e ds y s t e m 是由k a r a c h i k 【3 3 】引入的，其目的是为了构造和研究常系数 线性偏微分方程的多项式解 3 踟 勺 n 博 i i d 第一章绪论 设x 是一个函数空间，并且其中的函数都是定义在某个r n 中的域q 的设三1 ， l 2 是两个定义在函数空间x 上的可交换的偏微分算子并且满足l 七xcx ( 七= 1 ，2 ) 定义( 参见定义3 1 1 ) 定义在q 上的( 有序) 函数列 ( z ) i 七o ) 称为，- n o r m a l i z e d s y s t e m 如果在q 上有：三1 如( z ) = ，( z ) 并且l l ( z ) = 三2 ( z ) 一l ( z ) ，对任意七n 关于( l 1 ，工2 ) 的，- n o r m a l i z e ds y s t e m ( z ) 陋o ) 的主要性质是： 是方程l t u ( z ) 一l 2 缸( z ) = ，( z ) 的形式解 一个重要的特例是三2 = j 的情形( ，是恒等算子) ，这时 ( z ) 陋o ) 称为关 于l 1 的，一n o r m a l i z e ds y s t e m 这时 是方程l 1 u ( z ) 一三3 乞( z ) = ，的形式解，其中定义在函数空间x 上的线性算子l 3 与l ，交 换并且也满足l 3 xcx 当以上无穷级数只有有限项或者级数收敛时，以上形式解 就是古典解我们在c l i 任b r d 分析中研究n o r m a l i z e ds y s t e m 所处理的算子将是非交换 的，从而n o r m a l i z e ds y s t e m 的研究领域被推广到非交换领域n o r m a l i z e ds y s t e m 不 仅本身可以有效用于构造方程的非平凡解，它还可以给出无限型a l m a n s i 分解中的 分量函数的具体表达 利用a l m a n s i 分解定理，我们试图研究c l i 舫r d 分析中的p o l y m o n o g e n i c 函数理 论，例如其b e r e z i n 变换理论b e r e z i n 变换在物理上具有重要的应用我们初步的 结果给出了关于m o n o g e n i c 函数的b e r e z i n 变换的恒等逼近性质采用的方法是利 用m 6 b i u s 变换处理c l i 骱r d 分析中复杂的b e r g m a n 核函数( 见第六章) 1 2 本文主要结果 本文主要结果如下： ( a 1 ) 为了建立无限型a l m a i l s i 分解，需要研究了n o r m a l i z e ds y s t e m 我们构造 出了波算子口，d u n k l l a p l a c e 算子l f i 的n o r m a l i z e ds y s t e m 4 脚 = z u z 厶 k 3 l 脚 = zu 第一章绪论 我们定义算子 ，1 以，( z ) ：2 上( 1 一t ) 七一1 t n 7 2 1 ，( t z ) d 屯 七 o 定理a 1 ( 参见定理3 3 8 ) 设u ) 是定义在r n 中的含原点星形域q 上的d u n k l 调和 函数，令 g 一1 ( z ；t 正) = o ， g o ( z ；乱) = 以u ( z ) ， g 如；“) = 而杀面胪“让，忌 1 - ( 1 1 ) 则 g k ( z ；u ) l 七一1 ，后z ) 是d u n 姐l 印1 a c e 算子 的o - n o r m a l i z e ds y s t e m ，即 g 七 = g 七一1 七nu o ) ( a 2 ) 关于d i r a c 算子的n o r m a l i z e ds y s t e m 定理a 2 ( 参见定理3 4 2 ) 设q 为时中的星形域且u ( z ) 被d i r a c 算子d 零化，记z n = 一e l z l 一一e p z p + e 升1 而件1 + + e n z ，i ，令 ( z ) 止m ( z ) ，2 。一 ) = t 上( z ) ， 蒜南咖 4 ”m ! ( m 一1 ) ! “! 吖n 一 ( 一1 ) 一1 2 4 m 一1 ( m 一1 ) ! ( m 1 ) ! z ；一1 厶u ( 1 2 ) 则【厶i m o ，m z ) 为关于算子 的o n o r m a l i z e ds y s t e m ，即d 厶= 厶一1 ，vo 7 n z ( a 3 ) 反交换的n o r m a l i z e ds y s t e m 研究c l i f b d r d 分析中的n o r m a l i z e ds y s t e m ，我们将面临反交换算子关于反交换 算子的的n o r m a l i z e ds y s t e m ，我们得到如下结果 定理a 3 ( 参见定理3 5 2 ) 设 ) 是一1 是关于算子l l 的反交换，- n o 彻q 0 2 i z e ds y s t e m 则方程 有形式解 l 1 u 一三3 口= ， o o u = ( 一1 ) l 七；0 5 第一章绪论 一_ 再令 正1 ( z ) = o ， 兀( z )= u ( z ) ， ( z )= 孟j j 1 ( m ) 2 】让( z ) ， 这里 f 一1 ) f ( k + 1 ) 2 j 吼2 矿寓肃矿丽 此处，我们记z = z l e l + + z n e 仃以及i = z l e l + + 岛，并且定义 ( 1 3 ) =j z l e l 一一z 8 e 5 ， s p ， 却2 i ( 1 4 ) l z l e l 一一z p e p + z 舛1 e 升1 + + z 。e 8 ，s p l 1 = e 1 百= - + + e 3 i 一 d z l 。d z 。 则有以下定理 定理a 4 ( 参见定理3 5 3 ) 设q 是r 叫与一个包含原点的星形域设 乱( z ) c 1 ( q ，c 如，口) ， 并且对固定的参数+ l ，设乱( z ) 是关于变量童的m o n o g e n i c 函数则由( 1 3 ) 式 定义的函数列f 0 ) ) 是。是关于部分d i r a c 算子三1 的反交换的o n o r m a l i z e ds y s t e m ( b ) a i m a n s i 分解定理 我们考察了二次齐次偏微分算子口o = ：1 口t 器( 或者任意二次齐次偏微分算 子) 以及其相伴的h e l m h o l t z 算子 口o a = 口。一a ， 口强= ( 口o ，a ) m 定理b 1 ( 参见定理4 2 5 ) 设q 是r 叫p 包含原点的星形域，入c o ) ，p c 若厂c ”( q ) 满足 口孤，= o 其中m n ，卢是任意一个固定复数则唯一存在被算子口o ，a 零化的函数，0 ，厶1 ， 使得 ，( z ) = ( z ) + 吼 ( z ) + + 叼一1 厶一1 ( 。) ， 比q ( 1 5 ) 6 第一章绪论 并且 ，厶一1 可以具体表示为 ，o = ( ，一c 1 兄p 口o ，a ) ( j c 2 碍口3 ，a ) ( ，一c 仇一1 叼一1 口友1 ) ，( z ) =c 1 口o ，a ( ，一c 2 焉口3 ，a ) ( ，一c 仇一1 叼一1 口友1 ) ，( z ) 厶一2 厶一1 一2 口薮2 ( j 一一1 印一1 口友1 ) ，( z ) 一1 口友1 ，( z ) 其中= 可知反之若，0 ，厶一1 是被口o a 零化的函数，则由( 1 5 ) 式定义的函数 是方程口孤= 0 的解 然后利用分解算子多项式的方法完全解决了多项式算子的a l m a n s i 分解以定 理4 5 3 以及定理4 5 4 为例 定理b 2 ( 参见定理4 5 3 ) 设m 次多项式p ( a ) 有分解 p ( 入) = ( 入一入1 ) m 1 ( a a 2 ) m 2 ( 入一a 七) m 其中儿，t = 1 ，尼是p ( z ) 的所有不同复根，并且它们全不为零又算而( 口o ) 定义 为 p ( 口o ) = ( 口。一a 1 ) m 1 ( 口。一入2 ) m 2 ( 口。一入七) m 现设q 是r n 中包含原点的星形域函数，c ( q ) 在q 中满足p ( 口o ) ，= o ，则对任意 固定复数肛1 ，鲰，存在被口。一九，t = 1 ，七零化的唯一的函数 j ，t = 1 ，七；j i = 0 ，m i 一1 ， 使得 ，= o + 磁。船 诘l = lj = l 定理b 3 ( 参见定理4 5 4 ) 设m 次多项式p ( a ) 有分解 p ( a ) = ( 入一0 ) m o ( a 一入1 ) 仇1 ( a a 2 ) m 2 ( a a 七) m 。 其中o ，九，i = 1 ，危是p ( z ) 的所有不同复根算子p ( 口o ) 定义为 p ( 口o ) = 口o m o ( 口。一a 1 ) m 1 ( 口。一a 2 ) m 2 ( 口。一入七) m 7 第一章绪论 现设q 是r 竹中包含原点的星形域函数厂c ( q ) 在q 中满足p ( 口o ) ，= o ，则对任意 固定复数弘1 ，鲰，存在被口。一九，t = 1 ，七零化的唯一的函数 j ，i = l ，七；歹= 0 ，讹一1 ， 以及被口。零化的唯一的函数如t ， = 0 ，m o l 使得 其中 ；埘：= 萎捌 最后在第七节我们得到了一般实解析函数的a l m a l l s i 分解 定理b 5 ( 参见定理4 6 3 ) 设函数，( z ) 在r n 中的以原点为中心的星形域d 内解析， 则存在被算子口零化的函数u l ，u n 使得，( z ) 具有如下的a 1 m a n s i 分解： ，( z ) 其中为 = g t ( 掣t ) ：氟喜去学z 1 错吣酬地一。届 吣扣坼) + 耋譬咩z 1 皆2 - 1 州 ( 1 7 ) 并且以上两个级数在d 上是绝对并且一直收敛的，因此可以在和号下逐项求微分 ( c ) a l m a i l s i 分解的应用 利用d u n l 【l 多调和函数的a l m a n s i 分解得到了关于d u n k l 多调和函数的l i o u v i l l e 定理 定理c 1 ( 参见定理5 1 2 ) 设s n u o ) ，p n ，并且5 2 0 一1 ) 设，c 2 p ( r n ) 并且z ，= o ，则，是一个次数s 的多项式当且仅当 8 唑等碧【0 m ) 4晖 州皿 。谢 + 七谢 + 尼 瓢0 z 一：l = ， 第一章绪论 进而当s 2 一1 ) 时 ( 1 ) ，是次数 s 的多项式当且仅当 l 钽擎辔碧= o ；r + r 8 十n 一工十z 1 ( 2 ) l 厂是s 次多项式当且仅当 唔簪筹鲁( 0 问) 作为直接推论，r n 中d u n k i 调和的有上界或者有下界的函数必为常数 我们利用a l m a n s i 分解考虑了r i q u i e r 方程的边值问题可将高次微分方程的边值 问题简化为低次的边值问题，大大简化了方程的难度( 参见5 2 节) 这种简化对许多 算子，例如口，_ i 以及d i r a c 算子d 等都是可行的 ( d ) c l i 肋r d 分析中b e r e z i n 变的恒等逼近 记r n 中单位球觋上加权l e b e s g u e 测度 d ( z ) = c 口( 1 一l