（基础数学专业论文）clifford分析中κ正则函数的一些边值问题.pdf

摘要 c l i f f o r d 分析作为单复变函数理论在高维空间的一种推广，研究的是从实变量空间映射到 不可交换的实c l i f f o r d 代数的函数理论，它有非常重要的理论意义和应用价值例如在m a x w e l l 方 程、y a n g m i l l s 场理论以及量子力学等方面都有应用，它已发展成为由研究一个变量到研究多个变 量的函数体系 本文讨论了k 正则函数在有界域和无界域上的一些边值问题，在一定程度上推广了已有的结 果 全文共分为三章，内容安排如下： 第一章叙述了c l i f f o r d 代数、c l i f f o r d 分析的研究现状，给出了c l i f f o r d 代数的基本理论，作为以后 各章节必要的预备知识 第二章讨论了有界域上k 一正则函数的一类线性边值问题a 利用积分方程和压缩不动点原 理证明了其解的存在唯一性，其次，给出了线性边值问题a 的一种解法随后，提出了正则函 数的d i r i c h l e t 边值问题，并得到它的可解条件以及解的积分表达式在此基础之上，k 一调和函数 的d i r i c h l e t 边值问题也被研究，相应地，给出了其可解条件以及解的积分表达式 第三章首先提出了无界域上k 一正则函数带h a s e m a m 势移的边值问题以及无界域上k 。正则函数 带共轭值的边值问题，之后，通过积分方程和压缩不动点原理证明了这两种边值问题解的存在唯一 性 关键词：c l i f f o r d 分析，d i r i c h l e t 边值问题，带共轭值边值问题，带位移边值问题 i a b s t r a c t c l i f f o r da n a l y s i s ，w h i c hi sap r o m o t i o nf r o mc o m p l e xs p a c et oh i g h e rc o m p l e xs p a c e ，i st h e o r yo f f u n c t i o nf r o mr e a lv a r i a b l es p a c et or e a ln o n - c o m m u t a t i v ec l i f f o r da l g e b r a t h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c ea n d a p p l i c a t i o nv a l u ea r ev e r yi m p o r t a n t ，s u c ha sm a x w e l le q u a t i o n ，t h e o r yo fy a n g m i l l sf i e l da n dq u a n t u m m e c h a n i c s c l i f f o r da n a l y s i sh a sd e v e l o p e di n t of u n c t i o ns y s t e mt h a ts t u d i e sf u n c t i o no fo n ev a r i a b l eo r f u n c t i o no fs e v e r a lv a i l a b l e s i nt h i sp a p e r , s o m eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so f 七一r e g u l a rf u n c t i o n so nb o u n d e dd o m a i n so ra n b o u n d e dd o m a i n sa r ed i s c u s s e d a n ds o m er e s u l t sa r eg e n e r a l i z e di nc l i f f o r da n a l y s i s t h i st h e s i sc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s 私f o l l o w s i nc h a p t e r1 ，t h ec l i f f o r da l g e b r aa n dt h er e s e a r c h e dp r e s e n ts i t u a t i o no nc l i f f o r da n a l y s i sa l en a r - r a t e d b e s i d e s ，s o m en e c e s s a r yp r e p a r a t i o nt h a tw i l lb en e e d e di nt h ef o l l o w i n gc h a p t e r sa r ei n t r o d u c e d i nc h a p t e r2 ，b yt h em e t h o do fi n t e g r a le q u a t i o na n dt h ef i x e dp o i n tt h e o r e m ，t h ee x i s t e n c e sa n d u n i q u e n e s so ft h es o l u t i o nt oal i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mao fk - r e g u l a rf u n c t i o n sa l ed i s c u s s e d a ni d e ao fd e a l i n gw i t hb o u n d a r yv a l u ep r o b l e ma 1i sg i v e n f o l l o w l y ，t h ed i r i c h l e tb o u n d a r yv a l u e p r o b l e mf o rk - r e g u l a rf u n c t i o n si sr a i s e d t h e n ，t h es o l v a b l ec o n d i t i o n sa n dt h ei n t e g r a lr e p r e s e n t a t i o no f t h es o l u t i o na r eo b t a i n e d o nt h eb a s i so fa b o v e t h ed i f i c h l e tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o r 后一h a r m o n i c f u n c t i o n si sa l s or e s e a r c h e d c o n s e q u e n t l y , t h es o l v a b l ec o n d i t i o n sa n dt h ei n t e g r a lr e p r e s e n t a t i o no ft h e s o l u t i o na l eg i v e n i nc h a p t e r3 ，t w ok i n d so fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rk - r e g u l a rf u n c t i o n so nt h eu n b o u n d e dd o m a i n sa r em a i n l yd i s c u s s e d f i r s t l y , t h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t hc o n j u g a t ea n dt h eb o u n d a r yv a l u e p r o b l e mw i t hh a s e m a nd i s p l a c e m e n tf o rk - r e g u l a rf u n c t i o n so nu n b o u n d e dd o m a i n sa l er a i s e d t h e n ，b y t h em e t h o do fi n t e g r a le q u a t i o na n dt h ef i x e dp o i n tt h e o r e m ，t h ee x i s t e n c e sa n du n i q u e n e s so ft h es o l u t i o n f o rt w ok i n d so fp r o b l e ma r ep r o v e d k e yw o r d s ：c l i f f o r da n a l y s i s ，d i r i c h l e tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ，t h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t h c o n j u g a t e ，t h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t hd i s p l a c e m e n t 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 了谢意。 研究生签名：时间：加d 年占月弓f 日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论 文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保 存、汇编学位论文。同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的 全部或部分内容。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此协议) 研究生签名： 时间： 加fb 年岁月纠日 导师签名：章拗 时间：加f 。年5 月期日 宁夏大学硕 ：学位论文第一章弓【言 1 1 文献综述 第一章引言弟一早 ji 苗 c l i f f o r d 分析是上个世纪七十年代新兴起的一个活跃的数学分支，它是一种可结合但不可交 换的代数结构主要研究的是从实向量空间到实c l i f f o r d 代数的函数的性质和特点，是高维空间的 分析【1 4o i c l i f f o r d 分析以研究d i r a c 算子的非零解为对象，它是解析函数在高维空间中的推广正如单 复变函数论研究的主体是解析函数一样，多复变函数论的重要分支c l i f f o r d 分析研究的主体是正 则函数，也叫单演函数，其定义于任意维空间，而在c l i f f o r d 代数上赋值，是一类特殊的常系数椭 三舟 圆型齐次线性偏微分方程组的强解，与广义c a u c h y r i e m a n n 算子d 。= ：e i 有关1 9 7 0 年 高i 以来，eb r a c k x1 1 , 2 1 3 1 ，r d e l a n g h e 【4 8 】和es o m m c n 【9 1 2 】在c l i f f o r d 分析方面作了大量的丁作，并 于1 9 8 2 年三人合作出版了第一本c l i f f o r d 分析方面的专著【1 1 该二 5 系统叙述了c l i f f o r d 分析中的基本 理论，其中包括w e i e r s t r a s s 定理、c a u c h y 定理和c a u c h y 积分公式、l i o u v i l l e 定理、l a u r e n t 展开式 和t a y l o r 展式、m o r e r a 定理和p a i n l e v e 原理等 1 9 9 2 年，r d e l a n g h e ，es o m m e n 和vs o u 芒e k 发表了一本c l i f f o r d 代数的专著【7 】该书在多维空 间中的函数理论方面，特别是与d i r a c 算子相关的函数理论方面，做了大量的： 作，这使c l i f f o r d 分 析理论作为一门独立的学科日益发展起来j r y a n 在文献【1 3 】中讨论了c ”空间中的d i r a c 算子的 一些性质d c o n s t a l e s ，r d e a l m e i d a ，r s k r a u b h a r 讨论了d i r a c 算子的解以及c a u c h y r i e m a n n 方 程c l i f f o r d 分析中高阶问题的研究也很活跃，f b r a c k x ，r d e l a n g h e 等在文献【i i 中首次推广复平 面中的解析函数理论到c l i f f o r d 分析中，研究了c l i f f o r d 分析中正则函数的c a u c h y 定理、c a u c h y 公 式以及有关k 一正则函数的齐次多项式h b e g e h r 1 4 】通过迭代的方法得到c l i f f o r d 分析中的高 阶p o m p e i u 公式随后在1 9 9 0 年，曾岳生研究了正则函数的另一种推广形式，即左七单演函数，并得到 了左k 单演函数中的一个积分算子的两个性质所谓左七单演函数，指的是方程d ! ，= 0 的解函 数，其中算子d ：= d 。( d ! - 1 ) 后来杨丕文【1 7 , 1 8 1 ，张忠祥【1 9 】等人研究了左k 一单演函数的性质，并讨 论了相应的某种边值问题 解析函数边值问题是复分析中极为重要的分支之一1 9 8 0 年以后，前苏联学者n i m u s k h e i i s h v i u i 2 0 l ，我国学者路见可【2 1 】等在解析函数边值问题和奇异积分方程方面做了人量的工 作1 9 8 7 年，徐振远在文献【2 2 】中首先研究了c 1 i 肋r d 分析中一个基本r i e m a n n 边值问题随后，黄 沙【2 3 ，2 4 l ，乔玉英【2 5 27 | ，杨丕文【3 0 一3 3 】等研究了c l i f f o r d 分析中正则函数的一系列性质和某些边值问 题1 9 9 7 年，黄沙在文献【2 4 】研究了c l i f f o r d 分析中双正则函数的线性和非线性边值问题2 0 0 1 年，张 忠祥，杜金元在文献0 9 冲研究了c l i f f o r d 分析中正则函数的某些边值问题与奇异积分方程，在一 定程度上推广了徐振远的工作2 0 0 3 年，龚弧方在文献 3 4 1 中研究了r m 中一类r i e m a n n 边值问题 和h i l b e r t 边值问题2 0 0 5 年乔玉英在文献【2 6 】讨论了超正则函数的边值问题同年，黄沙、乔玉英、 闻国椿在实和复c l i f f o r d 分析一书中系统讨论了边值问题和奇异积分方程许多学者在有界 域的c l i f f o r d 边值问题研究中做了大量的上作 3 z - 4 1 】而在实际应用中，许多问题都是在无界域的 情况下提出的，所以在无界域中对c l i f f o r d 分析中相关问题进行讨论是有重要意义的【42 1 1 9 9 7 年， 宁夏大学硕 ：学位论文第一章引苦 k l a u sg u r l e b e c k ，v w e k a h l e r , j o h nr y a nf 4 3 j 引入了修正的c a u c h y 核，使讨论任何补集中含有非空开 集的无界域上的c a u c h y 积分成为可能，并且得剑了一系列结果，这是本文选题的另一个动机 c l i f f o r d 代数的函数理论有非常重要的理论意义和应用价值例如在m a x w e l l 方程、y a n g m i l l s 场理论以及量子力学等都应用过它的一些结论，它已经发展成为由研究一个变量到研究多个 变量的函数体系近年来对照多复分析的结果，如何把单复变函数理论推广到高维空间中去，国内 外已经涌现出一大批学者从事予这方面的研究1 9 8 9 年黄思训在文献 4 4 1 中着重讨论了三维空间上 的c l i f f o r d 代数在力学上的许多重要应用，把平面问题中一些重要结果利用c 1 骱r d 代数这一重要 工具推广到三维或更高维空间中去，从而体现出了c l i f f o r d 代数在弹性力学或流体力学中的重大 应用2 0 0 1 年，eb r a c k ，j s r c h i s h l m 和v s o u 芒e k 三人联合推出了一本介绍c l i f f o r d 分析和应用的论 文专辑【7 j 该二f 5 汇总了多人的研究成果，详尽地阐述了c l i f f o r d 分析的基础知识和应用背景，讨论了 c l i f f o r d 分析在弹性力学( 例如处理m a x w e l l 方程) 、量子力学、工程技术等中的广泛应用，是迄今 为止较为完善的一本关于c l i f f o r d 分析应用的数学专著 1 2 本文的主要工作 本文土要研究c l i f f o r d 分析中k 正则函数的一些边值问题，丰富了k 一正则函数的研究成果，在 定程度上推广了前面的下作，主要的t 作如下： 第二章中，利用压缩不动点原理讨论了k 正则函数的线性边值问题，推广了已有文献的结果此 外，在这一章中，讨论了k 一正则函数、七一调和函数的d i r i c h l e t 边值问题，并给出了其解的积分表达 式，从而推，了，文献【1 7 】的结果 第三章中，在文献 2 7 1 的基础上，讨论了无界域上k 正则函数带h a s e m a n 位移、带共轭值的 边值问题，并通过积分方程和压缩不动点原理给出了解的积分表达式 1 3c l i f f o r d 代数基本理论 设e o ，e l ，e n 为实向量空间r ”+ 1 的一组标准正交基，实c l i f f o r d 代数a 。( 冗) 是以 e o ，e 1 ，e 2 ，e n ，e l e 2 ，e n - l e n ，e l e 2 e n 为基的2 ”维空间上述基底可简化为 e a = e a x e n 2 e 口 ，a = a l ，口，1 ) 1 ，孔 ，1 o r l a n ， 其中e 毋= e o = l 是a 。( r ) 的单位元元素e o ，e l ，e 2 ，e 。满足下列关系 巧2 = 1 ，歹= 0 ，l ，2 ，8 ， 2 = - 1 ，歹= 3 + 1 ，他， e j e k + e k e j = 0 ，j ，k = 1 ，2 ，住，歹k 则a 。( r ) 是一个可结合但不可交换的代数，称为实c l i f f o r d 代数，简称c l i f f o r d 代数对于不同的8 可 以得到不同的偏微分方程在c l i f f o r d 分析的正则方程中，一般令s = 0 由于c l i f f o r d 代数的不可交 2 宁夏人学顾 ：学位论文第一幸引言 换性，则在c l i f f o r d 代数中二项式定理不一定成立下列式子是显然的 vq l ，q 2 a 。( r ) ，q l q 2 = 0 务q 1 = 0 或口2 = 0 例如，设q l2e l + e 2 e 3 ，q 2 = e 2 + e l e 3 ，则q l 0 ，q 2 0 ，但是 q l q 2 = ( e 1 + e 2 e 3 ) ( e 2 + e l e 3 ) = e l e 2 + e y e 3 + e 2 e 3 e 2 + e 2 e 3 e l e 32e l e 2 一e 3 + e 3 + e 2 e 1 = 0 定义r n + 1 = s p a n r 1 ，e l ，e n ) = r o r ”ca 。( 冗) 为仿向量空间，郧+ 1 中的元素z = x 0 + x l e l + + z n e 。= e t , k e k 称为仿向量，其中石。为仿向量的实数部分，称为纯量，记作 k = 0 n s c ( x ) = x 0 ，星= x k e k 为仿向量的向量部分，记作v e c ( x ) = 圣 磨= l 每一个c l i f f o r d 元素口可以唯一分解成8 = fa a e a ，口a r a 给出a n ( 冗) 中的五种常见运算 ( 1 ) 对合运算 ( 2 ) 主对合运算 色= e i ，靠= 一e 。，i = 0 ，l ，礼一1 g ，。 其中川指p 中元素的个数，于是有 显然下列性质成立，即 ( 一1 ) i ”l a 。e ，= l ，1 ，) 晶= e 0 = 1 ，e ：= 一e i ，i = 1 ，2 ，死 r e i e y2 【 e ：e f ， 一e u t e i ， 若i 垡， 若i n v z a n ( r ) 是一个仿向量营e i x e i = ( 1 一n ) i = 0 ( 3 ) 共轭 其中e a = 瓦。酩。一。瓦。，上述可改写为 特别地， 西= a a - 吾a ， a 瓦= ( 一1 ) 驯卅1 ) 口，e ， 砀= e o 21 ，磁= - e i ，i = 1 ，2 ，n 3 宁夏人学硕t 学位论文第一章引言 ( 4 ) 反演 上述可改写为 从而有 ( 5 ) 分解映射 设 n + = 以e 1 ，n ) n l ，e h e 一l e l ，l ，玑 沈 口+ = ( 一1 ) 驯( i l ，i - 1 ) 口渤 e i 。e ，i = 0 ，1 ，扎 口a n + i ( r ) ，口= a a e a ， a a 可写为n = b + c e 。，b ，c a 。( r ) 定义两种映射 或 显然有 p ，q ：a n + 1 ( r ) _ a 竹( r ) ，p a = b ，q a = c p n = n a e a ，q = e 曾 他 n 芒a n e v p 2 = p ，p q = q ，q p = o ， 这里j 为恒等映射 q 2 = 0 ，i = p + q e n va ，b a 。( _ r ) ，则下列性质成立 ( 1 ) - d = ( a t ) + ，( 2 ) ( a b ) 7 = a t 6 ，( 3 ) ( a b ) + = 6 + a + ，( 4 ) a b = 掘，( 5 ) a b = 6 vz = x o + x l e l + + z n e n r ，+ 1 ，贝q ( 1 ) z = 虿= x 0 一x l e l 一一z n e n ，( 2 ) z = z = x 0 + x l e l + - i - z n e n ， ( 3 ) 奎= z 一2 x n e n = z 0 + x l e l + - i - z n 一1 e n 一1 一z n e n ，( 4 ) z e n = e n 奎， ( 5 ) z z = 勖= i z l 2 = z 2 i ，( 6 ) z 2 = z 3 + 2e x o x j e j e 霉 1 = u j 0 1j 2 1 定义a 。僻) 中的模为l u l = ( i u a | 2 ) 砉，所以易知有下列等式成立 4 f 证i = l u l ，i t + v i l u i + i u l ，i t l t ，i j o l u l l , l ， 其中而是一个正常数假定q 是冗”中连通开集，且qcd ，其边界是光滑的l i a p u n o v 曲 面，记q 为+ ，r ”q 为一设日( ，卢) 表示有界h 6 l d e 琏续函数所构成的函数集，其h s i d c r 指数 4 宁夏人学硕 j 学位论文第一章弓i 言 为p ( 0 p 1 ) 对v 日( ，卢) ，定义的模为l i 1 1 卢= c ( 咖，) + 日( ，) ，其中 谢 ) = s 锄u p1 ( 驯棚蚰脚= w s u 。p 。耕l ；2 f t 1 2i 1 一1 7 因此日( ，p ) 构成一个b a n a c h 空l f i ，且有i i , 多l l a = i i 西1 1 p 对于v f ，g h c x ，p ) ，有 i i ，+ g l i b i i f l l 卢+ j i g l l 声，i i g l i b 而1 1 l l , 8 1 1 9 l l 声 ( 1 3 1 ) 记c 7 类函数集合为 = f l f ：d a n ( r ) ，( z ) = a ( z ) e a ，f a ( x ) c r ( d ) 】i ， a 其中r 1 ，d 为a n ) 中非空连通开集 定义算子 石。j = o 南勺， ， 其共轭算子为 拉蕊0 一喜瓦0 勺 显然a 石= 5 0 = a 。+ 1 ，n + 1 ，是n + 1 维l a p l a c e 算子 定义1 1 5 1 若5 f = o , f 殇，如果在d 内适合石，= o 则，称为正则函数；若，砧，k 1 ，若 在d 内满足伊= 石伊一1 = o ，则，称为七正则函数 正则函数是在d i r a c 算子基础上提出来的，它是复变函数中解析函数在高维空间中的推广 形式当正则函数为向量值，即为仿向量函数f ( x ) ：y o ( z ) + ，1 ( z ) e 1 + + 厶( z ) e 。时，向量 ( ( z ) ， ( z ) ，厶( z ) ) 是方程组 的解，这是c a u c h y r i e m a n n 方程在高维e u c l i d e a n 空间的推广 5 z f ) 一 州瓦一，孙一嚣晕施胞一瓢一等型盈 宁夏人学顾 ：学位论文 第一：章c l i f f o r d 分析中有界域卜七正则函数及k 调和函数的边值问题 第二章c l i f f o r d 分析中有界域上庇正则函数及忍调和函数的边 值问题 2 1 尼一正则函数的线性边值问题 引理2 1 1 【1 5 】 ( 南正则函数的表示定理) 若，( z ) 为七正则函数，则七正则函数可表示为 m ) = 而1z p 厶( z ) ， m = o 其中记z = ( x l ，z n ) ，x i 取实值厶p ) ( m = 0 ，1 ，k 一1 ) 是d 内的任意正则函数，其 中d 为冗r t 中非空连通开集，r n 蔓g n 维实向量空间 引理2 1 2 【1 5 】 ( 七一正则函数的c a u c h y 型积分) 记 m ，= 嘉上禹薹斜嵩c 州州一咖n 强亿， 其中咖( 丁) 日( ，a ) ，j = 0 ，1 ，k 一1 ，0 a 1 ，称( z ) 为c a u c h y 型积分，则咖( z ) 在外为七正 则函数 引理2 1 3 ( 1 5 l ( 七一正则函数的p l e m e l j 公式) 设引理中的c a u c h y 型积分在+ ，一相应于的极 限值分另u 为石m + ，石m 一，贝0 卜伊峥瓦2f e 罨t - - z 知- - m - - 1 拱嵩”训州一惦枞 i 石m + 一百”一= 妒仇， m = 0 ，1 ，k 一1 ， ( 2 1 2 ) 其中如前所述这里约定伊+ = + ，务o 一= 一 引理2 1 4 【1 6 】对( ) 日( ，q ) ，则l i k i i a c 1 1 咖1 1 口，这里 ( 酬= 石1 上品嘶m 帕， 其中 t o 。一1 是r ”中单位超球的面积，z ，c 为正常数 定义2 1 1q 是r “中连通开集，qcd ，其中边界是光滑的紧致定向的l i a p u n o v l t 扫面，寻求一 七一正则函数并在上满足以下边值条件 ia o ( ) + ( t ) + b o ( t ) 一( ) = a o ( t ) ， a 1 ( 。) 扫+ ( ) + b l ( 。) 石一( 。) 2 9 l ( 。) ( 2 1 3 ) l i ia 一1 ( ) a 一1 + ( t ) + 仇一1 ( ) 疗k - - 1 一( t ) = g k 一1 ( t ) ， 其中a l ( t ) ，g i ( t ) ( i = 0 ，1 ，k 1 ) 日( ，q ) 的给定函数，t ，称此问题为七一正则函数的线性边 值问题a 下面我们求解问题a 首先我们讨论( 2 1 3 ) 式中的最后一式，即 a k - 1 ( ) 石k - i + ( t ) + b k l ( ) 伊一1 ( t ) = g k 1 ( 0 由引理2 1 3 ，当m = k l l f j ，将k 正则函数的p l e m e l j 公式代入上式得 酬州扣+ 击上品嘶酬 地- 1 ( t ) ( 掣1 + 击上品嘶酬= g k - t ( t ) - 化间得 a k - 1 ( t ) - b 知- i ( t ) 】扣1( t ) 州+ 酗】击上罨m ( 丁脚) 镛m ) 进一步将此式转化为积分方程 ( a 七一1 + 风一1 ) ( 丢饥一1 + k 机一1 ) 一2 风一1 等+ 妒k - 1 - - 鲰一l ( ) 一饥一1 = o ， 或 ( a k 一1 + b 一1 ) ( 丢妒知一1 + k 妒七一1 ) + ( 1 一b k 1 ) 妒七一l 一鲰一1 ( t ) = 妒七一1 不妨令 q 1 f ，知一1 = ( a k - 1 + 仇1 ) ( 圭妒知一1 + k 妒知一1 ) + ( 1 一b 奄一1 ) 妒k 一1 9 一1 ( t ) ， 则 d 移一l = 移k 一1 件 令t = 妒l 妒日( ，n ) ，i m i 。sm ) 表示b a n a c h 空间日( ，q ) 的闭子空间，则讥一1 t 在条 ，7 = 2 - 2 ( 1 + 2 c ) l l a k l + b 七一l i i a + 2 n - - 1 l i t b k l i l q ( o ，1 ) ，i i 鳜一1 l l a m ( 1 一卵) 成立时有 i i q 妒七一1 i i 。s2 , 1 - 2 i i a 七一1 + b k 一1 l i 。( 1 i 妒知一l l l a + 2 c 1 1 砂奄一l l i 口) 十2 n 一1 1 1 1 一口一l l i a i i 妒七一l i l a + 1 1 9 詹一1 l i q 2 n 一2 ( 1 + 2 c ) i i a k 一1 + b 詹一1 1 1 。+ 2 n - t i l l 一仇一l l l 。】m + 1 1 9 知一1 i i a 7 7 m + l l 鲰一1 i i a m 7 宁夏大学硕i j 学位论文第二章c l i f f o r d 分析中自界域i ：七正则函数及k 一调和函数的边值f - i 题 i i 所以q 是由t 到t 自身的映射对任意的蝶一l ，玩一2 t ，则由( 1 3 1 ) 式及引理2 1 4 可得出 i l q 妒i ：一l q 蝶一2 i | q 卵| | 以一l 一娥一。i i 。 因此q 机一1 是b a n a c h 空间t 到自身的压缩映射，所以存在唯一的不动点饥一1 以上讨论了当m = k l 的情形，接下来我们讨论当m 任意时的情形对于边值问题 a m 石m 妒+ ( t ) + j e i m 石m 一( t ) = 9 , n ，m = 0 ，k 一2 ， 由七- 正则函数的p l e m e l j 公式得 a 。( 三+ p c m ) + ( 一丢+ 刚。) = g m ， ( a m + 如) ( 三+ p c 。) + ( 1 一) 矽f i t , 一鲰= ( 2 1 4 ) 令 f ( ”) 妒。= 妒。， = 石1 上 所以( 2 1 4 ) 式变为 藩嘶) 蹁( 7 1 - - x 1 ) k - j - m - 1 。m 十1 令妒。t ，f ( m ) 妒。= 妒。在条件( g ) 叼( ”) ：【2 n - 2 ( 1 + 2 c ) i i a m + b m l i n + 2 n - 1 1 1 1 一曰。l i a 】( o ，1 ) ， 8 厂止击 i | 中 一 其 m 矽 i i 矽 m p 一 ( 1 + m a卜 乞霎 一 m 矽 m b一+ m砂k + m砂 1 2 m 8+ m a 宁夏人学硕l ：学位论文第二章c l i f f o r d 分析中有界域 ：詹一正则函数及k 渊和函数的边值问题 i i ( a 。+ b m ) (p ( i - - m ) 妒i ) 1 1 。m ( 1 一r ( m ) ) 成立时，类似q 讥一1 的讨论有i i f ( m ) 妒m 忆m ，即f ( m ) 是d f l t 至4 j t 自身的映射 对任意的矽乞，坛l 可得 l i f ( m 妒幺一f ( ”妒竺i l 口sr ( ”lj 1 ；f ，名一妒竺j l 。 f ( m ) 砂m 是从b a n a c h 空间t 到自身的压缩映照所以存在唯一的不动点妒m ，这样把求出的砂。代 入( 2 1 1 ) 式就得出问题a 的唯解 定理2 1 1 对于问题a ，只要条件( g ) 成立，则问题a 唯一可解且解可由积分( 2 1 1 ) 式表示 定义2 1 2q 是r n 中连通开集，qcd ，其中边界是光滑的紧致定向的l i a p u n o v 曲面，寻求 - - k 一正则函数( z ) ，并在边界上满足以下边值条件 妒+ ( ) a ( t ) + 一( ) b ( t ) = g l ( t ) ， 石咖+ ( ) a ( t ) + 5 咖一( t ) b ( t ) = 9 2 ( t ) ， 0 k - 1 + ( t ) a ( t ) + 石麾一1 咖一( t ) b ( ) = g k ( t ) ， ( 2 1 5 ) 其中a i ( ) ，g i ( t ) ( i = 0 ，1 ，k 一1 ) h ( e ，a ) 的给定函数，t 称此问题为k 一正则函数的线性边值 问题 ， 下面把问题a 转化为k 一正则函数向量的边值问题来考虑由引理2 1 1 的表达式代入问 题a 中，得 其中 将此式变形为 t ( 差：) a + t ( 薹：) b = ( t = ，对 i ： + i 。 l 维。 0 。 t , 1l x l 2 1 x l 00 南z ： 南z ：t 一1 9 1 ) = ( 。) ， h 一 仇；虮鲰 、liii _ 以 仇； 鲰 g b ：b b a ；a a 对；啦绣 ，f-_-iii-ii-ti、 巨要鲧 亿m ， 小上w n - - 1 上番m 洲m m = 0 ，卜1 ，( 2 1 7 ) 砖= 士知+ 击上高嘶眦m ， 代入( 2 1 5 ) 式得 ( 2 1 - - ( 1 0 m + k 妒m ) a + ( 一三妒。+ k 妒m ) b = 如+ l ，m = o ，后一1 变形得 妒m = ( 昙妒。+ k 妒m ) ( a + b ) + t p m ( 1 一b ) 一9 名+ l ：妒。 令t = 妒l 妒日( ，q ) ，i 川l a m ) 表示b a n a c h 空间日( ，q ) 的闭子空间，妒t 在条件( j ) ( = 【2 ”一2 ( 1 + 2 c ) i i a + b i i a + 2 n - i i l l 一b i i 。】( o ，1 ) ，i i g + 1 i i 。m ( 1 一e ) 成立时有 i i t , l l a m ， 即是由t 到t 自身的映射，对任意的妒，妒象t ，可得 | l 己妒，m 一三妒幺l l 。e l l 妒，m 一妒：n 故l 妒是从b a n a c h 空间t 到自身的压缩映射所以存在唯一的不动点妒m ，代入( 2 1 7 ) 式得妒m ，从而得 到问题a 7 的解 定理2 1 2 对于问题a 7 在条件( j ) - 卜唯一可解 2 2 七一正则函数及k 一调和函数的d i r i c h l e t 边值问题 区域d 内正则泊数的d i r i c h i e t 边值闯题【1 7 】已知妒( z 1 ) ：s - a n ( 冗) ，妒( z 1 ) c ( s ) ，求 咖( z ) ：d - a 。，使咖( z ) 在d 内正则，易上连续且( z 1 ) i z z s = 妒( z 1 ) i o 宁夏人学硕 j 学位论文第二章c l i f f o r d 分析中有界域t ：k 一下则函数及七一调和函数的边值问题 定义2 2 1 设d 是r ”中的有界域，s = o d 为d 之边界其边界满足l i a p u n o v 条件z 1 = ( z 1 ，z n ) ，z 1 s ，令仇= c o s ( u ，瓤) ，( 移，z ) 表示曲面s 上的点z 1 处的外法方向口与x i 轴间的夹 角求d 内的七一正则函数，( z ) 且满足边界条件 ( 2 2 1 ) 其中z 1 g 忱知1 ) ：s _ a 。( 冗) 且协( z 1 ) c 1 ( s ) ，i = 0 ，1 ，七一1 称此问题为七一正则函数的 d i f i c h l e t 边值问题 下面我们讨论七一正则函数d i f i c h l e t 边值问题的可解性 由t - ，( z ) 是七一正则函数，因此伊f ( x ) = 0 ，由引理2 1 1 的表达式代入( 2 2 1 ) 式得 f k l ( z 1 ) = 慨一1 ( x 1 ) ， 一2 ( z 1 ) + = x f k 一1 ( z 1 ) = 妒忌一2 ( z 1 ) ， 七一l r a = 0 而1 z 7 i n ( z 1 ) = 妒。( z 1 ) 由文 1 7 1 中的定理2 ，当满足可解条件 时，我们有 v i e i ) 石妒忌一1 ( z 1 ) = 0 ，z 1 只 1 4 - 1 ( z ) = 五lf s z l z z 1 一z i ” 其中r = i z l 一z i 表示x 1 与z 之间的距离，2 d 当满足可解条件 时，得到 f k - 2 ( z ) = 五1 f s n y i e i ) 石9 9 k 一( z 1 ) d ( s ) j = l v i e ) 否( 妒走一2 ( z 1 ) 一f f l 一l ( z 1 ) ) = 0 ， z 1 s ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) v i e f ) 5 ( 妒4 - 2 ( z 1 ) 一x l 一l ( x 1 ) ) d ( s ) ， z 1 。舅 ( 2 2 5 ) l l 、j、， 1 l z z ，i、，i 1 2 一 一 奄 奄 ， 仰 0 = = 0 0 伽 p ； = ， ) 一 一 z 一 口 一a一，j ，、-l 。汹岛 。甜蓦 。汹番 宁夏人学顾 ：学位论文 第_ 二章c l i f f o r d , ) 析中有界域i ：南正则函数及k 调和函数的边值问题 当满足可解条件 z 1 s ，( 2 2 6 ) 时，我们有 舯) 2 击z 高( p e t ) m 一三k - 1 z 洲) d ( s ) 酣 ( 2 2 7 ) 。r 一 ，l 由上面的讨论，我们可以得以下定理 定理2 2 1当条件( 2 2 2 ) ( 2 2 6 ) 成立时七一正则函数的d i r i c h l e t 边值问题有解，且解为 m ，= 量扣腩 ，( z ) = 者z p 厶( z ) ， ，7 l = ：u 其中 ， ， 一1 为上述中( 2 2 3 ) 一( 2 2 7 ) 的积分表达式 当d = b ( b 为单位球) 时，y i = 1 ，利用以上定理有 推论2 2 1 当下列条件成立时七一正则函数的d i r i c h l e t f u 题有解， 踟p ) 一曼舶p ) ) = 0 定义2 2 2 f 1 8 】 设q 为r ”中的连通开集，0 ) 彬，若，( z ) 满足a 。，( z ) = o ，则称f ( z ) y o r “中的调和函数，其中 小巩巩= 巩巩= 娄螽， 是广义l a p l a c e 算子显然正则函数必为调和函数 定义2 2 3 【1