（基础数学专业论文）perelman的泛函在ricci流中一些新的应用.pdf

摘要 摘要 自从r h a m i l t o n 在1 9 8 2 年发表第一篇关于r i c c i 流的文章 5 4 】以来，这 种方法已经得到广泛流传和迅速发展最近，g p e r e l m a n 取得重大进展，他沿着 r h a m i l t o n 提供的纲领，运用硒c c i 流的方法来证明一百年前提出来的p o i n c a r 6 猜想，以及后来由w t h u r s t o n 提出的更广泛的几何化猜想参见g p e r e l m a n 的三篇文章 8 2 ，8 3 ，8 4 】，以及后来很多重要的对这些文章的补充工作 3 3 ，3 7 ，6 9 ， 7 9 ，9 4 】 g p e r e l m a n 引进了几种泛函来研究r i c c i 流：入和p 泛函以及约化体积y 他分别运用后两种泛函证明了r i c c i 流的局部不塌缩性质，接着对三维r i c c i 流的 b l o w - u p 模型进行了分类，并且得到了大曲率点附近存在“典型邻域”结构，这些 保证了在奇异点操作手术成为可能我们相信g p e r e l m a n 的泛函对高维r i c c i 流的研究也将起到重要作用，在本文中我们尝试对入和p 泛函进行了解 在第二章，我们首先运用g p e r e l m a n 的p 泛函单调公式来刻画有限时间产 生的紧b l o w - u p 空间模型： 定理a 1 0 7 设夕( 芒) ， 0 ，t ) ，是一个闭流形m 上r i c c i 流方程的解， 奇异时间t 0 则称为收缩m c c is o l i t o n 在第二章的剩余部分，我们讨论b a k r y - t ! m e r yr i c c i 曲率的一些几何性质b a k r y - t i m e r yr i c c i 曲率和a 泛函有关系，也是r i c c i 曲率的一种推广形式，其中的 。e i n s t e i n ”度量恰好对应r i c c is o l i o n 我们证明下述定理： 定理b 4 3 】设( 、，夕) 是个完备连通的黎曼流形，满足r i c + h e s s ( ) 0 ， 其中咖c ( m ) 是 ，上的上方有界函数则流形m 等距分解为nxr ，其中 m 是一个完备不含测地直线的黎曼流形，r i 是f 维欧式空间函数咖在趔因子 上是常数 定理c 【4 4 设( j ，夕) 是个完备的收缩r i c c is o l i t o n ，如果夕数量曲率有 界，则具有有限拓扑型 定理c 给出一个光滑流形存在完备收缩r i c c is o l i t o n 的拓扑障碍定理b 是c h e e g e r g r o m o l l 的经典分裂定理 2 禹的一种推广形式有一个直接的推论： i i 蓑要 推论b 【4 4 ，1 0 1 设( ，夕) 是一个连通的闭n 维黎曼流形，满足r i c + h e s s ( 西) 0 对某个西c ( ) 。则( 二1 f 。9 ) 的黎曼覆盖空间存在等距分解a j f 笺 n 刚，其中是闭黎曼流形，r 。是，维欧式空间，z b l ( ，) ，m 的第一个 b e t t i 数西的提升函数在r f 上是常数 如果b l ( m ) = 扎，则( m 9 ) 是平坦环面 在第三章，我们考虑不同曲率条件下规范化p d c c i 流的收敛问题我们首先 推广了r h a m i l t o n 关于三维非奇异解的分类定理【6 3 】一个规范化r i c c i 流的 解称为非奇异的，如果这个解长期存在并且截面曲率保持一致有界 定理d 4 6 】任何一个闭流形m 上的规范化r i c c i 流非奇异解满足下述情 况之一l ( i ) 这个解在c h e e g e r - g r o m o v 意义下塌缩； ( i i ) 这个解沿着一个子列收敛到一个m 上的收缩r i c c is o l i t o n ； ( i i i ) 这个解沿着一个子列收敛到一个a ，上的r i c c i 平坦度量； ( i 、，) 这个解沿着一个子列收敛到一个j ，上的负e i n s t e i n 度量； ( v ) 这个解沿着一个带基点子列，在g r o m o v - h a u s d o f f 意义下收敛到一个负 e i n s t e i n 流形 r h a m i l t o n 的定理对g p e r e l m a n 的工作起到很大的推动作用我们也希 望我们的结果对于高维r i c c i 流的研究能够起作用须要指出的是，r h a m i l t o n 的方法不能用来证明定理d ，我们运用g p e r e l m a n 的泛函来克服其中的困难 当d i m f = 4 时，非奇异解存在拓扑障碍： 推论d 1 【4 6 如果一个闭的四维流形m 上存在非奇异解，则m 满足下述 三种情况之一： ( i ) m 具有正秩的p 结构【2 5 ，2 6 】； ( i i ) m 上具有收缩r i c c is o l i t o n 度量； ( i i i ) m 满足h i t c h i n - t h o r p e 不等式2 x ( m ) 3 v ( m ) l ，其中x ( m ) 和下( m ) 分 别是m 的e u l e r 数和s i g n a t u r e 示性数 推论d 2 【4 6 如果一个闭的四维流形m 上存在非奇异解，则m 的e u l e r 数x ( m ) 0 摘要i i i 如果我们把截面曲率的有界条件放缩到r i c c i 曲率有界，在四维时就有如下 结果： 定理e 【4 7 设m 是一个四维闭流形，9 ( 亡) ，t 0 ，) ，是m 上规范化r i c c i 流的一个解，满足r i c c i 曲率一致有界如果这个解还满足如下条件之一t ( i ) r ( 夕( t ) ) = i n f 兄( 夕( t ) ) 一c 0 一致成立，或者 ( i i ) a ( 夕( t ) ) 0 ，冗( 夕( 亡) ) 一0 并且9 ( 亡) 直径一致有界。 则( m ，9 ( t ) ) 将沿着一个子列收敛到一族具有光滑度量的e i n s t e i no r b i f o l d s ，任意 两个彼此等距，具有有限奇异点 在最后一章，我们讨论收缩r i c c is o l i t o n 的一些几何性质我们在4 2 节证 明它们对应的势函数在流形上平方增长在4 3 节我们证明一个闭的收缩r i c c i s o l i t o n 的体积可以由泛函下方控制根据这个估计，我们在4 4 节建立如下紧 化定理： 定理f ( 定理4 4 1 ) 设( 尥，g k ) 是一族闭的n 维收缩r i c c is o l i t o n s ，满 足尼吼+ h e s s ( a ) = ；肌，并且- u ( g k ) c 和厶“i r m k n 2 d c 对某个 c 。o 一致成立则在c h e e g e r - g r o m o v 意义下，( 疋：鲰) 沿子列收敛到一个具 有有限奇异点的收缩r i c c is o l i t o n ( ，) ，其中鼬是o r b i f o l d 意义下的光滑 度量并且满足收缩m c c is o l i t o n 方程 如果n 是奇数，则圾是光滑流形并且9 七- 厶光滑收敛 根据引理4 1 2 ，闭流形上的泛函与体积相互等价所以，上述紧化定理是 经典的e i n s t e i n 流形紧化定理( 参见定理c 3 】) 的一个自然推广 关键词：r i c c i 流；规范化r i c c i 流；入，p 和泛函；收缩r i c c is 0 1 t o n ；s a k r y - l i m e r yr i c c i 曲率；分裂定理；有限拓扑型；非奇异解；收敛；紧化定理；o r b i f o l d s a b s t r a c t a b s t r a c t n s i n c er h a m i l t o np u b l i s h e dh i sf i r s tp a p e ro nr i c c if l o wi n1 9 8 21 5 4 1 ，t h i s m e t h o dh a sb e c o m ep r o m p t l yk n o w nt om a n yp e o p l ea n dg o ti t sg r e a ta n dr a p i d d e v e l o p m e n t r e c e n t l y , t h em o s ti m p o r t a n tp r o g r e s s i sg p e r e l m a n sa t t a c k o nr e s o l v i n go n eh u n d r e dy e a r sp r o b l e m ( f o l l o w i n gr h a m i l t o n sp r o g r a m ) ：t h e p o i n c a r dc o n j e c t u r e ，a n de v e nt h eg e n e r a 5 z e dg e o m e t r i z a t i o nc o n j e c t u r eb yw t h u r s t o n 【9 2 ，c f g p e r e l m a n sp a p e r s 8 2 ，8 3 ，8 4 】a n ds o m eo ft h e i ri m p o r t a n t c o m p l e m e n t a lw o r k 3 3 ，3 7 ，6 9 ，7 9 ，9 4 g p e r e l m a ni n t r o d u c e ds e v e r a lf u n c t i o n a l si nf 8 2 t os t u d yr i c c if l o w ：t h e 入 a n dpf u n c t i o n a l sa n dt h er e d u c e dv o l u m ev h ea p p l i e dt h el a s tt w of u n c t i o n - a l st op r o v et h el o c a ln o n c o l l a p s i n gp r o p e r t yo far i c c if l o wa n dt h e nc l a s s i f i e d t h eb l o w - u pm o d e l so fat h r e e - d i m e n s i o n a lr i c c if l o wa n do b t m n e d h i s c a n o n i c a l n e i g h b o r h o o d s t r u c t u r ea r o u n dt h el a r g ec u r v a t u r ep o i n t s ，w h i c hm a d eh i mp o s - s i b l et op e r f o r mag e o m e t r i c a ls u r g e r yi na n a l y t i c a lr u l a b l em e a n i n g w eb e s e v e t h a tp e r e l m a n sf u n c t i o n a l ss t i l lp l a yi m p o r t a n tr o l e so ns t u d y i n gh i g h e rd i m e n - s i o n a lr i c c if l o wa n dm a k eat r yt ou n d e r s t a n dt h eaa n dpf u n c t i o n a l si nt h i s t h e s i s i nc h a p t e r2 ，w k ht h eu s eo fg f u n c t i o n a l ，w ef i r s tp r o v et h ef o l l o w i n g b l o w u pl i m i tm o d e ls p a c e ： p e r e l m a n sm o n o t o n i c i t yf o r m u l af o rp c h a r a c t e r i z a t i o nt h e o r e mo fac o m p a c t t h e o r e ma 【1 0 7 l e t9 ( 亡) ，亡【0 ，丁) ，b eam a x i m a ls o l u t i o nt ot h er i c c i f l o we q u a t i o no nac l o s e dm a n i f o l dmw i t hs i n g u l a rt i m et 0 t h er e m a i n d e rp a r t so fc h a p t e r2t a k ei n t oc o n s i d e r a t i o no fs e v e r a lg e o - m e t r i cp r o p e r t i e so fb a k r ) l m e r yr i c c ic u r v a t u r e ，w h i c hr e l a t e sc l o s e l yt ot h e 入 f u n c t i o n a lv i ab o c h n e r - l i c h n e r o x d c zf o r m u l a so naw e i g h t e dm e a s u r es p a c e t h e x - a b s t r a c r n o t i o no f 3 a k r ) 一e m e d r i c c it e n s o ri sag e n e r a l i z a t i o no fp d c c ic u r v a t u r e ，s u c h t h a tt h ec o r r e s p o n d i n g e i n s t e i nm e t r i c s t h e r ea r ee x a c t l yr i c c is o l i t o n s w e p r o v et h ef o l l o w i n gt h e o r e m s ： t h e o r e mb 【4 3 】l e t ( 旭g ) b eac o m p l e t ec o n n e c t e dr i e m a n n i a nm a n i f o l d w i t hr i c + h e s s ( 咖) 0f o rs o m e c ( m ) b o u n d e da b o v eo nm t h e nt h e m a n i f o l ds p l i t si s o m e t r i c a l l ) a snxr w h e r eni ss o m ec o m p l e t er i e m a n n i a n m a n i f o l d 瓢- i t h o u tl i n e sa n dr 7i st h e - e u c l i d e a ns p a c e f u r t h e r m o r e t h ef u n c t i o n 西i sc o n s t a n to ne a c hr 2i nt h i ss p l i t t i n g t h e o r e mc 【4 4 】s u p p o s e ( m g ) i sac o m p l e t es h r i n k i n gr i c c is 0 1 t o n i f t h es c a l a rc u r v a t u r eri sb o u n d e d ，t h e nmh a sf i n i t et o p o l o g i c a lt y p e t h e o r e mcs e t su po n et o p o l o g i c a lo b s t r u c t i o nt ot h ee x i s t e n c eo fas h r i n k i n g r i c c is o l i t o nm e t r i co nas m o o t hm a n i f o l d t h e o r e mbi sag e n e r a l i z a t i o no f c h e e g e r - g r o m o l l sc l a s s i c a ls p l i t t i n gt h e o r e mo fn o n n e g a t i v er i c c ic u r v a t u r e 2 4 i th a so n ei m m e 出a t ec o r r o l a d ： c o r o l l a r yb - 【4 4 ，1 0 1 l e t ( 3 1 g ) b eac l o s e dc o n n e c t e dr i e m a n n i a n 扎一 m a n i m d 订t hr i c + h e s s ( d p ) 20f o rs o m e 咖c ( a 夕) t h e nw eh a v ea ni s o m e t r i c d e c o m p o s i t i o nf o ri t su n i v e r s a lr i e m a n n i a nc o v e r i n gs p a c e ：m 竺n r 2 w h e r e ni sac l o s e dm a n i f o l d 。剐i st h e - e u c l i d e a ns p a c ea n dl b l ( m ) ，t h ef i r s tb e t t i n u m b e ro fm f u r t h e r m o r e ? t h el i f t i n gf u n c t i o no f ，s a y ，i sc o n s t a n to ne a c h r l f a c t o r i f 6 1 ( m ) = n t h e n ( m g ) i st h ef i a t 礼一t o r u s c h a p t e r3d e a l sw i t hs e v e r a lc o n v e r g e n c ep r o b l e m so fan o r m a l i z e dr i c c if l o w u n d e rd i f f e r e n tc u r v a t u r ec o n d i t i o n s w e 缸s te x t e n dr h a m i l t o n sc l a s s i f i c a t i o n o ft h r e e - d i m e n s i o n a ln o n - s i n g u l a rs o l u t i o n s 6 3 】t oa n yd i m e n s i o n a lc a s e r e c a l l t h a tan o r m a l i z e dr i c c if l o ws o l u t i o ni sc a l l e dn o n s i n g u l a ri ft h ef l o we x i s t sf o r a l lt i m ea n dt h es e c t i o n a lc u r v a t u r ei su n i f o r m l yb o u n d e d t h e o r e md 【4 6 】a n yn o n - s i n g u l a rs o l u t i o nt ot h en o r m a l i z e dr i c c if l o w e q u a t i o no nac l o s e dm a n i f o l dm d o e so n eo ft h ef o l l o w i n gt h i n g s ： ( i ) t h es o l u t i o nc o l l a p s e si nt h ec h e e g e r - g r o m o vs e n s e ； ( i i ) t h es o l u t i o nc o n v e r g e sa l o n gas u b s e q u e n c et oas h r i n k i n gr i c c is o l i t o ns o l u t i o n o nm ： a b s t r a c t ( i i i ) t h es o l u t i o nc o n v e r g e sa l o n gas u b s e q u e n c et oar i c c if l a tm e t r i co nm ； i ( i v ) t h es o l u t i o nc o n v e r g e sa l o n gas u b s e q u e n c et oan e g a t i v ee i n s t e i nm e t r i co n m ： ( v ) t h es o l u t i o nc o n v e r g e sa l o n gap o i n t e ds u b s e q u e n c et oac o m p l e t en o n - c o m p a c t n e g a t i v ee i n s t e i nm a n i f o l di nt h ep o i n t e dg r o m o v - h a n s d o f fs e n s e r h a m i l t o n sc l a s s i f i c a t i o na r g u m e n t 6 3 】f i n d si t se f f e c ti ng p e r e l m a n s w o r k 8 3 w eh o p et h a to u rr e s u l ti ss t i l lu s e f u lw h e no n ed i s c u s s e sh i g h e rd i - m e n s i o n a lp d c c if l o w i td e s e r v e st op o i n to u tt h a tr h a m i l t o n sp r o o fc o u l d n o tb eu s e dd i r e c t l yt oo b t a i ns u c hg e n e r a l i z a t i o n w eu s ep e r e l m a n 8 入a n dp f u n c t i o n a l st os o l v et h ep r o b l e m v 旷h e nd i mm = 4 ，o n ei n t e r e s t i n gp h e n o m e n ao c c u r s ： c o r o l l a r yd1 4 6 i fac l o s e d4 - m a n i f o l dm a d m i t san o n s i n g - u l a rs o l u t i o n ， t h e nms a t i s f i e so n eo ft h ef o l l o w i n gt h r e ec o n d i t i o n s ： ma d m i t sa nf - s t r u c t u r eo fp o s i t i v er a n k ，i nt h es e n s eo f 2 5 2 6 ； ( i i ) ma d m i t sas h r i n k i n gr i c c is o l i t o n ； ( i i i ) ms a t i s f i e st h eh i t c h i n - t h o r p ei n e q u a l i t y2 x ( m ) 3 l7 - ( a 驯，w h e r ex ( m ) a n dr ( m ) d e n o t et h ee u l e rn u m b e ra n ds i g n a t u r ec h a r a c t e r i s t i cn u m b e ro f m r e s p e c t i v e l y c o r o l l a r yd 2 【4 6 i fac l o s e d4 - m a n i f o l dm a d m i t sa n o n - s i n g n 2 1 a rs o l u t i o n ， t h e nmh a sn o n n e g a t i v ee u l e rn u m b e rx ( m ) 0 i ft h eb o u n d e d n e s so fs e c t i o n a lc u r v a t u r ei sr e l a x e dt ob et h eb o u n d e d n e s so f r i c c ic u r v a t u r e ，t h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l to n4 - m a n i f o l d si s t h e o r e m e 4 7 l e tm b eas m o o t hc l o s e d4 - m a n i f o l da n d9 ( 亡) ，t 0 ) ， b eas o l u t i o nt ot h en o r m a l i z e dr i c c if l o ww i t hu n i f o r m l yb o u n d e dr i c c ic u n ? a t u r e t h e nt h ef l o ww i l lc o n v e r g ea l o n gas u b s e q u e n c et oaf a 皿l yo fe i n s t e i no r b i f o l d s ， w h i c ha r eh o m e o m o r p h i ct oe a c ho t h e ra n dh a v es m o o t hm e t r i c si nt h eo r b i f o l d s e n s e i fo n eo ft h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sh o l d s ： ( i ) r 。( g ) = i n f 只( 夕( t ) ) s c 0u n i f o r m l y ： v i i ia b s r r a c t ( i i ) 入( 9 ( t ) ) 0f o ra l lt i m eb u t 直( 亡) 一0a st _ 。，a n dt h ed i a m e t e r so f 夕( t ) a i eu n i f o r m l yb o u n d e d i nt h el a s tc h a p t e r ，w ed i s c u s ss o m eg e o m e t r i ca s p e c t so fs h r i n k i n gr i c c i s o i t o n sa s s o c i a t e dw i t , hn o r n r a i i z e dp o t e n t i a lf u n c t i o n s w ep r o v et h a tt h ep o s e n t i a lf u n c t i o n sh a v eq u a d r a t i c a lg r o w t h 4 4 】i ns e c t i o n4 2 ，a n di ns e c t i o n4 3 ，w e s h o wt h a tt h ev o l u m eo fac l o s e ds h r i n k i n gp d c c is o h t o nc a na l w a y sb eb o u n d e d f r o mb e l o wb 7i t spf u n c t i o n a l u s i n gt h i se s t i m a t e ：w ee s t a b h s hi ns e c t i o n4 4 t h ef o l l o w i n gc o m p a c t n e s st h e o r e m ： t h e o r e mf ( t h e o r e m4 4 1 ) l e t ( 尥，g k ) b eas e q u e n c eo fc l o s e d 礼- d i m e n s i o n a ls h r i n k i n gr i c c is o l i t o n ss a t i s f y i n gr i c k + h e s s ( f k ) = ；肌：s u c ht h a t 一( 9 七) ca n df m kf r r n k l 2 d v g k cf o rs o m ec o n s t a n tc i n d e p e n d e n to f k t h e nt h es o l i t o n sc o n v e r g ea l o n gas u b s e q u e n c et oa c o m p a c to r b i f o l dw i t hf i n i t e s i n g u l a r i t i e s ( ，) ，i nt h ec h e e g e r - g r o m o vs e n s e t h eh m i ts p a c e ( g o 。) s a t i s f i e sas h r i n k i n gr i c c is o l i t o ne q u a t i o ni nt h eo r b i f o l ds e n s e i fi na d d i t i o n 靠a r eo fo d dd i m e n s i o n a l ! t h e n 坫i sas m o o t hm a n i f o l da n d t h ec o n v e r g e n c ei ss m o o t h n o t et h a to nac l o s e de i n s t e i nm a n i f o l d t h el ，f u n c t i o n a li se q u i v a l e n tt o i t sv o l u m e ，c f l e m m a4 1 2 t h e r e f o r e ，t h ea b o v ec o m p a c t n e s st h e o r e mf o r s h r i n k i n gp d c c is o h t o n se x a c t l yg e n e r a l i z e st h ec o m p a c t n e s sr e s u l t o fe i n s t e i n c a s e ( c f t h e o r e mco f 【3 ) k e y w o r d s ：r i c c if l o w ；n o r m a l i z e dr i c c if l o w ；入，pa n d f u n c t i o n a l s ；s h r i n k - i n gr i c c is o l i t o n ；b a k r y e m e r yr i c c ic u r v a t u r e ；s p l i t t i n gt h e o r e m ；f i n i t et o p o l o g - i c a lt 3 - p e ；n o n - s i n g u l a rs o l u t i o n ；c o n v e r g e n c e ；c o m p a c t n e s st h e o r e m ；o r b i f o l d s 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本：学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：狂振孛 加。扩 年，月才日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 内部5 年( 最长5 年，可少于5 年) 秘密1 0 年( 最长1 0 年，可少于l o 年) 机密2 0 年( 最长2 0 年，可少于2 0 年) 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均己在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名： 年月日 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n 1 1r i c c if l o w ：a i lo v e r v i e w i n1 9 8 2 ，r h a m i l t o np u b l i s h e dt h ef i r s tp a p e ro nr i c c if l o w 【5 4 】a n di n t r o d u c e d o n en e wi d e at od e t e r m i n eab e t t e rm e t r i co i laf i x e dp d e m a n n i a nm a n i f o l d s i n c e t h e n ，h i sm e t h o dh a sb e e np r o v e dt ob av e r ye f f e c t i v et os t u d yr i e m a n n i a ng e - o m e t r y e s p e c i a l l yi nt h r e e d i m e n s i o n a lc a s e ，w h e r et h et o p o l o 尉 o fam a n i f o l d i sc l o s e l yr e l a t e dt oi t sg e o m e t r yb yt h ew o r ko fw t h u r s t o n ，h a m i l t o np o s e d o n ep r o g a mt os o l v et h eo n e h u n d r e dy e a rp r o b l e m ：t h ep o i n c 商r ec o n j e c t u r ea n d t h eg e n e r a l i z e dt h u r s t o nc o n j e c t u r e f o l l o w i n gh a m i l t o n sp r o g r a m ，g p e r e l m a nr e c e n t l ys o l v e dt h e s ec o n j e c t u r e s 8 2 8 3 8 4 b e s i d e st h i s ，r i c c if l o wh a s b e e nu s e dt os o l v es e v e r a lo t h e ri m p o r t a n tp r o b l e m s ，s u c ha san e wp r o o fo ft h e u n i f o r m i z a t i o no fp d e m a n n i a ns u r f a c e s 【2 8 ，5 6 ，3 2 ，t h ec l a s s i f i c a t i o no fm a n i f o l d s w i t hp o s i t i v ec u r v a t u r eo p e r a t o r ( 1 5 ，a n dt h e - p i n c h i n gt h e o r e m 1 4 ：e t c 1 1 1 l o n gt i m ee x i s t e n c eo fa s o l u t i o n b a s i c a l l y , r i c c if l o we q u a t i o ni san o n l i n e a rd e g e n e r a t e dh e a tt y p ee q u a t i o n i t e v o l v e st h er i e m a n n i a nm e t r i c sa l o n gt h ed i r e c t i o no ft h er i c c it e n s o r ： 晏m ) 一2 威c ( 卵) ) ( 1 1 ) c o n s i d e rs u c ha ne q u a t i o no nac l o s e ds m o o t hm a n i f o l dm t h e nt h ed i f f e o m o r - p h i s mg t o u pd i t t ( m ) g i v e st h ew h o l es y m m e t r yg r o u po ft h i se q u a t i o n 3 1 】a n d a f t e rf i x i n go n eg a u g e ( d e t u r c k st r i c k 4 0 1 ) ，t h ee q u a t i o ni se q u i v a l e n tt oas t r i c t l y p a r a b o l i cn o n , i l e a le q u a t i o na n dt h e nt h es h o r tt i m ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o nt o 2似p 珊l 豫0 du c z r o - 、 t h i se q u a t i o nf o l l o w s a sf o rt h el o n gt i m eb e h a , d o r 。h a m i l t o np r o v e di n1 5 4 】t h e f o l l o w i n g ： t h e o r e m1 1 1 ：5 4 ，4 0 ? 6 0 ：l e t ( 、j f 9 ) b eac 姚甜r i e m a n n i a nm a l l 洳l d ? t h e n t h e r ei sat i m e0 t + xs u c ht h a te q u a t i o n ( 1 1 ) w i t hi n i t i a ld a t ag ( o ) = 9 h a s 口u n i q u es o l u t i o no nt h et i m ei n t e r v a l 【0 ，丁) 巧t t h e nt h ec u r v a t u r e b l o u k u p sa tt i nt h ew h o l ep a p e r ? tw i l ld e n o t et h em a x i m a lt