（基础数学专业论文）k次fibonacci数列的若干问题研究.pdf

产 一 酗 ； 穆 a b s t r a c t i u ll l ll ll l l ll l lli il ll 17 4 4 7 9 7 i nt h i st h e s i s ，t h el o w e r p o w e r ( 七s3 ) f i b o n a c c il i n e a ri d e n t i t yi sp o p u l a r i z e dt ok - p o w e r o n e s ，s oi ti ss u c e s s f u lt os o l v et h ep r o b l e m so nt h er a n ko fk p o w e rf i b o n a c c im a t r i xa n d k p o w e rf i b o n a c c im a t r i xd e t e r m i n eb yt h em e t h o da b o v e ，a n dw ea l s og e tt w oi n f e r e n c e s t h e s er e s u l t sc a l lb ep o p u l a r i z e df u r t h e ri nt h eg e n e r a lf i b o n a c c is e q u e n c e ，a n dw ea l s og e t t h es i m i l a rr e s u l t t h i st h e s i sc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，t h er e v e l a n tp r e p a r e dk n o w l e d g e sa r eg i v e nt op r o v e st h ek - p o w e rc o n t i n u o u s k + 2f i b o n a c c in u m b e r sh a v el i n e a rr e l a t i o n s h i pa n dt h ec o n c r e t el i n e a ri d e n t i t ya r ea l s o p r o v e d i nc h a p t e r2 ，t h ek p o w e rf i b o n a c c im a t r i x sd e f i n i t i o ni sg i v e nt op r o v e st h ek p o w e r f i b o n a c c im a t r i xr a n ki sk + 1 ，w h e nt n ，r k + 1 , s om e t h o d d e f e i n et h ek - p o w e rf i b o n a c c i m a t r i xd e t e r m i n e ，a n dp r o v e st h ek - p o w e rf i b o n a c c im a t r i xd e t e r m i n e 口 ，n ，r ) 一0w h e n t k + 2 ，s o w eg e tt w oi n f e r e n c e s f i n a l l y ，i nc h a p t e r3 ，t h er e s u l t sf r o mt h ea b o v et w oc h a p t e r si sp o p u l a r i z e di n ak i n do f g e n e r a lf i b o n a c c is e q u e n c e ，a n d w ea l s og e tt h es i m i l a rr e s u l t k e y w o r d s ：f i b o n a c c is e q u e n c e ，m a t r i x ，d e t e r m i n e ，r a n k ，i d e n t i t y 2 奴! j 务 _ 中文文摘 从f i b o n a c c i 数列发现到现在，有关f i b o n a c c i 数的恒等式是一个非常深入和久远的 问题，近些年来，对这个问题的研究仍然非常活跃，尤其是对广义的f i b o n a c c i 数的恒等 式的研究，使其得到了很大的发展 有关f i b o n a c c i 数的恒等式的研究结果有很多，它作为f i b o n a c c i 数列研究一个基础， 在f i b o n a c c i 数列中占有着十分重要地位，利用f i b o n a c c i 数的恒等式来解决其它问题， 越来越受到国内外许多学者的关注 本论文将低次 s3 ) f i b o n a c c i 数的线性恒等式推广到k 次( k 为任意的正整数) 的 f i b o n a c c i 数的线性恒等式，利用它们成功解决k 次f i b o n a c c i 矩阵的秩及k 次f i b o n a c c i 矩阵行列式的问题，并得到两个推论进一步把这些结果推广到广义f i b o n a c c i 数列，推 出了k 次的广义f i b o n a c c i 数的线性恒等式，借助该线性恒等式，解决了k 次广义 f i b o n a c c i 矩阵的秩及k 次广义f i b o n a c c i 矩阵行列式的问题 本论文共分3 章 第l 章的1 1 介绍有关的矩阵和行列式一些预备知识 定义1 1 1 k 次f i b o n a c c i 数列： 设f o o ，e 一1 ，且。一只+ 。，称为f i b o n a c c i 数列，记为 e ，其中c 称为 f i b o n a c c i 数， 只j 二。称为k 次f i b o n a c c i 数列，其中e 称为k 次f i b o n a c c i 数，特别 k = l 时，即为 e 引理1 1 2n 级行列式的性质： ( 1 ) 对换行列式的两行( 列) 的位置，行列式的值反号； ( 2 ) 把行列式的一行( 列) 的倍数加到另一行( 列) ，行列式的值不变； ( 3 ) 行列式某行( 列) 有公因子可以提到行列式外面 引理1 1 3 t 4 1 1 ( 1 ) 矩阵的初等行( 列) 变换不改变矩阵的秩；j ， ( 2 ) 一矩阵的秩是r 的充分必要条件为矩阵中至少有一个r 阶子式不为零，且所有 的r + l 阶子式( 如果有的话) 都为零； ( 3 ) 矩阵方程a x b 有惟一解的充要条件为r a n k 似) = r a n k ( a ) = n ，其中x 为n 维 列向量，a 表示肌，l 阶系数矩阵，a 一；口) 表示，l o + 1 ) 阶增广矩； ( 4 ) 克莱姆法则( c r a m e r ) 设线性方程为 口l + 口1 2 而+ + 口1 一t6 l 口2 气+ 口2 2 x 2 + + 口2 j i t6 2 ： 口 l 五+ a n 2 x 2 + + 口 - - 6 3 ， 若线性方程的系数行列式。0 ，则此方程组有惟一解x 一( 告，台，告) r ，j 妻e pd j 是用 常向量b 一 ，r 取代的第j 列所得到的行列式，其中 =，2，n,b2 b n ) d j 1 引理1 1 4 【2 5 1 只+ k 一晟一1 只+ 丘c + l ( k = 1 ，2 ，) 在1 2 中，证明了k 次f i b o n a c c i 数列中连续k + 2 个数存在着线性关系并推出线 性恒等式，为第2 章解决k 次f i b o n a c c i 矩阵秩打下了基础 引理1 2 1 ( 1 ) 对于连续的3 个数，有 e - e + ：一e ； ( 2 ) 对于连续的4 个数，有砰t2 露。+ 2 c ：一砭，： ( 3 ) 对于连续的5 个数，有砰一一3 日。+ 6 f m 3 + 3 c ，一e ； ( 4 ) 对于连续的6 个数，有砰= 5 呓。+ 1 5 碟：- l s f , ：，- 5 砭+ 碟，； ( 5 ) 对于连续的7 个数，有c 一一8 c 。+ 4 0 f ：+ ：+ 6 0 c ，一4 0 一8 ，+ f 州5 ； ( 6 ) 对于连续的8 个数，有 矸= 1 3 f i l + 1 0 4 f z + 2 - 2 6 0 f f + 3 - 2 6 0 f z 4 + 1 0 4 f ：+ 5 + 1 3 哎6 一砭7 推论1 2 2 ( 1 ) 若令只。一e e ， 则引理1 2 1 成立 ( 2 ) 若令l e 一只。，则引理1 2 1 成立 引理1 2 3 若k 一1 阶方阵 且以一 f ：f ：三。f ：t f ：f kf ：i f 。 。f i t f 3 最一。硭。3 互一：砧3 e g 。3 互霹。3 、f ：4f ： 。 f ：qf i 以 ，贝i j r a n k ( b t 1 ) 一七- 1 定理1 2 4 对k 次f i b o n a c c i 数列 c ) 二，中连续的k + 2 个数巧，1 ，- 砭，( 1 ) 必存在 惟一的k + 1 个实数口。，4 ：，口t ，q + l ，使碟州+ 口，e 。+ 口：f m t _ + + 口。或。+ q + f 。t = 0 ，( 2 ) 且其 中口，t(一1)f孚1糕，(j=1，2，七)，口m=(一1)【等l， + 【x 1 表示取不超过x 的最大整 数 推论1 2 5 ( 1 ) 口- 一e + 。；( 2 ) 口r 1 一一口口箩“；( 3 ) 口龆= ( 一1 ) l2 。最+ 。； ( 4 ) 口路= ( - 0 21 ( k = 1 ，2 ) 1 3 给出k 次f i b o n a c c i 数列中连续k + 2 个数线性关系的算法程序 1 3 1 线性关系计算公式算法 计算礤m + 口。e 。+ n ：礤+ + 口。碟。+ q 。ct 0 4 的系数口j _ ( 一1 ) t 芋1 糕， ( | 奄1 ，2 七) , a t 1m ( - 1 ) 等1 的算法如下： 1 定义一个长度为1 0 0 的数组： 2 定义三个系数变量； 3 定义两个临时变量； 4 根据c + 2 一只+ i + 只，生成一个1 0 0 个数字的f i b o n a c c i 数列； 5 指定f i b o n a c c i 数列的第一位； 6 指定f i b o n a c c i 数列的第二位； 7 获得输入框中输入的k ，j 两个系数的值； 8 初始化两个中间变量； 9 算出e e 最小。，存在临时变量t m p l 中； 1 0 算出最+ 。丘e + 。，存在临时变量t m p 2 中； 1 1 最终根据公式口，一( 一1 ) i 等1 暑芝兰鲁，。算出系数a t 的值； 1 2 显示结果 1 3 2 线性关系计算公式算法程序 f i ：a r r a y 1 1 0 0 o fi n t e g e r ；i ：i n t e g e r ： k ，j ，a ：i n t e g e r ；t m p l ，t m p 2 ：i n t e g e r ：b e g i n f i 1 ：= 1 ：f i 2 ：= 1 ：f o ri ：= 3t o1 0 0d o b e g i n f i i ：= f i i 1 + f i i - 2 ： e n d ； k ：= s t r t o i n t ( e d t l t e x t ) ： j ：= s t r t o i n t ( e d t 2 t e x t ) ： t m p l ：= 1 ： t m p 2 ：= 1 ： f o ri ：= j + lt ok + ld ot m p l ：= f i i * t m p l ： f o ri ：= 1t ok - j + ld ot m p 2 ：= f i i * t m p 2 ： a ：= r o u n d ( i n t p o w e r ( 一l ，t r u n c ( ( j + 1 ) 2 ) ) ) 木( t m p ld i vt m p 2 ) ； l b l r e s u l t c a p t i o n ：= i n t t o s t r ( a ) ： e n d 在第2 章中，2 1 给出k 次f i b o n a c c i 矩阵的定义 定义2 1 1 由连续的m xr 个f i b o n a c c i 数的k 次方所组成的m 行r 列矩阵， f k n + i f k 一_ + ，l 礤( “) 川 f 1n * 2 f i l _ r 2 ( 川p + ： 称为k 次f i b o n a c c i 矩阵，记为以x ， 在2 2 中讨论k 次f i b o n a c c i 矩阵的秩 引理2 2 1 t 冽( c a s s i n i 公式) 对于f i b o n a c c i 数列 e ，有 ( 1 ) e + 。e 一，一c c 一( 一1 ) 。，n - - 0 ，1 ，2 ，3 ； ( 2 ) 只c + ，一e + e 。( 一1 ) ”1 c 一( 厂乏m ) ； ( 3 ) e c + ，一e 一。只= ( 一1 ) ”“ff 。( n 苫m ) 引理2 2 2 1 3 8 1 ( 1 ) 当r ，m 2 时，矩阵4 。，的秩为2 ； ( 2 ) 当r ，m 3 时，矩阵名。的秩为3 ； ( 3 ) 当r ，m 4 时，矩阵鬈。的秩为4 命题2 2 3 当r ，m 5 时，矩阵。的秩为5 定理2 2 4设鬈。，一 砭。 f k 一，+ l 礤( 一咖“ f t 一1 + 2 f t a , r + 2 f i 、 1 _ + ( 一一1 ) ，2 阳以七o 。，) 一k + 1 2 3 给出k 次f i b o n a c c i 矩阵行列式的定义 定义2 3 1k 次f i b o n a c c i 矩阵以。，中的一个t 阶子式 f ：岍f ：岍h f ：吣吨 f ：。廿f ：“，h f ：“，1 f ：。p 。kf ：。p 。j t f ：。v 1 称为k 次f i b o n a c c i 矩阵行列式，记为口 ，咒，) ， 即d f ，l ，厂) 。 f t 1 h + 驴+ 矗 f i 1 n + i 2 r + j 2 f k 一+ ，+ 五 2 4k 次f i b o n a c c i 矩阵行列式 定理2 4 1 若t2 七+ 2 ，贝0 ， 当，- ，m 芑k + 1 时， ，其中七，l ，厂，j 0e z + ，h ，d = 1 ，2 t 6 吒如如 一 一 赡如如 一 一 一斗 + + + 驴 驴 驴 礤砹礤 “ “ “ 驴 驴 一 驴 舻胜 胜 d f ( 七，栉，r ) = f k + 驴+ f t 1 + 屯，+ f k 一 + 驴+ 厶 f t 1n + 廿+ 厶 f il 上 + ，+ 五l f i + 妒+ l ；0 tf ：岍h f 0 吨 推论2 4 2 若f 芑七+ 2 ，贝0d f ( 七，l ，t ) 推论2 4 3 若t 七+ 2 ，贝0d f ( 七，以，1 ) - f i 1 n + l f k n 4 t + l f t 1 + ( f o t + l f ：。t 砹丑 哎。： 一o f ：“f ：。nf ：。n 或( f + ，) ，礤( m ) ，礤2 t f 礤f ( “m 硭( ( “) l 例已2 一0 在第3 章中我们把在第1 章、第2 章得到这些结果在其中的一种广义f i b o n a c c i 数 列中进一步推广，推出了k 次的广义f i b o n a c c i 数的线性恒等式，借助该线性恒等式解 决了k 次广义f i b o n a c c i 矩阵的秩及k 次广义f i b o n a c c i 矩阵行列式的问题 3 1 广义f i b o n a c c i 数列的定义 定义3 1 1 对任实数a ，b ( a , b 都不为0 ) ，满足c + ，一a f + 峨掣矗一0 ，e 一1 ，称数列 e ， 为广义f i b o n a c c i 数列，其通项公式为( 见文 2 8 2 9 ) ： f n 志 “一“) ，其中口；t a + q 乒a 2 + 4 b ，；t - a i u + + 4 b ， 其中只称为广义 f i b o n a c c i 数， e 。称为k 次广义f i b o n a c c i 数列，其中c 称为k 次广义f i b o n a c c i ij - - 1 一 数，特别k = l 时即为广义f i b o n a c c i 数列 c ) ， 3 2 广义f i b o n a c c i 数列的性质 命题3 2 1e + k = 丘c + l + 峨。只( k = l ，2 ，) 引理3 2 2 ( 1 ) 碌。一口3 砰一6 3 只3 一lt 勋6 c + ，e e 。； ( 2 ) 碟2 一( n 2 + 6 ) 3 碍一a 3 b 3 砰，- 3 a b ( a 2 + 6 ) e + 2 e e l ； ( 3 ) 对连续的四个f 数，有 f 柑2 - ( a 2 + 6 ) 磉2 一( a 2 b + 6 2 ) 露l 一- b 3 e 2 ； ( 4 ) 对连续的五个f 数，有 砭i - a ( a 2 + 幼) 碌3 一( 口4 + 3 口2 b + 拍2 ) 6 砹2 + a b 3 ( 口2 + 劲) 碟l 一一6 6 砰 7 2 以 吵砭毫 q 引理3 3 1 设k - 1 阶方阵 甄。 f k - 2 t 一1 f 譬f t f i - 2 1 i 一2 f f k d e 。2 f ：t f 3 f ：- 砰一e e 一。硭。3 互一：砝3 e e 。3 互霹刁 f ：_ f ： f ：以f ：4 ，则r a n k ( b k 1 ) 一k 一1 定理3 3 2 对k 次广义f i b o n a c c i 数列 f ) 二。中连续的k + 2 个数f k ，哎。，s m k i ，( 1 ) 必 存在惟一的k + 1 个实数口。，口：，巳，q + l 使c 4 - a i f m k + a 2 f k 一。+ + a k f n k , + 口i 。c 。0 ， ( 2 ) 其中口，。( 一妒6 争 e + - 互c + 。 互e e 小- ，( ，一1 ，2 ，七) ，( 一卢，6 学， b 】表示取不 超过x 的最大整数 3 4k 次广义f i b o n a c c i 矩阵的秩 定义3 4 1 由连续m r 个广义f i b o n a c c i 数的k 次方所组成的m 行，列矩阵 碟。 砭：露， f t 1 + ( m 一1 ) r + 1礤( 。- 1 ) ，+ 2 。 称为k 次广义f i b o n a c c i 矩阵，记为以。 ： 命题3 4 2 ( 1 ) 当，mz2 时，r a n k ( a 三。，) 一2 ；( 2 ) 当，mz 3 时，r a n k ( a ：。) ：3 ； ( 3 ) 当，m 4 时，r a n k ( a ：。，) 一4 推论3 4 3 当，2 时，由连续，个连续广义f i b o n a c c i 数所组成矩阵行列式 e + 。 e l e + ( ，- 1 ) ，+ l e + 2 e ： e + ( ，1 ) ，+ 2 e 。 e 协 c + r 2 f o 1 一( 曲) ”1 4 r 2 r = 2 推论3 4 4 当，z 3 时，由连续，x r 个广义f i b o n a c c i 数的平方所组成矩阵行列式 8 d 2 i 砭。 if 2 i 1 ，+ l i i l f 2 | 上n + ( r - 1 ) r+ l 最( ，- 1 ) ，+ 2 r ， 最：， ，： h 眦：峨等 推论3 4 5 当，芝4 时，由连续r x r 个广义f i b o n a c c i 数的立方所组成的矩阵行列式 d 3 最： 最m f ：。r 露：， + 。碟。忡+ ：，： 定理3 4 6 设群。，一 r a n k ( a k = 。，) - k + 1 e 川 。9 a 2 b 6 n 4 r + t o ( 三+ 6 ) f ? f 孑e ：二三 ： f k 一m r 2 哎( 剃) ，+ 。哎剃) r + ： 3 5k 次广义f i b o n a c c i 矩阵行列式 定义3 5 1k 次广义f i b o n a c c i 哎忡厶礤” f k 岵k f ：时j 1 f 噍v t 称为k 次广义f i b o n a c c 即口( 七，n ，r ) = i 矩阵行 f k 一+ i t r + h f k n + i z r + j 2 f t j + 驴+ 厶 定理3 5 2 若tz k + 2 ，则 d | ( 七，n ，) - f i 1n + i r + j l f k n + i z r + h f k s n + 驴+ 厶 f k n + i 2 r + h f ：。 f ：。h f ：。 矩阵。中的一个t 阶子式 ，其中k , n ，j l fe z + ， 列式，记为q ，n ，r ) ， f t + 驴+ 矗 f t l 件+ 沁+ k f k 一一+ r + 五 f k h + v k f i 工 + ，+ f ：。r i lf ：。l ，+ j t f ：。l r 。i 9 = 0 若，m 芝k + l 时，则 h ，d = l ，2 t ， “ “ “ 矿 y 一 驴 砹礤礤 “ “ v v v ”耻 一肛 推论3 5 3 若fz k + 2 ，则d f ，l ，t ) t 推论3 5 4 若f k + 2 ，则口 ，n ，) 一 或： 硭m 礤( “) r + 。硭( “，+ ： f ：。t f k - h + ( r + 1 ) f f t 1 一+ 2 ， f k n 0 + 2 ) 哎( ( h ) | + 1 ) ，哎( ( h ) | 例 1 0 一o f ：。n f ：珧 t 一 = 0 或如 目录 中文摘要i a b s t r a c t 2 中文文摘o ooo 3 绪论 o o ooo qo 9 1 2 第1 章k 汝：f i b o n a c c i 数列 露) 二- 。中连续k + 2 个数的线性关系研究1 5 1 1 预备知识o o o ooio gb i uoq io 1 5 1 2k 次f i b o n a c c i 数列中连续k + 2 个数的线性关系1 5 1 3 k 次f i b o n a c c l 数列中连续k + 2 个数线性关系的算法程序2 4 第2 章k 次f i b o n a c c i 矩阵研究2 6 2 1k 次f i b o n a c c i 矩阵的定义2 6 2 2k 次f i b o n a c c i 矩阵的秩2 6 2 3k 次f i b o n a c c i 矩阵行列式的定义3 1 2 4k 次f i b o n a c c i 矩阵行列式3 1 第3 章k 次广义f i b o n a c c i 矩阵研究3 3 3 1 广义f i b o n a c c i 数列的定义k 3 3 3 2 广义f i b o n a c c i 数列的性质 b ooo 3 3 3 3k 次广义f i b o n a c c i 数列中连续k + 2 个数的线性关系3 5 3 4k 次广义f i b o n a c c i 矩阵的秩3 8 3 5k 次广义f i b o n a c c i 矩阵行列式4 l 结论4 2 参考文献4 3 附录4 5 福建师范大学学位论文使用授权声明4 7 致谢一1 1 000 1 10 0 4 8 1 f i b o n a c c i 数列背景简介 绪论 十三世纪初，绰号为斐波那契( f i b o n a c c i ) 的意大利数学家l e o n a r d ( 1 1 7 卜1 2 5 0 ) 为了解决以一对初生小兔子为起源的兔子家庭在以后第n 个月所拥有的兔子对数的问题 ( 这里假设出生兔子第二个月成熟并开始生育，一次刚好生一对) 引出的一个有趣的数 列f i b o n a c c i 数歹l j ，记为 e ) ，即1 ，1 ，2 ，3 ，5 ，8 ，1 3 ，2 1 ，3 4 ， 1 6 3 4 年数学家奇拉特发现f i b o n a c c i 数列的数之间有如下递推关系：+ 。= 只+ 。， 由于这一发现，计算生小兔问题变的容易，生小兔问题引起了人们的极大兴趣，随着人 们对f i b o n a c c i 数列研究的深入，有许多重要的性质不断的被发现 比如它们项数间存在关系1 2 5 1 ： e + k - e 一。e4 - e 只+ 。( m ，k e n ) 1 6 8 0 年，卡西尼发现f i b o n a c c i 数列项数间有如下重要关系1 2 6 l ： f - 叶。只一。一f ? - ( 一1 ) 十八世纪初，棣美佛在他专著分析集锦推出f i b o n a c c i 数列的通项公式( 比内 公式) ： e 。排爿一( 爿】 1 7 5 3 年，希姆松发现f i b o n a c c i 数列中相邻两项只，e + l 比值e + 。是连分数 三一的第n 个渐进分数 “磊1 1 8 7 6 年，数学家l u c a s 发现方程x z - x - l = o 的两个根口掣，。生尝的任何 次幂的线性组合都满足关系式：c + 。一f n + 匕。，同时他还发现并证明如下结论： 一个数整除和艺的充要条件是这个数是最的因子，这里k = ( m ，n ) ，特别地 ( c ，e ) 一反 此外，l u c a s 还利用f i b o n a c c i 数列的性质证明2 1 2 7 1 是一个质数，这也是f i b o n a c c i 数 列的一个应用，并且“f i b o n a c c i 数列 的名称，正是由l u c a s 命名的 1 8 8 4 年，法国数学家拉姆利用f i b o n a c c i 数列证明：应用辗转相除法的步数( 即辗 转相除法的次数) 不大于较小的那个数的位数的五倍这是f i b o n a c c i 数列的第一次有价 值的应用 1 2 1 1 i 】i | 1 1 9 6 4 年柯召和孙绮 z t l 、w y l i e r 1 i 、c o h n l 2 1 分别独立地用不同的方法证明了第一类 和第二类f i b o n a c c i 数中除己知的平方数外，没有其它的平方数 1 9 6 7 年至1 9 6 9 年，d u n c a n h l 3 j 和k u i p e r s l 4 j 证明了i g e 是关于模1 一致分布的 1 9 7 0 年，俄罗斯数学家马季亚谢维奇( m a t i j a s e v i c ) 应用f i b o n a c c i 数的整除性成功 地解决了希尔伯特( h i l b e r t ) 第十问题，数的表示为数的应用进一步开辟了途径 1 9 8 6 年，r o b b i n g t 5 i 研究了具有p x 2 + 1 ，肛3 + l 形式的f i b o n a c c i 数 1 9 9 7 年，w e n gp e n gz h a n g 6 】给出了 e 的一系列组合恒等式 由f i b o n a c c i 数列“递归”的思想，l u c a s 将f i b o n a c c i 数列加以推广，其推广的 f i b o n a c c i 数列通常被称为广义f i b o n a c c i 数列( 即l u c a s 数列) ( 见文 2 8 ) ， 例如常 见的广义f i b o n a c c i 数列有： 1 a o r , a l - s ，a 叶l - a 。+ 口n 1 ，o 苫o ) ，这里r ，s 为常数 其通项公式为：a 。一峨，+ 啦 2 a o o , a l - 1 , a n + 2ra 。1 + 口。+ c ，o o ) ，这里c 为常数 其通项公式为：a 。一c 1 + ( c + 1 ) e c 3 对任实数a ，b ( a , b 都不为0 ) ，有c + 。- 口c + 6 c 矗一o ，e 一1 ，称数列为广义 f i b o n a c c i数列，其通项公式： c 一_ 7 每 4 一户“) ，其中 4 + 劬 口。华a + 石- i a 2 + 4 b 加学a - 厅a 2 + 4 b f i b o n a c c i 数列表面看似简单有趣，然而人们发现它与一系列深刻的数学问题关系密 切：如设黄金分割数w = 半 ， 则有f i b o n a c c i 数列的通项公式： f - 爿叫- 1 ) 州w ”】 而且丧w - 1 ) l ( 琶) ，l i r a f - 生- 一哺如不存 在以e 二，c ，只为边长的f i b o n a c c i 三角形( 以26 ) ；：兰i k = 5 时，不存在以，只“，e “办 边长的f i b o n a c c i - _ 三- - 角形等f 1 ；在组合数学，概率论中f i b o n a c c i 数列也是很常见的，甚 至发现植物枝权与叶序分布、菠萝纹理和蜂房结构等大量的自然现象也遵从斐波那契数 列的奇妙构造。f i b o n a c c i 数列有许多重要的性质，尤其是它的数论性质1 7 1 1 8 9 坩l 、倒 数性质1 1 1 2 舯i i ”i ，以及它与连分数 t 6 m 1 7 l 、循环小数的关联等，使得这个数列的应用十 分广泛m 聊纠i ，如在优选法、最优化技术、计算数学、应用数学、组和数学、生物工程、 证券市场、优化理论等方向国内外许多学者热衷于对它的研究因此，1 9 6 3 年开始，美 国还成立了f i b o n a c c i 学会，专门有( t h ef i b o n a c c iq u a r t e l y ) ) 的学术刊物，用于刊 登有关f i b o n a c c i 数列的研究论文，从1 9 8 4 年起，又每隔两年召开一次f i b o n a c c i 数及其 应用的会议( i n t e r n a t i o n a lc o n f e r e n c eo nf i b o n a c c in u m b e r sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n s ) ， 吸引世界各地数学学者参加 目前国内外有关f i b o n a c c i 数列的研究的方向较多，主要有：f i b o n a c c i 方程； f i b o n a c c i 数列的同余关系与模的周期性；f i b o n a c c i 数的整除性；f i b o n a c c i 数的恒等式； f i b o n a c c i 数的表示呻1 9 1 1 2 0 1 1 2 1 i t 2 2 ；f i b o n a c c i 数的矩阵及f i b o n a c c i 行列式及其它们在广义 的f i b o n a c c i 数列研究等等 从f i b o n a c c i 数列发现到现在，有关f i b o n a c c i 数的恒等式1 3 5 3 6 3 7 l 的研究结果有很 多，f i b o n a c c i 数的恒等关系作为f i b o n a c c i 数列研究一个基础，在f i b o n a c c i 数列中占有 着十分重要地位，越来越受到国内外许多学者的关注因此，不断有新的恒等关系被发现 2 本论文的主要工作 在第l 章中，将利用矩阵和行列式及线性方程组的预备知识来研究k 次f i b o n a c c i 数列中连续k + 2 个数的线性关系1 1 介绍矩阵和行列式的一些简单性质1 2 证明 了k 次f i b o n a c c i 数列中连续k + 2 个数的线性关系并推出线性恒等式，为第2 章讨论k 次 f i b o n a c c i 矩阵秩打下了基础 2 0 0 6 年，文 3 8 研究了k 次似s 3 ) f i b o n a c c i 矩阵求秩问题，受此启发，2 1 给 出k 次f i b o n a c c i 矩阵的定义，2 2 我们研究k 次( k 为任意正整数) f i b o n a c c i 矩阵 求秩问题，并利用第l 章1 2 中得到的f i b o n a c c i 数k 次方的线性恒等式，成功地解决 了这个问题 1 9 9 9 年文 3 9 研究由连续t f 个f i b o n a c c i 数的k ( k 为任意正整数) 次方组成的特 殊矩阵行列式的值问题，2 0 0 4 年文 4 0 把这一问题进行推广，解决了由相距l 连续的t f 个f i b o n a c c i 数的k ( k 为任意正整数) 次方组成一般矩阵行列式的值问题我们在2 4 中讨论k 次f i b o n a c c i 矩阵行列式的值，利用2 2 得到k 次f i b o n a c c i 矩阵的秩这一 结果，把文 4 0 的定理再加以推广，解决更一般k ( k 为任意正整数) 次f i b o n a c c i 矩阵 行列式的值问题 在第3 章中，我们把第l ，2 章的结果很自然地在一种广义f i b o n a c c i 数列上进行推 广，推出了k 次的广义f i b o n a c c i 数的线性恒等式，利用它们解决了k 次广义f i b o n a c c i 矩阵的秩及k 次广义f i b o n a c c i 矩阵行列式的值问题 1 4 第1 章k 次f i b o n a c c i 数列 露) - - l 中连续k + 2 个数的线性关系研究 在本章中，将利用矩阵和行列式及线性方程组的性质来研究k 次f i b o n a c c i 数列中 连续k + 2 个数的线性关系1 1 介绍矩阵和行列式的一些简单性质1 2 证明了k 次 f i b o n a c c i 数列中连续k + 2 个数的线性关系及推出线性恒等式，为第2 章讨论k 次 f i b o n a c c i 矩阵的秩打下了基础 1 1 预备知识 定义1 1 1k 次f i b o n a c c i 数列： 设r o ，e = 1 ，且k 。一只+ 只- l ，称为f i b o n a c c i 数列，记为 e ，其中e 称为 f i b 。n a c c i 数， c ) 蕾。称为k 次f i b o n a c c i 数列，其中称为k 次f i b 。n a c c i 数，特别 k = l 时，即为 e 引理1 1 2n 级行列式的性质： ( 1 ) 对换行列式的两行( 列) 的位置，行列式的值反号： ( 2 ) 把行列式的一行( 列) 的倍数加到另一行( 列) ，行列式的值不变； ( 3 ) 行列式某行( 列) 有公因子可以提到行列式外面 引理1 1 3 1 1 j ( 1 ) 矩阵的初等行( 列) 变换不改变矩阵的秩； ( 2 ) 一矩阵的秩是r 的充分必要条件为矩阵中至少有一个r 阶子式不为零，且所 有的r + 1 阶子式( 如果有的话) 都为零； ( 3 ) 矩阵方程a x = b 有惟一解的充要条件为r a n k ( a ) tr a n k 似) 一n ，其中石为n 维列向量，a 为m x i 阶系数矩阵，a ；( 朋) 为m x 加+ 1 ) 阶增广矩； ( 4 ) 克莱姆法则( c r a m e r ) 设 a n x l + 口1 ，2 + + 口l 毛= 岛 口z + a 2 + ：。+ 口z 一毛2 ，若线性方程的系数行列式d o ，则此方程组有 口 1 而+ 口1 x 2 + + 口m - 2 ， 惟一解x = ( 台，告，告) r ，其中d ，是用常向量8 一倾，6 2 ，饥) r 取代d 的第j 列所得到 的行列式，j = 1 ，2 ，r 1 引理1 1 4 【2 5 1 只+ k 一最一1 f + e c + l ( k = 1 ，2 ，) 1 2 k 次f i b o n a c c i 数列中连续k + 2 个数的线性关系 引理1 2 1 ( 1 ) 对于连续的3 个数，有c - f ：一c ； ( 2 ) 对于连续的4 个数，有f 2 - 2 砭。+ 2 f 川2 一砭，； ( 3 ) 对于连续的5 个数，有p - 一3 。+ 6 ：+ 3 f 柑3 一c 。 ( 4 ) 对于连续的6 个数，有 f ? = 5 f 2 i + 1 5 f ：2 1 5 4 + 3 - 5 f ：4 + f ：5 ； ( 5 ) 对于连续的7 个数，有 f 一一8 f 二+ 4 0 f z + ：+ 6 0 f s , ，- 4 0 f s 一8 z 三，+ f 三。； ( 6 ) 对于连续的8 个数，有 砰- - 1 3 f z + l + 1 0 4 f , ：2 - 2 6 0 f z 3 - 2 6 0 7 6 + 4 + 1 0 4 f ：n 5 + 1 3 7 6 + 6 一礤7 我们以下只证明引理1 2 1 ( 5 ) ，其余同理可证 证明( 5 ) ：设f 5 一口。e 。+ 口：露：+ 口，+ q 口，哎，+ 口6 哎。， 把 c - e ：- f + 。， e + ，一c + ：+ c 。，e 一2 c + ：+ c + 。，c “- 3 c ：+ 2 f + 。，e + 。一5 e + ：+ 3 e + 。代入该式，利用 二项式定理展开并比较左右同类项的系数可得方程组： a 2 + 口3 + 3 2 a 4 + 2 4 3 a 5 + 3 1 2 5 a 6 1 a 3 + 1 6 口4 + 1 6 2 a 5 + 1 8 7 5 a 6 = - 1 口a 毙4 - 4 a ：1 0 7 2 篡a6 7 1 2 5 a 器- 1 ，腑 3 4 + 5 +6 。 1 一 a 3 + 2 a 4 + 4 8 a 5 + 4 0 5 a 6 1 a l + a 3 + a 4 + 3 2 a 5 + 2 4 3 a 6 一- 1 a l 一- 8 a 2 4 0 a 3 6 0 a 4 一- 4 0 a 5 一- 8 a 6 1 以 巧一一8 砭。+ 4 0 砭：+ 6 0 f s + ，一4 0 f s , 一s f j ，4 - 州$ 论1 2 2 ( 1 ) 若令e 。一巧一，则引理1 2 1 成立： ( 2 ) 若令e ：一e 一。，则引理1 2 1 成立 为简化下面定理1 2 4 的证明，我们先证明一个引理1 2 3 ，其中4 ，b ，c i ，磊，m 。均 表示i 阶方阵，c 儿! o 一优