（基础数学专业论文）q复形和三角范畴.pdf

q 一复形和三角范畴 专业基础数学 研究生刘品指导教师彭联刚教授 本文定义了0 - 复形范畴，它推广了两类重要的范畴，一类是通 义下的复形范畴，另一类是重复代数的模范畴；证明了在一定条件 复形范畴是f r o b e n i u s 范畴，从而其稳定范畴是三角范畴；刻画了重 数的模范畴的稳定范畴里的一个满子范畴，并且证明了其上存在 m d e r - r e i t e n 三角 词：0 - 复形，导出范畴，三角范畴，重复代数的模范畴 q - c o m p l e x e sa n dt r i a n g u l a t e dc a t e g o r i e s m a j o r ：m a t h e m a t i c s s t u d e n t ：p i nl i u s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rl i a n g a n gp e i l g a b s t r a c t ：i nt h i st h e s i s ，w ed e f i n et h ec a t e g o r yo fq - c o m p l e x e s i tg e n e r a l i z e s t w ok i n d so fi m p o r t a n tc a t e g o r i e s o n ei st h ec a t e g o r yo fd i f f e r e n t i a lc o m p l e x e s o rs i m p l yc o m p l e x e s 鹪u s u a l t h eo t h e ri st h ec a t e g o r yo fm o d u l e so fr e p e t i t i v e a l g e b r a s w ef i n do u tt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h es t a b l ec a t e g o r yo f q - c o m p l e x e s a n dat r i a n g u l a t e dc a t e g o r y a n db a s e do nt h i sw ec h a r a c t e raf u l ls u b c a t e g o r y o ft h ec a t e g o r yo fm o d u l e so fr e p e t i t i v ea l g e b r a sa n dg e ts o m er e l a t i o n s h i pw i t h t h ed e f t r e dc a t e g o r y k e yp h r a s e s ：q - c o m p l e x e s ，d e r i v e dc a t e g o r i e s ，t r i a n g u l a t e dc a t e g o r i e s 致谢 衷心感谢导师彭联刚教授，在他的悉心指导下，本文得以顺利完成 在三年的学习期间，由于他的直接引导，本人对数学，特别是表示理论 产生了浓厚兴趣，学习有所进步，受益匪浅 衷心感谢谭友军副教授对本人学习上的关心和帮助 同时感谢傅昌建，徐芒还有杨亮的有益讨论 四川太学硕士学位论文 第一章引言 三角范畴是现代数学诸多领域的一个重要工具，具有广泛的应用 设a 是一个阿贝尔范畴，那么导出范畴z 妒( 4 ) 是大家最为熟悉的一 个三角范畴导出范畴于上个世纪六十年代被提出，随后被证实在代 数几何和同调代数等方面有着广泛的用途这方面的例子可以在对偶 理论( 【h 叫， i v l ) 中找到它也被b e r n s t e i n ，b e i l i n s o n ，d e u g n e 在 【b b d 】中应用到p e r s v e r s es h e a v e s 的基础工作里，在 k s 中有把导 出范畴与s h e a v e s 联系在一起的更详细的阐述导出范畴的起源可以 追溯到g r o t h e n d i e c k ，在f g r 中可以找到相关的出发点以及后来的 一些进展把它与三角范畴联系起来的是v e r d i e r 在f 、，e 】中的工作 近年来，与三角范畴尤其是导出范畴相关的问题得到了深入的研究( 参 见 c p s l ，【c p s 2 i ， r e l ， r e 2 】等) 例如，在 p x 中，彭联刚和肖 杰在三角范畴上发现了一种内蕴对称，这种对称给出了一个无限维李 代数结构，从而在导出范畴上成功地实现了一切可对称化k a c - m o o d y 李代数( 参见 k a 】) 的整体结构在【h a 中，d h a p p e l 利用导出范畴 向我们展示了有限维的遗传代数( 也就是它的投射模的子模还是投射 模) 和某些自入射代数( 也就是这个代数本身作为模是入射模) 之间存 在有很强的联系， 重复代数a 是无限维的自入射代数，它的模可以用一种类似于 复形的对象来刻画( h 、硼) ，导出范畴口6 ( 一4 ) 的对象是通常意义下的 四川大学硕士学位论文 2 复形本文主要研究它们的共同推广形式我们定义了q 一复形并且证明 了在一定条件下q _ 复形范畴是f r o b e n i u s 范畴，从而其稳定范畴是三 角范畴这给出了同伦范畴和重复代数的模范畴的稳定范畴是三角范 畴的统一证明我们也进一步讨论了q _ 复形范畴的a u s l a n d e r - r e i t e n 三角的存在性问题 本文内容安排如下t 在2 1 里，我们定义了q 复形和q j 复形范畴，它比通常意义下 的复形范畴要广泛，并且复形范畴作为一个侈! i 子包含在其中，这在2 2 里有具体刻画在2 3 里，我们证明了在一定条件下q - 复形范畴是 f r o b e n i u s 范畴在3 1 里，我们回顾了三角范畴的概念，在3 2 里， 我们得到了q 复形范畴的稳定范畴是三角范畴的结论第四章，我们 刻画了m o d a 的一个满子范畴，证明了其上存在a u s l a n d e r - r e i t e n 三 角 本文中态射，：x - y ：g ：y 一z 的合成记为，g 四川大学硕士学位论文 第二章q 一复形 2 1q 一复形和q 一复形范畴 3 全文设4 是阿贝尔范畴，( o ，f ) 是4 上的a d j o i n tp a i r ，即 q ：a 一a 和f ：a a 是函子且满足 h o m 4 ( q ( - ) ，一) 笺h o m a ( 一，f ( 一) ) 2 1 1 定义和蜀是4 的两个扩张闭和直和( 项) 闭的满子 范畴，称是9 投射对象全体，2 o 是q 入射对象全体，如果 半砀 其中q 是等价，f 为它的逆 4 中的正合列0 一十x - y z _ ，0 称为真的，如果对 任意p 和i ，有 0 _ h o m a ( p ，x ) 一h o m a ( p ，y ) 一h o m a ( p ，z ) 一。 和 0 一h o m a ( z ，i ) 一h o m a ( y ，i ) _ h o m a ( x ，i ) 一0 依然正合 一4 中的态射“：x 一y 称为真单，如果存在a 中真的正合列 0 一x 鼻y z 一0 a 中的态射u ：y z 称为真溉 如果存在4 中真的正合列0 + x 一y 马z 一0 四川大学硕士学位论文4 设8 是一4 中满足包含和的最小的满子范畴，使得舀是 扩张闭和直和( 项) 闭以下设廖中有足够多的q 一投射对象，也就 是，对任意的z 1 3 存在真满态射p ，z 一0 其中p 是q 一投 射对象同时还设舀中有足够多的q 一入射对象，也就是，对任意的 x b 存在真单态射0 + x ，j 其中，是q 一入射对象更 进一步，我们还假设召对真满态射的核k e r 和真单态射的余核c o k e r 闭，也就是，如果0 x y z 一0 为真的正合列，而且 x ，kz 中有两项属于召，那么另一个也在召中( 此时我们也称8 是“强”扩张闭的1 2 1 2 定义我们定义8 中的q 一复形如下：m + = ( 坛，一) ，其 中尬b ，月：q 舰一尬+ 1 满足对任意的i 有q f 鼠1 = 0 通 常记m + = ( ，一) i 为 或简单地 l+pp 脏2 培肌l 勺蜗炮舰旭m 2 m 一2 一m 4 一m o m l m 2 - q - 复形间的态射h ：m + = ( 尬，爿) 一n 。= ( m ，剜) 为 四川大学硕士学位论文 h = ( 如) ，其中：m i m ，满足对任意的i 有下面的交换图 q m i 互舰+ 1 lq h il 堍+ 1 q g i 互g i + 1 5 q - 复形间的态射h ：m + = ( 舰，爿) _ + n + = ( n i ，叫) 称为真 单( r e s p 真满) ，如果每一个：m i 腿是嚣中的真单( r e s p 真 满) q 一复形间的正合列 0 _ x + _ y + _ _ o 称为真的，如果对任意的i 有 0 一托一m 一五一0 为召中的真正合列 记鸥( 召) 为b 上的有界q 一复形范畴 2 2 两个例子 我们有两个已经熟悉的例子 2 2 1 复形范畴我们取( 1 , 4 ，1 4 ) 为阿贝尔范畴a 上的a d j o i n t p a i r ( q ，f ) 这就意味着每一个m 一4 都为a 中的q 一投射和q 一 口川大学硕士学位论文 6 入射对象于是b = a 并且真单，真满和真的正合列分别为可裂单，可 裂满和可裂正合列 此时4 上的q 复形x + = ( x 4 ，d 1 ) l 为通常的复形，即为一列对 象和一些态射= 峻：x _ x 件1 满足d d i + 1 = 0 复形x + = ( x ，) i 到y = ( y i ，) 的态射r ：x + 一y + 为一列中的态射f ：x y 满足对任意的i 有，件1 = f 记一4 上的复形范畴为c ( 4 ) ，有界复形构成的满子范畴为扩( 4 ) 注容易证明，如果把一4 上的自同构q ，以及q 的逆f ，作为 a d j i o n tp a i r ( q ，f ) ，那么q 一复形范畴与通常复形范畴是等价的例如， 令a 为遗传代数( 【c b 】) ，a 为m o d a 取舀为由所有正则止模组成 的满子范畴于是( 7 _ ，丁一) 为召上的同构这时r 一复形范畴与通常复 形范畴是等价的 2 2 2 重复代数的模范畴设a 为有限维k 一代数为简单起 见，我们设a 为基本的，k 为代数闭域记m o d a 为有限生成左a 一 模构成的范畴记d = h o m k ( 一，k ) 为m o d a 上的标准对偶并且令 q = d a 则q 为极小入射生成子它是一个a 双模：给了n ，a p l a 和妒q 那么a r c p a ”为七一线性映射，把a a 映到! o ( a a c j ) 我们按照 h w 】构造重复代数a ，它是一个f r o b e n i u s 代数，通 常是无限维的 a 的底空间为 a = ( o a ) o ( o q ) ， 四川大学硕士学位论文7 记a 中的元素为( 啦，协) i ，其中a l a ，忱q ，并且0 4 ，几乎为 零乘法定义为 ( 啦，i ，0 1 ) i ( b i ，也) f = ( a i b i ，0 4 + l 如+ i ，o i b i ) i 于是a 成为一个局部有界k 一代数 更好的表述是把a 考虑成没有单位的双无限矩阵代数， a = a i 一1 q i 一1a f q fa + l 0 o 其中矩阵仅有有限多个不为零的元素，a i = a 位于主对角线上，q = q ，其余的全部为零，乘法由a o q _ + q ，q o a a q 和零态 射q 圆a q - + 0 诱导 容易知道a 一模能按照如下方式写为q 一复形：m + = ( 死，) i ， 其中坛为a 一模，它们几乎为零，月为a 一线性映射一：q o 五坛- a 磊+ l 满足对任意的i 有( 1o a 只) m l = o 同样地我们经常记m + = ( m ，) i 为 肌2 台肌1 白是舰是 ! 趔盘芏塑壁垒堡耋8 按照这种方式a 一模间的态射h ：m + = ( ，一) 一，n + = ( 越，反) 为一列a 一线性映射h = ( ) 其中h i ：一魁满足对 任意的i 有交换图： q 圆 尬与蚴+ 1 f ， j1 圆h ii + 1 q o a 互批+ 1 注意到q o a 一的右伴随为h o m a ( q ，一) 并且有 p 器与 互逆，其中p ( r e s p z ) 为投射( r e s p 入射) a 一模构成的范畴于是 q 一投射对象( r e s p 入射对象) 为投射( r e s p 入射) a 一模，召= m o d a ， 并且真单( r e s p 满和正合列) 为通常意义下的单( r e s p 满和正合列) 2 3q 复形范畴和f r o b e n i u s 范畴 2 3 1 利用a d j i o n tp a i r ，也可以把q 一复形m + 表述如下：m + = ( 蚴， ) “其中尬b ，态射五：必+ f 尬+ 1 满足五f 缸1 = 0 对任意的i 都成立同样地，通常记m + = ( 坛，f d , 为 肌2 妇肌1 勺m 0 是m 1 龟m 2 口川大学硕士学位论文 或更简单地 m 一2 一汇1 一m o 一舰一尬 9 在这种表述下，q 一复形间的态射h ：m + = ( 朋0 ) - n + = ( 腿，g i ) 为h = ( ) l ，其中态射h i ：坛- + m 满足对任意的i 有下 图交换： 尬厶f m i + 1 堍ljf h i + 1 骂f m + 1 现在我们定义一类q 一复形e 如下 e ：0 只地厶一0 一- 其中厶是b 中的不可分解q 一入射对象，只= f ) ( 于是只是不 可分解的投射对象) 且爿= 1 这类不可分解q 一复形对我们十分 重要首先我们有下面的引理： 引理x , t f f ：ti ，e 既是c 昌( 8 ) 中的入射对象又是铝( 8 ) 中的投 射对象 证e 是c 岛( 召) 中的入射对象事实上，若有q 一复形闻的真单 ：m + _ ，+ 和任意态射妒：m + _ ，譬， 日川大学硕士学位论文 q 尬一1 q 只 卜 q m 一1 l 一垡：l 坛 厶 1 0 由于五为入射对象，h f 为真单，那么存在 ：肌一五，使 得协= 勉- 五定义q ，i 一1 ：q 魁一1 _ + q 只为q 五一1 = 蛾一l - ，也就是使上图底面交换而且q 五一1 h o m ( q n i j ，q p i ) 型 h o r n ( 批一j ，啪) 垒h o m ( 一j ，只) ，亦即五一1 ：触一1 一只于 是有q 一复形闯的态射，= ( ) i ：n 一露并且，q 一l = q 妒t 一1 1 = 一1 协= 一1 垃五= q 一1 毋：一1 = q 一1 q 一1 即 妒= h ，故譬是铝( 舀) 中的入射对象 同样地，用q 一复形的a d j i o n t 表述可以容易地证明p 是c 昌( b ) 上的投射对象如果有q 一复形间的真满h ：m + - + 和态射 唾：i ：_ n 1rm 四川大学啊士学位论文 坛一1 量= l f m i 卜 批一l 1 f i t f 那么存在q 一复形间的态射f ：露一+ m + ，满足妒= f h 亦 即露是c 昌( b ) 中的投射对象e l 2 3 2 回忆一下，在i h a 中，我们称一个范畴c 为f r o b e n i u s 范 畴，如果c 有足够多的投射对象和足够多的入射对象，并且它里面的投 射对象和入射对象一致 由于8 中有足够多的入射对象，于是对任意的x + = ( x - ，d ) c 昌( 8 ) 我们对每一个i 有8 中的真正合列0 - 五竺与五一 五- 0 ，其中厶是q 一入射对象于是我们有q 一复形间的单态： x + 妒上 一2 一一1一一0 上土土妒。 r ( x + ) ：厶一2or 一1 品厶一1or 一 厶一0 ， 四川大学硕士学位论文 其中口= 态 o o lo 1 2 对偶地，由于8 中有足够多的投射对象，我们有q 一复形间的满 p + ( x + ) ：- 0 一卫。一l n op _ n + 1 品l n + 1 0p _ 。+ 2 妒ll 妒一。 i i x ：0 。x n x n + lx - n + 2 定理如果妒和妒都是真的，那么c 岛( 国是f r o b e n i u s 范畴 证由于每一个x + c 冬( 8 ) 都为有界的，所以，+ ( 义+ ) = 9 e 和p ( x + ) = o e 都是譬的有限直和于是由前面的引理1 4 ，知 r ( x + ) 是c 马( 8 ) 中的投射入射对象，p + ( x + ) 也是c 昌( 8 ) 的投射入射 对象敌c 岛( b ) 中有足够多的投射对象和足够多的入射对象 另外，对任意的入射对象x + 鸥( 8 ) ，有真单态 x + 兰j 4 ( x + ) 但x + 为入射对象，于是存在r ( x + ) 与x + 使得p 竺l x 故，对 c 岛) 中任意的真满态 7 w + 厂+ _ 0 口川大学啊士学位论文1 3 和态射h ：x + + 有h ：，+ ( x ) _ + 由于，+ ( x + ) 又是 投射对象，于是存在，：，+ ( x + ) + m + 满足，u = v h 现在定义 g = 卢，：x + 一m + ，_ 立l l p 有g u = p ，u = p - p - h 1 h h ， 故x + 也是投射对象 类似地，有鸥( 召) 中的任意投射对象y + 也是入射的, - 亦e pc b ( 召) 是f r o b e n i u s 范畴口 有了这个定理和上面介绍的两个例子，我们立即有 推论 h a 】c 6 ( a ) 和m o d a 都是f r o b e n i u s 范畴 证注意到c 6 ( a ) 中的真单( r e s p 真满) 是可裂单( r e s p 满) 并且有 x + ：k 一2_一1 _ 矗一0 。 妒上 上妒n j + ( x + ) ：k 一2o 矗一i 与一1o 一一0 显然妒为真单态 而m o d a 中的真单( r e s p 真满) 就是通常意义下的单态( r e s p 满态) ，于是对m o d a 而言，妒自然是真单口 口川大学嘲士学位论文 第三章q 一复形范畴和三角范畴 3 1 三角范畴 1 4 三角范畴起源于v e r d i e r 的文章 、，e 】，在 h a 叫， b b d ，【i v 】以及 f d e 中也有介绍 c 是一个加法范畴a f ，t 是其上的自同构，我们常称为乎移 函子，其逆记为t 一c 上的六元组( x ，y z ，钍，v ，w ) 由c 中的对象 x ，y z 以及态射缸：x y v ：y ，z 和w ：z _ t x 构成 我们常把六元组( x ，z ，u ，u ，叫) 记为x 马y - z 与t x 六元组( x ，y ，z ，钍， ，w ) 到六元组( x 7 ，y ，z 7 ，u t ，u ，叫7 ) 的态射 定义为使得下图交换的一列态射( f ，譬，a ) t z j 一z 7 一t x 一拓 若上述，9 ，h 都同构，则称相应两个六元组同构 现在，我们回忆三角范畴的定义如下： 定义3 1 设s 是c 中一些六元组的集合，其中的六元组称为三 角称c 是三角范畴，如果满足： ( t r l ) 每个与三角同构的六元组是三角；c 中每个态射乱：x 一+ y 都可以扩充为一个三角x 与y 与z 誓丁x ：x 与x _ + y i i 一一 x l 川支 四川大学硕士学位论文 1 5 0 t x 是三角 ( t r 2 ) 如果x 与y 鸟z 鸟t x 是三角，那么y 与 z 竺t x 二马t y 也是三角 ( t r 3 ) 存在态射h 使得下图交换t x y zt x 也，一出，一一蜒 其中第一个“方块”是已知的交换图并且两个行是三角 ( t r 4 ) ( 八面体公理) 若有三角( x ，y z ，u ，i ，i ，) ，( y z ，x 7 ，t ，j ，j 7 ) 和( x ，z ，y 7 u ，k ，k i ) ，则存在f ：z 7 y 7 ，9 ：y ，一x 7 使得下 图交换，且第三行是三角 ? 一y p 掣x 马x t gl uj 札 l t - x ，型y 与z 上爿三t y ijki 1 支i死i z ，互y ，卫x ，驾t z ， i ii t x 三丛t x 四川大学硕士学位论文 3 2q 一复形范畴和三角范畴 我们定义c b ( 8 ) 的稳定范畴( 8 ) 如下：对象为有界q 。复形，对 象x + ，y + 间的态射集为t h m ( x + ，y + ) = h o r a c e ( s ) ( x + ，y + ) x ( x ，y ) 其中，i ( x ，y ) 为由从x + 到y + 的通过入射对象分解的所有态射构成 的子群态射u ：x + y + 的剩余类记为u 我们知道复形范畴护( 椰的稳定范畴伊( 砷恰好是c 6 ( 棚的同 伦范畴( 【h s ) ，记为肛( 一4 ) ，重复代数的模范畴的稳定范畴记为m o d a 大家熟知导出范畴秒( a ) 是三角范畴，h a p p e l 在【h a l 里利用 f r o b e n i u s 范畴给出了这一结论的一个新的证明，并且进一步地利用 f r o b e n i u s 范畴证明了堡衄a 也是三角范畴我们下面有类似的结果 如果铝( 召) 是f r o b e n i u s 范畴，那么对任意的x + 鸥( b ) ，拢 们有c 冬( 召) 中的正合列： 0 一x + 一，+ ( x + ) 一t x + 一0 于是，对任意的态射 ：x + + y + ，我们有( 8 ) 中的交换图 0 一x + 与，+ ( x + ) 三t x + 一0 uip u s h o u t j 1 1 0 一y + z t x 一0 其中z + 是u 和z 的p u s h o u t 1 6 ! 型盎至塑兰垡丝圭 l7 由于召是a 的扩张闭的满子范畴，于是p u s h o u tz + 是q - 复形 ( 五，哦) ，其中五是u i 和嬲在4 中的p u s h o u t 我们定义 x + _ y + _ _ t x + 为标准三角 有了这个定义，我们有下面的 定理在定理2 3 2 的条件下，c 昌( b ) 是三角范畴 该定理是定理2 3 2 和h a p p e l 的有关结果( 见【h a 】) 的一个直接 推论，为了读者的方便，我们给出证明如下，其方法取自f h a 证我们验证3 1 中的那几条公理 ( t r l ) 由三角的定义和舀是扩张闭的，易知与三角同构的六元 组是三角而且每个态射都可以扩充为标准三角显然x x ， 0 一+ t x 是三角 ( t r 3 ) 我们先考虑标准三角的情形考虑下面两个标准三角t x + - j ( ) 马t x + ui l| i y 与q 二t x + 四川大学硕士学位论文 和 x n 二，+ ( x 一) 三t x ， 1 8 y “! 一c 0 型t x - 以及态射正g 满足= u g 于是存在d ：i ( x + ) + y “使得 u g = ，u 7 + x 0 1 我们还有态射乃：，( x + ) 一i ( x “) 满足，= z 0 和t ，：t x + 一t x 7 满足以方= x t f 。故有态射则：y 一e 。 和乃+ a ：r ( x ) g ，使得u g v = ，u 勺+ z n = ，z ，一+ z a 铷= z ( 0 可+ a ，) - 由于( 0 是p u s h o u t ，故导出态射h ：c 0 一g ， 满足v h = 9 和 a h = 乃面+ q 断言h w = w t y 这只需证明 v h w = v w t f 和动铂7 = 瓦山t ，对前一个注意到v w t f = 0 和 移 = g v t w = 0 ，对第二个我们有露训吖= 面t ，= 如f = 如西= 乃订埘+ a u t 0 7 = ( 0 秽+ 伽7 ) 叫= 配危铆故幅墨，i x ) 是三角之间的态 射 一般的情形可以很容易地导出实际上，令( x ，y iz ，笪 型，坳和 ( x 7 ，y ，z 7 ，笪，型) 为三角，态射，g 满足生= 望里于是有与它 们i 可构的标准三角利用标准三角的情形我们有下列交换图，其行为三 四川大学硕士学位论文 角，且，地为同构； x 与y 与z 与t x 巫l x 与y 与g 与t x i旦l 丘l z l x ，与y ，与瓯与t x ， h 2t x ，量y ，量z ，弓t x ， 1 9 于是旺，函h l _ _ h h 2 - ) 是三角间的态射，实际上，u h z h h 笪= 监= 掣堕= 且一h l h h i w = h l _ h 世= 型= 型啦 ( t r 2 ) 同上我们只需验证标准三角的情形令_ x 与y 瓯骂t x 是标准三角，0 + y 乌i ( y ) t y 一0 是真正合 列于是存在l ：j ( x ) 一t ( y ) 使得z 厶= u y 和t u ：t x 玎 使得l 寥= x - t u 口川太学硕士学位论文 由下面的p u s h o u t 知有：c ：，( y ) ， 2 0 于是y = 钉，l = 面，由内= l j - = 0 = v w t u 且五，雷= l , y = 矶= 砌乳，又瓯是p u s h o u t ，故向= w t u 这样我们有下面的交换图； o 0 一y 二 瓯 与t x 一0 yi 0 一x ( y ) 一i ( y ) o t x t x 一0 0 i y 引 n o 四川大学硕士学位论文 2 1 特别地左上角的方块是p u s h o u t 图，因此y g + i ( y ) o t x t y 是标准三角，在稳定范畴曼迎中它显然与y g 与t x 当t y 同构，亦即y 与瓯与t x 母t y ：勾- z a ( t r a ) 同上我们只需验证标准三角的情形设有三个标准三角。 和 x + kj + ( x + ) t x + u 上 瓦上 i i p 上z 一三t x + y + j 0j + ( y + ) j t y + 上可上| | z ox 一乙t y x 4 r ( x + ) t x + 切l硒l l l z + 上y i 一k r t x 其中w = u 饥 由p u s h o u t 知0 一y 上z ，一t x 一0 正合，又有 四川大学硕士学位论文 0 ，z 7 一i ( z ) ot z 一0 正合故考虑下面的交换图： 00 0 。yj z ，三t x 一0 上f 0 一y 与j ( ) 一m 一0 上上 t z = t z 0o 于是我们有第二行正合，故可用0 y 与，( ) m 0 来 替换0 一y 鸟i ( y ) - t y 一，0 改变记号，我们记i ( y ) = i ( z ) ，y = i l 由u y = u i l = 痂f ，记_ f 为l ，由x - t u = l 可= 豇留确 定并且i l = y i 以= y i , ，故可记同构i ( y ) = i ( z ) 为五，于是有导 出态射t i ：t y t z 7 满足i = 喀= 可n 又痂= w k = u v k ，z 是p u s h o u t ，故存在，：一y 使得 面，= 面 类似地，利用y 7 的p u s h o u t 性质以及训j = 札u ，= u y v = u i l v = x g l v 知存在j ：y 7 - x 7 使得硒9 = 露z 露，k g = j ! ! ! ! 查堂塑兰垒垒圭 2 3 断言，9 = i - 这只需证i ，9 = i l v ，甜9 = 砭l _ ，但实际上i ，9 = v k 9 = 付j = y v = i l v ，豇，9 = 面9 = - f 可 综合上面的我们有下面的交换图t x 与y2 一z ziiikj i l x 、旦，z | 0 y f z 上 t x t ul hgl x ( z 、0 x 可上 t y=tyt z l 其中豇，= 面，i l = y ，南g = j 下面我们验证各个需要满足的关系由构造已经有i f = v k ，k g = j 对k 7 7 - - i ，由于z 的p u s h o u t 性，只需证i ，七= i i ，甜尼7 = 瓦i 实际上， ，七= v k k 7 = 0 = i i 7 ，丽，七7 = w k = 虿= 饥 要验证k t u = g j 这个利用l ，7 的p u s h o u t 性，只需证k k 7 t u = k g j , 面惫丁乱= w g j 而实际上，尼南r u = 0 = j j = k g j ，硒鲥= u f g j 7 = 豇f _ 呵= 面l 可= x - t u = 面七t u 最后还要证明z ，y ，马x ，! 马t z ，是标准三角由x ，是 四川大学硕士学位论文 i l 和钉的p u s h o u t ，y 7 是i ，钉的p u s h o u t ，故下图为p u s h o u t 图 z ，三y ， ll ig ，( z ) 誓x 7 又i = y - t i ，故i = 巧7 t i 因此，我们有下面的交换图，其列为正合列： z f y t 2j ig i ( z 、 x 7 ii lj 死 t z = t z 故z ，上y ，与x ，驾t z ，是标准三角 这就完成了定理的证明口 四川大学硕士学位论文 第四章a u s l a n d e r - r e i t e n 三角 a u s l a n d e r - r e i t e n ： 角，也叫做几乎可裂三角，起源于【a r l ， a r 2 】 它是代数表示论的一个重要研究对象，关于它的定义和作用在 m 】中 有详细记述，我们这里就不再过多阐述 设a 是有限维缸代数，a 是它的重复代数记m o d a 上的复形 范畴为c ( a ) ，有界复形构成的满子范畴记为沙( a ) 舻( a ) 是p ( a ) 的同伦范畴，d 6 ( a ) 为它的导出范畴 取8 为m o d a 最小的满子范畴，使得8 包含所有投射a 模和 所有入射a - 模，且舀是扩张闭和直和( 项) 闭并且b 中任意单态的余 核c o k e r 和任意满态的核k e r 也在舀中 5 1 一般情况下舀不是阿贝尔范畴但是若a 是具有有限g l o b a l 维数的有限维七一代数时，我们有b = m o d a 事实上，对任意me m o d a ，我们有有限投射预解式 o r 乌r 一1 一一只立局鱼m 一0 进而有下列正合列 0 _ r _ r 一1 _ k e r f n 一1 _ 0 0 - - - - ) k e r f l _ 只_ k e r f o _ 0 ， 0 _ k e r f o 一局_ m _ 0 ! 盟主芏塑主茎垒笙圭 2 6 由假设我们有k e r f i 日其中i = 0 ，1 ，一，佗一1 再由假设我们有 m 侈 5 2 我们仍然用a d j i o n tp a i rqo a 一和h o m a ( q ，一) 来构造召 上的q 一复形范畴，记为丘容易看出艿是m o d 4 的满子范畴 由于所有的投射a 一模和入射a 一模都在8 中，并且，召对单态 的c o k e r 和满态的k e r 闭，我们很容易地知道召是f r o b e n i u s 范畴 我们回忆一下舀中正合列的定义： 0 _ x 4 _ y z + _ 0 是正合列如果对任意i 都有 0 一置一m 一磊一0 是8 中的正合列由于8 是扩张闭的，于是我们知道西也是扩张闭的 所以稳定范畴重是三角范畴 定理盆中有a u s l a n d e r - r e i t e n 三角 证由于a 是有限维一代数，于是避矗a 中有a u s l a n d e r r e i t e n = f 0 由 r v l ，m o d i 中有s e r r ed u a l i t y ，即对任意n ，me m o d a d h 勉西( ，m ) 掣至k 哦( m ，t r ) 由7 _ 的定义易知7 - = t 一2 盯其中盯是q 一复形的s h i f t 函子，并且由 8 的取法，知笸对f 的作用封闭，也就是，对任意n ，m 宦 d h o m b ( n ，m ) 竺h o m 杏( m ，t 1 - n ) 四川大学硕士学位论文 2 7 即屋中也有s e r r ed u a l i t y 再次由 r v ，知盈中有a u s l a n d e r - r e i t e n 三角口 r e m a r k 在 h a 中，h a p p e l 构造了一个f u l la n df a i t h f u l 的 函子f ：秒) m o d i i 于是我们有f 一1 ( 囟：d b ( a ) m o d i 由于f 是f u l la n df a i t h f u l 的，我们可视秒( a ) 为m o _ _ d d a 的一个满 子范畴，于是有下面的关系壁砂( a ) m o _ _ _ a d i ，并且它的两端始终 有a u s l a n d e r - r e i t e n 三角当a 的g l o b a l 维数无限时，口6 ( a ) 中没有 a u s l a n d e r - r e i t e n 三角，但当a 有有限g l o b a l 维数的时候，它们三个 是三角等价的 例考察路代数a = 后q ，其中q 是带关系的q u i v e r ： o t 2 = 0 我们熟知a 是f r o b e n i u s 代数，且a = m o d a 有两个不可分解 对象，单模s 和投射模p = a 还是按同样的方法取b ，则p b 作8 ，由上面的定理可知旦 上有a u s l a n d e r - r e i t e n 三角 设p + ：0 p 0 t 为s t a l k 的q 一复形，它是廖中的 一个不可分解对象我们下面计算p 的7 - 一轨道由r 的定义易知 口、 厂 口川大学硕士学位论文 下= t 一2 盯，其中盯是q 一复形的s h i f t 函子由定义我们有 t p + ：0 0 一 i一0 上 p ( p ) i p + ： 上上 0 一p io0 0 上上 0 一p 一0 0 又a 是f r o b e n i u s 代数，故i = p 于是r p + = t 一2 盯p = t p + ，于 是p + 的下一轨道为： ，r 2 p = t 一2 p ，r p + = t p + ，p + ，t - p + = t p + ，r - 2 p + = 严p 并且他们是两两不同的 参考文献 参考文献 i a f l f w a n d e r s o n ，k r f u l l e r ，r i n g sa n dc a t e g o r i e so fm o d u l e s ，s p r i n g e r - v e d a g ( 1 9 7 4 ) i a r l 】m a u s l a n d e r ，i r e i t e n ，r e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo fa r t i na l g e b r a si i i ， c o m m 蜘6 ma ( 1 9 7 s ) ，2 3 9 - 2 9 4 【a r 2 l m a u s l a n d e r ，i r e i t e n ，r e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo fa x t i na l g e b r a sv i ， c o m m ，a l g e b r a ( 1 9 7 7 ) ，4 4 3 - 5 1 8 【b b d j a a b e i l i n s o n ，j b e r n s t e i n ，p d e l t g n e ，f a i s c e a u xp e r v e r s ，a s t d r i s q u e 1 0 0 ( 1 9 8 2 ) 【c b 】 w c r a w l e y - b o e v e y ，l e c t u r e so nr e p r e s e n t a t i o n so fq u i v e r s ，l e c t u r e n o t e s 【c p s i le c l i n e ，b p s r s h a i l ，a n dl s c o t t ，d e r i v e dc a t e g o r i e sa n dm o r i t at h e o r y , j a l g e b r a1 0 4 ( 1 9 8 6 ) ，3 9 7 - 4 0 9 c p s 2 e c l i n e ，b p a r s h a l l ，a n dl s c o t t ，a l g e b r a i cs t r a t i f i c a t i o ni nr e p r e s e n t a t i o n c a t e g o r i e s ，j a l g e b ml x r ( 1 9 s s ) ，5 0 4 - 5 2 1 【gr 】a ，g r o t h e n d i e c k ，r e c o l t e se ts e m a i l l e s ，p r e p r i n t 【h 8 d h a p p e l ，t r i a n g u l a t e dc a t e g o r i e si nt h er e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo ff i n i t e d i m e n s t i o n a ia l g e b r a s ，l o n d o nm a t h e m a t i c 鼬 e 坷l e c t u r en o t es e r i e sv 0 1 1 1 9c a m b r i d g e u n i v e r s i t yp r e s s ，1 9 8 8 【h b r 】r h a r t s h o r n e ，r e s i d u ea n dd u a l i t y , s p r i n g e rl e c t u r en o t e si nm a t h 2 0 ( 1 9 6 6 ) 【h s 】p j h i l t o n ，u s t a m m b a c h ，ac o u r s ei nh o m o l o g i c a ia l g e b r a ，s e c o n de d i - t i o n ，印r i n g e r - v e r l a g ( 1 9 9 6 ) f h w 】d h u g h e sa n dj w a s c h b u s c h ，t r i v i a le x t e n s i o no ft i l t e da l g e b r a s ，p r o c l o n d o nm a t h ，s o c 4 6 ( 1 9 8 3