（基础数学专业论文）krein空间上的线性关系及其不变子空间.pdf

摘要 2 本文讨论了k r e i n 空间上线性关系的一些基本性质及其有关的不变子空间。不定度规空 间上线性关系的一些基本性质在p e k k as o r j o n e n 的文章 1 5 中曾有一系列的讨论，对于多值 部分非退化的情况已获得一些初步的结论。本文一方面对k r e i n 空间上线性关系的多值部 分的一般情形( 即不管多值部分是否为退化) 作出了相应的讨论，描述了一些重要的线性关 系的基本性质。同时，还在线性关系的多值部分非退化的情况下推广到了算子演算的结果。 另一方面，本文研究了k r e i n 空间上的线性关系与其算子部分之间的联系，并对线性关 系的两类不变子空间作出了一些若干的讨论，尝试着从另一个角度来说明k r e i n 空间上的 线性关系的一些性质 关键词算子部分正则线性关系第一类不变子空间第二类不变子空间 投影关系约化子空间 a b s t r c t i nt h i sp a p e r ，s o m eb a s i cp r o p e r t i e so fl i n e a rr e l a t i o na n di t sr e l a t e di n v a r i a n ts u b s p a c eo n k r e i n s p a c e & r ed i s c u s s e d s o m eb a s i cp r o p e r t i e so fl i n e a rr e l a t i o no n i n d e f i n i t em e t r i cs p a c ea n d p a r t i a l l y ，s o m e b a s i cr e s u l tu n d e rt h en m l t i v a l u e dp a r tn o n d e g e n e r a t ec a s ew e r ea l r e a d yg i v e ni np e k k a s o r j o n e n ，sp a p e r i no n ep a r to fm yp a p e r ，s o m ei m p o r t a n tl i n e a rr e l a t i o n sp r o p e r t i e sa r ea t t a i n e d u n d e rt h e g e n e r a lm u l t i v a l u e dp a r ts i t u a t i o n ( w h e t h e rd e g e n e r a t e o rn o t ) o nk r e i ns p a c e t h er e s u l t s o ff u n c t i o nc a l c u l u sa r ea l s og i v e nu n d e rt h em u l t i v a l u e dp a r tn o n d e g e n e r a t es i t u a t i o na tt i l es a l i l e t i m e i na n o t h e rp a r t ，t h er e l a t i o n sb e t w e e nl i n e a rr e l a t i o no nk r e i ns p a c ea n di t sp a r to fo p e r a t o r a r ec o n s i d e r e d ，f u r t h e r m o r e ，t w ot y p i e si n v a r i a n ts u b s p a c eo fl i n e a rr e l a t i o na r ea l s od i s c u s s e d ，f r o m w h i c hs o m el i n e a rr e l a t i o np r o p e r t i e so nk r e i ns p a c el e a r n e di nan e wp e r s p e c t i v e k e y w o r d so p e r a t o rp a r t ；r e g u l a rl i n e a rr e l a t i o n ；t h ef i r s t c l a s si n v a r i a n ts u b s p a c e ；t h e s e c o n dc l a s si n v a r i a n ts u b s p a c e ；p r o j e c t i v er e l a t i o n ；r e d u c t i o ns u b s p a c e 1 0k r e i n 空间上的线性关系 o 。1 引言 0k r e i n 空间上的线性关系 5 对线性关系( 也称多值算子) 的研究，始于1 9 6 1 年r a r e n s 对h i l b e r t 空间h 的乘积 空间h 2 = 日o 的子空间所作出的讨论( 参看 1 ) ，随后许多数学家对线性关系这一新 的研究课题产生了浓厚的兴趣，并作出了大量的非常有价值的工作，诸如c b e n n e w i t z ( 参看 2 ) ，e a c o d d i n t o n ( 参看【4 7 ) ，a d i j k s m a a n d h s v d es n o o ( 参看 s 1 ) ， l l a n g e ra n d b t e x t o r i u s ( 参 看 1 3 ) ，ap l e i j e l ( 参看 1 4 ) 等。其中，有些作者还将线性关系的理论运用到在h i l b e r t 空间上 由微分方程导出的线性关系的研究中，并取得了许多有价值的成果。不过这些早期的工作 主要是在h i l b e r t 空间中展开讨论的，而对不定内积空间上的线性关系的研究则相对较晚。 虽然如此，近些年来随着对线性关系的进一步深入研究，有关不定内积空间上的线性关系的 理论得到了很大的发展，出版了不少相关的论文，例如p e k k as o r j o n e n ( 参看 1 5 ) ，a d i j k s m a a n dhs v d es d o o ( 参看 9 - 1 0 ) ，p e t e rj o n a sa n dh e i zl a n g e r ( 参看f 1 6 】) 等。 在本文中，主要讨论了k r e i n 空间上的线性关系与其算子部分之间的联系，并对线性关 系的两类不变子空间作出了一些初步的探讨，尝试着从另一个角度来说明k r e i n 空间上的 线性关系的一些性质。 本文第一部分讨论了k r e i n 空间上线性关系t 与其算子部分的联系，得出了在g = t n 砖j 是有限维的条件下，线性关系t 一定存在着算子部分，并由此得到线性关系的分解 性质( 定理 1 3 】，定理【1 4 ，定理 1 5 ) 在此基础上，对k r e i n 空间上一类特殊的线性关系 一正则线性关系作出了进一步的研究。 本文第二部分引入了k r e i n 空间上线性关系的第一类不变子空间，对线性关系的第一类 不变子空间与其算子部分的不变子空间之间的联系作了初步的讨论，并得出结论：fcd ( t ) 是线性关系t 的第一类不变子空间的充分必要条件是t ( o ) cf 且f 是t 的算子部分的不 变子空阿( 定理 2 8 ) 。 本文第三部分引入了k r e i n 空间上线性关系的第二类不变子空间，并对线性关系的第 一类不变子空间，线性关系的第二类不变子空间以及其算子部分的不变子空间三者之间的 联系作出了初步的讨论。 本文最后引入并讨论了k r e i n 空间上的投影线性关系以及线性关系的第二类约化子空 5 0k r e i n 空间上的线性关系 间，它们是进一步研究线性关系的一个基础。 o 2 基本概念 6 设( 日，h 】) 是一个k r e i n 空间，h 2 = h oh 在h 2 中具有如下的线性结构：对 v ，卢g ，v ，g ) ， h ，七) eh 2 ，有o ，g ) 十卢 h ，k ) = q ，十c h ，a g 十卢七) 如果t 是日2 的一个线性子流形，则称t 是h 上的线性关系对线性关系t ，有如下 定义： d ( t ) = f g l ( f ，g ) t ，f o r s o m e g 日) 称为t 的定义域； r ( t ) = 9 g l i f ，g t ，f o r 8 0 l t t e feh ) 称为t 的值域； n ( t ) = ( f 日【 ，0 ) t ) 称为t 的零空间； t 一1 = 9 ，f l ( f ，g ) t ) 称为t 的逆； = 1 0 ，g ) i ( o ，g ) t ) 称为t 的多值部分； t ( o ) = 1 9 1 1 0 ，9 ) t ) 如果s 也是h 上的一个线性关系，则定义： t + s = ，1g4 - h l f ，g ) t ， ，h ) s ) ； t + s = “，十h ，g 十k l ( f ，g ) t ， h ，) s ) ，其中t 与s 是线性无关的； t o s = t + s ，其中t 上】s ； t s = ，g ) t i f ， ) s ， ，9 ) t ，d r 8 0 7 7 1 e h h ) ； t = “， g l i f ，9 ) t ) ， c t 的伴随关系记为t + ：t + = “ ，k ) h 2 1 1 9 ，h = f ，札v ( f ，g ) t ) ； 如果对v f ，g t 有i m g ，f 0 ，则称t 是耗散的线性关系； 如果对v i f ，g ) t 有j m 扫，f 】_ 0 ，则称t 是对称的线性关系；显然t 是对称的线性 关系当且仅当t t + 如果t = t + ，则称t 是自伴的线性关系； 8 0k r e i n 空间上的线性关系 7 如果对v i f ，g ) t ，有【9 ，】o ，则称t 是非负的线性关系 对线性关系t ，定义其点谱为：a p ( t ) = a c l d i m n ( t a ) o ) ； t 的正则型点集定义为：r ( t ) = a c i ( t a ) _ 1 i sb o u n d e d o p e r a t o r ； t 的豫解集定义为：q ( t ) = a r ( t ) l r ( t a ) i s d e n s e i n 日) ； t 的谱集定义为：一( t ) = g p ( t ) o 3 线性关系的根流形 对v h f f p ( t ) ，定义t 的根流形为：协( t ) = u 是o ( ( t 一 ) “) ；如果h ( y p 口) ， 则令b ( t ) = o ) 如果o o 也是t 的特征根，即t ( 0 ) o ) ，则定义根流形e 。( t ) 为： e o 。( t ) = u 墨o t ”( o ) ；如果o 。不是t 的特征根，则令鼠。( t ) = o ) 由根流形的定义可得下述命题 命题o 1 倒设t ，s 是h 上的两个线性关系，如果sct ，则有毋( s ) c 取( t ) i r 删如果t 是对称的线性关系，h i ，则h ( t ) 上 h ( t ) ，即l h ( t ) 是零性的； f 圳如果t 是非负自伴的闭的线性关系，a i ，则e ( t ) = n ( t a ) = n ( t j ) = t ( o ) n n ( t ) 证明( i ) 不妨设a o p ( s ) ，则对v f e a ( s ) 存在f l ，2 ， 一1 毋( s ) 使得：f ，l + h f ) s ， f l ，f 2 + h f l ) s ，t 厶扎a ，札一1 ) s ，而sct ，所以 ，f l + h f ) t ， f l ，f 2 + h f l ) t ，( “ 一1 ) t ，即f ( ( t a ) “) ，故f 取( t ) ( i i ) 参看 9 ( i i i ) 对v f 毋( t ) ，则存在，l ，2 ， 一1 e a ( t ) 使得： ，f l + i f ) t ， f l ，f 2 + ，1 ) t ，( a 一2 a1 + 一2 ) t ， ，n 一1 ，h a 1 ) t ，于是 一1 n ( t h ) = t ( o ) n n ( t ) = n ( t j ) ( 参看【1 6 】) 即 0 ，n 1 ) t ，所以 一2 ， 一2 ) t ，即 一2 n ( t h ) = t ( o ) n n ( t ) 依次类推便可得： ，h f t ，即f n ( t 一 ) = n ( o ) n t ( o ) ，所以e z ( t ) cn ( t a ) 反之 显然从而得e a ( t ) = n ( t a ) = n ( t a ) = t ( o ) n ( t ) j 线性关系的算子部分 1 1 线性关系的分解 1线性关系的算子部分 8 定义1 1 设t 是不定内积空问阻f ，抄上的线性关系。如果存在线性算子4 二d ( t ) _ r ( t ) 使得对任意的z d ( t ) 有 z ，a x ) t ，则称a 为t 的算予部分d ( a ) = d ( t ) 显然t 存在算子部分当且仅当t 有这样的分解：t = n4 - 咒。，而且n 就是t 的算子 部分一般而言，t 的上述分解不唯一，从而t 的算子部分也就不唯一 例1 1设h = s p a n g l ，9 2 ) ，其中g l ，9 2 线性无关令t = s p a n g l ，g l ， 9 1 ，9 2 ) 则有 t o o = s p a n o ，9 1 一舶) ) 取n l = s p a n g l ，9 2 ) ) ，n 2 ：s p a n g l ，吼”则易知对l ，2 有t = n i 阜丁k ，t = 2 - l 丁磊，即l 与2 都是t 的算子部分 设t 是k r e i n 空间( h ，k 】) 上的线性关系，在h 2 = 日o h 上定义如下内积： z l ，y l ， x 2 ，y 2 = 。l ，口2 + y l ，2 】，v x l ，y l ， z 2 ，y 2 ) 珂2 则( h 2 ，h ) 也是k r e i n 空间；如果h 是”。空间，则日2 是7 r k 空间，其中g = k 2 参看 1 5 引理1 2 设t 是k r e i n 空间r e f ，上的线性关系，g = t k n ( 了k ) ，如果g 是有限 维的，那么死。有如下分解：7 k = 丑o g ，其中孔是非退化的 证明：在h i l b e r t 空间( h ，) ) 上考虑t k 与g ，其中( 。) j = j ， 由于g 是有限维的， 故可有t o o = t l _ ( e ) o 其中( o ) 是n 与g 在h i l b e r t 空间( h ，( ，) ) 中的正交直和从而在k r e i n 空间( h ，) 上有瓦。_ 噩4 - g ，但是g 上1 了k ，所以有g j - 1 噩，即t k = 已o g 又显然g 是 死。的迷向子空间，故乃是非退化的。 定理1 3 设t 是k r e i n 空问f h , l ，办上的线性关系，g = 死。n ( 瓦。) 【川如果g 是有 限维的，则t 一定存在算子部分，使得t 有如下分解：t = 乃o ( n 阜g ) 其中nc ，k 且 噩j 退化 证明：由引理1 2 可知。= 丑o g ，且孔非退化，从而日2 有分解：2 = 霸o ( q ) 于是t 有如下分解：t = 丑ot 2 ，其中t 2 = tn ( t 0 川下面证明m ) 。= g 任取 0 ，g ( t 2 ) o 。，则 o ，g ) 了k ，而瓦。= 噩og 故有 o ，9 ) = o ，吼) + o ，9 2 ) ，其中 ( 0 ，9 1 ) 皿， 0 ，9 2 ) g 又由于 o ，g ) ( 丑) 上 ，故 o ，9 ) ， o ，9 1 ) - o 于是有 o ，9 1 ) ， o ，9 1 ) _ o ， 5 1 线性关系的算子部分 9 但是乃非退化的，所以9 l = o 从而有 0 ，9 ) = m 9 2 ) g 即( 死) o 。cg 另一方面显然 有gc 乃，即gc ( m 2 ) 。，所以g = ( 噩) o 。显然g 是码的有限维子空间，则孔有分解： 见= 4 - g = n4 - m ) 。，故n 是噩的算子部分于是可得t = 噩o ( n - 4 - g ) _ 由t 的分解 可知珏的算子部分是t 的算予部分，即n 是t 的算子部分 推论1 设t ，乃是定理3 中所述的线性关系，码：t n 州上】则 阳如果t 是闲的线性关糸，贝1 jt 2 是闭的线性关糸； 删r ( t ) = 孔( 0 ) or ( t 2 ) 定理1 4 设t ，丑是满足定理，中的条件的线性关系，t 2 = t n 列“，且有d ( t ) c t ( o ) i 川，a c 则有如下结论： 倒t a = 孔o ( 码一a ) j f 冽兄【? 一a ) = t l ( o ) o r ( t 2 一 ) i m 刀如果只( t a ) 是闭的，则r ( 正一a ) 是闭的； p 一 ) = ( 幻一a ) j f w 唧( t ) = 唧( 噩) ，并且对任意a 隹唧( t ) ，关系( 噩一 ) 。是算子，且有 ( t a ) = ( 噩一a ) - 1o0 孔( o 】，其中0 n ( o ) 是n ( 0 ) 上的零算子； r 删如果t ( o ) c 日+ ，则有r ( t ) = r ( 死) ，其中h 是的正则分解的正部； f y 删如果? 1 是闭的线性关系，则有口) = 一【毛) 证明：( i ) ，( i i ) ，( i i i ) ，( i v ) 是显然的，下面证明( v ) 一( v i i ) ： ( v ) 由( i v ) 可得唧( t ) = 唧( 死) 均( 乃一a ) - 1 ( o ) ，则 9 ，0 ) ( 而一a ) ，但对v ag 唧( t ) 有( t a ) = 0 故( 噩一 ) = t o ) ，即g = o ，所以( 孔一 ) 。是算子由 i ) 可碍 ( t a ) 1 = ( 乃一 ) 一1o0 n ( o ) ( v i ) 设h = 日+ o 一首先显然有r ( ? ) cr ( 死) ，其巩v , t r ) ，则对v ( ，9 ) 珏 有c 0 使得怕一a 州c l l y l lv ，g ) t 有 0 ，9 1 ) 丑， ，9 2 ) 如使得( f ，9 ) = o ，9 1 ) + ，f9 2 ) 于是由丁( o ) ch + 可知怕一a 刚= 怕l + 9 2 一a 川恢一 刑c j 故 a r ( t ，从而有r ( t ) = r ( 孔) ( v i i ) 当t 是闭的线性关系时，有p ( t ) = p ( 码) 事实上，v a p ( t ) ，则t 是闭的线性关 5 1 线性关系的算子部分 1 0 系当且仅当r ( t a ) = 日，故由( i i ) 可知r m a ) = t i ( 0 ) i “，所以a p ( 噩) ，即p ( t ) p m ) ， 同理可得p ( 乃) cp ( t ) 从而得o ( t ) = 口( t 2 ) 定理1 5 设t ，n 是满足定理3 中的条件的线性关系，且噩= t n 纠刈则有下述命题 成立： 御t 是耗散的线性关系当且仅当t 2 是丑( o ) 上耗散的线性关系； 倒t 是对称的线性关系当且仅当噩是孔( o ) ( 上】上对称的线性关系； r j t 是自伴的线性关系当且仅当死是n ( o ) 上自伴的线性关系； w ，是压缩的线性关系当且仅当丑( o ) 非正且乃是压缩的线性关系； f t 是等距的线性关系当且仅当孔( o ) = 0 ) 且乃是等距的线性关系 证明：( i ) 设乃是孔( o ) 【上】上耗散的线性关系，则对v ，) t 2 有，r n ，明0 ，于 是对v f ，9 ) t 有m 9 ，】- j m 9 l + 9 2 ， = i m 9 2 ， 0 ，其中g l 7 1 ( o ) ， ，9 2 ) 噩故 t 是耗散的反之，如果t 是耗散的，则显然有孔是噩( o ) 【- 】上耗散的线性关系 ( i i ) 同( i ) 的证明，取i m g ， = 0 即可。 ( i i i ) 设t 是自伴的线性关系，则有tct + ，由( i i ) 知马是孔( o ) 上对称的线性 关系，即噩c 时，对是乃在乃( o ) 上的伴随v ，9 ) 时，对v ，) t ，则有 h ，) = 0 ，女1 ) + ( h ，k 2 ) 乃。噩，于是b ，州= ，2 _ 【，k l + k 2 _ ，乩所以 ，9 ) t + = t ， 设( ，9 ) = o ，9 i ) + ( ，9 2 孔。噩，因为 ，9 ， o ，9 1 】= ( o ，9 1 ， 0 ，9 1 ) j = 0 ，而丑是非退 化的，故9 1 = 0 ，所以 ，9 ) = ，9 2 ) 死，即时c 噩，从而乃= 对 反之，如果码是丑( o ) 【上】上自伴的线性关系，则由( i i ) 知tct + v f ，g ) t + ，则 对v 0 ，使得对v t u 成立 l ，一啦扩 m t 2 “，其中a i r ，i = 0 ，1 ，2 ，2 n 设t 是7 r k 空间上自伴的y - n 线性关 系且t 是闭的线性关系，c ( t ) = o ) ，相应于0 的根向量最高阶数为n ，a 是t 的算子部 分，则由前面定理1 5 可知a 是”k 空间上的自伴算子再由推论3 可以得到t 与a 的广 义临界点是一致的，故有c ( a ) = ( o ) ，且相应于。的根向量最高阶数为n 于是可得a 的算 子演算： ，( a ) = 忡) 一n i t 。】d 蜀+ 啦 。 i = 0i = o 2 n 其中d ( ，( a ) ) = d ( a 2 “) n z 1 ，1 ，( t ) 一a i i 。1 2 d t t e , z l l 2 + 。) ， e 。) 是a 的谱系 i = 0 由此引入定义： ，口) = f ( a ) i o 其中i = “z ，z ) i z d ( ，( ) ) ) 定理1 1 3 设t 是7 r k 空间上自伴的正则线性关系且t 是闭的，c ( t ) = f 0 1 ，相应于0 的根向量最高阶数为 ，如果? 的算子部分a 是殛上的有界算子，则： 倒f ( t ) 是自伴的正则线性关系； 矽- 盘。果t ( o ) 是闭的，1 lo ( ，( t ) ) = ，( a ( t ) ) 证明：( i ) 由f ( t ) 的定义可知( ，( t ) ) 。= 7 k ，故f ( t ) 是正则的线性关系由定理1 5 可知，因为t 是自伴的，故a 是, i r k 上的自伴有界算子，于是f ( d ) 是自伴的( 参看 1 7 ) ， 从而再由定理1 5 可得f ( t ) 是自伴的线性关系 ( i i ) 由f ( a ) = ，( a ) + 知f ( a ) 是闭的，再由定理1 4 及t ( 0 ) 是闭的可知f ( t ) 是闭的， 故有a ( ，( t ) ) 一o ( ，( a ) ) = ，( a ( a ) ) = ，( 。( t ) ) 5 2 线性关系的第一类不变子空间 2 线性关系的第一类不变子空间 1 6 定义2 1 设t 是k r e i n 空间( 日，h ) 上的线性关系，对v ，ed ( t ) ，令t ( f ) = 9 h l f ，g ) et ) ，又对任意fcd ( t ) ，令t ( f ) = u ，f t ( f ) 设f ch ，如果t ( f n d ( t ) ) cf ， 则称f 是t 的第一类不变子空间 命题2 2 例如果fcm cd ( t ) ，那么t ( f ) ct ( m ) i 倒设皿，乃是h 上的线性关系，f c d ( t 2 ) ，则有丑( t 2 ( f ) ) = 日孔( f ) 证明 ： ( i ) ? ( f ) = u j e f ? ( ，) cu ，m t ( ，) = t ( a f ) ( i i ) 对v g 日( 乃) ) ，则存在h t 2 ( f ) ，使得g 矸( ) 故存在，f 使得( f ，h t 2 ， h ，g ) e 孔，所以 ，g ) 乃死，即有9 t l t 2 ( f ) 反之，v g t 1 t 2 ( f ) ，则存在，f ， 使得 f ，9 ) 丑乃于是存在 ，h ) 乃， h ，g ) 丑，即有h t 2 ( f ) ，g 豇( ) ，从而有 g 丑( 死( f ) ) 所以n ( 乃( f ) ) = n t 2 ( f ) 显然由定义可知h ，r ( t ) 均是t 的第一类不变子空间易知当t 是算子，即t ( o ) = 0 ) 的时候，上述第一类不变子空间的定义与算予的不变子空间的定义是一致的，然而当t 不 是算子，即t ( 0 ) o ) 的时候，上述第一类不变子空间的定义与算子的不变子空间的定义 有着本质的区别 例2 3 设h = s p a n 9 1 _ ，9 2 ，其中g t ，9 2 是线性无关的令t = s p a n ( g l ，o ) ， 0 、9 2 ) ) 是日2 上的线性关系，则易知t ( o ) = s p a n 9 2 ，n ( t ) = s p a n 9 1 ) 由于t ( o ) n d ( t ) = 0 1 ，n ( t ) = d ( t ) = s p a n 9 1 ) ，故有t ( t ( o ) nd ( t ) ) = t ( o ) ) = t ( o ) ，t ( n ( t ) nd ( t ) ) = t ( d ( t ) ) = s p a n 9 2 ) ，所以t ( o ) 是t 的第一类不变子空间，而n ( t ) 不是t 的第一类不变子空间 又易见t ( o ) ) = t ( 0 ) = s p n 9 2 ，故 0 ) 也不是t 的第一类不变子空间 定理2 3 o 是t 的第一类不变子空i 司当且仅当t 是算子 证明：设 o ) 是t 的第一类不变子空间，则有t ( o ) ) = t ( 0 ) c o ) ，所以7 ( o ) = o ) ， 即t 是算子反之，若t 是算子，则? ( o ) ) = t ( 0 ) = o ) ，故 o ) 是t 的第一类不变子空 i 司 定理2 4 如果p ( t ) 0 ，那么n ( t ) 是t 的第一类不变子空间的充分必要条件是t 是 算子， 证明：设l v ( t ) 是t 的第一类不变子空间，则t ( n ( t ) n d ( t ) ) = 丁( 口) ) 对v ge 2 线性关系的第一类不变子空间 1 7 t ( ( ? 1 ) ) 有f ( t ) 使得9 t ( n 即 ，) 0 ) t ，( ，9 ) t ，所以( 0 ，9 ) t 而9 ( t ) ，故 9 = 0 若不然，则有9 0 使得ge ( t ) n t ( o ) ，从而对v a g 有( 9 ，均) t ，即口( t ) = g ，矛 盾于是t ( o ) ct ( n ( t ) n d ( t ) ) = t ( ( 丁) ) = o ) ，故t ( 0 ) = o ) ，即t 是算子反乙若t 是算 子，则t ( 0 ) = o ) ，对v ，( t ) ，t ( ，) = o ) ，所以t ( n ( t