误差椭圆ppt课件

误差椭圆,导入项目如图所示，在测边网中，设待定点P1、P2两点的坐标为未知参数，采用间接平差法，算得的协因数阵，即法方程系数阵的逆阵为平差后，计算得单位权中误差为。试求P1、P2两点的误差椭圆及相对误差椭圆。,1,误差椭圆,学习情境点位中误差虽然可以用来评定待定点的点位精度，但是它们却不能代表该点在某一任意方向上的位差大小，但在有些情况下，往往需要研究点位在某些特殊方向上的位差大小，此外还要了解点位在哪一个方向上的位差最大，在哪一个方向上的位差最小。例如，在桥梁施工放样中，需要沿桥中轴线方向上的位差最小。为了便于确定待定点的点位在任意方向上的位差的大小，一般是通过求待定点的点位误差椭圆来实现的，通过误差椭圆可以求得待定点在任意方向上的位差，这样就可以精确、形象而全面地反映待定点的点位在各个方向上误差的分布情况。,2,误差椭圆,知识准备1.点位真误差在测量中，为了确定待定点的平面直角坐标，通常需进行一系列观测。由于观测值总是带有观测误差，因而根据观测值，通过平差计算所获得的是待定点坐标的平差值，而不是待定点坐标的真值，。如图3.5-1中，A为已知点，假定其坐标是不带误差的数值。P为待定点的真位置，P点为经过平差所得的点位，两者之距离为P，称之为点位真误差，简称为真位差。由图可知，在待定点的这两对坐标之间存在着误差x，y，则：,3,误差椭圆,（3.5-1）且有（3.5-2）x，y为真位差在x轴和y轴上两个位差分量，也可理解为真位差在坐标轴上的投影。设x，y的中误差为，考虑x与y互相独立，对式(3.5-2)进行误差传播，可得点P真图3.5-1位差的方差P为（3.5-3）式中，通常定义为点P的点位方差；为点位中误差。如果将图3-1中的坐标系旋转某一角度，即以为坐,4,误差椭圆,标系（图3.5-2），则可以看出P的大小将不受坐标轴的变动而发生变化，此时，仿式(3.5-3)可得(3.5-4)这说明，尽管点位真误差P在不同坐标系的两个坐标轴上的投影长度不等，但点位方差总是等于两个相互垂直的方向上的坐标方差之和，即它与坐标系的选择无关。图3.5-2如果再将点P的真位差P投影于AP方向和垂直于AP的方向上，则得和（见图3.5-1），、为点的纵向误差和横向误差，此时有（3.5-5）,5,误差椭圆,仿式（3.5-3）又可以写出（3.5-6）通过纵、横向误差来求定点位误差，这在测量工作中也是一种常用的方法。上述的和分别为点在x轴和y轴方向上的中误差，或称为x轴和y轴方向上的位差。同样，和是点在AP边的纵向和横向上的位差。为了衡量待定点的精度，一般是求出其点位中误差，为此，可求出它在两个相互垂直方向上的中误差，就可由式（3.5-3）或式（3.5-6）计算点位中误差。,6,误差椭圆,2点位误差及其计算点位方差可用式（3.5-3）计算，由定权的基本公式可知，（3.5-7）将上式代入式（3.5-3）可得（3.5-8）可见，只要计算出、及单位权方差，就可计算出。关于、的计算问题，以间接平差方法概述如下：当以三角网中待定点的坐标作为参数，按间接平差法平差时，法方程系数阵的逆阵就是参数的协因数阵，当平差问题中只有一个待定点时（3.5-9）,7,误差椭圆,其中主对角线元素、就是待定点坐标平差值x、y的权倒数，而、则是它们的相关权倒数。相关权倒数将在后面的公式推倒中用到。当平差问题中有多个待定点，例如s个待定点时，参数的协因数阵为（3.5-10）待定点坐标的权倒数仍为相应的主对角线上的元素，而相关权倒数则在相应权倒数连线的两侧。,8,误差椭圆,1误差曲线误差曲线的定义是：以待定点P为极点，为极角，为长度的极坐标点的轨迹，这个曲线把各方向的位差清楚地图解出来了，如图3.5-5中OP的长度就是O点在OP方向上的位差。由图3.5-5可看出，误差曲线关于两个极轴（E轴和F轴）对称，通常称之为点位误差曲线或点位精度曲线。误差曲线在工程测量中有广泛的应用，当控制网略图和待定点的误差曲线图3.5-5,9,误差椭圆,给出后，可根据这个图得到坐标平差值在任一方向的位差大小。如图3.5-6为控制网中P点的点位误差曲线，A、B、C为已知点。由图3.5-6可知，由图还可得到坐标平差值函数的中误差。例如要想得到平差后方位角的中误差，可先从图中量出垂直于PA方向上的位差，这是边的横向误差，则由下式可得图3.5-6上式中为PA的长度。又如PB边长的中误差为。,10,误差椭圆,2误差椭圆误差曲线作图不太方便，因此实用价值不高，为此可用形状与误差曲线很相似，以E、F为长、短半轴的椭圆来代替它（如图3.5-7所示）。此椭圆称点位误差椭圆，而、E、F称为点位误差椭圆的元素（参数）。误差椭圆与误差曲线的两个极值方向完全重合，其他各处两者差距也甚微，在点位误差椭圆上也可以图解出任意方向的位差。其方法是：如图3.5-7所示，自椭圆作方向的正交图3.5-7,11,误差椭圆,切线PD，P为切点，D为垂点，可以证明。从图3.5-7中可以看出，与相应在方向上误差椭圆的向径，由于与相差很小，在估算控制网中可近似应用，一般不作误差曲线。需要指出的是，在以上的讨论中，都是以一个待定点为例，说明了如何确定该点点位误差椭圆或点位误差曲线的问题。如果网中有多个待定点，也可以利用上述相同的方法，为每一个待定点确定一个点位误差椭圆或点位误差曲线。若平差采用间接平差法，设有s个待定点，则有2s个坐标未知数，其相应的协因数阵为式（3.5-10）。为了计算第i点点位误差椭圆的元素，则需用到、和，并按第一节中所述的方法，由式（3.5-24）、式（3.5-18）和式（3.5-19）算,12,误差椭圆,出、，然后，作出该点的点位误差椭圆。另外还要指出，前面曾说明如何利用点位误差曲线从图上量出已知点与待定点之间的边长中误差，以及与该边相垂直的横向中误差，从而求出方位角中误差。如果网中有多个待定点时，则可作出多个点位误差曲线，此时，也可利用这些点位误差曲线，确定已知点与任一待定点之间的边长中误差或方位角中误差，但不能确定待定点与待定点之间的边长中误差或方位角中误差，这是因为这些待定点的坐标是相关的。要解决这个问题，需要