（基础数学专业论文）2pq阶3度cayley图.pdf

摘要 群g 的一个c a y l e y 图x = c a y ( g ，s ) 称为正规的，如果右乘变换群r ( g ) 在 a u t x 中正规本文研究了2 p q 阶群g = ( a ，ba p q = b 2 = 1 ，a b = a 7 ) 的3 度c a y l e y 图的正规性，这里q p ；p ，q 为奇素数且q l ( p 一2 ) ，r = 士p 一1 ) ，并得出这两类群 的3 度c a y l e y 图都是正规的，也完成了对它们的分类 关键词：c a y l e y 图；正规c a y l e y 图；2 南阶群 a b s t r a c t a c a y l e yg r a p hx = c a y ( a ，s ) o fg r o u pg i ss a i dt ob en o r m a li fr ( g ) ，t h eg r o u po f r i g h tm u l t i p l i c a t i o n s ，i sr l o r r l l a li na u t x l e tg = ( ，bla p q = 6 2 = 1 ，a 6 = a r ) ，w h e r ep ，q a r eo d dp r i m e s ，q p ，a n dqi ( p 一2 ) ，r = 士一1 ) ，sb eag e n e r a t i n gs e to f g ，i s l = 3 i nt h i sp a p e r ，w ec l a s s i f y3 - v a l e n tc a y l e yg r a p h so fg ，a n ds h o wt h a ta n y3 - v a l e n tc a y l e y g r a p hx = c a y ( g ，s ) o fg i sn o r l t l a k e yw o r d s ：c a y l e yg r a p h ；n o r m a lc a y l e yg r a p h ；g r o u p so fo r d e r2 p q 2 引言 群和图一直都是人们研究得很多的数学对象，但把二者结合起来研究：应 用图来研究群以及应用群来研究图则是比较近的工作例如用图论方法研究置 换群见【3 】3 中的第十二章内容；用群论方法来研究图如群的c a y l e y 图，对称图， 半对称图等，可见文章【2 3 ，2 4 ，2 5 ，2 6 ，2 7 c a y l e y 图是由英国数学家a c a y l e y 于1 8 7 8 年构造出来的高对称正则图，由 于具有强对称( 点传递) 的性质，使得以它为模型的网络在每个结点上都有相 同的路由和通信系统，被认为是非常适合作为研究互连网络拓扑结构的模型 因此它的重要性日益增加，吸引了更多的学者 有关群论和图论的术语见文献【1 , 2 ，3 】本文中所有的图都是有限，简单及 无向的 给定一个图x ，我们用y ) ，a ) ，e ( x ) 和a = a u t ( x ) 分别表示图x 的 顶点集，弧集，边集和全自同构群用x ，( 移) 表示点v 的邻点集合 令g 是一个有限群，s 为g 的不包含单位元1 的子集，我们如下定义 群g 关于其子集s 的c a y l e y 有向图x = c a y ( g ，s ) ：顶点集为y ( x ) = g ，边集 为e ( x ) = ( 夕，s g ) l g g ，8 s ) ，如果s = s _ 1 则可将两条有向边( g ，h ) 和( ，g ) 看作一条无向边，从而c a y ( g ，s ) 可以看作一个无向图，这个图称为g 关于s 的c a y l e y 图c a y l e y 图c a y ( g ，s ) 叫做正规的，如果r ( c ) 塑a = a u t ( x ) 称 一个有限群g 有正规的c a y l e y 图，如果g 有子集s 使得群g 关于子集s 的 c a y l e y 图x = c a y ( c ，s ) 是正规的从c a y l e y 图的定义可以看出所有的右乘作用 r ( g ) 一锄ig g ) ，岛：z x g ，v x g ，是图x 的全自同构群a u t ( x ) 的一个子 群，并且r ( g ) 在点集v ( x ) 上正则，特别地a u t ( x ) 在v ( x ) 上传递图的某些性 质常常是由这个图的全自同构群来决定的，例如图的对称性然而决定一个图 的全自同构群通常来说是比较困难的，对于c a y l e y 图x = c a y ( c ，s ) ，一个常用 的方法是寻找r ( c ) 与a u t ( x ) 之间的关系，例如r ( g ) 在a u t ( x ) 中是否正规， 另外某些图同构可以由群同构来表示，即n a u t ( x ) ( r ( g ) ) = r ( g ) ：a u t ( g ，s ) ， 其中a u t ( g ，s ) = 盯a u t ( g ) i 酽= s 因此如果r ( g ) 在a u t ( x ) 中正规，则 a u t ( x ) 的结构就比较清楚了 近几年来，大量学者在c a y l e y 图的正规性方面作了许多重要的工作在文 献【6 ，7 ，8 ，2 0 】中，作者分别确定了素数阶循环群，阶为两个不同奇素数的群，2 p ( p 为素数) 阶群的c a y l e y 图的正规性以及所有印2 为素数) 阶群的4 度1 一正则 c a y l e y 图的正规性所有矿0 为奇素数) 阶群的4 度连通c a y l e y 图、非交换单群 上3 度连通边传递图和大多数非交换单群上3 度连通图都是正规的( 【1 0 ，1 1 ，2 1 1 ) ； 线性群p s l ( 2 ，q ) 上所有连通2 度c a y l e y 有向图、交换群上大多数连通小度数 c a y l e y 图和具有两个幂零类的p 群( p 为素数) 上所有连通4 度c a y l e y 图也都 是正规的( 1 2 ，1 4 ，1 5 ，1 6 1 ) 在文献【9 ，1 3 ，1 7 ，1 8 ，1 9 1 中，作者确定了所有不连通的正规 c a y l e y 图、二面体群所有非正规的4 度1 一正则c a y l e y 图、2 矿0 为素数) 阶群 的所有2 度、3 度非正规c a y l e y 有向图以及正则p 群上2 度连通非正规c a y l e y 图的分类 设p ，q 是两个奇素数且q p ，则由群论知识当q 不整除一1 ) 时2 p q 阶群 有四类： g = ( a ，b ln p g = 6 2 = 1 ，a 6 = a 7 ) 式中r 满足r 2 三l ( m o dp g ) 据数论知识r 2 兰l ( m o dp q ) 有4 个解：- i - 1 ，士( 万一 q q 7 ) ( m o dp q ) ，其中一，口，分别满足p p 三1 ( r o o dq ) 与q q 三l ( m o dp ) 特别地，当 q l ( p 一2 ) 时，显然此时q 不整除( p 一1 ) ，r 2 三l ( m o dp q ) 的4 个解为：= e l ，士( p 1 ) 本文主要是研究2 p q 阶群g = ( 口，ba ! t “= 6 2 = 1 ，a b = a ) 的3 度c a y l e y 图的 正规性，这里q p ；p ，q 为奇素数且q i 一2 ) ，r - 4 - 1 由上面分析满足这样条件 的群有两类： g 1 = ( a ，ba p e = b 2 = l ，a 6 = a p _ 1 ) ，这里q p ；p ，q 为奇素数且q l ( p 一2 ) ， g 2 = a ，ba p q = b 2 = 1 ，a 6 = a 1 - p ) ，这里g p ；p ，q 为奇素数且q l ( p 一2 ) 并得到了以下结果： 定理1 设x = c a y ( g l ，s ) 是群g 1 关于生成子集s 的3 度c a y l e y 图，其 中， 2 g l = ( a ，ba p q = 6 2 = 1 ，a 6 = a p _ 1 ) ，这里q p ；p ，q 为奇素数且q l ( p 一2 ) ，则x 同构 于下列图之一： ( 1 ) c a y ( g 1 ，最) ，其中岛= a b ，( a b ) ，6 ) ， ( 2 ) c a y ( g l ，岛) ，其中岛= o ，a ，6 且( 1 ) ，( 2 ) 都是群g - 的正规c a y l e y 图，点稳定子群a 。同构于历 定理2 设x = c a y ( g 2 ，s ) 是群g 2 关于生成子集s 的3 度c a y l e y 图，其 中， g 2 = ( a ，bla p q = 6 2 = 1 ，a 6 = a l - p ) ，这里q 2 时，a u t ( z 玉) 型z 一，伊1 ) ； ( 2 ) 当p = 2 时，a u t ( z 2 ) = 1 ；当n 2 时，a u t ( z 2 ，) 型z 2 易一。； ( 3 ) 设扎可素分解为n = p 7 1 p r 2 碟，其中p i 为互不相同的素数，则 a u t z 曼磕，”一x 珞 设g 1 = ( a ，bi 俨= b 2 = l ，a 6 = a p - 1 ) ，g 2 = ( n ，bia p q = b 2 = 1 ，a b = a 1 1 ) ，这里 q p ；p ，q 为奇素数且口l ( p 一2 ) ，以下我们分别考查g l ，g 2 中的元素的阶，g z ，g 2 的中心 根据g 1 ，g 。的生成关系知g 。，g 2 中的元素形如：，a j b ( 1 ) g 。中元素的阶： 显然： o ( o ) = p q ，( ，p q ) = 1 ；d ( 口) = q ，0 ，p q ) = p ；d ( ) = p ，“，p q ) ：= q ； 由彬6 ；a p j ，故 o ( a j b ) = 2 车= 力兰0 ( r o o dp q ) = = 争j 三0 ( r o o dg ) ； 当j 0 ( r o o dq ) 时，由o ( a p o ) = q 故此时o ( a j b ) = 2 q 于是： o ( a j b ) = 2 ，j 兰0 ( r o o dq ) ；o ( a j b ) = 2 q ，j 0 ( r o o dg ) 5 ( 2 ) g 2 中元素的阶： 显然： o ( o ) = p q ，( t ，p q ) = 1 ；o ( a 。) = q ，( i ，p q ) = p ；o ( a ) = p ，( i ，p 口) = q ； 由a j b a j b = ( 2 - p ) j ，故 o ( a j b ) = 2 = 争( 2 一p ) j 三0 ( m o d 册) = j 兰0 ( m o dp ) ； 当j 0 ( r o o d p ) 时，由o ( 口( 2 一v ) j ) = p 故此时o ( a j b ) = 印于是： o ( m b ) = 2 ，j 三0 ( r o o dp ) ；o ( a j b ) = 2 p ，j 0 ( r o o dp ) 考虑g - 的中心z ( c 。) ： 由 z ( g 1 ) 甘( a i ) 6 = a i 铮a i o , - 2 ) = 1 铮i 0 2 ) 兰0 ( m o dp q ) 甘i 三0 ( m o dp ) 再由对任意i z 南，( a i b ) 8 = a i b a a i b 知粕不属于z ( 0 1 ) 总上可知。z ( g ) = ( 扩) 虑考的中心z ( v 。) ： 由 a i z ( g 2 ) 骨( a i ) 6 = a 甘a - l , i = 1 铮i 兰0 ( m o dq ) ； 再由对任意i 2 茹，( a i b ) 。= 酽a i b 知如不属于z ( g 2 ) 总上可知：z ( c 。) = ( n a ) 下面我们考虑群g ，g 。的全自同构群，从而确定群g 。，g 。的所有3 度c a y l e y 图x = c a y ( g i ，s ) 中的s 其中i 一1 ，2 我们有以下结论： 引理1 1 设群g 1 = ( a ，b ia p q = b 2 = 1 ，a b = a p _ 1 ) ，这里q p ；p ，q 为奇素数且 q i ( p 一2 ) 则a u t g l 型乙：( 名一1 磊一1 ) 证明( 1 ) 首先确定a u t g - 的阶 考虑a u t g l 中元的形式，对于妒a u t g l ，则l p 有以下形式： 妒：a _ a ，b _ 扩q b ，( i ，p q ) = 1 ，k 乙 因此i 有妒) 种选择，k 有p 种选择，故l a u t g - j 咖) p ；另外对于任意的 妒：a _ a ，b _ 扩q b ，( i ，p q ) = 1 ，k 乙， 6 均为a u t g l 中的元，因此i a u t g t l = ) p ( 2 ) 我们确定a u t g l 的结构 记( a u t g l ) b = e a u t g ll 萨= 吣，则( a u t g l ) b a u t g l 由命题6 知 ( a u t g l ) b 些( a u t z p q ) 竺笺z ；召= 磊一1 乙一1 ， 故总存在适当的岛t ，其中s 为型名一，召一- 中的p 1 阶元，t 为鲁z p t 乙一1 中的q l 阶元，p ：一口s ，b 一6 ；，y ：一，b b ，使得 ( a u t g l ) b = ( 卢，7 ) = ( p ) ( ，y ) 竺乙一1 z ；l ； 记( a u t g l ) 。= ( e a u t g lj 水= 8 ) ，贝0 ( a u t g l ) 。a u t g l 且i ( a u t g l ) 。l = p 由 o t ：a a ，b a q b 知a ( a u t g l ) 。且o ( q ) = p ，故 ( a u t g l ) 。= ( n ) 垒名 显然： ( a u t g l ) 。n ( a u t g l ) b = 1 ， 且由： = p 一1 口卢：a - a ，b _ a 8 q 6 知q 口= o 。； 矿= 7 1n 7 ：a _ a ，b _ a t q b 知矿= 故( a u t g l ) 6 正规化( a u t g l ) 。，且( a u t g l ) 6 中的元与( a u t g l ) 。中的不可换 综上：a u t g l = ( a u t g l ) 。：( a u t g l ) 6 = ( o ) ：( ( 卢) ( ，y ) ) 垡名：( 乙一1 磊一1 ) 几 引理1 2 设群g 2 = ( n ，bia p e = 6 2 = 1 ，a b = a l p ) ，这里q p ；p ，q 为奇素数且 q l ( p 一2 ) 则有a u t g 2 垒乙：( 乙一i x 磊一1 ) 证明( 1 ) 首先确定a u t g 。的阶 考虑a u t g 2 中元的形式，对于妒a u t g 2 ，则妒有以下形式： i p ：a _ a s ，b - a k v b ，( t ，p q ) = 1 ，k 名 因此i 有) 种选择，k 有q 种选择，故l a u t g 。i 妒p q ) g ；另外对于任意的 妒：a _ 矿，b _ a k v b ，( ，p q ) = 1 ，k 名 均为a u t g 2 中的元，因此i a u t g 2 l = 妒) q 7 ( 2 ) 其次我们确定a u t g 2 的结构： 记( a u t g 2 ) b = 代a u t g 2i6 f = 6 ，则( a u t g 2 ) 6 ( a u t g 2 ) 由命题6 知 ( a u t g 2 ) b 鲁( a u t ) 型编垒z ；召= 磊一1x 名1 故总存在适当的s ，t ，其中s 为竺磊一，名一，中的p 一1 阶元，t 为竺磊一t z 口一1 中的q 一1 阶元，卢：o a 8b 一6 ；1 ：n o ，b b ，使得 ( a u t g 2 ) b = ( p ，y ) = ( 口) x ( ，y ) ；! z o l 磊一l ； 记( a u t g 2 ) 。= ( a u t g 210 = 口 ，则( a u t g 2 ) 。a u t g 2 且i ( a u t g 2 ) 。l = q 由 8 ：a _ a ，b a p b 知o l ( a u t g 2 ) 。，且d ( o ) = q ，故 ( a u t g 2 ) 。= ( 口) 垒毛 显然： ( a u t g 2 ) 。n ( a u t g 2 ) b = 1 ， 且由： = p _ 1 卵：n _ d ，b _ a , p b 知o f f = o l 。， 0 1 7 = 1 一o ，y ：a _ a ，b - a t p b 知n 7 = o l ， 故( a u t g 2 ) 6 正规化( a u t g 2 ) 。，且( a u t g 2 ) 6 中的元与( a u t g 2 ) 。中的不可换 综上：a u t g 2 = ( a u t g 2 ) 。：( h u t g 2 ) b = ( 口) ：( ( 卢) x ( 7 ) ) 笺磊：( 乙一lx 乙一1 ) 几 引理1 3 设群g 1 = ( a ，bla p e = b 2 = 1 ，n 6 = a p - 1 ) ，这里q p p ，q 为奇素数且 q i ( p 一2 ) s 为g 。中不包含单位元的3 元子集，并且满足s = s ，( s ) = g t 则s 在a u t g 。下的轨道有两个，其代表元分别为： 岛= a b ，( 8 一1 ，6 ) ；s 2 = n ，a 一1 ，6 ) 证明由s = s 4 和s 为g ，的3 元子集知s 中必有2 阶元，由于a u t g l 在g 。的所有2 阶元所构成的子集上传递，故我们不妨设2 阶元b s ；注意到 s = s 一1 ，于是g 。的3 元子集s 在a u t g l 下的轨道，可分5 种情况：s 中只有2 阶元；s 中有2 阶元b 和2 q 阶元；s 中有2 阶元b 和p 阶元；s 中有2 阶元b 和q 阶元；s 中有2 阶元b 和粥阶元下面分别讨论： 8 ( 1 ) s 中只有2 阶元：s ： 6 ，8 l q b ，o 蛔6 ) 其中七l ，如z p ，后l 乜则 ( s ) ( b ，o 口) o ，6 ) = g - ，不满足( s ) = g ，故( 1 ) 不可能出现 ( 2 ) s 中有2 阶元和2 9 阶元；s 一 6 ，a i b ，( a i b ) - 1 ，其中i 0 ( r o o dq ) 对于此 种情况，( s ) = g l 甘( b ，o ) = g 1 = 争( ，卿) = 1 此时取一：o 一，b b ，其中 i 1 为i 在z 茹中的逆元显然盯a u t g 。且有酽= p ，a b ，( a b ) 1 ) 在同构意义下 只须考虑岛= a b ，( a b ) 一，蛆即可 ( 3 ) s 中有2 阶元和p 阶元：s = 6 ，口b ，a - k q ，其中七名，则( s ) ( 6 ，n 叮) ( ，b ) = g - ，不满足( s ) = g ，故( 3 ) 不可能出现 ( 4 ) s 中有2 阶元和q 阶元：s = 6 ，n 却，d 一却) ，其中七磊，则由n 蛔z ( g 1 ) 知( s ) 为交换群，而g 。非交换群，故不满足( s ) = g t ，从而( 4 ) 也不可能出现 ( 5 ) s 中有2 阶元和p 口阶元：s = 6 o ，o 一) ，其中( i ，粥) = 1 ，由于( i ，p q ) = 1 ， 取盯：口一，b b ，其中i _ 1 为i 在磊中的逆元显然盯a u t g l ，且有 舻= 6 n ，n - 1 ) 在同构意义下只须考虑岛= 0 口，6 ) 即可 综上可知，引理得证 i 1 引理1 4 设群g 2 = ( n ，bi 俨= 6 2 = 1 ，扩= a l - p ) ，这里q p ；p ，q 为奇素数且 q l ( p 一2 ) s 为g 。中不包含单位元的3 元子集，并且满足s = s ，( s ) = g 。则s 在a u t g 。下的轨道有两个，其代表元分别为： 毋= a b ，( a b ) ，6 ；s 2 = o ，8 一，6 证明由s = s _ 1 和s 为g 2 的3 元子集知s 中必有2 阶元，由于a u t g 2 在g 2 的所有2 阶元所构成的子集上传递，故我们不妨设2 阶元b s ；注意到 s = s ，于是g 。的3 元子集s 在a u t g 。下的轨道，可分5 种情况：s 中只有 2 阶元；s 中有2 阶元b 和2 p 阶元；s 中有2 阶元b 和p 阶元；s 中有2 阶元 b 和q 阶元；s 中有2 阶元b 和p g 阶元下面分别讨论： ( 1 ) s 中只有2 阶元：s = 协。咖6 ，a k 2 p b 其中七1 ，如幺，h 如则 ( s ) ( b ，矿) ( n ，b ) = g 。，不满足( s ) = g 。，故( 1 ) 不可能出现 ( 2 ) s 中有2 阶元和2 p 阶元：s = 6 ，a i b ，( 口6 ) - 1 ) ，其中i 0 ( m o dp ) 对于 9 此种情况，( s ) = 岛骨( b ，a ) = g 2 铮( 1 ，p q ) = 1 此时取仃：a a 广1 ，b b ，其 中i 1 为t 在z 品中的逆元显然盯a u t g 2 且有s o = b ，a b ，( n 6 ) - 1 ) 在同构意义 下只须考虑岛= a b ，( a b ) ，6 ) 即可 ( 3 ) s 中有2 阶元和p 阶元：s = 6 ，a h ，a - k q ，其中k 名，则( s ) ( b ，a q ) 缸，b ) = g 2 ，不满足( s ) = g 2 ，故( 3 ) 不可能出现 ( 4 ) s 中有2 阶元和q 阶元：s = 6 ，o 却，a - k p ，其中k 磊，则由8 卸z ( v 2 ) 知( s ) 为交换群，而g 2 非交换群，故不满足( s ) = g 。，从而( 4 ) 也不可能出现 ( 5 ) s 中有2 阶元和p q 阶元：s = 6 ，a i ，a 一) ，其中( 1 ，p q ) = 1 ，由于( i ，p q ) = 1 ， 取盯：n 一，b b ，其中l - 1 为 在绍中的逆元显然盯a u t g 2 且有 酽一 6 ，n ，a - 1 在同构意义下只须考虑岛= 口，a ，6 即可 综上可知，引理得证 口 1 0 二 主要结果及证明 在第一部分中，我们主要介绍了本篇文章所要用到的一些引理，基本命题 在这一部分，我们将证明本篇文章的主要结论：设g = ( a ，bla p q = b 2 = 1 ，a 6 = a r ) ， 这里q p ；p ，q 为奇素数且q l ( p 一2 ) ，r = 士( p 一1 ) 则g 的所有3 度c a y l e y 图都是 g 的正规c a y l e y 图，且点稳定子群a 。都同构于易 在引理1 3 和引理1 4 中，我们已对群g 的所有3 度c a y l e y 图作了完全的 分类，在以下两节，我们利用群论知识以及组合的方法逐类论证，最后得到g 的所有3 度c a y l e y 图都是正规的并得到了一些不同构的群具有同构的c a y l e y 图的例子 在本部分中，若不特别声明，p ，q 总是指奇素数，且满足关系q 3 则x = c a y ( g ，研) ( 图1 1 ) 是正规的c a y l e y 图，且a 1 型忍 a l 图1 1 证明观察图1 1 ： ( 1 ) 首先证明a - 在岛中作用忠实即：对任意妒a 。，且i pl = 1 s l ，则有 = 1 对任意妒a l ，且妒i 岛= 1 趴则有妒固定点0 6 ，( n 6 ) 一，b 及其邻域 1 ，a p ，n p ) ， 1 1 2 n ，n 1 一，) ， 1 ，a - ，a - 1 ) 如图( 1 1 ) 所示，过点1 ，b ，a b 有且仅有一个6 - 圈( 1 ，a b ，a p ，a p b ， a ，b ，1 ) ，所以妒固定这个6 - 圈，因而妒固定点，a p ；同理过点1 ，b ，( a b ) _ 1 也是有且 仅有一个6 - 圈( 1 ，b ，a l - p ，a - p b ，a - p ，( a b ) ，1 ) ，所以p 固定这个6 - 圈，因而妒固定 点a 1 - 一，a - ，与此同时a p ，o 。也被妒固定此时有妒i 鲆= 1 ，即妒= 1 进而可得 a 。在岛上忠实作用 ( 2 ) 其次证明a 。不可能传递作用在s 1 上( 反证法) 由a 1 在& 上忠实作用知a ，s 3 ，又由群同构盯：口一a l - p ，b b 保持集合 研不动，故盯h u t ( g ，s ) a 。，且o ( o ) = 2 事实上，若a - 传递作用在岛上， 则或者a 1 竺磊，或者a 1 竺岛而由盯a u t ( g ，) a 1 ，o ( o ) = 2 知a 1 不可能同 构于忍，故a 1 皇岛此时令p = ( b ，a b ) a l ，则d ( p ) = 2 且( ( n 6 ) - 1 ) 4 = ( a b ) 一 设n = ( ( r ( o ) ) ) ，m = r ( c ) ：( 盯) ，则显然m n 由于 | a i = i r ( g ) a a i = 2 p q 6 = 1 2 p q ，i mj = 4 p q ， 故或者n = m ，或者= a 下面证明这两种情形均不会发生，从而得到矛盾 ( 1 ) n = a 事实上，若n = a ，则( r ( n ) ) 笪a ，于是存在i z 品使得r ( ) 9 = 兄( ) 一方 面，由o ( p ) = 2 得r ( d ) 4 2 = r ( a ) 4 = r ( a 萨) = r ( a ) ，从而推出i 2 ；l ( m o d p q ) ，由假设 qi 一2 ) 知i = = e l ，士( p 1 ) 另一方面，由p 稳定( 0 6 ) 。知( ( 曲) _ 1 ) 4 = ( a b ) _ 1 = b a 又 ( ( 0 6 ) 一1 ) 4 = ( b a 一1 ) 4 = 彬n 。1 ) p = ( n 6 ) 9 只( 。) 口= ( 6 ) 胁“) 4 = n 泸( 8 “) = a b a 一， 故b a - 1 = a b a 一，解出江p ，与i = - 4 - 1 ，土( p 一1 ) 矛盾，从而n = a 不成立 ( 2 ) n = m 若n = m ，则i a ：n l = 3 令a 作用在陪集空间陋： 1 上，则此作用是传 递的，设其作用核为 ，其中n a = 亿。a 胪，显然n a n 由a 作用的传递性 知a n a 掣z 3 或岛下面分别讨论： ( i ) a n a 型磊 若a a 垒z 3 ，则由n a n ，i a ：n l = 3 知n a = ，从而n 旦a ，其中n = m 下面分析中元素的形式及其阶中元素所有可能的形式有： 1 3 r ( a 4 ) ，r ( 6 ) ，仃，r ( a ) r ( 6 ) ，r ( ) 盯，r ( b ) o ，r ( a ) r ( 6 ) 盯 由( 兄( 口) ) 鲁( a ) 知o ( r ( ) ) = p q = = 争( i ，p q ) = 1 ；o ( r ( b ) ) = o ( o ) = 2 ；f 司理由 o ( r ( a ) 兄( 6 ) ) = o ( a b ) 知r ( a ) r ( 6 ) 或者为2 阶元，或者为2 9 阶元；由 ( r ( a ) 盯) 2 = r ( a ) 冗( ) 4 = r ( a ) 兄( n ( 1 一p ) ) = r ( a ( 2 一p ) ) 知o ( r ( a i ) a ) = 2 昔i 三o ( m o dp ) ；当i 0 ( r o o dp ) 时，由o ( r ( ( 2 一p ) ) = p 知 o ( r ( a ) 盯) = 2 p 于是r ( a 嘧) 或者为2 阶元，或者为2 p 阶元；由 兄( 6 r = r ( 6 ) ，o ( r ( 6 ) ) = d p ) = 2 知o ( r ( b ) a ) = 2 ； 另外，由 ( r ( a ) 兄( 6 ) 盯) 2 = ( 兄( b p ) 2 = r ( 6 ) r ( ( o 6 ) 4 ) = r ( 6 a i ( 1 一p ) b ) = r ( a i ( 2 p p 2 ) ) = 1 ， 知o ( r ( a ) r ( 6 ) 盯) = 2 由上面分析可知n 中的p q 阶元只有r ( a ) ，其中l z 品于是由n 塑a ， 类似( 1 ) 中的证明：存在i z 品使得兄( o ) 9 = r ( a ) 一方面，由d ( 卢) = 2 得 r ( n ) 俨= r ( a ) 卢= r ( 0 2 ) = r ( o ) ，从而推出i 2 三l ( m o dp q ) ，由假设qi 佃一2 ) ，知 i = 士1 ，士一1 ) 另一方面，由p 稳定( 0 6 ) 一，从而( ( 0 6 ) _ 1 ) 4 = ( a b ) - 1 = b a ，又 ( ( 曲) 一1 ) 4 一( b a 一1 ) 4 = b r ( 。1 垆= ( 6 ) 4 兄( 。1 ) p = ( a b ) a ( 。“) 4 = a b r ( a - ) = a b a 一 从而b a _ 1 = a b a 一解出i = p 与l = - 4 - 1 ，士0 1 ) 矛盾，故a a 不可能同构于磊 ( i i ) a 型岛 若a a 兰岛，则由n a 墨n ，且l a ：n i = 3 知i n ：n a l = 2 由n = m 知 中指数为3 的子群有3 个：( r ( o ) ，；r ( o ) ；( r ( o ) ，r ( 6 ) 由m 鱼a ，而 n = m a 知r ( g ) 不是a 的正规子群，故 h 不可能为r ( g ) 从而a 或者为 ( 尺( n ) ，盯) ，或者为( r ( n ) ，兄( 6 ) 下面分别讨论： 若n a = ( r ( 8 ) ，盯) ，由d ( r ( 口) ) = p q ，o ( a ) = 2 ，j r ( o ) 4 = 兄( n ) 1 呻，则n a 些g 2 ，由 预备知识中对g 2 中元素的阶的分析知仅有的p q 阶元形如r ( a ) ，其中i z 函 类似情形( t i ) ，由i r a 里a ，存在i z 品使得r ( 口) 4 = 兄( ) 一方面，由d ( p ) = 2 得 江土l ，土0 一1 ) ；另一方面，由p 稳定( 0 6 ) - 1 知i = p 与江= e l ，士( p 一1 ) 矛盾，故 n a ( r ( 0 ) ，盯) 若a = ( 兄( n ) ，a r ( b ) ) ，由o ( r ( o ) ) = p q ，o ( r ( b ) a ) = 2 ，r ( ) r ( 砷4 = r ) 一1 知 1 4 n a 兰d 2 阳故心仅有的p q 阶元为r ( ) ，其中i z 品由n a 里a ，类似方法可 得，存在i z 函使得r ( n ) 4 = r ( a ) 一方面，由o ( p ) = 2 得i = 3 = 1 ，土( p 1 ) ；另一 方面，由卢稳定( n 6 ) - 1 知i = p 与i = q - 1 ，士( p 一1 ) 矛盾，故n a ( r ( o ) ，r ( 6 ) 盯) 总上分析a a 不可能同构于岛 由( 1 ) ( 2 ) 知n a ，n m ，故假设a t 在s l 上传递作用不成立，从而a 。 在研上非传递作用又有盯a 。故a 。= ( 盯) 综合( 1 ) ( 2 ) ，由命题4 知，x = c a y ( c ，s 1 ) 是正规的c a y l e y 图，且a l 皇易 n 引理2 1 2 设x = c a y ( g ，s 1 ) 是群g 的关于子集岛的c a y l e y 图，其中 g = ( a ，ba a p = b 2 = 1 ，a b = a p - 1 ) ，s 1 = a b ，( a b ) ，b ) ，这里3 3 和q = 3 时，g 。关于3 元子集岛的 c a y l e y 图都是正规的，且点稳定子群a - 同构于历，而这分别可以由引理2 1 1 和引理2 1 2 得到 下面的推论1 1 给出了c a y l e y 图x = c a y ( c 1 ，岛) 的一个刻画 推论1 1 设g 1 = ( a ，bi 护= b 2 = 1 ，a b = a p 。) ，& = a b ，( a b ) ，b 则群 g 1 关于子集研的3 度c a y l e y 图x = c a y ( g 。，岛) 同构于二面体群d = ( x ，yi 1 6 x ! o 。= 可2 = 1 ，矽= z - 1 ) 的3 度c a y l e y 图t = c a y ( d ，s ) ，其中s = z 可，一，可) ， t ( 1 一p ) 三1 ( r o o d p q ) ，0 i 册 证明由引理2 1 1 及引理2 1 2 知a = a u t ( x ) = r ( g 1 ) ：( 盯) ，其中盯：o 0 1 一p ，b 一b ，盯a u t ( g 1 ) 则n = ( 兄扣) ，r ( b ) a ) a 又由d ( r ( n ) ) = p q ，o ( r ( b ) o ) = 2 ， 兄( n ) r ( 啪= r ( 8 ) 一1 知n 垒d 钿另一方面，对任意i z 品，1 v ( x ) 都存在 兄( ) n 使= 1 耳矿) ，且由1 r ( b ) 4 = b 知作用在v ( x ) 上，且包含1 的轨道长 度大于p q ，又有ini = 2 p q ，知在v ( x ) 上传递综上知二面体群正则 由命题5 知x 同构于2 p q 阶二面体群的3 度c a y l e y 图再由岛= a b ，( a b ) ，”， 而l i 哦a ) r ( 6 p = ( 曲) ，1 r ( b ) ，= b ，当i ( 1 一p ) 三1 ( r o o d 卿) ，0 i 埘时1 r ( a ) 凡( 帅= a b 故x 竺c a y ( d ，s ) 其中s = z ! ，z ，耖，l ( 1 一p ) 三l ( m o aw ) ，0 3 则x = c a y ( c ，岛) ( 图1 3 ) 是正规的c a y l e y 图，且a 1 掣忍 先给出图c a y ( g ，岛) 的几条简单性质 论断1 设妒a 1 ，且妒l s 2 = 1 ，则妒固定点口，b ，o ，并且逐点固定x t ( o ) = 1 ，舻，k = 矿- 1 ”及x 1 ( o 1 ) = 1 ，o ，乩4 = a l - p b 事实上，对任意妒a 1 ，妒i s 2 = 1 ，则妒固定点口，b ，a ，并且妒稳定集合 x ( o ) = 1 ，n 2 ，n p q 由于过点1 ，n ，扩- 1 b 有两个8 - 圈，而过1 ，吐2 没有8 圈，故 妒逐点固定x 1 ( o ) = 1 ，0 2 ，扩- 1 6 同理可证妒逐点固定x l ( - 1 ) = 1 ，口，a l - p b 论断2 对任意z y 僻) ，对任意t o 允，且妒l x 。( 。) = 1 x ，( 。) ，则妒固定点 o z ，妇，o - 1 z ，并且逐点固定x 1 ( a x ) = 协0 2 z ，蚰z ) 及x l ( n _ 1 茹) = z ，o - 2 z ，b a - 1 z ) 1 7 由论断1 及图的点传递性可得论断2 论断3 对任意i z 凶，若妒固定点并且逐点固定x - ( ) = 一，n 1 ，耐) ， 则i p 固定点a i “，a i + 2 ，b a 件1 ，即妒固定点扩1 ，并逐点固定x 1 ( o 件1 ) = ，n 件2 ，b a i + , 事实上，由妒如且妒i x ，( 一) = l x l ( a t ) ，依论断2 知妒固定点扩1 ，并逐点固 定x 1 ( o 件1 ) = a ，a i + 2 ，b a i + 1 论断4 对任意妒a l ，则妒必然固定点b 事实上，对任意妒a 。，由于存在。x ，( o ) 使得过1 ，a ，a 2 没有8 - 圈， 而对任意x 1 ( 6 ) ，过1 ，b ，z 都有两个8 - 圈，故b v ；同理扩( 1 - 1 ；又由 蹬= 口，a 一，b f = 岛= ，a ，6 ，故只有扩= b 下面我们利用上面的性质及命题4 给出引理2 1 3 的证明 证明( 1 ) 首先证明对任意妒a 1 ，且妒i s 2 = 1 岛，则有i p = 1 事实上，对任意妒a 1 ，且妒i = 1 ，由论断1 知妒固定点a ，并且逐点固 定x 。( n ) = 1 ，n ：，b a = a p - - 1 6 ) 由论断3 ( i = 1 的情形) 得妒固定点矿，并逐点固 定x 1 ( a 2 ) = o ，a 3 ，b a 2 = a 2 ( p - 1 ) 6 ；再由论断3 ( 江2 的情形) 得妒固定点矿，并逐 点固定蜀( 8 3 ) = 0 2 ，a 4 ，b a 3 = a 3 ( p - 1 ) 6 ) ； 这样一直反复利用论断3 直到i = p q 一2 可得妒固定点a ，n 2 ，一，即妒 逐点固定群( n ) ，特别地妒固定点口，口p ，又由妒逐点固定岛知此时0 6 ，a - l b 分别被妒固定，结合论断1 知妒逐点固定局( 1 ) 即妒= 1 ( 2 ) 其次证对任意l p a l ，五a u t g ，使得妒i s 2 = 仃i s 2 ，即a l 皇z 2 由论断4 知对任意妒a 1 ，则妒必然固定点b ，所以可以分两种情况： ( i ) 若妒逐点固定岛= o ，o - 。，6 ) ，则取a = 1 ，显然有妒i s 2 = 仃k ( i i ) 若妒固定点6 ，互换。，。，取盯： n - 。，显然盯为a u t g 中的元，且 【6 。b 有妒i 岛= 盯i 综合( 1 ) ，( 2 ) ，由命题4 知，x = c a y ( g ，) 是正规c a y l e y 图，且a 1 型易 几 1 8 图1 3 引理2 1 4 设x = c a y ( c ，岛) 是群g 的关于子集s 2 的c a y l e y 图，其中： g = ( a ，