（基础数学专业论文）α调和函数的bohr现象和bohr半径.pdf

摘要 摘要 本文的目的是研究o l 一调和函数的b o h r 现象所谓q 调和函数是b n 上满足口，= 0 的函数，其中 耻卜2 ， 一 时，q - 调和函数有b o h r 现象：存在一个通用的半 径0 r 1 ，使得对任一有展式 并在b n 上满足i f i 咖o l 的o l - 调和函数厂， 在b r ：= z 酞“：l x l 兄) 上成立，其中这样的翮拘最优值称为o - 调和函数 的b o h r 半径，记作r d 进一步，r 。是方程 警# = 2 而( 飞差一- 叫矿n 2 ) 在区间( 0 ，1 ) 内的唯一实根而且心关于q 严格单调递减，并有l i m 口一o 。耽= 0 这一结果推广了l a i z e n b e r g 和n t a r k h a n o v 在2 0 0 1 年和h t k a p t a n o 誊l u 在2 0 0 6 年分别关于调和函数与双曲调和函数的对应结果 关键词q p o s s i o n 核q p o s s i o n 积分q 调和函数q 调和函数的b o h r 现象 o l 一调和函数的b o h r 半径 z p七 痧 矿岛 0 毗旧 脚 = z ， z 毗 z 惫 k 0 毗旧 脚 a b s t r a c t a b s t r a c t t h ep u r p o s eo ft h i st h e s i si st os t u d yt h eb o h rp h e n o m e n o nf o rq - h a r m o n i cf u n c - t i o n s o 一h a r m o n i cf u n c t i o n sa r ef u n c t i o n ss a t i s f y i n g q f = 0 ，w h e r e 耻卜h 2 ， 一互1 ，t h eb o h rp h e n o m e n o na r i s e sf o rq - h a r m o n i c f u n c t i o n s m o r ep r e c i s e l y t h e r ei sau n i v e r s a lr a d i u s0 r 1s u c ht h a t o o d k f f ：- ： k = 0 工，= 1 l o 七砂枷( z ) i c o x ( z ) h o l d so nb n ：= x r ”：i x i 冗 f o ra l l 口- h a r m o n i cf u n c t i o n sfw i t hl f l 咖o lo n b n ，a n dr e p r e s e n t e db yt h es e r i e s o o d k ，( z ) = 。( z ) k = ov = l t h eo p t i m a lv a l u eo fs u c hr si sc a l l e dt h eb o h rr a d i u sf o rq h a r m o n i cf u n c t i o n s f u r t h e r m o r e ，t h eb o h rr a d i u si st h eu n i q u er e a ls o l u t i o no ft h ee q u a t i o n 苦# = 2 矾( 鸭善一1 叫矿n 2 ) i nt h ei n t e r v a l ( 0 ，1 ) ，m o r e o v e r , 见i ss t r i c t l yd e c r e a s i n gi no a n d1 i b 。凰= 0 o u rm a i nr e s u l tg e n e r a l i z e st w op r e v i o u sr e s u l t sb yl a i z e n b e r g ，n t a r k h a n o v ( 2 0 0 1 ) a n dh t k a p t a n o 誊l u ( 2 0 0 6 ) ，w h i c ha r ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t sf o rh a r m o n i c f u n c t i o n sa n dh y p e r b o l i ch a r m o n i cf u n c t i o n sr e s p e c t i v e l y k e yw o r d sq p o s s i o nk e r n e l o p o s s i o ni n t e g r a l口一h a r m o n i cf u n c t i o n st h e b o h rp h e n o m e n n o nf o rq - h a r m o n i cf u n c t i o n st h eb o h rr a d i u sf o ro l - h a r m o n i cf u n c t i o n s ， 口 旦孵 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：刚互方 一、甘 动? 年支月弓1 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年 月 日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、己公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名： i 司互葛 知0 9 年岁月；1 日 第一章绪论 第一章绪论 1 1引言 关于幂级数的b o h r 定理是如下的 定理a 若幂级数墨oa k z 七在单位圆盘i d 9 中收敛且和函数的模小于1 ，则 在圆盘( 名：i z i 1 3 ) 上成立而且这个常数1 3 是不能改进的称为f 单位圆盘 的) b o h r 半径 h b o h r 的这个结果发表于1 9 1 4 年事实上，b o h r 本人最初只证明了( 1 1 ) 在网 盘z ：i z i 1 6 上成立现在这一表述要归功于m r i e s z ，i s h u r 和r w i e n e r 的工 作 其后的八十年间，除了在 1 8 】与 1 9 】中给出两个新证明外，这个结果几乎被人 遗忘了这个定理重新引起人们的兴趣是由于d i x o n 1 2 于1 9 9 5 年应用它否定地 回答了算子代数中一个存在已久的问题：是否满足y o nn e u m a n n 不等式的b a n a c h 代 数一定是算子代数 1 9 9 7 年，h rb o a s 与d k h a v i s o n 在p r o c a m e r m a t h s o c 上发表一篇短文【9 】， 将b o h r 幂级数定理推广到高维具体地说，他们证明了： 定理b 若多重幂级数a a z n 在单位多圆柱泸：= ( z 1 ，) ：m a x ji 勺l o 使得m a x ji i r 时成立 l q a 扩i 1 m r ， 满足 1 七 z 磨 c 脚 字 2 一 k l 何 一3 第一章绪论 自此以后，b o h r 幂级数定理的高维推广和算子不等式推广成为一个活跃的研 究领域我们不准备作这两个方向的综述，仅列出文献供有兴趣的读者参考：【4 ，5 ， 8 ，1 0 近年的文献常用在单位圆盘和单位多圆柱上“发生b o h r 现象”分别来指代定 理a 和定理b 2 0 0 0 年，l a i z e n b e r g ，a a y t u n a 和p d j a k o v 在 1 】与【2 】中提出一个新 的观点：应该把b o h r 现象看作所考虑的函数空间的基底的一种性质而小是看作区 域的性质这个新观点使得人们可以在更广泛的场合谈论b o h r 现象 我们抄录两例，简单介绍一下这个观点设m 是一个复流形，以日( m ) 记m 上 的全纯函数的空间对任何紧集kcm ，设 i f i k ：= s u pi f ( z ) l ，f h ( m ) k 这族半范数i f l j c 定义了日( m ) 中的内闭一致收敛拓扑，而日( m ) 由此成为一个f r 6 c h e t 空间日( m ) 中的一个序列 咖) p ：0 1 称为日( m ) 的一个基底，如果对任何f 日( m ) ， 存在唯一的复数列 丘) 使得 f = f 咖， v = o 其中级数在mi - i 勾闭一致收敛我们称基底 妒， 有b o h r 性质( b p ) ，如果存在子 集uckcm ，其中u 是开集而k 是紧集，使得只要f 日( m ) ，f = 。厶咖就有 一个正血的结果是： i f v is u p 协( z ) i s u pi f ( z ) 1 ( 1 3 ) v = 。0 uk 定理c ( 5 ，t h e o r e m3 3 】) 设m 是一个复流形， 咖) ，- - - - 0 1 是日( m ) 的一个基 底，满足? ( i ) q a o 兰1 ， ( i i ) 存在一点知m ，对所有的= 1 ，2 有( 询) = 0 则存在幻的邻域u 和紧集kcm ，使得只要，日( m ) ，f = 。丘妒，就有 z i s ”fs u pm z ) i s u k pl f ( z ) v = 0 。 。 即基底 钆) 有b o h r 性质( b p ) 2 ( 1 4 ) 第一章绪论 反而的例子： 例1 1 ( 1 ，e x a m p l e3 ) 函数 1 即这个基底没有b o h r 性质 这个把b o h r 现象看作所考虑的函数空间的基底的一种性质的观点，使我们甚 至可以考虑关于非全纯的函数类的b o h r 现象，如果这类函数可以表为某种级数展 开2 0 0 1 年，l a i z e n b e r g 矛1 3 n t a r k h a n o v 【6 证明了如果一个二阶椭网偏微分方程 的解有h a r n a c k 型估计。则这些解就出现b o h r 现象特别地，他们还就几个具体实例 计算了相应b o h r 半径的确切值我们仅引述其中关于r ”中单位球上b ”调和函数 的结果 设 k ，( ( ) ) 丝。是后次球调和函数空间咒南( 酽- 1 ) 的一个标准正交基每个 k ( e ) 是r “中一个七次齐次调和多项式圪( z ) 在单位球面s n - - 1 上的限制： k ，x ) = 南k ，( ( ) ，其中z = h ( 熟知r n 中单位球b n 上的一个调和函数，有如下的球调和展开： d k ，( z ) = a k ( z ) ( 1 。6 ) k = 0v = l 所以关于b n 上的调和函数的b o h r 现象就是指：存在一个通用的半径0 r 1 ，使 得如果任一调和函数厂在b n 上满足i f l 1 且有如上的展开，则 d k i o 七。( z ) i 1 ( 1 7 ) k = ov = l 在球耳：= z r ”： r ) 内成立这样的r 的最优值称为关于调和函数 的b o h r 半径 l a i z e n b e r g 和n t a r k h a n o v 【6 】证明了： 3 第一章绪论 定理d ( 【6 ，t h e o r e m3 2 】) b ”上的调和函数有b o h r 现象，其b o h r 半径是方程 尚1 ：2 ( 1 8 ) ( 一r ) 肛1 。 ”7 在区间( 0 ，1 ) 上的r 唯一j 实根 当扎= 2 时，( 1 8 ) 的唯一根恰是1 3 ，与经典i 拘b o h r 定理是相符的 文献 1 5 1 研究了双曲调和函数的b o h r 现象在这里我们仅引述实双曲空间情 形的结果 现存把中单位球b “看作实双曲空间的p o i n c a r 6 模型，即赋以p o i n c a r 6 度量 聍= 等铲 9 ， 对应的l a p l a c e b e l t r a m i 算子是 丕：= 与拦 如果一个c 2 函数，满足厂= 0 ，我们就称厂是一个双曲调和函数 设厂是一个双曲调和函数则有如下的展开： m ) = 户死( r ) n 扫( e ) ( 1 1 1 ) 其中 凡c r ，= ；簇呈黼册( 1 一詈，尼；忌+ 三；r 2 ) c 2 ， 类似地，双曲调和函数的b o l l r 半径定义为：区间( 0 ，1 ) 内使得 对有展式( 1 1 1 ) 且在b ”上满足i 厂l 1 的双曲调和函数厂成立的最大的正数r 定理e 双曲调和函数的b o h r 半径等于 2 1 ( n 一1 ) 一1 2 u ( n 一1 ) 一_ 1 4 ( 1 1 3 ) - 1 2 ， ，( z ) = 。七，慨( z ) ( 1 1 7 ) 砂七p ( z ) ：= r k 皿南皿( r ) k ，( 7 7 ) 其中z = r r ，( 1 1 8 ) 撕卜未毒篙帮 1 19k1 k1 皿蛐( 7 ) ：= 手争缶 ( ) 磊( 一n ，十等一一q ；+ 若；) 展式( 1 1 7 ) j 弼e b n 上满足i ，i 九1 的q 调和函数t 厂， i o 七。札( z ) i 加( z ) ( 1 2 0 ) 5 第一章绪论 在b r ：= z r 佗：h r ) 上成立我们把这样的翮拘最优值称为o l - 调和函数 的b o h r 半径 我们需要对这个定义解释一下与调和函数及双曲调和函数的b o h r 现象比较， 上述定义中条件i f i r 2 一这表明： 调和函数的b o h r 半径比双曲调和函数的b o h r 半径来得大这个事实并不明显 虽然本文主要结果的证明基本上沿袭了文献【6 】的思想，但在q 一调和函数的情 形技术难度大得多证明过程中我们建立了一些关于具体超几何函数的特别的事 实，如引理3 4 和3 6 这些结果独立存在也是有意义的 1 2 通用的记号和概念 设n 1 ，r n 表示n 维实欧式空间r 竹中的元素记作z = ( x 1 ，z 竹) ，y = ( y 1 ，) 对x ，y r 佗，x 可表示x 与y 的内积，即z y = x i y i x 的欧式范 数为i x l = ( x z ) 壹r n 中以原点为心的开单位球和单位球面分别用b ”与1 表 示( ，叩表示单位球面伊1 上的点通常的记号d 盯( e ) 表示伊- 1 上的正规化测度， 即盯( e ) = 1 r n 上k 次齐次调和多项式空间表示为7 - l k ( 酞”) ，即 7 - t k ( r 佗) ：- - - - - p i p 是r n 上的k 次齐次调和多项式) 6 第一章绪论 r ”中后次齐次调和多项式在单位球而伊_ 1 上的限制称为k 次球调和函数，后次球调 和函数空间用7 - t k ( s 肛1 ) 表示，即 咒凫( 酽- 1 ) = ： f l f 是r 托上的k 次球调和函数 y k ，( ( ) ) 丝1 是7 - k ( s n - - 1 ) 的一组正交规范基，特别地k l ( ( ) = 1 函数z k ( e ，叩) 咒j c ( s n - - 1 ) 表示以? 7 为极点的带调和函数，并且玩( ，叩) 有以下性质： 如 ( i ) 玩( e ，? 7 ) = k ( ( ) 圪( 叩) ； v = o ( i i ) 任意 s 舻1 ，磊( e ，( ) = d k ； ( i i i ) 任：意( ，叩s n - 1 , 瓦( ( ，叩) d k 本文中还用至l j g e g e n b a u e r 多项式，我们用符号( 亡) 表示是以为参数的m 次 g e g e n b a u e r 多项式，其与以叩为极点的带调和函数z k ( - 1 2 ，任一b 礼_ e a - 调和函数厂有如下级数展开 ，( z ) = 札( z ) 第一章绪论 其中知p 定义为： 妒七p ( z ) ：= r 七皿七，a ( r ) r k ，( 7 7 ) 其中z = r 7 7 特别地，0 1 ( x ) = 皿o ，a ( r ) 我们用符号觋- 厂表示： 妍，= 慨i k ，p 玩表示b n 上有界q 一调和函数空间，即 玩：= f l f 是b ”上有界q - 调和函数) 嚣表示b ”上正值有界q 一调和函数空间，即 嚣：= ( ，i ，是b n 上有界q 一调和函数且，o ) 露表示b ”上q 一调和函数并满足i 厂i 1 的函数空间，即 露：= f i r 是b 佗_ h a - 调和函数并且满足i ，l 一 ，q p o s s i o n 核定义为 嘶咱a 筹 函数f l ( s 加1 ，d 仃) ，厂的q - p o i s s o n 积分( 记作i f ) 定义为 或 门( z ) = rx ，( ) ，( e ) 打( e ) 本文中我们会讨论一个重要问题，也就是函数 风( r ) ：= 2 ( 1 一r ) 肼2 a 矗( 善托1 悃三) 一1 的唯一零点问题几表示此方程的唯一零点本文的重要定理5 1 提出此零点p 口是q 一 调和函数的b o h r 半径，我们用心表示 8 第二章预备知识 第二章预备知识 2 1 球调和函数 我们用7 - 1 七( r n ) 表示r 他中七次齐次调和多项式空间七次球调和函数定义为r 佗中后次 齐次调和多项式在单位球面驴一1 上的限制咒七( 铲- 1 ) 表示k 次球调和函数空间 咒凫( 铲一1 ) 在l 2 ( 伊，仃) 的内积下成为毗维的h i l b e r t 空间更明确的有 d 七= ( 礼：竺i1 ) + ( 佗：兰i3 ) ， 则以关于k 的阶为他一2 命题2 1 若r 7 - 1 七( s n - - 1 ) ，日7 - t , ( s n - 1 ) 且七f ，则 r ( ) r ( ) d 盯( ) = 0 此命题说明当尼z 时，卒_ f a j t k ( s n - 1 ) 与咒2 ( s n - 1 ) 是正交的 命题2 2 l 2 ( s 一1 ) = o o 七o ：o 咒七( s 俨1 ) 这就是说，任一厂l 2 ( 铲一1 ) 有唯一的表示， 一器。凡，其中r 咒后( 铲_ 1 ) ， 且级数按l 2 拓扑收敛于，我们称之为厂的球调和展开 固定叩s 佗一1 并考虑咒七( 伊- 1 ) 上的线性泛函 a ( h ) = h ( r ) ， 由于咒七( s n - - 1 ) 是有限维的h i l b e r t 空间，必存在唯一的玩( ，叩) 冗南( s n - 1 ) 使得 h ( r 1 ) = 八( 允) = 危( e ) z k ( e ，? 7 ) d 盯( ( ) ( 2 1 ) js n - - i 其中，函数况( e ，叩) 是以叩为极点的带调和函数 命题2 3 设 k ( 0 ，那么l i m l 一鼎( 。，6 ；c ；) 存在并且 ( i i ) 变换 而( 。，1 ) = 币r ( c ) 二r ( c 丽- a - b ) ( g a u s s ) 矾( a ，6 ；c ；名) = ( 1 一z ) 。一口一6 况( c a ，c 一6 ；c ；z ) 丹( 口，6 c ；z ) = ( 1 叫川况( 。，c 6 c ；五z ) ( i i i ) 微分公式 ( e u l e r ) ， ( p f a f f ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 瓦d 册( n ，6 ；c ；z ) = 警矗( n + 1 ，6 + 1 ；c + 1 ；班 ( 2 1 1 ) ( i v ) 与疥( a ，6 ；c ；z ) 相关的两个积分 鼎( 叫小扣= 踹 2 f 1 ( a , a - b + 扣= 踹 t s i n 2 b 一1t ( 1 + 2 z c o st + z 2 ) n 出，( 2 1 2 ) jc蒜1 2 s zz 2 抵 亿 一1 ( + ) 。 7 2 3q p o s s i o n 核的定义 吒以卜末簿端 亿虬皿p 卜2i 菇百# 五崩q _ 4 ：地“垆黑器 定义2 2 设q 一v 2 ，z b 佗与e s n ，定义口一p o i s s o n 核 嘶，( ) 娟口筹 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 其中岛口是在( 标注1 ) 中定义的我们之所以称为“q p o i s s o n 核”，是因为当q = 0 时， p q ( z ，( ) 约化为古典的p o i s s o n 核 1 1 第三章两个重要引理 第三章两个重要引理 在开始两个重要引理之前，我们先介绍一个命题，此命题是关于b ”上q 调和 函数的级数展开 命题3 1 ( 1 3 ，定理2 3 】) 设o l 一百1 ，b n 上a 调和函数可以写成级数的形式 ，( z ) = r 皿彪，。( r ) 屁( 叩) ( 3 1 ) k = 0 其中z = r r ，最7 t k ( s 礼一1 ) ，k = 0 ，1 ，2 并且级数( 3 1 ) 在b n 上内闭一致收敛 定义一组函数 咖枷( z ) ：= r 七皿七，。( r ) y k ，( 叩) ( 3 2 ) 其中z = r r ；k = 0 ，1 ，2 ；= 1 ，2 ，巩特别地，九l ( z ) = 0 , o r ( r ) 注意到 ， _ | c ，( z ) = f 乞( z ，( ) k ，( 一互1 时，由命题3 1 结合咒七( s n - - 1 ) 的正交基底 k ，) 丝1 ，可以得到 b “上q - 调和函数关于基底 mk = 0 ，1 ，2 ；= 1 ，2 ，毗) 的展开，即任一 q 一调和函数厂可以展开为 f = f a k b 肌 七上， 特别地，我们在后面推论4 4 中从另一角度结合命题4 3 中b n 上的有界o l 一调和函数， 是f + l ( 伊，d 盯) 的o l p o s s i o n 积分和命题2 3 中带调和函数磊( 町，( ) 的表达来 介绍有界q - 调和函数关于基底 咖妣k = 0 ，1 ，2 ；z ，= 1 ，2 ，以) 的展开，并且 给出了系数口七p 的精确表达式 引进符号玩，黠分别记作b n 上有界o l 一调和函数空间和b n 上正值有界0 1 调和 函数空间用袈表示j e 7 n 上q - 调和函数且满足i f i 一1 2 ，k n ，皿七a 既有上界又有下界，并且其上下界是 与k ，佗，q 有关的正常数 1 2 第三章两个重要引理 证明由( 2 11 ) 与( 2 9 ) 有 导岷小) = a ) 鼎( - - c e + 1 , 七+ 丢叫忌+ 詈+ 1 吵协 = 2 c ( 啪，q ) r ( 1 一) 2 c t 矗( 七+ 詈托1 托七+ 善+ 1 其中 哪= 等鬻盟铲 根据g a u s s 超儿何函数的定义( 2 7 ) ，有 鼎( 尼+ 詈托1 悃艮+ 互n + 1 r 2 ) ：! 堕生量竺! ! ! ! ! 竺2 舞； r ( 七+ 号+ q )r ( 1 + 乜) r ( k + 鸶+ 1 ) 7 巧 r ( j + k + 詈+ 1 ) j ! 大于零，因为上述级数的每一项都是正的对每个南，a ，皿k ，a 的导数杀皿k p ( r ) 在 r 0 ，1 ) 上或者恒为正或者恒为负，且其正负依赖于k ，q 的大小因此，皿七，。在 区间【o ，1 ) 上或者单调递增或者单调递减因为南4 ( o ) = c k ，a ；皿后，口( 1 ) = 1 ，所以 得到c k ，。皿七，。( r ) 1 或1 皿南，。( 7 ) c k ，口 口 推论3 3 设q 一1 2 ，则存在一个与礼，o 有关的常数c = c ( n ，口) 满足 下血介绍本文的两个重要引理 引t - 里：3 4 设q - - 1 2 ，函数 c k n 一2 + i a 屉 ( 3 4 ) 矾( r ) ：= 2 ( 1 一r ) 口而( 兰托1 悃) 一1 ( 3 5 ) 在区间( 0 ，1 ) 上有唯一零点儿进一步，p a 关于q 严格单调递减，并且 l i r a p a = 0 u 叶。f l u i i n 对每一个a - - 1 2 ，容易得玩( o ) = 1 o t 当r _ 1 时，鼠( 7 ) _ 一1 ， 因此h a ( r ) 在区间( 0 ，1 ) 上至少有一个零点若进一步说明巩( r ) 零点的唯一性，只 要说明风( r ) 关于r 在e f n q ( 0 ，1 ) 上严格单调递减且l jn - - i 1 3 第二章两个重要引理 争买上，t e t 曼l n ( 2 13 ) ，础爿口【r j 口j 与为 嘶m ，：( 篙等) 争口c 1 。问一 6 ， 其中c = 2 f ( n 2 ) ( 行r ( ( n 一1 ) 2 ) ) ) 对风( r ) 关于r 求导 导耻卜恤m 叫州等装掰旭 显然有杀凰( r ) - 1 2 ，有 凰。( p a 。) 巩。( p n 。) = 0 注意到巩。( o ) = 1 ，可以得到，巩( r ) 在区1 泊3 ( o ，p 。) 有零点但是根据引理的第一 部分知道p a 。是风。在区间( 0 ，1 ) 上的唯一零点，因此，p 口。 儿。由此p a 关于q 严 格单调递减，所以极限p 。：= l i m n 。p 。存在 下面说明p 。= 0 任给0 e 1 ，从( 3 6 ) 我们得至l j l i m a 。o o 风( e ) = 一1 ，则对 充分大的o l 来说，巩( e ) 0 ，同时注意到巩( o ) = 1 ，同样由巩( 7 ) 的零点的唯一性 知0 p 口 e 而且，当q _ + 。时，p 。单调递减收敛于p 。，因而0 p + e 由e 的 任意性知p 。= 0 我们完整的证明了第一个重要引理3 4 口 实际上，根据上面引理的讨论，可以得到下面的推论 推论3 5 对于引理3 4 的p 口，有如下结论 ( i ) 当r 2 咖0 1 ( 7 - ( ) 对任意的( s 舻1 成立 1 4 第三章两个重要引理 证明根据( 2 9 ) 嘶) _ 2 导器册( 飞三一1 叫矿n2 ) “ ( 3 7 ) 通过引理3 4 的证明我们知道，风( r ) 关于r 在区间( o ，1 ) 上严格单调递减，凶此，当r 0 这相当于说，当7 p n 时， 譬藉 2 鼎( 飞三一1 叫矿n 2 ) 8 ， 两边同乘以c o a ( 标注1 中定义) ，则由q p o s s i o n 核定义( 2 1 6 ) 与( 3 2 ) 中0 0 1 ( x ) 的定 义，得到 f 公( r c ，( ) 2 0 1 ( r e ) 同时注意到r ( 聊，e ) r ( 7 e ，e ) 对任意的7 7 ，e s 舻1 ，0 2 九1 ( r ( ) 到此为止，完成了推论3 5 的证明 口 引理3 6 k n ，函数 在区间 0 ，1 ) 上单调递增 证明根据( 2 9 ) 与( 2 1 3 ) ，有 r 皿七+ 1 ，。( r ) rh 、焉丌 蛐( r ) = c k 皿( 1 - 7 2 ) 1 恤鼎( 忌+ 虿n + a ，1 + q ；七+ 争2 ) = 器c 1 卅恤毒幕， 令p = 2 r ( 1 + r 2 ) ， 皿七，。( r ) = c ( 1 - r 2 ) 1 恤( 昙) 嘴托，1 。矿( 1 两2 2 币k + n - 3 d s 其中c c k ，。端 因此， r 皿k + l ，a ( r ) 皿蛐( r ) 1 5 重 1 一l 蛆瀚一鬣 解一 饿一l 带田 勰瓣 鼢一蓬| 铺一昆磨一蜀 皿 第三章两个重要引理 对分子的积分进行分部积分得 p _ i 蒜一 定义 函数错化简为 庇+ n 2 + o l 2 k 上n 1 k + n 2 + q k ( p ，8 ) ：= 序) 学d ( 1 一s 2 ) 呈学 ( 1 一舻) 七+ 詈+ a r 皿七+ 。，a ( r ) r - - 1 1k ( p ，s ) s d s 萌2 百面 ( 可一p s ) 七+ 量+ 口 ( 3 1 0 ) 凶为p = 2 r ( 1 + r 2 ) 关于r 单调递增，所以只要( 3 1 0 ) 的右边关于j d 在k i i o ，1 ) 单 调递增即可也就是说明 大于等于零 注意到 ( 咖s d s ) ( f f k ( 舻) 一( 砒) ( 踟d s ) 鼬，s ) = ( 七+ 詈+ a )1 一p s k ( p ，s ) 把( 3 1 2 ) 带a n ( 3 1 1 ) ，并把( 3 1 1 ) 写成双重积分的形式， l 。r j 一1j 一1 rf 1 2| j 一1j - - 1 pr 2 ll j 1j 1 1 p s s 2 一或 1 p s k ( p ，s ) k ( p ，t ) k ( p ，s ) k ( p ，t ) d s d t 丁二s 2 - 石s t ( 川k ( 删如出 厂1厂1 七t = i 士i i s 2 一s 1 一p s 1 一p s k ( p ，s ) k ( p ，t ) d s d t 1 6 k ( p , s ) k ( 硝) ) d s 出 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 如 署名0 一q 广l 其中 第二章两个重要引理 对于i i ，我们先交换积分次序，然后互换s 与t 因此。 i i z + n = 仁嘶崭砒独 我们完成了此引理的证明 1 7 口 t 出 如 鲥 配 幽 如 m 埘 幻 幻 k k d n 一一 厂 i 如 鲥 捌 p ， “ ， ，i叫 膨 、s， s b ， k 坛 鲁等 1 1 1 1厂 第四章o l p o i s s o n 积分 第四章q p o i s s o n 积分 定义4 1 设函数，l o o ( 铲，如) ，定义厂的q p o i s s o n 积, , 分，记作凡【n 【州z ) = r ( z ， - 1 2 ，f c ( s n 一1 ) ，则，的q - p o i s s o n 积 分或 卅是d i r i c h l e t 问题 一1 2 ，z b 佗，( s n 一，q p o i s s o n 核展开为 r ( z ，( ) = r 南皿铀( r ) 磊( 7 7 ，e ) k = 0 此级数在任意的紧集k s n - x ( kcb ”) 上一致收敛 证明根据g e g e n b a u e r 多项式的定义( 2 2 ) ，有 ( 1 2 x e + i x l 2 ) 一詈= 注意至l j 1 6 ，p 1 4 1 ，( 7 1 11 ) 】的公式：若 7 - ，则 黜，= 高警c 一 其中 m 一2 后+ 丁r ( k + l ，一7 - 1 2 旷一 而百 令= n 2 + q ，7 = n 2 1 ，( 4 4 ) 为 z 一( 卜+ 2 0 r ( 鸶一1 ) r ( 詈+ n ) o o 1 8 ( ) l x l m r ( m + 一k 1 r ( m + 7 一k + 1 ) z i m ( 4 3 ) ( 4 4 ) ( 4 5 ) ( 4 6 ) m 2 】 c f 一2 m _ v 1 ( o e ) ( 4 7 ) j = o 一 第叫章n p o i s s o n 积分 其中 c j 2m 一巧+ 一1r ( j + o t + 1 ) r ( m + 号+ q j ) 结合( 2 4 ) ，( 4 7 ) 化简为， 其中 弓 = x e 卜+ 2 口 詈一1 r ( q + 1 )r ( m + 詈一j ) m 一勿+ 詈 1 r ( 詈) 歹! r ( 詈+ 口) 【m 2 】 x l ”c ；一巧( 叼，e ) ， j = o r ( 詈一1 ) 一1r ( 鸶+ 0 1 ) r ( j + q + 1 ) r ( m + 詈+ o l j ) 改变( 4 8 ) 的求和指标( m = k + 2 j ) ， z 一( i n + 2 口 然后应用( 2 7 ) 进一步得 z e 卜+ 2 0 r ( q + 1 )r ( m + 警一j ) ：斋壹h 机) r ( 警+ q ) 乞r 叫v 叫 j = o r ( j + q + 1 ) r ( k + 詈+ a + j ) l z l 巧 r ( q + 1 1r ( k + 詈+ j ) 歹! 鼎( a + 1 ，尼+ 互n + q ；后+ ；坩磊( 叩，( ) ( 4 8 ) 最后对上式的两端同乘以岛，n ( 1 一2 ) 1 + 2 口，结合( 2 1 6 ) 与( 2 9 ) ，同时注意到标注1 皿凫。的定义( 2 1 4 ) ，则得到所要证明的( 4 3 ) 口 命题4 3 设q - 1 2 ，厂玩，则存在f + l o o ( 舻，d o ) 4 吏得f 是广的q p o i s s o n 积分，即 ，( z ) = ，+ ( z ) = r ( z ，( ) 厂+ ( ( ) 打( ( ) js n 一1 证明对任意e s ”一1 与0 r 1 ，定义 ( ( ) = ，( r ( ) 1 9 ( 4 9 ) 。一 = 一 生釉 旦鱼+ + 一 坠r 脚 ，一口 曙一+ r 一曙 一r 第四章q p o i s s o n 积分 因为，在b n 上是有界的，所以集合 ，r ：0 r 1 ) 在l o 。( 铲，如) 的范数下也是 有界的根据b a n a c h a l a o g l u 定理，存在f l 0 0 ( 铲，d 盯) 与一子列单调递增 收敛于1 ，使得 。) 在l o o ( 酽，d o ) 的木弱拓扑下收敛于广固定的x b n ，函数 ehr ( z ， 一1 2 ，f 玩展开为级数形式? 口 ，= f a k v f b m ( 4 1 0 ) 而对f 露，其展开的系数 o 枷) 有如下的性质：l a 0 1 i 1 且 l o 七一佤( 1 一咖1 ) ，k = 1 2 ；= 1 ，2 ，d 南 ( 4 1 1 ) 证明为方便起见，以后我们把命题4 3 中的边界值函数厂+ 用厂代替 因为厂玩，所以根据命题4 3 ，我们把( 4 3 ) 带入( 4 9 ) 中，结合命题2 3 中带调 和函数玩( 7 7 ，e ) 的表达，同时注意到九，的定义( 3 2 ) ，有 m ，= “挈岷毋小洲玳， = “争岷小，酬卜毗， = 。七，札( z ) ， 第四章n p o i s s o n 积分 其中 。枷= k 。( ) ，( ( ) a o ( o ，k = 0 ，i ，2 ；= 1 ，2 ，d k ( 4 1 2 ) 特别地， 0 0 1 = ，( e ) 打( ( ) ( 4 1 3 ) 若f 露，则在b n 上满足i f i 0 时 k ，( e ) d 盯( 一 时，f 最，则存在正整数冗 1 ，使得 f f j t f ( x ) 1 ( z ) 在b r ：= z r 竹：h r ) 上成立 证明不失一般性，假定f ( o ) 0 若不然，可以用一，代替f 由( 4 1 0 ) 矢l l f ( o ) = a 0 1 咖0 1 ，