空间点、线、面之间的位置关系.doc

空间点、线、面之间的位置关系【知识梳理】1平面的基本性质公理1：如果一条直线上的_两点_在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过_这个公共点_的一条直线公理3：经过_不在同一条直线上_的三点，有且只有一个平面推论1：经过_一条直线和这条直线外的一点_，有且只有一个平面推论2：经过_两条相交直线_，有且只有一个平面推论3：经过_两条平行直线_，有且只有一个平面2直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线判定定理过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内_的直线是异面直线(3)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O，作直线aa，bb，把a与b所成的_叫做异面直线a，b所成的角范围：_.答案：(1)平行相交(2)不经过该点(3)锐角或直角3.同一条直线4.相等3公理4平行于_同一条直线_的两条直线互相平行4定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角_相等_【自我检测】1若直线a与b是异面直线，直线b与c是异面直线，则直线a与c的位置关系是 平行、相交或异面2如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线_24_对3三个不重合的平面可以把空间分成n部分，则n的可能取值为_4,6,7,8_4(2010全国)直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成角的大小为_60_将直三棱柱ABCA1B1C1补成如图所示的几何体由已知易知：该几何体为正方体连结C1D，则C1DBA1.异面直线BA1与AC1所成的角为AC1D(或补角)，在等边AC1D中，AC1D60.5下列命题：空间不同三点确定一个平面；有三个公共点的两个平面必重合；空间两两相交的三条直线确定一个平面；三角形是平面图形；平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；垂直于同一直线的两直线平行；一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；两组对边相等的四边形是平行四边形其中正确的命题是_(填序号).【例题分析】例1、如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AEEBCFFB21，CGGD31，过E、F、G的平面交AD于H，连结EH.(1)求AHHD；(2)求证：EH、FG、BD三线共点 (1)解2，EFAC.EF平面ACD.而EF平面EFGH，且平面EFGH平面ACDGH，EFGH.而EFAC，ACGH.3，即AHHD31.(2)证明EFGH，且，EFGH，四边形EFGH为梯形令EHFGP，则PEH，而EH平面ABD，PFG，FG平面BCD，平面ABD平面BCDBD，PBD.EH、FG、BD三线共点变式1如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG相交于点O.求证：B、D、O三点共线证明EAB，HAD，E平面ABD，H平面ABD.EH平面ABD.EHFGO，O平面ABD.同理可证O平面BCD，O平面ABD平面BCD，即OBD，B、D、O三点共线例2、如图所示，直线a、b是异面直线，A、B两点在直线a上，C、D两点在直线b上求证：BD和AC是异面直线证明两直线为异面直线的方法：1定义法(不易操作)2反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面此法在异面直线的判定中经常用到3判定定理证明假设BD和AC不是异面直线，则BD和AC共面，设它们共面于.A、B、C、D，AB、CD，即a、b.这与a、b是异面直线矛盾，故假设不成立BD和AC是异面直线变式2 如图是正方体或四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的是_(填序号)例3、(2009全国)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为_解题导引高考中对异面直线所成角的考查，一般出现在综合题的某一步，求异面直线所成角的一般步骤为：(1)平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点，如线段的中点或端点，也可以是异面直线中某一条直线上的特殊点(2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角(3)寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之(4)取舍：因为异面直线所成角的取值范围是090，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角如图，A1D平面ABC，且D为BC的中点，设三棱柱的各棱长为1，则AD，由A1D平面ABC知A1D，RtA1BD中，易求A1B.CC1AA1，AB与AA1所成的角即为AB与CC1所成的角在A1BA中，由余弦定理可知cosA1AB.AB与CC1所成的角的余弦值为.变式3在空间四边形ABCD中，已知AD1，BC，且ADBC，对角线BD，AC，求AC和BD所成的角如图所示，分别取AD、CD、AB、BD的中点E、F、G、H，连结EF、FH、HG、GE、GF.由三角形的中位线定理知，EFAC，且EF，GEBD，且GE.GE和EF所成的锐角(或直角)就是AC和BD所成的角同理，GHAD，HFBC.GH，HF，又ADBC，GHF90，GF2GH2HF21.在EFG中，EG2EF21GF2，GEF90，即AC和BD所成的角为90.例4、如图所示，在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB60，对角线AC与BD交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60.(1)求四棱锥的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值多角度审题对(1)只需求出高PO，易得体积；对(2)可利用定义，过E点作PA的平行线，构造三角形再求解解(1)在四棱锥PABCD中，PO平面ABCD，PBO是PB与平面ABCD所成的角，即PBO60，2分在RtAOB中，BOABsin 301，又POOB，POBOtan 60，底面菱形的面积S2222，VPABCD22.7分(2)取AB的中点F，连结EF，DF，E为PB中点，EFPA，DEF为异面直线DE与PA所成角(或其补角)9分在RtAOB中，AOABcos 30，在RtPOA中，PA，EF.在正三角形ABD和正三角形PDB中，DFDE，由余弦定理得cosDEF.12分所以异面直线DE与PA所成角的余弦值为.14分【突破思维障碍】求两条异面直线所成的角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往将角的顶点取在其中的一条直线上特别地，可以取其中一条直线与另一条直线所在平面的交点或异面线段的端点总之，顶点的选择要与已知量有关，以便于计算，具体步骤如下：(1)利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上；(2)证明作出的角即为所求角；(3)利用三角形来求解，异面直线所成角的范围是(0，90【易错点剖析】1求异面直线所成的角时，仅指明哪个角，而不进行证明2忘记异面直线所成角的范围，余弦值回答为负值【强化练习】一、填空题1和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是_异面或相交_2给出下列命题：若平面上的直线a与平面上的直线b为异面直线，直线c是与的交线，那么c至多与a、b中的一条相交；若直线a与b异面，直线b与c异面，则直线a与c异面；一定存在平面同时和异面直线a、b都平行其中正确的命题为_(填序号)错，c可与a、b都相交；错，因为a、c可能相交也可能平行；正确，例如过异面直线a、b的公垂线段的中点且与公垂线垂直的平面即可满足条件3. 如图所示，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点，将ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的大小为_60_将三角形折成三棱锥，如图所示，HG与IJ为一对异面直线，过D分别作HG与IJ的平行线，因GHDF，IJAD，所以ADF为所求，因此HG与IJ所成的角为60.4(2009全国改编)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成的角的余弦值为_如图所示，连结A1B，则A1BC D1，故异面直线BE与CD1所成的角即为BE与A1B所成的角设ABa，则A1Ea，A1Ba，BEa.A1BE中，由余弦定理得：cosA1BE.5正四棱锥SABCD的侧棱长为，底面边长为，E为SA的中点，则异面直线BE和SC所成的角为_60解析设AC与BD的交点为O，则OESC，BEO(或其补角)即为异面直线BE和SC所成的角，EOSC，BOBD，在SAB中，cos A在ABE中，cos A，BE.在BEO中，cosBEO，BEO60.6一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：ABEF；AB与CM所成的角为60；EF与MN是异面直线；MNCD.则正确结论的序号是_解析把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图所示，易知ABEF，ABCM，EF与MN异面，MNCD，故正确7下面命题正确的是_(填序号)若直线a、b相交，b、c相交，则a、c相交；若ab，则a、b与c所成的角相等；若a、b与c所成的角相等，则ab；若ab，bc，则ac.8在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号) (2)(4)二、解答题9如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点证明(1)如图所示，连结CD1，EF，A1B，E、F分别是AB和AA1的中点，EFA1B，且EFA1B，(2分)又A1D1綊BC，四边形A1BCD1是平行四边形，A1BCD1，EFCD1，EF与CD1确定一个平面，E，F，C，D1，即E，C，D1，F四点共面(6分)(2)由(1)知EFCD1，且EFCD1，四边形CD1FE是梯形，CE与D1F必相交，设交点为P，(8分)则PCE平面ABCD，且PD1F平面A1ADD1，P平面ABCD且P平面A1ADD1.(10分)又平面ABCD平面A1ADD1AD，PAD，CE，D1F，DA三线共点(14分)10如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、M、N分别为AD、AB、C1D1、B1C1的中点，求证：A1PCN，A1QCM，且PA1QMCN.证明如图所示，在A1B1上取中点K，易知四边形MKBC为平行四边形(3分)CMBK.又A1KBQ，且A1KBQ，四边形A1KBQ为平行四边形，A1QBK，(