2025年江苏省苏州市中考一模数学试题（原卷版+解析版）

初三年级第一次调研试卷数学2025.04本卷由选择题、填空题和解答题组成，共27题，满分130分，调研时间120分钟．注意事项1．答题前，学生务必将学校、班级、姓名、调研号等信息填写在答题卡相应的位置上；2．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效；如需作图，先用2B铅笔画出图形，再用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑，不得用其他笔答题．3．学生答题必须答在答题卡相应的位置上，答在试卷和草稿纸上一律无效．一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上）1.的绝对值是（）A.2025 B. C. D.2.中国剪纸是中国最具代表性的民间艺术之一，于2009年入选联合国教科文组织“人类非物质文化遗产代表作名录”．下列剪纸作品中，是轴对称图形的是（）A. B.C. D.3.已知，下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.4.扇形的半径为9，圆心角为，则该扇形的面积是（）A. B. C. D.5.端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是元，所得方程正确的是（）A. B.C. D.6.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则可能的值是（）A.0 B. C. D.7.如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D．若的面积为6，则的面积是（）A.6 B.10 C.12 D.208.如图，线段，点C是线段上的一个动点，分别以为斜边向上作等腰直角三角形，等腰直角三角形，点F在线段上，连接．则周长的最小值为（）A. B.10 C. D.二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9.4的算术平方根是__________．10.3月29日据网络平台数据，电影《哪吒之魔童闹海》总票房已突，位列全球影史票房榜第5名．数科学记数法可表示为__________．11.如图，转盘中个扇形的面积都相等．任意转动转盘次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率为________．12.因式分解：__________．13.机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度_______．14.如图，点A，B，C，D，E在上，D是的中点，．若，，则__________°．15.二次函数（其中a，b，c为常数，且）的图象过点，其中m为常数，且，则方程的解为__________．16.如图，在中，，，，先将沿翻折到处，再将沿翻折到处，过点作交于点，则的长是__________．三、解答题（本大题共11小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.计算：18.解方程组：19.先化简，再求值：，其中．20.已知：如图，，，垂足分别为，，，相交于点，且．（1）求证：；（2）已知，，求的长度．21.苏州地铁6号线“富强站”有标识为1，2，3，4四个出入口．某周六下午，小项和小吴两位学生志愿者分别随机选择该站一个出入口，开展学雷锋志愿服务活动．（1）小吴同学在2号出入口开展学雷锋志愿服务活动的概率为；（2）求小项、小吴两位同学在同一出入口开展学雷锋志愿服务活动的概率．（请用列表或画树状图的方法求概率）22.从2025年春季学期起，江苏省所有义务教育学校的课间时间延长到15分钟．某校为了解学生课间喜欢的体育活动，在全校范围内抽取部分学生进行调查问卷，并将收集到的信息进行整理，绘制成如图所示不完整的统计图，其中A为“羽毛球”，B为“乒乓球”，C为“踢毽子”，D为“跳绳”．请你根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查共抽取了名学生；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“跳绳”所对应的圆心角度数；（3）若全校共有1200名学生，请估计全校有多少名学生课间喜欢乒乓球．23.综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观骨台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．（1）求的长；（2）求塔高度．（取0.5，取1.7，结果取整数）24.如图，四边形是菱形，其中点，点在反比例函数的图像上，与轴正方向的夹角为，且，反比例函数的图像与线段交于点．（1）求值；（2）点为反比例函数图像上的一个动点（点在点，之间运动，不与，重合），过点作，垂足为点，过点作，交于点，连接．若的面积为，求点的坐标．25.如图，在中，，点是边上一点，连接，以为直径的交于点，交于点，连接，交于点，连接，已知．（1）求证：是的切线；（2）若，，①求的长；②求的长．26.如图，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为，点是直线下方抛物线上的一个动点，连接，与交于点．连接，，过点作交于点，连接．设点的横坐标为，面积为，面积为，面积为．（1）求抛物线的表达式；（2）若，求的值；（3）若，则点的坐标为．27综合与实践：九年级某学习小组围绕“锐角三角形面积”开展主题学习活动．【特例探究】（1）如图，锐角中，，，作，垂足为，则的面积为；【一般证明】（2）如图，锐角中，，，，的面积为．求证：；【迁移应用】（3）如图，锐角中，，，，是的平分线，则的长为；（4）如图，中，，，，点在边上，且，连接，的中点为点，过点作直线与边，分别交于，两点，且为锐角三角形，求的值．

初三年级第一次调研试卷数学2025.04本卷由选择题、填空题和解答题组成，共27题，满分130分，调研时间120分钟．注意事项1．答题前，学生务必将学校、班级、姓名、调研号等信息填写在答题卡相应的位置上；2．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效；如需作图，先用2B铅笔画出图形，再用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑，不得用其他笔答题．3．学生答题必须答在答题卡相应的位置上，答在试卷和草稿纸上一律无效．一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上）1.的绝对值是（）A.2025 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的关键．根据绝对值的定义进行计算即可．【详解】解：的绝对值是，故选：A．2.中国剪纸是中国最具代表性的民间艺术之一，于2009年入选联合国教科文组织“人类非物质文化遗产代表作名录”．下列剪纸作品中，是轴对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A、B、C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：D．3.已知，下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了不等式的性质．根据不等式的性质判断作答即可．【详解】解：∵，∴，，，由无法用来判断，∴A、B、D错误，故不符合要求；C正确，故符合要求；故选：C．4.扇形的半径为9，圆心角为，则该扇形的面积是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了扇形的面积计算；根据扇形的面积公式计算即可．【详解】解：该扇形的面积是：，故选：D．5.端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是元，所得方程正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．根据降价后用240元可以比降价前多购买10袋，可以列出相应的分式方程．【详解】解：由题意可得，，故选：C．6.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则可能的值是（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查根的判别式，根据方程有2个不相等的实数根，得到，列出不等式求出的范围，进行判断即可．【详解】解：由题意，得：，∴，∴或，∴可能的值是；故选B．7.如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D．若的面积为6，则的面积是（）A.6 B.10 C.12 D.20【答案】C【解析】【分析】过点D作于点G，根据题意得，利用角的平分线性质，三角形面积性质解答即可．本题考查了角的平分线的基本作图，三角形面积的性质，直角三角形的性质，熟练掌握作图和性质是解题的关键．【详解】解：过点D作于点G，根据题意，得平分，∴，∵，∴，，∴，∵的面积为6，∴，故选：C．8.如图，线段，点C是线段上的一个动点，分别以为斜边向上作等腰直角三角形，等腰直角三角形，点F在线段上，连接．则周长的最小值为（）A. B.10 C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质，二次函数求最值，设，则：，等腰直角三角形的性质结合勾股定理，求出的长，推出，作点关于的对称点，连接，得到的周长，得到的周长的最小值为，转化为二次函数求最值即可．【详解】解：设，则：，∵均为等腰直角三角形，∴，，∴，∴，作点关于的对称点，连接，则：，，∴，∴三点共线，∵，∴的周长，∴当三点共线时，的周长最小为，此时点与点重合，如图：设与交于点，作于点，作于点，则：，∴，，∴为定值，∴当的长最小时，的周长的值最小，∵，∴当时，最小为，此时最小为，∴的周长的最小值为：；故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9.4的算术平方根是__________．【答案】2【解析】【分析】本题主要考查了算术平方根，算术平方根是正的平方根．根据算术平方根的定义求解即可．【详解】解：4的算术平方根是．故答案为：2．10.3月29日据网络平台数据，电影《哪吒之魔童闹海》总票房已突，位列全球影史票房榜第5名．数科学记数法可表示为__________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查科学记数法．用科学记数法表示较大数时的形式为，其中，n为正整数，确定a的值时，把小数点放在原数从左起第一个不是0的数字后面即可，确定n的值时，n比这个数的整数位数小1．【详解】解：数科学记数法可表示为．故答案为：．11.如图，转盘中个扇形的面积都相等．任意转动转盘次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率为________．【答案】【解析】【分析】根据古典概型的概率的求法，求指针落在阴影部分的概率.【详解】一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的中结果，那么事件发生的概率为.图中，因为6个扇形的面积都相等，阴影部分的有3个扇形，所以指针落在阴影部分的概率是．【点睛】本题考查古典概型的概率的求法.12.因式分解：__________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查提公因式法和公式法分解因式．先提公因式，再运用平方差公式继续分解即可．【详解】解：．故答案为：．13.机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度_______．【答案】3【解析】【分析】本题主要考查反比例函数的应用；由题意易得该函数的解析式为，然后问题可求解．【详解】解：设该反比例函数的解析式为，由题意得：，∴，∴当时，则；故答案为：3．14.如图，点A，B，C，D，E在上，D是的中点，．若，，则__________°．【答案】85【解析】【分析】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，三角形内角和定理，等腰三角形的性质．连接，由三角形内角和定理与等腰三角形的性质得，由圆心角、弧、弦的关系求出的度数，根据圆周角定理求出的度数，从而求出的度数即可．【详解】解：如图，连接．∵，∴，∵，∴，，∴，∵D是的中点，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案为：85．15.二次函数（其中a，b，c为常数，且）的图象过点，其中m为常数，且，则方程的解为__________．【答案】【解析】【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，待定系数法求出二次函数的解析式，进而确定一元二次方程，进行求解即可．【详解】解：把，代入，得：，解得：，∴方程化为：，∵，∴，解得：；故答案为：．16.如图，在中，，，，先将沿翻折到处，再将沿翻折到处，过点作交于点，则的长是__________．【答案】【解析】【分析】过点A作于点E，过点作，交的延长线于点G，交于点M，则，证明，设，则，根据勾股定理，得，解得，，利用三角函数解答即可．【详解】解：过点A作于点E，过点作，交的延长线于点G，交于点M，则，∵，，∴，∴四边形是矩形，∴，∵，，，将沿翻折到处，再将沿翻折到处，∴，，，∴，∴∴三点共线，∴，根据题意，得，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，设，则，根据勾股定理，得，解得，，∴，∴解得，∴，∴解得，∴，∵，∴∴，，∴，，∴，∵，∴∴，解得，∴，故答案为：．【点睛】．三、解答题（本大题共11小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.计算：【答案】4【解析】【分析】本题考查了实数的运算．利用绝对值的意义，立方根的定义，零指数幂化简计算即可．【详解】解：．18.解方程组：【答案】．【解析】【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．直接运用加减消元法解答即可．【详解】解：，可得：，解得，将代入①可得：，解得．所以方程组的解为．19.先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．本题考查了分式的化简求值，求代数式的值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．【详解】解：当时，原式．20.已知：如图，，，垂足分别为，，，相交于点，且．（1）求证：；（2）已知，，求的长度．【答案】（1）见解析（2）．【解析】【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．（1）由条件可求得，利用可证明；（2）根据全等三角形的性质得，，则，然后再根据即可得出答案．【小问1详解】证明：∵，∴，∴；∵，∴，∴；在和中，，∴；【小问2详解】解：∵，，∴，，∵，∴，∴．21.苏州地铁6号线“富强站”有标识为1，2，3，4的四个出入口．某周六下午，小项和小吴两位学生志愿者分别随机选择该站一个出入口，开展学雷锋志愿服务活动．（1）小吴同学在2号出入口开展学雷锋志愿服务活动的概率为；（2）求小项、小吴两位同学在同一出入口开展学雷锋志愿服务活动的概率．（请用列表或画树状图的方法求概率）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了利用列表法或树状图法求概率：先列表或画树状图展示所有等可能的结果数m，再找出某事件所占有的可能数n，然后根据概率的概念即可得到这个事件的概率．（1）直接利用概率公式计算可得；（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式可得答案．【小问1详解】解：∵有标识为1、2、3、4的四个出入口，∴甲在2号出入口开展学雷锋志愿服务活动的概率为，故答案为：；【小问2详解】解：画树状图如下：共有16种等可能结果，其中小项、小吴在同一出入口开展学雷锋志愿服务活动有4种结果，∴小项、小吴在同一出入口开展学雷锋志愿服务活动的概率为．22.从2025年春季学期起，江苏省所有义务教育学校的课间时间延长到15分钟．某校为了解学生课间喜欢的体育活动，在全校范围内抽取部分学生进行调查问卷，并将收集到的信息进行整理，绘制成如图所示不完整的统计图，其中A为“羽毛球”，B为“乒乓球”，C为“踢毽子”，D为“跳绳”．请你根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查共抽取了名学生；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“跳绳”所对应的圆心角度数；（3）若全校共有1200名学生，请估计全校有多少名学生课间喜欢乒乓球．【答案】（1）50（2）补全条形统计图见解析，（3）估计全校约有408名学生课间喜欢乒乓球．【解析】【分析】本题考查是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．（1）用A的总人数除以A所占比例即可求解；（2）用总人数减去A、C、D的人数即可得B的人数，据此即可补全条形统计图，再用D所占百分比；（3）用样本估算总体即可．【小问1详解】解：这次被调查的学生人数为：（名），故答案为：50；【小问2详解】解：喜欢乒乓球的学生人数为：（名），补全条形统计图如图：“跳绳”所对应的圆心角度数为：；【小问3详解】解：（名），答：估计全校约有408名学生课间喜欢乒乓球．23.综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观骨台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．（1）求的长；（2）求塔高度．（取0.5，取1.7，结果取整数）【答案】（1）3m（2）塔的高度约为【解析】【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质求解即可；（2）设，分别在和中，利用锐角三角函数定义求得，，过点作，垂足为．可证明四边形是矩形，得到，．在中，利用锐角三角函数定义得到，然后求解即可．【小问1详解】解：在中，，∴．即的长为．【小问2详解】设，在中，，∴．在中，由，，，则.∴．即的长为．如图，过点作，垂足为．根据题意，，∴四边形是矩形．∴，．可得．在中，，，∴．即．∴．答：塔的高度约为．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及含30度角的直角三角形的性质、矩形判定与性质、锐角三角函数，理解题意，掌握作辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键．24.如图，四边形是菱形，其中点，点在反比例函数的图像上，与轴正方向的夹角为，且，反比例函数的图像与线段交于点．（1）求的值；（2）点为反比例函数图像上的一个动点（点在点，之间运动，不与，重合），过点作，垂足为点，过点作，交于点，连接．若的面积为，求点的坐标．【答案】（1）12（2）【解析】【分析】（1）延长交x轴于点Q，根据题意，得,结合已知得到,设，于是，确定，继而确定，求．（2）延长交于点F，过点N作于点G，得,，得到四边形是平行四边形即，得到，设，求得，过点E作轴于点H，则四边形是矩形，当时，，求解即可．【小问1详解】解：延长交x轴于点Q，∵四边形是菱形，点，∴，，∴，∵与轴正方向夹角为，且，∴,设，∴，解得，∴，∴，∵点在反比例函数的图像上，∴，解得．【小问2详解】解：延长交于点F，过点N作于点G，∵四边形是菱形，点，∴,，∵，∴四边形是平行四边形，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，，∴，∴，设，∵，∴，解得；∴，过点E作轴于点H，则四边形是矩形，∴，∴，故当时，，故点．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，菱形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形面积计算，三角函数的应用，熟练掌握待定系数法，三角函数的应用是解题的关键．25.如图，在中，，点是边上一点，连接，以为直径的交于点，交于点，连接，交于点，连接，已知．（1）求证：是的切线；（2）若，，①求的长；②求的长．【答案】（1）见解析（2）①；②．【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得：，证明，可得是的切线；（2）①连接，根据勾股定理得到，三角函数的定义得到，根据直角三角形的性质得到，，于是得到；②根据勾股定理得到，，连接，根据相似三角形的性质即可得到结论．【小问1详解】证明：∵，∴，∵，，∴，∴，∵为直径，∴是的切线；【小问2详解】解：①连接，∵，，，∴，，∴，∵，∴，，∵是的直径，∴，∴；②在中，，在中，，连接，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的判断，勾股定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．26.如图，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为，点是直线下方抛物线上的一个动点，连接，与交于点．连接，，过点作交于点，连接．设点的横坐标为，面积为，面积为，面积为．（1）求抛物线的表达式；（2）若，求的值；（3）若，则点的坐标为．【答案】（1）（2）（3）或．【解析】【分析】（1）根据抛物线（b、c为常数）与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，代入解析式解方程组即可．（2）过点A作轴交于点P，过点E作轴交于点Q，确定直线的解析式为：，设，则，，，结合，得到，得到，根据题意，得，得到方程，解答即可．（3）根据，得到，故，设，∵根据同高两个三角形的面积之比等于对应底的比，得，，得