（基础数学专业论文）pontrjagin空间上算子代数若干问题研究.pdf

摘要 本文研究p o n t r j a g m 空】日j 上的算子代数讨论了一般算子代数的形式 问题，j c + 代数的抽象定义j c 一代数的口等价性与算子代数的对称 理想问题，以及h 。空间上j c + 一代数的不变子空间问题全文分五章 第一章简要介绍p o n t r j a g m 空间上算子代数问题的背景与研究现状， 及主要概念和结果 第二章利用对称理想给出t 空间上六类一般算子代数的形式构造 了一个非对角型的第零类算子代数的例子 第三章从b a n a c h + 一代数出发给出j c + 一代数的抽象定义，并给出s c 代数是 型的条件 第四章讨论了n t 空间上s h u l m a n 型j c 一代数及其商代数的等价 性，理想的对称十牛，并给出所有对称理想和非对称理想的形式 第五章证明1 空间上一般的j c 1 弋数的形式与正规分解无关得到 各类, i c - 1 弋数存在h 。型不变子空1 日j 的等价条件 关键词p o n t r j a g m 空间，算子代数，代数形式，j c * - 代数，对称理想， 不变子空间 中图分类号0 1 7 75 m r ( 2 0 0 0 ) 主题分类4 6 c 2 0 ，4 7 8 5 0 ，4 7 d 2 5 a b s t r a c t w ec o n s i d e rt h eo p e r a t o ra l g e b r a so nt h ep o n t d a g i ns p a c e s ，a n d s t u d yt h ef o r mp r o b l e mo fg e n e r a lo p e r a t o ra l g e b r a s a b s t r a c td e f i m t i o no fj c a l g e b r a ，t h ep r o b l e n to fc 一e q m v a l e u to fj c 。一a l g e b r a ，a a d t h es y m m e t r mp r o b l e mo f1 d e a l si no p e r a t o ra l g e b r a s ，a n dt h ep r o b l e m o fi n v a r i a n ts u b s p a c e sf o rj c + a l g e b r ao nh is p a c e st h e p a p e rc o n s i s t s o ff i v ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c es i m p l yt h eb a c k g r o u n da n ds t u d ya c t u a b t y o fp r o b l e m so fo p e r a t o ra l g e b r a so nt h ep o n t u a g ms p a c e s a n du s e f u l m a i nc o n c e p t sa n dr e s u l t sf o rf o l l o w i n gc h a p t e r s i nc h a p t e r2 ，w ec l a s s i f yt h eg e n e r a lo p e r a t o ra l g e b r a so np o n t r j a g a n s p a c ei n t os i xc l a s s e sb yu s i n go fs y m m e t r i ci d e a l s ，a n d 昏v et h eg e n e r a l f o r m sf o ra l lt h eg e n e r a lo p e r a t o ra l g e b r a sl ne a c hc l a s sa n d 昏v ea n e x a m p l eo fo p e r a t o lm g e b r ao ft y p e0 ，b u ti t1 sn o td l a g o n a l i nc h a p t e r3 ，w eg i v ea na b s t r a c td e f i m t m no fj c 一a l g e b r ao nt h eb a s e o fb a n a c h + a l g e b r a ，a n do b t a i n st h ec o n d l t l o nf o rs c * - a l g e b r ab e i n go f t y p e n k i nc h a p t e r4 ，w es t u d yt h ej c 一a l g e b r ao nt h ei 1s p a c e s ，矿- e q m v a l e n t o fq u o t i e n t sa l g e b r a ，s y n m 1 e t r yo fi d e a l s ，e x i s t e n c eo fi n v a r i a i l ts u b s p a c e s ， a n dc o n d i t i o n so fc o r n m u t a t l v l t ya n ds o m en e wr e s u l t sa r eo b t m n e d i nc h a p t e r5 ，w es t u d yt h ep r o b l e mo fe x i s t e n c ec o n d i t i o n sf o ri n - v a r i a n ts u b s p a c e so fj c + 一a l g e b r ao nt h en 1s p a c e s ，a n dg i v ee q m v a l e m c o n & t m u sf o ra n yc l a s s e s3 c 1 - a l g e b r ah a 守m gm v a r l a n ts u b s p a c e so f t y p e n 1 i i k e yw o r d sp o n t r j a g ms p a c e s ，o p e r a t o ra l g e b r a s ，a l g e b r a i cf o r m s ， j c * - a l g e b r a s ，s y m m e t r ml d e a l ，l n v a r l a n ts u b s p a c e s a m ss u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n ( 2 0 0 0 ) 4 6 c 2 0 ，4 7 d 2 5 ，4 7 8 5 0 _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ - _ _ - - _ _ _ _ _ _ - - _ _ _ _ _ h _ - _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ i i i 第一章n 七空间上算子代数研究现状 引言 本章简要介绍p o n t r l a g l n 空f 日j 上算子代数闯题的背景与研究现状，同 时介绍主要概念和结果 l 七空问及其上算子代数的基本概念 p o n t r j a g i n 空间简称为h k 空日j 它是负指标为k 的完备不定度规空间 不定度规空日j 足一种具有明确物理背景的空间该种空间最初是出现 在pamd i r a c 的有关量子场论方面的文章【6 】中后来，在上个世纪四 十年代，前苏联数学家p o n t r j a g m 也是从力学问题研究的需要中开始，首 先从数学上讨论了不定度规空川及其上的算子理论f 18 1 再如，爱因斯 坦的相对论中“时空”空问其实就是负指标为l 的四维不定度规空间， 即四维的n 1 空间有关不定度规空间上的几何理论及算子理论虽然远 不象h l b e r t 空间中相廊卿论那样丰富完善，但也取得很多比较成熟的理 论这些内容可在文献f 3 ，2 4 ，8 l 中找到 不定度规空间足复数域c 上的线性空间，且带有一个非退化的度 规( ，) ，即双线件h e r l i n t e 泛函 第一章i 空阃上算子代数研究现状 定义1 1 1 设是复数域上的线陀空间，【，】是n 上泛函，且满足 ( 1 ) 对任何z ，y ，陋，y 】= i 石习， ( 2 ) 对任何o ，卢c ，t ，y ，z ， f c w + 卢，刁= o 陆，爿+ 卢b ，2 】 ( 3 ) 若扛，胡= 0 ，则z = 0 ， 则称( ，f ，】) 是一个不定度规空间 若z ，且x ，z ) = 0 ，则称z 为零十牛向量零性向量构成的子空间 称为零性子空间类似地有j 下( 半正) 、负( 半负) 子空间 定义1 1 2 设( ， ，】) 足一个不定度规空问如果存在的正子空 间日+ ，负子空间h 一，使得n = 凰o h 一，并且【，】限制在h 上时， ( h ，【，】) 成为h l l b e r tf j ，而一【，】限制在h 一上时，( 日一，一【，】) 也 成h l l b e r t 空间，则称( n ， ，】) 为完备不定度规空1 日j 此分解称为1 1 空 间的正则分解 定义1 1 3 如果不定度舰空问有正则分解= n 。0n ，且其中负性 子空间的维数为 0 ， n ( 3 ) 代数b ( 何) ( r ， 其中h 足有限维空1 日j ，r ，m n ，称之为奇异的 b ( h ) 神= a ( 7 o ( t + a t ) m ia b ( ) ，t t = - i ，t 取定 定理1 4 4 1 2 4 ( 1 ) 含啦他元的非退化jy 代数4 必是自反的，即 a = a i a b ( n k ) ，l a t act a t b 定义1 4 1 口4 ( 1 ) 】称一个算子代数是完仝非退化的，如果它所包含的自 共轭算子的特征子空侧均非退化 定理1 4 5 1 2 4 0 ) 1 含单位元的壳仝非退化j y 一代数是由它所包含的 投影算子生成的 定义1 4 2 2 3 设以足含单位元的弱闭代数，a f n a 时，a l a $ 力， 其中4 = l e 4 ) ，则_ 1 ；6 、a 为约化代数 定理1 4 6 1 2 3 1 设4 足非退化的约化代数，并且与4 可交换所有闭的 稠定线性算子均有界，则a 不存存无穷多个相互直交的约化子空间 定理1 4 7 【2 3 】设4 足非堪化的约化代数，并且4 的每个稠定变换均有 界，则c ( a ) 7 定理l 4 8 1 2 3 设足非退化的约化代数，并且4 的每个稠定变换均有 界则a 是j y 代数 9 第一章k 空阔上算子代敛研冗现状 5 一般算子代数的结构 由于 空间与i - h l b e r t 空间的区别之一足它有零性子空间，因此女空 间上的一般算子代数更具有一般陛然而关于一般算子代数的研究却 很少文献 2 1 1 仅给m 了n l 空问上对称般算子代数的分类概念，并给 出每类代数的一般形式 令一4 是k 空间上的一般算子代数，z 足4 的零件不变子空间n z 的 维数足1 对a a ，设a ( 以) 足代数4 的鞘征泛函，即扁足4 z = a ( a ) z ， 是非正向量a 足其椤令h = z | 上】nz ，则投影pz i j 。i 一日可确片 中的内积 【p ( z ) ，p ( v ) 】= 扛，) ， g ，y z 1 1 对任意a a ，定义何界线陀算子a 为 月( p ( z ) ) = p ( a z ) 映射a - - - 4a 的核 【_ g n k c r a ，该映射的象记为五 定义1 5 1 1 2 1 1n l 空川上一般的算子代数分为以下六类： ( i ) a 是第0 类的，符k e r a = 0 ) ， ( 2 ) a 是第1 类的，若 o k e r ac 山， ( 3 ) a 是第。类的，名k e r a 1 0 1 = 4 0 nk e r a = 戍nk e r a ， ( 4 ) 4 足第1 i6 类的，若 o ) a o nk e r a = a j nk e r a k e r a ， ( 5 ) 4 足第1 l l 。类的，若4 d n k e r s a ；a k e r a ，k e r a n 凡n 残= 0 1 ， ( 6 ) 是第1 1 1 6 类的，若a ) u l k e t a a ；n k e r a ，k e r a n a o n 残1 0 1 定理1 5 1 1 2 1 1n l 空间上般f f j j c 代数分为六类，各类代数的形式 如下： 1 0 第一章n k 空问上算子代数研究现状 ( 1 ) 0 类 ”1 ir 州。j 1 a cm “i j 其中啊足h 上的单付算子目n 岳“，“足上的伊代数 ( 2 ) i i 。、6 、n i 。和1 1 类分别足： ( 故 “ ( m a 圆 m 卢 a ， “，弘 这里r 是日的对c + 代数“不变的子空问，且b “ ( 3 ) i 类 m “， ( 1 ( g ( r ) a + 1 日+ + m v 乱) 。t l 。( q ( m i + z + u ， 一 1 1 m、11 c 、1， c k 蚝 几 ： w m c 九 卜、 ( a、 0 p a 0 0 p ，i q、 q a a a a 第一章k 空u j 上算子代数研z 现状 a ，t cm “，y ，z r ，“d 其中n 隹“，g 足“宝0 ，的拟向量，即满2 ：q ( a u ) = a q ( b ) r 是h 中 直交于g ( “) 且对纠不变的子空1 日j ，d 足k e r 似) 中直交于r 的线性流形， y 是d 上共轭线性算子且v 2 = ，d 由于上述分类定义乃法直接依赖于1 空间的特性，且定义本身过于 复杂，不易推广，因此n k 空吲上一般算子代数的分类问题的研究，至今 已有三十多年，但一直进展缓慢 o 1 2 第一章m 空m 上算子代数研究现状 6 相关问题的研究 6 1稠密性定理与约化代数 定义1 6 1 2 a ( 1 ) l 设q 足n 空日j 上一旅有界线眭算子，l 是n k 的闭线彤 子空间如果l 和l 都是q 中所有算子的不变子空间，则称l 是q 的广 义约化子空日】如果除去甲儿的子空间0 ，f i 外，再没有广义约化子空 间，则称q 是广义不可约的 定理1 6 1 1 2 4 ( 1 ) 】似设n p 足可析的，那么广义不可约的算子全体 在b ( ) 中按算子范数稠密，即在正则分解女= h o 珥( 由它产 生的范数为”0 ) 下，列任f i c b ( n ) ， 0 ，必存在广义不可约算 子a ，使得0 c c - i i 定理1 6 2 p 4 ( 1 ) 】n 空间。巴广义不可约的j v n 一代数必足b ( k ) 推论1 6 1 1 2 4 ( 1 ) 】生成j v n 一代数b ( 固的算子全体在b c i i k ) r 0 按算子 范数稠密 令4 是空问上一个算子代数，且 a 1 = a i ao ( a a ) c ( i z l 1 ) ) 万表示4 的强闭包 定理1 6 3 1 2 3 ( 6 ) 】令4 足h 空上一个范数闭刘称算子代数，m = 万， t 朋，a ( t + t ) c ( 一11 ) ，n t ( 万) 5 定理1 6 4 1 2 3 ( 6 ) 】令一4 足丌 宅川上一个苊敦闭列称算子代数，m = 万， 则( 万) 3 朋l 6 2 二次交换件 。 在经典的弱闭舅子代数，g o hx b e r t 空问上的v o nn e u m a n n 代数中，二 第一章 空问上算子代数研，现状 次交换定理成立这一重要结论在p o n t r l a g m 空f 日j 上的jvn - 代数中足 否总是成立，并不明显文f 1 1 1 证明了在n k 空间上非退化的jvn 代数 中类似的二次交换定理成立，文 2 3 ( 6 ) 】证明了1 空间上有限个可交换 的自共轭算子组，当相府于它们的广义临界点的根予空吲都是非退化 时，它们生成的弱闭算子代数中二次交换定理成立近来在文 2 】中又 证明了在可分的i i l 空旧上交换列称算子代数中二次交换定理也成立 在【2 6 ( 3 ) 】中，证明在n 空阃上退化的第0 、i i 。，l 类jv n 一代数中二次 交换定理成立从而xj 第0 、l i 。i i i 。类jvn 代数，推广了文【2 】中的结 果 前边的定理141l 兑明刘于兀k 空间上非退化的弱田算子代数二次交换 定理在一定条件下成立但刘1 空1 日j 上股的算子代数有下列结论 定理1 6 5 口4 ( 1 ) 】如果a la 2 ，a 。足h l 空间上有限个可交换的拟幂 零自共轭算子，4 是由4 l ，一2 ，4 。及生成的弱闭代数，则有a = 4 ， 定义1 6 2 【2 4 ( 1 ) 】设a 是兀 空川上自共轭算子，a o 唧( ) ( 点谱) 如 果相应a o 的根子空川巾a o ( ) 中含有零件向毋，那末称a o 是a 的广义临界 点 定理1 6 6 1 2 4 ( 1 ) j 设，1 l ，a 2 ，a 。足n l 空j 日j 上有限个可交换自共轭算 子如果相应于它们的广义临界卢的根子空都是非退化的，那末由它 们生成的弱闭代数a = ，4 ， 定理1 6 7 1 2 6 ( 3 ) 设4 是1 1 l 空间上一般的弱闭算子代数，如果a 是第0 ， i i 。或i 。类的，则4 = 4 ， 6 3 理想的对称j | ，e 通常的口代数1 3 h i l b e r t 空1 日j 上的一致闭算子代数，它的任意理想 都是对称的【1 7 ，矧文 2 3 ( 1 ) 日出p o n t r j a 9 1 n 空1 日j 上的j g + 一代数的理想一 1 4 笫一章玑空间上算子代数研究现状 般不足对称的并证明当l ，驴一代数理想中元系相应于零的特征子空间 非退化，而且零不足饭理恕中自彳 元的非先全正则临界点时，该理想必 对称由此可见，n 空日j 上的j c + 一代数理扭的埘称性问题与h l l b e r t 空间 上g + 一代数的情况有本质区别 在【2 6 ( 1 ) 1 中讨论算子代数理枳的别称性问题证明了非退化t k j j c 一 代数和非退化的i ，p 7 n 一代数的理想必足刘称的对退化的，a + 一代数给 出了两种对称的删想和两种非别称的理想另外逊说明了n 1 空间上 退化的3 c 代数中，第0 ，i 和i i 类代数中无非刘称理想，而第类代 数中存在非对称理想最后通过构造两个例子说明了文【2 3 ( 1 ) 】中给出 的，g - 代数理想列称 条件不足必要的条件 定理1 6 8 1 2 9 ( 6 ) 1 ( 1 ) 设m 足非退化，y _ 代数4 的理想，则m 是对称 。 的 ( 2 ) 设m 足非退化的j c + 一代数4 的理想，则 4 是对称的 设4 是女空间上的一般的舜j 称算子代数，即4 有零件不变子空间 令z 足一4 的维数最大的零陀不变子空，由4 的对称性知z 的直交 补z 也是4 的不变子宇日j 】已 z i 上1 = l ，l l j - i = z 4 ，h = ( z + z ) i 上】 则得到空间i i k 的标沮分解 相应的度规算子为 = ( z e h ) + z + j = 也， ) 1 5 ， 望_ 二二- 童里坐塑! = 兰! 堑丛墼丛塞婴鲨 寸芝引 。 朋1 = x i x a ，且局2 = o ， m 2 = x i x 4 ，k x n = x a a = 0 ) m = x l x a ，且x 1 1 = 0 ) m = x i x a ，且捣3 = 0 定理1 6 9 2 9 ( 6 ) 】若4 足一般的，g + 一代数，则 ( i ) m ；0 一i ，2 ) 足4 的别称珊想 ( 2 ) 若存在x m ( 或 乞) 确拖3 0 ( 或托1 0 ) ，则m ( 或j v 2 ) 是4 的非对称理想 定理1 6 1 0 口9 ( 6 ) 】设a 是一般的，g + 一代数，m ；，m ( t ，= 1 ，2 ) 的意 义同定理16 1 0 则 ( 1 ) h 4 1i - 1 m 2 足4 的剥称理想 。 ( 2 ) 在定理l61 0 的条件下，朋1n m ( j = 1 ，2 ) 足4 的非对称理想 ( 3 ) a 4 2n m 0 = 1 ，2 ) 足a f i j ) ( j 称理想 定理1 6 i i 2 9 ( 6 ) l 设足兀】空川上的一般w j j c * - 代数，则 ( 1 ) 若a 是第0 ，i 或i i 类的，则4 无非对称的理想 ( 2 ) 若一4 足第1 i i 炎的，则4 存在非平凡的讣别称理想 】6 第一章k 空问上算子代数研究现状 定义1 6 3 1 2 3 ( i ) j 壳全正则临界点足指这个临界点相应的根子空日j 就 是特征子空b j ，并且坯个子空问足非退化的 定理1 6 1 2 1 2 9 ( 6 ) 】设a 是j c 代数，m 足a 的一个理想如果m 中元 素相应于0 的特征子空闸a r 堪化，并且0 不足 4 中自共轭算子的非完全 正则i 临界点，则足别称的 注：该定理的条件足充分的但不足必碧的文( 2 9 ( 6 ) 】中给出两个反 例 6 4e + 等价俐与不町约代数 一个b a n a c h ，代数如果可以赋予一个等价的范数使之成为c ”一代数， 则称之为e 一等价的 定义1 6 4 1 1 2 1 设足女空l 甘j 上的算子代数，如果存在的正则分 解i i k = h o + ，使得一与+ 都足4 的不变子空间，则称算予代 数a 存在不变子空侧偶列 定理i 6 1 3 1 1 2 n 空in l 二一致闭划称算子代数4 足一等价的充分必 要是a 存在不变子空偶刈 定理1 6 1 4 1 1 2 1 空i 】上一致闭对称饽予代数一4 足一等价的充分必 要是一4 满足条件：刘a a ，a + a = 0 ，可以推出a = 0 定理1 6 1 5 1 1 2 1n 空闸上一致闭不可约副称算子代数一4 包含了空 间上所有紧算子的代数r ( 兀 ) 6 5 导子问题 通常v o nn e u m a n n 代数上的导子必足内酐j 2 2 】p o n t r j a g m 空日j i i k 上 j v n 一代数的导子末必足内的【2 9 ( 7 ) 给出非退化j v n 一代数上导子是 1 7 第一章k 空间上算子代数研究现状 内的充要条件就n l 空川上退化的，y r 一代数，证明了第o 、i i 。和。类 代数上的导子足内的，并通过例子说明第1 、h6 和i i l 6 类代数上的导子 一般不足内的 定义1 6 5 1 2 。( 7 ) 】算子代敛a 上的导子6 足a 上的一个线性变换，且满 足：对仔意的x ，y a ，有 j ( x y ) = 5 ( x ) y + x o ( y ) o 一个导子6 称为内的，足指存存一4 ，使得o ( x ) = 【a ，吲，这里【a ，x 】一 a x x a 定理1 6 1 6 p ! ( 7 ) 】算子代数上的内导子是酉等价不变的，即若一4 与b 是 空间上酉等价的两个算子代数，且u 4 己，一1 = 1 3u 是k 上的酉算 子，6 是一4 上的内导予，则1 3 1 3 ，b 1 3 ，b = u a u 一1 且6 ( b ) = u 6 ( a ) u ，足8 上的内导子 定理1 6 1 7 口9 ( 7 ) 】p o n t r 3 a g m 空间兀k 上1 退化的j y 一代数4 的导 子6 是内的充要条件足j 在4 的奇异部分上的限制为零 定理1 6 1 8 口9 ( 7 ) 】a 足l 宅j 日j 上的刘称算子代数，6 足4 上的导子， 则下列结论成立： ( 1 ) 若4 足第0 、1 7 。、i i i 。类的，则j 足内的充要条件足j 作为“上的导 子是内的 ( 2 ) 若一4 足第0 、i i 。l i i 。类的，v n 一代敛，则d 必是内的 注：文【2 9 ( 7 ) 中给f 了例子说明h 1 空恻上的第1 、i ib 和u i b 类j y 代数的导子未必足内的 6 6 算子的交换性 对于h i l b e r t 空问上的正规算子a ，仟意有界线性算子b ，若满足 1 8 第一章n 空问上算子代数研究现状 条件a b = b a ，则必有a + 1 3 = b a + 这一结论就足熟知的p u t n a n - f u g l e d e 定理口4 ( 1 ) 1 ( 以下简称p f 定理) 但在p o n t r j a g m 空问上，这一结 论般不再成立 引理1 6 1 1 2 。( 3 ) 1 若p o n t r j a g m 空川n k 有正则分解n = h 一0h ，则n k 空间上的任意有界线| ，丰算子月可唯一表示力下列形式： 如i 引i 其中a 1 l 是k 维h 1 l b e r t 空日j ，一( t e 定内积力一 ，】) 上的有界线性算子， a m 与a 2 1 分别足风到，彳一与h 一到h 的有界线件算子a 2 2 是h l l b e r t 空 间 r + 上的有界线性箅子，并且肖关于n 上的不定内积的共轭算子为 - - - ( 三；。引 引理1 6 2 1 2 9 ( 3 ) j 在c + 一代数昭上，尸- f 疋理成立即若n 8 ，且矿n = a a + ，则对任意b 嚣，由a b = b a 可拊, g l a + b = b a + 引理1 6 3 1 2 9 3 在算子代数中只f 定理足酉等价不变的即若a 与嚣是 i i 空间上酉等价的两个箅子代数，且u 。a u = b ，u 是i i t 上的酉算子， 则p - f 定理在a 上成立等价于p - f 定理在b 上成立 注：文【2 9 ( 3 ) 】中指h i 当 空日j 上的于规弹子a 有零性不变子空间时， p - f 定理般不成立 定理1 6 1 9 3 ) 】君兀字1 日j 上的正规外子一无零肚不变了空间，则 对i i k 空间上的仟意与a 可交换的有界线什j # 子圩，必有a + b = b a + 推论1 6 2 【2 9 ( 3 ) 1 设a 力t 空间上的工f 规佯子，a = a l + z a 2 ，这里a l 与a 2 是自共轭算子，如果下列条件之一成立，则刘仔意与a 可交换的有 界线性算子b ，必有a + 1 3 = b a 1 9 第一章k 空u j 上算子代数研究现状 ( 1 ) a 有变子空间偶对 ( 2 ) a 是基本约化的 ( 3 ) a l 与 2 都足基本约化的 f 4 ) a 的临界点都足克全j 下则的 ( 5 ) a 1 与a 2 的临界占都足完仝下则的 定理1 6 2 0 1 2 9 ( 3 ) 】设a 是n k 窄i 唧上确零件不变子空日j 的正规算子 若8 足k 空日j 上与a 兀公基零件不变子圭f 口j 且与4 可交换的任意有界线 性算子，则必有b = b a t - y _ ：文【2 9 ( 3 ) 】l l 指m 如果n l 空例上的j f 规算子a 与和a 可交换的算 子b 有公共零件不变子空呲并且a 、b 及单位算子生成的弱闭对称算 子代数属于第1 、i 【b 或i i i b 类代数，则算了b 与a 一般不可交换同时 说明了在第1 类算子代数p 也存在正规算子a ，及与j 4 可交换的算子b ， 使得b 与不可交换 推论1 6 3 1 2 9 ( 3 ) 划_ l 空间上的一般算子代数4 ( 1 ) 若4 属于第o 、i i 。或i i i 。类代数，9 1 l a 的二次交换4 ，= a ( 2 ) 若4 属于第1 、i i 自或i i i b 类代数，n a 的二次交换4 ，a 定理1 6 2 1 1 2 9 f 3 ) 】设4 足玎l 空i 可上自卜般的弱闭对称算子代数， j 4 ，b a ，a 足正规筲子，b 与a 可交换 ( 1 ) 令4 是第1 l l b 炎的，且 a = y 0 m a ，7 f ， m ，q o i j 则当下列条件成立时，b 与1 + 可交换 ! ，一s p a n y ，z ) 1i l l = i l 。1 | ，y = o z 第一章 空问上算子代数研究现状 矿，k e r ( m m ) nk e r ( # i a 妁 ( 2 ) 令4 是第l ib 类的，且 f ay a ：i ， q 。z ia 则当下列条件成立i 时，b 与a 可交换 矿，一s p a n y ，。) 1 | | | | = l i z l l ，y = n 。 矿，k e r ( m 一 f ) ( 3 ) 令a 是第1 类的，且 y f m 0 2 7 a 心搿m 觥唰略刊1 a ，+ 0 ( q ( f ) + 2 + t ) l 胪搿m 愀r l ( q ( m p ) a7 n + 7 ) + 一十“7 ) i 令y ；q ( m + ) + 箩+ v u ，z = q ( m ) + z + u ，y 7 = q ( m “) + 矿+ v u p ， z = q ( m ) + z + u ， 则当下列条件威立j 时，b 与44 司交换 p ，z s p o n y ，z ) 11 1 】邗= ij z h y = n z ， y 7 ，z k e r m 推论1 6 4 2 6 ( 3 ) 1 若h i 空问上的币规钎子相对于l 的标准分解n l = 2 1 a ，lj，-lili、 | | b a ，-j_-_iilii、，-_-_ll_-_i_ii、 = = a 口 筇一章 空问上算子代数研究现状 肚， 叶_ 爿 则必有a b = b a 第一章t 空f u j 上算子代数耕f 究现状 7 可进一步形f 究的问题。 1 抽象定义 如何给出t ，一代数的抽象定义以往文献中讨论的j c 一代数都是某 个具体i 空b j 上的，眇代数，我们自然希望能象一代数那样，给出一 个抽象的定义 2t ，c 卜代数的条件 我们希望j c + 一代数能租抽缘的b a n o c h 一代数的基础抽象地定义如 果这是可能的，自然地就要考虐b a n a c h , + 代数成为j c 代数的条件这 个问题 3 g i - 等价件闯题 k 空间上一般算子代数一等价睁的条件 一4 二次交换眭 k 空间上一般算子代数的二次交换件定理何时成立 5 导子问题 女空间上一般算子代数的导子足内的条悄或成为内的条件 6 算子的p - f 性 对i i i 空间上的算子，p - f 定理成立的条1 h 7 理想的对成件 空间上一般算了代擞的那些理想足x j 私、的 8 关于理想的商 t 空闯上一般算子代数关于那些理想的商足c f + 等价的 9 分类问题 如同1 空b j 上一般绰亍代数的分类一样，考虐h 空间上一般算子代 数的分类，并给出各类代数的一般形式 第一章t 空f u j 上算子代数研究现状 。 注：问题3 至问题9 目前都有讨论，或就非退化情况，或就。空间清 况，或就- 空间的某一类代数 1 0 应用 在i 空间上算子理论方面的府用 8 本文研究的问题 在第二章中利用列称理想给出k 空1 日j 上六类一般算子代数的形式 构造了一个非对角型的第零类算子代数的例子 在第三章中从仃一“r h 4 一代数小发给出j c + 代数的抽象定义，并给 出s c 。代数足兀 型的条件 在第四章中讨论了k 空l 叼上s t m h n f j , n 型j c + 一代数及其商代数的一 等价性，理想的刘称r e ，并给 u 所何列称珊怛和非刘称理想的形式 在第五章中证1 月丌。空f n 】上一般的j c 代数的形式与正规分解无关 得到各类j c 代数存存i i 。型不变子空i j 的等价条件 第二章n 七空间上一般算子代数形式 引言 本章首先给h k 空问上一般算子代数的分类概念，说明n t 空间上 一般算子代数分为六类然后通过算子代数的分解以及理想m 1n 也与m 2 的结构给m k 空间上各类般算子代数的一般形式最给出 几个例子 1预备知识 令h 是一个h l l b e r t 空间我f | j 在h 上重新定义数乘和线性运算如下 qz = a 击， a c x h ( z ，v ) 一= 瓦万， 容易验证它也足一个h f i b e r t 空叭记之力冗 令h ( t ) = 7 - 1 7 - 1 “，丙( “：一7 - 1 霄霄则再( “：再两 令f = ( e l ，e 2 ，) ，q = ( e i ，e ；，e ；) 则任意a 4 有下列 2 5 笙三皇坠窒塑圭二墼笪王垡鍪堡壅一 腻 寸絮鼍) y ：b 1 ，啦，虮) ，么= ( # l ，。2 ， ) ，执圆e t ，e ： 盈是有限秩算 f c y 。z ，：o k 。1 ：8 8 坠。 固1 ， 这里y = ( 口l ，2 ， 9 k ) ，z = ( z l ，z 2 ， 。k ) 注若a 是口( z ) 。p k 知阵，卿i a ( y 0 = ( ”y ) 固 定义算子了霄0 “一再。“，7 0 0 。) = ：o g ，则 ( 7 0 ez ) ，s o t ) = ( 7 0 0 ) + 0z ) 令，( ) = ，x x ， 令口是何( k ) 的子空川，p 足口上只轭线件的，a p 2 z = z 对z 口 易见p 的图 p z 。iz 口 在霄。彤砷中列了砧不变 引理2 l 1 百。h ( ) p 空i n j v 刘了“) 不变当且仅当存在子空 日j 冗c 日，口c 冗，及口上兆轭线p r 算子p ，p = z = z 对z c 口，满足 v = ( 瓦。冗) e p z o 。 z 研 证不妨设k = 1 热二章t 空问上一般算子代数形式 令v 是霄0 何中x , 1 7 不变的子空问。令冗= x 爿1 0 0z 1 ， 则茛。冗冬v ，置 口= z 冗1j 有在9 瓦1 崩足( g ，z ) v 对z 口，若g l ，9 2 1 7 , 1 满足( 9 i ，t ) ，( 啦r ) v ，贝0 ( g l 一9 ，0 ) v 进 而( o ，g l 一9 2 ) y ，于足g l 一卯冗，斟此9 l = 9 2 这样映射p 口- 口， p ( x ) = 9 有定义因为a ( g ，。) = ( 页9 ，a z ) ，确p ( 地) = 兔，因此p 共轭线 性，( n ，z ) y 别z 口于是 ( 瓦。冗) of p z o z i xe 口 cv 对 vc 霄o h ，则u = ( r 1 ，r 2 ) o 扛1 ，z 2 ) ，( r l ，r 2 ) r o r 且( z 1 ，z 2 ) f i j - o r 上因( 。1 ，。2 ) y ，有j2 d 和1 1 = ，) ( 6 2 ) 于是 反之，若 v = ( 瓦。冗o p x o 。j z 口) v = o 冗) o p z ox l z 口 易见y 对，不变，因为( ，p z ) = ( p ( 尸z ) ，p ( r ) ) v ，对z 口 2定义与引理 令一4 是n 上的算子代数胃 1 1 = a i a a ，且4 2 2 = o ) ， m 2 = a i a a ，且a 】l = a a a = o ) 笙三童坐窒鲤占二墼堑王丛堑垄壅 一 一 则 m m f a 月4 a i a a 且a 1 l = o ) 且a 3 j = o ) 朋2c mm 2c 胍，m n m = m 2 引理2 2 1 ( 2 9 ( 6 ) 1 ) 令a 足k 空吲上的一般刘称算子代数则m t 与“= l ，2 ) 足4 的理想进而，m ：足列砀、的，z = 1 ，2 定义2 2 1 令a 足兀k 空间上的般刈称算子代数 ( 1 ) 称4 是0 类的，若州l = ( o ( 2 ) 称a 足，类的，若m 1 o ) 且m 1cm 2 ( 3 ) 称a 是，j 类的，若m 1 o ) ，m i m 2 且mn m l = 虬n m l ( i ) 称4 足h 。类的，若m 】n f z = 0 ) ( 1 1 ) 称4 是，凡类的，若m ln m 2 0 ) ( 4 ) 称a 是，炎的，若m l o ， t i m 2 且mn m l m n m 1 ( 1 ) 称a 是，。类的，若m i n 2 = o ) ( 1 i ) 称一4 足i i i b 类的，若m ln 川2 o 定义2 2 2 令a 足i 空日j 上的一般刘称舅子代数称一4 有- a ( i ，3 ) 性 质，若 ，、 fa 1 1 a 1 2 a 1 31 a = l a 2 2a 2 。l a i 舶 ( 。0a i 3 4 第二章k 空间上一般算子代数形式 引理2 2 2 令_ 足n 空问上具有日质1 ( 1 ，3 ) 的一般对称算子代数 若m ln m 2 = 0 ，则4 中每个元部是列角的 证令 则 这样a 1 3 = 0 因 a a # a “4 1 2a 1 3 1 = l一2 24 3 “ a ， f0 0a 1 3 、 l oo l m ，n m 。： 0 ) i o j 7 4 1 1 a i a 3 z z + a a i 。1 2 月；2 ，a 乏t 麓2 a j 2 a 2 2 a is ，：。j a 0 4 2 2 4 i 22 + 月2 3 a ：ll 。 4j 有a 1 2 a i 2 = 0 ，所以一1 2 = 0 同样垃有a 2 3 = 0 引理得证 令a 是一个算- 代数，对 a 1 1 4 1 2 一。 月= 1 月2 2a l 如 a 、， 2 l0 郐钟 3 2书彤 3假 ，。，。、 3 30 屯凡 他 船 a a 。锝 4 a a ，-ii-iii、，iii-一 = i i 、 堑i 皿塑i 土二墼：竖墼塑 定义 忱l 4 呻口( z ) ，妒1 1 ( 以) = a 1 l 妒2 2 _ b ) ，【p 2 2 ( 月) = a 2 2 l p r 3 4 一b ( z 4 ) ，妒3 3 ( a ) = a 3 3 【司样对l j 还可定义妒。( a ) = a 。易见f 。0 = 1 ，2 ，3 ) 是代数同构 引理2 2 3 令a 是兀女上具有心质a ( 1 ，3 ) e j 一般刘称算子代数设州l o 置z = a b ( z ) i3 a m l 满足妒l t ( 4 ) = a ( 1 ) 若一4 足，厶灸的，则存在同构砂工一b ( z t ) 满足 朋1 = & a g ( a ，0 ，妒( a ) ) fa 刃 ( 2 ) 若a 是，6 类的，则有在同构妒z b ( z + ) 和两个映