（基础数学专业论文）新一类含有极大η单调映象的广义拟变分包含.pdf

新一类含有极大卵一单调映象的广义拟变分包含 基础数学专业研究生王黎明指导老师 崔艳兰教授 摘要 变分不等式理论是当今数学技术中的一个非常有力的研究工具变分包含是变 分不等式的一种重要的推广形式，由于变分不等式和变分包含在各个领域的广泛应 用，n o o r ，h u a n g ，c h a n g ，d i n g ，k a z m i 和u k o 等其他国内外学者都做了相关研究本文力 图用辅助原理技巧和预解算子技巧分别讨论一类新的完全广义集值非线性拟一似 变分不等式和一类新的含有极大q 一单调映象的广义拟变分包含问题的逼近解 本文分为以下两部分： 1 在h i l b e r t 空间中利用辅助原理技巧，构建了一些新的解的迭代算法，讨论 了一类新的完全广义集值非线性拟一似变分不等式及其逼近解。 2 在h i l b e r t 空间中引入并研究了一类新的含有极大q 一单调映象的广义拟变分 包含问题。通过对h i l b e r t 空间中的极大 一单调映象运用预解算子技巧，同时利用 n a d l e r 定理，构建了这一类变分包含解的迭代算法，并且证明了其解的存在性和由 该算法生成的迭代序列的收敛性 总之，本文结果是对以往许多已知结果的推广和改进。 关键词极大目一单调映象辅助原理预解算子广义拟变分包含 完全广义集值非线性拟一似变分不等式迭代算法h i l b e r t 空间 答辩日期：品归白、j ； 指导教师签字 an e wc l a s so fg e n e r a li n c l u s i o n s i n v o l v i n gm a x i m a lu - m o n o t o n em a p p i n g s a b s t r a c t v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yt h e o r ya n dc o m p l e m e n t a r yp r o b l e mt h e o r y a r ev e r y p o w e r f u lt o o l so ft h ec u r r e n tm a t h e m a t i c a lt e c h n o l o g y v a r i a t i o n a li n c l u s i o ni sa n i m p o r t a n ta n du s e f u lg e n e r a l i z a t i o no fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t y b e a c a u s eo ft h ew i d e a p p l i c a t i o n si nm a n yf i e l d s ，v a r i a t i o n a li n e q u a l i t ya n dv a r i a t i o n a li n c l u s i o nh a v e b e e ns t u d i e db yn o o r ，h u a n g ，c h a n g ，d i n g ，k a z m i ，u k oa n do t h e ra u t h o r sa th o m e a n da b r o a d t h em a i np u r p o s eo ft h i st h e s i si st om a k ed i s c u s s i o nan e wc l a s so f g e n e r a lq u a s i v a r i a t i o n a li n c l u s i o n si n v o l v i n gm a x i m a lr - m o n o t o n em a p p i n g sa n d an e wc l a s so fg e n e r a l i z e ds e t - - v a l u e dn o n l i n e a rq u a s i - v a r i a t i o n a l - l i k ei n e q u a l i t i e sb y u s i n ga u x i l i a r yp r i n c i p l et e c h n i q u e t h et h e s i si sc o m p o s e do ft w os e c t i o n s f i r s t l y ，w ee m p l o ya u x i l i a r yp r i n c i p l e t e c h n i q u ef o rc o n s t r u c t i n gs o m ei t e r a t i v ea l g o r i t h m st oc o m p u t et h ea p p r o x i m a t i n gs o l u t i o n so fan e wc l a s so fc o m p l e t i v eg e n e r a l i z e ds e t - - v a l u e dn o n l i n e a rq u a s i - v a r i a t i o n a l l i k ei n e q u a l i t i e si nh i l b e r ts p a c e s e c o n d l y ，w ei n t r o d u c ea n ds t u d yan e w c l a s so fg e n e r a lq u a s i - v a r i a t i o n a li n c l u s i o n si n v o l v i n gm a x i m a lu - m o n o t o n em a p - - p i n g si nh i l b e r ts p a c e sb yu s i n g n a d l e r st h e o r e ma n dr e s o l v e n to p e r a t o rt e c h n i q u e f o rm a x i m a lu - m o n o t o n em a p p i n g ，w ec o n s t r u c ts o m en e wi t e r a t i v ea l g o r i t h m sf o r s o l v i n gt h i sc l a s so fg e n e r a lq u a s i v a r i a t i o n a li n c l u s i o n si nh i l b e r ts p a c e s ，a n dp r o v e t h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o na n dt h ec o n v e r g e n c eo fi t e r a t i v es e q u e n c e sg e n e r a t e db y i t e r a t i v ea l g o r i t h m s i na 1 1 t h er e s u l t sp r e s e n t e di nt h i sp a p e re x t e n da n di m p r o v em a n yk n o w nr e s e l l 】t sj nt h e 】j t e r a t u r e k e y w o r d sm a x i m a lu - m o n o t o n em a p p i n g a u x i l i a r yp r i n c i p l et e c h n i q u e r e s o l v e n to p e r a t o r g e n e r a lq u a s i - v a r i a t i o n a li n c l u s i o n sc o m p l e t i v eg e n e r a l i z e ds e t - v a l u e dn o n l i n e a rq u a s i v a r i a t i o n a l - l i k ei n e q u a l i t i e si t e r a t i v ea l g o r i t h m sh i l b e r t s p a c e w a n gl i m i n g ( p u r em a t h e m a t i c s ) d i r e c t e db yp r o f e s s o rc u iy a n l a n 创新性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得延安大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中做了明确的说明并表示谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名：至鏊亟日期l 至丝丝么垒 关于论文使用授权的说明 本人完全了解延安大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生在校攻读 学位期间论文工作的知识产权单位属延安大学。本人保证毕业离校后，发表论文或 使用论文工作成果时署名单位仍然为延安大学。学校有权保留送交论文的复印件， 允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、 缩印或其它复制手段保存论文。( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密在年解密后适用本授权书。 本人签名：玉鍪朔 日期：皇堡旦垒：笪：! 兰 导师签名整缒坠日期 抑毕参，2 ， 堑= 耋垒查垫盔i = 望迥噻叁塑亡墨塑童坌鱼鱼 1 引言 变分不等式理论及其相补问题是当今数学技术中一个非常有力的研究工具。 近年来，利用各种技巧和方法，经典的变分不等式及其相补问题已经得到了改进 和推广，并广泛地用来研究诸如力学、物理学、优化与控制、经济金融和交通均衡 等。关于变分不等式和变分包含问题，许多作者运用了各种方法进行研究( 参见 f 1 ，3 1 2 ，1 5 3 4 ) 。我们知道，变分不等式理论中最重要和有趣的问题之一就是构建 一个用来解决变分不等式的有效而可行的算法。在过去的几十年里，为了解决各种 各样的变分不等式问题，许多数学技巧被开发了出来。这些方法有：射影法、线性 逼近法、下降法和牛顿法等然而，这些方法不能用于解拟一似变分不等式。1 9 8 1 年，g l o w i n s k i 6 提出用另一种技巧一辅助原理技巧来研究一类变分不等式的解的问 题。从那以后，许多作者也开始通过推广和改进辅助原理技巧来解决变分不等式问 题。参阅【2 ，6 7 ，1 1 j 及相关文献。 最近，d i n g 2 1 在h i l b e r t 空间中利用辅助原理技巧，构建了一些新的迭代算法 来估计一类广义混合拟变分不等式的逼近解受文【2 ，4 ，1 2 】的激发和鼓舞，本文力图 在h i l b e r t 空间中引入并研究了一类新的完全广义集值非线性拟一似变分不等式，利 用辅助原理技巧，构建了新的逸代算法来求这类完全广义集值非线性拟一似变分不 等式的逼近解，并给出了由这些算法所生成的迭代序列的收敛性分析。所得结果改 进和推广了f 2 3 ，8 ，1 0 ，1 2 1 中的相应结果 另一方面，d i n g 和l u o 还介绍了两个新概念：在h i l b e r t 空间中正规函数的q 一次 微分和一近似映象概念，并证明了正规函数q 一近似映象的存在性和l i p s c h i t z 连续 性。在这些概念的条件下，d i n g 和l u o 发展了一些新颖的摄动迭代算法来解决关于 非凸函数的一类新的广义拟一似变分包含问题。有关著作请参看d i n g 1 9 和l e e 2 6 受相关著作( 1 9 2 0 ，2 6 1 的启发，本文利用h u a n g 和f a n g 最近给出的极大q 一单调映象 的新概念，引入并研究了一类新的含有极大q 一单调映象的广义拟变分包含问题， 通过运用预解算子技巧和n a c l l e r 定理，构建了新的迭代算法，并且证明了此类含有 极大q 一单调映象的广义拟变分包含问题的解的存在性和由该算法生成的迭代序列 的收敛性所得结果改进和推广了1 4 ，1 0 ，2 0 ，2 2 2 3 ，3 0 一3 4 】中的相应结果 一 堑二苤宣壹墼盔2 = 苎塑堕叁塑亡竖型童坌鱼鱼 2 第一章用辅助原理解一类完全广义集值 非线性拟一似变分不等式 1 基本概念 设h 是实的h i l b e r t 空间，其范数为i ，内积为 ，f ) ，2 h , c b ( h ) 和日( 。) 分别 表示h 的所有非空子集族，h 的所有非空有界闭子集族和c b ( h ) 上的h a u s d o f f 度 量。 定义1 1 设t ：日_ c b ( h ) 是集值映象，( ，) ：h h 日_ + 日称为是 - ) 关于t 是第一变元n 一强单调的，如果v u ，e h ，z t ( u ) ，y t ( u ) ，j 。 0 使 得 ( n ( x ，) 一( 口，) ，“一u ) a l l u u 1 1 2 i 站关于的第一变元是口一l i p s c h i t z 连续的，如果v z ，9 h ，筇 0 ，使得 i i n ( x ，- ，_ ) 一( ，- ，- ) i i 蔓i l z 一| | ，y h 类似地，我们可以定义的第二和第三变元的单调性和l i p s c h i t z 连续性。而 且，若( ，) 是关于三个变元l i p s c h i t z 连续，则n 是连续的 定义1 2 映射”：hx h _ + h 称为是 i ) 口一单调的，如果v z ，y h ，j o ，使得 ( q ( z ，) ，z 一) o i l = 一y 1 2 i i ) 6 - l i p s c h i t z 连续的，若比，y h ，j 6 0 ，使得 l i ( 。，y ) l l 6 i 江一口i l 定义1 3 映象m ：h _ h 称为是f l i p s c h i t z 连续的，若讹， h ，打 0 ，使得 i i ，n ( u ) 一m ( u ) | | r l l u 一训i 定义1 4 集值映象t ：h c b ( h ) 称为是 i ) u 一强单调的，如果，”h ，z t ( u ) ，t ( ) ，：s ( ) ，j 。 0 使得 ( z y ，u 一口) 2 肛j l u 一 j j 2 箜二望 旦塑墅堕銎蟹= 差塞全亡墨塞笪韭垡丝塑二笪童坌丕箜塞 3 i i ) f h l i p s c h i t z 连续的，如果v u ， h ，x 0 ，使得 日口( u ) ，t ( u ) ) s 刨u 一 i l 其中日( ，) 是c b ( h ) 上的h a u s d o f f 度量。 问题11 设h 是实h i l b e r t 空间，k ：h _ + 2 ”是集值映象，对v u h ，( u ) 是 h 的非空闭凸子集。设s ，t ，a ：h - c b ( h ) 是三个集值映象，n ：hx h h - h 和 q ：h h _ h 为两个单值映象，b ：h h - + r 为实函考虑下面的问题： 找h ，。r ( u ) ，y a ( u ) ，z s ( ) ，使 u k ( u ) ，( ( z ，耵，。) ，叼扣，u ) ) + b ( u ，u ) 一b ( u ，u ) 0 ，v ( n )( 1 一1 ) 问题( 1 1 ) 称为完全广义集值非线性拟一似变分不等式问题。 下面看一些特殊情况： ( 1 ) 若q ( “，”) = 9 ( u ) 一9 ( ”) ，v u ，”h ，g ：h _ + h 是单值映象，则问题( 1 ，1 ) 等价于 找u h ，z t ( u ) ，y 且( ) ，g s ( ) ，使 u k ( u ) ，( ( z ，y ，z ) ，9 ( u ) 一9 0 ) ) + 6 ( u ，u ) 一6 ( u ，u ) 0 ，v v 耳( u )( 1 2 ) 问题( 1 2 ) 称为完全广义集值非线性隐拟变分包含问题。 ( 2 ) 若1 ( u ， ) = u 一 ，v u ， h ，则问题( 1 1 ) 等价于 找u h ，z t ( u ) ，y a ( u ) ，。s ( “) ，使 u h ，( n ( x ，掣，。) ，“一u ) 十6 ( “， ) 一b ( u ，u ) 20 ，v u k ( u )( 1 3 ) 称为h i l b e r t 空间中完全广义混合隐拟变分不等式问题。 ( 3 ) 若b ( u ，”) = o ，v u ，”h ，则问题( 1 1 ) 等价于 找u h ，z t ( “) ，y a ( u ) ，= s c u ) ，使 u 耳( ) ，( ( z ，肌2 ) ，叩( ”，u ) ) 0 ，v 口k ( u )( 1 4 ) 称为完全拟一似变分不等式 ( 4 ) 若k ( u ) = h ，v u h ，则问题( 1 1 ) 等价于 找i t h ，z t ( u ) ，y a ( u ) ，z s ( ) ，使 ( ( z ，y ，。) ，q 扣，u ) ) + 6 ( u ，口) 一b ( u ，) 0 ，v t j h( 1 5 ) 一 堑二耋宣查焦盘! = 皇迥堕叁墼亡竖塑童坌鱼鱼4 称为完全广义集值非线性混合拟一似变分不等式。 在许多实际问题中，k ( “) 有下面的形式： k m ) = m ) + k ， v u k ( 1 6 ) 其中m ：h - h 是单值映象，是h i l b e r t 空间中非空闭凸集。 注11 适当地选择映象s ，t ，a ，k n ，q 和b ，许多已知的变分不等式及其相补问 题均可作为问题( 1 1 ) 的特例而被获得，参见文献【2 1 2 命题1 ib ：h h - + r 是一实函，且满足下列条件： i ) b ( x ，) 关于z 是线性的； i i ( z ，y ) 是几乎处处有界的，3 7 o ，使得 6 扛，v ) 1 l i z 旷v x ，y 日； i i i ) 6 ( 。，) 一b ( x ，) 曼b ( x ，y 一 ) ， v z ，y ， 日； i v ) 6 ( 。，9 ) 关于y 是凸的。 注1 2 从命题1 1 的( i ) 一( 妇) ，我们有 ( 1 ) l b 扛，) i 7 l l z ”l l y i l ，b ( x ，o ) = b ( o ，口) = 0 ，v ：r ，y 丑； ( 2 ) 1 6 ( z ，掣) b ( x ，山) i i i z | | i i 一埘i i ，y ，we h ； ( 3 ) 6 ( 。，y ) 是连续的。 命题1 2 设q ：h h _ 日满足下列条件： i ) q ( u ，”) + q ( ，p ) = q m ，p ) ， y u ，”，p 日， i i ) v u ，u ，z ，y h ，u 一 = z y = u ( u ， ) = q ( z ，) ； i i i ) 给定u ，。，y 日，映象v 卜( ( z ，y ，z ) ，q ( ”，u ) ) 是凸的和下半连续的。 命题1 3 设g ：日- + 日满足下列条件： i ) 比，g ，“，。h ，z y = “一 = g ( z ) 一9 ( v ) = 9 ( u ) 一9 ( ) ； i i ) 给定z ，9 h ，映象u 卜( 0 ，y ，：) ，目( ”) ) 是凸的和下半连续的。 2 辅助问题 在这部分中，我们给出了完全广义集值非线性拟一似变分不等式问题( 1 1 ) 的 辅助问题，并证明了该辅助问题的解的存在性和唯一性 整二童旦塑墅亟垄竖二耋塞全亡竖塞焦韭终丝塑二堡变坌丕笠塞 5 给定u h ，z t ( u ) ，y a ( u ) ，z s ( “) ，我们考虑以下关于问题( 1 1 ) 的辅助问题： 找w ( “) 使 ( ，v w ) ( u ， 一w ) 一p ( n ( x ，y ，z ) ，q ( ， ) ) + p b ( u ，w ) 一p b ( u ， ) ，v k ( u )( 2 1 ) 其中p 0 且为常数。 定理2 1 设s ，t ，a ：h _ + c b ( h ) ，( ，) ：hxh xh _ + h ，q ( ，) ：h h _ h 。 设k ：h _ 2 ”是集值映象，对v u h ，( “) 是h i l b e r t 空间中非空闭凸子集。设 b ：hx h - r 是一实函，且对任一给定“h ，”hb ( u ，”) 是h 上凸的和下半连续的， 并假设命题1 2 成立。则对任一给定u h ，z r ( “) ，y a ( t ) ，：s ( ) ，下面的问题 。醺7 ( ”) ( 2 2 ) 其中 j ，( ) = ( ，u ) + j ( )( 2 3 ) lj ( u ) = p ( n ( x ，y ，2 ) ，1 ( ，“) ) + p b ( u ， ) 一( u ， ) 有唯一解w 当且仅当w 是问题( 2 1 ) 的解。 证因为函数”卜6 ( u ，”) 是凸且下半连续的，由命题1 2 ，j ( ”) 是( u ) 中凸且 下半连续的。j ( “) 是k ( u ) 中强凸且下半连续的。根据 1 3 中的定理2 5 ，在超平面 ，( 1 ，) = ( ，”) + 7 下，j 是有界的，其中h h ，1 r ，因此我们有 | ，( )= ；( ， ) + j ( ”) n - 1 1 2 + ( ， ) 十7 = 引口+ h l l 2 一 l l h l l 2 + - y 由此可得 j 扣) _ 。o ，忪| | _ + o o ( 2 4 ) 现在令”。c ( u ) 在世( u ) 上几乎处处是j 的最小序列 击翳j ( ”n ) 24 ，d 2 。嚣。) m ) 则”。是有界的若不然，则存在序列c 使得i k | i k ，= 1 ，2 ，由( 2 4 ) ， 我们有j ( ) _ o o ，这与l i m 。+ 。j ( v 。 ) = d 0 ，使得 。) c k ( u ) n s ( o ，1 1 ) = 扣k m ) ：帅饥) 堑= 耋笪查垫盎望二苎塑哒叁鲍亡墨塑变坌鱼鱼 6 根据w e i e r s t r a s s 定理( 见【13 ) ，存在w ( u ) ，使得 j ( ”) _ 。e r a 。i n 即( ”) 由于j 是强凸的，我们可知w 是问题( 2 2 ) 的唯一解。 现在假设w 是问题2 2 的唯一解。我们证w 也是辅助问题( 2 1 ) 的解对v ” ( u ) ，t 【0 ，1 】，有 j ( u ) = ；( ”，w ) + j ( w ) s ，( 十扣一脚) ) = ( 叫+ t ( 一叫) ，叫+ t 0 一加) ) + j ( w + t ( v 一埘) ) ( 埘，伽) + 等扣一叫，口一叫) + ( 叫，u 一埘) + j ( 训) + t 0 ( ) 一j ( 叫) ) 在上式中令t _ + 0 ，我们有 ( w ，u w ) + p n ( x ，y ，= ) ，呀扣，“) ) + p b ( u ， ) 一缸，“) 一( n ( x ，y ，。) ，叼( 叫，u ) ) 一p b ( u ，w ) + ( u ，叫) 0 由命题12 ( i ) 得 ( w ， 一州) ( u ， 一w ) 一p ( n ( x ，y ，；) ，叼0 ，叫) ) + p b ( u ，叫) 一p b ( u ， ) ，v u ( “) 这就证明了”是辅助问题( 2 1 ) 的解。 相反地，假设”是辅助问题( 2 1 ) 的解由( 2 1 ) 得 ”) 一( w ，”) 】 = ( 叫， 一叫) + “扣一w ，口一伽) ( ， 一7 1 3 ) 三( ， 一坩) 一p ( 扫，可，：) ，町扣，埘) ) + p b ( u ，伽) 一p b ( ，u ) = ( “， ) 一( u ， ) 一p ( n ( x ，2 ) ，q 扣，u ) ) + p ( n ( x ，y ，= ) ，q ( ，u ) ) + p b ( u ， ) 一p b ( u ，u ) ， v ve ( “) 由此可得 j ( v ) j ( ) ，k ( u ) 因此”是问题( 2 2 ) 的解。证毕 0 一 w ， 一 j +训一 ”叫+埘一山一u f 一2 得盯此由 j ! 兰童 旦焦星堑逐垄竖= 耋塞全亡竖叁僮整垡丝塑二型变坌丕筻塞 7 3 迭代算法和收敛性 在这部分中，运用辅助原理技巧，我们构建了新的迭代算法来解问题( 1 1 ) 一 ( 1 4 ) ，并给出由此算法产生的迭代序列的收敛性分析。 根据定理2 1 我们给出问题1 1 的一个算法如下： 算法3 1 设s ，t ，a ，k ，n ，q 和b 满足定理2 1 中的条件，且命题1 2 成立。对任一给 定u o h ，z o t ( u o ) ，蛐a ( ) 和z o s ( “o ) ，由定理2 1 和n a d l e r 1 4 j 存在( 。) ， z 。) ，t y 。) 和 ) 使得 u n + 1 j f ( “n + 1 ) ，i i 。n + l z n | i 曼( 1 + ( 1 + n ) 一1 ) 丑( t ( u 。+ l ，t ( u 。) ) 掣。+ 1 a ( u ，。+ 1 ) ，l l y 。+ 1 一。f i 兰( 1 + ( 1 + n ) 一1 ) n ( a ( u 。+ 1 ，a ( u 。) ) z n + l s ( u n + 1 ) ，l i z 。+ l 一钸i | ( 1 + ( 1 + 扎) 一1 ) 日( s ( n 。+ l ，s ( u 。) ) ( 3 1 ) u n + l ， 一u n + 1 ) 兰( 。，口一q 。+ 1 ) 一p ( 1 v ( x 。，掣。，z 。) ，叩0 ，“。+ 1 ) ) + p b ( u n ，u n + 1 ) 一p b ( u n ， ) v v k ( u ) ，n = 0 ，1 ，2 - 一 如果q ( u ，”) = 9 ( u ) 一9 ( ) ，帆，”h ，我们可得问题( 1 2 ) 的如下算法： 算法3 2 设s ，t ，a ，k ，n 和b 满足定理2 1 中的条件，设命题1 3 成立。对任一 给定u o h ，2 7 0 t ( u o ) ，y o a ( u o ) 和如s ( u o ) ，由定理2 1 和n a d l e r 定理 1 4 存在 ( u 。 ，伽。) ， y 。 和 z 。 ，使得 u n + l k ( u 。+ 1 ) ，i l z 。+ 1 一z 。| | ( 1 + ( 1 + n ) 一1 ) 日( t ( u 。+ 1 ，t ( u 。) ) y n + 1 a ( u 。+ 1 ) ，i | 9 。+ 1 一封。i i ( 1 + ( 1 + 礼) 一1 ) 日( 1 4 ( u 。+ 1 ，a ( u 。) ) ：n + 1 s ( “。+ 1 ) ，l i z n + 1 一z 。i i ( 1 + ( 1 + 礼) 一1 ) t f ( s ( u 。+ 1 ，s ( u 。) ) ( “。+ 1 ， 一札。+ 1 ) ( u 。， 一“。+ 1 ) 一p ( u ( z 。，掣。，2 。) ，9 ( ) 一9 ( 札。+ 1 ) ) + ( u 。，u 。+ 1 ) 一p b ( u 。， ) v v k ( u ) ，n = 0 ，1 ，2 如果q ( “，”) = u 一”，v u ，u h 我们又可得问题( 1 3 ) 的如下算法： 算法3 3 设s ，t ，a ，耳，n 和b 满足定理2 1 的条件，对任一给定“o h ，x o t ( u o ) ，珈a ( “o ) 和z 0 s ( u o ) ，由定理2 1 和n a d l e r 定理 1 4 1 存在 u 。) ， z 。) 。) 和 靠) ， 使得 n + l ( “。+ i ) ，i7 。+ 1 一z 。f is ( 1 + ( 1 + n ) 一1 ) 日( ? ( “。+ 1 ，t ( 。) ) ”。+ l a ( u 。+ 1 ) ，l l y 。+ 1 一可。| l ( 1 + ( 1 + n ) 一1 ) 日( a ( u 。+ 1 ，a ( 。) ) z n + 1 s ( u 。+ 1 ) ，1 i z 。+ 1 一= 。i l ( 1 + ( 1 + n ) 一1 ) 日( s ( u 。+ 1 ，s ( u 。) ) ( “n + 1 ，u 一“n + 1 ) 兰札n ，口一“n + 1 ) 一p ( ( z n ，n ，= n ) ，u 一“。+ 1 ) + p b ( u 。，札。+ 1 ) 一加( u 。， ) v v ( u ) ，n = 0 ，1 ，2 如果6 ( “，”) = o ，v u ，”h 则得问题( 1 4 ) 的算法如下 一 堑= 耋笪壹墼盔i 二苎塑堕叁鲮亡塞塑童坌鱼鱼 8 算法3 4 设s ，t ，a ，k ，n 和q 满足定理2 1 中的条件，设命题12 成立。对任一 给定u 0 h ，z o t ( u o ) ，y o a ( u o ) 和z o s ( o ) ，由定理2 1 和n a d l e r 定理【1 4 存在 u 。) ， z 。) ， 。) 和 z 。) ，使得 乱n + 1 k ( u n + 1 ) ，l j z n + 1 一z n i j ( 1 + ( 1 + n ) 一1 ) 日( r ( 。+ l ，t ( u 。) ) 封。+ 1e a ( u n + 1 ) ，1 l 轨件l 一。1 | 兰( 1 + ( 1 + n ) 一1 ) h ( a 。+ 1 ，a ( “。) ) z 。+ 1 s ( u n + 1 ) ，i i z 。+ l z 。| | 曼( 1 + ( 1 + n ) 一1 ) 灯( s ( 。+ l ，s ( u 。) ) ( u n + l ，u u n + 1 ) ( u n ， 一u n + 1 ) 一p ( n ( x n ，。，研。) ， 一u n + 1 ) 如( “) ，= 0 ，】，2 定理3 , 1 设k ：日_ 2 “是集值映象，且k ( “) 有( 1 6 ) 的形式。设s ，t ，a ：h _ c b ( h ) 分别是 一日一l i p s c h i i z 连续，1 一日一l i p s c h i t z 连续和p 一日一l i p s c h i t z 连续的。 设( ，) ：h 日h _ h 关于r 是a 一强单调，第一变元卢一l i p s c h i t z 连续，第二变 元f l i p s c h i t z 连续和第三变元妒一l i p s c h i t z 连续。设m ：h - 日是口一l i p s c h i t z 连续， q ：h h _ + 日是s 一强单调和r l i p s c h i t z 连续。设命题1 1 和1 2 及下面的不等式成 立： fi p 一考南1 还型警篙掣 k = 卢吖、r = 1 i ：f + r ( p + 妒( ) + ，k p 7 ( 3 2 ) l 盘 七、，啊万j ：芦_ 二= _ ：e ! 丐互孑巧而必+ 2 仃 1 则由算法3 1 生成的序列( z 。) ， “。) 和 ”。) 强收敛于z m ”，且( z ，u ，”) 是问题( 1 一1 ) 的解 证由( 3 1 ) 得 ( u 。+ 1 ， 一u n + 1 ) 2 ( 。， 一“。+ 1 ) 一p ( ( z 。，y 。，；。) ，叩扣，t a + 1 ) ) ( 3 3 ) + p b ( u ，。+ 1 ) 一p b ( u 。， ) v t ，eg ( u 。) ( u n + 2 ，v u n + 2 ) ( “n ，u 一t n + 2 ) 一p ( ( z 。+ l ，n + l ，z n + 1 ) ，叼( ，n + 2 ) ) ( 3 4 ) + p b ( u n + l ，u n + 2 ) 一p b ( u n + l ， ) v g o , 叶1 ) 给不等式两边同时加上( 一m ( 。) ，口一“。+ 。) ，则由 = “。+ 2 一m ( u 。+ 1 ) + m ( u 。) k ( u 。) 我们得到 整二童旦塑墅堡堡堡二耋塞全亡墨塞堡韭堑垡塑= 型变坌丕簦塞 9 ( “n + 1 一m ( u n ) ，札n + 2 一m ( “n + 1 ) + 竹l ( u n ) ) 兰缸n 一”( “n ) ，“2 一”1 一“( “n + 1 ) + ”( “n ) ) f 3 5 1 一p ( n ( x m y ，2 。) ，叶( u 。+ 2 一t o o , 。+ 1 ) + m ( u 。) ，“。+ 1 ) ) + p b ( u n ，“。+ 1 ) 一p b ( u n ，u n + 2 一f n ( u n + 1 ) + r n ( u n ) ) 给不等式1 3 4 ) 两边同时加上( 一m ( u 。+ 1 ) ， 一u 。+ 2 ) ，则由”= t n + l m ( u 。) + m ( u 。+ 1 ) g ( u 。+ ，) ，我们得到 ( n + 2 一竹i ( u n + 1 ) ，t - n + l u n + 2 一r n ( u n ) + m ( u n + 1 ) ) ( u t h ，一( “n + t ) ，“n + l - - “n + 2 一”( “n ) + ”( “n + 1 ) ) ( 3 6 ) 一p ( ( z 。+ 1 ，y n + 1 ，z n + 1 ) ，叩( “。+ l m ( 让“) + m ( u n + 1 ) ，u r n + 2 ) ) + p b ( u 。+ 1 ，t n + 2 ) 一p b ( u n + 1 ，。+ l m ( u n ) + m ( u n + 1 ) ) 从命题1 2 我们有 0 ( u n + l m ( u n ) + m ( u n + 1 ) ，“n + 2 ) = 一町( u n + 2 一m ( u n + 1 ) + m ( u n ) ，u n + 1 ) ( 3 7 ) = 叼( u n + 1 一u n + 2 ，m ( “n ) 一仃l ( u n + 1 ) ) 由( 3 5 ) 一( 3 7 ) 得 1 | u 。+ 1 一u n + 2 一m ( u 。) + m ( u n + 1 ) 1 1 2 1 ( u 。一u n + 1 一竹l ( n + 1 ) ，t z n + 1 一“+ 2 一r n ( u n ) 一m ( “n + 1 ) ) 一p y ( x ，。，y n ，：n ) ，叩( u 。+ 1 一n + 2 ，”l ( u n ) ，m ( u n + 1 ) ) ) + p ( 扛。+ l ，y n + 1 ，：n + 1 ) ，町( u n + l u n + 2 ，m ( “n ) 一m ( n + 1 ) ) ) + p n 一“。，t t n + 1 ) 一b ( - u n ，u 。+ 2 一m ( u n + 1 ) + m ( “n ) ) + 6 ( u n + 1 ，。+ 1 一m ( u n ) ) + m ( u 。+ 1 ) ) 一b ( u n + 1 ，t t n + 2 ) ( u n 一。+ l 一”z ( “n + 1 ) ，。+ l 一“。+ 2 一( m ( u n ) 一r n ( u n + 1 ) ) ) 一p ( 。，y n ，z 。) 一n ( x n + 1 ，n + 1 ，z n + 1 ) ，叩( u n + l u n + 2 ，m ( u n ) 一m ( u n + 1 ) ) ) + p b ( u n + l u n ，u n + 1 一“。+ 2 一( m ( u n ) + m ( n + 1 ) ) ) ( n 一“n + 1 一p ( ( z n ，鲈n ，z n ) 一( z n + l ，卦n ，= n ) ) ，u n + l 一_ l z n + 2 一( l ( n ) 一m ( “n + 1 ) ) ) 一( m ( 珏。) 一m ( u n + 1 ) ，“。+ l + u n + 2 一( m ( u n ) 一丌l ( u n + 1 ) ) ) + p n ( x 删y ，z n ) 一( z 。+ 1 ，y n + l ，。n + 1 ) ，“。+ l u n + 2 一( m ( u n ) 一m ( u n + 1 ) ) 一叶( u 。+ 1 一u n + 2 ，m ( u n ) 一r n ( “n + 1 ) ) 一p ( ( z n + l ，可n ，z n ) 一( 。n + 1 ，y n + l ，z , j ， 叼( u n + i z t n + 2m ( n ) 一m m n + 1 ) ) ) 一户( ( z n + l ，封n + 1 ，。n ) 一( z n + l ，y n + l ，z n + 1 ) ， q ( u n + 1 一u n + 2 ，”；( “n ) 一f n ( u n + 1 ) ) ) + p u l i u n + 1 一u n i | l l u 。+ l 一。+ 2 一( m ( u 。) 一m ( n + 1 ) ) i i i i r n ( 珏。) 一m ( u 。+ 1 ) 1 1 + | | “。一u n + l p ( n ( z n ，y n , z n ) 一( z n + i ，y n , ：n ) ) i i 堑= 耋鱼宣堡盔! = 望塑堕叁塑亡墨塑童坌鱼宣 1 0 + p l i u n + l u 1 l i l u n + 1 一u n + 2 一( t n ( u