（工程力学专业论文）传感器弹性元件的结构优化设计.pdf

东南大学硕士论文 摘要 卜场o l 6 论文提出 用a n s y s 软件 对传感 器的 弹 性元件结构 进行 优化的 方 法， 研究了 n 何用a n s y s 软件实 现弹性 元件的 结构 优化， 以 应变计式引 伸计弹性 元 件的 结 5 优化为例， 建立了 应变计式引 伸计弹性元件的力学模型、 优化参数模型， 优化 绪 学模型和对设计空间的探讨， 用a n s y s 的参数化设计语言编制了分析文件和 亡 化控制文件， 经计算获得最优结果。 优化结果表明该方法对传感器的弹性元件 ta 构起到很好的优化效果，该方法可广泛应用于传感器弹性元件的优化设计工 6 。 并用a n s y s 对最优设计的输出 输入关系及设计变量和目 标函数的关系进行 数值模拟。 乏 键词:传感器 弹性元件 引伸计 有限元 结构优化 东南大学硕士论文 ab s t r a c t t h e p a p e r i n t r o d u c e s t h e m e t h o d t o o p t i m i z e t h e e l a s t i c e l e m e n t s t r u c t u r e o f s e n s o r a n d h o w t o ma k e t h e e l a s t i c e l e me n t s t r u c t u r e o p t i m i z a t i o n c o m e t r u e b y u s i n g t h e a n s y s s o ft . a u t h o r t a k e s t h e s t r u c t u r e o p t i m i z a t i o n o f o n e e l e c t r i c a l r e s i s t a n c e s t r a i n g a u g e e x t e n s o m e t e r a s a n e x a m p l e . a n d e s t a b l i s h e s t h e m e c h a n i c s m o d e l , o p t i m i z a t i o n p a r a m e t e r m o d e l , o p t i m i z a t i o n m a t h e m a t i c s m o d e l f o r t h e e l a s t i c e l e m e n t o f t h e e l e c t r i c a l r e s i s t a n c e s t r a i n g a u g e e x t e n s o m e t e r , a t t h e s a m e t i m e , d i s c u s s e s t h e d e s i g n s p a c e , p r o g r a m s a n a l y s i s f i l e a n d o p t i m i z a t i o n c o n t r o l f i l e b y u s i n g t h e a n s y s p a r a m e t e r d e s i g n l a n g u a g e . t h e o p t i m u m i s o b t a i n e d a ft e r c o m p u t i n g a n d t h e o p t i m i z a t i o n r e s u l t i n d i c a t e s t h a t t h e m e t h o d i s e f f i c i e n t t o o p t i m i z e t h e e l a s t i c e l e m e n t s t r u c t u r e . s o i t c o u l d b e a p p l i e d e x t e n s i v e l y i n t h e e n g i n e e r i n g o f t h e s e n s o r e l e m e n t o p t i m i z a t i o n d e s i g n . t h e o u t p u t - i n p u t r e l a t i o n o f o p t i m u m a n d t h e r e l a t i o n b e t w e e n d e s i g n v a r i a b l e a n d o b j e c t f u n c t i o n a r e s i m u l a t e d b y u s i n g a n s y s . k e y w o r d s : s e n s o r , e l a s t i c e l e m e n t , e x t e n s o m e t e r , f i n i t e e l e m e n t , s t r u c t u r e o p t i m i z a t i o n 东南大学硕士论文 绪论 o . 1 引言 传感器是能把被测物理量转换为有确定对应关系的电 量输出的器件， 是实现 自 动测量和控制的首要环节， 在工业生产自 动化、 航空航天、 能源交通、 土建结 构、 环境保护及医疗卫生等领域， 各种传感器在检测各种参数方面起到十分重要 的作用。 结构型传感器如应变式传感器为传感器的一大类， 其主要由弹性元件、 应变计、 测量电路和辅助电源构成， 其中弹性元件的形状和尺寸组合对传感器的 特性如灵敏度、线性度、固有频率等影响很大。 目 前， 传感器弹性元件的设计方法很多， 但可以 将它们归为三类: ( 功基于 经典力学的弹性元件的设计的解析设计方法。 如王兴凤等对圆平板式负荷传感器 的 优化设计 讨n 1虞永 超、 孙宝 元对一种新型非径向 三梁轮辐式三维 加 速度传感 器弹性元件的结构 优化设 计2 ， 苗 德华， 田 邻林 应用弹性力学理 论对一 种新型 三 向 力 传 感 器弹 性元 件的 设 计 3 ， 邓 足 斌对 应 变计 灵 敏 度系 数 测定 装 置中 标定 梁的 优 化设 计 # 等; c 2 ) 基于 光 弹 修 形 法 的 实 验 方 法。 如 金 世 增 等 对剪 幅 式 传 感器 应 力 场的 光弹性 研究15 金世 增等 对孔幅 式测力传 感器 弹性 元件 应力场分析 e ， 张 宏民 等 对 平 衡梁 式 传感 器弹 性 元 件 最 佳孔 距的 探 讨 ? ， 武 瑛等 对电 子吊 秤弹 性 元 件光弹应力分析k 等。 3 ) 基于数值模拟的结构优化方法。 主要是有限 单元法的 弹性元件设 计。 如朱目 成等 对双环测 力传感 器弹 性元 件的 计 算机辅 助分析 9 1 ， 刘 光恒对称重传感器弹性体的有限 元分析u a ，李宪奎等轮腹式压力传感器的力学 分析 ! 1 1 ， 楼伟进等对压磁传感元 件的 优化设计 1 2 1 ， 高红俐等的 大型旋转机组轴 向 力 在 线监 控 测力 弹 性元 件的 结 构 方 案设 计 l3 等。 解析设计方法， 依据弹性元件的受力特点建立其力学模型， 运用己成熟的力 学理论如薄板弯曲 理论、 梁弯曲 理论、 柱拉压理论、 剪切理论等获得弹性体的应 力应变的解析解， 从而获得目标函数和状态变量的解析解。 解析法的优点是目 标 函数和状态变量均可表示为设计变量的显式函数， 从而可以直观地确定最终的设 计变量， 使设计问题趋于简单化。 缺点是由于解析法无法处理复杂结构， 从而大 大压缩了可行解空间，事实上解析法是以放弃最优解为代价简化了设计过程。 东南大学硕士论 文 光弹修形法的 基础是利用若干光弹材料 环氧树脂、 聚碳酸酉 韵在应力作用 下的双折射效应。 一束平面光射入模型后， 将沿两主应力方向分解成两个有一定 光 程差的 偏 振光， 光 程差r与主 应力差 ( v 】 一 v i ) 成正比 ， 即r = c d ( o : 一 6 1 ) ; 。 为常数，d 为模型厚。模型前后装入超偏和检偏镜，投射到屏幕上，可检测各 点 的 光 强 i 为 : i = k ( a s in 2 0 s in 7r r ) 2 ; k 为 常 数 ， 。 为 光 束 振 幅 ， b 为 主 应 力 与 兄 入射偏振轴夹角，a 为波长。当。 = o o 或9 0 0 ，即主应力与偏振轴重合时， 投影 处的光强为零; 模型上的一系列此类点构成黑线， 代表主应力倾角相等各点的轨 迹，称等倾线;当r= n a 时，投影光强也为零，每一条纹线分别代表主应力差 值， 称等差线， 级数n 越高， 应力差值越高。 利用单色光的等倾线测量各点主应 力方向; 用等差线测量各点应力差值， 通过这两组数， 用“ 主应力合法” ， “ 剪力 差法”或 “ 斜射法” ，便可求出模型上任一点的应力及整个模型内应力分布。用 实 验光弹应力分析法进行弹性元件的 设计即 是制作多 种实验模型， 经实验分析获 得每个模型的 应力分布， 然后比 较各种模型， 从中选出较优模型并确定贴片的最 佳位置。 该方法的优点是设计过程逼真。 缺点是由于经济代价昂贵， 实现设计优 化的可能性不大。 基于数值模拟的弹性元件设计方法用有限元法模拟设计空间中弹性元件的 应力分布，并结合结构优化算法获取最优解。该方法的优点是适合于任意形状、 约束条件的弹性元件， 从而可以 扩大设计空间， 获得更加优秀的设计方案， 是最 有前途、 也是为国际 领先传感器厂商广泛采用的设计方法。 缺点是设计方法及其 相应的理论复杂程度高。 目前的结构分析软件除去具备有限元分析功能外，还有的具备结构优化功 能，譬如 a n s y s 就具备这些功能。 a n s y s的结构优化设计模块基于其的强大 的线弹性分析功能， 支持各种成熟的优化算法， 使用者可以 直接运用这些优化算 法，也可以编写自己的优化算法程序，a n s y s软件提供与用户程序的接口。基 于a n s y s 的弹性元件的结构优化设计方法的关键是将设计模型参数化， 分析结 果参数化，而 a n s y s的参数化设计语言 ( a p d l )则很好地解决了参数化建模 和将分析结果参数化这些问题。 在优化循环过程中通过对结果的分析而修改设计 参数， 然后在进行结构重分析， 如果满足收敛条件则结束， 若不满足则进行下一 东南大学硕士论文 轮循环，如图0 - 1 0 l 0 图。 - 1 结构形状优化求解的 一般步骤 基于a n s y s 的 弹性元件的结构优化设计方法使传感器的设计者撇开繁琐的 结构分析计算和优化算法的设计而专注于对弹性元件的力学模型、优化参数模 型、 优化数学模型及合理的 设计空间的 研究。 基于a n s y s 的弹性元件的结构优化设计的示意图见0 - 2 . 分析文件 设 计变量赋值 】一 ) 参数 化建模 修改设计变量 优化控制文件传递参数 优化算法 设计变量、状态变量、 目标函数 收敛 停机 图0 - 2 基于a n s y s 的 弹性元件的结构优化设 计方法示意图 0 . 2 本文的工作 本文的 工作以a n s y s 为基本工具， 针对传感器的弹性元件优化设计的 特性 问 题， 从建立传感器弹性元件的力学模型、 优化参数模型、 优化数学模型和优化 算法几个角度开展研究工作。 1 , 根据应变计式引 伸计弹性元件的实际受力情况， 经过抽象简化建立了 弹 性元件的力学模型。 东南大学硕士论文 2 、 根据应变计式引 伸计弹性元件的几何形状特征，建立了 弹性元件的优化 参数模型。 3 ,根据应变计式引伸计的输出输入关系，建立了以 灵敏度为目 标函数，同 时保证弹性元件具有足够强度、 良 好的线性度和引伸计对被测试件作用力小于设 计要求的优化数学模型。 4 、对弹性元件结构优化的 优化算法进行了探讨， 用 a n s y s的零阶方法对 引 伸计弹性元件进行优化获得最优设计。 5 、 用a n s y s 对引伸计的输出 输入关系及各设计变量和目 标函数进行数值 模拟。 0 .3结论 a n s y s 的结构分析功能和优化算法相结合的设计方法对传感器弹性元件的 设计起到显著的优化效果，可广泛应用于传感器弹性元件的设计工程。 东南大学硕士论文 第一章力学模型 1 . 1 力学模型 对研究对象进行抽象简化， 包括结构的外形、 材料性能、 承受载荷及支座约 束的理想化， 建立力学模型。 在力学问题的求解过程中， 力学模型的建立很关键 的。 一个好的力学模型， 既能是求解过程大为简化， 又能使所得的结论基本上符 合实际情况， 满足所需要的精度。 理想力学模型的建立， 需要对实际情况的了 解 及对求解问题的分析。 采用有限单元法求解力学问题时， 主要是根据研究对象的 实际受力的特点建立力的边界条件和位移边界条件。 对弹性元件结构进行优化设 计，准确建立弹性元件的力学模型及其重要。 1 . 2 应变计式引伸计的介绍 应变计式引 伸计是一种位移传感器， 在工程和科学实 验中 应用广泛【 1 5 1 ， 如 工程材料弹性常数的测试， 包括弹性模量和泊松比的测定， 前者要测定试件的纵 向变形，后者还要测定试件的横向变形;结构裂纹的张开位移的测定;材料高、 低温下的断裂韧性和疲劳 特性的实验研究; 钢绞线变形的 测定。 应变计式引伸计由 弹性元件， 柔性臂， 应变计，刀口 ( 夹持机构) ，定位装 置， 测量电路构成。图1 - 1 为应变计式引伸计的弹性元件和柔性臂， 两部分通过 _ 一弹 性 元 件 ,i - 材料4 0 c r n i mo ara 1r rr vfl - 7l 1- 曰脚洲目同一 卜 日 门一 日 材 料 l y 2 0 国 一 下 一 一柔性臂 上 二 二 一 干 h -一 _. 叮 泣 _ _ _ 份二 书一 立 二- j 图1 - 1 应变计式引伸计的弹性元件和柔性臂 螺钉或螺栓连接， 弹性元件的 材料为4 0 c r n im o a ， 柔性臂的材料为琢1 2 硬 东南大学硕士论文 铝，如表1 - 1 所示。 在结构优化设计中不考虑夹持机构和定位装置结构的优化， 只对弹性元件和柔性臂进行优化。 应变计 式引 伸计的 工作原 理是 在r , , r 2 , 凡、r ; 位置 粘贴应 变计， 应变计 相互 连结 构 成电 桥电 路， 当h - h两 端 产生 位移时 ， 应 变 计r , , r z , r , , r ; 发 生变形导致电 桥输出电 压变化， 在小应变的情况下， 位移和电 压的变化的关系一 般为线性的，故可将位移量转化为电 量。 表 1 - 1材料的力学性能 合金代号 弹性模量 e ( gp a ) 屈服强度 o -, , ( m p a ) 抗拉强度 v , ( mp a ) 泊松 比 尸 4 0 c r ni mo a 2 1 08 5 01 0 0 00 . 3 1 场1 2 7 23 8 04 6 0 0 . 2 1 可假设应变计式引伸计的基本要求为 1 、引伸计的量程为 2 mm. 2 、引伸计对被测试件的作用力小于或等于2 n . 1 . 3 引伸计弹性元件力学模型的建立 应变计式引 伸计弹性元件通过连接在h - h两端的 夹持机构刀口 和被测对象 接触，被测对象发生变形时弹性元件 h - h两端受到作用力而产生位移。根据弹 性元件受力的特点可抽象为力学模型如图1 - 2 所示，a , b点受到滚轴支座约束。 r , 、r 2 , r , 、尺 为 应 变 计 粘贴 的 位 置 。 图 1 - 2 应变计式引伸计的力学模型 东南大学硕士论文 位移边界条件为 u a= uk= ( 1 一 1 ) 该力学模型可依据使用者对应变计式引伸计的量程的要求而对结构进行优化设 计，但引伸计对被测试件的作用力无法得到。 为了能在优化数学模型中引入引伸计对被测对象的作用力的约束条件， 根据 弹性元件的受力特点建立图1 - 2 力学模型的等效力学模型，如图1 - 3 所示。 40crnim,)a叫 阿 一 习 卜 一-fb欢 泌日 图1 - 3 应变计式引伸计的等效力学模型 图1 - 2 的 力 学 模型 与 等效 力 学 模型 区 别是 将a 、点 的 滚 轴 支 座约 束改 为 固 端 铰 支支座约束，b端面受到力厂的作用，力边界条件为 凡 = f( 1 - 2 ) 等效力学模型的主要作用是可根据作用力厂的 大小要求计算b点的水平位移。 东南大学硕士论文 第二章优化参数模型 结构优化设计可分为尺寸优化、 形状优化、 拓扑优化、 布局优化、 控制结构 优化等， 传感器弹性元件的结构优化一般是三维实体形状优化和尺寸优化相结 合。 优化参数模型建立的关键是使用尽可能少的设计变量来描述所有的几何形状 和尺寸，设计变量越少，优化设计的效率越高。 2 . 1 几何形状描述 对特定的问题， 选取合适的形状描述方法可以增加优化的有效性。 显然， 一 个三维的物体的棱或边和表面决定它自 身的形状。 在空间， 曲线、 直线可以 用来 描述物体的棱或边，曲面、 平面可以用来描述物体的表面。 众所周知， 有限单元 分析的 精度受单元几何形状的影响很大，单元越规则， 计算的结果精度越高， 故 应尽可能使用低阶曲线来描述弹性元件的形状。 在形状优化设计过程中， 网格是 通过“ 网格生成器”自 动生成的， 每一次优化迭代，网格都要重新生成， 而用什 么方法来描述和控制几何形状对网格生成的好坏很重要。 下面是几种描述几何形 状常用的方法: 1 、用多项式描述 可以用多项式来描述厚度的分布，但更多是用来描述几何形状的移动边界。 显然，多项式的系数作为设计变量再合适不过了。 2 、用样条函数描述 当使用高阶的多项式来描述几何形状的边界时， 边界的形状起伏很大， 而由 分段低阶的多项式构成的样条函数能消除这一问 题， 因为三次样条函数处处具有 连续的二阶导数， 并且拥有最小平均曲 率及提高敏度分析的精度( 相对用分段直 线描述边界而言) ， 故很合适用来描述移动的边界。 a n s y s的参数化设计语言有 三次样条函数可直接调用。 3 、设计单元 将结构划分成几个区域， 这些区域 ( 即设计单元) 的边界通过一系列控制几 何形状的关键点 可动或不可动) 来描述， 其中那些在设计中允许移动的关键点 的坐标取为设计变量，当然设计单元的边界也可以 用多项式或样条函数来描述。 每个设计单元可划分为若干个有限单元。 东南大学 硕士论文 2 . 2 设计变量选取原则1 1 (; 1 在优化过程中， 每增加一个设计变量都会增加计算和分析的负担， 但是设计 变量数过少又限制优化过程中形状的改变， 有可能排除一些可能导致更好设计的 实际形状，故如何决定设计变量数? 1 、设计变量数尽可能少 ( a )利用结构的对称 ( b )使用低阶的曲线和曲 面 2 、包括所有的实际形状 3 、限制单元畸变 a n s y s 的优化设计变量不能超过6 0 个而且只允许正的设计变量。 2 . 3 引f 申 计弹性元件优化参数模型的建立 由图1 - 1 应变计式引伸计的弹性元件和柔性臂的形状可见， 该结构的几何形 状可用低阶曲线如直线、 圆弧来描述。 将结构的尺寸、 圆弧半径用变量表示即可 得到参数化模型如图2 - 1 所示。 一 -几- - - 一 弹 性 元 件 “ 巨 x rj - !创 材料9 0 c r n i mo a 一 丰 一 卫 材 tm v l y 一甲 2 5 0 x - - j |leees!l l一 ) 一 阵 - 一 月 l - 一 -x s -_ _ _ _ 司匕 兰 些公 图2 - 1 应变计式引伸计弹性元件的优化参数模型 弹 性 元 件 和 柔 性 臂 的 形 状 尺 寸 完 全 由 设 计 变 量 东南大学硕士论文 x , x 2 1 x 3 1 x 4 i x 5 , x , , x 7 , x s , x 9 , x lo , x 1 1 决 定， 一 组 设 计 变量 值 对 应一 种设 计。 为了 使 倒圆 角 在 优 化 过程中 能 顺 利 完成， 倒圆 角的 半 径x : 由 设 计变 量z , 和x ， 决定， 圆 弧 半径x ， 由 设 计 变量x 2 决 定， 槽的 长 度x ,。 及x ,， 为 不 重 要 尺寸， 可由 其 它 设 计 变 量决定， 故x 8 , x 9 , x 10 , x i 1 为非 独 立设计 变量。 材 料的 选择唯一， 不作为 优化的 设 计 变量。 最终独 立的设 计 变量为x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , 毛 , x 6 , x 7 ， 设计 变量矢量记为: x 一 xi x 2 x 3 x 4 x s x 6 x 7 t ( 2 - 1 ) 非独立设计变量与独立设计变量关系为: _ (x : 一 x j 2 3 二x , 5 ( 2 - 2 ) ( 2 - 3 ) x 1 a=3 。 0 . 1 2 5 一 x . / 2 ) 5 ( 2 - 4 ) x= 3 - (x ， 一 x 3 ) 5 ( 2 - 5 ) 在图2 - 1 的 主 视图a b 段的 中 点 将 贴 上 应 变 计风、 凡、 r 3 . r 4 ， 应 变 计凡、 r 3 将感 受a b 方向 的 拉 应力， 应 变 计r 2 , 凡感 受a b 方向 的 压 应力， 将r , . r 2 , r , , r ; 连 接为 全 桥差 动电 桥电 路， 实 现 温 度的自 动 补 偿， 如 图3 - 1 所示。 贴 片 段a b 、 弹性元件和柔性臂连接段b c 的长度固定不变， 长度分别为1 5 m m , 2 0 m m o 东南大学硕士论文 第三章 优化数学模型 3 . 1 优化数学模型 目 标函数是用来衡量一个结构物的 “ 优”和 “ 劣”的指标，也称评价函数。 如重量、 成本、 应力集中系数、 传感器的灵敏度系数等， 随问 题不同，目 标函数 可以 很不相同。 弹性元件结构优化设计的目 标函 数一 般为传感器的 灵敏度或弹性 元件的固有频率。 在a n s y s 优化设计中 只允许一个目 标，即单目 标优化。 若有 多个目 标可通过加权的方法变为单目 标优化问题。 a n s y s的目 标函数值只能为 正，为了 避免负值的出现，可在目 标函数上上加一个足够大的正值。 a n s y s目 标函数最小化， 如果要使目 标函 数最大化可以 用一个远大于目 标函数的常数减去 目 标函数或取目 标函数的倒数的方法实现。 设计变量是可以由设计人员调整的参数， 也叫设计参数。 如描述结构几何形 状的参数或几何尺寸。 约束条件是对设计变量的限 制。 如结构的最大等效应力小于许用应力、 最大 等效应变小于许可应变。 状态变量如应力、 应变、 位移等设计者不能直接控制、 修正， 只能通过修改 设计变量才能改变的变量，它们通常是设计变量的隐式函数。 弹性元件结构优化问题可以 用数学模型描述如下: 求 设 计 变 量x ， x 一 ( x 1 x 2 二 x . ) m in f 伪 ) s .t . h ; w r一 一一十一i 4 l r , r 2 r 3 r 4 ) 4 k 1 6 1一 8 2 斗 e 3 一 s 4 ( 3 - 3 ) 其中 小， ， k ，为 电 阻 应 变 计 的 灵 敏 系 数 ， 假 设 %、 a r 2 r 2 %、 %较 分母中小量可以忽略，电压输出与各桥臂的电阻变化 ( 或应变)的代数和近 似为线性关系，且相邻桥臂的符号相反，相对桥臂的符号相同。 静态灵敏度k即是线性传感器的校准曲线的斜率， 其计算公式为 输出量变化 y 输入量变化a x ( 3 - 4 ) 分别 给予 输入信号 位移2 瓦 及2 风， 灵敏度可表达为 k _ 些 立 - a u b , 2 风一 2 瓦 将 ( 3 - 3 )式代入 ( 3 - 5 )式，得 相 应 的 输 出 电 压 为 u g , . a u , 2 ， 则 引 伸 计的 ( 3 - 5 ) k 二 4 k1 e21 - e22 + 623 - 624 - 4 k, 611 - 612 + e13 - 614 /2(212-ll1) , u k ke21 622 + -23 贫纷012 + ei3 - 614)4 1 2(u2 - u, u _ _ 一 式 4 ( 3 - 6 ) 东南大学硕士论文 其中，6 2 1 、 0 22 、6 2 3 . e 2 ; 为 输 入 信号 位移2 又 对 应的 应 变响 应，# n 、6 12 e li 、 6 14 为 输入信号 位移2 u , 对应的 应变响 应; f ( x = 2 ( u 2 一 u . ) l 6 2 ， 一 : 2 2 + 6 2 3 一 : 24 ) 一 ( e l ， 一 : 12 + 6 1。 一 : la ( 3 - 7 ) ( 3 - 6 ) 式 中 旦 k . 为 常 量 4 由供源电压及电阻应变计的灵敏系数决定。为了提高 传 感 器 的 灵 敏 度 k , ( 3 -6 ) 等 式 右 边 的 拱 必 须 尽 可 能 大 ， 即 f (x ) 尽 可 能 小 1 l x ) 故f ( x ) 可 作 为 评 价 函 数。 为了 能 在 计 算目 标函 数 过 程中 同 时 获 得 状态 变 量的 值， 假 设 位移2 u ， 为 引 伸 计的满量程，可减少结构分析的次数，从而减少计算量。 3 . 3 . 2 约束函数 一、线性度约束 线性度 ( 非线性误差)指在标准条件 ( 环境温度为2 0 士 5 大于8 5 %) 下， 传感器 校准曲 线与 拟合曲 线间 最大偏差与 满量 程 的百分比，如图3 - 2 所示。 ，相对湿度不 ( f . s)输出值 卜羽薛 刁 校准曲线 ! 价 5 万 ! ， 输 气 大 尸 图3 - 2引伸计的线性度 用e ， 代表线性度， 则有 弓” 士 z v x1 0 0 % ( 3 - 8 ) 式中 11- 为 校准曲 线与 拟合曲 线间的 最 大偏差。炸: 为引 伸 计满量 程输出 平均 东南大学硕士论文 值，即117.s = 珠、 一 y o y o 0 为了 使引伸计在测量范围内具备良 好线性，应满足下列应变约束条件，即 e m ax (- ) : e l ( 3 - 9 ) 取 许 可 应 变卜 1 = 2 x 1 0 - 3 ， e , a 、 为 结 构 的 最 大v o n m is e s 等 效 应 变。 v o n m is e s 等 效应变计算公式为 一 粤 v (ei一 。 12 + e2 一 。 )2 t (e3 一 。 ” ( 3 - 1 0 ) 二、 强度约束 为了保证结构在荷载的作用下不发生破坏现象，结构的 应力应满足第四强 度理论，即 0- 1v 、 al( 3 - 1 1 ) 其中 ，q , 。 称为v o n m i s e s 平均 等效 应力。 v o n m i s e s 平均 等效应力计算公式为 q , = 菇 1(6 7 - ), 2 一 二 ) 3 二 )y ! ( 3 - 1 2 ) 弹性元件的材料为4 0 c r n i m o a ，给予的强度约束条件为 ax i x la i 其 中 ， a m a x i x ) 为 弹 性 元 件 内 的 最 大v o n m is e s 平 均 等 效 应 力 a , = 8 5 0 n m p a o 柔性臂的材料为琢1 2 ，给予的强 度约束条件为 。 。 二 z x / 2 1 ( 3 - 1 3 ) 安全系数n 二 3 ( 3 - 1 4 ) 其中 ，(7 m aa 2 ( ) 为 柔 性 臂 危 险 区 域内 一 系 列 点 的v o n m is e s 平 均 等 效 应 力的 最 大 值 ， 安 全 系 数 n = 3 , l6 2 一 “ 8 0 n m p a o 三、几何约束 线性度约束、 强度约束均为性能约束， 几何约束即是对设计变量的值直接加 以上限和下限的约束。 儿何约束的上、下限一般由设计者的经验直接给出。 设 计 变 量 用 矢 量 表 示 为 x 一 1x 1 x 2二 ，x a x s x b x 7 i 。 设 计 变 量 的 几 何 约 东南大学硕士论文 束可用不等式约束表示为 x 一 x - _ 0( 3 - 1 5 ) x a l， 一 x _ 2 m m， 则 表 明该 设 计 点 在 满 量 程2 m m的 情 况 下对试件的作用力必然小于或等于2 n 。作用力约束条件可表示为 u , (x ) ? 2 m m 当f 二 2 n 时( 3 - 1 9 ) 作用力和量程由基本要求决定。 引伸计对试件作用力的约束方法一是通过设计变量上下限的调节和对优化 结果检验达到约束目 的， 方法一没有直接在优化数学模型中 体现， 需计算两重荷 载;方法二计算量比 方法一大， 其作用力约束条件直接出 现在优化数学模型中， 需计算三重荷载。 3 . 3 . 3 优化数学模型 引伸计对试件作用力约束条件的两种方法导致两种数学模型。 数学模型一 由式 ( 3 - 7 ) , ( 3 - 9 ) , ( 3 - 1 3 ) , ( 3 - 1 4 ) , ( 3 - 1 5 ) , ( 3 - 1 6 ) 可建立优化数学模 型如下: 求设计变量x, m i n f ( x )， x 。 r 7 s . t . c . . (x ) 同 - . x 1 (x ) l c m ox 2 (x ) _ 队i x 一 x- _ 0 x . , ,。 一x 同 ,. , (x ) l u .- z ( x ) 队1 x 一 x m a e 0 x., 。 一 x_ 2 m m 当 f = 2 n 时( 3 - 2 1 ) 式( 3 - 2 1 ) 中 的 : 1- ( x ) , 7 - 1 w, - . . 2 ( x ) u 9 (x ) 在 结 构 优 化 设 计 中 称 为 状 态 变量。 3 . 4目 标函数值和状态变量值的计算 3 . 4 . 1 结构分析 在结构优化设计中， 当结构形状复杂， 无法用理论计算方法进行结构分析时， 数值计算方法常常被采用。 在工程结构分析中的数值解法有有限差分法、 有限单 元法、 边界元法及加权残值法。 本文采用的结构分析方法为有限单元法， 有限 单 元法是求解偏微分方程特别是椭圆形方程的一种有效的数值方法， 适用于求解区 域或边界条件复杂的问题。 有限元法的理论依据是变分原理， 即将微分方程的边 值问题转换为变分问题。 a n s y s 采用有限 元法进行结构分析， 将结构物假想地分割成有限 大小的小 区域， 称为有限单元。 这些单元通过有限个点 ( 称节点) 相互连接，即将连续体 变换成一个由有限个单元组成的离散体。 常用变分原理把微分方程变换成变分方 程， 是求解微分方程的问题变换成求解关于节点未知量 ( 如位移或表面力) 的代 数方程的问题。其有限元位移法的解题步骤: 东南大学硕士论文 1 、 将结构物离散成有限 个单元，单元间 相互以 节点连接， 节点位移是基本 未知量。 2 、选取以节点位移表示的单元内任一点的位移函数，位移函数必须满足单 元之间的位移连续性。 3 、建立单元节点力与单元节点位移的关系，计算各单元的刚度矩阵。 4 、列出 所有节点力与节点位移的关系，建立总刚矩阵。 5 、计算作用在每个节点上的等效节点荷载。 6 、求解节点位移，并求出各单元的应力和应变。 a n s y s 提供各种单元如梁单元、 平面单元、体单元等， 在结构分析中 我们 可以根据问 题的特点选用合适的单元。 a n s y s 提供一个网格划分的工具， 其中智 能网 格划分在结构优化设计应用较多， 采用智能网格划分时， 只有两种单元可用， 即三节点三角形单元和四节点四面体单元。由 于弹性元件和柔性臂的结构不规 则，不能采用映射网格划分，只能采用自由网格划分。 本文采用智能网 格划分， 用4 节点线性四 面体单元对结构进行离散化，四 面体元的 单元特性是计算简单， 可适应复杂几何形状， 单元内应力为常量， 精度较低， 但可以增加网格密度来提 高精度以 达到工程要求。 采用四面体单元 ( 图3 - 3 ) 进行应力应变分析的主要计算公式【 ，7 j : 、位移函数 0 n ,0 n , 0戈 门u八11 o从 0丛 nun 0戈 0从 0 n , 八曰n 0抓 on noo rweweselesesesesl -l 1!j 封vw 厂|!j! 工一 仁犷 = 脚份y ( 3 - 2 2 ) 东南大学硕士论文 其中n , = l , , n z = l 2 ,丛 为形函数。 二、 单元应变 间一 同 (6 卜b , b z b 3 二 几，n 4 = 几， ( 石，l = ,几，几为体 积坐标) 称 b,5 ( 3 - 2 3 ) i 毛 , 丈 x 丫 亏 - 一 其 中 b , l 二 图3 - 3常应变四面体单元 竺即。竺敌丛击 三、单元应力 行 卜 a 二。 ，。 : : 。: ，a u = d j s = d i b 1 .3 y( 3 - 2 4 ) 其 中d = e ( 1 一 p ) 0 十 a 一 司 四、节点力与单元刚度矩阵 节 点 力 f y 一 b r d p v 8 l 单 元 刚 度 矩 阵 k “ 一 b t d l b ly 五、分布面力的等效节点荷载 ( 3 - 2 5 ) ( 3 - 2 6 ) 东南大学硕士论文 ( 3 - 2 7 ) 、一户 x cip 一 告 a ip + 2 p ; + 合 斌11 ilx, y, 几马几 式 中 a l n， 是 边 界 表 面 ij m 的 面 积 ， 单 元ij m 面 承 受 线 性 分 布 的 面 力伽 卜在 节 点 ， 、 j , m 上 的 集 度 分 别 为 叭 ; ; ， j ， (i, , , 司 。 六、由节点平衡方程组成的结构的平衡方程组 k f,5 ) = p ( 3 - 2 8 ) 式 中 区 为 整 体 刚 度 矩 阵 ; s 为 全 部 节 点 位 移 组 成 的 向 量 ; p 为 全 部 节 点 荷 载 组成的向量。 3 . 4 . 2目 标函数值和状态变量值的计算 可以 采用二重加载的方法计算目 标函 数f ( x ) ， 为了能同时获得满量程2 m m 的 状 态 变 量 值e m an ( x ) 6i. i ( x ) 及6 m ax 2 ( x ) ， 第 二 重 荷 载 为 满 量 程2 m m o 第一重荷载为 u a 1 =- a l =- 0 . 9 m m 屿. =玩= 住 9 n u n ( 3 - 2 9 ) 其中u a ， 为a点 的 水 平 位 移， ， 为b 点的 水 平位 移， 如图1 - 2 所 示。 第二重荷载为 u a 2 =- u 2 =一 i m m u a 2 =风= i m m ( 3 - 3 0 ) 其中u a 为a点 的 水 平 位 移，u , 。 为b 点 的 水 平 位 移， 如图1 - 2 所示。 由目 标函数的表达式 ( 3 - 7 ) ，即 ax ) = 2 仇一 u 1 ( e 2 ， 一 22 十 e 2 ， 一 e 2 4 ) 一 ( i i， 一 e 12 十 e 1。 一 6 1a 可知， 要获得目 标函数值， 必须在一次分析过程中对结构进行两重荷载分析， 第 一 重 荷 载的 结 果 为u 1 、二 ! ， 、 e 12 6 13 8 14 ， 第二 重 荷 载的 结 果为u 2 , e 2 1 6 2 2 8 2 3 8 2 4 ， 将结果代入目 标函 数的 表达式即 可获得目 标函 数值。 东南大学硕士论文 若采用数学模型二进行优化计算， 还须再计算第三重荷载， 第三种荷载用等 效力 学 模型 计 一算( 图1 - 3 ) ， 作 用力f 二 2 n， 提取 状 态 变 量u b (x a 东南大学硕士论文 第四章优化算法及优化结果 4 . 1 结构优化算法的基本思想 结构优化求解方法很多， 对一些简单问 题可以 采用图 解法、 网 格法和解析法。 但是对传感器弹性元件优化设计中 遇到的大部分结构， 由于问题的复杂性， 图 解 法、 网格法和解析法很难实施， 只能采用数值方法迭代求解， 这种数值迭代法可 分为数学规划法和准则法。 数学规划法思想: 从一个初始设计x () 出 发， 对结构进行分析，利用分析得 到的信息 ( 如目 标函数、 约束函数对设计变量的一阶、 二阶导数) 按照某种方法 决定一个可以 使目 标函数减小且满足某种条件 ( 如约束条件)的探索方向: e ) 然后再决定沿探索方向 应当 前进的 探索步长a () ， 得到一个改进的设计: x ( ,+ , ) 二 x ( ) + a ( ) s ( ) ( 4 - 1 ) 对于新设计x ( r+ q ， 检查某种约定的收敛准则，如果不满足，则以x (r + q 为新的出 发点重新进行分析和设计。 有许多决定探索方向: ( i ) 和探索步长a (l)的方法， 如单 纯形法、最速下降法、梯度投影法、牛顿法等。 准则法思想:依据某种准则 ( 如满应力准则) 构造迭代公式 x ( r + 二c ( ) x ( ) ( 4 - 2 ) 从一个初始设计x (。 出 发， 按迭代公式( 4 - 2 ) 得到一个满足准则更好的设计x ( + i) o 若新设计x (+ i ) 以 足够的 精度满足准则， 则迭代结束，否则再以新设计x (. p 为出 发点，重复以上计算过程。 4 . 2 弹性元件结构优化问 题 根据优化数学模型有约束或无约束条件可将优化问 题分为无约束优化问题 和约束优化问题。 约束优化问题根据约束条件的不同可分为线性规划问题和非线 性规划问 题。由引 伸计弹性元件的 优化数学模型式 ( 3 - 2 0 ) 和式 ( 3 - 2 1 )可见， 该结构优化问 题为约束非线性规划问题， 一般弹性元件结构的优化均属于约束非 线性规划问题。 东南大学硕士论文 约束非线性规划算法的基本思想是将复杂困难的问 题转化为一系列简单容 易解决的子问 题， 然后用一系列子问 题的解去逼近原问题的解。 这些子问 题都是 在各个迭代点上利用问题的局部信息构造的。 一般是首先求得子问题在该迭代点 的探索方向，然后沿此方向 进行一维搜索以求得子问 题的解。 各种非线性规划算法的主要特点就在于构造什么样的子问 题和怎样构造这 种子问题。其基本策略: 1 、构造线性规划子问 题的方法，如序列线性规划法、 割平面法、可行方向 法、投影梯度法、简约梯度法等。 2 、构造无约束极值子问题方法，如内点罚函数法、外点罚函数法、混合罚 函数法、精确罚函数法、增广乘子法等。 3 、构造二次规划子问题的方法，如序列二次规划法。 4 、直接法，如随机试验法、随机搜索法、复合形法等。 a n s y s的零阶优化方法和一阶优化方法通过对目 标函数逼近或对目 标函数 加罚函数的方法将约束的优化问题转换为非约束的优化问 题。 在结构优化设计中 序列二次规划法、 广义简约梯度法和混合罚函数法是三种可靠而有效的算法， 各 种 算 法的 具 体 实 现 见 参 考 文 献 1 14 1 和 参 考 文 献 i i 8 1 4 . 3 a n s y s 优化方法与技术 19 1 a n s y s 优化器中的优化方法有零阶方法，一阶方法， 优化技术有单步法， 随机搜索法， 等步长搜索法， 乘子评估法和最优梯度法。 其中零阶方法和一阶方 法需要明确的目 标函数，而优化技术可以没有目 标函数。 4 . 3 . 1 零阶方法 零阶方法是指该方法不用计算目 标函数和状态变量对设计变量的 偏导数。 为 给出改进设计的方向， 零阶方法计算出最后一次迭代的设计敏度即目 标函数和状 态变量对设计变量的 偏导数。 在零阶方法中 有两个重要的概念: 目 标函数和状态 变量的逼近方法，由 约束的优化问题转换为非约束的优化问题。 在逼近方法中， 用曲线拟合来建立状态变量和目 标函数与设计变量之间的关 系。曲线拟合的方式可以指定为线性拟合、 平方拟合、 平方差拟合。 这是通过用 几个设计变量序列计算目 标函数然后求得各数据点间最小平方实现的。 该结果曲 线 ( 或平面) m l 做逼近。 每次优化循环生成一个新的数据点，目 标函数就完成一 东南大学硕上论文 次更新。 实际上是逼近被求解最小值而并非目 标函数。 由约束的优