（工程力学专业论文）功能梯度材料结构的非线性力学行为.pdf

硕十学位论文 摘要 功能梯度材料结构沿厚度方向具有非均匀性，并以其在空间位置上 呈连续变化的组份体积含量，而使得功能梯度材料性质在空间位置上也 呈连续变化，消除了材料性能的突变。因此，功能梯度材料结构可以应 用于许多特殊的工作环境和承受复杂载荷。 本文研究了热载荷作用下，f g m 梁和圆板的弯曲、过屈曲以及在弯 曲和过屈曲构形附近的振动等问题。假设功能梯度材料性质沿厚度方向 呈梯度变化，其变化规律是一个简单的组份材料含量的幂指数函数形式。 利用物理中面概念，基于经典和一阶梁板理论，推导f g m 梁和圆板的基 本方程。并用打靶法对其进行数值求解。本文主要内容包括以下几个方 面： 1 简要介绍了功能梯度材料的概念及其发展和研究现状，同时简要 介绍本文所用到的数值解法一打靶法。 2 f g m 梁的静态力学行为。具体分析了材料的梯度性质、材料参数 的温度依赖性质、横向剪切变形以及热载荷等对梁弯曲和过屈曲的影响。 数值结果表明：热载荷作用下，夹紧f g m 梁发生过屈曲变形，而简支梁 则发生较为复杂的热弯曲变形；简支f g m 梁不存在分支屈曲现象；而且 在同一热载荷作用下，简支f g m 梁将会产生多个解支。 3 f g m 梁的动态力学行为。结果表明：简支和夹紧f g m 梁的固有频 率都随热载荷的增加，先是逐渐降低，而后随之升高。但简支梁固有频 率不会趋于零；而在热载荷接近夹紧梁的临界屈曲热载荷时，夹紧梁固 有频率趋于零。 4 材料参数的温度依赖性以及横向剪切变形对f g m 梁动态力学行 为有不同程度的影响。当同时考虑这两种因素时，这种影响尤为显著。 而且，这种影响的复杂程度随长细比的增加而降低。因此，横向剪切变 形与材料的温度依赖性质的共同影响是造成f g m 梁载荷频率关系复杂 化的原因。 5 f g m 圆板的静态力学行为。数值结果表明：热载荷作用下，夹紧 f g m 圆板发生过屈曲变形，而简支圆板则发生较为复杂的热弯曲变形。 关键词：功能梯度材料；物理中面；弯曲；过屈曲；振动；梁；圆板； 打靶法 a b s t r a c t f u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a li sak i n do fc o m p o s i t em a t e r i a l st h a ta r e m i c r o s c o p i c a l l y i n h o m o g e n e o u s ，t a k i n ga d v a n t a g eo ft h em e r i t so f c o n s t l t u e n tm a t e r i a l sa d e q u a t e l y b yg r a d u a l l yv a r y i n gt h ev o l u m ef r a c t i o n o ft h ec o n s t i t u e n tm a t e r i a l s ，f g m p o s s e s s e st h eg r a d i e n ti n p r o p e r t i e s ， w h i c he l i m i n a t e st h em i s m a t c ho fm e c h a n i c a l p r o p e r t i e si n d u c e db yt h e i n t e r f a c e s o ，f g ms t r u c t u r e sc a nb eu s e di nv a r i o u ss p e c i a le n v i r o n m e n t s a n dc a nb e a rc o m p l e xl o a d s i nt h i s t h e s i s ，b e n d i n g , p o s t - b u c k l i n ga n dv i b r a t i o nr e s p o n s eo fb e n d e d 叫p o s t b u e k l e dc o n f i g u r a t i o n so ff g mb e a m sa n dc i r c u l a rp l a t e ss u b j e c t e d t ou n i f o r mt h e r m a ll o a d sa r ei n v e s t i g a t e d i ti sa s s u m e dt h a t t h ep r o p e r t i e s o ff u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a l sv a r y c o n t i n u o u s l yt h r o u g ht h et h i c k n e s so f t h es t r u c t u r e sa n do b e yas i m p l ep o w e rl a wr e l a t e dt ot h ev o l u m ef r a c t i o no f t h ec o n s t i t u e n t s b a s e do nt h ec l a s s i c a la n df i r s t o r d e r s h e a rd e f o r m a t i o n b e a ma n dp l a t et h e o r y ，t h eb a s ice q u a t i o n s o ff g mb e a m sa n dc i r c u l a r p i a t e sa r ed e r i v e du s i n gt h ep h y s i c a ln e u t r a ls u r f a c ec o n c e p t as h o o t i n g m e t h o di se m p l o y e dt o n u m e r i c a l l ys o l v et h er e s u l t e de q u a t i o n s t h em a i n c o n t e n t sa r ea sf o l l o w i n g ： 1 w e b r i e f l yi n t r o d u c e d t h eb a s i c p r i n c i p l e ，d e f i n i t i o na n d d e v e i o p m e n ta sw e l la sr e s e a r c hs t a t u so ff g m a tt h es a m et i m e ，n u m e r i c a l s o l u t l o nu s e di nt h i sp a p e rn a m e ds h o o t i n gm e t h o dw a ss i m p l yi n t r o d u c e d 2 s t a t i cm e c h a n i c a lb e h a v i o r o ff g mb e a m e f f e c t so f m a t e r i a l c o n s t a n t , t e m p e r a t u r ed e p e n d e n tm a t e r i a l p r o p e r t i e s ，t r a n s v e r s es h e a r d e f o r m a t i o na n dt h e r m a ll o a d sa r ed i s c u s s e d i nd e t a i l so nb e n d i n ga n d p o s t b u c k l i n go faf g mb e a m n u m e r i c a lr e s u l t so b t a i n e dh e r e i ns h o w e d t h a tt h ep o s t - b u c k l i n gd e f o r m a t i o n sc a n b ec a u s e df o rac l a m p e df g m b e a m s u o j e c t e dt ot h e r m a l l o a d s ，b u tt h em o r e c o m p l e xt h e r m a lb e n d i n g d e f o r m a t i o n sf o ras i m p l e s u p p o r t e db e a m b i f u r c a t i o n b u c k l i n g c a n n o t o c c a rf o rf g mb e a m sw i t hs i m p l ys u p p o r t e de d g e ss u b j e c t e dt ot h es a m e t h e r m a ll o a d sa n dt h eb e a m sw i l lb ep r o d u c e m u l t i p l es o l u t i o nb r a n c h e s 3 d y n a m i cm e c h a n i c a lb e h a v i o ro ff g mb e a m t h er e s u l t ss h o wt h a t w l t n1 n 盯e a s eo ft h e t h e r m a ll o a d ，t h en a t u r a l f r e q u e n c i e so fas i m p l e s u p p o r t e da n dac l a m p e df g mb e a md e c r e a s e ，t h e nw i t ha ni n c r e a s i n g b u t 硕十学位论文 t h en a t u r a lf r e q u e n c i e so fas i m p l es u p p o r t e db e a md o n t c l o s et oz e r o w h i l et h e r m a ll o a db ec l o s et ot h eb u c k l i n gt h e r m a l l o a d ，t h en a t u r a l f r e q u e n c i e so fac l a m p e db e a ma p p r o a c hz e r o 4 t e m p e r a t u r ed e p e n d e n tm a t e r i a l p r o p e r t i e s a n dt r a n s v e r s es h e a r d e f o r m a t i o nh a v ed i f f e r e n te f f e c to nt h e r e s p o n s ed y n a m i cm e c h a n i c a l b e h a v i o ro ft h ef g mb e a m s w h e nt a k i n gi n t oa c c o u n tt h e s et w of a c t o r s ， t h i se f f e c tw i l lb e p a r t i c u l a r l ys i g n i f i c a n t a n d ，w i t hi n c r e a s eo f s l e n d e r n e s sr a t i o ，t h ei n f l u e n c ed e c r e a s e s o ，l o a d f r e q u e n c yr e l a t i o n s h i p o ff g mb e a m sb e c o m e c o m p l e xi s a t t r i b u t e dt o t e m p e r a t u r ed e p e n d e n t m a t e r ia lp r o p e r t i e sa n dt r a n s v e r s es h e a rd e f o r m a t i o n 5 s t a t i cm e c h a n i c a lb e h a v i o ro ff g mc i r c u l a r p l a t e s n u m e r i c a l r e s u l t so b t a i n e dh e r e i ns h o w e dt h a tt h ep o s t b u c k l i n gd e f o r m a t i o n sc a nb e c a u s e df o rac l a m p e df g mc i r c u l a rp l a t es u b j e c t e dt ot h e r m a ll o a d s ，b u tt h e m o r ec o m p l e xt h e r m a lb e n d i n gd e f o r m a t i o n sf o ras i m p l es u p p o r t e dc i r c u l a r p l a t e k e y w o r d s ：f u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a l ；p h y s i c a ln e u t r a l s u r f a c e ； b e n d i n g ；p o s t - b u c k l i n g ；v i b r a t i o n ；b e a m ；c i r c u l a rp l a t e s ；s h o o t i n g m e t h o d v 兰州理工大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所里交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 作者签名： 日期：弘知年6 月1 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅。本人授权兰州理工大学可以将本学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文 收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：幺魄解 别醛轹修龇 i “uv - 日期：如卢年6 月7日 日期：扣加年多月日 硕十学位论文 第1 章绪论 1 1 功能梯度材料概述 在实际工程应用中，许多结构件会遇到各种复杂的服役条件，因此， 要求材料的性能应随构件中的位置而不同。例如，一把厨房用刀只需其 刃部坚硬，而在其它地方，用于制造它的材料则必须具有高强度和韧性； 齿轮的轮体部分要求具有很好的韧性，而轮齿表面则必须坚硬耐磨；飞 行器热障材料的主体必须高强度、高韧性和抗蠕变，而它的外表必须耐 热、热导率低和抗氧化。现在许多实际应用中最需要的材料都属于这个 范畴。 众所周知，构件中材料成分和性能突然变化常常会导致明显的局部 应力集中，如果从一种材料过渡到另一种材料是逐步进行的，这些应力 集中就会大大地降低。功能梯度材料( f u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a l s ) 是一 种复合材料，具有微观非均匀性，其力学性质从一个表面连续而平滑地 变化到另一个表面，这可以通过逐渐改变材料成分的体积百分比含量而 实现，消除了界面问题，因此应力分布是光滑的。图1 1 为功能梯度材料 性能示意图，从图中可以看到材料成分的体积含量连续地逐渐改变，而 这种成分含量的连续改变导致了功能梯度材料的梯度性质。由此所获得 的功能为新创造的，是原来的非功能梯度材料没有的。就功能梯度材料 的材料特性而言，对材料较高可靠性和特殊功能的要求通过优化构件的 整体性能而能得到满足。功能梯度材料能够以连续的组分梯度来代替突 变的界面，消除了物理性能的突变，克服了一般常规材料在基体和增强 材料之间存在明显的物理性能不连续的界面，在结构承受较高水平的机 械或温度载荷时，通常会在界面上由于应力集中和材料缺陷而引起脱层 破坏或萌发裂纹的缺陷，改善构件的热机特征。 在技术科学领域里，随着人们对结构综合质量的要求越来越高，新 材料、新工艺不断涌现，功能梯度材料以其独特的优势展现出日益广泛 的应用前景。作为一个规范化正式的概念，“功能梯度材料”这个词起源 于2 0 世纪8 0 年代中期的日本。当时日本在以太空飞机为重点的航天研 究中发现，鉴于对高温结构件的许多严格要求，需要在结构中仔细的引 入成分和微观结构梯度，以便最好地全面利用已有材料和避免由于外加 应力和温度变化而在分割不同材料的锐利界面上引起的应力和应变集 功能梯度材料结构的非线性力学行为 中，于是开始大力研究功能梯度材料。除日本外，从8 0 年代末到9 0 年 代初，在德国、瑞士、美国、中国和俄罗斯等一些国家，功能梯度材料 的研究也迅速成为材料研究的活跃项目。近几年来，除了航天上的应用， _ _ - - _ _ _ _ j ；i p 序皮方向犀度方由 o 确瓷楷崭 套晨套金 图1 1 功能梯度材料性能示意图l l j 出现了特意引入梯度材料的其它许多目标应用，包括：金属和陶瓷的连 接、人体器官移植、爆发内燃机构件、磁性装置、切割工具、建筑中的 防火物、抗接触损伤的聚合物基复合材料和火箭推力燃烧室的衬里。其 组成也由金属陶瓷发展成为金属合金、非金属非金属、非金属陶瓷等 多种组合，种类繁多。更重要的是它将性能各异的材料按照设计的意愿 在结构内部非均匀、连续地合成新型材料，将新材料的研制带入了设计 的更高层次。功能梯度材料因此成为当前结构材料研究领域中的重要主 题之一。 1 2 功能梯度材料结构及其力学性能研究综述 1 2 1 物理性能参数表征 功能梯度材料作为非均匀复合材料，在对其结构进行力学行为分析 前，需要了解材料的等效材料性质，也就是根据各组分材料的体积含量、 性质以及微结构特性，预测其宏观性能。通常的细观力学分析方法是引 入一个代表性体积单元，在每一个这样的单元内，各组分材料的概率特 性相同，假设单元外加均匀分布的热弹性场，从而得到复合材料的等效 材料性质参数的一阶近似。 一般说来，非均匀介质中材料性质梯度的描述方法大致有两类：1 ) 细观力学方法；2 ) 假设一个组分材料体积比的变化函数。 细观力学方法大致可以分为：1 ) 混合律模型。该方法尽管粗糙，但使 用方便。l e e 和e r d o g e n ”，f u k u i 等人1 3 】以及m a r k w o r t h 和s a u n d e r s 4 】 用该法分析了功能梯度材料的热弹性参数。g i a n n a k o p o u l o s 等人【5 】则用它 0炙誓x吾(0 o(二：奠i0 n)。(二誓c)一i(=j- o o n v0炙受u000000(=誓u00()n)nv聋。00 嫁h0()r)(k)(二汪jcn)i 硕十学何论文 来研究了功能梯度材料的弹塑性参数。2 ) 改进的混合律模型。w i l l i a m s o n 和d r a k e 等人 6 - 7 】采用这种方法分析了陶瓷金属功能梯度材料的弹性模 量和泊松比。目前已有多种形式的改进的混合律模型。3 ) m o r i t a n a k a 方 法。此方法原本用于颗粒增强复合材料。s u m i 和s u g a n o t 3 9 】用这种方法 求得了功能梯度材料的等效材料参数。另外还有自洽模型【l0 1 、相干势法 】等，不一一叙述。 设定成分分布函数法，常见的有幂函数型和指数函数型，前者在功 能梯度材料结构的力学分析中应用较为普遍。比如m a r k w o r t h 和 s a u n d e r s 4 】给出的函数形式为： 矿( z ) = c o + q z + c 2 z 。 ( 1 1 ) 式中z 为材料的梯度方向，以z ) 为。其中一相材料的体积含量。而 w a k a s h i m a t l 2 】采用了以下的形式： ，一，y y ( z ) = i 坐i ( 1 2 ) 乞一z l 式中z l ，z 2 表示两相材料的边界尺寸，万为材料的梯度参数。 幂函数型和指数函数型这类连续性模型，均将功能梯度材料视为性 能连续变化的非均匀材料。但是这类模型由于忽略了细观结构的影响， 误差较大。真正适合于功能梯度材料结构特点的细观力学模型还有待于 人们继续探索和研究3 1 。 1 2 2线性和非线性弯曲 弯曲问题是板壳结构分析中最基本的问题之一。在弯曲问题中，非 线性弯曲问题的分析更为重要。w o o 和m e g u i d 1 4 】基于经典板理论，用半 解析法分析了功能梯度板、扁壳结构在机械载荷和温度场下的非线性弯 曲问题，并用傅立叶级数形式表示出计算结果。s h e n 【l5 】基于高阶剪切变 形板理论，分析了简支剪切变形功能梯度板在热、电联合作用下的非线 性弯曲。假定温度场只沿厚度方向变化，并考虑了热压电效应的影响。 用摄动法求出了热载荷挠度曲线和热载荷弯矩曲线。 早期r e d d y 等【l6 】基于一阶剪切变形的m i n d l i n 板理论，讨论了功能梯 度圆形和环形薄板的轴对称弯曲问题。其中没有考虑热的作用。但功能 梯度材料的力学性能对于外部环境有着很大的依赖性。而且功能梯度材 料一般都是应用于高温环境，故考虑温度效应成了近几年研究功能梯度 材料弯曲问题不可缺少的一个因素。马连生等【l 7 j 8 】基于经典非线性板理 论和一阶剪切变形板理论，研究了功能梯度圆板在热机械等载荷作用下 的轴对称非线性弯曲问题，并用打靶法数值求解了所得的控制方程。s h e n 功能梯度材料结构的非线性力学行为 【1 9 1 基于r e d d y 高阶板理论，研究了简支矩形板的非线性弯曲问题。采用混 合的g a l e r k i n 摄动方法对问题进行了求解。后来，y a n g 和s h e n l 2u j 将上述 研究拓展到了不同边界条件下，矩形板的非线性弯曲分析。 r e d d y 和c h e n g 2 1 。2 2 】基于三维弹性理论，给出了f g m 矩形板在热机载 荷作用下的线性弯曲问题的渐进解和级数解，考虑了热传导，但没有考 虑组分材料热物参数对温度变化的依赖性。刘进等【23 j 基于一阶剪切变形 板理论，利用微分容积法求解四边简支和四边固支f g m 方板的线性弯曲， 但是也未考虑热荷载的作用。仲政和于涛 2 4 - 2 5 】采用弹性力学半逆解法， 对f g m 悬臂梁在均布载荷作用下弯曲问题进行了求解。张靖华等【26 】采用 打靶法研究了两端不可移简支功能梯度t i m o s h e n k o 梁在横向非均匀升温 下的大挠度弯曲问题。张能辉【2 7 】借助r i t z 解和解析解，研究了热载荷作 用下简支f g m 梁的热弹性热粘弹性弯曲问题，研究表明：弯拉耦合效应 引起的轴向应变是造成热应力出现反向分布现象的关键因素，材料组分 变化对f g m 梁的挠度响应和应力分布影响显著，通过调整材料组分，不 但可以避免界面应力和缓解热应力，而且可以改变热应力的拉压性质。 z h u 和s a n k a r 2 8 】假设材料泊松比为常量，提出求解正弦分布力作用下， 弹性模量沿厚度任意分布的f g m 梁弯曲响应的f o u r i e r g a l e r k i n 法。李世 荣等【2 9 】建立了功能梯度t i m o s h e n k o 梁在机械和热载荷共同作用下的几何 非线性静态大变形数学模型。s a n k a r 3 0 】给出了f g m 简支梁在横向载荷作 用下的二维弹性力学解，并根据e u l e r b e r n o u l l i 梁理论的基本假设，建立 了f g m 梁的一维简化模型。 目前的研究大多限于无面内载荷作用的情形，在文献 31 】中指出，在 热载荷单独作用下，具有夹紧边界的功能梯度板表现为热过屈曲行为； 而具有简支边界的功能梯度板则是典型的弯曲行为。本文对f g m 梁的研 究也得出了类似地结论。而对这种现象更进一步的研究尚未见诸于报道。 1 2 3 屈曲和过屈曲 f e l d m a n 和a b o u d i 3 2 】基于经典理论，研究了面内压力作用下功能梯 度矩形板的分支屈曲问题。马连生和欧志英”3 】基于一阶剪切变形理论推 导了圆板的轴对称屈曲方程。随着功能梯度材料结构的广泛应用，功能 梯度材料板结构在机械载荷和热载荷作用下的屈曲和过屈曲行为对现实 中的许多实际工程应用中有着特别重要的意义。到目前为止，对功能梯 度板在机械载荷或热载荷作用下屈曲和后屈曲行为的研究成果己出不 少。j a v a h e r i h 和e s l a m i 【3 4 3 5 】分别基于经典和三阶板理论，研究了面内压 力以及热载荷作用下的功能梯度矩形板的屈曲问题。m a 和w a n g ”6 j 基于 4 硕十学何论文 曼曼皇皇皇曼_ _ - - - - - - - 一i i i i ii iii i = , i ! 鼍 一阶理论，研究了边界均布径向压力作用下功能梯度圆( 环) 板的屈曲问 题。另外该作者 37 】基于不同板理论之间屈曲控制方程在数学上的相似 性，导出了r e d d y 三阶理论下功能梯度圆板临界屈曲载荷与经典理论下 各项同性圆板屈曲载荷之间的解析关系。n a j a f i z a d e h 等 3 8 - 4 0 1 基于一阶板 理论，讨论了功能梯度圆板的热屈曲问题，导出了非线性平衡方程与线 性稳定方程。考虑了板厚方向的温度场。随后他们还基于高阶剪切变形 板理论研究了功能梯度圆板在热载荷和均匀径向压力作用下的屈曲问 题，并给出了封闭解。s h a r i a t 4 i 】分析了功能梯度厚板在三种机械载荷作 用及两种热载荷作用下的屈曲问题。基于三阶剪切变形板理论，建立了 控制方程和平衡方程并得到了各种载荷情况下的临界屈曲载荷的封闭 解。 近代稳定性理论的核心问题是过屈曲性态的研究。功能梯度材料的 过屈曲行为，特别是在复杂环境或复杂载荷作用下的过屈曲行为是2 0 世 纪9 0 年代国际前沿研究领域。n a 和k i m 4 2 】用三维有限元法对功能梯度 板在均匀升温或非均匀升温热载荷下的热屈曲和过屈曲行为进行了分 析，得出了数值结果并与以前的研究工作作了比较。并考虑了温度场， 体积分布率、系统几何参数等对功能梯度板的热屈曲和过屈曲行为的影 响。s h e n 43 】分析了简支剪切变形功能梯度板在热载荷下的过屈曲行为。 考虑了两种温度场及板的初始几何缺陷，并基于高阶剪切变形板理论建 立了控制方程，采用摄动法求出了屈曲温度和过屈曲平衡路径。l i 等【4 4 】 考虑热机载荷作用下，运用v o nk a r m a n 薄板大挠度理论，得到了有几何 缺陷的固支圆板的过屈曲平衡方程，并运用打靶法进行了数值求解，讨 论了非均匀升温下，几何缺陷对过屈曲问题的影响。w u 等【45 】考虑了铝和 氧化铝复合而出的功能梯度矩形板在各种不同边界条件下的过屈曲问 题。基于一阶剪切变形理论和v o nk a r m a n 非线性运动学理论建立方程。 与文献 17 的结论类似，文献 4 6 】在研究复合材料层合板时曾指出： 对于面内载荷作用下的简支层合板，可能不存在分支屈曲的特征值问题， 取而代之的是性质上类似于由于偏心载荷或者由于几何缺陷而导致的弯 曲平衡问题。文献 4 7 】也有类似的结论。而文献 4 8 4 9 更是给出了复合材 料层合板以及功能梯度板在面内载荷作用下屈曲前保持平直状态的条 件。 1 2 4 振动和动力响应 功能梯度板壳结构的自振特性和动力响应是该领域结构分析中起步 较早，也是最先取得研究成果的重要方面。r e d d y 和c h i n 5 0 j 用一阶剪切 功能梯度材料结构的非线性力学行为 变形板理论讨论了功能梯度轴对称圆筒和板的动态热弹性响应。公式中 包含了热机耦合项，并建立了相应的有限元模型。而后r e d d y 【5 l j 又基于 三阶板理论并计及了v o nk f i r m f i n 意义下的几何非线性，在非耦合的一维 温度场下，研究了热弹性动力问题，给出了非线性问题的有限元模型。 得到的结论在文献【5 2 】中也得到了证实。s u n d a r a r a j a n 等【5 列基于v o n k f i r m f i n 的假定建立了非线性方程，并用它研究了热环境中的功能梯度板 的自由振动特性。h u a n g 和s h e n 5 4 】分别基于高阶剪切变形板理论和经典 板理论，研究了功能梯度板在热环境中的非线性振动和动态响应。同时 考虑了热传导和依赖温度的材料特性。在求解运动方程时，使用了改进 的摄动技术。w o o 等【5 5 】基于经典板理论分析了功能梯度板的非线性自由 振动，并以混合的f o u r i e r 级数给出了解。z e n k o u r t 5 6 】采用正弦剪切变形 板理论来研究简支功能梯度夹层板的屈曲和自由振动。分析中考虑了转 动惯性项的影响。k i t i p o r n c h a i 等【y 7 】基于三阶剪切变形理论研究了功能梯 度夹层薄板的自由振动问题，考虑了温度对热物参数的影响。用半解析 法求解了特征值问题。黄小林，沈惠申 5 8 】基于r e d d y 高阶剪切变形理论 和广义k f i r m i n 型方程，用双重f o u r i e r 级数展开法求得了四边简支功能 梯度板的自由振动及动力响应的解析解，分析中考虑了热传导以及组分 材料热物参数对温度变化的依赖性。q i a n 等【59 】分别基于高阶剪切变形板 理论、一般的变形板理论和局部的p e t r o v g a l e r k i n 无网格法研究了功能 梯度矩形板的静态问题、自e h 和受迫振动问题。a b r a t e 6 0 1 研究了功能梯 度板的自由振动问题，屈曲问题和静态变形问题。给出了功能梯度板与 各向同性板自然频率之间的关系。c h e n 等【6 卜“】在有初始应力状态下，导 出了功能梯度板非线性振动偏微分方程。用g a l e r k i n 法将非线性控制方 程变形为一般的非线性常微分方程，然后用r u n g e k u t t a 法得到了线性和 非线性频率。p a r k 6 5 】研究了功能梯度板在前屈曲和过屈曲区域内的热过 屈曲和振动。基于一阶剪切变形板理论建立了非线性有限元方程，并用 v o nk a r m a n 非线性应变位移关系式来描绘板的大挠度问题。 最近，f e r r e i r 等【66 】等人使用了配置法( c o l l o c a t i o nm e t h o d ) 和径向插 值函数法( m u l t i q u a d r i c s ) 研究了功能梯度板自由振动问题。李世荣，范亮 亮 6 7 】基于经典板理论用打靶法分析了热环境中功能梯度材料圆板过屈曲 构形附近的自由振动。 y i n g 等【6 8 】基于二维弹性力学理论，求解了弹性地基上功能梯度梁的 弯曲和自由振动。k a p u r i a 等【69 】研究了功能梯度夹层梁的弯曲和自由振动 响应，并给出了理论模型和实验数据。a y d o g d u 和t a s k i n 【70 】研究了功能梯 度简支梁的自由振动问题。比较了基于经典和不同高阶梁理论下的结果， 6 硕十学何论文 i m i_li!nn m 曼皇曼曼璺曼曼曼曼舅 并且自由振动频率和振型通过不同的材料性质参数和长细比给出。 c h a k r a b o r t y 等【7 1 】基于t i m o s h e n k o 梁理论推导并计算f g m 梁的静、动态特 性的有限元格式，并对含f g m 过渡层的夹层梁的弯曲、自由振动及冲击 响应特性进行讨论。 综合现有的研究文献可知，有关功能梯度结构在已变形构形附近振 动问题的研究极为有限。 1 3 本文所用到的主要数值方法 本文中关于功能梯度梁板的力学行为的研究，最终以微分方程定解 问题的形式提出。对于这个问题，本文中采用了打靶法( s h o o t i n gm e t h o d ) 数值求解。这一方法计算程序简单，容易在微机上实现，已为众多研究 者普遍采用，其可靠性、计算精度、计算效率也得到了广泛的认同。 1 3 。1 基本思想 打靶法的基本思想是：先将常微分方程边值问题转化为相应的常微 分方程初值问题，其中在初始条件中包含了与终点边界条件个数相同的 任意参数。然后通过不断调整这些初值参数直到初值问题的解能满足终 点的边界条件，从而获得边值问题的解。对于非线性问题，这一搜索满 足终点边界条件的初始参数的过程只能用数值方法来实现【7 2 】。 用打靶法的求解问题具体过程如下： 求解常微分方程组的两点边值问题 则式( 1 3 a c ) 即为 型= g ；( 工，咒( x ) ，少。( x ) ) ，i = 1 ，x ( x l ，z 2 ) n x b l j ( 五，乃( 五) ，以( 五) ) 2 0 ，。1 ，”。，n 1 ， 忍k ( 屯，y l ( 艺) ，y 。( 屯) ) = 0 ，k = 1 ，n 2 ， j ，( x ) = ( 乃( x ) ，儿( x ) ) r g ( x ，y ) = ( g l ( 工，y ) ，g 。( x ，y ) ) 7 蜀( x ，y ) = ( 尽。( x ，y ) ，e 伪( x ，y ) ) r b 2 ( x ，少) = ( b 。( x ，y ) ，垦，1 2 ( x ，y ) ) r ! 呈：g ( x ，y ) x ( x 1 ，x 2 ) 识 w l ( x l ，少( 五) ) = 0 岛( 恐，少( 屯) ) = 0 ( 1 3a ) ( 1 3 b ) ( 1 3c ) ( 1 4 a ) ( 1 4 b ) ( 1 4 c ) | | + 记 其 功能梯度材料结构的非线性力学行为 考虑带参数v 的初值问题 d y - = g ( x ，) ，) x e ( x l ，x 2 ) ( 1 5 a ) 墨( 五，y ( 五，y ”= 0( 1 5 b ) e ( 五，y ( 五，矿) 功= 0 ，墨( 五，y ( x a ，y ) ) & ( 1 5 c ) 其解为 y = y ( x ，矿)( 1 6 ) 而记 f ( x 2 ，v ) = 易( 屯，y ( x 2 ，y ) ) ( 1 7 ，表示差异向量。 于是求解 f ( x 2 ，v ) = 0( 1 8 ) 将y 带入式( 1 6 ) 即得边值问题( 1 4 a c ) 的解。 1 3 2 算法 ( 1 ) 给定一初始参数矿( o 及其一个修正增量8 v t 0 1 ，在v = v t o 处解初值 问题式( 1 5 a b ) ， 得 y o = y ( x ，v o ) ，并计算差异向量 f 们= f ( x 2 ，矿o ) = b ( 吃，v t o ) ) 。置尼：= 0 。 ( 2 ) 计算矿( “1 ) = 矿( + 万y ( n 。 ( 3 ) 在v = v “1 处求解初值问题式( 1 5 a c ) ，得y t k + 1 ) = y ( x ，y ) 。 ( 4 ) 计算差异向量f “1 = f ( x 2 ，v ) = b ( 屯，v ) 。 ( 5 ) 若口，“1 口 一( z 一气) 矗 ( 2 4 a ) 式中( ，t ) 分别为梁物理中面的面内应变和出面应变。 应力应变关系： 吒= e ( z ) 【气- c t ( z ) t 】 ( 2 4 b ) 2 1 1 3 本构方程 m = 吒刎唰州= 4 馕+ 吾( 剀卅 仁5 a ， 以= 工吒( z 一气) 姒= 一见t m r = 一乜_ 丽a 2 w m r ( 2 5 b ) 式中4 = 工e ( z ) 以，见= 工( z 一气) 2e ( z ) 刎，( n r , m r ) = i e a 丁 1 ，( z 一) ) 么，r 为 2 1 1 4h a m it0 n 原理和运动方程 式中的各项如下： 应变能及其变分： 外力势能及其变分： f 万( r u y 砂= 0 u = 1 2 ( 吒q 一吒口丁矽矿 艿u = 艿 丢( q q q 口r ) d y ) = 【( m 畔一以斛皿 y = 一= 一j q w d x + p ( “。+ “：) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 8 v = 一g 8 w d x + p ( 8 “。+ 艿“：) ( 2 8 ) 尸为杆端边界压力；u 。和, ：为两个端部的轴向变形。 动能及其变分： 功能梯度材料结构的非线性力学行为 z = 1 2 工户( z ) ( 吧+ u 列2p 矿 = i 1 工p ( z ) k 一2 ( z z o ) “曩+ ( z z o ) 2 对2 + 叫d 矿 = 孤厶( 吩2 + k 2 ) q + 厶v 矗2 ) 出 万r = i 厶( 吩啦，+ ，万，) 一( 砌，= + u f l w , 翦) + 厶v 万) 出 = i ( 厶吩一矗) 以+ ( 一厶+ 厶) 万+ 厶k 万k ) 出 各惯性矩定义如下： ( 厶，厶) = 工p ( z ) 1 ，( z z 0 ) ，( 彳一气) 2 d a 。 p 俐表示梁的密度，o 表示梁所占的体积，彳是梁的横截面面积。 经过变分运算，得到下面的运动方程： 警一( 厶争嘉 - 0 丢( 帆) + 可c 3 2 m x + 卜啬+ 厶 a 4 w 苏2 西2卜窘= 。 ( 2 9 ) ( 2 1 0 a ) ( 2 1 0 b ) 在上述方程中，只需令各量与时间无关略去非线性项，即得静态平 衡方程： 盟：o 出 了d 2 m x + 丢( m k ) = ” 将各内力代入上述方程得到位移形式的运动方程： 4 a t f 丽a ：u + 罢窘 一( 厶窘一嘉 = 。 也窘+ 卜悟+ 三( 警h 一旷 窘+ 卜等一丽0 3 w ：j o 舐w + 卜啬+ 厶 位移形式的平衡方程： a 4 w 叙2 出2卜窘= 。 百d 2 u + 坐娶：o 出2出出2 1 2 ( 2 iia ) ( 2 1 1 b ) ( 2 1 2 a ) ( 2 1 2 b ) ( 2 13 a ) 硕+ 学位论文 量曼鼍曼曼曼曼曼曼曼曼曼蔓! 笪曼曼曼量皇曼曼皇曼舅舅i i ii i i = 。鼍蔓量曼葛曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼量曼曼曼岂量蔓量 一喀+ 4 融( 剀州弦。 。( 2 13 b ) 本蕈只研冤f g m 梁的静态力学行为，所以这里只对( 2 13a ) ，( 2 13 b ) 两式进行无量纲化。 引入无量纲量： 孝= 手一詈一知= 等量= 等 则无量纲控制方程如下： 雾+ 褰雾一o ( 2 m ) d 芒1d 专d 芒2 、。 雾一心删2 l d 善) 2 ) _ 雾= 。( 2 1 4 b ) 2 1 1 5 边界条件 本文考虑如下几种边界条件。 ( 1 ) 径向不可移夹紧： 沿岍= o ，免，= o ； ( 2 ) 径向不可移简支： 沿岍观鲈孰们物= o ： 另外，在梁中心处，有下列对称性及连续性条件成立： 删，乳一o ，乳一o o d f i f ；o j f 3i f ：o 2 1 1 6 数值方法 由于所得控制方程具有很强的非线性，难以获得解析解。以下，我 们采用打靶法 7 6 - 7 7 1 来数值地求解这组方程。为此，将方程( 2 14 ) 以及边界 条件写成下列矩阵形式： _ d y ：日( x ，y )( 2 15 a )一= h - t ril ，al 、， 、。， 皖r ( o ) = b o ，b i y ( 1 ) = 6 l( 2 15 b c ) 功能梯度材料结构的非线性力学行为 y = y iy 2 乃儿儿y 7 r ：k 塑宴宴万塑艿r 2 j6 a 5 1 w 面虿虿“面d ， 何= 儿乃朗z 儿厶o ) r 对于弯曲问题，a = q ，q = q b 4 d 。h ；对于 z - i ：屈曲问题，6 = a 。 z ，以，b o ，b i ，b o 和b l 的具体表达式如下： 石= 雾= + 捌) _ 弦 正= 窘一嚣窘 b o2 ( 2 1 6 b ) ( 2 1 6 c ) ( 2 1 6 d ) ( 2 16 e -