向量及其线性运算ppt课件

数量关系,第八章,第一部分向量代数,第二部分空间解析几何,在三维空间中:,空间形式点,线,面,基本方法坐标法;向量法,坐标,方程（组）,空间解析几何与向量代数,1,四、利用坐标作向量的线性运算,第一节,一、向量的概念,二、向量的线性运算,三、空间直角坐标系,五、向量的模、方向角、投影,向量及其线性运算,第八章,2,向量：,既有大小又有方向的量.,向量表示：,模长为1的向量.,零向量：,模长为0的向量.,向量的模：,向量的大小.,单位向量：,一、向量的概念,或,或,或,3,自由向量：,不考虑起点位置的向量.,相等向量：,大小相等且方向相同的向量.,负向量：,大小相等但方向相反的向量.,向径：,4,规定:零向量与任何向量平行;,平行向量：,向量共线：,当两个平行向量的起点放在同一,点时，它们的终点和公共起点应在一条直,线上.因此，两向量平行又称两向量共线.,5,二、向量的线性运算,1.向量的加法,三角形法则:,平行四边形法则:,运算规律:,交换律,结合律,三角形法则可推广到多个向量相加.,6,7,2.向量的减法,三角不等式,一般地，任给向量及点,8,3、向量与数的乘法,数与向量的乘积符合下列运算规律：,（1）结合律：,（2）分配律：,9,例1.设M为,解:,10,按照向量与数的乘积的规定，,上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.,两个向量的平行关系,11,证,充分性显然；,必要性,两式相减，得,12,三、空间直角坐标系,由三条互相垂直的数轴按右手规则,组成一个空间直角坐标系.,坐标原点,坐标轴,x轴(横轴),y轴(纵轴),z轴(竖轴),过空间一定点o,坐标面,卦限(八个),zox面,1.空间直角坐标系的基本概念,13,2.向量的坐标表示,在空间直角坐标系下,沿三个坐标轴方向的分向量.,14,向径,在直角坐标系下,坐标轴上的点P,Q,R;,坐标面上的点A,B,C,点M,特殊点的坐标:,有序数组,(称为点M的坐标),原点O(0,0,0);,15,坐标轴:,坐标面:,16,四、利用坐标作向量的线性运算,设,则,平行向量对应坐标成比例:,17,例2.已知两点,在AB直线上求一点M,使,解:设M的坐标为,如图所示,及实数,得,即,18,说明:由,得定比分点公式:,点M为AB的中点,于是得,中点公式:,19,五、向量的模、方向角、投影,1.向量的模与两点间的距离公式,则有,由勾股定理得,因,得两点间的距离公式:,对两点,与,20,例3.在z轴上求与两点,等距,解:设该点为,解得,故所求点为,及,思考:,(1)如何求在xoy面上与A,B等距离之点的轨迹方程?,(2)如何求在空间与A,B等距离之点的轨迹方程?,离的点.,21,提示:,(1)设动点为,利用,得,(2)设动点为,利用,得,且,例4.已知两点,和,解:,求,22,解,所求向量有两个，一个与同向，一个反向,或,23,2.方向角与方向余弦,设有两非零向量,任取空间一点O,称=AOB(0)为向量,的夹角.,类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.,与三坐标轴,方向角的余弦称为其方向余弦.,特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与之间任意取值.,的夹角,为其方向角.,24,方向余弦的性质:,25,例6.已知两点,和,的模、方向余弦和方向角.,解:,计算向量,26,例7.设点A位于第一卦限,解:已知,角依次为,求点A的坐标.,则,因点A在第一卦限,故,于是,故点A的坐标为,向径OA与x轴y轴的夹,27,解,28,29,3.向量在轴上的投影,空间一点在轴上的投影,30,空间向量在轴上的投影,称为向量在轴,上的分向量.,设,数称为向量在轴上的投影，记作,或,31,设,则,或记作,向量投影的性质,性质1,其中为向量与轴的夹角,性质2,性质3,32,例8一向量的终点在点，它在轴、,轴、轴上的投影依次为.求这向量的,起点的坐标.,解设的坐标为,由已知可得,所以,即,解,例9已知，它与的夹角为，求.,33,解,34,向量的概念,向量的加减法,向量与数的乘法,（注意与标量的区别）,（平行四边形法则）,（注意数乘后的方向）,四、小结,向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.,（注意分向量与向量的坐标的区别）,向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.,向量在轴上的投影与投影定理.,35,思考题1,已知平行四边