（基础数学专业论文）关于模李超代数.pdf

摘要 本文从多个方硒对限制李超代数的绱构和模李超代数的一嫂基本 性墩进行系统的讨论。我拥将本文分为纛章。 第一章主要研究限制李超代数的结构和发展f r a t t i n i 理论到模李超 代数。首先，我们给出了关于限划李超代数的几个定义鞠基本性质。 然露我们褥戮了限制李怒代数的f r a t t i n i 子代数和f r a t t i n ip - 子代数的 基本性质并证得可解限制李超代数的p r a t t i n i 子代数和f r a t t i r 。ip - 子代 数是嚣个器零夔理想。霹辩我稠分鬟砉寸 仑了蟊一黧壹秘一塞壶懿限铡 李趣代数，并分别给出了它们的几个等价条件。其次，我们讨论了p 一 基本，p 一可补和e - p 一限制李超代数的性质，势给出了它们之间的关 系。最后，我f f j 给浅了与f r a t t i n ip 理想有紧密关系的三个p 一麓想的 一些性质。 在第二章，由于遥常的胃解酶定义没宥渗及潮p 一唳射，所以我髓 定义了p w 解限制李超代数。我们首先讨论了可解与p 一可解之间的 关系，绘出了p 一霹薅限铡李超代数戆一浆毽质。透时，我镌讨谂了一 类特殊的p 一可解限制李超代数即p 一幂零限制李超代数，通常的二步 幂零李超代数，h e i s e n b e r g 超代数，h e i s e n b e r g 代数等都属于这一类。 我们分剐绘遗了p 一幂零稔幂零限鞘李超代数酶歹k 个充分必要条件，并 分别讨论了可解与p 一可解，幂零与p 一幂零之间的关系。最后，我们 指爨限剡李代数的些重要性质对般的限制李趣代数未努或立。铡 如，文献f 2 q 已经谖明了p 一幂零限稍李代数一定是幂零限制李代数， 但是p 一幂零限制攀超代数朱必是幂零限制李超代数。 在第三章，我们研究了完备限翩李怒代数的分解唯一- 陲问题。我 们分别给出了完备限制李趱代数和强完备限制李超代数的一个充分必 要条 孚。文献【嗣瑟经涯溪了特銮芝为零翡完备李怒代数麓够分躲为足 个单完备理想的直和，而鼠这种分解除了理想的顺序外是唯一的。但 l l l 是，它对模李超代数是不成立的。我们证明了满足c ( l 6 ) = c ( l ) = o ) 的限制李超代数可以分解成几个不可分解的限制理想的直和，且这种 分解除了理想的顺序外是唯一的。 在第四章，我们深入讨论了一类特殊的限制李超代数即拟环面限 制李代数。我们得到了拟环面限制李代数可解的一个充分必要条件和 它可换的几个充分条件，推广了rf a r n s t , e i n e r 的一些结果，且深入地 刻划了半单的拟环面限制李代数的一些重要性质。 最后一章，我们给出了结合李超代数的一些恒等式及模李超代数 的基本性质，讨论了超导子代数。文献 1 7 表明模李代数的准素分解 定理对有限维单模李代数的分类起到了重要作用。我们把此定理推广 到了模李超代数，得到了模李超代数的准素分解定理，或许它对有限 维单模李超代数的分类起到重要作用。 ab s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w em a i n l ys t u d yt h es t r u c t u r eo fr e s t r i c t e dl i es u p e r a l g e b r a sa n d e l c n m u t a r yp r o p e r t i e so fm o d u l a r l i es n p e r a l g e b r a sw e l a v ed i v i d e dt h i st h e s i s i n t of i v ed i a p t e r s c h a p t e r1i sd e v o t e dt os t u d y i n gt h es t r u c t u r eo fr e s t r i c t e dl i es u p e r a l g e b r s a n dd e v e l o p i n gaf r a t t i n it h e o r yf o rm o d u l a rl i es u p e r a l g e b r a s s o m ed e f i n i t i o n s a n ds e v e r a le l e m e l g a r yp r o p e r t i e so fr e s t r i c t e dl i es u p e r a l g e b r a sa r cc o l l a t e d w et h e no b t a i ns o m ee l e m e n t a r yr e s u l t so ft h ef r a t t i n is u b a l g e b r aa l l dt h e + r a t t i n p - s u b a l g e b r ao far e s t r i c t e dl i es u p e r a l g e b r a ，e s t a b l i s ht h ef a c tt h a tb o t h t h ef r a t t i n ip - s u b a l g e b r am i dt i l ef r a t t i n is u b a l g e b r ao fas o l v a b l er e s t r i c t e dl i e s u p e r n g e b r aa r ei t st w on i p o t e n ti d c a l s m o r e o v e r ，如一f r e er e s t r i c t e dl i es u p e r a l g e b r a sa n d 步f r e er e s t r i c t e dl i es u p e r a l g e b r sa r cd i s c u s s e da n dt h e i rs e v e r a ls u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc , o n d i t i o n s a r ef o u n d o nt h eo t h e rh a n d ，w eo b t a i ns o m ef e a t u r e so fp - c 0 1 n d l e l n e l l t e d ， p - e l e m e n t a r ya n de - p - r e s t r i c t e dl i es u p e r a l g e b r a s ，a r ec o n c e r n e dw i t l lt i l er e l a - t i o n s h i p so fp - c o m p l e m e n t e d ，p - e l e m e n t a r ya i de - p - r e s t r i c t e dl i es u p e r a l g e b r a s f i n a l l y , w eg i v es o m ep r o p e r t i e so ft h r e ep - i d e a l so far e s t r i c t e dl i es u p e r a l g e b r a c l o s e l yr e l a t e dt oi t sf r a t t i n ip - i d e a l i nc t m p t e r2 ，w eg i v et i l ed e f i n i t i o no fp - s o l v a b l er e s t r i c t e dl i es u p e r a l g e - b r a ss i n c et i l ed e f i n i t i o no fs o l v a b i l i t yc a n tf u r t t l e rc h a r a c t e r i z et h ep r o p e r t i e so f p - m a p p i n g o fr e s t r i c t e dl i es u p e r a l g e b r a s ，d i s c u s st h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e ns o l v a b i l i t ya n dp - s o l v a b i l i t yo fr e s t r i c t e dl i es u p e r a l g e b r a s a n do b t a i ns o l u ep r o p e r - t i c so fp - s o l v a b l er e s t r i c t e dl i es u p e r a l g e h r a s i np a r t i c u l a r ，w es t u d yp - n i l p o t e n t r e s t r i c t e dl i es u p e r a l g e b r a sw h i c hc o n t a i n st w o - s t e pn i l p o t e n tm o d u l a rl i es u - p e r a l g e b r a sa n dh e i s e n b e r gs u p e r a l g e b r a s ( a l g e b r a s ) s o m en e c e s s a r ya n ds u f - f i c i e n tc o n d i t i o n so fb o t hp - n i l p o t e n tr e s t r i c t e dl i es u p e r a l g e b r a sa n dn i l p o t e n t r e s t r i c t e dl i es u p e r a l g e b r a sa r eg i v e n o nt i mo t t i e rh a n d ，w ea r ec o n c e r u e dw i t h t h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nn i l p o t e n c ya n d p - n i l p o t e n c yo fr e s t r i c t e dl i es u p e r m g e - b r a s m o r e o v e r ，w ef i n ds o m ei m p o r t m l tf e a t u r e so fr e s t r i c t e dl i ea l g e b r a sw h i c h 射en o tn e c e s s a r i l yt n l ef o rr e s t r i c t e dl i es u p e r a l g e h r a s f o ri n s t m i e c i ti sw e l l k n o w nt h a tap - n i l p o t e a tr e s t r i c t e dl i ea l g e b r ai sn i l p o t e n t 2 0 ，i l lg e n e r a l ，b u t t h i si sn o tt r u ef o rr e s t r i c t e dl i es u p e r a l g e b r a s 。 c h a p t e r3i sd e v o t e dt os t u d y i n gt h ep r o b l e l ao ft h eu n i q u e n e s so ft h ed e c o m p o s i t i o no fac o m p l e t er e s t r i c t e dl i es u p e r a l g e b r a ：w jh a v ef o u n ds o m e s u i i i c i e l i ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n so fb o t hc o m p l e t er e s t r i c t e dl i cs u p e r a l g e b r a s a n ds t r o n g l yc o m p l e t er e s t r i c t e dl i es u p e r a l g e b r a s i ti sw e l lk u o w l lt h a tac o i n p l e t el i es u p e r a l g e b r ao v e r8f i e l do fc h a r a c t e r i s t i cz e r oc a nb ed e c o m p o s e di n t o t h ed i r e c ts u l ao fs i m p l ec o m p l e t ei d e a l sa n dt i f f sd e c o l n p o s i t i o n 妇u n i q u eu pt o t i mo r d e ro ft h ei d e a n1 8 7 b u tt h ec o i l c l u s i o nf a i l sf o rr o o d u l a rc a s e n o w ，w e s t r a wt h a tar e s t r i c t e dl i es u p e r a l g e b r a ( l ，溯) s a r i s f y i n gg ( 毛) 一c ( l ) = o ) c a l lb ed e c o m p o s e dj n t ot i l ed i r e c t s t l l l lo fi i l d e c o l n d o s a b l er e s t r i c t e di d e a l sm i d t i f f sd e c o m p o s i t i o ni su n i q u eu pt ot i l eo r d e ro ft l mi d e m s 。 i nc h a p t e r4 ，w ef u r t h e rs t u d yq u a s i t o r a lr e s t r i c t e dl i ea l g e b r a sw h i c ha r e c o n t 蚯n e di nr e 髓矗c t e dl i es u p e r a l g e b r a s 。w e 西v es e i n es u f f i c i e n ta n dl l e c e s s a r y c o n d i t i o n so fs o l v a b l eq u a s i t o r a lr e s t r i c t e dl i ea l g e b r a s w et h e no b t a i n8 0 1 1 1 1 2 s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ec o m n m t a t i v i t yo fq u a s i - t o r a lr e s t r i c t e dl i ea l g e b r a s ， w h i c hg e n e r a l i z er f a r n s t e n e r sr e s u l t s s s l 。r t h e r l n o r e 、w ef u r t h e rc t l a r a c t e r i z e s o m ep r o p e r t i e so fs e m i s i m p l eq u a s i t o t a lr e s t r i c t e dl i ea l g e b r a s f i n a l l y , i nc h a p t e r5 ，w eg i v e8 0 u l ei d e n t i t i e so fa s s o c i a t i v el i es u p e r a l g e b r a s a n ds o m ep r o p e r t i e so fm o d u l a rl i es u p e r a l g e b r a s s u p e r d e r i v a t i o n so fm o d u l a t - l i es u p e r a l g e b r a sa r ec o l l c e r a e d i ti sw e l lk n o w l lt h a tt h ep r i m a r yd e c o m - p o s i t i o nt h e o r e mo fm o d u l a rl i ea l g e b r a sh a sp l a y e da i li m p o r t a i l tr o l ei l lt h e c l a s s i f i c a t i o no ft h ef i n i t e d i m c n s i o n a ls i m p l ei n o d u l a rl i ea l g e b r a sf 1 7 li nt i m p r e s e n tc h a p t e r ，w eo b t a i nt h ep r i m a r yd e c o m p o s i t i o nt h e o r e mo fm o d u l a rl i e s u p e r a l g e b r a s ，w h i c hm a yp l a ya l li m p o r t a n tr o l ei nt h eo p e nc l a s s i f i c a t i o no ft h e f i n i t e - d i m e n s i o n a ls i m p l em o d u l a rl i es u p e r a _ 1 9 e b r a s c h a p t e r0 i n t r o d u c t i o n 0 1 b a c k g r o u n da n dp r o g r e s s t h et h e o r yo fl i ea l g e b r a s ，w h i c hw a si n i t i a t e db yt i l en o r w e g i a ai n a t h e m a t i c l a nm a r i u ss o p h u sl i e o r i g i n a l l ys e r v e da sat o o li nt h ea a a l y s i so ft i ml o c a l s t r u c t u r eo fl i eg r o u p s t h em o s ti m p o r t a n ta d v a n c ei nt i l ef i n i t e d i m e n s i o n a l c cw a sm a d eb yw k i l l i n ga n dec a r t a na tt h ee n do ft i l e 1 9 t “c e n t u r yw h o g a v et h ec e l e b r a t e dc l a s s i f i c a t i o no fs i m p l ef i n i t e - d i m e n s i o n a ll i ea l g e b r a so v e r c m o r e o v e r t h ei n f i n i t e d i m e n s i o n a lc a s ew a ss t u d i e db yc a r t a nj nas e r i e so f p a p e r sw r i t t e ni nt h eb e g i n i f i n go ft h e2 0 “c e n t u r y t h et h e o r yo fm o d u l a rl i ea l g e b r a si sn o wa b o u ts e v e n t yy e a r so l da n dh a s e x p e r i e n c e dar a t h e rv i g o r o u sd e v e l o p m e n tt h r o u g h o u tt h el a s t t l l r e ed e c a d e s t i l ed i s c o v e r yo fan o n c l a s s i c a ls i m p l el i ea l g e b r ab ye w i t ti l l1 9 3 7i n i t i a t e d t h et h e o r yo fm o d u l a rl i em g e b r a s 【1 1 1 t h ea p p e a r a n c eo fm o d u l a rl i ea l g e b r r a i so n eo fs y m b o l sw h a tp r o v et h a tt i l et h e o r yo fl i ea l g e b r a si si n d e p e n d e n tt o t i l eo n eo fl i eg r o u p st h ec o n c e p to far e s t r i c t e dl i ea l g e b r ai sa t t r i b u t a b l et o n j a c o b s o ni n1 9 4 3 1 2 i ti sw e l lk n o w nt h a tt i l el i ea l g e b r a sa s s o c i a t e dw i t h a l g e b r a i cg r o u p so v e raf i e l do fc h a r a c t e r i s t i cpa r er e s t r i c t e dl i ea l g e b r a s 【2 0 m o r e o v e r ，t e r r e l ll h o d g ed e f i n e dar e s t r i c t e ds t r u c t u r ef o rl i et r i p l es y s t e n l si n t i l ed l a r a c t e r i s t i cp 2 s e t t i n g ；a k i nt ot h er e s t r i c t e ds t r u c t u r ef o rl i ea l g e b r a s ， a n di n i t i a t e das t u d yo ft h e o r yo fr e s t r i c t e dm o d u l e si n2 0 0 1 2 3 1n o w ，r e s t r i c t e d l i ea l g e b r a sa t t r a c tm o r ea n dm o r ea t t e n t i o n s l e tlb eal i ea l g e b r ao v e ra f i e l d fo fc h a r a c t e r i s t i cp p 】：l _ l ，a _ n b i sc a l l e da p - m a p p i n gi f ( 1 ) a d al = ( a d a ) p f o ra n ya l ； 1 ( 2 )( n n ) = n p n 酬f o ra n yn l ，o i f ； ( 3 ) a + 6 ) 加】= n + b n + p - 1s ；( 。，6 ) f o ra n y 。，6 l ； i = 1 p 一1 w h e r es i ( a ，6 ) s a t i s f y i n g ( a d ( a o 茁+ b o1 ) ) 一1 ( oo 1 ) = i s 。a ，6 ) o z 卜1i 1 1 l ff 陋1f o ra i l yn ，b l t l l ep a i r ( 工，睛】) i sc a l i e dar e 8 t 毒i e dl i ea l g e b r ai i l ( f 1 3 1 ，f 2 0 l ， 2 1 1 ) t h ec o m p l e t ec l a s s i f i c a t i o no ff i n i t e - d i m e n s i o n a ls i m p l em o d u l a rl i ea l g e b r a s o v e ra 1 1a l g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l do fc h a r a c t e r i s t i cp 7 w a sa l l n o u u t e db yr e b l o c ka n dr lw i l s o ni n1 9 8 9 ( 1 4 _ 1 8 】) i nf a c t ，t h e yh a dc s t a b l i s h c dt h e k o s t r i k i n - s h a f a r e v i c hc o n j e c t u r e 1 9 n o wt i l ec l a s s i f i c a t i o no ff i n i t e d i l n e l l s i o l l a l s i m p l em o d u l a rl i ea l g e b r a so v e ra na l g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l d o fs o l n es i n a i lc t l a r a c t e r i s t i ch a sb e e no b t a i n e di nr e c e n ty c a r s p r o f s h c ng u a n g y uj o i n t l yw i t h h i ss t u d e n t sh un a i h o n ga n ds h ub i nh a do b t a i n e dn l a n yi m p o r t a n tr e s u i t si n m o d u l a rl i ea l g e b r a s ( 【2 4 一 2 7 ，【3 2 一 3 5 ) i nt h e1 9 5 0 sa n i j e n h u i sg a v ea ne x a m p l eo fl i es u p e r a l g e b r a s a sa n a t u r a g e n e r a l i z a t i o no fl i ea l g e b r a s ，l i es u p e r a l g e b r a sb e c o m ea l le f f i c i e n tt o o l s f o rm l a l y z i n gt h ep r o p e r t i e so fp h y s i c a ls y s t e m s ( 【1 - 【1 0 ) ，s h o r t l ya f t e rt h e ya x e d e f i n e di n3 1 1a b s t r a c tw a y c o n c r e t ea p p l i c a t i o n sc o m p r i s et h ef o r m u l a t i o no fs u p e r s y n u n e t r i e so fh a m i l t o n i a ns y s t e m s ，t h ed e s c r i p t i o no fa t o m i c ，i n o l c c l l l a ra n d n n c e a rs p e c t r a ，p a r t i c l ep h y s i c s ，u n i f i e df i e l dt h e o r ya n dm a n yo t h e r s ( 6 3 1 一 6 6 】) l i es u p e r a l g e b r a sa r ea l s oi n t e r e s t i n gf r o l uap u r e l ym a t h m a t i c a lp o i n to fv i e w a n dt h e i re n v c l o p i n ga l g e b r a sp r o v i d ev a r i o u sr i c hc l a s s c so fa s s o c i a t i v ea l g e b r a s l = l 6ol ii sc a l l e das u p e r a l g e b r ab yp h y s i c i s t si f 【a ，b 】l o + 口f o ra n y a l 。，b l 声，n ，卢邑= 6 ，i ) li sc a l l e dal i es u p c r a l g c b r ai fli sa s u p e r a l g e b r aw i t ht h eo p e r a t i o n ， s a t i s f y i n gt h ef o l l o w i n ga x i o m ： ( 1 ) n b 】= 一( 一1 ) “4 6 ，o 】；( g r a d e ds k e w s y m m e t r y ) ( 2 ) f n ， b ( j 】= f k ，纠，f j + ( 一1 ) 0 9 6 ，k ，4 1 ；( q z - a d e d a e o b ii d e n t i t y ) f o ra l la l 口，b l s ，c l ，o l ，卢z 2 = f 6 ，i l i cs u p e r a l g e b r a sa r cf r e q u e n t l yc a l l e dz 2 一g r a d e dl i ea l g e b r a sb yp h y s i c i s t s l ti sa nl 0 。m o d u l e l oi sa l lo r d i n a r yl i ea l g e b r a s p e a k i n gg e n e r a l l y , l i es u p e r a l g e b r a sa r en o tl i ea l g e b r a s m o r e o v e r ，m a n yi m p o r t a n tf e a t u r e so fl i ea l g e b r a s a r cn o tn e c e s s a r i l yt r u ef o rl i es u p c r a l g e b r a s 卧f o ri n s t m m e ，l i c st h e o r e ma n d 2 l e v i st h e o r e mo fl i ea l g e b r a sa r en o tt r u e 】i ng e n e r a l ，f o rl i es u p e r a l g e b r a si n a d d i t i o n ，i ti sw e l lk n o w nt h a tas e m i s i m p l el i ea l g e b r ai sad i r e c ts u mo fs i m p l e o n e s ，b u tt h i si sb yn om e a n st r u ef o rl i es u p c r a l g c b r a s d u r i n gt h el a s tf i f t yy e a r s ，t i l et h e o r yo fl i es u p e r a l g e b r a sh a su n d e r g o n e ar e m a r l m b l ee v o l u t i o ni nm a t h m a t i c s t i l es t u d yo fl i es u p e r a l g e b r a sm a i n l y c o n t a i n sc l a s s i f i c a t i o n s ，s t r u c t u r e sa n dr e p r e s e n t a t i o n s a tp r e s e n tt i l em o s ti m p o r t a n tr e s u l t si 1 1t h et h e o r ys e e mt ob et h ec l a s s i f i c a t i o nb yvgk a ca n ds j c h e n go ff i n i t e - d i m e n s i o n a lm i di n f i n i t e d i m e n s i o n a ls i m p l el i cs u p e r a l g c b r a s o v e ra l la l g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l d o fc h a r a c t e r i s t i cz e r o ( 吼【3 1 ，n 【8 1 ) ，t h ec l a s s i f i c a t i o nb yv g k a ca n dm w a k i m o t oo fm o d u l a ri n v a r i a n tr e p r e s e n t a t i o l l so f a f t i i l es u p e r a l g e b r a s 4 a n dt i l ec l a s s i f i c a t i o nb yv gk a co fi n f i n i t c 。d i m c n s i o n a l s i m p l el i n e a r l yc o n l p a c tl i es u p e r a l g e b r a s 【6 】 i nl a s tt e ny e a r s ，m a n yi m p o r t a n tr e s u l t so fm o d u l a rl i e8 u p e r a l g c b r a sa l s o | l a v eb e e no b t a i n e d ( 【2 2 】， 2 7 一【3 1 ) t h ed e f i n i t i o na n ds o m ei m p o r t a n tf e a t u r e s o fl i es u p e r a l g e b r a so fc a r t a nt y p ew e r eg i v e nb yp r o f z h a n gy o n g z h e n gi n 1 9 9 7 2 8 1 n o wt h ec o m p l e t ec l a s s i f i c a t i o no ft h ef i n i t e - d i m e n s i o n a lm o d u l a rs i r e p l el i es u p e r a l g e b r a sr e m a i n sa l lo p e np r o b l e m t h ed e f i n i t i o na n dn e c e s s a r y a n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h er e s t r i c t e de n v e l o p eo far e s t r i c t e dl i es u p e r a l g e b r aw e r eg i v e nb yv mp e t r o g r a d s k i vi n1 9 9 2 2 2 1 i fl oi sar e s t r i c t e dl i e a l g e b r aa r i dl 0 - n l o d u l el ii sr e s t r i c t e d ，t h e nli sc a l l e dar e s t r i c t e dl i es u p e r a l g e b r a z h a n gy o n g z h e n ga n dw a n gy i n gg a v ea ne q u i v a l e n td e f i n i t i o no f r e s t r i c t e dl i es u p e r a l g e b r a sa n dg o ts o m en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n so f a l lr e s t r i c t e dr e p r e s e l l t a t i o n so far e s t r i c t e dl i es u p e r a l g e b r at ob ec o m p l e t e l y r e d u c i b l e ( 2 9 】， 3 0 ) i l l 【1 6 ，i ti ss t l o w nt h a tt i l ec l u s s i l i c a t i o n o ft h es i m p l e r e s t r i c t e dl i ea l g e b r a si se q u i v a l e n tt ot i l ec l a s s i f i c a t i o no ft i l em o d u l a rs i m p l e l i ea l g e b r a s a n a l o g o u s l y ，t h es t u d yo fr e s t r i c t e dl i es u p e r a l g e b r a ，sw i l lp l a ya l l i m p o r t a n tr o l ei nt h ec l a s s i f i c a t i o no ft h ef i n i t e d i m e n s i o n a lm o d u l a rs i m p l el i e s u p e r a l g e b r a s s i n c et w o - s t e pn i l p o t e n tm o d u l a rl i es u p e r a l g e b r a sa r er e s t r i c t e d l i es u p c r a l g e h r 球s ，h e i s c n b e r gs u p e r n l g e b r a sa n dh e i s e n b e r ga l g e b r a so v e raf i c h t o fc h a r a c t e r i s t i cpa r ec o n t a i n e di l lr e s t r i c t e dl i es u p e r a l g e b r a s t h u st h o s es h o w t h a tt h et h e o r yo fr e s t r i c t e dl i es u p e r a l g e b r a sw i l lh a v em o r ea n dl n o r ea p p l i c a - t i o n si nb o t hm a t h m a t , i c sa n dp h y s i c s 3 0 2 o r g a n i z a t i o no ft h et h e s i s w eh a v ed i v i d e dt h i st h e s i si n t of i v ec h a p t e r s t h i st h e s i si so r g a n i z e da sf o l l o w s ： c h a p t e r1i sd e v o t e dt os t u d y i n