（基础数学专业论文）几类时滞微分方程解的振动性和正解存在性.pdf

几类时滞徽分方程解的振动性和正解存在性 摘要 本硕士论文通过利用常微分方程振动准则研究了一阶线性时滞微分 方程 一( ) + p ( ) z 一( ) ) = 0 ，t o ， 和一阶非线性时滞微分方程 一( t ) 4 - f ( t ，z ( r ( ) ) ) + h ( t ，z ( ) ) = 0 ，t t o 0 ，( l 1 2 ) 在临界状态下的振动性和非振动性研究了具有正负系数的一阶中立型 时滞微分方程 陋( ) 一r ( t ) z ( t r ) 】4 - p ( t ) z ( t 一7 ) 一q ( t ) z ( t 一口) = 0 ，t t o ，( 2 1 1 ) 和具有正负系数的奇数阶中立型时滞微分方程 陋( ) 一r ( t ) x ( t r ) 】似+ p ( t ) x ( t r ) 一q ( t ) x ( t 一盯) = 0 ，t 2 t o ， ( 2 2 1 ) 的振动性和非振动性，获得了一系列结果，这些结果有的是新的，有的 推广和改进了一些已知结果 关键词：时滞微分方程，振动解，正解，临界状态，正负系数 几类时滞微分方程解的振动性和正解存在性 a b s t r a c t i nt h i st h e s i so fm a s t e r , w ei m w t i g a t et h e c m a t o 珂a n dn o n o s c i l l a t o r yb e - h a v i o ro ft h ef o n a 研gf i r s to r d e rl i n e a ra n dn o n l i n e a rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 一( t ) + p ( t ) z p ( ) ) = 0 ，t t o ， 0 ) + f ( t ，z ( f o ) ) ) + h ( t ，o ) ) = 0 ，t 芝t o 0 ( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) i nt h ec r i t i c a ls t a t eb y u s i n gt h eo s c i u a t m nc r i t e r i ao fo r d i n a r yd i f f j r e t 试e q u a t i o n s w ea l i n v e s t i g a t et h eo s c i l l a t o r ya n dn o n o s c i l l a t o r yb e h a v i o ro ft h ef o l l o w i n gf i r s t a n d o d do r d e rn e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hp o s i t i v ea n d n e g a t i v ee o e f l c i e n t s p ( t ) 一兄0 ) z 一r ) + p ( t ) x ( t - r ) 一q 0 ) z 0 一盯) = 0 ，t2t o i x ( t ) 一r ( t ) z ( t r ) 】”+ p ( t ) z 0 一r ) 一q ( t ) x ( t 一矿) = 0 ，t t o ( 2 1 1 ) ( 2 2 1 ) w eo b t a i nm a n yr e s u l t so no s c i l l a t i o na n dn o n o s c i u a t i o no fs o l u t i o nf o rt h ea b o v e e q u a t i o n s s o m eo ft h e ma l en e w ，s o m eo ft h e me x t e n da n di m p r o v et h ek n o w n r e s u l t so fm a n ya u t h o r s k e yw o r d s ：d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，0 8 c i l l a t m ns o l u t i o n ，p o s i t i v es o l u t i o n ， c r i t i c a ls t a t e p o s i t i v ea n d n e g a t i v ec o e f f i c i e n t i i i 几类时滞微分方程解的振动性和正解存在性 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到 本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签各刍多固丝2 下岁月卵 7 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保 存和汇编本学位论文 本学位论文属于 i 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密面 ( 请在以上相应方框内打“ ”) 4 5 日期：知口7 年蛔硌日 f 日期；z p 7 年朋2 暑日 几类时滞微分方程解的振动性和正解存在性 绪论 1 本课题产生的历史背景 微分方程是现代数学的一个重要分支，在众多科学领域有着非常广 泛的应用，如几何学生态学、力学，光学控制、天文学、核物理、现代 生物学、电子技术。自动控制以及经济等尖端科技领域在考虑到事物 本身的复杂性和抽象性时，时滞通常是不可避免的，如电路信号系统、 生态系统，化工循环系统、遗传系统流行病传染系统动物与植物的循 环系统、商业销售系统、运输调度系统、生产管理系统、自动控制系统都 普遍存在时滞现象，这使得对时滞微分方程的研究具有非常重要的实际 意义自上世纪6 0 年代以来，时滞微分方程的研究已引起了人们广泛的 兴趣，并取得丰富的研究成果，参见1 7 - 1 2 ，2 0 ，2 5 - 2 6 ，3 7 - 4 5 】及其引用文献 本文研究了几类时滞微分方程解的振动性及正解存在性这些结果 有的是新的，有的推广和改进了已有结果 下面就本文研究的问题产生的历史背景作一些简要概述 一一阶线性和非线性时滞微分方程解的振动性和正解存在性 方程 一( ) + p 0 ) z 盯( t ) ) = 0 ， f 之幻， ( 1 1 1 ) 是最基本的泛函微分方程，许多复杂的泛函微分方程的振动性和非振动 性最终都归结为( 1 1 1 ) 的振动性和非振动性在这方面，许多作者给出 了非常丰富的结果，参见专著 2 0 l 和文献1 9 ，1 6 - 1 7 ，1 9 ，2 8 ，3 8 - 3 9 】，其中两个经 典的结果是：如果 l i ；m 。i n ej f ，( 。p ( s ) d s i 1 ， 1 湖南师范大学2 0 0 7 届硕士学位论文 则方程( 1 i 1 ) 振动；如果对充分大的t 胁踟s 1 ， o 0 ， ( 1 1 2 ) 其中 ( 巩) 对( l 1 i ) ( 飓) 对( 1 1 2 ) r ( t ) 单调不减，r ( ) 0 使得 ( i ) g 在j 矿上单调不减； ( i i ) 9 ( 一牡) 2 9 ( 牡) ，她g ( “) = 0 ； ( i f g ( e 1 ) d u o o ； ( h ) l ，( ，“) 一p ( t ) u l l u p 0 ) g ( u ) ，i h ( t ，t ) - p ( t ) u l l l u l p ) 9 ( u ) 对t t o 且0 0 的函数有 厶i f ( t , 烈“t ) ) ) + o 。) ) 1 d 江鸭厶, e g o 【，o ，卅“幻) ) 舶( t 叫。”1 m 一 ， 湖南师范大学2 0 0 7 屠硕士学位论文 本章在一般临界条件 p t 烈s ) d s 1 e ，t b ，( 1 i 3 ) j r ( t ) 下，利用常微分振动准则得到方程( 1 1 1 ) 存在最终正解的充分条件，同 时得到方程( 1 1 2 ) 所有解振动的充分条件 定义1 1 2 定义j ( t ) = m a x p ( s ) ：t o 5 且6 - , ( t ) = m i n s t o ： 6 ( s ) = ) ，显然6 和j 一1 单调不减且满足 ( a ) ) 岛 ( b ) j ( d 一1 ( t ) ) = t 且g - 1 ( 6 ( ) ) 在下面的讨论中，我们总是假设( 胁) 一( h 4 ) 成立 1 2 一般临界状态一阶线性时滞微分方程正解存在性 引理1 2 1 f x z l 方程口“j 有一个最终正解当且仅当微分不等式 ，( ) + p o ) z ( r ( t ) ) s0 有最终正解。 引理1 2 2 阻矧如果p c ( t o ，o o ) ，j 矿) ，且对足够大的t 有 t 厂如) d s ：， 则二阶微分方程 。 f ( t ) + p ( t ) f ( t ) = 0 ，t t o ， 有最终正解 定理i 2 3 考虑方程一j j ，的特殊形式 一( 幻十z ( r ( ) ) = 0 ，t t o ， ( 1 2 1 ) 一6 几类时鞴微分方程解的振动性和正解存在性 假设存在常数d ( 1 1 e 8 ，1 ) 使得 l i m s u p ( t 叫p l e ) o ，( t ) s 0 ， 舭) = u ( s ) d s + 删 ( 1 2 6 ) ”( t ) = 。el ( ( s ) d s + v ( c - ，t t ， ( 1 z 7 ) 则对f l + 1 e ，我们有 e ( 1 i e 删s 地2 f i l e m 蛾附m t ) d s ：2 e 2 厶r 昧心s 伽) - 2 e f u ( s ) 2 e 2 止( s + 1 一忡) 如+ 2 鳓) s ( 坊一2 e 2 u ( t ) _ + 1 e 一) d 5 7 t l 托 湖南师范大学2 0 0 7 届硕士学位论文 即 呻) 刈e ( m ) d s ，t 独+ 1 e ( c z s ) 定义函数序列 ( t ) ：如下： v o ( t ) = w ( t ) ，t t l i ( t ) + e j ：1 ，e 一1 ( s ) d s ，t t l + l i e ， ( ) = 【“( ) + 老簧 鲁三糊【”( ) 一u ( ) 】，t t t + 1 e 从( 1 2 8 ) 归纳得到 u ( t ) t o 使得 ：肪州s l ，( 1 2 1 5 ) 罂皈黼一：) 幽笋， ( 1 _ z 朋) 9 湖南师范大学2 0 0 7 届硕士学位论文 并且 u i 1 1 8 1 1 ”比如灿厂小，( 厶，熊，武一；) d s s 百1 - - a 则n j 有一个最终正解 证明：令 鳓= 肛潍，) = 层，如) d 5 贝4 口( ) 1 e ，t n ( t 1 ) ， l i r a s u 舢) 一1 e ) 0 ，则由( 1 1 2 ) 有 。 f t z ( t ) 一x ( t o ) = 一【，( s ，z ( f ( s ) ) ) + h 0 ，z ( s ) ) 】d s j t 0 而从已知条件( 乩) 知且mz ( f ) = 一o o ，这与z ( t ) 最终为正相矛盾证明完 毕 引理1 3 2 假设z ( ) 为一j 剀的非振动解，则存在a 0 ，t t 0 使得 i a 唧( 一r p d s ) ，t z ( 1 s 1 ) 引理1 3 3 假设。( ) 为n 1 矽的一个非振动解，则最终有 ) p ( s ) d s o ，存在 t 1 如使得 0 z ( t ) z ( 6 ( ) ) s z p ( t ) ) ，t t 1 ( 1 3 3 ) 由已知条件( 日4 ) 和( 1 3 3 ) ，存在t t l 使得 f ( t , x ( r ( z ) ) ) ；础) m ，t t 且 坤，) ) ；，t z t , 1 2 几类时特微分方程解的振动性和正解存在性 上两式连同( 1 1 2 ) 表明 邢) + ；m ) 琊) + 互1 邢) 邢) o ， f 2 t( 1 3 4 ) 即 鬻咛1 ( f ) 等+ 扣 0 t z ( 1 s 5 ) 对( 1 3 5 ) 两边从t 到t 积分有 雄) a e x p ( 一r 小) d s ) ， t z 这里a = 2 ( t ) ，因此( 1 3 1 ) 成立对( 1 3 4 ) 从6 ( t ) 到t 积分有 球h 似啪+ 瓶p ( s m 小) ) d s + 兄p ( s s ) d s t t o 且 ，小= 厶s 灿+ 詹蛇e ， 这里 厂p ( s ) d s = t e - ! ，s ) d s 丁e - ! ( 1 3 7 ) 湖南师范大学2 0 0 7 后硕士学位论文 对( 1 3 4 ) 在区间i t , t 1 和陋( r ) ，胡分别积分得 z ( r ) 一z ( d + ；，”p ( s ) z ( j ( s ) ) d s + ；z ”烈s ) z ( s ) d s 。 和 础h 似即) + 兄，小m 郧) ) d s + 扳) p ( s m s ) d 倒 由x ( t ) 的单调不增性和d ( t ) 的单调不减性知存在t t l 便得 础) - 球) + 知旷) ) 厂p ( 州拶l 哟，p ( s ) d s 0 ，存在t l t o 使得 0 z ( t ) 工( 6 ( ) ) 芏p ( ) ) t l 使得6 ( t ) t 1 ，t t 2 对t t l ，( 1 3 1 9 ) 两边从6 ( t ) 到t 积分有， 雄) e x p ( 磊，如姒s ) 【l 一如( r ( s ) ) ) l d s ) e x p ( 厶，出) 【l 一擘。( s ) ) 1 d s ) t 1 3 - 2 0 ) 由( 1 3 6 ) ，( 1 3 2 0 ) 和w ( t ) 1 ，对t 屯， ”( 。2 e x p 厂7 ：( ) p ( s ) t ”( s ) 【1 9 ( z ( r ( s ) ) ) 】d s ) e x p 厂e t ) p ( s ) 【l g ( z ( s ) ) 】d s ) = 唧( 石t ，p 婚，d s + e - 1 ) 唧( ，p 出一e 。1 ) e x p ( 一五) p ( s ) 【吣) 出) ) 州小) ) 】d s ) e 伽s 川d s e x p 皈t 小m e 一1 ) e x p ( 一，小州咖( 如) ) + 9 ( 如) ) 】d s ) 则对t t 2 pct)w(t)一ep(t憾p(s)w(s)dsep(t吃p(s)w(s)dsj6(tj 6 ( t ) 一) e p ( t ) ) 唧( 五，p c s ，d s - e - 1 ) e x 一( 一厶，小c 咖c 咖c 枷，+ 舡c 圳d s ) 一) ( 1 3 2 1 ) 1 5 湖南师范大学2 0 0 7 届硕士学位论文 由引理1 3 2 ，1 ，3 3 ，1 1 3 4 ，存在t 扬，a 0 和m 0 使得对t t ， 小唧( 一小冲) ， m 。忽， e ，p ( s ) d s 知( s ) a s _ 伽s ) d s t 使得6 ( r ( t ) ) ln ( p ) 2 + l n a ，f p 设m = 2 e a m z ， = 2 e s m ，a l = e 2 a 注意到 九 ef p ( s ) w ( s ) d s 2 e m ，t 2 r j a ( t ) 几类时滞徽分方程解的撮动性和正解存在性 由( 1 3 2 2 ) - ( 1 3 2 4 ) ，( 1 3 2 7 ) ，( 巩) ，对n t ， f 即冲f p 丘p c 川m ，( a 唧( 一p c ，如) ) + 尬，( 佃( 一r 小，机) ) m = f m ，五，p c 州尬，( 以唧( 一r 咖m + 厶，m ，d u ) ) + 9 ( 咖( 一r 出m ) ) m t 厶p ( 。) 厶f ) p ( s ) ( a l e - 州町) + m 2 0 ( 舭1 扣) m 。 ： p ( ) 厂， m 1 9 ( 月l e - 。) + 9 ( 舻“) m j r d a ( 6 ( 0 ) =_!rp(f)矾。，(mlg(alel+mzg(aeldudt似归，p(s)ds)jtj , * ( 0 - o ( t = p ( t ) (1 ) +1 ) ( 卢( ) = )j 6 ( t ) ，口( ) 严 = p 矗9 ( a 1 e 一“) + m u g ( a e 一“) 】d u d v j a 旧) j r - 1 f a ( n ) s 【m l g ( a l e “) + m 2 9 ( a e l 。“) 】d u j n ( r 。) f a ( n ) - - l u e a l )f a ( n ) - l n ( e a ) = m i 9 ( e 一“) d + 如 g ( e 一。) d u j a ( t 1 一i n k a l lj 删f 丁1 - l n e a ) 因此 s ( 尬+ 尬) z 。如聊“ m ，”d ( ) d 5 - 1 ( p ) ) 积分有， 胁川f m ，小s 川龇 珈， 唧( 知s ，d s - e - - 1 ) 一- d t - r 酬t q s 交换积分顺序并注意到j ( j - 1 ( ) ) = t ，则 。 。p ( ”fp ( 。) 。( 。) d 。d t 。 “p ( ) 。( ) 厂一1 “p ( 。) d 。d t j t j 6 ( 幻 j t oj t ，艇奶一。 i ) =e fp ( t ) w ( t ) f p ( s ) d s d t 一( ) p ( t ) w ( t ) d t ( 1 3 3 1 ) e ，邢m 牡f m ， 唧( 五，出，d s - e - 1 ) 一， d t c 踯q 。舰， 由( 1 3 2 3 ) 和( 1 3 2 4 ) ， r n p ( t ) w ( t ) d t mfp ( t ) d t s2 m , j s ( m ) j 6 ( 口 因此由( 1 3 3 2 ) 碍 。m2c 邢，卜( 出，d 8 - - e - 1 ) 一卜一f 踯m 这表明 。m f 砟， 唧( 伽s ，d s - e - i ) 一- 卜e 酬屯 上式连同( 1 3 2 8 ) 有 f 础) x pr o m ，d s - - e - 1 ) 一- a t o o 这与( 1 3 1 5 ) 相矛盾定理得证 几类时滞微分方程解的振动性和正解存在性 1 4 附注与例子 附注1 文献【2 1 】中定理2 2 如下： 定理2 2 如果方程( 1 2 1 ) 满足如下条件： t r ( ) 1 e ， l i r a s u p e 。( t - 7 一r ( 幻一1 e ) d l ， t j ( ”e 如叫枷( s 叫s ) - 1 e ) d s 害， 最终成立，则( 1 2 1 ) 有一个最终正解 ( 1 4 1 ) ( 1 4 2 ) ( 1 4 3 ) 而本文定理1 1 7 将( 1 4 2 ) 的左边放小为l i m s u p ( t 一1 _ ( ) 一1 e ) n 礤i - - a i e e ，且存在满足定理1 1 7 的如 下例子 例1 4 1 考虑方程 e ( t ) + z ( r ( ) ) = 0 ，t 1 ，( 1 4 4 ) 其中，( t ) = t 一6 ( t ) 一l e 且对n = 1 ，2 ， 很显然 t 【n 4 - n 一3 ，n + 1 ) t 【n ，f i + 0 5 n 一3 ) ， t h + 0 5 n 一3 ，n + n - 3 ) ， 唑( 一r ( ) ) = 1 e 1 i r a 。一s 。u p ( t r ( ) ) = i 1 + 石1 l i m 。，s 。u p ( t r ( t ) 一i e ) = 否1 0 ，一( ) 0 证明：由( 2 1 1 ) 和( 2 1 5 ) 最终有 ，( ) = 一h ( t k + r 一口) z ( 一k 一口) 0 ( o ) ( 2 1 6 ) 如果z ( t ) 0 最终不恒成立，则最终有2 ( t ) 使得 z 一p ) 0 ，z ( t ) 0 ，t 2 t 1 使得2 ( t ) 一“t t 2 由( 2 1 5 ) 有 ，tf t - k 4 - 。r - - # z ( t ) 一p + r ( t ) z ( t r ) + q ( s 扛( 5 一a ) d s + p ( s ) x ( s r ) d s ，t2t 2 j t - kj t ( 2 1 7 ) 我们考虑两种可能的情况 情况1 1 i m s u p x ( t ) = o o 在这种情况下，存在数列 知 甚。使得当 t n _ o o 时，- o o ，z ( s 。) - + 0 0 并且 z ( s 。) = m a x z ( t ) ：t 2 t s 。 ， 仃= 1 ，2 由( 2 1 双( 2 1 7 ) 有 ，“ f i n 一+ r d z ( s 。) 一p + r ( s 。净( s 。一r ) + q o ) z o 一力d s + p ( s ) z ( s r ) d s 卅( 酬+ 删s + 厂一4 酬s ) 如n ， s 一+ z ( 占。) 这表明p 0 ，这是一个矛盾 情况2 1 i r a s u p x ( t ) = l 【o ，o o ) 在这种情况下，存在数列 如 怒。使得 t 叶 当n 一( 3 0 时z ( 晶) 一l 令使得 z ( 龟) = m a x z ( s ) ：晶一p 暑瓦一5 ) ，死= 1 ，2 ，- 2 2 几类时滞微分方程解的振动性和正解存在性 因此，由( 2 1 3 ) 和( 2 1 7 ) 知 ，靠，h 一+ r 一 霉( 晶) s p + r ( 靠) z ( 晶一r ) + q ( s ) x ( s a ) a s + 7 p ( s ) z 0 一r ) a s j l h - kd i 曼一弘+ z 【钿) 在上式两边同时取上限有 l 一p + l i m s u p z ( q ) s 一，+ l 这表明弘0 ，这同样是一个矛盾综合情况1 和情况2 引理得证 引理2 1 2 假设存在常数( o ，下一叫使得对足够大的f 有 w ；( t ) 三1 ( 2 1 8 ) 如果不等式偿，j 有一个最终正解霉( 母，旯l l 方程】j ，有一个解牙( ) 满 足0 t o 使得 z o p ) 0 ，z ( ) 0 ，( ) 0 ，t t 1 ( 2 1 9 ) 令m = 2 1 瑚d n z 0 ) ：l p ts 1 ) ，则z ( ) m ，t a p s t t 1 下证 z ( t ) m ，t t l p ( 2 1 1 0 ) 事实上，假设( 2 1 1 0 ) 不成立，则存在t = i n f t t l ：x c t ) m ) 使得 z ( 矿) = m ，z ( ) m 1 一p s t ( 删+ 。删s + 厂”一删s ) m = 肛 湖南师范大学2 0 0 7 屠硬士学位论文 这是一个矛盾，因此( 2 1 1 0 ) 成立由( 2 1 5 ) 和( 2 1 6 ) 知 一，t 青+ r 一4 z ( t ) 2r ( t ) z ( t r ) + q ( s ) z 0 一a ) d s + p ( s ) z ( s 一7 ) d s j t - kj t + h ( s 一七+ r 一盯) 茁( s 一七一盯) d s ， t 1 ( 2 1 1 1 ) j t 定义如下函数列 z 。( t ) ) $ o ( ) = z ( ) ，t t l fr ( ) z 。一i o r ) + j 王kq ( s ) 舀。一l 和一a ) d s + e 一鼍+ 一4p ( s ) x 。一l ( 8 一r ) d s 如( ) = 4 - j 尸日。一詹+ 7 - 一口) f o k a ) d s ，t 2 t l + p ， 【m + 墅z ( 业t l 生+ p 世) - m 扛( ) 一m ， t l t ( 踯，+ 。，d ”。f 。t t - l t + 。r - ap d s ) m = m 对t l t t l4 - p ，同样有 吖鲕= m + 等等等) 一卅纠归础) 因此，m z l ( ) 勋( t ) ，t2t 1 一般地，由归纳法可以证明， m + l ( t ) ( ) ，t t l ，n = 0 ，l ，t 2 4 几类时赭微分方程解的振动性和正解存在性 ir o ) 重p r ) + j ：q ( s 归( s 一口) d s + 一+ 一4p ( s ) 牙( s r ) d s 孟( ) = - i - ”h ( s 一七+ r 一口) 孟( s k 一6 ) d s ，t t l + p ， 【m + 亟* ( t 苎三= l + 业p ) - - m k o ) 一m i ，t 1 t t l + p x ( t 1 = 2 5 帕一 p l 正+ 加+ 一 m 删 m。“卅 “+0+州州以m 0 一 、i、 g 卜 。v i n 一枣( n卜雠狄 湖南师范大学2 0 0 7 届硕士学位论文 则。( ) 在b - ，o o ) 上恒正，连续且满足 ，ff t - - k + r 一， u ( ) = x ( t ) - r ( t ) x ( t - r ) - q ( s ) z ( s a ) d s 一p ( s ) x ( s r ) a s ，t l + p ， j t - kj t 邵) ；r 巾) d s 印1 ( 1 ) ，t l _ t 0 ，t 1 ( 2 1 2 2 ) 2 7 湖南师范大学2 0 0 7 届硕士学位论文 由( 2 1 6 ) 和( 2 1 ，2 2 ) ， 2 ( ) 2 日( s k + r 一力z ( s k a ) d s ， t l ， j t 即 一，t 一下一4 z ( t ) r ( t ) x ( t r ) + q ( s ) z ( s a ) d s + p ( s ) x ( s r ) d s j t - k j t + 厂耶一+ r - a ) z ( s - k - a 冲， 吼( 2 1 2 3 ) 类似于引理2 1 2 的证明知存在m 0 ，如1 使得x ( t ) m ，t t 2 一p 上 式连同( 2 1 2 2 ) 有 ，t t t - k + v - e * z ( t ) r ( t ) x ( t r ) + q ( s ) z ( s a ) d s + p o ) z ( s r ) d s j l 一叠 j t + mfh ( s 一+ f a ) d s ，t 如 j 令 a ( d = m z ”日( s ) d s ， t z ， 显然，a ( z ) 单调不增且墨怒a ( 够= 0 因此，存在t t 2 使得 邢) 搿9 删s ，i t , t + 纠 类似引理2 1 2 的证明，从( 2 1 2 3 ) 和上式可推出 雄) ；f 9 a ( s ) d s ，f z ( 2 1 2 4 ) 因z ( t ) 是有界的，故 ，。 上a ( s ) d s m a x t o ，0 ) 使得 ；fs 删s + f 删s 1 ( 2 1 2 5 ) 几类时稚微分方程解的振动性和正解存在性 令 定义函数u ( t ) ， 8 ( ) = fh ( 8 一k + f 一盯) 出，t2 t 1 ( 2 1 2 6 ) j t f b 0 1 ) ， n t s “+ p 一最 ( t ) = b ( 。1 ) + ( 川l p + 回b ( 。l + 力瓜 。l + p 一6 l + p ， ib ( ) + r ( t ) u ( t r ) + j ： q o ) u o a ) d s + 一+ 7 4p o ) ( s r ) d s ， 【l + p + n j l + p + ( n + 1 ) 正 n = l ，2 ， ( 2 i 。2 7 ) 则u ( t ) 在【t o ，) 是恒正，连续且满足 ，t ，t 一r 一4 t 1 0 ) = 且( t ) + r ( t ) u ( 一r ) + q ( s ) u ( s 一口) d s + p ( s ) u ( s - r ) d s ，t t l + p j t - kj t ( 2 1 2 8 ) 由( 2 1 2 7 ) 有 心) ；r 郎) d s + b m - t f l 上式连同( 2 1 ，2 5 ) 有 0 0 ，下盯20 ， 1 日( 亡) ：= p ( ) 一q ( t r + 曲o ( o ) ，t t 。， p = 丁器磬a = m i 嘶，吐毯竺 本节利用函数 眠= 础) + 百南 。( s 叫”1 q ( s ) d + 南t - k - k r - 4 ( s - c ) n 。1 嘞) d s ，k 0 , r - o 3 0 几类时滞傲分方程饵的振动性和正解存在性 建立了方程( 2 2 1 ) 有界解振动的充分条件 2 一些引理 引理2 2 1 假设存在实数k 1 0 ，r 一卅使得最终 w d t ) 1 如果z ( ) 为下列微分不等式的最终有界正解 ( 2 2 2 ) 睁( t ) 一冠0 ) z 0 一r ) 】恤+ p ( t ) x ( t r ) 一q ( t ) z 0 一口) 0 ，t t o ，( 2 2 3 ) 邢) = ) 一踯) 邢- r ) 一石南 。( s 叫”1 ) 如叫山 一面南厂“一4 ( 川r 1 脚( 灿 ( 2 2 4 ) 则最终有 iz 扣( ) 0 ，z 扣一1 0 ) 0 ，( ) 0 ， i 舰。“( ) = 0 ，i = 1 h 2 ，n 1 引理2 2 1 的证明和引理1 2 1 的证明相类似，故省略 引理2 2 2 1 4 唰假设m 为偶数并且m 2 ，p ( t ) e ( ，o o ) ，舻) ，则 ( ”( ) + p ( t ) y ( t ) = 0 ，t 如， 振动当且仅当 f ”o ) + p ( t ) y ( t ) 0 ，t 坛， 没有最终正解 引理2 2 3 假设存在实数k 【o ，r 一卅和o 1 使得最终 a 2 帆( t ) 1 ，( 2 2 5 ) 湖南师范大学2 0 0 7 届硬士学位论文 并且z ( t ) 为偿2 剀的最终有界正解，z ( ) 如偿2 4 j 所定义如果 ( “+ 1 ( ) + p - 1 h ( t k + r a ) y ( t ) = 0 ，t 2 t o ，( 2 2 6 ) 振动，则有 lz c n ) ( t ) 0 ，z ( n 1 ( t ) 0 ，z 瓤) t o 使 得 x ( t p ) 0 ，z ( t ) 0 ，( t ) m ，t 1 一p t t 1 下证 x ( t ) 脱 2 f l p ( 2 2 8 ) 事实，假设c 2 2 8 ) 不成立，则存在t = i n f 8 1 ：z ( f ) m 使得z ) = m ， 几类时嚣微分方程解的振动性和正解存在性 x c t j m ，t l p t ( 刚+ 南仁。( 川甲4 删s + 瓦1 。( s 卅“p ( s ) d s ) m m 这是一个矛盾，因此( 2 2 8 ) 成立令占恶z ( ) = 1 下面分两种可能的情况 加以讨论： 情况1 z = 0 令如 t 】使得z ( t ) t 。有 z ( t ) 1 t + p ：( s ) d s ，t 【，f + 纠 情况2 1 0 注意到z a ( t ) z ，t t 1 由( 2 2 4 ) 有 z ( ) 。+ r ( ) z ( 一r ) + 再南上一女( s 一p 。q ( s 净8 - - o ) d s + + 茜丌上( s - t ) “- l p ( s k 8 - - t )