（基础数学专业论文）常微分方程数值解的长时间性态.pdf

中文摘要 y 6 5 7 4 6 8 中文摘要 本文考虑的是一阶自治常微分方程初值问题数值解的长时间稳定性 与收敛性 由于问题本身的复杂性我们并不能对方程所有的解进行数值模拟， 只有对趋向于系统平衡点的解所作的数值逼近才能得到较好的结果 本文分别采用显式e u l e r 法，单步口一方法和o n e 1 e g 方法作为数值 计算格式不但得到了数值解的长时间稳定性和收敛性，还得到了数值 解也能趋向于系统平衡点的结论 关键词：常微分方程初值问题 显式e u l e r 法 单步目一方法 o n e l e g 方法 长时间的稳定性和收敛性 v 外文摘要 a b s t r a c t i nt h i s p a p e r ，t h el o n g - t i m eb e h a v i o ro ft h e n u m e r i c a ls o l u t i o n st o ac l a s so fi n i t i a lv a l u ep r o b l e m si no r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si s c o i l s i d e r e d b e c a u s eo ft h ec o m p l e x i t yo ft h i sp r o b l e m ，t h en u m e r i c a la p p r o x i m a t i o nm e t h o dw h i c hc a j & tb ea p p l i e dt oa l lk i n d so fs o l u t i o n st ot h e e q u a t i o n sw i l la c h i e v er e l a t i v eg o o d c o n c l u t i o n sw h e ni ti sa p p l i e dt ot h e s o l u t i o nt e n d i n gt ot h eb a l a n c ep o i n t e u l e rm e t h o ds i n g l es t e po - m e t h o da n do n e l e gm u l t i s t e pm e t h o d a r ec o n s i d e r e da sm a i l yn u m e r i c a lc o m p u t a t i o ns c h e m e s t h el o n g - t i m e s t a b i l i t ya n dc o n v e r g e n c eo f n u m e r i c a ls o l u t i o n si so b t a i n e da n dt h ec o i l c l u t i o nt h a tn u m e r i c a ls o l u t i o n sa l s oc a nt e n dt ot h eb a l a n c ep o i n ti s o b t a j n e da sw e l l k e y w o r d s ：i n i t i a l v a l u ep r o b l e mi no r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s g u l e rm e t h o d s i n g l es t e po - m e t h o d o n e l e gm e t h o d l o n g - t i m es t a b i l i t ya n dc o n v e r g e n c e i i 第1 章绪论 第1 章绪论 常微分方程初值同题 f 啦：，茁) ，t o i “l # 0 2u o 广泛地出现在自然科学和工程技术等领域其真解通常难以通过解析的 方法来获得，一般只能用数值的方法进行计算有关这一问题的研究早 在几十年前就已经开始了，特别是由于计算机的普遍应用，许多微分方 程问题都获得了数值解，从而能使人们更多的认识解的种种性质及其数 值特征，为工程技术等实际问题提供了定量的依据， 关于常微分方程的数值计算方法，许多学者已经作了大量的工作， p 亨利西f l j 和c ，w 吉尔f 2 对于定义在有限区间上的情形就已经作 了比较详细的讨论，但是对于无界区间上的情形还没有涉及， 本文考虑如下一阶自治常微分方程初值问题 f 毗= ，( 让) ，0 0( 1 4 ) 在下面的讨论中，我们要用光滑的函数7 来代替函数，其中7 满 足： ，( s ) = ，( s ) ，h m + l( 1 5 ) l ，( s ) | l ，i ，( s ) l 0 ，使得当i 让一型1 d 时，有 7 协( t ) ) 一a 0 ( 1 ，9 ) 第1 章绪论 特别地，由( 1 2 ) 可知，存在一个与6 有关的丁 有lu ( t ) 一些1 6 成立，那么 f ( 钆( t ) ) 一a t 时 f 1 1 0 1 本章主要介绍了常微分方程初值问题近在些年来的研究状况以及本 文将要讨论的问题，并且给出了求解该问题时所需满足的若干条件 黑龙江大学硕士学位论文 第2 章显式e u l e r 法 本章将要考虑求解问题( 11 ) 的显式e g l e r 法； + 。= + 巧( 妒。) ( 2 1 ) 其中h 为步长，为u 。= u ( t 。) 的逼近，t 。= n h 由上一节中r 的定义可以知遭，我们能够适当的调整t 的取值，使得对n 人r ，有 t = t 。= n h ，那么当礼2n 时，显然有 l 札。一堕i 6( 2 2 ) 了( ) 一 0( 2 3 ) 引理2 1 ：若问题( 1 17 ) 的解让c 2 ，那么显式e t h e r 法( 2 1 ) 的局 部截断误差r 满足 霸l c 1 h 2 证明：利用t a y l o r 展式 u 。+ 1 = u 。+ h u 7 0 。) + 妄向2 u ”幢) = l l n + 酊( u 。) + ；h 2 z t ( ) 其中( t 。：t n + 1 ) 、于是由问题( 1 - 1 ) 的解的连续性可知 i 吼| = i ；h 2 l z i i ( ) j c l h 2 定理2 1 ：在条件( 1 2 ) 一( 1 3 ) 之下，若方法( 2 1 ) 的初值o 满足 l 如一u o l o ，使得当h h o 时，e t h e r 格式( 2 。1 ) 的解 九 有 如下的长时间误差估计式 。一“。1 c h ，n = 0 ，1 ，- 一d 一 第2 章显式e u l a r 法 并且当n 一。时，解 “) 也能够收敛到( 117 ) 的平衡点型其中c o ，c 是与 无关的常数 证明：为证明定理2l 的结论，我们要分别在有限时域和无限时域 上作估计误差 1 ) 首先讨论有限时域t t 即n 茎n 上的误差估计 由引理2 1 可知 。 “n + 1 = u 。+ h f ( u 。) + 兄 与( 21 ) 式作差有，对v n n 时的误差估计 在此要先证明一个引理 引理2 2 ：在条件( 1 ，2 ) 一( 1 3 ) 之下，e u l e r 格式( 2 1 ) 的解 满足 l i m 西n = u 证明：下面使用归纳法来证明这一结论首先证明当几= n + 1 时 有l c n + i 一到 6 ，考虑到( 2 - 4 ) 式，即得 l 妒。一u l i 咖一札n i + l u 一u ise + l i t 。一旦i 由( 2 2 ) 式知可以选取 l ，使得c h l + 1 u 。塑i 6 ，那么当h h 1 时，有l “一些i 6 由( l 7 ) 式我们有 西。+ 一型= 毋。一型+ 圩( 曲。) 一圩( 笪) f l = 咖。些+ h 77 ( d o 。+ ( 1 一口) 型) d j ( 咖。一型) = ( 1 + h 7 ( 却。+ ( i 一口) 堑) 如) ( 。一笪) j 0 其中 l 盯曲+ ( 1 一盯) 型一u i 盯l 西一u i 占 那么由( 1 ，9 ) 可知 ，7 ( 盯毋。+ ( 1 一盯) 笪) 一a 0 当选取h 2 l l 时，我们有 o l 一 2 二1 + 矗2 77 ( 口氐+ ( 1 一口迤) d a j 0 1 一h 2 a ( 2 5 ) 所以当h h o = m i n h 】，h 2 ) 时，有 j ”+ 1 一u s ( 1 一h ：9 j ，一旦f ( 1 一 a 弦 有 那么 声。一型i ( 1 一h a ) “一。l 。一u i 5 西n + - 一u = 。一u + 圩( ) 一巧( 型) ，l。 = ( 1 + h 77 ( 盯西。+ ( 1 一口) 型) d 盯) ( 毋。型) j 0 其中 f 盯咖n + ( 1 一盯) 笪一笪j 口l 毋。一些j 6 于是 ，7 ( 盯咖。+ ( 1 一盯) 型) 一a 0 考虑到( 2 5 ) 式及归纳假设，当h 时，有 j 西n + 】一型l ( 1 一九a ) j 西n 一些is ( 1 一九a ) 2 i “一1 一些 - ( 1 一 a ) ”一。+ 1 l 毋 ，一些f n 西n + ，一札n + t = 一“。+ 巧( 九) 一7 ( 札。) + r p 】 = ( 1 + h 0 07 ( 口n + ( 1 一一u 。) d 口) ( 九一“。) + r 、+。 。一1 黑龙江大学硕士学位论文 由引理2 2 及( 2 2 ) 式可知 l 盯击。+ ( 1 一盯) 。一些j 盯l 妒。型1 + ( 1 一仃) l 虬。一盟1 占 于是 f ( 口咖。+ ( 1 一口) u 。) 一a 0 当h h o 时， l 毋。+ 1 一乱。+ 1 fs ( 1 一 a ) f 如一t 6 。f + f f ( 1 一九a ) 2 i 。一1 一? u n - - i i + ( 1 一 a ) i r n 一1 j + 焉l 墨- 曼( 1 一枞r 1 一“一f + 壶m a x f 忍f 墨e 瑚( 删圳。，l + 半 再注意到( 2 4 ) 式就可以得到 i 击。+ 1 一u 。+ l n ) 综合1 ) ，2 ) 两种情况可以得到定理的结论成立，即 i 妒。一u 。i c h ，几= 0 ，1 、 于是定理2 1 证毕 类似于定理2 1 的证明我们还可以得到下面的稳定性结论： 定理2 2 ：在定理2 1 的条件下，如果 九 ， 妒。) 分别是e u l e r 格式 ( 2 1 ) 的两个解，初值分别为如，砂o ，满足 l 西。一u oj 岛危与 i 妒o u o l 岛 那么，我们有 l 西。一曲。l g a ，n = 0 、i 、 第2 章显式e u l a r 法 其甲c o c 都是与h ，如无关的常数 本章小结 本章主要是应用显式e u l e r 法来构造初值问题( 1 17 ) 的数值逼近格 式( 2 1 ) ，定理2 1 与定理2 2 分别得到了数值解的长时间收敛性和稳定 性 黑龙江大学硕士学位论文 第3 章单步移一方法 在本章我们将要考虑求解问题( 1 17 ) 的单步扩一方法： 咖n + 】= 西n + h e 7 ( 咖。) + h ( 1 一日) ，( 曲。+ 1 ) 目 0 ，1 ( 31 ) 其中h 为步长，“为u 。= u ( k ) 的逼近，t 。= n h 同上一章一样， 对t 的取值作适当的调整，使得对n ，有t = t 。= n h ，那么当 墨n 时，显然有 f 缸。型f d( 32 ) ，7 ( u 。) 一a 0( 3 3 1 引理3 1 ：若问题( 1 1 ) 的解u e 2 那么单步口一方法( 3 1 ) 的局 部截断误差心满足 l 风l c 1 h 2 m 明：利用t a y l o r 展开式 u n 。= u n + h u 7 ( n ) + ；h “u “( ) = 札。+ 订( u 。) + ； 2 让“廷) 2 ，一h u ( t ) + ；意2 珏”( 婶) = + 1 一巧k 1 ) + ； 2 让”( 才) 其中q ( t 。t 。+ 1 ) ，于是 u n + 1 2 u n + 8 了( u n ) + h ( 1 8 ) 了( u n + 1 ) + i 2 目u “( ) 一； 2 ( 1 o ) c ( 叩) = 珏。+ 赶( 8 7 ( u 。) + ( 1 一护) 7 ( “。+ 1 ) ) + & 由解的连续性可知 r 。i c 1 h 2 定理3 - 1 ：在条件( 1 2 ) 一( 13 ) 之下，若方法( 3 1 ) 的初始值锄满足 妒。一批o j ( 岛尢 第3 章单步日一方法 那么单步目一方法( 3 1 ) 的解 ) 有如下的长时间误差估计式 一i i , 。l 0 黑龙江大学硕士学位论文 子是 + 1 j 曼 i + h s l l i - ( i - e ) - 五z 蚓+ f 赢1 i 十r 1 f 丽i 嘞 = ( 1 + f 拦丽卅。1 + f 杀丽1 r ( 1 + f 靠) 2 l 靠1( 1 + f 可琉川矗1 + f 杀丽 ( 1 + f 孝丽) f 忍一+ 剐 ( 1 + f 拦硫) 卅沁。1 + m a x 刚瓦1 e 端1 1 9 0 + m a x 刚恚 e 旆1 + i 1 音 s e 珊) + m 戤吲壶 se 譬i + 挲 由已知条件及引理3 1 可得 e 。+ 1 q ( 慨 n 时的误差估计首先证明一个引理 引理3 2 ：在条件( 1 2 ) 一( 1 3 ) 2 _ t ，单步目方法( 3 1 ) 的解 咖。) 满 足 l i m 妒n = u n _ o o 证明：当扎 时，令 b 6 = 币 i 母一坠l 6 ) 第3 章单步自一方法 g ( p ) ：妒。+ h 盯( 妒。) + ( 1 一日) 7 ( 西) ) 那么对v u 口b a 、有 g ( u ) 一g ( ) l = l ( 1 一目) ，( u ) 一 ( 1 一e ) f ( v ) l 纠1 叫_ ，( 仃u + ( 1 叫椰嘶刊 s ( 1 一o ) l l u 一”1 当日1 时，选取h 2 = 南：那么在h 2 时，有九( 1 8 ) l n 时， l 咖。+ 1 一塑i 5 ，即。+ 1 岛 由离散方法( 3 1 ) 式知，对有 i 。+ ：一曲。l = lh 6 7 ( 4 , 。) + ( 1 一目) 7 ( t “+ ，) ) l h l ( 3 5 ) 再考虑到( 3 4 ) 式，于是有 l 西，+ l 一型isl 曲，+ 1 一曲i + i 咖一钍l + 1 札一笪i sh l + c 3 h + i “。一u l ( 3 6 ) 由( 3 2 ) 式可知当i 乱w 一型l2 “ 6 时，可以选取 3 = 丢翕譬，使得 h b 时有 i “+ l u l d ( 3 7 ) 同时易见 j 函”一u lsi 毋。一u ，i + 1u 。一型j 。一型) j0 由( 37 ) 式及( 3 8 ) 式可得 i 盯函+ 1 + ( 1 一盯) 型一型i 占 l 盯莎+ ( 1 一盯) 型一u l 占 那么，注意到( 1 9 ) 式有 7 7 ( 口击+ 1 + ( 1 一盯) 世) 一a 0 7 7 ( 口妒+ ( 1 一盯) 型) 一a 0 所以 ( 1 + h ( 1 一日) a ) ( 咖。+ 1 一u ) ( 1 一九8 a ) ( 。一u ) 于是 l 西“+ 一些f 丁揣i 妒。一些i = ( 1 一i 端) i 。一些 e 再前毒打赢i 妒一盟i n ，都有 口。一墅jse 爿删 曲。一坠| 6 第3 章单步日一方法 那么当 h 3 时由归纳假设，并注意到( 3 6 ) 式可以得到 击。+ 1 一型i 冬l 西。+ 1 一妒。l + i 西。一u l 茎h l + e 再币：茚瓢l 咖。一堕l n 时有 i 曲。一u l n 成立 l 盯西。+ ( 1 一口) 坠一u l 6 盯曲。+ 1 + ( 1 一盯) 丛一u l 5 此时再由( 1 9 ) 式有 了7 ( 盯咖。+ 1 + ( 1 一口) 笪) 一a 0 77 ( j 曲。+ ( 1 一口) 坠) 一a n 、当h r a i n h 2 ， 3 时 。+ 1 一旦= 毋。一些+ e h t ( 毋。) + ( 1 一日) 7 ( 曲。+ 1 ) 一h 7 ( 堕) = 1 + o h 7 ( 盯曲。+ ( 1 一盯) 型) d 仃) ( 咖。一型) + ( 1 一e ) h 77 ( 盯庐。+ l + ( 1 一盯) 墅) d 盯( 咖。+ 1 一型) 即 ( 1 + h ( 1 一日) a ) ( 妒。+ l u ) ( 1 一九口a ) ( 札一u ) 所以 i 咖+ 1 - - u l 揣 型i ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) 黑龙江大学硕士学位论文 n m 、1 2 1 1 一r 可二百丽j i p ” e 丁：百皇钉瓜i 驴。一笪l u ( 。 一f n 一+ 1 、h n 考虑 = 日【7 ( 。) 一了( u 。 ) + ( 1 一口) ( 7 ( + 1 ) 一7 ( u 。，。) ) ) + r 。 = ( 1 0 ) h e 。+ 1 了( 盯d 。+ 1 + ( 1 一盯) u 。+ 1 ) d 盯 + 目 e 。了( 盯西。+ ( 1 一盯) 让。) d a + r 即 1 一( 1 一e ) h 7 ( 盯毋。+ 1 + ( 1 一盯) u 。+ ，) d 盯) 。+ 1 p l = 1 + 8 h ，( 口西。+ ( 1 一盯) ) d 盯) e 。+ 心， 由引理3 2 中( 3 1 0 ) 式及( 3 1 1 ) 式，当h m i n h 2 ，h 3 ) 时可得 ( 1 + h ( 1 一口) a ) e 。+ 1 ( 1 一九p a ) e 。+ 巩 即 h s 揣h i + 志刚 一1 6 第3 章单步8 一方法 _ c 1 一百崇丽肛扑再杀丽吲 ( 1 一志一乳i + 百杀丽 ( 1 一耳拦丽) 陬- 础 - 一 ( 1 一耳拦丽r 肿去m a x 俐 e 掣群+ 去m a x 吲 于是由( 34 ) 式及引理3 1 可知 c n + 1 一u 。+ 1 l n ) 综合1 ) 2 ) 可知，定理3 1 的结论成立，即 i 丸一u 。i c h ，n = 0 ，1 ，- 类似于定理3 1 的证明，我们同样还能得到如下的稳定性结论： 定理3 2 ：在定理3 1 的条件下，如果 咖。 ， 母。) 分别是单步e 一方 法( 3 1 ) 的两个解，初值分别为，妒o ，满足 l 审。一2 5 0 l 岛 与 i 咖一u o i c o h 那么，我们有 l 曲。一九j c h ，n = 0 ，1 ，- 其中c o ，c 都是与h ，无关的常数 事实上，当离散方法( 3 1 ) 中的参数口取到某个特定的值的时候定理 3 1 的结论还能够得到改进 黑龙江大学硕士学位论文 推论3 1 ：在条件( 1 ，2 ) ( 1 3 ) 之下，若问题( 117 ) 的解c 3 初始 值o 。满足 妒。一u o i c t o 。 那么当方法( 3 1 ) 中的参数目= i 2 时，单步目一方法( 31 ) 的解 “) 就 能够有如下的长时间误差估计式 io 。一让。f 0 ，0 ，j = 0 ，l ，t ，一1 岛0 ，j = 0 ，1 ，k 一1 ( 4 1 ) ( 4 2 ) ( 4 3 ) 并且曲n 为u n = u ( t 。) ，t 。= n h 的逼近同样选取t 的值，使得对 a 7 ( 不妨设n2 ) ，有r = t 。= ，那么当n n 时，可以有 一u i 6 ( 4 4 ) ，( u n ) 一a 0f 4 5 1 定理4 1 ：在条件( 1 2 ) ( 1 3 ) 2 ：- y ，设o n e - l e g 方法( 4 1 ) 的系数满足 条件( 4 2 ) 及( 4 3 ) 且其相容阶为q ，若方法( 4 1 ) 还满足 。攫臣。i 咖一i c 0 h ”1 那么o n e - l e g 方法( 41 ) 的解 ) 就有如下的长时间误差估计式 毋n u 。i c h q 一1 ，礼= 0 ，1 并且当n 一。时，解 ) 也能够收敛到( 1 1 7 ) 的平衡点型其中c o c 是与 无关的常数 证明：为证明定理的结论，仍然需要分别在有限时域和无限时域上 作估计误差 1 9 曲岛 。间 吁 i i 九 。瑚 q 。间 | j 岛 。瑚 黑龙江大学硕士学位论文 1 ) 首先讨论有限时域t t 即n 上的误差估计 由已知方法( 4 1 ) 的相容阶为q ，即 令e 。= 曲。一乱。，则将上式与( 4 1 ) 式作差有 即 = h = h 岛。+ ，) + 风+ k ( 。t 一风 f7 协岛+ ( 1 一岛) d 盯) 钳 。 j = oj = 0 k - 1 ，1 k k = ( 坞f 孙岛+ j + ( 1 一口) 岛乱嘶) d 盯q ) ，+ 风+ 。 由于系数q k ，风满足( 4 2 ) ，( 4 3 ) ：则当风0 的时候，对于常数u ( o u q e ) 可以选取h ，2 鼍痘产，那么在h 筻4 章o n e ，l e g 方法 = ：= ；= ；= ；= ；= ；= ；= ；= ；二；= 于是 f n 、一jj 1 l ) 三? 1 一 l ，。 曼nl 序l 盯即。，+ ( 1 一帆+ ，) 加。，1 7 = 0 7u j = 0 j = u n 时的误差估计仍然要先来证 明一个引理， 黑龙江大学硕士学位论文 足 引理4 1 ：在定理1 41 1 的假设下，o n e l e g 方法( 41 ) 的解 ) 满 证明：当n 时，令 自b 么对v uu b d 有 l l l t l9 n = 型 1 g l u ) 一g ( u ) 【 一去讯跏+ 篆岛。帅) 一去圩( 凤善岛“川 茎芸协“+ 萎k - 1 州刊慨薹k - 1 黼c u 一 茎二生 l l u 一。| 令h 。 赞则当h n 时 有ip 。k 一些j 6 由( 46 ) 式可知对0 ， k 一1 ，仍然可以成立 则 c n + j u + j 兰c h q - 1 。墨鐾。jc n + ，一型f s o m j _ 觚k - li 曲+ ，一“+ ，l + 。s m ，a 女x li 让”+ j 一些i ! i ，一毗 一 卅 岛 曲舢 + 刊 好 驯土瓯 = | | 岛 g 第4 章o n e - l e g 方法 c h 。一1 + 。跺1 | “+ ，一塑 注意到系数满足( 4 2 ) ( 43 ) 式，可得 于是 那么，由( 4 7 ) 式 h l + 。婴1 圹型l ( 一哟) s 九l + q o 黑1 | w + j 一型l 九l + q 七( g 一+ o m ， a x l 札如一型1 ) 凫l + a k c h q - 1 + o e k o m ， a k x 一1 ju + j 一些i 于是由( 4 4 ) 式知，可以选取h 3 ，使得当h b 时有 再考虑到( 4 7 ) 式，可有 西+ e 一型l 5 f 4 7 1 ( 4 8 ) ( 4 9 ) 。g m s s , x l 1 西w 卅一些i 5 ( 4 1 0 ) 不仅如此，我们还能得到 i “+ k - _ u l ( 1 一百而h a 丽) 6 2 3 岛 。舢 一， h | | u 一 一 - ，9 。脚 让一 一 卜 ：豆 + 可 岛 。瑚 酊 u 一 一 + 口 一 ! 豆 + l 一 坠 一 + ，o 黑龙江大学硕士学位论文 成立事实上 ( 。一反hf 17 如k 岛j + ( 1 刊刚州。刊 = ( 岛 f 确岛垛钾+ ( 1 一盯) 型) 如_ ) ( 丸圹旦) j = o 。o j = 0 由( 4k 9 ) ，( 4 1 0 ) 易见 那么由条件( 1 9 ) 可知 选取h 5 。爨n 。 磬) ，当 九t 时，即可有 0 一z j h l 一 鹕肛c 。妻坤叫蛐一 一h 8 ) ) 、一n ， 一 竹 岛 。脚 出 缸一 一 恒 + 一 哪 一， 扎 力 易 + 、0 “。间 岛 p。脚。y ，；双，厶 l l = 即 r 0 u 一 一 + 吩 。瑚 盯 | j 堕 一 u 一 盯一l+ + n 岛 。御 盯 一 u 一 盯一+ + 岛 。舢 盯 一， 第4 章o n e - l e g 方法 于是 因此 ( b + h a g 女) l 。一k 一型l 二( 一九岛a 一哟) l 妒。+ j 一型 0 + 一塑l 1 一 k 一1k - 1 n 0s j k l 有 j 一型i ( 1 一可h , x m 仇- - ，) 掣】。爨1 一型j d ( 其中【1 表示取整) 那么，由 k k 哟( n 押一笪) = 巧( 岛) 】一o j = o 有 k 一1 。k ( 。一k 一型) = 7 ( 岛移。卅) + ( 一q ) ( 。 一型) j = o - j = o 于是 k - 1 q 2 + 女一型| s 札q - 。蜓m a xf 却一盥i ( 一哟) 由归纳假设，有 慨t 一丛j 尝+ m a x o +，一型j_jk-1o k 7 j2 i 黑龙江大学硕士学位论文 ，h l 。，h a 、f 测 ， i + ( 1 一百可。) r l m a x i c + n + t z a j ko _ j _ k - 1 j 一型 0 = *+ 。 一 考虑到( 4 8 ) 式，当h h 3 时有 进而考虑 西n + 女一些i 占 = h ：7 7 口j = o 岛曲n + ，+ ( 1 一口) 型) d 口j = o 岛( n + ，一些) 即 ( n k 一愚凤f7 岛毋。+ ，+ ( 1 一型) 曲) ( 西州一堕) j 0 j = 0 = ( 九岛f 7 7 ( 盯岛咖。+ j + ( 1 一一) 型) 曲一哟) ( “+ ，一型)( 41 1 ) ，= 0 。u ，= 0 由于 盯岛+ ( 1 一盯) 型一些f = 盯f 岛( 圹型) ，2 u j = o s 盯岛+ ，一型i 5 j = o 则由( 1 9 ) 式可知 7 协岛+ j + ( 1 一仃) 型) 一a 0 由于h h 4 时，同样有 0 一6 3 h l a 3 u 一 一， h一 +n曲岛 。瑚 一， h + n 、。 o 。!亘 第4 章。n 1g 方法 那么由( 41 1 ) 式可得到 于是 ( a + h 凤a ) l 西。+ k 一些i k - 1 k - 1 哟m 蚰a x ，切一笪f ( ( 一q ，) 一鸲a ) j = o j = o 。墨鍪l j 奴一一型( 一( 1 一展) 从) p n + k u i q k 一( 1 风) a + 凤ao g m a 女x 一1 曲n + ，一盥 _ ( 卜高) 。 蚴j ，0 is 1 有 l 叫j ( 卜靠) 掣1 。墨1 帆圹小d 譬三2 。可知存在。( osi 。一1 ) ，使得札+ i 。一：仉女，其中m 为 非负整数，并且有 。 ! 。 z 叫 ( 1 一诵h k ) 一1 。爨，圹蚍o i 鼠 【一小( 卜赫) ”。爨，却叫，蜓i s 女一l 于是，当2 。0 时，即【旦云盟】= m 时 k 一型j 冬( 1 一确h a ) 。爨，j 一到 1 。诵h a ) ( 1 一嵩尸。爨，一鲋 岛 。间 妒 嘶叫姆 黑龙江大学硕士学位论文 = ( 卜i 丽h aj 州。器i 】。h 一堕l 2 l 卜i 而o 当婪i 一驯 邓一高) 芈1 。墨，1 。- + j - u i 当0 如k 一1 时，即【必每型 = m 时 g n + k - - 划s ( 1 一渤) 。婴，i 审”十j 一必 ”淼) ( 1 一淼) m - 1 。婴。矿鲋 = ( 1 一拣) “。爨：+ ，刊 邓一鼎) 掣1 。蟋m a x 圹到 此即 扩小( 卜浅) 5 半。 - - i k m a x 。圹旦l“一些i ( 1 一i 再丽j 一。 + ，旦 n 有 于是 此时可有 1 盯岛毋州+ ，= 0 墨a 岛+ ，一 ，= 0 o 于是h h 4 时 即 岛u n + ，一些i k 堕i + ( 卜仃) 岛卅一堕 j = o k i ( q k + h 邶k ) le n + k is ( 一坞a 一) i s 。+ j l + 凰+ k ，= o 2 9 1 丽 风+ * 础 d u 岛 。舢 仃 一十 可 _ g 岛 。倒 盯 一， ， 麒 乃一 卧 牲 + 钉 n碡 吗 一盯d n u 岛 。触 力 一十 o 岛 。脚 一， r ，儿 岛 f f 。脚 、) 盯 1 ，l o 一 +n 岛 。芦 口 l+ + n 0 岛 。脚 盯 一， + + 竹 n 一盯d +n u 岛 。间 盯一+ 可 岛 。：豆 “ 沁“p 颤上 m 旧 脚 一 器 d 从一 黑龙江大学硕士学位论文 t ( 1 一志) 【掣】岣m 步a x ，h 一+ 赢m a x 陬* i ”( 1 一志) + + ( 1 一磊h a w 。) 一 s ( 1 一蕊h a ) f 半】。婴。f j f + 去m a x f + 引( 4 1 2 ) 事实上，类似于引理4 1 的证明，同样可以用归纳法来证明上面的第 三个不等号是成立的 当n = 时，有 ie n + | ( 1 一i ) 。爨。h 蚓+ 志川 ( 1 一丽h a ) 。( j m & h xi 十j i + 丽1 m a x i r + k 1 3 ) 那么当扎= n + l 时 ：。+ 。+ * i s ( 1 一夏_ 举；蠢) 。s m ，；a 。x 一，is ，+ ，+ ，i + 盖了丽1 i r 。+ ，+ t 由于当0 茎j 女一2 时，有 5 w + 1 + j i s 。s m j ! a k x l i5 w + ，i 一。蜓m a xh 刊+ 志m a x i 如+ t 丽当，= 七一1 时，即( 4 1 3 ) 式成立总之有 。统m a h xi t 矧。蛾m a 纠x i ，j + 瓦击甄m 缸j r + * 第4 章o n e 1 e g 方法 于是 i n + j + 【 ( 1 一i ) 0 墨鍪。i 啊，i + + 志l r n + l + k l n + 1 ，0 曼is 一l 有 刊 ( 4 1 5 ) 当0si i o 时， z fs ( 1 一而h a ) 一。爨，i g n + j i 3 l 黑龙江大学硕士学位论文 一一志m a x 一 1 + ( 1 一而h a ) + + ( 1 一丽h a ) 呻 驯归纲1 阪议1 4 1 4j 岢形r 于( 4 1 5 ) 瓦利1 4 1 6 ) 瓦十是 当i o = 0 时，即 旦 _ m ，有 h 一 ( 1 一丽h a ) 心m 争a x ，i 坼志i 忍+ t s ( 1 一丽h a ) ( 1 一丽h a ) ”。爨，h + ， 十志m 觚l 霸一( 1 十( 1 一丽h a ) + + ( 1 一熹) ”。) ) + 志t i ( 1 一蕊h a ) 【芈) 。器，i e 巾l + 志m a x l 取一( 1 + ( 1 一而h a ) + + f 1 一 当0 i o k 一1 羔) n - ) q k + h ) 、8 k j j 时，由( 4 1 5 ) 式和( 4 1 6 ) 式可知 坼躯( 1 一蕊h a ) 唆m 垫a x ，i 钳。i + 志j r + e i ( 1 一d ) ( 1 一丽h a ) 。婴，i 却 + 蕊1m a x i 凡+ * l ( 1 + ( 1 一丽h a ) + + ( 1 一蕊h a ) “ 1 _ ) ) + 口k + a 凤 熹)【驻黜。蚓maxh),zk 一1h 切 七+ 7 0 j s k l 。+ j 一3 2 一 f 4 1 6 1 第4 毒o n e 1 e g 方法 + 志m a x 陬一( 1 ( 1 一i ) - ， ”一) n _ ) 综合上述两种情况有 - 一丽h 2 ) f ! 掣】。g m ! a h x h 一 十志m a xi 届+ t f z + ( ，一五_ 壬；矗) + + ( 1 靠广”) 此即( 41 2 ) 中的第三个不等号是成立的，而( 4 1 2 ) 中的第四个不等号成 豆是显然的 考虑到( 4 6 ) 及定理条件，由( 4 1 2 ) 式可有 刊 c l h q - l ( 一d ) i 芈 + 去m a x 陬* sc 2 h q 一1 综合1 ) 、2 ) 可知， i5 。l c h q - 1 礼= 0 ，l ， 于是定理4 1 得证 同样类似于定理41 的证明，我们还能得到下面的稳定性定理： 定理4 2 ：在定理4 1 的条件下，设( 咖。) ， ) 分别是o n e l e g 方法 ( 4 1 1 的两个懈，满足 。匀m a k x 一。i 奶一 c o “。“ 与 。当墅1 i 奶一嘶i c o b 口一1 那么，我们可以有 毋。一妒。i e 九日一1 ，仡= 0 ，l 一3 3 黑龙江大学硕士学位论文 其中岛c 都是与h “掣。无关的常数 本章小结 本章主要考虑应用o n e l e g 方法来构造初值问题( 1 17 ) 的数值逼近 格式( 4 1 ) ，在定理4 1 及定理4 2 中分别得到了数值解的长时间收敛性 和稳定性并且从结论中可以看出，o n e - l e g 方法可以提高数值解的收 敛速度 结论 结论 本文主要应用几种不同的方法讨论了一阶自治常微分方程初值问题 数值锯的长时间稳定性和收敛性在从有限时域向无限时域的过渡中， 主要应用了压缩映像原理和数学归纳法实际上，还可以考虑用其它的 方法来解决这类问题，比如龙格库塔法，线性多步法等而线性多步法与 本文中用到的o n e l e g 方法是有密切联系的最后还要给出一点说明： 文中用光滑函数，代替了原函数，这种替换虽然不会影响到精确解， 但是会先验的影响到离散解而事实上，当步长取到足够小的日寸，这是 不会发生的因为 io 。；sip 。一u 。l + l u 。i 兰c h q 一1 + m c h + m m + 1 所以，( ) = ，( “) 也就是说，文中的所有讨论对初值问题( 1 1 ) 也是 成立的 下面将要给出一个例子 例：考虑如下自治常微分方程的初值问题 fu = c o s ( 札) ，0 t + 。， i u j b o = 0 容易得到该方程的平衡点为u = 霄2 ，那么当t 0 0 时，方程的解 u ( 。) = 螂1 n ( 1 一南) 可以满足 恕u ( ) 2 坠 并且 ，( 笪) = 一1 0 采用显式e u l e r 法( 2 1 ) 来计算方程的数值解 黑龙江大学硕士学位论文 取初值。o = 0 、步长 = oi 时，计算的结果见表1 由得到的数据可以看出，当时间t 一时，数值解快速的收敛 到方程的解“。当采用单步8 一方法和o n e - l e g 方法时也能得到同样的 结果，并且此时离散解收敛到方程的解的速度要比e u l e r 方法还要快 表1 ：数值解如与方程的解u 。的比较 t n中” u n“ 0504 8 5 4 9 5 4 1 4 3 8 4 9 6 5 2 0 4 8 0 3 8 1 0 7 9 1 3 3 7 2 9 4 651 1 4 3 4 1 0 3 l0 8 7 9 9 6 0 2 2 3 2 7 6 0 9 0 1o 8 6 5 7 6 9 4 8 3 2 3 9 6 5 8 5 1 4 1 9 0 7x1 0 2 1 51 1 5 0 2 8 7 1 5 2 1 4 1 8 5 0 3 1 1 3 1 7 2 8 3 4 5 2 5 0 5 0 9 41 8 5 5 8 8x1 0 2 21 3 1 9 6 8 4 2