（基础数学专业论文）量子态的可分性与纠缠度量.pdf

摘 要 量子纠缠在量子信息中起着重要作用。 然而纠缠态的物理特点和 数学构造还不十分清楚。 我们研究了量子态的可分性和纠缠度量。 一 方面致力于寻找刻画可分态的方法并给出了判别混合态可分的一些 必要条件。 纯态的可分性很好理解， 然而对混合态而言， 还没有一个单 一可行的方法确保能判别出己知的每一个纠缠态的纠缠性。 首先我们 利用正算子研究量子系统中混合态的可分性。 一个纯态的密度矩阵由 下 式 给 出 : p 一 盖 喘 肠 十 叔 ) ， 其 中 又 一 林 1 , . . . , ),n2-1 ) 且 入 1 , - - - , ) n z - ; 是 s 州n ) 的生成元， 肠是单位矩阵。 众所周知， 当 t ;是 3 维实向 量时， 即 r 为 b l o c h 向 量， p 是 纯 态的 充 分 必 要 条 件 是 回=1 。 如果 提 实 ( n 2 - 1 ) 维 的向 量， 尸 和同之间的关系尚不清楚。我们给出了两者之间的解析 表示。在此基础之上，证明了:若两体量子系统中的混合态可分， 则和厄米矩阵相关的量是正的。 进一步，我们研究了多体量子混合 态的可分性。证明了若多体量子系统中的混合态可分，则和厄米矩 阵相关的量是正的， 这个量与两体量子系统中的量不同。另外我们 利用迹范数研究了两体和多体量子系统中混合态的可分性。首先考 虑 r 1 x r 2 量 子 系 统 混 合 态 的 可 分 性 ， 构 造 矩 阵 几 ， 其 矩 阵 元 由 玛 次- 毕t r (p , ,a , 衫 ,) . a jz ) 所 确 定 ， 其 中 ， : ，和 * : ，分 别 是 s u ( r 1 ) 和 s u ( r 2 , 的 生 成 元。 证明了 : 若量子 混 合 态 可 分， 则 矩阵 r ， 的 迹范 数不 大 于 某 个常量。 然后我们将此结论推广到了多体量子系统。 另一方面我们主要考虑纠缠的度量。 j .l . c h e n e t a l .在p h y s . r e v a 6 5 , 0 4 4 3 0 3 ( 2 0 0 2 ) 中， 给出了 一个测量来刻画两个 q u b i t s 纯态的 纠 缠度。 我们将此结果推广到2xn量子系统，并给出了 2 xn 量子系 统混合态的纠缠形成的精确下界。 而且对两体和多体量子系统我们 分别定义了广义的“ 测量” 来判别纯态是可分或是最大纠缠。 对两体 纯态而言， v o n n e u m a n n 嫡是一个很好的纠缠度量。 近几年， 己提出 了大量的纠缠度量来刻画纠缠。 我们主要讨论纠缠形成。 尽管纠缠形 成对任意维的两体系统都有定义， 但到目 前为止， 除了一些特殊的对 称态， 对维数大于2 的量子系统， 还没有找到纠缠形成的精确的解析 表示。 我们研究了高维量子混合态的纠缠形成， 讨论了三种不同的情 况 。 令 a 表 示 矩 阵 元 由 伸 ) 二 e 黔 一 ， a ,j e i . e j 中 的 a il 确 定 的 矩 阵 ， 我 们 首先考虑a a t 仅有两个代数重数相同的非零本征值的情况， 给出了 能写出这类任意维的棍合态纠缠形成的精确下界的条件，并算出了 此下界。 然后我们考虑另外两种情况。 一种情况是a a t 仅有两个代数 重数不同的非零本征值， 另一种情况是a a t 有多个代数重数相同的非 零本征值。 关键词: 量子纠缠， 可分， 密度矩阵， 纠缠形成， 广义c o n c u r r e n c e ab s t r a c t q u a n t u m e n t a n g l e m e n t h a s p l a y e d a v e r y i m p o r t a n t r o l e in q u a n t u m i n f o r m a - t i o n . h o w e v e r t h e p h y s i c a l c h a r a c t e r i s t i c s a n d m a t h e ma t i c a l s t r u c t u r e s o f e n t a n - g l e d s t a t e s h a v e n o t b e e n w e l l u n d e r s t o o d . we i n v e s t i g a t e s e p a r a b i l i t y a n d m e a s u r e o f e n t a n g l e m e n t f o r q u a n t u m s t a t e s . o n t h e o n e h a n d , w e d e v o t e t o fi n d m e t h - o d s t o c h a r a c t e r i z e t h e s e p a r a b l e s t a t e a n d p r e s e n t s o m e n e c e s s a r y c o n d i t i o n s f o r s e p a r a b i l i t y o f m ix e d s t a t e s . f o r p u r e s t a t e s t h e s e p a r a b i li t y i s q u i t e w e l l u n d e r - s t o o d . h o w e v e r f o r t h e c a s e o f m i x e d s t a t e s ， n o s i n g l e p r a c t i c a l p r o c e d u r e t h a t c a n b e g u a r a n t e e d t o d e t e c t t h e e n t a n g l e m e n t o f e v e r y e n t a n g l e d s t a t e s h a s b e e n f o u n d . f i r s t l y w e i n v e s t i g a t e s e p a r a b i l i t y o f m i x e d s t a t e s v i a p o s i t i v e o p e r a t o r . t h e d e n s i t y m a t r ix o f a p u r e s t a t e is g iv e n b y ， 二 2 ( n i x + r a ) , w h e r e i x i s i d e n t i t y m a t r ix , a =( a l - - - a x : 一 : ) a n d a 7 , . . . , a x n _ 1 a r e g e n e r a t o r s o f s u ( n ) . i t is w e ll k n o w n t h a t w h e n r i s a r e a l 3 - d i m e n s i o n a l v e c t o r , i .e . a b l o c h v e c t o r , a s t a t e p i s p u r e i f a n d o n l y i f irl=1 . b u t t h e r e l a t i o n b e t w e e n p a n d irl i s n o t c l e a r f o r t h e c a s e t h a t r i s 二 。 a l ( n 2 一1 ) - d i m e n s i o n a l v e c t o r . w e p r e s e n t a n a n a l y t i c a l e x p r e s s i o n o f t h e r e l a t io n . b a s e d o n t h i s c o n c lu s i o n w e s h o w t h a t s o m e q u a n t i t y i n r e l a t i o n t o h e r m i t i a n m a t r i x i s p o s i t i v e i f a q u a n t u m s t a t e i n a b i p a rt i t e s y s t e m is s e p a r a b l e . f u rt h e r m o r e w e i n v e s t i g a t e s e p a r a b i l i t y o f m u l t i p a r t i t e q u a n t u m m i x e d s t a t e s . i f a q u a n t u m s t a t e i n a m u l t i p a r t i t e s y s t e m i s s e p a r a b l e , w e s h o w t h a t s o m e q u a n t i t y i n r e l a t i o n t o h e r m i t i a n m a t r i x w h i c h i s d i ff e r e n t f r o m t h e c a s e o f b i p a r t i t e s y s t e m s i s p o s i t i v e . m o r e o v e r w e i n v e s t i g a t e s e p a r a b i li t y o f m ix e d s t a t e s i n b ip a r t i t e a n d m u lt i p a r t i t e q u a n t u m s y s t e m s v i a t r a c e n o r m . we fi r s t c o n s i d e r t h e s e p a r a b i li t y o f m i x e d s t a t e s i n r l x r a q u a n t u m s y s t e m s . l e t 几d e n o t e t h e m a t r i x w i t h e n t r i e s g iv e n b y 毗 翼 一 毕t , (p , ,a a a 。 理) ， w h e r e 淤a n d 摺a r e g e n e r a t o rs o f s u ( r j ) a n d s u ( r z ) , r e s p e c t i v e ly . w e s h o w t h a t t r a c e n o r m o f 几i s l e s s t h a n o r e q u a l t o a c o n s t a n t i f a q u a n t u m s t a t e i s s e p a r a b l e . t h e n w e g e n e r a li z e t h e r e s u l t s v t o m u l t i p a r t i t e q u a n t u m s y s t e m s o n t h e o t h e r h a n d , w e c o n s i d e r m e a s u r e o f e n t a n g l e m e n t . a m e a s u r e t o q u a n t i f y t h e d e g re e o f e n t a n g l e m e n t f o r t w o q u b i t s i n a p u r e s t a t e is p r e s e n t e d in p h y s . r e v . a 6 5 , 0 4 4 3 0 3 ( 2 0 0 2 ) 勿j . l . c h e n e t a l . we g e n e r a li z e t h e i r r e s u l t s t o 2 x n q u a n t u m s y s t e m s . a n e x p li c i t l o w e r b o u n d o f t h e e n t a n g le m e n t o f f o r m a t i o n f o r q u a n t u m m i x e d s t a t e s o f 2 x n q u a n t u m s y s t e m s is o b t a in e d . m o r e o v e r f o r b i p a r t i t e a n d m u l t i p a r t i t e q u a n t u m s y s t e m s a g e n e r a l i z e d m e a s u r e i s r e s p e c t i v e l y p r e s e n t e d t o j u d g e i f a p u r e s t a t e i s s e p a r a b l e o r m a x i m a l l y e n t a n g l e d . f o r b i p a r t i t e p u r e s t a t e , a g o o d m e a s u r e o f e n t a n g l e m e n t i s t h e v o n n e u m a n n e n t r o p y . i n r e c e n t y e a r s , a n u m b e r o f m e a s u r e o f e n t a n g l e m e n t s t o q u a n t i f y e n t a n g l e m e n t h a s b e e n p r o p o s e d we m a i n l y d i s c u s s t h e e n t a n g l e m e n t o f f o r ma t i o n . a l t h o u g h t h e e n t a n g l e m e n t o f f o r m a t i o n i s d e fi n e d f o r a r b i t r a ry d i m e n s i o n a l b i p a r t i t e s y s t e m s , s o f a r n o e x p l i c i t a n a l y t i c f o r m u l a e f o r e n t a n g l e m e n t o f f o r m a t i o n h a v e b e e n f o u n d f o r s y s t e m s o f d i m e n s i o n l a r g e r t h a n 2 , e x c e p t f o r s o m e s p e c i a l s y m m e t r i c s t a t e s . we s t u d y t h e e n t a n g l e m e n t o f f o r m a t i o n f o r h i g h e r d i m e n s i o n a l q u a n t u m m i x e d s t a t e s a n d d i s c u s s t h r e e c a s e s . l e t a d e n o t e t h e m a t r ix w i t h e n t r i e s g i v e n妙 a ij i n t h e f o r m o f 110 ) =e 乙 _ i a ;j e ; 。 e p w e fi r s t c o n s id e r t h e c a s e t h a t a a t h a s o n ly t w o n o n - z e r o e i g e n v a l u e s w i t h t h e s a m e a l g e b r a ic m u l t i p l i c i t y . we p r e s e n t t h e c o n d i t i o n s a ll o w i n g t o d e r i v e a n e x p l i c i t l o w e r b o u n d o f t h e e n t a n g l e m e n t o f f o r m a t i o n f o r s u c h k i n d o f a r b i t r a ry d i m e n s i o n a l m i x e d s t a t e s a n d c a l c u l a t e t h e l o w e r b o u n d . t h e n w e c o n s id e r t h e o t h e r s c a s e s . o n e c a s e is t h a t a a t h a s o n l y t w o n o n - z e r o e i g e n v a l u e s w i t h d i ff e r e n t a l g e b r a i c m u l t ip li c i t y , t h e o t h e r c a s e i s t h a t a a t h a s m a n y n o n - z e r o e ig e n v a l u e s w i t h t h e s a me a l g e b r a i c m u l t i p l i c i t y . ke y w o r d s : q u a n t u m f o r m a t i o n , g e n e r a li z e d e n t a n g l e m e n t , s e p a r a b il i t y , d e n s i t y m a t r i x , e n t a n g l e m e n t o f ac k n o wl e d g e me n t s m y t h a n k s g o t o m y t e a c h e r s wa n g z h i x i , f e i s h a o m i n g , wu k e a n d c h e n j i a n a i . t h e y g iv e m e a g r e a t d e a l o f a d v i c e , e n c o u r a g e m e n t a n d h e l p . i a l s o g r a t e f u ll y a c kn o w l e d g e s u p p o rt fr o m m y h u s b a n d a n d a ll o f m y fr i e n d s . t h i s w o r k is s u p p o rt e d b y t h e n a t i o n a l n a t u r a l s c i e n c e f o u n d a t i o n o f c h i n a u n d e r g r a n t n o . 1 0 2 7 1 0 8 1 a n d t h e n a t u r a l s c i e n c e f o u n d a t i o n o f b e ij i n g u n d e r g r a n t n o . 1 0 4 2 0 0 4 . i i n t r o d u c t i o n q u a n t u m e n t a n g l e d s t a t e s h a v e b e c o m e t h e k e y i n gr e d i e n t i n t h e r a p i d l y e x p a n d - in g fi e l d o f q u a n t u m in f o r m a t i o n s c i e n c e , w i t h r e m a r k a b l e p r o s p e c t i v e a p p li c a t i o n s s u c h a s q u a n t u m t e l e p o r t a t i o n 1 , q u a n t u m c ry p t o gr a p h y 2 , q u a n t u m d e n s e c o d i n g 3 a n d p a r a l l e l c o m p u t i n g 4 . q u a n t u m e n t a n g l e m e n t c a n b e e x p r e s s e d a s f o l l o w s : i f t w o s y s t e m s i n t e r a c t e d i n t h e p a s t i t i s , i n g e n e r a l , n o t p o s s i b l e t o a s s i g n a s i n g l e s t a t e v e c t o r t o e it h e r o f t h e t w o s u b s y s t e m s . h i s t o r i c a ll y , e i n s t e i n , p o d o l s k y a n d r o s e n ( e p r ) 同a n d s c h r o d i n g e r 8 f ir s t r e c o g n i z e d e n t a n g l e m e n t . t h e e p r c r i t i c i s m w a s t h e s o u r c e o f m a n y d i s c u s s i o n s c o n c e r n i n g f u n d a m e n t a l d i ff e r e n c e s b e t w e e n t h e q u a n t u m a n d c l a s s i c a l d e s c r i p t i o n s o f n a t u r e . t h e m o s t s i g n i f i c a n t p r o gr e s s t o w a r d t h e r e s o l u t i o n o f t h e e p r p r o b l e m w a s m a d e b y b e l l 7 . i n f o r m a t i o n - t h e o r e t i c a l a s p e c t s o f e n t a n g l e m e n t w e r e f i r s t c o n s id e r e d 勿 s c h r o d i n g e r . h e r e c o g n i z e d a p r o- f o u n d l y n o n c l a s s i c a l r e l a t i o n b e t w e e n t h e i n f o r m a t i o n w h i c h a n e n t a n g l e d s t a t e g i v e s u s a b o u t t h e w h o l e s y s t e m a n d t h e i n f o r m a t i o n w h i c h i t g i v e s u s a b o u t t h e s u b - s y s t e m s . t h e r e c e n t d e v e l o p m e n t o f q u a n t u m i n f o r m a t i o n t h e o ry h a s s h o w n t h a t e n t a n g l e m e n t c a n h a v e i m p o r t a n t a p p l i c a t i o n s . h o w e v e r t h e p h y s i c a l c h a r a c t e r a n d m a t h e m a t i c a l s t r u c t u r e o f e n t a n g l e d s t a t e s h a v e n o t b e e n w e l l u n d e r s t o o d . t h e r e a r e t w o im p o rt a n t p r o b l e m s f o r e n t a n g le m e n t . o n e i s t o fi n d a m e t h o d t o d e t e r m i n e w h e t h e r a g i v e n s t a t e i s s e p a r a b l e ( o r n o t e n t a n g l e d ) , a n d t h e o t h e r is t o d e fi n e t h e b e s t m e a s u r e q u a n t i f y i n g 二 a m o u n t o f e n t a n g l e m e n t o f g i v e n s t a t e . i n o r d e r t o s o l v e t h e s e p r o b l e m s , m u c h e ff o rt h a s b e e n m a d e . f o r t h e c a s e o f p u r e s t a t e s , d e t e r m i n i n g w h e n a g i v e n s t a t e is e n t a n g l e d is v e ry e a s y , s i n c e it is b a s e d o n p r o p e rt i e s o f t h e s c h m i d t d e c o m p o s i t i o n o r , e q u i v a l e n t l y , t h e r a n k o f t h e r e d u c e d d e n s i t y m a t r i c e s , w h i c h c a n b e c o m p u t e d v e ry e f fi c i e n t l y . h o w e v e r , f o r 七 h e c a s e o f m i x e d b i p a r t i t e s t a t e s , n o s i n g l e p r a c t i c a l p r o c e d u r e 七 h a t c a n b e g u a r a n t e e d t o d e t e c t t h e e n t a n g l e m e n t o f e v e ry e n t a n g l e d s t a t e h a s b e e n f o u n d . i n 8 w e r n e r fi r s t p o i n t e d o u t t h a t s e p a r a b l e s t a t e s m u s t s a t i s fy a l l p o s s i b le b e l l i n e q u a l i t i e s . p e r e s 例d i s c o v e r e d a v e r y s t r o n g n e c e s s a ry c o n d i t i o n f o r s e p a r a b i l i t y . we c a ll i t p o s i t i v e p a r t i a l t r a n s p o s i t i o n ( p p t ) c r i t e r i o n . u s i n g m a t r ix e l e m e n t s o f a s t a t e i n s o m e b a s i s t o d e fi n e p a r t i a l t r a n s p o s i t i o n p - p ,-=( m 。( 1 1 1 p n ) ， ) ， w h e r e t h e k e t w i t h l a t in ( g r e e k ) l e t t e r s f o r m o r t h o n o r m a l b a s i s i n h i l b e r t s p a c e d e s c r i b i n g fi r s t ( s e c o n d ) s y s t e m r a , ( ? -t a , ) . h e n c e t h e p a r t i a l t r a n s p o s i t i o n o f p i s d e fi n e d a s : t a ip +n v .n ， 一 际 ， ， 伽 t qp . 1 - ( p m p ” 一、 。 办 p e r e s p r o p o s e d t h a t p a r t i a l t r a n s p o s i t i o n w i t h r e s p e c t t o o n e s u b s y s t e r n o f d e n s i t y ma t r i x f o r a s e p a r a b l e s t a t e i s p o s i t i v e , i .e . , h a s n o n - n e g a t i v e e i g e n v a l u e s . t h i s w a s i m m e d i a t e l y s h o w n b y h o r o d e c l d e t a l . 1 0 t o b e s u f f ic i e n t f o r 2 、 2a n d2 x 3 b ip a r t i t e s y s t e m s . a n o t h e r c r i t e r i o n i s c a l l e d t h e r e d u c t i o n c r it e r i o n 1 1 1 2 : i f p i s s e p a r a b l e , t h e n p a j 0 1 一 p f ), 1 . p a ， 一 p ? 。 . n i e l s e n e t a l . 1 3 p r e s e n t e d a n o t h e r n e c e s s a r y c r i t e r i o n c a l l e d t h e m a j o r i z a t i o n c r i t e r i o n : t h e d e c r e a s i n g o r d e r e d v e c t o r o f t h e e i g e n v a l u e s f o r p is m a j o r i z e d 勿t h a t o f 尹 o r p a , a l o n e 知 a s e p a r a b l e s t a t e . i .e . i f 二 s t a t e p i s s e p a r a b l e , t h e n a lp “ a . a l - 哈, h e r e 味d e n o t e s t h e d e c r e a s in g v e c t o r o f t h e e i g e n v a l u e s o f p . i f e弓 e y i j = 1j =r h o l d s f o r k =1 , ， d - 1 a n d t h e e q u a l i t y h o l d s f o r k =d , w i t h d b e i n g t h e d i m e n s i o n o f 七 h e v e c t o r , w e u s e .x 1 - y 1 d e n o t i n g a v e c t o r x 1 i s m a j o r iz e d b y a v e c t o r y l . z e r o s a r e a p p e n d e d t o t h e v e c t o r s 帐 ， ， ， ， s u c h t h a t t h e ir d im e n s io n s e q u a l t o t h e o n e o f a 吉 i n r e f . 1 4 , a n o t h e r n e c es s a ry c r it e r io n c a ll e d r a n g e c r it e r i o n w a s g iv e n . i f a s t a t e p a c t i n g o n t h e s p a c e h a , a , i s s e p a r a b l e , t h e n t h e r e e x is t s a f a m i ly o f p r o d u c t v e c t o r s 劝 : 必劝 s u c h t h a t ( 1 ) t h e y s p a n t h e r a n g e o f p ; ( 2 ) t h e v e c t o r lip, ; k 1 s p a n t h e r a n g e o f 户， ( w h e r e * d e n o t e s c o m p l e x c o n j u g a t i o n in t h e b a s i s i n w h i c h p a r t i a l t r a n s p o s i t i o n w a s p e r f o r m e d ) . i n p a r t ic u l a r , a n y o f t h e v e c t o r s 叭价 : b e l o n g s t o t h e r a n g e o f p . i t h a s b e e n fr u i t f u l ly a p p l ie d i n s e a r c h f o r p p t e n t a n g l e d s t a t e s . r e c e n t l y s o m e n e w c r it e r io n a r e p r e s e n t e d in 1 5 , 1 6 , w h i c h a r e n e c e s s a r y c o n d i t i o n s f o r a s t a t e t o b e s e p a r a b l e a n d c o m p l e m e n t t h e w e l l - k n o w n p p t c r i t e r i o n i n c e r t a i n a s p e c t s . t h e r e h a s a l s o b e e n c o n s i d e r a b l e e ff o r t i n r e c e n t y e a r s t o fi n d s u f fi c i e n t c o n d i t i o n s f o r s e p a r a b ili t y 1 7 , 1 8 , 1 9 , 2 0 1 . i n a d d i t i o n , t h e p r o b l e m o f fi n d in g s u f fi c i e n t a n d n e c e s s a ry c o n d i t i o n s f o r s e p a r a b i l i t y h a s b e e n s t u d i e d i n r e f . 份 1 ) o n t h e o t h e r h a n d , t h e q u e s t f o r p r o p e r m e a s u r e s o f e n t a n g l e m e n t h a s r e c e i v e d a gr e a t d e a l o f a t t e n t i o n . i n r e f . 2 2 , t h e a u t h o r i n t r o d u c e s e v e r a l r e q u i r e m e n t s w h i c h a g o o d m e a s u r e o f e n t a n g l e m e n t e h a s t o f u l f il l . t h e s e c o n d i t i o n s a r e g iv e n a s f o ll o ws : ( 1 ) v a n i s h i n g 。 。 s e p a r a b l e s t a t e s : e ( p ) 二0 i f p i s s e p a r a b l e . ( 2 ) n o r m a li z a t i o n : t h e e n t a n g l e m e n t o f a m a x im a ll y e n t a n g l e d s t a t e o f t w o d - d i m e n s i o n a l s y s t e m s i s g i v e n b y e ( 理) = l o g d . ( 3 ) n o 二 。 u n d e r l o c c ( l o c a l o p e r a t i o n s a n d c l a s s i c a l c o m m u n i c a t i o 司: e n t a n g l e m e n t c a n n o t i n c r e a s e u n d e r l o c c , i .e . e ( a l o c c ( p ) ) 5 e ( p ) ( 4 ) c o n t i n u i t y : i n t h e l i m it o f v a n i s h i n g d i s t a n c e b e t w e e n t w o d e n s it y m a t r i c e s t h e d i ff e r e n c e b e t w e e n 七 h e i r e n t a n g l e m e n t s h o u l d t e n d t o z e r o , i .e . e ( p ) 一 e ( o ) *0 f o r 11p 一， 11 ，0 ( 5 ) a d d i t i v i t y : e ( p . 0 ) 二。 e ( p ) , p o n d e n o t e s a c e r t a i n n u m b e r n o f i d e n t ic al c o p i e s o f t h e s t a t e p . ( 6 ) s u b a d d i t i v i t y : e ( p ( ) , t h e n t h e j o i n t s t a t e o f t h e t o t a l s y s t e m i s !0 1 ) jib z 二 。ia n ) t h e t e n s o r p r o d u c t i s a w a y o f p u t t in g s p a c e s t o g e t h e r t o f o r m l a r g e r s p a c e s . s u p p o s e v a n dw a r e s p a c e s o f d i m e n s i o n 7 n a n d n r e s p e c t i v e 卜 t h e n v ow i s a n r n n d i m e n s i o n al s p