卷积基本内涵

卷积,在泛函分析中，卷积、旋积或摺积(Convolution)是通过两个函数f和g生成第三个函数的一种数学算子，表征函数f与经过翻转和平移的g的重叠部分的面积。如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数，卷积还可以被看作是“滑动平均”的推广。,设:f(x),g(x)是R1上的两个可积函数，作积分：可以证明，关于几乎所有的实数x，上述积分是存在的。这样，随着x的不同取值，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为函数f与g的卷积，记为h(x)=(f*g)(x)。容易验证，(f*g)(x)=(g*f)(x)，并且(f*g)(x)仍为可积函数。这就是说，把卷积代替乘法，L1(R1)空间是一个代数。,基本内涵,由卷积得到的函数f*g一般要比f和g都光滑。特别当g为具有紧致集的光滑函数，f为局部可积时，它们的卷积f*g也是光滑函数。卷积与傅里叶变换有着密切的关系。利用一点性质，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换，能使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。,卷积是两个变量在某范围内相乘后求和的结果。如果卷积的变量是序列x(n)和h(n)，则卷积的结果其中星号*表示卷积。当时序n=0时，序列h(-i)是h(i)的时序i取反的结果；时序取反使得h(i)以纵轴为中心翻转180度，所以这种相乘后求和的计算法称为卷积和，简称卷积。另外，n是使h(-i)位移的量，不同的n对应不同的卷积结果。,如果卷积的变量是函数x(t)和h(t)，则卷积的计算变为其中p是积分变量，积分也是求和，t是使函数h(-p)位移的量，星号*表示卷积。,性质各种卷积算子都满足下列性质：交换律结合律分配律数乘结合律,卷积定理,卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。即，一个域中的卷积相当于另一个域中的乘积，例如时域中的卷积就对应于频域中的乘积。F(g(x)*f(x)=F(g(x)F(f(x)其中F表示的是傅里叶变换。这一定理对拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换、Z变换、Mellin变换和Hartley变换等各种傅里叶变换的变体同样成立。,应用,卷积在工程和数学上都有很多应用：统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。概率论中，两个统计独立变量X与Y和的概率密度函数是X与Y的概率密度函数的卷积。声学中，回声可以用源声与一个反映各种反射效应的函数的卷积表示。电子工程与信号处理中，任一个线性系统的输出都可以通过将输入信号与系统函数（系统的冲激响应）做卷积获得。,以离散信号为例,下面通过演示求,的过程，揭示卷积的物理意义。,从这里，可以看到卷积的重要的物理意义是：一个函数（如：单位响应）在另一个函数（如：输入信号）上的加权叠加。,傅里叶变换,这是一种把周期函数的量变换为频率函数的量的方法。在相反方向进行这种变换也是等效的。在结构分析和电子显微术中，傅氏变换最通常的物理含义是：把晶体结构或物（或图像）看成一种波形，将这个波形分解成许多不同空间频率的正弦波之和。如果将这些正弦波加起来成为原来是波形，就确定了这个波形的傅氏变换。傅氏变换的图形表示就是显示每个被确定正弦波的振幅和空间频率的图。对晶体来说它就是衍射图（在运动学意义上）；对被透镜成像的物来说它就是物镜后焦面上的空间频率谱。,傅氏变换用算符F表示、含自变量x的复变函数g(x)的傅氏变换由下式定义由此定义的变换G(u)本身也是自变量u的复变函数。如x有空间坐标含义，u一般称为空间频率。相仿地，函数G(u)的逆傅氏变换可用F-1G(u)表示,傅氏变换存在的充分条件可归纳为下述三点：（1）g必须对整个无限的x直线绝对可积。（2）在任意一个有限域内，g必须只有有限个间断点和有限个极大值和极小值。（3）g必须没有无穷大的间断点。一般来说，这三个条件中的任何一个都可以减弱，但要加强另外一个或两个条件。例如，经常用函数表示一个理想的物点。它有一个无穷大的间断点，不满足条件（3）。又如，g(x)=1和g(x)cos(2ux)都不满足条件（1）。但对于那些不严格满足存在条件的函数，往往也能够发现它们有一个有意义的变换式，只有这些函数可以定义为由可变换函数所组成的级数的极限。,这样对组成定义级数的每一个函数进行变换，就得到一个相应的变换式级数。广义变换可以按照和通常变换相同的规则进行运算。这些规则举例如下：,线性FC1g1+C2g2=C1Fg1+C2Fg2式中C1和C2为任意常数相移Fg(x-x0)=exp-iux0Fg(x)即物在空域的平移只使衍射谱产生相位的移动。微分,卷积积分定义为,函数y(x)称为函数g(x)和h(x)的卷积。要把上述定义式的数学运算具体化是相当困难的，概括地说明其含义卷积结合了参与卷积的两函数的性质，即把函数g按函数h给出的规律进行分布（反之亦然）。,在晶体结构分析及物理光学中最有力的工具是卷积公式和它的傅氏变换之间的关系，这个关系称为卷积定律，它使能完全