（基础数学专业论文）不可赎回的可转换债券的定价问题.pdf

山东人学硕i ：学位论文 不可赎回的可转换债券的定价问题 摘要 可转债是一种介于债券和股票之间的可转换融资工具，兼具债券和股票的特 征。它赋予债券持有人在规定的期限内把债券以特定的价格转换成特定数量标的 股票的权利。 可转债对于我国资本市场的发展有许多特殊的重要意义。我国的股票市场正 处在发展的初级阶段，市场的波动性较大，可转换债券为我国股票市场提供了一 种稳定的调节机制。如果股价暴涨，可转换债券持续的转股压力将抑制基础股票 价格的进一步抬升；如果股价大跌，可转换债券可使投资者的损失减到最小。 当前涉及可转换债券研究的根本问题是它的定价问题。合理的定价机制对于 投资者和发行者来说都至关重要。对于可转债的定价问题，国内外已经进行了大 量的研究，研究工作涉及定价模型，数值方法和实证研究等各个方面。定价模型 主要分为两大类，即以公司价值为基础变量的结构模型，和以股票价格为变动的 简约模型。数值方法主要有二叉树方法，蒙特卡罗( m o n t ec a r l o ) 模拟方法， 有限差分等。 i n g e r s r o l l ( 1 9 7 7 ) 最早将期权定价理论应用到可转换债券的定价当中，提 出了经典的单因素模型。他认为可转债的价值只依赖于公司价值这一基础变量， 通过对市场模型作了各种假设之后，得到了一个以公司价值为基础变量的偏微分 方程，同时运用无套利定价理论推导出了债券持有者的最优转换策略和债券发行 者的最优赎回策略。b r e n n a n 和s c h w a r t z ( 1 9 7 7 ) ，在i n g e r s o l lt 作的基础上考 虑了股利支付和票息支付等条款限制，给出了全新的定价模型，并使用有限差分 法给出了偏微分方程的数值解。1 9 8 0 年，b r e n n a n 和s c h w a r t z 改进了他们的模型， 加入了利率的影响，假设可转换债券价格不只受公司价值v 的影响，还受利率r 的影响。 因为公司的价值难以观测，所以目前的可转换定价模型都是以公司的股票价 格运动作为解释变量，也就是认为可转债的价格是受到公司的股票价格变动所影 响，称为简约法。最有代表意义的有m c c o n n e l l s c h w a r t z ( 1 9 8 6 ) 模 型，t s i v e r i o t i f e r n a n d e s ( 1 9 9 8 ) 模型等。简约式模型和结构式模型的分析框 架类似，都是假设市场完备的情况下，运用无套利定价原理，得到了可转换债券 山东人学硕j 二学位论文 满足的偏微分方程，然后建立可转债所满足的边界条件，利用数值方法，寻求数 值解。 本文的创新点是： 1 ：分析的框架是基于带反射的倒向随机微分方程( r b s d e ) 这个工具。探 讨了可转换债券的最优停时价值与带反射边界倒向随机微分方程( r b s d e ) 解 的关系，在市场完备，公司价值只包括股权和可转债这两种权益等各种假定下， 给出不可赎回可转换债券的价值函数，证明了不可赎回可转换债券的最优停时问 题的解是存在的，同时给出了其最优的转换策略。 2 ：通过数值方法求解不可赎回可转换债券的价值。一般用l s m 模拟方法来 研究可转债的定价问题，都是假设股票价格服从几何b r o w n i 锄运动，而比起常数 波动率的几何布朗运动模型，g a r c h 模型已经被大量研究证实更符合股价的实 际运动。所以本文假定股票价格受g a r c h 驱动，用l s m ( l e a s ts q u a r em o n t ec a r l o s i m u l a t i o nm e t h o d ) 模拟方法来研究可转债的定价问题，并给出其最优的转换策 略，结果表明用基于l s m 的蒙特卡洛方法算出的仿真结果比实际值小，这是由此 仿真方法固有的缺点造成的。 关键词：可转换债券；带反射边界的倒向随机微分方程( r b s d e ) ；l s m 模 拟；二叉树。 山东人学硕i ：学位论文 a bs t r a c t c o n v e r t i b l eb o n di sac o n v e r t e df i n a n c i n gi m p l e m e n tb e t w e e nb o n d sa n ds t o c k s a n d p o s s e s st h ec h a r a c t e r i z a t i o n so f b o n d sa n ds t o c k s i to f f e r sb o n d h o l d e r st h ef i g h t o fc o n v e r t i n gb o n d si ns p e c i f i cp r i c et oc o r r e s p o n d i n gq u a n t i t yo f s t o c k si nr e g u l a r e d p e r i o d s c o n v e r t i b l eb o n d sp l a yas p e c i f i ca n ds i n i f i c a n tp a r ti nt h ed e v e l o p m e n to f c a p i t a l m a r k e t si nc h i n a o u rs t o c km a r k e ti sa tt h ei n i t i a ls t a g eo f d e v e l o p m e n ta n dm a r k e t v o l a t i l i t yi si n t e n s i v e a tt h i st i m e , c o n v e r t i b l eb o n d sp r o v i d eak i n do fs t e a d y r e g u l a t o r ym e c h a n i s m w h e ns t o c kp r i c e sr i s es h a r p l y ，t h ec o n t i n u o u sp r e s s u r eo f c o n v e r t i n gb o n d st os t o c k s ，p o s s e s s e db yc o n v e r t i b l eb o n d s ，w i l li n h a b i tt h es o a r i n g p r i c i n g w h e ns t o c kp r i c e ss l u m p e d ，c o n v e r t i b l eb o n d sc a nm i n i m u mt h el o s so f i n v e s t o r s t h ep r i c i n go f c o n v e r t i b l eb o n d si sa ne s s e n t i a lp r o b l e mi nr e c e n tr e s e a r c h e so n c o n v e r t i b l eb o n d s r e a s o n a b l ep r i c i n gm e c h a n i s mi si m p o r t a n tf o rb o t hi n v e s t o r sa n d i s s u e r s t h e r eh a v eb e e nm a n yr e s e a r c hw o r k so nt h ep r i c i n go fc o n v e r t i b l eb o n d s b o t hh o m ea n da b r o a d t h e s er e s e a r c hw o r k sr e l a t et op r i c em o d e l i n g n u m e r i c a l m e t h o d ，e m p i r i c a ls t u d ya n de t c s p e c i f i c a l l y ，t h e r ea r et w op a r t si np r i c em o d e l i n g , o n eo f w h i c hi sc o n s t r u c t e dm o d e l sw h o s ev a r i a b l e sa r eb a s e do nc o m p a n yv a l u e s a n o t h e rk i n di ss i m p l em o d e l sb a s e do ns t o c kp r i c e s n u m e r i c a lm e t h o d s m a i n l y f o c u so nb i n a r yt r e em e t h o d s ，m o n t ec a r l os i m u l a t i o nm e c h o d sa n df i n i t ed e f e r e n c e m e t h o d sa n de t e i n g e r s r o l l ( 19 7 7 ) f i r s ta p p l i e do p t i o nt h e o r yt ot h ep r i c i n gw o r ko fc o n v e r t i b l eb o n d a n dp r o v i d e dt h ec l a s s i c a lo n e - w a ym o d e l w i t ht h ea s s u m p t i o nt h a tc o n v e r t i b l ep r i c e i so n l yb a s e dt h ec o m p a n yv a l u e k ，i n g e r s o l la t t a i n e dap a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n w i t ha l lv a r i a n c eo ft h ec o m p a n yv a l u e t h e nt h eo p t i m a lc o n v e r t i b l es t r a t e g yf o r h o l d e r sa n dt h eo p t i m a lc a l lp o l i c yf o ri s s u e r s b a s e do ni n g e r s r o l l sw o r k ，b r e n n a n a n ds c h w a r t z ( 19 7 7 ) c o n s i d e r e dp r i c i n gac o n v e r t i b l eb o n di nt h ef i r m sv a l u e f r a m e w o r kf o rm o r eg e n e r a lc a s e ss u c ha st h ep a y o f fo fs t o c ki n t e r e a s m o r e o v e r ，a f i n i t ed i f f e r e n c es c h e m ew a si n t r o d u c e dt os o l v et h e p r i c i n gp a r t i a ld i f f e r e n t i a l i i i 山东大学硕上学位论文 e q u a t i o n b r e n n a na n ds c h w a r t z ( 19 8 0 ) e x t e n dt h e i rp r i c i n gm e t h o db yi n c l u d i n g s t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t e s h i sw o r ki sm a d eu n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a tc o n v e r t i b l eb o n d p r i c e sa r ei n f l u e n c e dn o to n l yb yt h ec o m p a n y v a l u eb u ta l s ot h ei n t e r e s tr a t e s c u r r e n t l yc o n v e r t i b l eb o n dp r i c i n gm o d e l sa l lm a k et h ev a l u e so fc o m p a n ys t o c k s a sv a r i a n c e sb e c a u s et h ev a l u eo fc o m p a n yi sd i f f i c u l tt op r e d i c t t h i sm e t h o di sc a l l e d s i m p l em e t h o d t h em o s ti n s i g n i f i c a n tm o d e l sa r em c c o n n e l l & s c h w a r t z ( 19 8 6 ) m o d e la n dt s i v e r i o t i f e r n a n d e s ( 19 9 8 ) m o d e l t h ea n a l y s i sf r a m e w o r ko fs i m p l e m o d e li ss i m i l a rt os t r u c t u r em o d e l u n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a tt h em a r k e ti sp e r f e c t ， w eo b t a i nt h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o no fc o n v e r t i b l eb o n d sb yt h em e t h o do f n o - a r b i t r a g ep r i n c i p l e , a n dt h e nc o n s t r u c tt h ee d g ec o n d i t i o nw h i c hi ss a t i s f i e db y c o n v e r t i b l eb o n d s a tl a s t ，t h en u m e r i c a ls o l u t i o n sa r eg o tb yn u m e r i c a lm e t h o d s i nt h i sp a p e r , i n n o v a t i o ni s ： 1 ：w ew o u l dl i k et op r o v i d eam o r ec o m p r e h e n s i v ea n dt h o r o u g ha n a l y s i so ft h e n o n c a l l a b l ec o n v e r t i b l eb o n d s o u ra n a l y s i sf r a m e w o r kr e l i e so nt h er e f l e c t e d b a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o na p p r o a c h w ec h a r a c t e r i z et h ev a l u e f u n c t i o n so ft h en o n c a l l a b l eb o n d si nt e r m so ft h er e f l e c t e db a c k w a r ds t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，t h e nt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ev a l u ef u n c t i o no f c o n v e r t i b l e b o n d sa n dr e f l e c t e db a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hs i n g l e r e f l e c t ( r b s d e ) i sb u i l ta tt h es a m et i m e ，a n dp r o v i d et h eo p t i m a lc o n v e r s i o ns t r a t e g y f o rb o n d h o l d e r s 2 ：w eg e tt h ev a l u eo fn o n - c a l l a b l ec o n v e r t i b l eb o n d sb yn u m e r i c a lm e t h o d s s of a r , m a n ys t u d i e so np r i c i n gt h ec o n v e r t i b l eb o n dw i t hl s m ( l e a s ts q u a r em o n t ec a r l o s i m u l a t i o nm e t h o d ) h a v eb e e nb a s e do nt h eg e o m e t r yb r o w nm o v e m e n tm o d e lf o r s i m u l a t i n gt h ep a t h so fs t o c kp r i c e c o m p a r i n gt h eg a r c hm o d e lw i t ht h eg e o m e t r y b r o w nm o v e m e n tm o d e li nc o n s t a n tf l u c t u a t i n gr a t e ，w ef o u n dt h er e s u l t so f e m p i r i c a ls t u d i e sh a v ep r o v e dt h ef o r m e rb e t t e rt oa c c o r dw i t ht h ef a c t u a lf o r c a p t u r i n gt h ep a t ho ft h es t o c kp r i c e t h e r e f o r e , t h ef o r m e r h a sb e e na d o p t e di no u r n u m e r i c a ls i m u l a t i o n t h e nw e p r o v i d et h eo p t i m a lc o n v e r t i b l es t r a t e g y t h e s i m u l a t i n g r e s u l t sa r el o w e rt h a nt h ef a c t u a lv a l u e s t h i si sc a u s e db yt h es h o r t e o m e s o f t h es i m u l a t i o nm e t h o d i v 山东人学硕一l 学位论文 k e yw o r d s ：c o n v e r t i b l eb o n d s ；r e f l e c t e d b a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ( r b s d e ) ；l s ms i m u l a t i o n ；b i n a r yt r e e v 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名： 埤日期：芈 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：立衅导师签名：三杰2 垦一日 期： 毕7 。 山东人学硕l 二学位论文 第一章绪论弟一早 三百1 = 匕 1 1 研究背景及问题的提出 可转债是可转换公司债券的简称，是一种介于股票和债券之自j 的金融产品， 它赋予债券持有人在规定的期限内以特定的价格转换成特定数量标的股票的权 利。可转换债券兼具债券和股票的特征。 可转债，是一种介于债券和股票之间的可转换融资工具。1 8 4 3 年，美国n e w y o r ke r i e 公司发行了世界上第一张可转换公司债券。之后，可转换债券独特的 金融性质逐渐为投资者们所熟悉并受到了广泛的欢迎。目前，在美国、欧盟、日 本和东南亚等国家和地区，可转换债券市场已经成为金融市场中不可或缺的重要 组成部分，为这些国家和地区金融市场的繁荣和企业竞争力的提升起到了积极的 推动作用。2 0 0 3 年年末，全球可转换债券市场的资本规模已经接近6 1 0 0 亿美元， 截至2 0 0 6 年9 月，美国的可转债市场规模约为2 6 0 0 亿美元。在今年，与美国和欧 洲规模高达3 万亿美元的公司债相比，可转换债券所占市场份额还很小。但是受 股市剧烈波动的影响，投资者对可转债需求大幅增长，推动全球可转换债券销量 创下历史新高。 据彭博财经统计显示，2 0 0 7 年包括花旗集团在内的全球8 0 0 多家公司通过销 售可转换债券募集资金至少1 8 0 0 亿美元，比2 0 0 6 年增长4 4 。来自投行雷曼兄弟 和美林证券的数据则显示，今年以来债券平均投资回报率达8 ，远远超过标准 普尔5 0 0 指数2 9 5 和公司债2 5 的年投资回报率。 在中国，可转债也已成为上市公司一种常规再融资方式。从交易量上来看， 在2 0 0 3 ，2 0 0 4 和2 0 0 5 年度，可转债的交易量更是连续三年都达到了6 0 0 亿元以上。 从投资方来看，目前有包括基金，保险，券商，q f i i 等在内的诸多机构投资可转 债。 可转债具有双重选择权的特征。一方面，投资者可自行选择是否转股， 并为此承担转债利率较低的机会成本；另一方面，转债发行人拥有是否实施 赎回条款的选择权，并为此要支付比没有赎回条款的转债更高的利率。双重 选择权是可转换公司债券最主要的金融特征，它的存在使投资者和发行人的 风险和收益限定在一定的范围以内，并可以利用这一特点对股票进行套期保 山东人学硕士学位论文 值，获得更加确定的收益。 可转债对于我国资本市场的发展有许多特殊的重要意义。我国资本市场面临 着股权融资的比例过高和金融工具的创新匾乏，金融品种单一几大基本难题。可 转换债券市场的发展可以增加资本市场中债券融资的比重，使企业能灵活调整资 本结构。它的发展还使投资者有更多的投资选择，尤其是它促进了机构投资者的 发展，使得他们可以在股票和债券之外，找到一种风险更低、收益更有保证的金 融产品。可转换债券增加了资产组合构造的选择，从而可以满足各类基金对资产 组合多样化的要求，降低资产的非系统风险。我国的股票市场正处在发展的初级 阶段，市场的波动性较大，可转换债券为我国股票市场提供了一种稳定机制，如 果股价暴涨，可转换债券持续的转股压力将抑制基础股票价格的进一步抬升：如 果股价大跌，可转换债券可使投资者的损失减到最小。 1 2 研究的目的和意义 中国资本市场一直存在股权融资比例过高、投资品种匮乏、金融创新困难等 问题，急需推出债券类和权证类金融产品并完善相关的交易市场。可转换债券是 我国近年引进的为数不多的西方金融创新产品之一。但是由于可转换债券在我国 发行的时间短，其外部条件尚不成熟，其发展还存在诸多问题。当前加强可转债 的研究，具有重要的现实和理论意义。 当前涉及可转换债券研究的根本问题是它的定价问题。对其中所涉及的各种 条款分别进行定价。对可转换债券进行定价有利于各个方面。对投资者来说，合 理的定价机制，可以使投资者在除了股票和债券以外，多了一种投资选择，以便 于他们做出正确的投资决策；对机构发行者来说，多了一种融资的渠道，根据自 身的特点，设计出有针对性的附加条款，更好的达到降低融资成本和扩大规模的 目的。 由于可转换债券在我国还只是刚起步，可转换债券市场并不成熟完善，就市 面上的可转换债券来讲，许多设计条款出现相互参考，模仿的情况，发行条款本 身并没有根据发行公司自身特点来设计。对于可转换债券这样权证类的金融工 具，如果其发行价格不是真正的均衡价值，就会出现偏向于发行者和投资者的情 况，从而造成对应方的损失。 2 山东大学硕十学位论文 由此可以看出，研究可转换债券是非常有意义的。本文将对不可赎回的可转 债进行深入的分析，分析的框架是基于带反射的倒向随机微分方程( r b s d e ) 的 方法。在市场完备，公司价值只包括股权和可转债这两种权益等各种假定下，根 据无套利定价原理，给出不可赎回可转换债券的鞅定价，并建立可转债的最优停 时价值函数与带单边反射的倒向随机微分方程( r b s d e ) 解的关系，同时给出可 转债的最优转换策略。然后利用数值方法，假定股票价格受g a r c h 驱动，用l s m ( l e a s ts q u a r em o n t ec a r l os i m u l a t i o nm e t h o d ) 模拟方法研究不可赎回可转债的 定价问题，并给出其最优的转换策略；将股票价格过程离散化，倒推得到可转换 债券的价格和其最优的转换时刻。 1 3 国内外研究综述 1 3 1 国外现状研究综述 1 9 7 3 年，b l a c k 和s c h o l e s 7 发表了期权定价理论，随后m e r t o n 1 5 基于b s 的期权定价理论，研究了基于信用风险的公司债券定价问题。尤为重要的是， b l a c k 和s c h o l e s 的期权定价理论不仅为金融产品提供了数学处理的规范，更重要 的是它的方法可以扩展到一般的衍生产品中来。 因为可转债兼具股票和债券的双重特性，属于一般的衍生品。近代可转债的 定价问题实际上是基于期权定价的思想，是在b l a c k ，s c h o l e s 和m e r t o n 发表的三 篇论文的基础上慢慢的发展起来的。 最早将期权定价理论应用到可转债定价中的是i n g e r s r o l l ( 1 9 7 7 ) 9 ，他 提出了经典的单因素模型。他认为可转债的价值只依赖于公司价值形这一基础变 量，公司的价值k 包括股票价值墨和在t 时可转债的总市值e 。公司价值k 是一 个随机变量，其波动过程服从i t o 过程。同时i n g e r s o l l 还运用无套利定价理论推 导出了债券持有者的最优转换策略和债券发行者的最优赎回策略。并且假定股票 不支付现金股息，因此任何在债券到期前行使转股权的行为都不是最优的，给出 了可转债价格的解析解。 i n g e r s r o l l 的一个重要结果是在不考虑赎回条款的情况下，将可转债的价格 分解为一个与可转债具有相同到期期限，相同本金的贴现债券的价格以及行使价 3 山东火学硕l 学位论文 格等于债券面值的认股权证的价格，即可转换债券的价值等于以公司价值y 为标 n 的变量，d 为执行价的看跌期权价值的空头加上y 份以公司价值为标的变量，= 7 为执行价的看涨期权的多头之和。其中d 为可转换债券的面值。 同时他又将这一结果扩展到了考虑赎回条款情况下的可转债定价中，在这种 情况下，可转债价格被分解为普通贴现债券价格与认股权证价格之和减去公司的 赎回期权价格。 b r e n n a n 和s c h w a r t z l 9 7 7 2 ，在i n g e r s o l l t 作的基础上考虑了股利支付和 票息支付等条款限制，给出了全新的定价模型，并使用有限差分法给出了偏微分 方程的数值解。在模型中，他们假设利率，是不变的，可转债的价值只依赖于一 个标的变量即公司的市场价值。因此他们的模型也是一种单因素模型。 1 9 8 0 年，b r e n n a n 和s c h w a r t z 3 改进了他们在1 9 9 7 年的工作，在模型中加入 了利率的影响。他们认为公司可转债价格的波动，不光受公司价值矿波动的影响， 还受利率波动，的影响。模型假定利率，服从均值回复的i t o 过程 d r = 口( 一厂) 斫+ ，q 匆。同样是运用差分法，得出了可转换债券价格的数值解。 他们还证明，利率波动情况下的可转换债券理论价值和利率为常数下的理论价值 并没有明显的差异。但b r e n n a n 和s c h w a r t z ( 1 9 8 0 ) 模型只考虑了转换条款与赎回 条款，并未考虑回售条款，并且在他们的模型中息票的支付数额是固定的。 目前的可转换定价模型都是以公司的股票价格运动作为解释变量，也就是认 为可转债的价格是受到公司的股票价格变动所影响的，称为简约法。最有代表意 义的有m c c o n n e l l & s c h w a r t z ( 1 9 8 6 ) 3 模型，t s i v e r i o t i f e r n a n d e s ( 1 9 9 8 ) 1 8 模型。 1 3 2 国内研究现状综述 我国对可转换债券定价研究起步较晚，尚处于初级阶段，最近几年才出现了 一些对可转债定价的理论研究和实证研究的尝试。 郑小迎，陈金贤( 2 0 0 0 ) 3 5 在考虑了股票价格和利率两个影响因素的情况 下，利用无风险套利理论推出了可转换债券的双因素定价模型。陈力华，谢春讯 ( 2 0 0 3 ) 2 0 加入了现金股利的因素，并考虑赎回和回售条款，利用同样的方法， 给出了加入赎回和回售条款以后的边界条件，利用径向基函数法进行差值。 4 山东人学硕l 学位论文 蒋殿春，张新( 2 0 0 1 ) 2 6 引入二叉树方法研究了可转债的定价问题，并灵活 处理了赎回、回售和向下修正条款的影响。具体方法是将可转换债券的价值分解 为权益部分价值和债券部分价值。其中，将可转债被转换时的转换价值和赎回价 值视为权益部分，而将回售价值和还本付息产生的价值视为债券部分，并将两部 分用不同的风险折现率折现。马超群、唐耿( 2 0 0 4 ) 2 8 在他们方法的基础上，引 入了信用风险的因素。 魏刚和刘孝红( 2 0 0 2 ) 4 4 建立了基于公司价值和利率的可转债定价双因素 模型。并采用m e n t ac a r l o 数值方法对上海机场转债的价格进行了模拟，发现样 本的平均误差为0 5 4 6 。 吴圣涛，胡春霞( 2 0 0 3 ) 3 6 将可转换债券的价值拆分成普通债券价值加上期 权的价值。对两个组成部分分别进行求值，然后求和。这种方法在股票没现金有 分红，可转债不可提前赎回和回售的情况下才可行。 在郑振龙、林海( 2 0 0 4 ) 3 8 先后发表的两篇文献中，他们从公司和投资者 之间的博弈入手，研究在可转债发行后，发行公司在执行特别向下修正条款和赎 回条款时的最优决策，最终得出了5 条重要推论。其中关于转股价格调整，郑振 龙、林海有两点看法；第一，公司调整转股价格的唯一目的是避免回售；第二， 转股价格调整幅度以调整后的可转债价格以刚刚大于回售价格为准。 杨立洪( 2 0 0 5 ) 3 3 运用二叉树的方法，讨论了赎回和回售条款，并结合上 市的2 4 只可转债，对可转换债券的定价理论和应用模型作了系统研究，结果表明， 可转换债券的价值被明显低估。 韩立岩( 2 0 0 6 ) 2 3 认为国内外可转债的定价研究主要集中于两种方法，一 种是基于b s 方法，一种是二叉树方法。基于b - s 方法的可转债定价模型需要利用 数值方法进行求解，计算复杂，在实践中很难应用。而基于二叉树的方法，对于 我国可转债发行中各种条款相互依赖的问题，不能够很好的解决。因此韩从统计 学的角度，利用偏最小二乘回归技术建立可转债定价模型，研究在路径依赖和多 因素扰动情况下的可转债定价问题。而这些问题，传统二叉树，蒙特卡罗模拟和 有限差分都不能完全解决。 实证方面，赖其男，姚长辉，王志诚 2 4 使用了t s i v e r s o t i s 和 f e r n a n d e s ( 1 9 9 8 ) 模型的二叉树形式( h u l l ( 2 0 0 0 ) ) 对可转债进行定价，文中采用 5 山东人学硕一f j 学位论文 - j t f 模型对2 0 0 5 年1 到3 月的数据进行实证分析，t f 模型得出的结果低于市场价 格，从而得出可转债价格没有被低估的结论。 1 4 本文研究的基本框架 论文总共分为五章，第三章到第五章是文章的主体部分。探讨了不可赎回可 转换债券的价值函数与带反射边界的倒向随机微分方程( r b s d e ) 解的关系，并 且给出了转换条款下，可转债的最优转换策略。 第一章：主要介绍了研究的问题背景，意义。描述了国内外研究人员的研究 方法和研究成果。 第二章：主要介绍连续市场模型当中一些重要的概念和定义。 第三章：介绍了可转换债券定价的几个经典模型，结构模型，简约模型。 第四章：在市场完备，公司价值只包括股权和可转债这两种权益的假定下， 根据无套利定价原理，给出了不可赎回可转换债券的价值函数，并建立了可转债 的价值函数与带单边反射的倒向随机微分方程解的关系，证明了不可赎回可转债 的最优停时问题解的存在性，同时给出了可转债的最优转换策略。 第五章：假定股票价格受g a r c h 驱动，用l s m ( l e a s ts q u a r em o n t ec a r l o s i m u l a t i o nm e t h o d ) 模拟方法研究不可赎回可转债的定价问题，给出了其最优的 转换策略；用二叉树数值方法倒推得到了不可赎回可转换债券的价格和其最优的 转换时刻。 6 山东火学硕 ：学位论文 第二章连续市场模型 2 1 连续市场的描述 假定在一个金融市场( 记作m ) 中有n + 1 种资产，为了方便起见，设n = l ： 1 种是所谓的无风险资产( 即其市场价值始终是上升的) ，我们称之为债券或投 资者的银行账户，它的价格为：s t = 8 0 口，f ，其中r 是常数，显然它满足微分方 程：幔= 哆d t ；另外1 种是所谓的风险资产( 它们的市场价值未必总是上升的) ， 通常这些风险资产可以认为就是普通的股票，它的价格过程记为 & = e x p ( 一互1 盯2 ) r + 仃 ，其中盯 。，尺，( ) 脚是b r o w n i 觚运动，风 险是指( 墨) ，o 是一个随机过程。 下面引入概率空问( q ，f ，尸) ，这里q 表示定义在4 上连续函数缈= ( q ) f o 的 全体，且= 0 。f 表示由柱集生成的b o r e l o 代数，柱集是指下面形式的集合： ! 缈q ：( ，) ) 其中是( r n , b ( r 斤) ) 上的可测集，当在曰r 刀) 中变化，在中变化，n 在n 中变化，所得的集类是一个代数，由它可生成仃代数f ，p 是定义在f 上的w i e n e r 测度，它满足： ( 1 ) 坐标随机过程嘭( 缈) = 国( f ) ，t o 具独立增量性，也即v o _ t o - t i 如 - t 七， 在p 测度下，随机变量一，一，一t v t k _ 1 相互独立。 墨。 ( 2 ) 虮 ( t o a ：x t - 以叫= 如南p 2 一p 吖k 这就是说，在p 测度下，坐标随机过程( 缈) = 国( f ) 是一个零初值的连续的 随机过程且具有独立增量，增量一服从均值为0 ，方差为仃2 ( 卜s ) 的正态分 布，我们称它为w i e n e r 过程或b r o w n i a n 运动，当盯= 1 时，称其为标准的w i e n e r 7 山东大学硕i 二学位论文 过程或b r o w n i a n 运动。 令互# a ：万( 睨：“s s ) ，我们称( q ，( f ) 脚，尸) 为w i e n e r 空问，下面的讨 论就在w i e n e r 空间中进行。 2 2 无套利原理 设某一投资者的初始资本为z o = 工，其中一部分矿( o ) 玩存在银行，一部分 ( o ) & 投资于市场，称p ( f ) = ( 矿( f ) ，( f ) ) 为投资策略，是指对于每个f o ， 秒o ( f ) ，秒1 ( t ) 是f 适应可测的随机变量，其中矿( f ) ，( t ) 我们假定可以取任意的 实数值，在t 时刻的资本为：k = 拶o ( f ) e + 移1 ( ) s 。 2 1 定义：称投资策略p = ( 臼( f ) ) 脚为自融资策略，如果它满足： = 工+ f 俄o d 吃+ f 包d 咒 ( 2 一1 ) 而且对任意的f o ，p - a s b - 戋_ f f _ f 眩l 蛾 0 则市场有套利存在。 性质2 2 若市场无套利，对任意的两个投资组合q ，岛，若圪( 丁) k ( r ) ，及 p ( 吃( 丁) k ( r ) ) o ，则v f 【0 丁】，有匕( f ) 巧( t ) 性质2 3 若市场无套利，对幺，岛有k ( 丁) = k ( t ) ( a s ) ，则对【o ，t 】， 有巧( f ) = 巧( f ) 设( q ，( f ) f 卸，p ) 为一个概率空间，无风险资产为：s t = p 刀，b o ( o ) - - o ； 8 山东人学硕l ：学位论文 风险资产为：搬( f ) = s ( f ) 【出+ 仃d 彬) 。再假设市场是完备的，即市场确卖空机 制，交易无摩擦，资产无限可分等。 投资组合( 过程) 臼( f ) = ( 矿( f ) ，0 1 ( f ) ) 为自融资过程，x ( f ) = ( b ( f ) ，s ( f ) ) 表 示价格过程，则财富过程矿( f ) = p ( f ) x ( f ) 。 定理2 4 若市场完备，则市场无套利的充要条件是存在一个关于风险资产的 折现过程 s ( f ) p 叫；f o 的等价鞅测度q 注：关于 s ( f ) p 州；f o ) 的等价鞅测度q 是指： ( 1 ) q 是定义在( q ，f ，( f ) ) 上，r q - 尸 ( 2 ) 在( q ，f ，( f ) ，q ) 下， s ( f ) e 叫；f o ) 在q 下是一个鞅。 证明：( 仁) 设q 为等价鞅测度，由于b ( f ) p 一= 曰( o ) p “p 一= 曰( o ) ，则无风险资 产的折现过程b ( f ) p 州在q 下也是鞅。- i g x + ( f ) = 矿疗x ( f ) ，则在q 下，x ( f ) 是 二维的鞅。 又口( f ) = ( 矿( f ) ，0 1 ( f ) ) 是自融资的， n nv ( t ) = o 。( f ) b ( f ) + ( f ) s ( f ) = 矿( o ) b ( o ) + ( o ) s ( o ) + i 口( f 肛( f ) y ( f ) = 9 ( o ) x ( o ) + f 口( f 舻( f ) ，因为x ( f ) 是鞅 故俨 ( 矿( r ) ) 一秒( o ) x ( o ) 若了f 。 o ，满足口( f + ) 义t ) o ，且尸( 秒( f ) 彳t ) o ) o ， 则必口( o ) x ( o ) o ，f ie 口 9 ( f ) x ( f ) 0 ，必口( o ) 石( o ) o 即市场无套利。 ( j ) 记矿( f ) = b ( f ) 一等f ，定义等价鞅测度q ： 器= 唧睁畴一三( 警) 2 刁 定义风险资产的折现过程s ( f ) = s ( t ) e 一，由g i r s a n o v 定理知： d s ( f ) = 盯s ( f ) 扭( f ) ，即 s ( r ) p 叫；f o 在q 下是鞅。 山东人学硕i ：学位论文 而无风险资产的折现过程b ( ，) p 叫在q 下也是鞅。 即存在等价鞅测度q 。 2 3 b l a c k s c h o l e s 方程 基本假设： 原生资产价格演化遵循几何b r o w n 运动：誓= 班+ 仃d 形 ( 2 3 ) 其中：为期望回报率；仃为常数波动率；彬为标准b r o w n 运动 无风险利率