（通信与信息系统专业论文）基于混沌理论的弱信号检测及其dsp系统实现.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 信息科学的一项重要任务是获取客观世界的真实信息，然而对于任何一个系统， 必然存在噪声，而当所测量的信号比较微弱且淹没在强噪声背景中时，要提取真实 信号是困难的，因此如何把淹没于噪声中的有用信号提取出来的问题越来越引起人 们的关注。近年来，随着非线性科学的不断发展，尤其是混沌、随机共振理论的提 出，为微弱信号检测开创了新的思路。混沌理论表明一类混沌系统在一定条件下对 小信号具有敏感依赖性同时对噪声具有免疫力，因此使得它在信号检测中非常具有 潜力。 本文首先阐述了混沌运动的定义、特征、混沌运动特征的识别方法和通向混沌的 道路等，然后从应用的角度详细分析了改进d u f f i n g 混沌振子的阵发混沌运动的机理 及其阵发混沌现象的相关特性。基于混沌现象发生随模型参数变化的间歇性，首次 提出了一种利用频率扫描确定振子的间歇混沌运动进行微弱信号检测的方法，为利 用阵发混沌进行微弱信号检测奠定了理论基础；同时通过数值实验研究首次提出了 一种利用过零率识别阵发混沌运动状态并求取阵发混沌周期的新方法，并着重对白 噪声或其它信号频率背景下微弱正弦信号频率的测量进行了实验。实验结果表明， 这种方法具有简单、有效、易于实现，精度高等特点。 接下来结合作者开发d s p 应用系统的经验，本文在基于混沌理论检测微弱信号 原理的基础上，深入讨论了其应用于d s p 的实用化，搭建了一个优化的以 t m s 3 2 0 c 6 2 1 1 b 为核心的真实系统，设计了相应的算法软件流程，并编写了相应的 c 语言和汇编语言的混合编程的优化的算法代码，对信号发生器产生的不同频率的 单正弦周期信号进行了相应的频率检测，验证了所创理论方法的可行性、实用性和 系统的有效性。 最后提出了一些基于混沌理论的微弱信号检测及其d s p 系统实现的有价值的建 议。 关键词：微弱信号检测，混沌理论，d u f f i n g 混沌振子，阵发混沌，过零率，数字信 号处理器，混合编程 a b s t r a c t a ni m p o r t a n ta s p e c ti ni n f o r m a t i o ns c i e n c ef i e l di st o a c q u i r er e a l i n f o r m a t i o no f o b j e c t i v ew o r l d ，b u tt h e r ee x i s t sn o i s ei na l ls y s t e m s ，e s p e c i a l l yi t i sd i f f i c u l tt od e t e c t w e a ks i g n a li n s t r o n gn o i s e ，s oi t l o r ea t t e n t i o nh a sb e e np a i dt ot h ep r o b l e mo fh o wt o m e a s u r et h ew e a ks i g n a li n s t r o n g n o i s e i nr e c e n t y e a r s ，t h er a p i dd e v e l o p m e n to f n o n l i n e a r s c i e n c e ，p a r t i c u l a r l y t h ei n t r o d u c t i o no fc h a o s t h e o r y a n dt h es t o c h a s t i c r e s o n a n c et h e o r y , p u t san e wc o m p l e x i o no nw e a ks i g n a ld e t e c t i o ni ti s p r o v e dt h a t c h a o t i cs y s t e m sa t es e n s i t i v et oc e r t a i ns i g n a l sb u ti m m u n e 幻n o i s ea tt h es a m et i m e ，t h e p r o p e r t i e so fw h i c hd e m o n s t r a t et h e i rt r e m e n d o u sp o t e n t i a la p p l i c a t i o ni n w e a ks i g n a l d e t e c t i o n t h et h e s i ss t a r t s b yi n t r o d u c i n gt h e d e f i n i t i o no fc h a o s ，c h a o t i c c h a r a c t e r i s t i c s ， m e t h o d sf o rd i s t i n g u i s h i n gc h a o t i cm o t i o na n dw a y s l e a d i n gt oc h a o s ，a n d t h e nt h e i n t e r m i t t e n tc h a o st h e o r yo ft h ed u f f i n go s c i l l a t o ra n di t sp e r i o d i cc h a r a c t e r i s t i ca r e e x p o u n d e d f o r p r a c t i c a lp u r p o s e ，a n e wm e a s u r e m e n tm e t h o d o f 疔e q u e n c yo f w e a k s i g n a l i sp r e s e n t e db a s e do ni n t e r m i t t e n tc h a o t i cp h e n o m e n o nr e s u l t i n gf r o mm i n u t ec h a n g eo f s y s t e mp a r a m e t e r s t h ek e yo fa b o v em e t h o di s t oi n c r e a s et h e f r e q u e n c yo fi n t e r n a l p e r i o d i ca l t e r n a t ef o r c ei nd u f f i n go s c i l l a t o rb yd e g r e e s ，w h i c he s t a b l i s h e st h et h e o r e t i c a l b a s i so fw e a k s i g n a ld e t e c t i o nb y u s eo ft h ei n t e r m i t t e n tc h a o s s i m u l t a n e i t yt h en u m e r i c a l e x p e r i m e n ts t u d y i sc a r r i e do u tf o r d i s t i n g u i s h i n g i n t e r m i t t e n tc h a o t i cm o t i o na n d e v a l u a t i n g i t s p e r i o d ，a n dab r a n d n g wm e t h o di s a d v a n c e du s i n gz e r o p a s sr a t i ot h e t h e s i s p l a c e se m p h a s i s o n a n a l y s i n g t h e c o m p u t e r s i m u l a t i o n b yt a k i n g t h ew e a k s i n u s o i d a lp e r i o d i cs i g n a li ns t r o n gn o i s ea sa ne x a m p l e t h er e s u l t so f e x p e r i m e n t ss h o w t h a ta b o v em e t h o dh a sm a n ym e r i t ss u c ha ss i m p l e ，e f f e c t i v e ，e a s yt ob ea p p l i e d ，l e s se r r o r e t cc o m p a r e dw i t ho t h e rd e t e c t i o nm e t h o d s ， c o m b i n e dw i t ha u t h o r s e x p e r i e n c e o nd s p , t h et h e s i sa l s of u r t h e r e x p l o r e st h e a p p l i c a t i o no fd s p i nw e a ks i g n a ld e t e c t i o nb a s e do nc h a o st h e o r y , i n c l u d i n gb u i l d i n ga u t i l i z i n g t m s 3 2 0 c 6 2 1i b e x p e r i m e n tp l a t f o r m ，d e v e l o p i n gc o r r e s p o n d i n g s o f t w a r e , 一 1 1 华中科技大学硕士学位论文 g i v i n gt h er e v e l a n to p t i m i z a t i o nc o d e so fcl a n g u a g ew h e nm u t l i l a n g u a g ep r o g r a m m i n g w i t ha s s e m b l yl a n g u a g ea n dm e a s u r i n gt h ef r e q u e n c yo ft h ei n p u ts i g n a li no r d e rt o d e m o n s t r a t et h ef e a s i b i l i t y , p r a c t i c a b i l i t yo fa b o v et h e o r ya n dt h ev a l i d i t yo f d s ps y s t e m a tt h ee n d ，s o m ev a l u a b l ea d v i c eo fw e a ks i g n a ld e t e c t i o nb a s e do nc h a o st h e o r ya n d i t si m p l e m e n to nd s p s y s t e ma r ep r o p o s e d k e y w o r d s ：w e a ks i g n a ld e t e c t i o n ，c h a o st h e o r y , d u f f i n go s c i l l a t o r , i n t e r m i t t e n tc h a o s z e r o p a s sr a t i o ，d s p , m u l t i - l a n g u a g ep r o g r a m m i n g i i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个 人或集体己经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名乒奎兰旁 日期：汹年4 月玎目 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅。本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本论文属于 不保密留。 ( 请在以上方框内打“4 ”) 学位论文作者签名 勰蝴獬礅 日期：砒年4 月西日 日期：凯毋牛年c p 月瑶日 华中科技大学硕士学位论文 1 1混沌理论的起源与发展 1绪论 混沌( c h a o s ) 是2 0 世纪人类三大科学成就之一，它揭示了自然界及人类社会中普 遍存在的复杂性，是有序和无序的统一、确定性和随机性的统一。混沌理论可以追 溯到1 9 世纪末创立的定性理论，但真正得到发展是在本世纪7 0 年代以后，现在方 兴未艾眦1 。 1 9 0 3 年，美国数学家j _ h p o i n c a r e 在科学与方法一书中提出了p o i n c a r e 猜想。 他从动力系统和拓扑的全局思想出发，首次提出了混沌存在的可能性，成为世界上 最先了解存在混沌可能性的人。1 9 6 3 年，美国气象学家e n l o r e n z 在大气科学 上发表了“决定性的非周期流”一文，其中清楚地描述了混沌“对初始条件的敏感 性”这一基本特性，并由此提出了著名的“蝴蝶效应”。1 9 6 4 年，m h e n o n 等人以 k o l m o g o r o v 、a m o l d 和m o s e r 证明了的k a m 理论 3 , 4 , 5 1 为背景，发现了一个二维不 可积h a m i n l t o n 系统中的确定性随机行为，即h e n o n 吸引子。 7 0 年代，作为一门新的科学混沌学正式诞生，形成在多个领域同时开展混 沌研究的世界性热潮。1 9 7 0 年，美国科学史家k u h n 出版了科学革命的结构一 书，对混沌理论的发展起到了推波助澜的作用。1 9 7 5 年，t y l i ( 李天岩) 和j a y 0 r k 提出“周期3 蕴含着混沌”的思想，被认为是混沌的第一次正式表述，c h a o s 一词也 自此正式使用，“和y 0 r k 的研究深刻揭示了从有序到混沌的演变过程。1 9 7 6 年，美 国生物学家r m a y 在自然上发表了“具有极复杂的动力学的简单数学模型”一 文，指出简单的确定论数学模型也可以产生看似随机的行为。1 9 7 7 年，在意大利召 开的第一届混沌会议标志着混沌科学的正式诞生。1 9 7 8 年，美国物理学家 m jf e i g e n b a u m 在统计物理学杂志上发表的论文“类非线性变量的普适性” 中提出了f e i g e n b a u m 常数，为混沌原理奠定了基础，也正是普适性的研究使混沌科 学确定了自己坚实的科学地位。 8 0 年代以后，混沌科学蓬勃发展，有关混沌的学术会议定期召开，以研究混沌 为主题的杂志陆续出版，着重开展与混沌研究有关的一切工作的非线性科学和复杂 华中科技大学硕士学位论文 性科学研究中心也纷纷成立，甚至政府也大量拨款支持混沌的研究工作。1 9 8 0 年， 美国科学家b m a n d e l b r o t 在计算机中绘出了如m a n d e l b r o t 集等五彩缤纷的混沌图像， 成为混沌的一种公认的标志。1 9 8 3 年，加拿大物理学家l g l a s s 在物理上发表了 “计算奇异吸引子的奇异程度”的文章，引导了全世界计算时间系列维数的热潮。 9 0 年代以来，混沌已应用到了各个科学领域，混沌科学与其它学科相互渗透， 无论是在生物学、生理学、心理学、数学、物理学、化学、电子学、信息科学，还 是在天文学、气象学、经济学，甚至在音乐，艺术等领域，混沌都得到了广泛的应 用。 1 2 微弱信号检测的发展及方法简介 微弱信号检狈, u ( w e a ks i g n a ld e t e c t i o n ) 是随着工程应用而不断发展的门学科，是 利用电子学、信息论和物理的方法，分析噪声产生的原因和规律，研究被测信号的 特点与相关性，采用一系列信号处理的方法，检测被噪声背景淹没的微弱信号【6 7 ，8 ，”。 对于强噪声背景环境下微弱信号检测方法的研究是信号处理技术中的综合技术 和尖端领域，运用这种技术使得微弱量( 如弱光、小位移、微振动、弱声及微电流等) 的检测成为可能，大大提高了微弱信号检测的精度。因此，随着社会以及科技的发 展，已经在物理、化学、天文、生物、医学以及多种工程应用领域得到了相当广泛 的应用，在国内外越来越得到重视。 微弱信号检测方法是基于研究噪声的规律( 如噪声幅度、频率、相位等) 和分析信 号特点( 如信号频谱、相干性等) 的基础上的，然后利用一系列信号处理方法，来提取 和测量强背景下的微弱信号。因而微弱信号检测学也就是研究从强噪声背景中提取 有用信息的科学0 1 1 1 , 1 2 , 1 3 按传统的观念，如果有用信号低于噪声，要检测出这种微 弱信号是不可能的。通常认为各种噪声之和本质上决定了检测的精度，也就是决定 了检测的灵敏度( 对中等强度以上的信号) 或可检测信号的下限( 对微弱信号) 。因此要 想降低测量下限，降低噪声是提高检测精度的关键，但这不是唯一的方法。1 9 4 2 年， 维纳滤波理论【1 4 l 的建立极大地推动了微弱信号检；受| l 理论的发展，彻底打破了噪声干 扰和量级就是测量精度和极限这一传统观念。1 9 6 2 年第一台锁相放大器的问世使提 取深陷在噪声中的有用信号成为现实i l “。从那以后，各种新的微弱信号检测的理论 2 华中科技大学硕士学位论文 和方法不断涌现，各种性能优良的测量仪器不断推出，大大提高了微弱信号检测的 精度。目前，微弱信号检测的方法很多，不同的方法都有自己的特点和应用范围。 下面将简要介绍几种常见的方法： 12 1 取样积分法 周期信号的取样积分法也称为b o x c a r 积分器i t s 】，是将待测的重复信号逐点多次 取样并进行同步积分从噪声中恢复信号波形的方法，是已知周期的周期性重复信号 的一种十分有效的处理方法。早在5 0 年代初，英国的神经专家德尔森( d a w s o n ) 就提 出了取样积分的概念。1 9 6 2 年由美国的加利福尼亚的劳伦茨实验室的k l e i n 用电子 技术予以实现的。它的原理电路图如图1 1 所示，r ( t ) 是与被测信号s ( t ) 同频的信号参 考信号。经延时“后形成取样脉冲，作用到取样开关k ，实现对输入信号x ( f ) 的取样。 由于每隔周期r 进行一次取样，因此在电容c 上的电压就得到取样信号的积累，而 在每次取样时刻的噪声却是随机的，所以取样积分的结果使得噪声逐步下降。因此， 只要取样平均的次数足够多，就可以把微弱的周期信号测量出来。只是虽然根据这 种原理制成的取样积分器方法简单，效果良好，但存在着直流放大器的噪声、零漂 及积分电容漏电等问题，同时，这种方法的效率也比较低。 1 2 2 相关法 图1 - 1 取样积分器原理电路图 相关方法是根据周期信号的幅度在不同时刻具有相关性，而噪声是随机的，对 它们求相关函数，将周期信号从噪声背景中提取出来的方法。相关方法可分为自相 关和互相关两种，由于互相关方法能够抑制所有与参考信号不相关的各种形式的噪 声，而自相关方法却难以完全做到这点。因此，从噪声抑制能力上看，互相关方要 3 华中科技大学硕士学位论文 一= ；= = # = ；= ；= = ；_ 优于自相关方法1 7 】。互相关检测的原理框图如图1 2 所示。设输入x ( r ) 为 x 0 ) = s ( f ) + n o ) ，s o ) 为待测信号，一o ) 为信号s ( t ) 中混入的噪声，y o ) 为已知参考信 号，则互相关输出r 。( r ) 为： 码o ) = 鲤寺f ，z 协。一r = ( r ) 十r ，p ) 若参考信号_ y p ) 与信号s o ) 有某种相关性，而y ( f ) 与嗓声”o ) 没有相关性，且噪 声的平均值为零，则尺。，0 ) = r , y ( ) ，r 。p ) 中包含了信号s o ) 所携带的信号，这样就 可以把待测信号s f ) 检钡0 出来。但是由于数据只能截取有限长度，因此这必然带来有 限长度误差，只有当记录长度越大时，误差越小，一般取记录长度大于信号周期的 5 一1 0 倍，而且互相关方法需要一个与被测信号相关的同频率参考信号，应用互相关 方法进行测量的仪器也只能测量频率已知的单频信号，这些都大大限制了互相关方 法的应用。 1 2 3 同步累积法 图1 - 2 互相关检测的原理框图 蹦r ) 同步累积法是指对周期信号的固定点，周期重复测量，把每次测得的数值，与 信号同步地、同相位准确累积起来。可使信号幅度越积越大，而由于噪声是随机的， 在不同的周期的对应点的值有正有负，积累后可部分抵消，因而嗓声的增长不如信 号增长得快，从而使信噪比得到很大的提高，进而可以把淹没在噪声中的信号检测 出来。 重复累积疗后输出的信号与噪声分别为： 噪声：嘿：n j 圪。：矗+ 露：6 e 。 f 2 i 信号：= 圪，= n 巧 一 4 华中科技大学硕士学位论文 则累积后输出信噪比： s n i r = v x 磊1 他j y ：1 = n 由上式可知，累积次数越大，信噪比越大。 要实现同步累积法必须满足如下的条件：1 ) 信号能重复，即要求信号是周期的： 2 ) 要能做到同步累积，即要求有一个与待测信号相位差固定的参考信号。同步累积 方法的原理框图如图1 3 所示。 v s 图1 3同步累积方法的原理方框图 此外，还有很多其它的微弱信号检测的方法，如b i t m e a d e ta l 提出的k a l m a n 滤 波短时傅立叶分析估计信号的频率，a n d e r s o n e ta l 应用改进的k a l m a n 滤波器( e k f ) 解决白噪声中正弦信号的参数估计问题 1 9 】，但总的来说，由于k a l m a n 滤波器对噪声 的高斯性很敏感，在非高斯白噪声下性能会下降：文献 2 0 1 提出的互谱模型参数谱估 计的理论及方法比传统的f f t 方法和互周期图法能更有效地提高互谱估计的谱分辨 率和谱光滑性，但其对于相关噪声的抑制能力很差；文献 2 1 1 提出了种基于b p 神 经网络结构及算法的方法，从根本上解决了对提取信号的频率选择问题，但是它只 适合低频率的信号检测，而且一旦噪声信号改变则需要重新进行训练，使得算法的 实时性降低，而且随着噪声的增大，其b p 遗传算法需要的时间增大；文献 2 2 - 2 3 提出的小波变换由于具有时一频局部化特点及小波函数选择的灵活性，解决了传统 的线性滤波方法在信号检测中存在着保护信号局部特征及抑制噪声之间的矛盾，但 是其算法的速度慢，难以达到实时性的要求，且时频分辨率不能兼顾。 13混沌理论在微弱信号检测中的应用 混沌理论应用于信号检测是现阶段混沌学发展的主要趋势之一，混沌的理论和 方法在微弱信号检测中的应用是近期才开始的。基于混沌理论的微弱信号检测的物 华中科技大学硕士学位论文 理机理来源于对混沌的控制。混沌控制的主要任务是根据不同领域的实际需要，利 用非线性系统的特征，设法从多种多样的非线性系统所产生的混沌行为中，通过各 种策略、方法与途径，获得人们所需要的非动力行为【2 4 】。显然针对不同的目标，必 须采取不同的方法。虽然混沌控制从总体上来说仍没有一个统一的理论框架，但其 原理的共性是变原来的f 的l y a p u n o v 指数为负值，从而实现从不稳定到稳定的转变 2 1 。先酊的混沌控制方法的共同点就是利用与时间有关的连续小微扰来实现对混沌的 稳定控制，可以看出人们越来越清楚的认识到自然界中周期扰动抑制混沌运动的妙 用和积极作用，小微扰在其中引起的抗混沌效应是对混沌的一种持久的控制因素； 扰动或噪声所起的重要作用更是值得注意的一种普适效应。 基于混沌的理论和方法检测强噪声背景中的有用信号就是将待测信号作为混沌 系统周期策动力的摄动，噪声虽然强烈，但对系统状态的改变没有影响，而一旦有 特定的信号，由于混沌系统对周期小信号的敏感性，即使幅度较小，也会使系统发 生相变，计算机通过辨识系统状态，可清楚的判定信号是否存在，同时通过设定混 沌振子阵列，调节内策动力的幅值改变系统的状态等可以测量外界有用信号的幅值、 频率等特征，从而实现将强噪声背景下的微弱信号检测出来的目的。 基于混沌的理论和方法检测微弱信号的研究主要集中在以下几个方面：1 、验证 检测模型是否存在混沌区域、何时处于混沌区域；2 、确定混沌系统出现混沌时参数 应满足的条件，给出判据；3 、判断强背景噪声中是否含有微弱信号，那么就可以在 后续处理中利用混沌系统所有特有的优势，以提高处理性能；4 、检测微弱信号的特 征。 在基于混沌理论的微弱信号检测领域，不少科研工作者已经做了大量的工作， 取得了一定的成果，如文献 2 5 2 7 研究了利用混沌对初始条件的敏感依赖性检测弱 信号的方法，文献 2 8 1 提出了一种利用混沌同步系统检测微弱信号的方法，文献 2 9 】 提出了一种在混沌、噪声背景中信号的滤波检测方法，文献【3 0 提出了一种利用随机 共振提取微弱信号的方法，此外还有基于混沌和神经网络的弱信号检测方法【3 l 】。目 前，基于混沌的理论和方法检测微弱信号在通信、自动化等需实时处理领域的都有 很广阔的应用前景，主要用于微弱信号的检测及特征提取与识别等。因此，如果我 们能够对已证明的混沌检测模型加以利用，采用混沌的理论和方法检测微弱信号， 6 华中科技大学硕士学位论文 一方面可以有效的提高目标检测的性能，另一方面也是对现有方法的补充。混沌毕 竟是一门的学科，其本身还有待发展和完善，在信号检测领域的研究也是近期才开 始的。但是基于混沌理论的微弱信号检测方法在强噪声背景下微弱信号检测中取得 的研究成果表明，其应用有一定的前景。 1 4 本文的主要工作 本文共分五章，主要内容安排如下： 第一章为绪论。首先论述了混沌理论的起源与发展。然后对微弱信号检测的发展 及其方法进行了一般性的概况总结。最后，阐述了本文的主要工作。 第二章为有关基于混沌理论的微弱信号检测的理论基础。主要给出了目前混沌 的基本定义、混沌运动的特征及混沌的识别。详尽的阐述通向混沌的各种道路，包 括由倍周期分岔走向混沌、阵发性通向混沌的道路、茹厄勒塔肯斯道路通向混 沌以及k a m 环面破裂。 第三章研究了基于d u f f i n g 混沌振子的微弱信号检测。详细分析了改进d u f f i n g 混沌振子的阵发混沌运动机理及其阵发混沌现象的相关特性。基于混沌现象发生随 模型参数变化的间歇性，提出了一种强背景噪声下微弱信号频率的测量方法，并着 重就白噪声或其它信号频率背景下微弱正弦信号频率的测量进行实验，为其在d s p 系统上的实现奠定了理论基础。 第四章针对数字信号处理器( d s p ) 系统集成度高，速度快，功耗低，适合大量数 据的实时处理的特点，构建了一个优化的以t m s 3 2 0 c 6 2 1 1 b 为核心的真实系统，包 括模数转换芯片、f l a s h 存储器件、u s b 接口等，并采用混合编程编写了相应的算 法优化代码在实际的硬件系统中完成实际的信号检测实验。 第五章总结全文的研究内容，为今后该领域的研究提出了相关建议。 7 华中科技大学硕士学位论文 2 1 混沌的定义 2 混沌与混沌系统 根据英国大不列颠百科全书注释，英文中的c h a o s 一词源于古希腊的”x o a s ”， 意思就是指万物出现之前就存在一个虚无广袤的空间，当代英文中的”c h a o s ”是指“杂 乱无章、混乱无序”之意，其涵义与科学和工程学非线性动力系统理论中所描述的 “确定性的随机现象”比较贴近，因而已被借用来称呼这些异常现象，中文翻译成 “浑沌”，演绎成“混沌”。由于人们对混沌的认识还远不充分，至今还没有形成统 一的严格定义。目前已有的定义是从不同的侧面反映了混沌运动的性质，一般所接 受的混沌定义是1 9 7 5 年由李天岩( l i t y ) 和约克( y o r k e ja ) 在美国数学月刊上发 表的一篇短文周期3 意味着混沌 3 2 】中给出的混沌的数学定义，现称为l i y o r k e 定义： 设连续自映射，：i _ 1 c r ，i 是r 中的一个子区间。如果存在不可数集合 s c 满足： ( 1 ) s 不包含周期点： ( 2 ) 任给一，x ：e s ( x t x z ) ，有骢s u p 瞄。) 一，佤】 o ；i m i n f l f ，) 一f 似：1 = o ，其中，( ) = 厂( 厂( 厂( ) ) ) 表示，重函数关系。 ( 3 ) 任给x - e s 及厂的任意周期点p ，有 受s u p l 厂。) 一f ( p 1 0 则称厂在s 上是混沌的。 该定义准确的刻划了混沌系统的特征，但使用该定义判断一个系统是否是混沌 系统十分困难。1 9 8 6 年，r l d e v a n e y 3 3 】给出了一个更直观、更易于理解的定义： 设v 是一度量空间，连续映射厂：v 一矿如果满足下列三个条件，便称厂在矿上 是混沌的。 ( 1 ) 对初值敏感依赖：存在d 0 ，对任意的占 o 和任意的x v ，在x 的占领域 内存在y 和自然数珂，使得d 杪”0 l ，“0 ) ) 占。 ( 2 ) 拓扑传递性：对矿上的任一对开集z ，y ，存在k 0 ，使厂( x ) n y 妒( 如 8 华中科技大学硕士学位论文 一映射具有稠轨道，则它显然是拓扑传递的) 。 r 3 ) ， 的周期点集中在y 中稠密。 对初值的敏感依赖性，意味着任意靠近的两初始条件会导致完全不同的动力学 行为，系统是不可预测的，初值的微小变化可能导致迭代结果产生不可忽视的误差； 拓扑传递性说明系统是不可分解的，即d e v a n e y 混沌系统不能分解成两个子系统的 和，它们的底空间均含有内点；而周期点集的稠密性既说明它类似于一般的随机系 统，又表明系统具有很强的确定性与规律性，决非混乱一片，形似无序实则有序， 这正是混沌耐人寻味之处。 2 2 混沌运动的特征 混沌运动是确定性非线性动力系统所特有的复杂运动形态，时至今日，虽然科 学上仍没有能给混沌下一个完全统一的定义，一般认为混沌应具有以下几个方面的 主要特征，它们之间有着密不可分的内在联系： ( 1 ) 对初始条件的敏感依赖性系统的初始条件有微小的变化，经过很长的时间 后，运动可能相差很远，著名的l o r e n z “蝴蝶效应”就是一个典型的例子，它指出 模拟大气动力学特性的微分方程的解是混沌的，那么不可能进行长时期的天气预报， 因为一个任意小的扰动，犹如蝴蝶翅膀的振动，都可能在将来某个时候改变地球另 一边的天气。 ( 2 ) 轨道不稳定性及分岔长时间动力学运动的类型在某个参数或某组参数发 生变化时也发生变化，这个参数值( 或这组参数值) 称为分岔点，在分岔点处参数的微 小变化会产生不同定性性质的动力学特性，所以系统在分岔点处是结构不稳定的。 ( 3 ) 内随机性单一频率的输入产生具有连续功率谱的输出。这种遍历性不是由 随机性外因引起的，而是由确定性方程( 内因) 直接得到的。 ( 4 ) 整体稳定局部不稳定混沌态与有序态的不同之处在于，它不仅具有整体 稳定性，还有局部不稳定性。稳定性是指系统受到微小扰动后系统保持原状态的属 性和能力，一个系统的存在是以结构与性能相对稳定为前提的。但是，一个系统要 进化，要达到一个新的演化状态又不能将稳定性绝对化，而应在整体稳定的前提下 允许局部不稳定，这种局部不稳或失稳正是进化的基础。在混沌运动中这一点表现 9 华中科技大学硕士学位论文 的十分明显。所谓局部不稳定性是指系统运动的某些方面的行为强烈的依赖于初始 条件。 此外，具有宽的功率谱；具有分数维的奇怪点集，对耗散系统有分数维的奇怪 吸引子出现，对保守系统也有奇怪的混沌区；普适性，在趋向混沌时所表现出来的 共同特性不依具体的系数以及系统的运动方程而变等都是混沌运动的特征。 2 3 混沌的识别 混沌的复杂性可由上节的各种特征表现出来，利用一定理论方法可解析证明某 些系统的混沌特性，特别是由已知的混沌系统可导出与之拓扑共轭的系统族的混沌 特性。遗憾的是除少数系统外，适宜于解析方法的系统并不多，随着微分动力系统 等数学理论和电子计算机及其它有效计算手段的迅速发展，大大促进了混沌数值实 验和理论的深入研究。目前判断或预告混沌存在及研究混沌运动的方法主要有以下 几种： f 1 ) 相轨及状态变量时间历程的直接观察法根据动力学系统的非线性微分方程 组的数值运算结果，画出相空间中相轨迹随时间的变化图，以及状态变量的时间历 程图。通过对比、分析和综合以确定解的分岔和混沌现象。在相空间中，周期运动 对应封闭曲线：混沌运动对应一定区域内随机分布的永不封闭的轨迹。 f 2 1 自功率谱密度分析法功率谱分析法是识别混沌的一个重要手段。其基本 思想是依据维纳一辛钦定理，求混沌信号的自相关函数r ；。( r ) 的f o u r i e r 变换，根据 所得的自功率谱密度函数s 。( 厂) 来分析混沌的频域特征。对周期运动，功率谱只在 基频及其倍频出现尖峰；准周期的功率谱是几个不可约的基频以及由它们叠加所在 处的尖峰；不同带宽的噪声的自功率谱的带宽表示了噪声的频带宽窄的特点；而混 沌运动的特征是功率谱中出现噪声背景和宽峰的所谓连续谱，其中含有与周期运动 对应的尖峰。 ( 3 ) p o i n c a r e 截面、法l ”j 在多维相空间( x l ，d x l a t ，x 2 ，d x 2 西，x 。，d x 。a t ) 中适当 选取一截面，在此截面上某一对共轭变量如一，d x d t 取固定值，称此截面为p o i n c a r e 截面，观测运动轨迹与此截面的截点( p o i n c a r e 点) 。如二变量的p o i n c a r e 截面上的稳 态图像，当只有一个不动点或少数离散点时，运动是周期的；当p o i n c a r e 截面上是 1 0 华中科技大学硕士学位论文 一闭曲线时，运动是准周期的；当p o i n c a r e 截面上是成片的密集点时，且有层次结 构，运动便是混沌。 ( 4 ) l y a p u n o v 指数方法1 3 4 ，3 5 】l y a p u n o v 指数用来表征系统运动相邻轨道之间的发 散程度，其沿某一方向取值的正负和大小表示长时间系统在吸引子中相邻轨线沿该 方向平均发散或收敛的快慢。最大l y 印1 1 n o v 指数k 。决定轨线覆盖整个吸引子的快 慢，最小l y a p u n o v 指数k 。则决定轨线收敛的快慢，而所有的指数之和五可以认 为是大体上表征轨道总的平均发散或收敛的快慢。若混沌存在，则最大l y a p u n o v 指 数为正。 ( 5 ) 分数维分析方法 3 4 , 3 5 , 3 6 1 对耗散系统，具有分数维的吸引子是混沌的一个重 要特征。 ( 6 1 测度熵或拓扑熵方法 3 5 1 测度熵或拓扑熵是衡量系统信息量在运动中变化的 量，如果大于零，则被认为是混沌的。 此外，还有中心流性定理【3 w 、k a m 定理口舯、符号动力系统方法 3 9 】、胞映射方 法【4 0 1 以及m e l n i k o v 和s h i l i k o v 方法等一系列混沌的识别方法。考虑到上述各种方 法的特点以及d u f f i n g 混沌振子的阵发混沌运动现象是混沌和周期交替出现的一种 特殊的运动状态，而周期运动状态更是一种特殊的运动状态，具有很强的规律性， 拟不采用上述已有的各种算法，而是通过研究阵发混沌现象的规律提出了一种新的 判别阵发混沌现象并求取其周期的过零率检测的新方法。 2 4 通向混沌的道路 一个动力学系统运动的充分发展就是进入混沌状态，系统由简单的运动状态( 平 衡、周期、准周期运动) 向混沌运动状态过渡的方式有那些呢? 自从1 9 6 3 年l o r e n z 发现了奇怪吸引子后，至今人们己经知道了倍周期分岔、间歇过渡( 阵发混沌) 、准 周期分岔和k a m 环面破裂等四条典型的通向混沌的道路。其中前三条通向混沌的道 路的机理在理论上已基本清楚，而第四条通向混沌的道路的机理在理论上尚未解决。 2 ，41由倍周期分岔走向混沌 倍周期分岔是许多非线性动力学过程中常见的现象，也是进入混沌的一种重要 方式。倍周期分岔的特点是周期点由一分为2 ，2 分为4 ，4 分为8 等等，这样无限 华中科技大学硕士学位论文 地分下去将导致混沌轨道的出现。 运动轨道的分岔通常是在失稳后出现的，以一维平方映射x 。= 肛。( 1 一矗) 为例， 当z 1 时系统有唯一不动点x = 0 ，当 1 时，平方映射就会出现一个新的非零不 动点。在= 3 时，此不动点失稳，从周期l 点分岔为周期2 点。当3 3 4 4 9 5 时 有稳定的周期2 点，在= 3 4 4 9 5 时，周期2 点失稳，从周期2 分岔为周期4 点。当 3 4 4 9 5 3 5 4 4 1 时有稳定的周期4 点。在= 3 5 6 4 4 时，周期4 点再次失稳，分 岔为周期8 点，如此等等。在区间3 5 6 4 4 3 5 6 9 9 中，倍周期分岔的情况一再发 生，直到= 从= 3 5 6 9 9 ，周期变得无限长，或者实际上是根本没有周期，这就到达 了混沌态，如图2 1 所示。 ! l dt h ；b 删哪孵町 响 嚣 ”、渊if fi r f旷一| 1 一 l l i l 图2 - 1 平方映射分岔与李雅普诺夫指数兄值随“值的变化 倍周期分岔也称为音叉分岔，在倍周期分岔的过程中，当参数在分岔点从附 近变化时，t 由小于鸬变到大于“时，原来的每个不动点变为三个不动点，其中 原有那个不动点变为不稳定的，新出现的另两个不动点反而是稳定的。这样才使稳 定不动点由一变二、二变四、四变八，从而出现倍周期分岔。 2 4 2 阵发性通向混沌的道路 在非平衡非线性的条件下，某关键参数的变化达到一定的临界闽值时，系统就 会出现时而有序、时而混沌的随机振荡，这种现象称阵发混沌。当参数超过临界值 时，系统发展成完全的混沌。 阵发性混沌通常发生在从混沌运动回到规则运动的边界附近，同样以上述的平 1 2 华中科技大学硕士学位论文 方映射为例，在= 3 8 2 8 4 有一个周期3 的解，很显然，周期3 不可能来自倍周期分 佾，那么周期3 是怎样产生的呢? 原来平方映射在这里发生了一次切分岔，类似周 期2 是由二次平方映射产生的，周期3 可由三次平方映射厂o ( ，x ) = s ( s ( s o u ，x ) ) ) 产 生，如图2 2 ( a ) 所示，由图中可以看到，厂o ( 卢，x ) 有4 个不动点，其中一个是从妇，x ) 的稳定不动点变化而来的不稳定不动点( c 点) ，另外3 个则是稳定的不动点，它们正 好与对角迭代线相切。 文口，对在u 小于3 皇嚣4 掰近静蝗代 图2 - 2 阵发混沌的机理 当参数的值再稍许增大一点时，厂( 3 0 ，x ) 的陆线将都越过切点，与对角迭代 线相交为两个交点，一共产生出六个交点，在每一对交点中有一点是稳定的，另一 点是不稳定的，3 个稳定的不动点给出了一条稳定的周期3 轨道，如图2 2 ( b ) 所示。 由于它们正好是在相切的交点处产生的，因而又被称为切分前。 华中科技大学硕士学位论文 若将参数值略为减小一些，”( ，x ) 与对角迭代线无交点，不存在稳定态， 而是在原来的三个切点附近形成一条狭窄的“走廊”，如图2 2 ( c ) 所示。当某一轨道 点落入某一走廊的入口处时，迭代过程使系统状态发生变化，开始时状态趋向走廊 最窄处，但因迭代不能停留在该处而继续前进并逐渐远离该处，状态变化幅度又越 来越大，如图2 2 ( d ) 所示。最后又离开此走廊而随机地再进入这个或那个走廊入e 1 附近处，重复上述在走廊中的迭代过程，当然并不是与原来迭代路线完全一致。在 走廊内的变化过程，状态变化极小，极近似于周期运动；而在两走廊之间跳动时， 状态发生很大变化，这样的间歇过程自然不是周期运动过程，而是间歇混沌。 后续章节还将详细分析用以实现微弱信号频率测量的改进d u f f i n g 混沌振子阵 发混沌产生的机理，它是由周期策动力幅值在非平衡相变临界值附近的消涨而引起 的，与上述阵发混沌产生的机理有很大的区别。 2 4 3 茹厄勒塔肯斯道路通向混沌 对于通向混沌道路的研究，可追溯到人们对湍流发生机制的研究。湍流最初是 从层流开始的，当流速高到一定程度之后，原来有规则的层流或片流就会突然变为 一种看上去十分混乱的流动，即湍流。 1 9 4 2 年霍夫( e h o p f ) 提出了著名的霍夫分岔后不久，1 9 4 4 年著名物理学家朗道 ( l d l a n d a u ) 第一个提出了湍流产生的理论，该理论认为，在流动系统中，随着雷诺 数r e 的不断增加，系统发生连续失稳而产生出一系列新的振荡模式。起初，当r e 极小时，流体处于与时间无关的层流状态，对应相空间的稳定不动点：当r e 超过某 临界值时，出现h o p f 分岔，即出现频率为0 9 ，的振荡而使流体失稳；当r e 进一步增 大到另一临界值时，发生二次h o p f 分岔，出现新的频率为, 5 0 ，的振荡，运动用相空 一 问的二维环面表示，通常“形、为无理