（通信与信息系统专业论文）hilberthuang变换及其在故障检测中的应用.pdf

中文摘要 传统分析和处理非平稳信号的方法本质上都是以f o u r i e r 变换为基础的，因此 不能从根本上摆脱f o u r i e r 分析的局限性。h i l b e r t h u a n g 变换是由美国工程院院 士、美籍华人n e h u a n g 于1 9 9 8 年提出的，它是通过对信号的经验模态分解 ( e m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n ：e m d ) ，使非平稳信号平稳化，从而使信号h i l b e r t 变换后得到的瞬时频率具有物理意义。该方法一经提出，便成为众多学科共同 关注的热点，迅速在各个领域得到了广泛的应用。 本文系统研究t h i l b e r t h u a n g 变换的基础理论，介绍了瞬时频率、解析信号 和本征模函数的基本概念，详细阐述了经验模态分解的具体实现步骤，并分析 了h i l b e r t 谱分析和边际谱的物理意义，对经验模态分解的完备性和正交性做了简 单介绍。与此同时，也指出了一些在h i l b e r t h u a n g 变换中所存在的问题，并针对 端点效应问题进行了理论分析和算法改进。 在e m d 方法应用中，通过三次条插值算法给出的上、下包络在数据信号的两 端不可避免地会出现发散现象，即端点效应问题，会严重影响e m d 分解的质量， 使分解出的i m f 没有实际的物理意义。针对这一问题，本文利用镜像闭合端点延 拓来抑制端点效应，闭合端点延拓法即用镜像法把镜内信号映射成一个周期性 的环行信号，不存在端点，从根本上避免了e m d 和h i l b e r t 变换的端点效应。本 文利用m a t l a b 软件仿真实例信号及其e m d 分解过程，通过对比其包络曲线、e m d 分解的i m f 分量以及边际谱来证明端点延拓的有效性。 本文以国家自然科学基金重点项目旋转平台为基础，利用h i l b e r t h u a n g 变换对大型机械设备运行状态进行故障检测。本文介绍了旋转平台的硬件结构 及自主研发的软件系统，重点分析了软件系统的架构和模块设计，结合实际工 程项目，将h i l b e r t h u a n g 变换整合到旋转平台软件系统中，成为一个新的模块一 一故障检测模块。利用旋转平台软件系统中的故障检测模块对故障信号进行分 析，准确地检测出机械故障，从而验证了h i l b e r t h u a n g 变换在故障检测中的有效 性和正确性。 关键词：h i l b e r t h u a n g 变换，经验模态分解，端点效应，故障检测 a b s t r a c t t h ec o n v e n t i o n a lw a y st oa n a l y z ea n dp r o c e s sn o n - s t a b l es i g n a l sa r ea l lb a s e do n f o u r i e rt r a n s f o r m ，s ot h e yc a nn o tg e tr i do ft h el o c a l i z a t i o no fi t h i l b e r t - h u a n g t r a n s f o r mi s p r o p o s e db yn e h u a n gi n 19 9 8w h oi sac h i n e s ea m e r i c a na n d a c a d e m i c i a no fu sn a t i o n a la c a d e m yo fe n g i n e e r i n g t h r o u g ht h ee m p i r i c a lm o d e d e c o m p o s i t i o n , h i l b e r t h u a n gt r a n s f o r mm a k e st h en o n - s t a t i o n a r ys i g n a l st ob e s t a t i o n a r y ，s ot h a tt h ei n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c yt h a ti sg o t t e nf r o mt h es i g n a la f t e r h i l b e r tt r a n s f o r m a t i o nh a st h ep h y s i c a lm e a n i n g a ss o o na sp u tf o r w a r d ，t h i sm e t h o d b e c o m en u m e r o u sq u i c k l yg o ta ne x t e n s i v ea p p l i c a t i o na te a c hr e a l m t h i sp a p e rr e s e a r c h e st h eb a s i ct h e o r yo fh i l b e r t h u a n gt r a n s f o r m ，a n d i n t r o d u c e st h ed e f i n i t i o n so fi n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c y ，a n a l y t i cs i g n a la n di n t r i n s i c m o d ef i m c t i o n i te l a b o r a t e st h ec o n c r e t e s t e p so fe m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n i m p l e m e n t a t i o ni nd e t a i l ，a n da n a l y s i st h ep h y s i c a lm e a n i n g so fh i l b e r ts p e c t r a l a n a l y s i sa n dm a r g i n a ls p e c t r u m i ti n t r o d u c e si n t e g r i t ya n do r t h o g o r t a l i t ye m p i r i c a l m o d ed e c o m p o s i t i o nb r i e f l y a tt h es a m et i m e ，i ta l s op o i n t e do u ts o m ep r o b l e mo f t h eh i l b e r t - h u a n gt r a n s f o r ma n dd os o m ew o r kt h et h e o r e t i c a la n a l y s i sa n da l g o r i t h m i m p r o v e m e n tf o re n dp o i n te f f e c t s u s i n ge m dm e t h o d ，t h e r ei sb o u n dt ob ed i v e r g e n tp h e n o m e n aa tt h et w oe n d so f t h eu p p e ra n dl o w e re n v e l o p es i g n a li nt h ed a t at h r o u g ht h et h r e ei n t e r p o l a t i o n a l g o r i t h m ，w h i c hi se n de f f e c t i tw i l la f f e c tt h eq u a l i t yo fe m dd e c o m p o s i t i o nb a d l y ， s ot h a tt h ed e c o m p o s e di m fh a sn oa c t u a lp h y s i c a lm e a n i n g t h i sp a p e ru s em i r r o r c l o s e de x t e n s i o nt os o l v et h ep r o b l e mo fe n de f f e c t m i r r o rc l o s e de x t e n s i o nm a p st h e s i g n a li n t oap e r i o d i cs i g n a lo ft h er i n gt h r o u g ht h em i r r 6 ri m a g em e t h o d ，a n dt h e r ei s n oe n d p o i n t ，a n df u n d a m e n t a l l ya v o i d st h ee n de f f e c t so fe m da n dh i l b e r tt r a n s f o r n l t h i sp a p e rs i m u l a t e st h es i g n a la n di t se m dd e c o m p o s i t i o np r o c e s sw i t l lm a t l a b s o f t w a r e ，a n di tv e r i f i e st h ee f f e c t i v e n e s so fe n de x t e n s i o nt h r o u g ht h ec o n t r a s to f e n v e l o p es i g n a l ，i m fa n dm a r g i n a ls p e c t r u m t h i sp a p e ri sb a s e do nt h en a t i o n a ln a t u r a ls c i e n c ef u n d sp r o j e c t _ 一r o t a t i n g p l a t f o r m ，a n dd e t e c tt h em a l f u n c t i o no fm a c h i n el a r g e s c a l ee q u i p m e n tu s i n g h i l b e r t - h u a n gt r a n s f o r m i ti n t r o d u c e st h eh a r d w a r es t r u c t u r ea n dt h es e l f - d e v e l o p e d i i s o r w a r es y s t e mo ft h er o t a t i n gp l a f o r m ，a n de s p e c i a l l ya n a l y s e sa r c h i t e c t u r ea n d m o d u l ed e s i g no fs o t h v a r es y s t e m c o m b i n i n gp r a c t i c a le n g i n e e r i n gp r o je c t s ，t h i s p a p e rm e 娼e sh i l b e r t - h u a n gt r a n s f o r ma n dt h es o f t w a r es y s t e mt o g e t h e ra n dm a k e s i tb e c o m ean e wm o d m f 1 m a l f u n c t i o nd e t e c t i o nm o d u l e t h i sp a p e ru s e st h e m a l f u n c t i o nd e t e c t i o nm o d u l et od e t e c tt h em a l f u n c t i o ns i g n a l sa n dd e t e c tm e c h a n i c a l m a l f u n c t i o n a c c u r a t e l y ，w h i c hv e r i f i e s e f f e c t i v e n e s sa n d a c c u r a c y o ft h e h i l b e r t h u a n gt r a n s f o r mu s i n gf o rm a l f u n c t i o nd e t e c t i o n k e yw o r d s ：h i l b e r t - h u a n gt r a n s f o r m ，e m p i r i c a lm o d e d e c o m p o s i t i o n ，e n de f f e c t s ， m a l f u n c t i o nd e t e c t i o n i i i 独创性声明 本人声明，所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 武汉理工大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说 明并表示了谢意。 学位论文使用授权书 本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权武汉理工大学可以将本学位论文的 全部内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制 手段保存或汇编本学位论文。同时授权经武汉理工大学认可的国家有 关机构或论文数据库使用或收录本学位论文，并向社会公众提供信息 服务。 一 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 研究生( 签名) ： ll 会貉 施名即刎2 f 口 ( 注：此页内容装订在论文扉页) 武汉理工大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 课题研究的背景、目的及其意义 目前，大型机械设备是机械领域的发展趋势，其运行速度也在逐渐提升， 而且运行及其操作也在逐渐减少人为干预，因此，其功能结构也相对会变得越 来越复杂。机械设备某些小零部件的损伤，平时可能不会引起人们注意，但是 机械在疲劳运行过程中，损伤将会不断的积累，还会牵引出其他的设备问题， 这些都将成为故障或者事故的隐患。一旦发生故障或者事故，将会造成不可预 料的后果，轻则造成经济损失，重则造成人员伤亡事故。由此可以看出，对机 械设备状态进行故障检测就显得非常有意义【l 】，而这个方面的研究也逐渐成为了 信号处理方法的重要领域之一。 在信号处理技术蓬勃发展的今天，机械故障的振动信号已经不再是以前单 纯认为的平稳信号，而更多的是非平稳信号。实际情况也正是如此，在正常工 作情况下，机械设备的振动信号也时常是以非平稳信号的形式出现，而这些非 平稳信号中所包含故障信息是十分丰富的1 2 1 。因此，针对非平稳信号的分析是故 障检测领域一个无法回避的课题。 早期，包括傅立叶变换在内，没有任何一种方法能够很好地适应于非平稳 信号的分析。傅立叶变换是一种全局的变换方法【3 】，它在分析平稳信号时有着很 好的表现，但是在分析非平稳信号时，就显得捉襟见肘了。非平稳信号是频率 随时间变化而变化的信号，随着数学理论的不断发展，为了更一步地分析非平 稳信号，时频分析方法就孕育而生了。 由于傅里叶变换本质上存在着缺陷【4 】，作为一种分析时变非平稳信号的新兴 的信号处理方法时频分析已经逐渐成为现代信号处理研究的一个热点。采 用时频分析方法，可以同时得到非稳态信号在时域和频域中全局，也可以得到 其局部化的结果，只有这样才能对机械设备非稳态信号进行较好地分析和提取 故障特征。时频分析的基本思想是构造时间和频率的联合分布，用它同时描述 信号在不同时间、不同频率的强度分布或者能量密度。这种分析方法改进了傅 立叶变换只能针对时域或者频域的分析，提供了时域与频域的联合分布信息， 从而可以清楚地描述信号频率随时间变化而变化的关系。 武汉理工大学硕士学位论文 时频分析能够确定某一个频率的出现时间，这是传统的傅立叶变换无法做 到的。很多时频分析方法的基本思想都是基于傅立叶变换分析理论的，如短时 傅立叶变换、小波变换和w i n g e r - v i l l e 分布等等，因此，他们也会受到傅立叶分 析理论本质上缺陷的局限【5 】，不能对非平稳信号进行很好的分析；除此之外，受 h e i s e n b e r g t 6 】不确定原理的限制，上述时频分析方法与傅立叶变换一样，存在时 间和频率上的模糊。 19 9 8 年，n e h u a n g 及其同事提出了h i l b e r t h u a n g 变换法( h i l b e r t h u a n g t r a n s f o n n ：h h t ) 7 1 ，作为时频分析的一种新方法，其理论和算法正在进一步 的完善，近年来也受到越来越广泛的重视。h i l b e r t h u a n g 变换是通过对信号的经 验模态分解，产生一系列固有模态函数( i n t r i n s i cm o d ef u n c t i o n 肼f ) 集，使 非平稳信号峭j 平稳化，经验模态分解得到的固有模态函数集各自代表原始信号一 段时间尺度的能量，每个固有模态函数通过h i l b e r t 变换计算出的瞬时频率【9 】具有 物理意义。从固有模态函数的角度来说，经验模态分解可以看作是信号的一种 扩展，其扩展是完备的，也几乎是正交的，而且是自适应的，扩展非线性和非 平稳信号必须满足局部性和自适应性这2 个特性。每个本征模态函数都是单分量 信号，也就是说，在任何时刻，本征模态函数都只含有一个频率分量，而该频 率称之为信号的瞬时频率，瞬时频率是通过对i m f 进行h i l b e r t 变换得到的，同时 获得信号的时频分布，利用信号的时频分布可以准确反映出系统的固有特性， 这样就达到了分析非线性和非平稳信号的目的。 综上所述，机械设备发生故障时的振动信号大多数是非平稳信号，而 h i l b e r t h u a n g 变换可以很好地应用于对非平稳信号的分析，使非平稳信号平稳 化，同时它摆脱了傅立叶变换缺陷和h e i s e n b e r g 不确定原理的限制，能够通过时 频分布准确反映出信号的固有特性。换句话来说，将h i l b e r t h u a n g 变换应用于机 械设备的状态监测和故障检测中有着极其重大的意义。 1 2h i l b e r t - h u a n g 变换研究与发展状况 1 2 1h i l b e r t h u a n g 变换研究的背景 傅立叶信号分析理论是傅立叶在1 8 0 7 年提出的，一直以来，傅立叶变换被 认为是信号分析发展史上的一座里程碑。自然界中许多事物的本质区别不只是 在于时域的区别，频域也能反映事物的本质区别。在很多情况下，从时域分析 2 武汉理工大学硕士学位论文 不能发现事物本质特征，从某种程度来说，信号的频域能够更加准确地揭示事 物的本质，这也正是傅立叶变换方法意义所在。傅立叶变换能够将传统的时域 分析转移到频域中来分析，从而搭建了时域分析到频域分析之间的桥梁。在信 号分析过程中，一般采用时间作为自变量来表示，也可以通过傅里叶变换将信 号分解为不同的频率分量来发现其本质特征。在传统的信号分析中，平稳的随 机信号常用相关函数作为时域，而功率谱其实就是一种频域的能量密度分布， 因此可以把功率谱作为频域，利用这样的二阶统计量来表征。相关函数与功率 谱之间可以利用傅里叶变换相互转换，所以，通过傅里叶变换可以将时域分析 转移到频域分析。 虽然傅立叶分析理论在信号分析发展史上具有里程碑式的意义，但随时其 理论研究不断发展，发现傅立叶变换存在着一个基本矛盾：任何一个信号都不 能同时利用时域和频域来表征信号本质，时域和频域之间存在着局部化矛盾。 除此之外，傅立叶变换是一种线性、稳态的变换，只适应于分析线性的、平稳 的信号，而且它只能做全局的分析。但是，非稳态、非线性的信号充斥在整个 机械故障检测领域中，因此，傅立叶分析理论不能应用于机械故障检测。 为了解决这个难题，世界各国的学者纷纷展开研究，一部分学者通过时频 分析来研究信号频率随时问的变化，使研究工作向前迈了一大步。沿着这一思 路，学者们相继提出了如短时傅立叶变换、小波分析和w i n g e r - v i l l e 分布等非常 实用的信号分析理论，但是这些时频分析方法都是以傅立叶变换为理论基础的， 与傅立叶变换一样，它们基于积分理论，缺乏自适应性，而且受h e i s e n b e r g 不确 定原理的限制，这些缺陷导致了上述时频分析方法不能清楚地描述频率随时间 的变化。因此，要对非平稳、非线性的信号进行较好的分析和提取，就需要利 用更为先进的信号分析方法。 随后，瞬时频率成为了信号分析领域的一个热门课题，由于无法给瞬时频 率一个满意的定义，瞬时频率及相关理论的研究并未取得实质性的突破。直到 1 9 9 8 年，美籍华裔科学家n e h u a n g 等人才提出了经验模态分解方法，这是一种 真正意义上基于瞬时频率的信号处理方法，并且在此基础上提出t h i l b e r t h u a n g 变换，从而彻底解决了分析和提取非平稳、非线性信号这个难题。 1 2 2h i i b e r t - h u a n g 变换研究与发展状况 目前，h i l b e r t h u a n g 变换在理论和算法方面还大为滞后，尤其在理论方面并 武汉理工大学硕士学位论文 没有什么突破性的进展，它的数学理论基础还远没有完善。在曲线拟合方面， 对于非均匀插值点，三次样条插值很容易造成包络曲线过冲和欠冲现象；在端 点效应方面，利用经验模态分解筛选过程中经常在上、下包络曲线的端点处出 现失真，此现象在文中后面章节会有所提到；在模态混叠方面，同一个i m f 里， 混叠着多个模态，不能清楚地反映信号的本质特征；在筛选终止条件方面，由 于筛法没有可靠的理论依据，所以会导致分析结果不唯一或者错误的结果。这 些问题在没有完全解决前，都将会一直制约着h h t 的发展及其应用。 在h i l b e r t h u a n g 变换理论发展的十多年时间里，研究工作还不是很多i l o 1 1 1 ， 但是国内外许多著名学者都已经对这方面展开了理论研究工作。目前，国内从 事这方面的研究工作主要有：大连理工大学的盖强、张海勇、余泊、马孝江， 浙江大学的胡劲松、杨世锡和重庆大学的谭善文、钟佑明、秦树人等；国外从 事这方面的研究工作主要有：h u a n g 等人、n u n e s 、z h u 、w h u a n g 等。h u a n g 等 人利用其理论先驱的优势把主要工作集中在h i l b e r t h u a n g 变换的基础理论方面， 他们建立了h i l b e r t h u a n g 变换的基本框架，分析了h i l b e n h u a n g 变换的基本依 据，提出了经验模态分解和连续均值筛法，引入了本征模函数的概念，定义了 h i l b e r t 谱和边际谱1 1 2 1 概念等概率；钟佑明论证了极值点拟合固有模态信号的合理 性和其拟合的包络线对极值点间的局部影响；谭善文提出了多分辨h i l b e r t h u a n g 变换；胡劲松提出基于b p 、径向基神经网络的e m d 数据延拓技术来抑制端点效 应问题；余泊提出了自适应时变滤波分解经验筛法；等等。尽管h i l b e r t - h u a n g 变换在理论发展上较为缓慢，但是这些学者仍然推动着h i l b e r t 。h u a n g 变换理论不 断向前发展。 与理论相比，h i l b e r t h u a n g 变换在应用方面表现得非常突出，自 h i l b e r t h u a n g 变换方法问世以来，它就引起了各国学者广泛关注。作为一种全新 的信号处理方法，在最初提出e m d 理论时，n e h u a n g 就对其进行了试验，试验 的数据都来自于自然数据，包括潮汐波动信号j 海啸波信号、海洋表面高度变 换数据等，这些试验都证明了e m d 方法的优越性【1 3 1 。他还将e m d 方法应用于地 震记录数据，与此同时，许多其他学者纷纷效仿，将e m d 方法运用于地震信号 方面的研究【1 4 j ，取得了不错的效果。在h i l b e r t h u a n g 变换方法发展随后的十年时 间里，它显示出更加强大的生命力，不论在国际或国内，对这种在信号分析处 理中取得突破的方法，各领域学者专家纷纷展开了不同角度的研究，关于 h i l b e r t h u a n g 变换理论和应用的文献也不断涌现i 1 5 , 1 6 1 ，它已经成功地应用在海洋 f 1 3 j 、地震( 1 4 1 、医学【1 7 】、语音【1 8 】、图像处理【1 9 j 和机械设备故障诊断领域【2 0 】等。在 4 武汉理工大学硕士学位论文 振动工程领域，h i l b e r t h u a n g 变换方法被广泛的应用于故障检测、故障诊断等方 面；在地球物理学领域，h i l b e r t h u a n g 变换方法被广泛的应用于分析大气中的沸 水堆中子检测信号、地心引力波等方面；在生物医学领域，h i l b e r t h u a n g 变换方 法被广泛的应用于提取复杂的医学信号中的特征或去除信号中的干扰；在图像 分析和纹理分析领域，n u n e s 将一维e m d 方法推广n - 幺隹【2 1 】，提出了二维经验模 态分解方法，作为研究图像分析和纹理分析新的分析方法推动了该领域的发展。 大量的事实表明，h i l b e r t h u a n g 变换方法以其独特的优点在各种领域得n - 5 广泛 成功的应用，也证明了其优越性。 尽管各个领域的学者都已经对h i l b e r t h u a n g 变换进行了深入的研究，但是针 对h i l b e r t h u a n g 变换应用于故障检测的研究相对较少，特别针对旋转机械故障检 测的研究就更少，相关国内外文献也很少。由于非平稳、非线性信号充斥着整 个旋转机械故障检测领域，而h i l b e r t h u a n g 变换是分析非平稳、非线性信号一种 非常有力的时频分析工具，利用h i l b e r t - h u a n g 变换可以正确地提取旋转机械的故 障特征。因此，研究h i l b e r t h u a n g 变换对确保大型旋转机械设备安全而高效地运 转、提高社会效益和经济效益都有非常重大的意义。 1 3 本文的主要工作 由以上国内外的分析现状可知，国内外研究人员在研究希尔伯特黄变 换方法并将其应用取得了较大成果，尤其是处理非线性、非稳态数据。虽然作 了很多研究，也取得了很多成果，但是h h t 的数学理论基础还远没有完善，在 实际应用中还存在许多问题，这些问题都会影响我们对实际工程信号的判断。 如何更好的将希尔伯特黄变换方法应用到设备故障检测中，是需要我们继 续深入研究的。 全文共分4 章，内容安排如下： 第一章论述本文的研究背景及其意义，介绍了国内外相关技术的研究现状， 并总结了课题研究中所做的主要工作。 第二章详细介绍h i l b e r t h u a n g 变换原理及其相关基础概念，同时也介绍了其 实现过程。 第三章叙述t h i l b e r t h u a n g 变换中的一些问题，并详细介绍了端点效应现象 和一种抑制端点效应的方法镜像闭合延拓法，将其方法应用于常见信号的 分析中，取得了良好的效果。 武汉理工大学硕士学位论文 第四章论述了基于h i l b e r t h u a n g 变换的故障检测，结合实际工程项目，将 h i l b e r t - h u a n g 变换整合到旋转平台软件系统中，并利用h i l b e r t h u a n g 变换对实例 信号进行分析，从而准确地检测出机械故障。 6 武汉理工大学硕士学位论文 第2 章h i l b e r t h u a n g 变换的基础理论 2 1 基本概念 2 1 1 瞬时频率 瞬时频率( i n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c y ：i f ) 的概念来自于物理现象中，最初是 由通讯中的频率调制( f m ) 引入的【2 2 】，我们周围充满着瞬时频率的现象，比如 色彩不断变化着的光、音调不断变化着的声音等等许多现象呈周期性变化的， 这些现象都体现着瞬时频率的概念。 对于传统意义上的频谱分析，频率的定义来自于在整个信号序列中恒幅值 的余弦函数或者正弦函数的频率，而瞬时频率是频率定义的一种推广，它的定 义也必须和频率的定义相似，因此，少于一个周期的余弦波形或者正弦波形的 频率是无法定义瞬时频率的。但是，利用这样的定义方法来定义非稳态信号的 瞬时频率是没有意义的，所以，需要重新定义瞬时频率的概念来适用于非稳态 信号。 从某种意义上来讲，任何信号都可以分为单分量信号和多分量信号。顾名 思义，单分量信号在任何时刻都只含有一个频率分量，该频率即为信号的瞬时 频率；多分量信号在某些时刻具有各自的瞬时频率。v i l l e 最终给出瞬时频率的 概念的确切定义，例如有信勖( f ) = a ( t ) c o s ( c o ( f ) ) ，他将其瞬时频率定义为 1 一 厂( f ) = a r gz ( 纠 公式( 2 1 ) z 冗眦 其中，z ( 力为公式( 2 1 ) 给出的解析信号，a r g z ( d 为z ( 力的相位角，解析信号 z ( t ) 相位的导数即为信号的瞬时频率。 时变单分量信号只能在瞬时频率概念中得到适当的体现，所以，在每一个 时刻只能有一个单频分量存在，这点对于很多信号是不适用的【2 3 1 。可以通过时 间一频率相平面描述信号的时间和频率结构来解决这个问题，也就是采用时间， 和频率国组成函数致f ，缈) ，利用孔f ，缈) 作为火力的时频表示。 武汉理工大学硕士学位论文 2 1 2 解析信号 在瞬时频率的求解过程中，必须要构造一个复信号来满足瞬时频率的定义。 构造复信号z ( o 最容易的方法就是用已知的实信号x ( o 作其实部，虚部；( f ) 再另外 构造，即： z ( f ) 鼍9 ) + x ( f ) 公式( 2 2 ) 构造复信号z ( o 的关键就在于虚部的选择问题。从某种意义上来讲，虚部的 选择可以有无数种，但是随着g a b o r 引入了解析信号【2 4 】之后，虚部的选择问题就 变得简单起来。 假设一个复信号由解析信号求解方法求出，则这个复信号的频谱和实信号 正频率完全相同，其负频率为零，我们可以利用解析信号的相位导数来分析瞬 时频率，让其具有物理意义。 若任意实信号x ( 力的频谱为坝国) ，那么由解析信号定义可知，复信号z ( o 的 频谱只由坦国) 的正频率部分构成，其负频率为零，由傅里叶逆变换得 m ) 2 去j c o 砌) e j o d t 公式( 2 - 3 ) 布i j 用买信亏_ ) c ( 力采于匪倒z ( f ) 阴表达式： 因为 砌) 。去砌) e 所以 嘲观去j c o p e 。e ，d 国 = 寺j c op ( f t ) e 如。叫 冗“。 因为 f e 勺= 碳卅手 所以 z ( f ) = 三7 1 ：p ( 州碳川) + 击t p o f 。 由此可得实信号x ( 力的解析信号 倒= z ( f 刖训+ j 妻腭枷 8 公式( 2 4 ) 公式( 2 5 ) 公式( 2 6 ) 公式( 2 - 7 ) 公式( 2 - 8 ) 公式( 2 9 ) 武汉理工大学硕士学位论文 其中，公式( 2 9 ) 中的x ( f ) 是实信号x ( d 的h i l b e r t 变换。从公式( 2 - 9 ) 中可 以看到，解析信号的频谱只是由正半轴的频谱唯一确定的，而实信号的频谱也 只是由它的正半轴完全确定的，所以一个信号的解析信号与其本身是唯一对应 的。解析信号只存在着正频率成分，实部就是实信号自身，这是解析信号的重 要特征。之所以命名为解析信号，是因为解析信号这类的复信号都可以满足柯 西一黎曼可微分析条件。 2 1 3 本征模函数 瞬时频率的概念告诉我们，瞬时频率必须满足：极值点与过零点的数目基 本相等；信号关于时间轴局部对称。在此基础上，n e h u a n g 等人提出了本征模 函数的概念。 满足本征模函数的两个必要条件： ( 1 ) 一列数据的极值点( 极大值或者极小值) 和过零点的个数必须保持基 本相等，相差最多不能超过一个； ( 2 ) 在任何时刻，上包络线( 由局部极大值点构成的) 和下包络线( 由局 部极小值点构成的) 的平均值必须为零，即信号是对称的，局部均值为零。 必要条件1 要求任意一个i m f 频率带宽都必须远远小于频带中心频率：必要 条件2 将频率定义为局部的概念，这是一个全新的思想，从某种意义上来讲， 必要条件2 是十分必要的，它是为了避免瞬时频率不必要的波动，而这些波动 是由波形的不对称形成的，在某种情况下，必要条件2 可以用“数据的局部均 值为零 来替换。i m f 可以表明数据内部的波动模式，i m f 既可以是平稳的也 可以是非平稳的，既可以进行幅度调制又可以进行频率调制，i m f 还可以通过 幅值调制或者频率调制得到。 2 2h i l b e r t h u a n g 变换 h i l b e r t h u a n g 变换是一种分为两步骤信号分析方法： ( 1 ) 用经验模态分解方法将数据分解为有限数目的固有模态函数。 ( 2 ) 对分解得到的i m f s 进行h i l b e r t 变换和瞬时频率方法，从而获得信号的 时频谱h i l b e n 谱。 武汉理工大学硕士学位论文 图2 1h i - i t 变化框图 如图2 1 所示，任意一个信号x ( t ) 通过经验模态分解得到一系列固有模态函数 集( i m f s ) ，每个固有模态函数都是单分量信号，能够很好地进行h i l b e r t 变换 ( h t ) ，当每个i m f 经过h i l b e r t 变换后，都可以生成表示时间频率幅值 的h i l b e r t 谱( h ( ，t ) ) ，然后获得一系列的h i l b e r t 谱进行积分，就可以得到表征 频率能量的边际谱h ( c o ) 。 2 2 1 经验模态分解基本步骤 经验模态分解( e m d ) 方法目的是通过非平稳信号的分解获得一系列表示 信号特征时间尺度的固有模态函数，使得各个分量i m f 是单分量的幅值或频率调 制信号，使得信号平稳化。下面是时间序列数据灭d 经验模态分解的一种算法【2 5 】， 经验模态分解具体步骤如下： ( 1 ) 利用三次样条插值函数构造信号“，) 的上、下包络线，其中，上包络线 由所有的局部极大值点构成，下包络线由所有的局部极小值点构成。假设拟合 出信号的上包络线为p | i l f g ( 力，下包络线为p 加( f ) ，由于上、下包络线包络了所有的 信号数据，所以必须满足： e h i g h ( t ) _ y ( t ) _ e t o 。( t ) 公式( 2 - 10 ) ( 2 ) 记上下包络线的平均值 嘲o ) ：垒d 塑鱼盟 公式( 2 1 1 ) z 将x ( 力减去朋j ( d 得 石( d = y ( 0 一r m ( o 公式( 2 - 1 2 ) ( 3 ) 判嘶( 力是否满足成为i m f 分量的两个必要条件，如果不满足，n n j s ( 0 作为y ( f ) ，重复步骤( 1 ) ，( 2 ) ，如果满足，由判止准则【2 6 】就筛选出原始信号的第一 阶i m f ，此时，记c l ( t ) = f l ( t ) ，其中，c ，( 0 为信勖( 力的第一个i m f 分量，它是信号 灭d 中最高频率的i m f 分量。 1 0 武汉理工大学硕士学位论文 图2 2e m d 算法流程图 ( 4 ) 用原始信号j ，( 0 去掉筛选出的i m f 分n c ，( d ，就得到了一个差值信号 r l ( t ) ，于是 ，( f ) 7 ( 力- c ，( 力 公式( 2 - 1 3 ) 可以把r l ( t ) 看作新n y ( o ，用同样方法可以筛选出原始信号的其他i m f ，直到 武汉理工大学硕士学位论文 锄( ，) 或者h ( f ) 满足迭代终止条件，原始信号y ( 力最终表示为 生 y o ) = c ，( f ) + 厂。o ) 公式( 2 - 1 4 ) = l 其中，c 又o 代表信号的各个i m f 分量，而每个i m f 分量都是一个单分量信号， 因此它们表示信号各个不同频率段的成分，在同一个i m f 分量中，瞬时频率是随 着时间变化而变化的，每一个频率段中的频率成分也会大不相同，这种不同频 率成分的局部时间分布是随信号本身的变化的。如( 0 称为残余分量，表示信号的 平均趋势。e m d 具体算法流程如图2 2 所示。 2 2 2 经验模态分解的完备性和正交性 如果任一信号能够满足分解后的各个分量相加还原成原始信号，则称此信 号具有完备性。利用e m d 分解得到的每i m f 分量所包含频率段各不一样，频率 也呈现出逐渐变低的趋势；在信号重构过程中，重构信号会随着重构的深入不 断接近于原始信号。最后，重构信号与原始信号之间只会相差很小的计算误差， 而且这个误差可以忽略不计。因此可以看出，e m d 分解具备完备性。 在现实中，信号的正交性可以分为物理上的正交和逻辑上的正交。物理上 的正交定义为这些信号在不同的频段上使构成信号的本原不同；逻辑上的正交 定义为信号在相同的频段上，但是采用不同的逻辑编码，以数学形式构成的正 交。在实际物理意义上，e m d 分解的正交性是可以得到满足的，利用e m d 分解 出的各i m f 分量，它们相互之间是局部正交的，由于i m f 是由信号与上、下包络 线局部平均值求得的，所以 ( y ( f ) 一y ( f ) ) y ( f ) = 0 公式( 2 1 5 ) 然而，从严格意义上来讲，公式( 2 1 5 ) 并不一定成立，因为在i m f 分量求 解过程中，或多或少存在着信息泄漏。这是由很多原因引起的，其中包括：局 部均值并不是信号真实的均值，而是通过上、下包络求得的；每一个i m f 分量只 是信号中的一个频率分量，不能保证会有其他频率分量泄漏。 与此同时，可以由后验数值计算来验证e m d 的正交性。首先，将公式( 2 1 5 ) 改写为： n + l y ( f ) = c ，( f ) 公式( 2 1 6 ) f = l 令残余分量h ( 力：c 。+ 1 ( t ) ，对公式( 2 1 6 ) 边平方得： 武汉理工大学硕士学位论文 j ，2 ( f ) ：n + l + n + l n+l。(f)cjc2t)2zzc ( f ) 公式( 2 1 7 ) j ，2 ( f ) = + 。( f ( f ) 公式( 2 一 如果分解是正交的，则d ( f ) o ( f ) 为零，那么，信号x ( t ) 的正交性指标可 定义为 ，水) e ，( f ) j ：f r 笙兰二f 公式( 2 1 8 ) 拓o v ( f ) 其中，确信号的总长度。 验证表明，瑚值一般不超过1 ，但是在特殊情况下，珂能达到5 。 正交性也可定义到任意两个i m f 分量，如以力和味d ，其正交性测量为 。鹾c 。 ，( 心t ) c j ( t 。) 。d t 公式c 2 ， 其中，确信号的总长度。 由此可以看出，e m d 分解具备正交性。值得注意的是，这里介绍的正交性 都是局部意义上的正交，并不是全局意义上的正交。对于某些特殊数据，从全 局上来讲并不是正交的，因为在不同的时间段上，相邻的分量可能会含有相近 的频率成分。另外，由于数据长度有限，即使具有不同频率的正弦分量也不是 完全正交的。 2 2 3h i l b e r t 谱分析 对每一个蹦f j ( d 进行h i l b e r t 变换得： 衲：三p 仁冬7 公式( 2 - 2 0 ) 其中公式( 2 2 0 ) 中尸为柯西主值，因此c ( t ) 的解析信号为： z ( t ) = c ( t ) + i 云( ，) = 口( f ) e 诏d 公式( 2 2 1 ) 其中 口( f ) = c 2 ( f ) + ；( f ) 1 尼 公式( 2 2 2 ) ) 列c t a l l 罴 公式( 2 - 2 3 ) 得到的瞬时频率为 缈：d o ( t ) 出 1 3 公式( 2 2 4 ) 武汉理工大学硕士学位论文 于是，原始数据可表示为 y ( f ) = r e za 。( ，) e x p j 国) d f ) 公式( 2 2 5 ) 1 = 1 公式( 2 2 5 ) 颧力的h i l b e r t 谱，记为域0 9 ，) ，其中r e 表示取实部。 值得注意的是，公式( 2 2 5 ) 并不包含残余分量h ( d ，因为残余分量通常是 一个常量或者是一个单值函数。由于残余分量的能量有时较大，会影响到其他 有用分量，而有用信息一般出现在能量的高频部分，因此，在变换过程中一般 把残余分量忽略掉。灭，) 的f o u r i e r 变换展开式为 y ( f ) = r e