（基础数学专业论文）一阶脉冲微分方程的积分边值问题.pdf

一阶脉冲微分方程的积分边值问题 摘要 本文主要讨论了几类一阶脉冲微分方程边值问题解的存在性全文共分为 四章 第一章简述了脉冲微分方程边值问题背景和研究现状，以及本文的主要工 作 第二章研究了一类一阶脉冲积分微分方程的积分边值问题解的存在性利 用上下解和单调迭代技巧，获得了积分边值问题存在最大，最小解的一组充分 条件，并得到了两个分别一致收敛于最大，最小解的单调序列 第三章继续研究了一类一阶脉冲微分方程积分边值问题 ， iz 他) + 6 ( ) z ( z ) = ，( ，z ( t ) ， k z ) ，t t 知，t ，= o ，t 】， 名( 坟) = 厶( 。( 奴) ) ，七= 1 ，2 ，m ， i z ( o ) + pj 孑z ( s ) d s = 一z ( t ) ，p o 通过利用上下解方法和单调迭代技术得到了边值问题存在耦合极大解和极小解 的一组充分条件，以及一个一致收敛于解的单调序列 第四章考虑了一阶脉冲微分包含的积分边值问题。利用上下解方法和多值 映射不动点定理得到了系统存在解的一组充分条件 关键词：脉冲微分方程；积分边值条件；上下解；不动点；单调迭代 技术 i 2 0 0 8 届高校教师在职硕士学位论文 a b s t r a c t t h i st h e s i sm a i n l ys t u d i e st h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o i l sf o ri m p u l s i v eb o u n d a 盯 v a l u ep r o b l e i r l s i ti sc o n s i s t e do ff b u rc h a p t e r s a l st h ei n t r o d u c t i o i l 8 ，i nc h a p t e r1 ，t h eb a c k g r o u n da n dh i s t o r yo f b o u n d a 叮 v a l u ep r o b l e i i l s ，a n dt h em a i nw o r ko ft h i sp 印e r 盯e 百v e n i nc h a p t e r2 ，1 w ef b c u s e so nt h ee ) ( i s t e n c eo fs 0 1 t i o n sf b rf i r s t o r d e ri m p u l s i v ed i h i e r e l l t i a le q u a t i o i l sw i t hi n t e g r a lb o u n d a j 了c o n d i t i o i l s w ee s t a b l i s h s e v e r a le ) 【i s t e n c er e s u l t sb yu s i n gu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n sm e t h o dc o u p e dw i t h m o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u e ac o m p a r s i o nr e s u l to nai m p u l s i v et h r e e p o i n t b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ， c h a p t e r3c o n c e r n st h ea i l t i p e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rf i r s t o r d e r i m p u l s i v ed i f f 色r e n t i a le q u a t i o n s 1 ( ) + 6 ( ) z ( ) = ，( t ，z ( t ) ， k z ) ，t “，j = 【o ，刀， z ( k ) = ( z ( ) ) ，七= 1 ，2 ，m ， iz ( o ) + 卢f z ( s ) d s = 一z ( 丁) ，弘o ， w r ee s t a b l i s hs e v e r a le 菇s t e n c er e s u l t sb yu s i n gu p p e ra n dl 伽旧rs 0 1 u t i o 璐m e t h o d c o u p e dw i t hm o n o t o n ei t e r a t i v et e d h i l i q u e i nc h 印t e r4 ，w ec o i l s i d e rt h ei i l t e g r a lb o u n d a 唧v a l u ep r o b l e mf o r 缶s t o r d e ri m p u l 8 i v ed i 丑e r e n t i a l i n c l u s i o n s u s i n gaf e d - p o i n tt h e o r e mf o rc o n d e n 8 - i n gm u l t i v a l u e dm 印s ，u p p e ra n d1 帆r e r8 0 l u t i o nm e t h o d ，w ee s t a b l i s hs e 、他r a l r e s u l t s k e yw o r d s ：i m p u l s i v ed i 骶r e n t i a le q u a t i o 璐；i n t e g r a lb o u n d a yc o n d i t i o n ； l 嘶r e ra n du p p e rs 0 1 u t i o i l s ；m o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u e ；f i ) 【e dp o i n t ；i n c l u - 8 i o n i i 一阶脉冲微分方程的积分边值问题 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出重要贡献的个人和 集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人 承担 学位论文作者签名：_ 白。吨一62 r i 砖年i a 月f 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，研究生在 校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学同意学校保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本 人授权湖南师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文本学位论 文属于 1 、保密，在年解密后适用本授权书 2 、不保密 ( 请在以上相应方框内打。 ”) 作者签名： 黾小b 日期：狱年p 月1 日 导师签名：懒 日期：孝卑，胡，d 日 4 5 一阶脉冲微分方程的积分边值问题 1 绪论 本章介绍了脉冲微分方程的历史背景和意义，以及与本文直接相 关的边值问题的研究现状和本论文所做的主要工作 1 1 背景与意义 在许多连续渐变过程或系统中，由于某种原因，在极短的时间内 会遭受突然的改变或干扰，从而改变原来的运动轨迹，这种现象称为 脉冲现象( 由于变化时间短往往可以忽略不计，其突变或跳跃过程可 看作在某时刻瞬时完成，该时刻称为脉冲时刻) 这种脉冲现象在自然 界中广泛存在，例如，种群生态系统的定时捕捞或补给；药剂学中的 定时给药的过程；电路系统中开关的闭合；通信中的调频；经济学中 的一些最优控制模型；机械运动过程或其它振动过程突然遭受的外加 强迫力( 如打击或碰撞) 等等，都可能导致脉冲现象的发生众所周 知，利用脉冲微分方程能更逼真地描述这些带有脉冲现象的变化过程 【1 】因此，根据自然现象和科技各领域的实际问题来建立脉冲微分方 程模型以及对这种数学模型的研究就具有重要的理论意义和应用价 值 根据文献资料及与专家学者交流得知，脉冲微分方程的研究始于 二十世纪六十年代，以前苏联学者v m i l m a n 和a m y s h 妇的先驱工作 为标志近二十年来在这个领域具有代表性的专著有v l a l 【s h n i l 【a n t h 锄， d d b a i n o va n dp s s i m e o n o v 合著的t h e o r ) ro f i m p u l s i v ed i 船r e n t i a le q u a - t i o n s ，w b r l ds c i e n t i f i c ，8 i n g 印o r e ，1 9 8 9 ；b a i n o v ，d d a n dp s 合著的s i m 争 o n o v ，s y e t e 脚、) l r i t hi i l l p u l s ee f f t ：s t a b i l i t yt h e o 巧a n da p p l i c a t i o n s ，c h i c h e s t e r ，e l l i sh o r w o o d1 9 8 9 和b a i n o v ，d d a n dp s s i m e o n o v 合著的i m - p u l s i v ed i 髓r e n t i a le q u a t i o n s ：p e r i o d i cs o l u t i o n sa n da p p l i c a t i o i l s ，l o n g m a n s c i e n t i i i ca n dt e c h n i c 扎h a r l o w ，1 9 9 3 从这些著作中后学者不仅可以了 解脉冲微分方程的发展状况，还可以学到许多做脉冲微分方程研究的 2 0 0 8 届高校教师在职硕士学位论文 方法和技巧 脉冲微分方程从产生到现在，人们对于边值问题一直具有广泛的 兴趣从第五界世界脉冲和混合动力系统及应用学术会议( 2 0 0 8 年5 月在北京中国石油大学召开) 上学者专家所做的报告和张贴的论文， 可以看出人们对于边值问题的研究兴趣是有增无减【7 ，8 ，9 】近年来关 于脉冲微分方程边值问题的研究有了许多重要结果，比如关于周期边 值问题降1 0 】；非线性边值问题 1 1 1 3 】；其中，关于周期边值问题是所 有边值问题中被研究得最透彻的一个分枝同时，有部分学者对积分 边值问题产生了一定的兴趣并取得一定成果 1 8 ，2 5 】其实，关于积分 边值问题的研究我们可以进一步完善 本文就是对一阶脉冲积分微分方程以及一阶脉冲微分包含的积 分边值问题做了一些研究并得出了一些相关结论，所得结论是对脉 冲微分方程积分边值理论的有益补充 1 2 本文所做的主要工作 论文主要应用上下解方法，单调迭代技术及不动点定理研究了一 阶脉冲积分微分方程以及一阶脉冲包含微分方程的积分边值问题的 解的存在性 1 9 8 5 年，x u 和n i e t o 在【1 3 】讨论了下面形式的积分微分方程边值 问题： ，( ) = ，( ，z ( t ) ，【k z 】( ) ) ，七，= o ，卅， z ( “) = 厶 ( t 七) ) ，七= 1 ，2 ，m ， ( 1 1 ) z ( o ) = z ( 丁) ， 作者利用不动点定理和上下解方法结合单调迭代方法，建立了方程 ( 1 1 ) 解的存在性定理【1 3 的方法和技巧后来被一系列文章借鉴和发 展 2 0 0 8 年5 月c a o s h a o c h e n 等在第五界世界脉冲和混合动力系统及 2 一阶脉冲微分方程的积分边值问题 应用学术会议论文【4 6 】中研究了下面的方程： z ，( 2 ) + q ( ) z ( ) = ，( 屯z ( 。) k z 】( ) ) 2 南，。j = 【o ，丁】， ( 1 2 ) iz ( o ) = z ( 丁) = z o ， 作者利用不动点定理，单调迭代方法研究了方程( 1 2 ) 解的存在性和 解的稳定性 受到启发，本文在第二章讨论了如下的脉冲积分微分方程的积分 边值问题： 一( ) + 6 ( ) z ( ) = ，( ，z ( ) ，【k z 】( ) ) ，七，j = o ，卅， z ( t ) = 厶( z ( 蠡) ) ，七= 1 ，2 ，m ， ( 1 3 ) z ( o ) + pj 孑z ( s ) d s = z ( t ) ，p o 通过上下解方法结合单调迭代技巧获得了这类方程的最大，最小解存 在的充分条件 2 0 0 5 年，z h i g u ol u oa n dj i a n h u as h e nj j 1 l i e t o 在 2 6 中研究的反周 期边值问题： z 他) = ，( z ，z ( ) ) ，t 氏，= f o ，卅， z ( 七) = 厶( z ( 七) ) ，七= 1 ，2 ，仇， ( 1 4 ) z ( 0 ) = 一z ( t ) 作者引入了耦合上下解方法，并利用不动点定理( 所研究的集有紧性) 和单调迭代技术得到了方程的唯一解 2 0 0 6 年2 月，姚美萍在文【2 7 】中研究了下面的方程： z ( ) = 厂( ，z ( z ) ) 一9 ( ，z ( ) ) ，七，j = o ，卅， z ( _ i c ) = 厶( z ( 七) ) 一g 知( z ( 七) ) ，七= 1 ，2 ，m ， ( 1 5 ) z ( o ) 一a 1 z ( t ) = 入2j ：；- z ( s ) d s + d ， 在这篇文章里，作者也引入了耦合解，耦合上下解，并利用上下解方 法和单调迭代技术得到了方程的唯一解 3u 2 0 0 8 届高校教师在职硕士学位论文 受到启发，本文在第三章讨论了如下的脉冲积分微分方程的积分 边值问题： z 7 ( ) + 6 ( t ) z ( ) = ，( ，z ( t ) ， k z 】( t ) ) ，t 知，t j = o ，丁 ， z ( 七) = 氏( z ( k ) ) ，七= 1 ，2 ，m ， ( 1 6 ) z ( o ) + pj 孑z ( s ) d 5 = z ( t ) ，p o 通过定义新的耦合上下解，并利用上下解方法结合单调迭代技巧获得 了这类方程的耦合极大，极小解存在的充分条件以及存在唯一解的充 分条件 2 0 0 4 年，b 印u r a o c d h a g e ，a b d e l k a d e rb o u c h e r i f ，s o t i r i sk n t o u y a s 在文 【2 4 】中研究了下面脉冲微分包含的周期边值问题： z 7 ) f ( ，z ( ) ) + g ( ，z ( ) ) ，七，t ，= o ，刀， z ( 毒) = 厶( z 0 ) ) ，七= 1 ，2 ，m ， ( 1 7 ) z ( 0 ) = z ( 丁) ， 作者利用多值映射不动点定理确定方程至少有一个解 m b e n d l o h r a ，j h e n d e r 8 0 n ，s k n t o u y a s ，a o u a h a b 在文 5 9 】中研究了下 面脉冲微分包含： y ( ) f ( ，y ( ) ) ，七，= 【o ，卅， 可( 嘉) = 厶( 掣( 坛) ) ，七= 1 ，2 ，m ， ( 1 8 ) l ( 管( o ) ，妙( t ) ) = o ， 作者通过引入新的上下解，并利用多值映射不动点定理确定方程至少 有一个解在上下解构成的区间中 受到启发，本文在第四章讨论了如下的脉冲微分包含的积分边值 问题： z 7 ( ) f ( ，z ( ) ) ，t 知，j = 【o ，明， z ( k ) = 厶( z ( 如) ) ，七= 1 ，2 ，m ， ( 1 9 ) z ( o ) + p z ( s ) d s = z ( t ) ， 给出了至少存在一个解的充分条件 在接下来的三章中笔者详细介绍自己所做的研究工作 4 一阶脉冲微分方程的积分边值问题 2 一阶脉冲微分方程的积分边值问题 本章讨论了一类带有积分边界条件的一阶脉冲微分方程边值问题 解的存在性 2 1 引言 随着科学技术的飞速发展，脉冲微分方程技术已被广泛地应用于 生物学、医学、光学控制、经济学模型等科学领域而要把大量的脉 冲方程准确的解出来有时是不可能的，甚至有时是不必要的因此研 究脉冲方程的近似解，极值解就变成了一件十分必要和有意义的工作 了利用上下解方法结合单调迭代技术是研究脉冲微分方程极值解的 一种有力工具本章利用上下解方法研究了如下的脉冲积分微分方程 ( 2 1 ) ，取得了较理想的结果 ) + 6 ( ) z ( t ) = ，( ，z ( ) ，【k 叫( ) ) ，z 七，j = o ，卅， z ( t ) = 厶( z ( 七) ) ，七= 1 ，2 ，m ， ( 2 1 ) z ( o ) + 弘j 孑z ( s ) d s = z ( t ) ，p o 其中j = 【o ，7 1 ，o = o 1 2 丁z ( 古) 表示z ( ) 在七时刻 的右极限，z ( z i ) 表示z ( ) 在七时刻的左极限，c ( j 铲，兄) ，z z 厶c ( r ) ( 1 七m ) ，6 ( ) c ( 冗) ，6 ( t ) 0 后：p c ( j ) - + p c ( j ) ，这里 p c ( j ) = z ：j r ：z 在毛j 时处处连续，z ( t ? _ ) 和z ( 彳) 存 在，且z ( 岛) = z ( 玎) ，江1 ，2 ，m ) 进一步假定七是连续单调不减的， 且对任意有界子集a p c ( j ) ，后a 是有界的 当卢= o ，厶三。时，方程( 2 1 ) 退化为 lz 他) + 6 ( ) z ( ) = ，( ，z ( ) ，陋z 】( 吼t 如，t ，= 【o ，卅， 【z ( o ) = z ( t ) ， c a o s h a o c h e n 等在 4 6 】中研究了该方程作者利用不动点定理，单调迭 代方法研究了解的存在性及解的稳定性 5 2 0 0 8 届高校教师在职硕士学位论文 当p = o ，6 ( ) 三。时，方程( 2 1 ) 退化为 z 7 ( ) = ，( ，z ( ) ，【k z 】( ) ) ，t 七，j = o ，丁】， z ( “) = 厶( z ( 如) ) ，七= 1 ，2 ，m ， z ( o ) = z ( t ) ， x u 和n i e t o 在【1 3 】讨论了上面形式的积分微分方程，作者利用不动点 定理和上下解方法，结合单调迭代方法，建立了该方程解的存在性定 理 当p = o ，6 ( ) 兰o ，妇= z 时，方程( 2 1 ) 退化为脉冲微分方程周期 边值问题 一( ) = ，0 ，z ( ) ) ，t 知，j = 【o ，刃， z ( “) = 厶( z ( t 七) ) ，七= 1 ，2 ，m ， z ( o ) = z ( 丁) ， 关于脉冲微分方程周期边值问题的研究有丰富的结果( 见【7 ，8 ，9 ，2 1 ，2 5 ，2 9 】) 就作者所知，还没有研究方程( 2 1 ) 的相关文献为了填补这一空隙， 我们努力寻找，厶应满足的条件，以确保方程( 2 1 ) 存在极值解 引入下列空间：p c l ( j ) = z 尸c ( j ) ：z ( ) 在如时连续可微 显然p c ( j ) 和尸c 1 ( t ，) 以范数 1 l z i l p c ( j ) = s u p 【l z ( ) i ：亡j ) ，z i | p c - ( ，) = m a x l i z p g ( j ) ，i i z ，i i p g ( j ) ) 成为巴拿赫空间若z 尸c 1 ( zr ) 且满足方程( 2 1 ) ，则称z 是方程 ( 2 1 ) 的解 2 2准备工作 定义2 2 1 称函数q ，p 尸c 1 ( j ) 分别是( 2 1 ) 的下解和上解，如果 q ( ) + 6 ( ) q ( ) ，( ，a ( ) ，【k q 】( ) ) ，奄，z a ( “) 厶( a ( ) ) ，忌= 1 ，2 ，m ， q ( o ) + pj 孑q ( s ) d s q ( t ) ，p o 6 一阶脉冲微分方程的积分边值问题 p ( ) + 6 ( ) p ( ) ，( ，p ( ) ， k 矧( ) ) ，七，t z 卢( 七) ( p ( 七) ) ，忌= 1 ，2 ，m ， p ( o ) + p 口( s ) d s p ( 丁) ，肛o 对于给定的q ，p p c l ( j ) ，如果对所有的j ，q ( t ) p ( ) ，我们记 a p 此时设 陋，纠= ”p c i ( j ) ，口( ) “( t ) ( ) ，) 我们引入下列条件： ( 日1 ) q ( ) ，( ) 是方程( 2 1 ) 的下，上解且q ( ) p ( ) ； ( 凰) 存在m o 使得当q ( t ) 虿z p ( ) ，阿a 】( ) 可秒 p 例( ) ，j 时，有下式成立 ，( ，z ，可) 一，( ，虿，歹) 一m ( z 一虿) ( 风) 存在o l 岛 1 ，七= l ，2 ，m 使得当q ( ) 秒z p ( t ) ，t ， 时，有下式成立 厶( z ) 一厶( y ) 一l ( z 一可) ，七= 1 ，2 ，m ， 引理2 2 1 1 】假设下述条件满足 ( a 。) 序列 t 凫) ，满足o 。 1 2 ，以及概z n = o 。； ( a 1 ) m p c l 捌以及m ( ) 在如，后= 1 ，2 ，处是左连续的； ( a 2 ) 对后= 1 ，2 ，t o ， ，馨裟黑篡嚣 这里口，p c 【辟，嗣，k ，也o 是常数 则有下式成立 m ( ) m ( o ) d 七e 印( fp ( s ) d s ) t o “s t o c o 2 0 0 8 届高校教师在职硕士学位论文 + 。乏。( j 娶 。枷p ( 小) d s ) ) 6 t o t k s t k o ，o o ，o 如1 ，七= 1 ，2 ，仇，且 由黑k 1 那么方程 z 7 ( ) + m z ( ) = 盯( ) ，知，j = o ，卅， z ( “) = 一l 詹( z ( 知) ) + 噍，七= 1 ，2 ，m ， ( 2 2 ) z ( 0 ) + d = z ( 丁) ，d 兄， 有唯一解 证明先证明方程( 2 2 ) 等价于积分方程 z ( ) ：一善d + tg ( 如) 盯( s ) d s + 量g ( 知) ( 一k 喇+ 毗) z ( 。) = 一南d + 上g ( ，s ) 盯( s ) 如+ 三g ( ，k ) ( 一k z ( 如) + 毗) 其中 i 饕等，o s t t ， g ( 卜 霉_ 誊篡t i f i 习【万r _ u ) ) d ) 若z ( ) 尸c 1 ( j ) 是方程( 2 2 ) 的解则通过直接积分可得 p m t，t堡 z ( 。) = 一 净d + zg ( 铀) 仃( s ) d s + 荟g ( 知) ( 一l 七删+ 毗) 8 一阶脉冲微分方程的积分边值问题 若z ( ) p c l ( 了) 是上述积分方程的解，则 。一 以，7 z m ) = 一 彳( 一南d + 上g ( ) 仃( s ) ( 1 s + g ( t ，t 知) ( 一l k 茁( t k ) + d k ) ) + 仃( t ) 七= 0 = 一m z ( ) + 口( ) ，知， z ( t 七) = 一l 括( z ( 南) ) + d 詹，七= 1 ，2 ，仇， 2 ( o ) = 一南d + 上南( s ) 如 1，tp m ( t 一8 ) m ，一m ( t 一“) + 善鬲( 一“酬+ 毗) p 一肘tr rp m ( t 一8 ) z ( t ) = 一南d + 上南仃( s ) d s m 。一m ( t 一“) + 吾高( 一k 酬+ 如) e 斤以z ( 0 ) + d = z ( 2 ) 因此方程( 2 2 ) 等价于积分方程 z ( ) ：一熹篆d + f t 荆s ) d s + 量g ( “以也z ( 酗+ 蝣 z ( 。) = 一亡丽d + 名g ( 如) 口( s ) d s + 荟g ( 舯l 知z ( “) + 蝣 现在我们定义算子月：p c ( j ) _ p g ( j ) p m t拉 m ( a 州= 一壬丽d + 上g ( 如) 盯( s ) 幽+ 吾g ( “七) ( 一圳+ d 七) 对任意的z ，秒p c ( j ) ， l ( a z ) ( ) 一( a 秒) ( ) i 丁南l 盘l z y l 丁南l 知l l z ( “) 一箩( 坟) l l 1m1 m 工。 知= o 工u k = 0 所以 o ( a z ) ( ) 一( a y ) ( t ) o t 南l 七i l z ( 七) 一秒( 七) o 摇= u 2 0 0 8 届高校教师在职硕士学位论文 这说明a ：尸c ( ，) _ p c ( j ) 是压缩映射于是存在唯一的z 尸c ( j ) 使得触= z ，即，( 2 2 ) 有唯一的解z ( ) 定理2 3 1 假设条件( h ，) ，( 巩) ，( 玩) 都满足，那么脉冲方程( 2 1 ) 在陋，翻中有最小，最大解p ( ) ，( ) 尸c - ( j ) ，而且存在单调序列 q n ) ， 风) 在j 上分别一致收敛于p ( t ) ，r ( ) ，其中a o = q ，岛= p ， ( ) ，风( ) 分别是( 2 1 ) 的下解和上解 证明任取妒k 纠，考虑方程 z 7 ( t ) = ，( ，妒( ) ， k 矽】( ) ) 一6 ( ) 矽( ) 一m ( z ( ) 一矽( ) ) 缸，z z ( 如) = 厶( 妒( 如) ) 一l 惫( z ( t 奄) 一矽( 如) ) ，南= 1 ，2 ，m ， ( 2 3 ) z ( o ) + pj 孑妒( s ) d s = z ( 丁) ，p o 根据引理( 2 3 2 ) 知道方程( 2 3 ) 有唯一解z ( ) p c l ( ，) ，不妨就设a 妒 是方程( 2 3 ) 的唯一解 我们将证明 q 。) ， 风) 有下述性质 ( n ) a o a 口o ，a 岛岛 ( 6 ) a 在 q o ，阮】上单调不减 证明性质( n ) ，( 6 ) 分以下三个步骤完成 步骤1 设p = q o 一口1 p ，= q ；一q ：一6 ( ) q ( ) 十，( ，q ( ) ， r 口】( ) ) 一，( ，q ( ) ， k q ( t ) 】( ) ) + 6 ( ) q ( ) + a ，( q 1 0 ) 一q ( ) ) = 一 却( ) ，t “， p ( 如)= 口。一口1 厶( 口( ) ) 一厶( q 0 奄) ) + l 七( q 1 ( 如) 一a ( 如) ) = 一l 知p ( 如) ，= 如， p ( 0 ) = q o ( 0 ) 一a l ( 0 ) p ( 丁) 所以由引理( 2 3 1 ) ，可得p ( ) o ，故q o ( ) 0 1 1 ( ) 步骤2 设p = 历一岛 = 饼一儡6 ( t ) p ( ) 一，( ，p ( ) ， k 纠( t ) ) + ，( t ，( t ) ， k ( ) 】( ) ) 一6 ( ) p ( ) 一m ( p 1 ( t ) 一p ( t ) ) = 一m p ( ) ，t = t 】0 一阶脉冲微分方程的积分边值问题 p ( 七)= 8 1 一岛一j 七( 口( 七) ) + 几( p ( 岛) ) 一l k ( 1 ( 七) 一p ( 七) ) = 一l p ( k ) ， = 七， p ( o ) = p 1 ( o ) 一阮( 0 ) p ( t ) 所以由引理( 2 3 1 ) ，可得p ( ) o ，j ，故p l ( ) 岛( t ) 同理可证口l ( ) 风( ) ， 所以q o ( t ) 口1 ( ) 1 ( ) 岛( ) 步骤3 假设n = m 时，a m l n m 风风_ l 那么当n = m + l 时， n 议p 2 q m a m + 1 矿 = q ：，i q ：r i + 1 一6 ( t ) a m 一1 ( t ) + ，( ，口m l ( ) ，【k q 。一1 】( ) ) 一m ( q m ( ) 一q 。一1 ( ) ) 一，0 ，o m ( ) ，【k 口m ( ) 】( ) ) + 6 ( ) q m ( ) + m ( a m + l ( t ) 一a m ( ) ) = 一6 ( ) ( a m 一1 一a m ) 一m p ( ) ，七， 又因为6 ( ) o ，a 。一l a 。o ，所以= a 乞一q 乞+ l 一m p ( ) ， p ( 七) = q m 一q m + 1 = 厶( q 。一l k ) ) 一l 七( 口。( z 南) 一q 仇一1 ( 南) ) 一厶( q m ( 南) ) + l 七( q m + 1 ( k ) 一a 仇( 七) ) 冬一l 七p ( 知) ，t = 南 ，t p ( o ) = q m ( o ) 一q m 十l ( o ) 2p 上( q m ( s ) 一q m - 1 ( s ) ) 幽+ p ( t ) p ( 丁) 所以由引理( 2 3 1 ) ，可得p ( t ) o ，j ，故口。( ) q 。+ l ( t ) 同样我们可设p = 风+ - 一风 当七时， 矿= 熊+ 1 一雕s 一6 ( ) 风( ) + ，( ，风( ) ，【k 风) 一m ( 风+ 1 ( ) 一风( ) ) 一，( 风一1 ( ) ， k 风一1 ( ) 】( ) ) + 6 ( t ) 风一1 ( t ) + m ( 风( t ) 一风一1 ( ) ) = 一6 ( ) ( 一一1 ) 一 p ( ) ， 11 2 0 0 8 届高校教师在职硕士学位论文 又因为6 ( 幻o ，风一风一l o ，所以矿= + 1 一雕一m p ( ) ， 当= 七时 却( 如) = 风+ 1 一风= 厶( 风( ) ) 一l 南( 风+ l ( 七) 一风( 七) ) 一九( 风一1 ) ) + k ( 风( 七) 一风一l ( 七) ) 一l 后p ( 七) ， p ( o ) = 风+ l ( o ) 一风( o ) = p 口( 风一1 ( s ) 一风( s ) ) d s + p ( t ) p ( t ) 所以由引理( 2 3 1 ) ，可得p ( t ) o ，t j ，故风+ 1 ( ) 风( t ) 同理可证q m + l ( ) 风+ l ( ) 因此由数学归纳法可知： q n 一1 q 竹风风一1 ，n = 0 ，1 ，2 ， 到此为止，我们就完成了性质( 口) ，( 6 ) 的证明 现在我们来证明q n ，风，n = o ，1 ，2 ，是方程( 2 1 ) 的下解和上解 同样采用数学归纳法来证明 当n = o 时，o o ，风已经是方程( 2 1 ) 的下解和上解 当n = 1 时， q l ( ) = ，( ，a ( ) ， k a 】( ) ) 一6 ( ) a ( ) 一m ( q - ( t ) 一q ( ) ) 一，( ，q 1 ( t ) ，【k a l 】( ) ) + ，( ，口( ) ，【k q l 】( ) ) ，0 ，q 1 ( ) ，【k q l 】o ) ) 一6 ( ) a 1 ( t ) ，t t k ，z q 1 ( 如) = 厶( 口( 如) ) 一l 七( q 1 ( 七) 一a ( 南) ) + 厶( a l ( ) ) 一“( a 1 ( 如) ) 厶( q 1 ( 如) ) ，七= 1 ，2 ，m ， t，t 口l ( o ) + 肛za 1 ( s ) d s 口l ( o ) + p 上q ( s ) 如= q 1 ( 丁) ，p o 故q ，是方程( 2 1 ) 的下解 假设当n = m 时，q 。是方程( 2 1 ) 的下解 1 2 一阶脉冲微分方程的积分边值问题 那么当n = m + 1 时 a m + 1 ( ) = 厂( ，口m ( ) ， k 口m 】( ) ) 一6 ( ) n m ( ) 一m ( a 。+ 1 ( ) 一口。( ) ) 一，( ，q m + l ( ) ，【k q 。+ 1 ( ) ) + ，( t ，q 。+ 1 ( ) ，【k q m + l 】( ) ) ，( z ，q m + 1 ( t ) ， k q m + 1 】( ) ) 一6 ( t ) q 。+ 1 ( ) ，z 七，z q m + 1 ( 知) = 厶( q m ( 岛) ) 一l 七( q m + 1 ( 知) 一q 。( 南) ) + 厶( a m + 1 ( 氏) ) 一厶( a m + 1 0 七) ) 厶( a m + 1 ( z 七) ) ，后= 1 ，2 ，m ， 门rp t a m + 1 ( o ) + p q m + 1 ( s ) d s 口。+ 1 ( o ) + 肛正q m ( s ) d s = 口m + 1 ( t ) ，0，0 因此由数学归纳法可知：q n 是方程( 2 1 ) 的下解类似可证风是 方程( 2 1 ) 的上解 由n n 一1 n 。阮风“n = o ，1 ，2 ，t j 知道：当礼一+ 。o 时 q 竹) ，【风) 有极限，分别设为p ( ) ，r ( ) 由于当n 一+ o 。时与t 无关， 故( q n ) ， 风 一致收敛于p ( t ) ，r ( ) 且口。p ( ) r ( ) 风风_ 1 ，n = 0 ，1 ，2 ，j 根据q 。，风满足方程( 2 3 ) 即 q ：( ) = 厂( t ，q n 一1 ( t ) ，【k q n 一1 】( ) ) 一6 ( ) a 。一1 ( t ) 一m ( a n ( ) 一n n 一1 ( ) ) t 奄，t 正 q n ( 知) = 厶( q 他一1 ( t 七) ) 一厶k ( q n ( 知) 一q 。一1 ( 七) ) ，七= 1 ，2 ，m ， q n ( o ) + pj ：；f 。a n 一1 ( s ) d s = a n ( t ) ，p o 成( t ) = 厂( ，风一1 ( ) ， k 风一1 】( t ) ) 一6 ( z ) 风一1 ( t ) 一m ( 风( t ) 一风一1 ( t ) ) l | c ，z z 风( j c ) = 厶( 风一1 ( 七) ) 一“( 风( 七) 一风一l ( 七) ) ，七= 1 ，2 ，m ， 风( o ) + p 詹风一l ( s ) 如= 风( 丁) ，肛o 当n 一+ 时，有 ( ) = ，( ，p ( ) ，【k 纠( ) ) 一6 ( ) p ( ) 知，z p ( t 知) = 几0 ( 知) ) ，七= 1 ，2 ，仇，( 2 4 ) p ( o ) + pj ：；p ( s ) d s = 9 ( t ) ，p o 1 3 2 0 0 8 届高校教师在职硕士学位论文 7 ) = ，( 幻1 ( ) ，【k r ( ) ) 一6 ( ) r ( ) 圮z 7 ( “) = 厶( r ( 岛) ) ：七= 1 ：2 ，m ， ( 2 5 ) r ( o ) + p 口7 ( s ) d s = r ( t ) ，p o 方程( 2 4 ) ，( 2 5 ) 表明p ( ) ，r ( t ) 是方程( 2 1 ) 的解 最后，我们来证明p ( ) ，r ( ) 是方程( 2 1 ) 在【q 用中的最小和最大 解 假设z ( ) 是方程的任一个解，且满足z ( ) k 例，j ，显然我们 可以设存在某个n 使得q n z 风 设p ( ) = q n + 1 一z 那么 = a ：+ 1 一，一6 ( ) c ( ) + ，( ，口n ( ) ，【k q 。 ( ) ) 一m ( a n + 1 ( ) 一q n ( ) ) 一，( ，z ( ) ，【z ( ) 】( ) ) + 6 ( ) z ( ) ) 一6 ( ) ( a n z ) 一m p ( ) ，坟 又因为6 ( ) o ，q m zso ，所以一坳( ) ， p ( 七) = a 。+ l 一z = 如( a n ( 靠) ) 一l 七( q n + l ( 如) 一q n ( 知) ) 一厶( z ( 如) ) 一l 知p ( t 知) ，t = 拓 力r p ( o ) 2 叭l ( o ) 一z ( o ) 2p z ( z ( s ) 一q n ( s ) ) d s + p ( t ) p ( t ) 所以由引理( 2 3 1 ) ，可得p ( ) o ，工故a n + 1 ( t ) z ( t ) 类似地我们可 得到：z ( ) 风+ 1 ( ) ，t z 这就表明：( ) z ( t ) 风+ 1 ( ) ，z n = 0 ，1 ，2 ， 因此，当佗一+ 时，就得到： p ( ) z ( ) r ( ) ，z 至此，命 题证毕 1 4 一阶脉冲微分方程的积分边值问题 3 一阶脉；中积分微分方程的积分边值问题( 续) 在这一章中我们继续研究一类一阶脉冲微分方程积分边值问题 首先引入耦合解，耦合上下解的概念，然后利用上下解方法和单调迭 代技术得到了边值问题存在耦合极大解和极小解的一组充分条件， 以及一个一致收敛于解的单调序列 考虑脉冲微分方程 3 1引言 z 7 ( ) + 6 ( ) z ( ) = 厂( ，z ( ) ， k z 】( ) ) ，七，j = 【o ，刀， z ( 如) = 厶( z ( t 七) ) ，七= 1 ，2 ，m ， ( 3 1 ) z ( o ) + p 上 z ( s ) d s = 一z ( 丁) ，p o 其中j = o ，卅，o = o z 1 t 2 0 ，0 且 m 一 1 一n ( 1 + 仇) e 印( 詹m ( s ) 幽 一p 詹n ( 1 + ) ( e 印( 后z ( s ) ) d s ) 疵o 0 札 t 那么z ( t ) 三o ，j 证明由( 1 ) 知： z ( ) = z ( 0 1 。县。( 1 + 吼) e z p ( z m ( s ) d s ) o