（基础数学专业论文）拟三角hopf代数结构及schur双中心化定理.pdf

摘要 3 脚 1 9 8 6 ，d r i n f e l d 在b e r k e l e y 国际数学家大会上将数学的注意力放到了量子群上， d r i 矗r d 观察到，在b a x t e r 和y a n g 的统计波动力学中，起着中心作用的某个结构 事实上是一种h o p f 代数。然而，到1 9 9 0 年夏季，在k y o t o 召开的国际数学家大会 上，d r i n f e l d 由于量子群的工作才获得了f i d d s 奖。 按照d r i n f e l d 的观点，量子群就是拟三角h o p f 代数。而且，对任意有限维h o p f 代数日，还构作出了著名的d r i n f e l d 量子偶d ( 日) ，这是一种拟三角h o p f 代数。拟三 角h o p f 代数为量子扬b a x t e r 方程提供了解。而拟三角h o p f 代数的表示范畴为辫 子m o n o i d a l 范畴，辫子m o n o i d a l 范畴中的”辫子”结构恰好产生了量子扬- b a x t e r 方程的解。这样的辫子m o n o i d a l 范畴还有：余拟三角h o p f 代数的余表示范畴和更 搬的y e t t e r d r i n f e l d 范畴等。 参if 在这篇博士学位论文中，我f 搿重点围绕拟三角h o p f 代数( 即量子群) 的构造， 与y e t t e r d r i n f e l d 范畴相关的p a d f o r d 的双积定理，与双积定理相关的s c h u r 双中 心业定理和日一李代数的结构性质展开讨论。 第一，我们证明了s c h u r 双中心化定理并讨论了h 一李代数的结构性质。设m 为y e t t e r d r i n f e l d 范畴嚣y d 中的一个有限维对象。我们首先证明了| ! l f 的自同态 代数f n d k ( m ) 为嚣y 口中的一个代数，并在y e t t e r d r i n f e l d 范畴嚣y d 中引进了李 代数的概念( 也称为日一李代数) ，它是通常李代数的推广( 见1 1 ) 。由此，构造出 了范畴嚣y d 中的一个导子李代数e n a k ( m ) 一，简记为n 一。当y e t t e r d r i n f e l d 范畴 导y 口中的”辫子”在盯上对称时，证明了它的泛包络代数的存在性。于是，在5 1 2 中，由r a d f o r d 的双积定理【3 9 】构造出了个h o p f 代数n 一社日。接着，对任意h o p f 代数日，我们证明了s c h u r 双中心化定理( 1 3 ) 。此定理统一了经典的s c h u r 双中 心化定理，以及到目前为止的所有对经典s c h u r 双中心化定理的各种推广形式，特 别是c o h e n ，f i s c h m a u 及m o n t g o m e r y 等人的近几年来有意义的这方面的研究工作 ( 1 1 【2 1 。其次。我们研究了日一李代数的结构，尤其是范畴备y 口中代数a 的日一李 结构。证明了：如果a 为两个日一可换( 即在范畴嚣y 口中是交换的) 的子代数直 和，那么a 的日一交换子理想是幂零的，从而若a 为半素的，则a 为日一可换的。 当日为任意h o p f 代数时，对日一李代数三，若三为两个日一阿贝尔( a b e l i a n ) 李子 代数的直和，我们也证明了类似的结果( 1 4 ) 。这些结果是超代数 2 7 】和余交换余 拟三角双代数余模范畴日m 中李代数结果【2 6 】的统一。于是，我们回答了b a h t t t r i m ， f i s c h m a n 和m o n t g o m e r y 等人在文献【2 6 中所提出的一个问题：在日一李代数的结 沦中，日的余交换性是否可以不要，对此问题，我们给了肯定的答案。最后，在5 1 5 中，我们研究了日一李代数的可解理想结构，得到了：如果工是一个日一单的日一 李代数而且vc 别是【上，l 的一个日一李理想满足v 阢4 那么矿是陋，引 的一个可解日一李子代数，此结果为( e ，g ) 一李彩色代数( c o l o r a l g e b r a ) 相应结果的 类似【3 2 】。) 第二，峨们发展了r a d f o r d 的双积定理和给出了m a j i d 的双交叉积上的( 余) 拟 三角h o p f 代数结构。( r a d f o r d 的双积定理给出了在y e t t e r d r i n f e l d 范畴嚣y 口中构 造辫子群【4 8 5 0 】的一种方法。因为，冲积( s m a s hp r o d u c t ) 已被发展为交叉积，许 多冲积的相应结果被搬到了交叉积上。自然地，在5 2 1 节中，我们推广了r a d f o r d 的双积定理到交叉积和冲余积上，给出了交叉积和冲余积构成h o p f 代数的充要条 件。对偶的结果见 2 5 。我们的这些结果，在1 9 9 9 年又被k i m ，p a r k 和y o o n 等人 在文献 5 3 】中得到了发展。最后，在2 2 中，我们讨论了m a j i d 的双交叉积上的 余拟三角h o p f 代数结构。通过引进辫子似的双代数概念，给出了m a j i d 的双交叉 积h o p f 代数为余拟三角h o p f 代数的充要条件【5 4 】。并在5 2 3 中，讨论了对偶问 晒，即m a j i d 的双交叉积h o p f 代数的拟三角h o p f 代数结构问题 1 9 。这些为量子 y a n g - b a x t e r 方程的求解提供了一种新的方法社 第三，我们引进了扭曲冲积的概念并讨论了扭曲冲积h o p f 代数上的( 余) 拟三 角h o p f 代数结构。伪了研究d r i n f d d 量子偶d ( 日) 的代数结构，在3 1 中，我们 先构造了一类扭曲沛积，从而说明了d r i n f e l d 量子偶和d o i 皿t k e u c h l 代数实质上是 一种扭曲冲积 3 7 】。在3 2 中，我们又构造了一类广义扭曲冲积，推广了3 2 中 的扭曲冲积。从而解答了c i b i s 和r o s s o 等人在文献【3 5 】中所提出的一个问题，这 个问题是希望建立一个抽象的代数结构以【3 5 】中的代数结构为其例子。接着，我们 发展了他们在文献 3 5 】中的工作，证明了d o i k o p p i n e nh o p f 双模是一个模 5 6 】，这 类h o p f 双模是w o r o n o w i c z 紧矩阵量子群 3 4 】的基本研究对象。最后，3 3 给出了 扭曲冲积h o p f 代数上存在余拟三角h o p f 代数结构的充要条件【1 6 】，此结论包括了 余拟三角h o p f 代数结构方面的一些著名的结果( 【4 1 】【4 7 】) 。同时，也建立了对偶理 沦，这方面请见文献 2 3 】的讨论。门卜 2 a b s t r a c t i n1 9 8 6 ，d r i n f e l d sc o n t r i b u t i o nt ot h e1 9 8 6i n t e r n a t i o n a lc o n g r e s so fm a t h e m a t i c i a n si nb e r k e l e yf o c u s e dt h ea t t e n t i o no ft h em a t h e m a t i c a lw o r l do n ”q u a n t u mg r o u p s ” d r i n f e l do b s e r v e dt h a tc e r t a i ns t r u c t u r e sp l a y i n gac e n t r a lr o l ei nt h es t a t i s t i c a la n d w a v e m e c h a n i c so f b a x t e r a n d y a n g w e r e i n f a c t h o p f a l g e b r a s h o w e v e r ，d r i n f e l dr e c e i v e d t h ef i e l d sm e d a lf o rh i sw o r k ，e s p e c i a l l yt h a to nq u a n t u mg r o u p sf r o mt h ei n t e r n a t i o n a l c o n g r e s so fm a t h e m a t i c i a n si nk y o t o i nt h es u m m e ro f1 9 9 0 a c c o r d i n g t o d r i n f e l d ，q u a n t u m g r o u p s b x e i n f a c tq u a s i t r i a n g u l a rh o p f a l g e b r a s l e t 日b ea r b i t r a r yf i n i t ed i m e n s i o n a lh o p f a l g e b r a d r i n f e l d h a sc o n s t r u c t e dq u a n t u m g r o u p s d ( h ) k n o w n a sd r i n f e l 川dsq u a n t u md o u b l e aq u a s i t r i a n g u l a rh o p fa l g e b r ac a ng i v er i s e t oas o l u t i o nt oq u a n t u m y a n g - b a x t e re q u a t i o n a sy o uk n o w ，r e p r e s e n t a t i o n sc a t e g o r y 3 faq u a s i t r i a n g u l a sh o p f a l g e b r a i sab r a i d e dm o n o i d a l c a t e g o r yi nw h i c ht h e ”b r a i d i n g ” a l s op r o d u c e sas o l u t i o nt oq u a n t u m y a n g - b a x t e re q u a t i o n a sc l a s s i c a lb r a i d e dm o n o i d a l c a t e g o r i e sa r ec o r e p r e s e n t a t i o n sc a t e g o r yo fac o q u a s i t r i a n g u l a rh o p fa l g e b r a ，a n dt h e m o r eg e n e r a ly e t t e r - d r i n f e l dc a t e g o r y i nt h i sd r d e g r e e st h e s i s ，w ew i l ld i s c u s st h ec o n s t r u c t i o no fq u a s i t r i a n g u l a rh o p f a l g e b r a s ，r a d f o r d sb i p r o d u c t s ，s c h u r sd o u b l ec e n t r a l i z e rt h e o r e m ，a n dt h es t r u c t u r e so f h - l i e a l g e b r a s f i r s t ，l e tm b eaf i n i t ed i m e n s i o n a lo b j e c ti ny e t t e r - d r i n f e l dc a t e g o r i e s w es h o w t h a t e n 毗( m ) i sa na l g e b r ai n 备y d ，a n dt h e n w ec o n s t r u c tad e r i v e dl i ea l g e b r a e n 氏( 肘) 一i n 嚣y da n dp r o v ee x i s t e n c e n e s so fi t se n v e l o p i n ga l g e b r au n d e rt h e c o n d i i o nt h a tt h e ”b r a i d i n g ”i nt h ec a t e g o r y 备y di ss y m m e t r i co ne n 如( m ) 一i n5 1 2 ，b y r a d f o r d sb i p r o d u c tt h e o r e mw e c a l le s t a b l i s ha h o p fa l g e b r an 一齐日i n 备y 口，a n d t h e ni n 1 3s h o ws c h u r sd o u b hc e n t r a l l z e rt h e o r e mw h i c hu n i f ya n de x t e n db o t hs c h u r sd o u b l e c e n t r a l i z e rt h e o r e mf o rt r i a n g u l a rh o p f a l g e b r a sb y 【1 】a n dc o t r i a n g u l a rh o p fa l g e b r a sb y 2 】t ot h eo n ef o ra n yh o p fa l g e b r a s t h em a i no fs e c t i o n 1 4i st oa n s w e r ao p e nq u e s - t i o n 2 6 】w h i c hs t a t e sw h e t h e h t h ec o n d i t i o no f 日b e i n gc o c o m m u t a t i v ei nt h et h e o r e m si n 2 6 】i sn e e d e d i n 1 5w ei n v e s t i g a t es o m ep r o p e r t i e so f l i ea l g e b r ai n 备y d n e x t ，w eg e n e r a l i z er a d f o r d sb i p r o d u c tt h e o r e mt oc r o s s e dp r o d u c ta n ds m a s hc o - p r o d u c t w ed e r i v ean e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ec r o s s e dp r o d u c ta l g e b r a a n dt h es m a s hc o p r o d u c tt oa f f o r dah o p fa l g e b r as t r u c t u r e ，a n dc h a r a c t e r i zt h i sn e w b i a l g e b r as t m c t l l r ei n5 2 1 i ti sp r o v e d t h a tm a j i d sb i c r o s s e dp r o d u c t i sab r a i d e dh o p f a l g e b r ai fa n do n l yi fc e r t a i nc o n d i t i o n sa r es a t i s f i e d i ns e c t i o n 2 3 ，w ea l s oc o n 8 i d ”t h 。 d n a ls i t u a t i o n 胁a l l y ，w ec o n s t r u c t ac l a s so ft w i s t e ds m a s hp r o d u c t 口日( 3 1 ) f o ra r b i t r a r y h r b i i n o d u l ea l g e b r 船b t os t u d ya l g e b r as t r u c t u r eo f d r i n f e l dq u a n t u m d o u b l e ，a n dm o r 8 州时a l i z e dt w i s t e ds m a s hp r o d u c t ( 3 2 ) i n o r d e rt oa n 8 w e rc i b i sa n d r o s s o 8q u e s t i o n 丘o m f 3 5 i ns e c t i o n 3 3w e a l s oc o n s i d e rb r a i d e ds t r u c t u r eo r e st w i s t e ds m a s hh o p fa l g e b r a s 口日a n ds h o w t h a t b , h a d m i t sa b r a i d e ds t r u c t u r e i f a n do n l y i f t h ec e r t a i nc o n d i t i o n s es a t i s n e d a n 曲如m d j a t ec o n s e q u e n c eo ft h e s er e s u l t si st h m 2 2i n 【4 1 ) o 2 前言 h o p f 代数是4 0 年代初，h h o p f 在研究拓扑群时引进的。几十年来，许多数学家 致力于这方面的研究 8 】8 。直到近十年，一些特殊的h o p f 代数一拟( 余拟) 三角h o p f 代数( 即量子群) 出现在数学物理中。这些最初出现在l d f a d d e e v 和v g d r i n f e l d 听发展的量子逆散射方法( q i s t ) ，尤其是量子y a n g - b a x t e r 方程的研究中。值得 一提的是1 9 8 6 ，d r i x f f e l d 在b e r k e l e y 国际数学家大会上将数学的注意力放到了量子 群上。d r i n f e l d 观察到，在b a x t e r 和y a n g 的统计波动力学中，起着中心作用的 某个结构事实上是一种h o p f 代数，然而，到1 9 9 0 年夏季，在k y o t o 召开的国际数 学家大会上，d r i n f e l d 由于量子群的工作才获得了f i e l d s 奖。同时，m j i m b o 和 s l w o r o n o w i c z 等人也做了许多相近的工作。反过来，量子群还为许多其它理论物 理内容提供了一种代数背景，而且它也在低维拓扑，非交换几何，组合论等数学的 其它分支中有着非常重要的应用。 按照d r i n f e l d 的观点，量子群就是拟三角h o p f 代数【8 d r i n f e l d 构造了一种称 之为量子偶d ( h ) 的量予群，这里日为任意有限维h o p f 代数。于是，研究量子偶 d ( h ) 的代数结构就成为近几年许多著名学者讨论的一个焦点。这种拟三角h o p f 代 数其有限维表示范畴在j o y a l 和s t r e e t 3 】意义下为辫子m o n o i d a l 范畴。对偶地，这 种余拟三角( 或辫：于) h o p f 代数其有限维余表示范畴在3 0 y a l 和s t r e e t 意义下也为辫 子m o n o i d a l 范畴。 一般的拟三角h o p f 代数为量子扬b a x t e r 方程提供了解。而拟三角h o p f 代数 的表示范畴为辫子m o n o i d a l 范畴，辫子m o n o i d a l 范畴中的”辫子”结构恰好也为 量子扬b a x t e r 方程提供了解。这类范畴还有：余拟三角h o p f 代数的余表示范畴和 夏一般的y e t t e r d r i x f f e l d 范畴等。而后者与r a d f o r d 的双积紧密连在一起。 在这篇博士学位论文中，我们将重点围绕拟三角h o p f 代数( 即量子群) 的构造， 与y e t t e r d r i n f e l d 范畴相关的r a d f o r d 的双积定理，与双积定理相关的s c h u i 双中 心化定理和日一李代数的结构性质展开讨论。 在第一章中，我们证明了s c h u r 双中心化定理并讨论了日一李代数的结构性 贡。设y 是域女上的一个有限维向量空间，域b 的特征为0 。经典的s c h u r 双中 心化定理是说：对称群作用在y 。m 上和李代数g l ( v ) 作用在y 。m 上，实际 上在自同态环e n 以y 氆”中互为中心化子。后来，这个结果由a b e r e l e 和a r e g e v 1 4 】等人推广到了李超代数p l ( v ) 作用在历一分次空间y 上。这两种情况又由 1 d f i s c h m a n 1 5 】搬到了h o p f 代数上( 在经典情况时日= 矿( g f ) ) ，z 2 一分次情况时 日= u ( p z ( 矿) ) 社i ) 。如果用任意三角h o p f 代数( 日，显) 代替k z 2 ，在文献 1 】 中，他们考虑左日一模范畴盯朋并用日m 中一个适当的置一李代数代替p t ( v ) ，1 9 9 4 午，文献 2 】推广了f i s c h m e n 的结果进一步，设且是日朋中任意对象，则4 有左日一 余模结构p ：a + h o a 定义为a 一丑( 2 ) 0 冗( 1 ) 口，这里置= 置( 1 ) 0 置( 2 ) h h 在这种情况下，有日m = 薯y 口，一个”y e t t e r - d r i n f e l d ”范畴。另一方面，在 2 】中， 他们注意到：如果c h a r i 2 ，则女z 2 是自对偶的所以，他们把k z 2 也看成余三角 h o p f 代数，并且对任意余三角h o p f 代数( h ， ) ，推广b e r e l e 和r e g e v 的结果到 左日一余模范畴日m 中。我们又注意到：设a 是h m 中任意对象，则a 有左日一 漠结构，定义为h m = m o ，v h 日，m m 在这种情况下，也有 h 朋= 甏y d ，一个”y e t t e r - d r i n f e l d ”范畴。 由上述观察，我们发现无论是1 还是【2 】s c h u r 双中心化定理实际上是在y e t t e r d r i n f e l d 范畴中得到证明的。于是设m 为y e t t e r d r i n f e l d 范畴备y 口中的一个有限 维对象。我们首先证明了m 的自同态代数g n d k ( m ) 为备y d 中的一个代数，并在 y e t t e r d r i n f e l d 范畴备y d 中引进了李代数的概念( 也称为日一李代数) ，它是通常李 代数的推广( 见1 1 ) 。由此，构造出了范畴备y 口中的一个导子李代数e n d k ( m ) 一， 简记为n 一。当y e t t e r d r i n f e l d 范畴嚣y d 中的”辫子”r 在m 上对称时，证明了 它的泛包络代数的存在性。于是，在1 2 中，由r a d f o r d 的双积定理【3 9 】构造出了 一个h o p f 代数n 一社日。接着，对任意h o p f 代数日，我们证明了s c h u r 双中心化定 理( 1 3 ) 。此定理统一了经典的s c h u * 双中心化定理，以及到目前为止的所有对经 典s c h u r 双中心化定理的各种推广形式，特别是c o h e n ，f i s c h m s n 及m o n t g o m e r y 等 人的近几年来有意义的这方面的研究工作1 1 【2 】。 在范畴备y d 中的个代数a 被称为是日一可换的，如果条件a b = ( a ( - 1 1 6 ) 如 成立( 对任意a ，b a ) 。接着，我们研究了日一李代数的结构，尤其是范畴备y d 中代数a 的日一李结构。证明了：设a 为备) 坳中的代数，x 和y 为a 在嚣y d 中的子代数且为日一可换，使得a = x + y 如果r 在a 上对称，那么a 满足等 式： a ，钏m ，a 1 - o ( 见定理1 4 5 ) ，从而若a 为半素的，则a 为日一可换的。当日 为任意h o p f 代数时，对日一李代数五，若三为两个日一阿贝尔( a b e l i a n ) 李子代数 的直和，我们也证明了类似的结果( 定理1 4 7 ) ：设三为嚣) 协中的导子l i e 代数 假设三= a + x 这里，a 和x 都为量) 缈中的l i e 子代数且都是日一可换的如 果辫子r 在l 上对称那么，式子旧，上i ，陋，础= 0 成立。这些结果是超代数【2 7 和余交换余拟三角双代数范畴日朋中李代数结果【2 6 】的统一。于是，我们回答了 o 2 b a h t t t r h n ，f i s c h n l a i t 和m o n t g o m e r y 等人在文献 2 6 】中所提出的一个问题：在日一李 代数的结论( 类似定理1 4 7 ) 中，日的余交换性是否可以不要，对此，我们给了肯 定的答案。最后，在1 5 节中，我们研究了日一李代数的可解理想结构，得到了： 如果三是一个日一单的一李代数而且yc 阮l 】是【l ，纠的一个日一李理想满足 v 陋，珥那么y 是陋，引的一个可解日一李子代数。此结果为( e ，g ) 一李彩色代 数( c o l o r a l g e b r a ) 相应结果的类似【3 2 】。 在第二章中，我们发展了r a d f o r d 的双积定理 3 9 和给出了m a j i d 的双交叉积 上的( 余) 拟三角h o p f 代数结构。设a 为一个左日一模代数，且为一个左日一余 摸余代数。在1 9 8 5 年，r a d f o r d 证明了充积( s m a s hp r o d u c t ) a # h 和充余积( s m a s h c o p r o d u c t ) a 日构成一个h o p f 代数的充要条件是：a 为范畴嚣y 口中的一个h o p f 代数，此定理被称为r a d f o r d 双积定理。它给出了在y e t t e r - d r i n f e l d 范畴菩y 口中 i 訇造辫子群【4 8 5 0 的一种方法。因为，冲积( s m a s hp r o d u c t ) 已被发展成为交叉积 ( c r o s sp r o d u c t ) ( 8 ) ，许多冲积的相应结果被搬到了交叉积上。在2 1 中，我们推广 r a d f o r d 的双积定理到了交叉积和冲余积上，给出了交叉积和冲余积构成h o p f 代数 的充要条件( 定理2 1 6 ) 。对偶的结果参见文献【2 5 】。我们的这些结果，在1 9 9 9 年 又被k i m ，p a r k 和y o o n 等人在文献 5 3 中得到了发展。 最后，我们讨论了m a j i d 的双交叉积上的( 余) 拟三角h o p f 代数结构。m a j i d 近几年来的主要工作在于双交叉积( 即交叉积和交叉余积所构成的h o p f 代数) 及其 相关的b o s o n i s a 理论上。由此，给出了拟三角h o p f 代数的变形理论和辫子群的构 造理论( 【5 0 】) 。在2 2 节中，我们通过引进辫子似的双代数的新概念，给出了m a j i d 的双交叉积h o p f 代数为余拟三角h o p f 代数的充要条件( 见定理2 2 8 ) 5 4 。同时， 在2 3 中，讨论了其对偶问题，即m a j i d 的双交叉积h o p f 代数的拟三角h o p f 代数 结构问题( 见定理2 3 7 ) 1 9 1 。这些为量子y a n g - b a x t e r 方程的求解提供了一种新的 方法。 在第三章中，为了研究d r i n f e l d 量子偶d 饵) 的代数结构，在5 3 1 中，我们 先构造了一类扭曲冲积，从而说明了d r i n f e l d 量子偶和d o i - t a k e u c h i 代数实质上是 一种扭曲冲积【37 】。近十年来，著名的d r i n f e l d 量子偶d ( 日) 的各种研究的焦点 是其代数结构的研究。由于它结构中的作用很复杂( m a j i d 通过双倍交叉积( d o u b l e b i c r o s s p r o d u c t ) 说明它是交叉积) ，于是，给研究工作带来困难。为此，我们在命题 3 1 1 中引进了扭曲冲积的概念，简化了问题的复杂性。 在1 9 9 8 年，c i b i s 和r o s s o 等人在文献【35 】中提出了一个问题，这个问题是希 望建立一个抽象的代数结构以【3 5 】中的代数结构为其例子。为此，在5 3 2 ，我们又 o 3 | 勾造了一类广义扭曲冲积，推广了5 3 2 中的扭曲冲积，说明了文献【3 5 中的代数 结构是一类广义扭曲冲积。接着，我们也发展了他们在文献 3 5 】中的工作，证明了 d o i k o p p i n e nh o p f 双模是一个模( 见定理s 2 9 ) 5 6 】，这类h o p f 双模是w o r o n o w i c z 紧 矩阵量子群【3 4 】的基本研究对象。最后，5 3 3 给出了扭曲冲积h o p f 代数上存在余 烈三角h o p f 代数结构的充要条件( 见定理3 3 4 ) 1 6 ，此结论包括了余拟三角h o p f 代 敦结构方面一些著名的结果( 4 q 4 7 ) 。对偶理论请见文献 2 3 的讨论。 最后，借此机会，作者向导师许永华教授多年来的悉心指导和帮助表示最衷心 的谢意和最崇高的敬礼。 o 4 作者 2 0 0 0 年2 月 第一章s c h u r 双中心化定理 设m 为y e t t e r d r i n f e l d 范畴备y 口中的一个有限维对象。我们首先证明了m 的 自同态代数e n d k ( m ) 为嚣y d 中的一个代数，并在y e t t e r d r i n f e l d 范畴备y d 中引 进了李代数的概念( 也称为且一李代数) ，它是通常李代数的推广( 见5 1 1 ) 。由此， 訇造出了范畴g y v 中的个导子李代数e n 也( m ) 一，简记为n 一。当y e t t e r d r i n f e l d 范畴g y v 中的”辫子”在m 上对称时，证明了它的泛包络代数的存在性。于是， 在5 1 2 中，由r a d f o r d 的双积定理【3 9 】构造出了一个h o p f 代数n 一社日。接着， 对任意h o p f 代数日，我们证明了s c h t r r 双中心化定理( 1 3 ) 。此定理统一了经典的 c l u r 双中心化定理，以及到目前为止的所有对经典s c h u r 双中心化定理的各种推 广形式，特别是c o h e n ，f i s c h m a n 及m o n t g o m e r y 等人的近几年来有意义的这方面的 研究工作 1 2 。其次，我们研究了一李代数的结构，尤其是范畴备y 口中代数 a 的日一李结构。证明了：如果a 为两个日一可换( 即在范畴g y v 中是交换的) 的子代数直和，那么a 的日一交换子理想是幂零的，从而若a 为半素的，则a 为 日一可换的。当日为任意h o p f 代数时，对日一李代数三，若工为两个日一a b e l i a n 李予代数直和，我们也证明了类似的结果( 5 1 4 ) 。这些结果是超代数 2 7 和余交换 余拟三角双代数范畴h m 中李代数结果【2 6 】的统一。于是，我们回答了b a h t u r h n ， f i s c h m a n 和m o n t g o m e r y 等人在文献【2 6 】中所提出的一个问题：在日一李代数的结 论中，的余交换性是否可以不要。最后，在1 5 中，我们研究了日一李代数的可 解理想结构，得到了：如果工是一个日一单的日一李代数而且vc 瓯引是瓯纠 的一个日一李理想满足v 球那么y 是列的一个可解日一李子代数，此 结果为( e ，g ) 一李彩色代数( c o l o r a l g e b r a ) 相应结果的类似【3 2 。 设y 是域女上的一个有限维向量空间，域 的特征为0 。经典的s c h u r 定理 是：对称群作用在矿。m 上和李代数g l ( v ) 作用在y 。m 上，实际上在自同态环 e n d k y 。m 中互为中心化子。这个结果由a b e r e l e 和a r e g e v 1 4 】等人推广到李超代 数p l ( v ) 作用在磊一分次空间矿上。这两种情况d f i s c h m a n 【1 5 搬到h o p f 代数上 ( 在经典情况时日= 矿( g z ( y ) ) ，玩一分次情况时日= c ，( p f ( y ) ) 襻 ) 。如果用任 意三角h o p f 代数( 日，丑) 代替 玩，在文献【1 中，他们考虑左日一模范畴h m 并用 日盯中一个适当的丑一李代数代替p t ( v ) ， 1 9 9 4 年，文献 2 】推广了f i s c h m a n 的结果进一步，设a 是日m 中任意对 象，则a 有左日一余模结构p ：a + 日oa 定义为a 一置( 2 ) o 五( 1 ) a ，这里 r = 置【1 ) o 丑【2 ) 日。日在这种情况下，有日m = 嚣y d ，个”y e t t e r d r i n f e l d ”范 畴另一方面，在 2 中，他们注意到：如果c h a r k 2 ，则k z 2 是自对偶的所以， 他们把k z 2 也看成余三角h o p f 代数，并且对任意余三角h o p f 代数( h ， ) ，推广 b e r e l e 和r e g e v 的结果到左日一余模范畴h m 中我们又注意到：设a 是日m 中任 意对象，则a 有左日一模结构，定义为h m = m o ，v h 日，m em 在这种情况下，也有日m = 备y 口，一个”y e t t e r d r i n f e l d ”范畴由上述观察，我们发 现无论是 1 】还是( 2 i s c h u r 双中心化定理实际上是在y e t t e r - d r i n f e l d 范畴中得到证 明的 设日为任意h o p f 代数在这章中，我们在y e t t e r d r i n f e l d 范畴备y 移中，统一 了文献【1 和【2 2 的s c h l t r 双中心化定理 5 1 1 在y e t t e r d r i n f e l d 范畴中的h 李代数 设为固定的域，o 是指o k ，日为上的一个h o p f 代数，其余乘，余单位和 反对极( a n t i p o d e ) 分别记为，e 和s 所涉及到的记号和结果见文献【8 m 1 不过， 我们省略符号和下足码中的园括号 a 是一个左日一模代数是指对v a ，b a 和h 口有下式成立： h - ( a b ) = ( h i d ) ( 2 b ) h 1 a = e ( ) l 类似地，a 是一个左日一余模代数是指对v a ，b a 和h 日有下式成立： p ( a b ) = 。( 一1 ) 6 ( 一l lo a o b o a n dp ( 1 a ) = 1 ho l a 这里，肌是a 的且一余模结 | 勾 左日模范畴记为日m ，左日一余模范畴记为h m ，y e t t e r d r i n f e l d ”范畴记为 嚣y 口则，一个左日模代数是范畴抒m 中的一个代数一个左日一余模代数是 范畴日m 中的一个代数在这章中，我们通常写h m 中的日一模映射为日m 一映 射，而写h m 中的日一余模映射为日m 映射因此，我们说在y e t t e r d r i n f e l d 范 畴中既是日一模映射又是日一余模映射的映射为嚣y 口一映射设v j ：r m ，则有 e n d k ve 日m 这里，对v ，e n d k k h 日和u v 有 ( h ，) ( ) = h i ( i ( s h 2 ”) ) 而且，如果h w 日m ，那么，v o w 甘m ，其结构为：对v o v o w 和h 日 有 h 扣0 ) = h t v 0h 2 所以，y 的张量代数t w ) 也是一个日一模代数 2 设h o p f 代数h 有双射的反队极一个y e t t e r d r i n f e l d - 模是一个女一向量空间 m ，m 既是一个左日一模又是一个左日一余模而且满足下面相容条件： ( 1 1 1 ) h i “f 一1 1 0h 2 m o = ( h 1 m ) ( 一1 ) h 2 0 ( h 1 m ) o ，其等价于： ( 1 1 2 ) p ( h m ) = h i m ( 一1 ) s h 3o h 2 m o 一般地，左y e t t e r d r i n f e l d 模范畴记为备y d 1 0 1 我们有范畴备y d 的辨子为： r ：mo n + no m ，使得r ( m on ) = “( 一1 ) n o m o 这里，对v m ，n 备) 仍 设v 备y d 下面，我们考虑e n d k v 设，e n 呔e h 日，和矿那么，我 们可以定义日在e n d k v 上的作用为： ( 1 1 3 )( h ，) ( ”) = h i ( 1 ( s h 2 ”) ) 易得，曰n 如v 是一个左日一模 注意( 1 1 3 ) 能被写成下面算子形式： ( 1 1 4 ) h t ( i ( s h 2 ) ) = t j ( f 一1 ，) ( 1o ) ( t p 1 ) ( o1 ) ( s ho 口) ， 这里 ：日o v + 矿是模作用，t ：v o v + v o v 被定义为t ( o w ) = o 口 对任意口， 矿 由( 1 1 4 ) ，我们能够定义一个算子： 面( ? ，) = t ，( s 一1 0 ，) ( 1 0 ) ( t 0 1 ) ( 0 1 ) ， 对任意，e n d k v ，而西( ? ，) ：日e n d k v 定义为西( s ，) = t ，( s “o ，) ( 10 m ) 口0 1 ) ( 0 1 ) ( s h 0 1 ) = h ，对任意h 日 因此，西( ，) 的对偶形式为 ( 1 1 5 ) p ( f ) = ( m 01 ) ( to1 ) ( 1o p v ) ( s _ 1oi ) p v ， 这里，p v 为矿的余模结构，m 表示日的积因此， ( m 0 1 ) ( t 0 1 ) ( 1 0 p v ) ( s - 1o ，) 卯( ) ( ，( 如) ) ( 一1 ) s 一1 ( ”( 一1 ) ) 0 ( ，( 如) ) o ( 1 1 6 ) 注：如果y 是无限维空间，那么( 1 5 ) 一般不能使得e n d k v 构成一个日一余 漠 从现在起，设矿是有限维空间，而n = e n 毗v 命题1 1 1 设h o p f 代数日有双射的反队极设矿为范畴譬y d 中的一个对象， 且d i m v = n 则，n 是个y e t t e r d r i n f e l d 模 3 证明：我们先证n 是一个日一余模，其余模结构p 由( 1 1 5 ) 所定义 事实上，对v ，n ，取y 的一组基 q ) 坠。我们有 p ( ，) ( q ) = ( m 0 1 ) 口0 1 ) ( 1 0 p v ) ( s - 1o i ) p v ( v i ) = ( m 0 1 ) 口0 1 ) ( 1 0 p v ) ( s 一1 0 ，) ( k o 饥) t 墨1 n = ( m 0 1 ) p 0 1 ) ( 1 0 胛) ( s - 1 ( h i t