（通信与信息系统专业论文）基于contourlet变换的图像去噪方法研究.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第l 页 摘要 事实证明，小波变换主要适用于表示具有各向同性奇异性的对象，对于 各向异性的奇异性对象，如数字图像中的边界、线状特征等，小波并不是一个 很好的表示工具。这也正是基于小波的一系列处理方法，在如图像去噪等应用 中，均不可避免地在图像边缘和细节位置造成一些模糊的原因所在，但边缘、 纹理等不连续特征恰是图像最重要的信息。本文重点研究了一种灵活的多分辨 率、多方向性的变换伽t o u r l e t 变换，及其在图像去噪处理中的应用。 论文首先较为深入的研究了c o n t o u r l c t 变换基础理论，分析指出由于 c o n t o u r l c t 变换存在频谱混淆现象，因而削弱了其方向的选择性，并提出了两种 对c o n t o u r l c t 变换的改进算法一基于可控金字塔的c o n t o u r l e t 变换和基于改 进拉普拉斯金字塔的c o n t o u r l e t 变换。本文将可控金字塔和方向滤波器组相组 合，从而实现了可控金字塔c o n t o u r l e t 变换，可控金字塔c o n t o u r l e t 变换避免 了频谱混淆现象，具有更强的方向选择性；而在改进的拉普拉斯金字塔 c o n t o u r l e t 变换中，首先重新了设定拉普拉斯金字塔的综合滤波器，再结合方 向滤波器组最终实现这种新的变换，改进拉普拉斯金字塔消除带通图像边缘的 振荡现象。 在此基础上，论文提出了基于可控金字塔c o n t o u r l e t 变换去噪算法和基于 改进拉普拉斯金字塔去噪法。分别用这两种新的c o n t o u r l e t 变换对带噪图像进 行分解，再结合自适应阈值图像去噪算法，最终实现了图像的去噪。实验证明 这两种去噪算法与小波变换及传统c o n t o u r l e t 变换图像去噪算法相比均取得了 不错的去噪效果。 关键词：图像去噪；多尺度几何分析；c o n t o u r l e t 变换；可控金字塔； 拉普拉斯金字塔 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i 页 a b s t r a c t an u m b e ro ff a c t sh a v e a p p r o v e d t h a tw a v e l e tm a i n l ya p p l i e st o i s o t r o p i c s i n g u l a r i t yo b j e c t s b u tf o rt h ea n i s o t r o p i cs i n g u l a r i t yo n e s ，s u c ha st h ee d g eo f i m a g ea n dt h ew i r e l i k ec h a r a c t e r , w a v e l e ti sn o tt h eb e s tt 0 0 1 i ti st h er e a s o nw h y t h eb l u ro fi m a g ee d g e sa n dd e t a i l so c c u rd u r i n gi m a g ed e n o i s i n g b u te d g ea n d d e t a i l sa l et h em o s ti n f o r m a t i o no fa ni m a g e am u l t i - r e s o l u t i o n ，m u l t i - d i r e c t i o n a l t r a n s f o r m 一一c o n t o u r l e tt r a n s f o r mi sf o c u s e do n ，a n di t sa p p l i c a t i o nt oi m a g e d e n o i s i n gi ss t u d i e di nt h i sp a p e r a tf i r s tc o n t o u r l e tt r a n s f o r mt h e o r yi ss t u d i e d ，a n a l y s i sp o i n t e do u td u r i n gt h e t r a n s f o r mt h ef r e q u e n c i e ss u f f e r sf r o ma l i a s i n g ，t h u sw e a k e n i n gt h e i rd i r e c t i o n a l s e l e c t i v i t y ，a n dt w oi m p r o v e da l g o r i t h m sa r ep u tf o r w a r d a na l g o r i t h mb a s e do n s t e e r a b l ep y r a m i da n dt h eo t h e rb a s e do np r o m o t e dl a p l a c i a np y r a m i da r ep r o p o s e d s t e e r a b l ep y r a m i dc o n t o u r l e to fb e t t e rd i r e c t i o n a ls e l e c t i v i t yi ss t e e r a b l ep y r a m i d c o m b i n e dw i t hd i r e c t i o nf i l t e rb a n k ，s ot h a ta l i a s i n gi sa v o i d e d p r o m o t e dl a p l a c i a n p y r a m i di sl a p l a c i a np y r a m i dw h i c hh a sb e e nr e s e tc o m b i n e dw i t hd i r e c t i o nf i l t e r b a n k ，s ot h a ti tc a ns u p p r e s st h ea r t i f a c t sa r o u n dt h ee d g ee f f e c t i v e l y o nt h i sb a s i s ，i m a g ed e n o i s i n ga l g o r i t h mb a s e do ns t e e r a b l ep y r a m i dc o n t o u r l e t a n dd e n o i s i n ga l g o r i t h mb a s e do ni m p r o v e dl a p l a c i a np y r a m i da r ep r o p o s e d w c c a nd e c o m p o s ea ni m a g eb yt h e s et w om e t h o d sa n dt h e n d e n o i s e sw i t ha d a p t i v e t h r e s h o l d i n g e x p e r i m e n t ss h o wt h a tt h et w op r o p o s e dm e t h o do u t p e r f o r m st h e w a v e l e tt r a n s f o r ma n dt h ec o n t o u d e tt r a n s f o r mi ni m a g ed e n o i s i n g k e yw o r d s ：i m a g ed e n o i s i n g ，m u l t i s c a l eg e o m e t r i ca n a l y s i s ，c o n t o u r l e t t r a n s f o r m ，s t e e r a b l ep y r a m i d ，l a p l a c i a np y r a m i d 西南交通大学曲南父迥大罕 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规 定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电 子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权西南交通大学可以将本学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 保密口，在5 年解密后适用本授权书； 2 不保密酣适用本授权书。 学位论文作者签名：j ，- ，戛，指导教师签名： 日期：2 舢西年g月1 3 日 日期：砌爷 尹钿 西南交通大学 学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立进行研究工 作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其它个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均 已在文中作了明确的说明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 本学位论文的主要创新点如下： 1 提出基于可控金字塔的c o n t o u r l e t 变换，并结合自适应阈值图像去噪算 法实现图像的去噪。 2 提出改进的拉普拉斯金字塔的c o n t o u r l e t 变换，并结合自适应阈值图像 去噪算法实现图像的去噪。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 1 1 论文选题依据 第1 章绪论 在图像的采集、获取、编码和传输的过程中，所有的图像均不同程度地被 可见或不可见的噪声污染。例如，摄像时，由于光学系统失真、相对运动、大 气湍流等都会使图像模糊；医学上，由于受到人体的器官、组织、光照等各方 面的影响、医学图像存在一定的模糊性，较难识别病变组织与正常组织，不利 于早期诊断。因此，如何对这些“降质 图像或受到噪声污染的图像进行处理 1 1 】，提取有用信号抑制噪声，提高信噪比，以满足图像实际应用的要求，一直 是图像预处理的热点问题。 图像噪声按其起源不同，较为常见的有1 2 3 j ： 1 电子噪声：阻性器件中由于电子随机热运动而造成的电子噪声，一般 常用零均值高斯白噪声做为其模型，可由其标准差来完全表征噪声的强弱。 2 光电子噪声：由光的统计本质和图像传感器中光电转换过程引起，在 弱光照的情况下常用具有泊松分布的随机变量作为光电噪声的模型，在光照较 强时，泊松分布趋向于更易描述的高斯分布。 3 感光片颗粒噪声：由于曝光过程中感光颗粒只有部分被曝光，而其余 部分则未曝光，底片的密度变化就由曝光后的颗粒密集程度变化所决定，而其 曝光颗粒的分布呈现一种随机性。这是在传统光学成像中普遍存在的一类噪 声，在大多数情况下，颗粒噪声也可以采样用高斯白噪声作为有效模型进行分 析。 4 由于载体或采集设备等机械运动而产生的抖动噪声。 。 1 2 图像去噪的发展 1 2 1 图像噪声的特性和模型 噪声对图像信号幅度和相位的影响十分复杂，有些噪声和图像信号相互独 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 立不相关，有些则是相关的，噪声本身之间也可能相关。因此要减少图像中的 噪声，必须针对具体情况采用不同方法，否则将很难获得满意的处理效果。由 于图像只是传输视觉信息的媒介，对图像信息的认识理解是由人眼视觉系统所 决定的，因而不同的图像噪声，人的感觉理解程度是不同的，这就是所谓的人 的噪声视觉特性。另一方面，可以从统计学的角度来描述噪声的特性，使用其 数值特征，根据噪声不同，其统计特性可以简要归纳如下： 1 加性噪声 加性噪声与原始图像信号强度不相关，典型的加性噪声如图像在传输过程 中所引入的信道噪声。电视摄像机扫描图像的噪声等，这类带有噪声的图像g 可看成为理想无噪声图像厂与噪声，之和，即 g = f + ， ( 1 - 1 ) 2 乘性噪声 乘性噪声与原始图像信号是幅值相关的，其强度往往随图像信号的变化 而变化，如扫描图像中的噪声成像和激光成像中的相干斑噪声、电视扫描光栅、 胶片颗粒噪声等，受该种噪声污染的图像g 可以用原始图像信号f 与噪声指数 e 的乘积的形式表示成： g = f x e( 1 2 ) 3 量化噪声 量化噪声是数字图像中的一类主要噪声源，其强度显示出数字图像和原始 图像的差异，一种较好的减少量化噪声的措施就是采用最优量化方法，按照灰 度级概率密度函数选择量化级。 4 椒盐噪声 此类噪声往往表现为黑图像上的白点或白图像上的黑点噪声，通常是由于 前期的图像处理所产生的噪声，如图像分割不完整、变换和反变换误差所造成 的变换噪声等。 1 2 2 图像的去噪方法概述 图像去噪的目的就是尽可能的减少图像中的噪声，同时尽可能多的保留 图像信号中的原有信息。消除噪声可以在图像空间域或在图像变换域完成。 1 空间域去噪算法 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 图像空间域去噪算法中的典型方法是局部平均法，其原理是直接在空间 域上进行平滑处理的技术。在这类方法中。图像被认为是由许多灰度恒定的小 块组成，相邻像素间存在很强的空间相关性，而噪声则是统计独立的。因此， 可用像素邻域内的各像素的平均灰度值代替该像素原来的灰度值，实现图像的 去噪。最简单的局部平均法称为非加权邻域平均，它均等地对待邻域中的每个 像素。这种算法简单，计算速度快，但是它主要的缺点是在降低噪声的同时， 使图像产生较为严重的模糊，特别是在图像边沿和细节的去噪算法研究，而且 邻域越大，模糊程度越严重。 为克服简单局部平均法的带来的弊病，陆续又有许多旨在保留边沿及图像 细节的局部平滑算法被提出并应用，但是它们的出发点大都集中在如何选择邻 域的大小，形状和方向以及如何选择参加平均的点数和邻域各点权重系数等。 其中非常值得一提的是中值滤波器【4 l 。中值滤波由t u k e y 首先用于一维信号， 后来很快被用n - 维图像的平滑中，它对脉冲干扰及椒盐噪声的抑制具有非常 良好的效果。并且在抑制随机噪声的同时也能够有效的保持原有图像中的边沿 特性。中值滤波的原理是对一个滑动窗口内的诸像素灰度排序，用其中值代替 窗口中心像素的原灰度，因此它是一种非线性滤波器。目前，关于中值滤波器 的研究很多，学者们对其算法做了深入研究，提出了一些有意义的改进方法， 特别是新型递归中值滤波器，将非线性的中值滤波器和线性的小波滤波器相结 合，兼顾了滤波处理的光滑连续性及抑制噪声的累积特性。但标准中值滤波器 是非参数估计，没有充分利用实际中可获得的观测模型统计知识，存在相当的 保守性和盲目性。针对上述缺陷，研究者还在不断地进行研究和探索。另外对 于同一场景的序列图像，多幅图像平均法利用对场景内的多幅图像取平均来消 除噪声也是一种非常有效的去噪思路。 2 变换域去噪算法 基于图像频域或称变换域的去噪算法是另外一类非常有效的图像去噪手 段，其基本思想是首先进行某种变换，将图像从空间域转换到变换域，随后再 对变换域中的变换系数进行处理，之后进行反变换将图像从变换域转换到原始 空间域来达到去除图像噪声的目的。最简单的频域去噪方法是低通滤波，可以 通过一个低通卷积模板在图像空间域进行二维卷积来达到去除图像噪声的目 的。常见的将图像从空间转换到变换域的变换方法很多，如傅立叶变换( f o u r i e r 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 t r a n s f o r m ) 、沃尔什一哈达码变换( w a l s hh a d a m a r dt r a n s f o r m ) 、离散余弦变 换( d i s c r e t ec o s i n gt r a n s f o r r n ) 、小波变换( w a v e l e tt r a n s f o r m ) 以及近年发展 起来的的多尺度几何分析方法( m u l t i s c a l eg e o m e t r i ca n a l y s i s ，m g a ) 。变换 后的频域系数特征分布明显，很多在空域中无法进行有效分析的信号，放到频 域中则可以进行有效的分析，有利于进行包括去噪在内的各类图像处理任务， 因此该类方法多年来一直是图像去噪研究的热门1 5 叫。 1 3 图像质量评价方法 在图像去噪中，常常需要评价去噪后图像的质量，目前主要有两种常用的 方法：一种是人的主观评价，由人眼直接观察图像的效果，对于恢复图像中得 到明显改善的特性可以通过这种方法评价，但带有一定的主观性，只用于观察 明显的去噪效果。 另一种常用的图像质量客观评价标准是峰值信噪比( p s n r ) 和均方根误 差( r m s e ) ，对于一幅大小为mx n ，量化级为0 - - - 2 5 5 的图像f ( x ，y ) 定义 为： 一- ( 击薹篓c 删? 2 ) 2 m 3 ， p s n r ( d b ) f f i1 0 l o g , o 丽2 5 5 2 ( 1 4 ) 其中，厂 ，y ) 为去噪后重建图像。 这两种图像去噪质量评价标准有各自的特点，由于人眼视觉特性的准确性 没有通过定量的方式来描述，因此主观评价法也不能做定量描述，它受人为因 素的影响较大，但它能反映人眼的视觉特性。而r m s e 和p s n r 能够对图像 去噪质量进行定量的描述，但它却不能反映人眼的真实感觉。在本文中我们既 给出了去噪后的重建图像，也给出了去噪后的峰值信噪比p s n r 。 1 4 研究工作概要及本文的组织 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 1 4 1 主要研究工作 近几年，为了更好地处理高维信号的奇异性，一类带有方向性的稀疏表示 方法多尺度几何分析应运而生。c o n t o u d e t 变换是一种真正的二维图像表示 方法。这种方法可以很好地抓住图像的几何结构，并且因利用轮廓线段的构造 方式产生了一种灵活可变的多分辨分析、局部和方向性的表示方法而得名。 本文的主要研究工作是在深入研究、分析多尺度几何分析工具 c o n t o u d e t 变换及其原理和特性，并将其应用到图像处理的经典问题图像去 噪。研究如何使用c o n t o u r l e t 变换实现图像去噪的良好效果。全部的研究工作分 为以下几个阶段： 1 研究经典和优秀的图像去噪算法，重点分析了当前去噪算法的主流，基 于小波变换的图像去噪算法。 2 简介多尺度几何分析的基本理论，研究了变换的构造并仿真程序实现 变换，在此基础上进行了大量的图像仿真实验，从理论和实践中总结变换的特 性和其用于图像处理的优缺点。 3 在c o n t o u r l e t 变换中进行拉普拉斯金字塔分解时，所得的带通图像在奇 异性点附近产生振荡，影响了图像去噪的效果。针对这一问题，本文提出一种 改进的拉普拉斯金字塔分解，可消除边缘附近的震荡。利用改进的拉普拉斯金 字塔实现c o n t o u r l e t 变换，并对图像进行自适应去噪。实验结果表明，该算法有 效。 4 针对c o n t o u d e t 变换的基函数对光滑曲线的逼近性能不理想，并存在频 谱混淆现象等缺陷，文中用满足精确重构条件的可控塔式分解替代c o n t o u f l e t 变换中的拉普拉斯分解，提出了一种由非抽样可控金字塔和方向滤波器组实现 的c o n t o u r l e t 变换。该变换避免了抽样环节，方向分解具有高度灵活性，因而具 有平移不变性，且大大提高了基函数对光滑曲线的逼近性能。利用改进的 c o n t o u d e t 变换进行自适应图像去噪，仿真实验结果证明了改进算法的有效性。 1 4 2 本文的组织 本文围绕上一节中的各项重要研究工作展开论述，共分五章。各章的具体 内容如下： 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 第一章为绪论，阐述图像去噪问题的研究背景、意义和相关的基础知识。 以及所作的重要工作。 第二章介绍了传统的图像去噪算法，最早的空域去噪算法到后来的变换域 去噪，重点介绍了小波变换理论，以及基于小波变换的经典图像去噪方法。 第三章首先研究了c o n t o u r e l t 变换理论及其实现方法，并对c o n t o u r l e t 变换 用于图像自适应去噪处理的性能进行了仿真。 第四章在c o n t o u r l e t 变换中进行拉普拉斯金字塔分解时，所得的带通图像在 奇异性点附近产生振荡，影响了图像去噪的效果。针对这一问题，论文提出一 种改进的拉普拉斯金字塔分解。利用改进的拉普拉斯金字塔实现c o n t o u r l e t 变 换，并对图像进行自适应去噪。实验结果表明，该算法所得的峰值信噪比较 c o n t o u r l e t 变换自适应去噪算法有显著提高，并且视觉效果有较大改善。 第五章针对c o n t o u r l e t 变换存在频谱混淆现象等缺陷，利用满足精确重构 条件的可控塔式分解替代c o n t o u r l e t 变换中的拉普拉斯分解，提出了一种由非抽 样可控金字塔和方向滤波器组实现的可控金字塔c o n t o u r l e t 变换( s t e e r a b l e p y r a m i dc o n t o u r e l tt r a n s f o r m ，s p c t ) 。利用可控金字塔c o n t o u r l e t 变换进行自适 应图像去噪，实验结果表明， 利用提出的算法能有效地抑制频谱混淆现象，并且更有效地保持了细节和 纹理，大大的提高了去噪性能。 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 第2 章基于小波的图像去噪算法 2 1 小波分析理论 经典的傅立叶变换不能同时进行时域与频域分析，因为信号经过傅立叶 变换后，时间特性消失，只能进行频域信息的分析，为了克服经典的傅立叶变 换的缺陷，d e n n i sg a b o r 于1 9 4 6 年引入短时傅立叶变换( s h o a t i m ef o u r i e r t r a n s f o r m ) 。但是短时傅立叶变换只能在一个分辨率上进行，小波变换克服了 短时傅立叶变换在单分辨率上的缺陷，同时具有时频二维分辨率的特点，其优 于傅氏变换之处在于它具有时域和频域“变焦距”的特性，十分有利于信号的 精细分析。第一个正交小波基是h a a r 于1 9 1 0 年构造的，h a a r 提出了构造 正交小波基的伸缩和平移思想。然而h a a r 小波基是不连续的，不具有连续可 导性，限制了它的应用。1 9 8 1 年，s t r o m b e r g 对h a a r 小波进行了改进，证明 了小波函数的存在性，1 9 8 1 年，法国地质物理学家m o r l e t 在分析地质资料时 创造性的提出了小波分析( w a v e l e ta n a l y s i s ) 这一概念，但m o r l e t 最初提出 的仅仅是形状不变的小波。1 9 8 5 年，法国大数学家m e y e r 首次提出光滑的小 波正交基，后被称为m e y e r 基，对小波理论的发展做出了重要贡献。次年， m e y e r 及其学生l e m a r i e 提出了多尺度分析的思想。1 9 8 8 年，法国年轻的女 数学家d a u b e c h i e s 提出了具有紧支集的光滑正交小波基- - d a u b e c h i e s 基，这 样，小波分析的系统理论初步得到了建立，与此同时，信号分析专家m a l l a t 等 人在前人大量工作的基础上提出了多尺度分析的概念和基于多尺度分析的小 波基构造方法，将小波正交基的构造纳入统一的框架之中，使小波分析成为一 种实用的信号分析工具。将多尺度分析思想引入小波分析，提出了多分辨分析 的概念，统一了在此之前所有具体小波基的构造方法，并提出了相应的分解与 重构快速算法( 称为m a l l a t 算法) 口吲，由此实现了小波分析从数学到技术的 转变，奠定了小波分析作为快速计算工具的地位。 2 1 1 连续小波变换 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 _ _ _ i _ i l _ - - _ l _ i _ _ _ _ i _ - _ l l i _ - _ i i _ _ - _ l l l _ _ _ ll _l 什么是小波? 简单的讲，小波就是一个有始有终的小的“波浪，。 定义2 1 设函数妒o ) 口俾) n r 僻) ，并且易( o ) = o ，即c l f ，o ) t o ，则 称缈o ) 为一个基本小波或母小波。对母小波妒( f ) 坐伸缩和平移得 删2 赤妒( 警) 鸬挺如。 ， 称妒。j o ) 为小波函数，简称小波。其中，口为尺度因子，b 为平移因子。在工 程应用中，常假设口 0 。这时在小波缈。上( f ) 的定义中，尺度因子口的作用是将 基本小波妒o ) 做伸缩，口越大，妒( 三) 越宽，小波的持续时间随口变大而增宽； 幅度与孑成反比减小，但小波的形状保持不变。 f r 。 o ) 中 的作用是使具有 不同口的小波妒。j ( f ) 的能量保持相等，即修。o ) i i ：- i t 妒( , ) 1 1 ：。 设 f ，( f ) 是基本小波，妒。占o ) 是由( 2 1 ) 定义的连续小波函数。对于平方 可积的信号f q ) ，其连续小波变换定义为 鸭) 。赤仁脚( 譬) 出l ( ) ( 2 - 2 ) 其中， a o , b ，f 均为连续变量，连续小波变换具有如下重要性质： 1 叠加性 设，o ) 的连续小波变换为0 ，6 ) ，j i l ( f ) 的连续小波变换为睨( 口，6 ) ，则 z o ) = q 厂o ) + 七：j i l ( f ) 的连续小波变换是七。0 ，6 ) + 七：睨q ，6 ) ，这是线性变换的 基本特性。 2 时移性质 设厂( f ) 的连续小波变换为以( 口，6 ) ，则厂o t o ) 的连续小波变换是 哆( 口，b - t o ) ，也就是厂( f ) 的时移对应于连续小波变换的6 平移。 3 尺度转换 设厂p ) 的连续小波变换为彤q ，6 ) ，则，) 的连续小波变换为 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 厕暖，b ，b o ( 2 3 ) 此定理表明，当信号，o ) 做某一倍数伸缩时，冥小波变换将在a , b 两轴上做同 一比例的伸缩，但是不发生失真变形。这是使小波变换成为“数学显微镜的 重要依据。 4 交叉项性质 由于连续小波变换是线性变换，满足叠加性，因此不存在交叉项。但由 它引伸出的能量分布函数1 ( 口，6 ) 1 2 ，却仍有交叉项表现。设，o ) = p ) + 厂2 ( f ) ， 则有： i w l ( a ，6 ) 1 2 一阮o ，6 ) 1 2 + i w l 2 ( a ，6 ) 1 2 + 2 l w , ，6 ) 1 1 ( 口，6 ) i c o s ( 巳一) ( 2 - 4 ) 式中气，分别为l 既( 口，6 ) i ，i w h ( a ，6 ) l 的幅角。 5 小波变换的内积定理 以基本小波妒o ) 分别对五o ) ，f 2 ( t ) 做d 、波变换，设石p ) 的连续小波变换 为 ：岷 ，6 ) 一 ， 厂2 1 3 f ) 的连续小波变换 为：w i ：( a ，6 ) = ，其中妒。，6 0 ) ；i 口i - - 1 缈仁) ，则有： = q ( 2 5 ) 式中c 妒：f 丝笔屹，这是小波变换的内积定理，也叫m 。y a i 定理。 2 1 2 离散小波变换 在实际运用时，需将连续小波变换离散化处理。一是信号( 时间序列) 本身 是离散情况，如f ( k a t ) ( k = 1 ，2 ；a t 为取样时间间隔) ，则式( 2 - 3 ) 的离散形 式为： 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 0 页 厂( 口，6 ) 。i 口i - 1 f 罗n 厂 & 砌( 一k 出- b ) ( 2 - 6 ) m ，6 ) 晰出荟m & 砌( 一口 另一种情况是将尺度参数4 和平移参数6 离散化，即取口= 口孑，b ；刀口孑其中 a o 1 ，b o e r ，则f ( t ) 的离散小波变换为： 厂伽，刖- a o2 ：。厂。渺( 口o “f 一刀b o ) a t ( 2 。7 ) 当口。= 1 ，, o = 1 时，式( 2 - 8 ) 变为二进小波变换： w 妒f ( m ，以) i2 “l ，( f 渺( 2 卜咒) d r ( 2 8 ) 小波理论认为：对于空间中的任意函数厂 ) ，总有以下展开式： 厂 ) = 荟；d j 妒 o ) + 乏c j j 仍 o ) ( 2 - 9 ) 其中d ，j - - ( f ( x ) ，妒似o ) ) ，c m r = ( ，o ) ，够 o ) ) 。 但由于实际中尺度函数和小波函数往往没有解析表达式，故上式通常难以 直接计算。对于这一问题，m a l l a t 基于多分辨分析的框架和双尺度方程提出了 如下的离散小波变换( d w t ) 公式： c ，j = h ( 1 2 k ) c ，一v ( 2 - 1 0 ) + d j = g p 一2 k ) c 川 ( 2 1 1 ) 相应的重构公式为： c 卜耻一乏勺h ( t 一放) + 乏以j g ( 一欲)( 2 1 2 ) 这就是所谓的m a l l a t 塔式分解算法和重构算法。该算法相当于f f t 在f o u r i e 分析中的地位，其优点是可以直接给出函数的分解系数而无需写出基函数。这 对数字信号的分解与重构来说，可以方便地用计算机实现，因而实用性很强。 同时，它将小波分析与数字滤波器紧密地联系起来，即双尺度方程中的系数 h ( x ) 和g ( x ) 分别起着低通滤波器和高通滤波器的作用，通常称之为尺度滤波器 和小波滤波器。由此还可以推导出小波基与共扼镜像滤波器之间的等价性，这 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 1 页 些滤波器组可以实现一种快速正交小波变换。即对长度为的离散信号，该变 换所需要的运算次数仅为o o v ) 。正是由于小波具有这种特殊的性质，才使得 它从一开始就受到工程技术人员的青睐，进而极大地促进了小波理论和应用的 发展。 如果引入无穷矩阵h t j = j l o 一残) g ，j g ( 1 一殁) l , ke z ，则m a l l a t 塔式分 解算法还可写成以下矩阵形式： c f = h c f 1 ( 2 - 1 3 ) d j1 1 g c 柚 ( 2 1 4 ) c f 一1 一日c j + g d ， ( 2 - 1 5 ) 且当，g 满足：h h + + g g = ，时可实现精确重构，其中“毒代表共轭转置。 根据m a l l a t 塔式算法，对于任意一个离散信号x 0 ) ，经过小波滤波器9 0 ) 与尺度滤波器j i l o ) ，被分解为高频分量和低频分量，低频分量再经过9 0 ) 与 h ( n ) ，被分解为更低的频率分量。从工程的角度来看，正是由于小波滤波器9 0 ) 和尺度滤波器h ( n ) 的高频和低频特性，才使得这些信号通过滤波器后分量间的 相关性变小；另外，由于在滤波后又进一步经过了下采样，因此阿一尺度下的不 同平移间的信号相关性也会迅速衰减，这些都使得经过小波分解后的信号自相 关阵呈现对角化趋势。 2 2 3 图像的离散小波变换 图像可以看作二元函数f ( x ，y ) ，其二维小波变换定义为： 町f ( x ，y ) ，宰妒；o ，y ) 2 f f ：f ( u ， ，渺；o - u , y v ) d u d v ( 2 - 1 6 ) 上式中i 表示分解尺度，而a 则表示三个不同的高频分量。 设尺度函数9 ( x ) 和小波函数妒( x ) 对应的滤波器系数矩阵分别h 为和g ， 原始图像f ( x ，y ) 记为c o ，n - 维小波分解算法可描述为： c j n = h c i h d 盖l2g c j 矿 ( 2 1 7 ) 跳n = h c i g l d ，d + l = g c j g + 其中h 、y 、d 分别表示水平、垂直和对角分量，露和g 分别是h 和g 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 2 页 的共扼转置矩阵。相应的小波重构算法为： c j - i = h 幸c ，h + g d ? 日+ 阿d ；c + c 硝g 地 h 工曩 h l 2 u _ bi i i i h l l l h 2 h h 2 l h l h h l 图2 1 图像的m a l l a t 算法分解三层示意图 ( 2 1 8 ) 其中，表示分解层数。若图像大小为n x n ，则依据图像分解像素点减 半的原理，分解层数最大为l o g ，n ，但在实际应用中，一般取3 到4 层为宜。 利用离散小波变换将图像分解三层，得到图像的多分辨表示( 见图2 1 ) ： l 以h l , h h , ( n - l 2 ，3 ) ，地表示最低频成分，是图像的一个低分辨( 粗尺 度) 逼近，h 。表示水平低频垂直高频成分，h l 表示水平高频垂直低频成分， h h 。表示对角方向高频分量。 2 2 经典小波的图像去噪算法 近年来，小波理论得了非常迅速的发展，由于其具备良好的时频特性和多 分辨率特性，小波理论成功地在许多领域得到了广泛的应用。现在小波分析已 经渗透到自然科学、应用科学、社会科学等领域。在图像去噪领域中，应用小 波理论进行图像去噪受到许多专家学者的重视，并取得了非常好的效果。具体 来说，小波去噪方法的成功主要得益于小波具有如下特点： 1 低熵性：小波系数的稀疏分布，使得图像变换后的熵降低； 2 多分辨率：由于采用了多分辨率的方法，所以可以很好地刻画信号非平 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 3 页 稳特征，如边缘、尖峰、断点等； 3 去相关性：因为小波变换可以对信号进行去相关性，且噪声在变换后有 白化趋势，所以小波域比时域更利于去噪； 4 选基灵活性：由于小波变换可以灵活选择变换基，从而对不同应用场合， 不同的研究对象，可以选不同的小波母函数，以获得最佳的效果； 在数学上，小波去噪问题的本质是一个函数逼近问题，即如何在由小波母 函数伸缩和平移所展成的函数空间中，根据提出的衡量准则，寻找对原信号的 最佳逼近，以完成原信号和噪声信号的区分。因此，小波去噪方法也就是寻找 从实际信号空间到小波函数空间的最佳映射，以便得到原信号的最佳恢复。 从信号学的角度看，小波去噪是一个信号滤波的问题，而且尽管在很大程 度上小波去噪可以看成是低通滤波，但是由于在去噪后，还能成功地保留图像 特性，所以它又优于传统的低通滤波器。由此可见，小波去噪实际上是特征提 取和低通滤波的综合。 总之，小波去噪是小波变换较为成功的一类应用，其去噪的基本思路可用 下面解释来概括，即带噪信号经过预处理，然后利用小波变换把信号分解到各 尺度中，在每一尺度下把属于噪声的小波系数去掉，保留并增强属于信号的小 波系数，最后再经过小波逆变换恢复信号。 小波去噪方法法大体上可以分为小波系数收缩法、投影方法和相关方法这 三种方法： 1 小波系数收缩法 将带有噪声的图像数学模型表示为： g 。厂( ) + i = l ，2 ，n ( 2 - 1 9 ) 式中是期望值为o ，方差为仃的独立同分布的正态随机噪声，为像素 点总数。图像去噪就是要剔除g ，中的噪声，恢复图像。小波阈值去噪的基本思 路是对g t 连续做几次小波分解之后，由空间分布不均匀信号，蛾) 所对应的各尺 度上小波系数w j 上在某些特定的位置有较大的值，这些点对应于原始信号八j 的奇变位置和重要信息。而其它大部分位置的w 肼值较小；对于白噪声，它 所对应的小波系数在每一尺度上的分布是均匀的，并随着尺度的增加，w 肼系 数的幅值有所减小。因此，通常的消噪办法是寻找一合适的阈值把低于a 的小 波系数w ，。( 主要是由噪声厂引起) 置为0 。而对高于a 的小波系数w ；。( 主要 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 4 页 a 由信号， ) 引起) ，则予以保留并进行相应收缩，从而得到估计小波系数w j ， 然后对小波系数w , t 进行重构，得到重构原始信号。其流程图下： 开始 0 带噪图像 士 小波分解 上 选择适合的阈值 和阈值函数 0 阈值收缩 上 图像重建 0 结束 图2 - 1 小波系数收缩法 阈值去噪法中的两个基本要素是阈值和阈值函数，阈值的确定是阈值去噪 中的最重要的一个环节，目前为止，传统的阈值选取方法有：d o h o n o 在1 9 9 4 年提出的v i s u s l l r i i l k 【9 加】方法，1 9 9 5 年，d o h o n o 在s u r e 准则下得到的 s u r e s h r i n k t l l 也l 方法，c h a n g 在2 0 0 0 年提出的b a y e s s h r i n k l l 3 】方法等。 ( 1 ) v i s u s h r i n k 阈值 v i s u s h r i n k 最早的小波阈值去噪算法。它是针对多维独立正态变量联合分 布，在维数趋向无穷时得出的结论，是基于最小最大估计得出的最优阈值。阚 值t 定义为t = 1 9 。2 l i l ，其中o r 。是噪声方差，是信号长度。 因为现实生活中的大部分信号、图像都近似可由集建模，而d o n o h o 证明 了该阈值选取在信号属于b e s o v 集时，在大量风险函数下获得了近似理想的去 噪风险。但是由于该方法阈值与信号的长度n 相关，当n 较大时，阈值趋向 于将所有的小波系数置零。这就往往产生“过扼杀系数的现象。 ( 2 ) s u r e s h r i n k 阈值 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 5 页 s u r e s h r i n k 阈值【1 6 】估计方法是s u r e 准则下得到的阈值，该准则是均方 差准则的无偏估计，它是专门对软阈值函数得出的结论，该阈值趋近于理想阈 值。设原始信号的小波系数通过软阈值函数萎缩得到，则s u r e s h r i n k 中阈值 的选择枷a 则n 劁1 ：，a t2 眺2 叫辨肛r i ， 脚，是靴 阶跃函数，a 表示两数取小，为信号长度，矾是噪声标准方差。 ( 3 ) b a y e s s h r i n k 阈值 b a y e s s h r i n k 阈值估计方法是c h a n g 在2 0 0 0 年提出的。据统计，自然图像 的小波分解各子带( l l 子带除外) 的系数基本符合零均值的g g d 分布。阈值 估计正是基于无噪图像小波系数服从广义高斯分布模型假设得到的，其阈值的 近似表达式为z = 生。其中听为小波系数所构成高斯分布的标准差，吒是噪 声标准方差。对固定的原始图像来讲，当噪声方差增大时，该方法阈值也增大， 从而能够更多地去除噪声的影响，而当噪声方差减小时，阈值也随之减小，从 而能够保留更多的系数。从这方面来看，b a y e s s h r i n k 的阈值估计也符合阈值 选取的规则。 在阈值收缩中，阈值函数体现了对系数的不同处理策略和不同的估计方 法。阈值函数主要可以分为如下三种硬阈值函数、软阈值函数和半软阈值函数 1 7 - 1 9 l 。其中硬阈值函数为：， w ，t = j ，q 乒一a i ) ( 2 - 2 0 ) 软阈值函数为 o ，上，s g l l ( ) ( i j l a + i i i a 1 ) 2 ( 2 - 2 1 ) 设a 为门限，s g n ( 1 3 ) 为符号函数，是单位阶跃函数， 实际应用中，由硬阈值方法估计出来的w ， ，在a 处不连续，利用w 重 构所得信号会产生一些振荡，由软阈值方法估计出来的w ，j ，整体连续性好， 用w 进行重构可得到较好的效果。阈值去噪的难点在于阈值的选取，如果阈 值太小，去噪后的信号仍然有噪声的存在，阂值太大，重要图像特征又将被滤 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 6 页 掉，引起去噪后图像失真。 2 小波比例萎缩去噪【1 牛1 5 】 相对阈值去噪方法来说，比例萎缩有更大的灵活性，比例萎缩主要特点 在于它有对信号的某一局部适应能力。从某种意义上说，可以认为阈值去噪方 法是比例萎缩的一个特例( 比例为0 或1 ，或者1 一r i _ ) 。 i w i , t i 最经典的比例萎缩方法是在假设原始图像小波系数服从高斯分布的前提 下，基于最小均方误差得到的。该方法最终所得w 膳的最小均方误差估计式为 哆 2 毒，其帆削啵系数所构成古斯分布的标准差，q 是噪声标 准方差。 此时最小均方误差估计为m n s e ：j 丝，由最小均方误差估计可以 0 0 七o ： 3 看出，当噪声方差增大时，误差增大，这是符合直观理解的。当噪声方差不变 而图像方差增大时，误差也将增大，也就是说当图像的细节变化多、纹理特征 明显时，误差也会相应增大。 另一种较为典型的比例萎缩算法是s h a r k 等人于2 0 0 0 年提出的小波域最 优模糊阈值算法，它不再像阈值去噪方法那样小于某值的系数就确定为噪声置 为0 ，而大于某值的就认为是信号。而是针对小波阈值萎缩中v i s u s h r i n k 阈值 过扼杀系数的特点和s u r e s h r i n k 阈值过保留系数的特点，设计了一个隶属度 函数，然后将介于两个闽值之间的系数按照隶属度进行萎缩，得到不错的去噪 效果。 一 3 小波相关性去噪 小波相关性去噪主要是基于信号在各层相应位置上的小波系数之间往往 具有很强的相关性 7 1 ，而噪声的小波系数则具有弱相关或不相关的特点来进行 去噪的。 该方法的一般步骤可以归纳如下： 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 7 页 ( 1 ) 计算相关量 仍r r l ( j m 力) 2 y u “( m ) ( 2 ) 归一化 ( 2 2 2 ) n e w c o r r l ( 胁) = c d 以旆) 厩 ( 2 - 2 3 ) 其中p y ( ) 、p c