（通信与信息系统专业论文）基于小波包变换的多载波调制算法的dsp实现.pdf

摘要无线移动通信技术为用户提供了良好的空间与时间灵活性。但同时，复杂的无线移动信道特性，有限的无线频谱资源，新业务的不断涌现等对无线传输技术提出了更高要求。调制技术作为无线传输技术的关键组成部分之一，其设计与选择也就具有非常重要的意义。第三代无线通信技术普遍采用的c d m a 技术仍无法满足未来视频和多媒体业务的需求。由此第四代无线通信系统倾向于采用多载波调制技术来实现高速、宽带业务。本文的目的在于研究并实现一种新的调制技术基于小波包变换的多载波调制技术。本文从小波, b 波包理论出发，阐明了基于小波包变换的多载波调制技术的性能特点以及相对于o f d m 系统的优势。继而详细介绍了了一种新型的、可实现快速算法的小波包调制方案，并给出理论分析，证明了方案的可行性。接下来，本文简要介绍了t m s 3 2 0 c 6 7 0 1 结构及功能特性。在此基础上提出了基于小波包变换的多载波调制技术的软件实现方案及流程。并详细分析了实现过程中需注意的问题。同时，本文在综合考虑了算法的性能及效率的基础上，讨论了算法的优化及数据读取。最后在t 1 公司t m s 3 2 0 c 6 7 0 1d s pe v m 板上实现该算法和与该算法配合的信道编码。理论分析与实验结果表明，本文提出的快速小波包调制方案作为一种新的调制技术，在功能及性能方面基本能够完成实时调制及解调任务，在提高通信系统性能方面具有独特的优势和潜力，值得进一步研究与探讨。关键词：小波小波包变换多载波调制小波包调制t m s 3 2 0 c 6 7 0 1d m aa b s t r a c tw i r e l e s sm o b i l ec o m m u n i c a t i o np r o v i d e sam o r ee f f i c i e n tw a yo fm e s s a g et r a n s m i s s i o nf o rm o v i n gs u b s c r i b e r s ，w i t hf l e x i b i l i t yi nb o t ht i m ea n ds p a c e h o w e v e r ,t h ec o m p l e xw i r e l e s sc h a n n e l sa n dl i m i t e df r e q u e n c ys p e c t r u ms o u r c ep u tf o r w a r ds t r i c t e rr e q u i r e m e n tt ot h ew i r e l e s st r a n s m i s s i o n t h es e l e c ta n dd e s i g no fw i r e l e s sm o d u l a t i o n d e m o d u l a t i o np l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nb e t t e r i n gw i r e l e s sm o b i l ec o m m u n i c a t i o np e r f o r m a n c e s c d m a ，w i d e l ye m p l o y e di nt h et h i r dg e n e r a t i o nw i r e l e s sc o m m u n i c a t i o ns y s t e m ，h o w e v e r , c o u l dn o tm e e tt h ei n c r e a s i n gn e e d so fh i g h q u a l i t yv i d e oa n dm u l t i m e d i as e r v i c e s t h ef o r t hg e n e r a t i o np r e f e r st ou s i n gm u l t i c a r r i e rm o d u l a t i o nt e c h n i q u ei no r d e rt op r o v i d et h ew i d e - b a n d ，h i g h - s p e e dr a t es e r v i c e s a sar e s u l t ，m u l t i c a r r i e rm o d u l a t i o nt e c h n i q u eb e c a m eah o t s p o ti nt h e s ey e a r s t h ep u r p o s eo ft h i sp a p e rl i e so nr e s e a r c h i n gan e wm o d u l a t i o nt e c h n i q u e - -w p t - m c m ( w a v e l e tp a c k e tt r a n s f o r m b a s e dm u l t i c a r r i e rm o d u l a t i o n ) f i r s to fa l l ，b a s e do nt h ew a v e l e t w a v e l e tp a c k e tt h e o r y , t h ep e r f o r m a n c ea n dt h es u p e r i o r i t yo v e rt h eo f d ma r ep r e s e n t e d a tt h es a m et i m e ，an e wm o d u l a t i o na p p r o a c h ，w h i c hc a nb ei m p l e m e n t e db yf a s ta l g o r i t h m ，i sd i s c u s s e da n da n a l y z e d t h i sp a p e ra l s op r o v e st h ep o s s i b i l i t yo f t h i sn e wm e t h o d t h e nt h es t r u c t u r a la n dt h ef u n c t i o n a lf e a t u r e so ft m s 3 2 0 c 6 7 0 1o r ep r e s e n t e di nd e t a i l b a s e do ni t ，t h es o f t w a r ea p p r o a c ha n dt h ep r o c e d u r eo fw p t - m c ma r ep r o v i d e d m e a n w h i l e ，s o m em a i nt e c h n i q u e si nt h es o f t w a r ed e s i g na r ed i s c u s s e d a f t e rt h a t ，u n d e rt h ec o n s i d e r a t i o no ft h et r a d e o f f sb e t w e e np r o c e s s i n gs p e e da n ds y s t e mp e r f o r m a n c e ，o p t i m i z e ds o l u t i o n so fs o m ep a r t sa r ep r o v i d e d a tl a s t ，a l g o r i t h ma n ds o m ec h a n n e lc o d i n ga r ei m p l e m e n t e do nt i st m s 3 2 0 c 6 7 0 1e v m t h ea n a l y s i so ft h ee x p e r i m e n tr e s u l t si n d i c a t e st h a tt h es o f t w a r ei m p l e m e n t a t i o ns c h e m eo ft h i ss y s t e mi sq u a l i f i e dt oa c c o m p l i s ht h et a s ko fw p t - m c m i ta l s op r o v e st h ew p t - m c mh a su n i q u ea d v a n t a g ea n dg r e a tp o t e n t i a la n dw o r t ho ff u r t h e rr e s e a r c h i n g k e y w o r d s ：w a v e l e t w a v e l e tp a c k e tt r a n s f o r m ，m u l t i c a r r i e rm o d u l a t i o n ，w a v e l e tp a c k e tt r a n s f o r mb a s e d m u l t i c a r r i e rm o d u l a t i o n ，t m s 3 2 0 c 6 7 01 ，d m a独创性声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得盘注盘堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。学位论文作者签名：粼签字日期：纠隧年2 月矿日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解墨盗盘茔有关保留、使用学位论文的规定。特授权叁注盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明)学位论文作者签名：导师签名：签字曰期：二耿年二月肟日签字日期：趣r 年工月翔日第一章绪言1 1 引言第一章绪言在第三代移动通信系统中，世界各国普遍采用c d m a ( c o d e d i v i s i o n m u l t i p l ea c c e s s ) 技术，这是因为c d m a 技术存在抗多径干扰能力强，信号设计灵活等一系列优点。但是，对于未来移动通信要求的高速度，宽带的业务要求，c d m a在抗码间串扰方面很难满足要求，所以必须找到一种新的技术满足未来移动图像和多媒体传输的要求。由于c d m a 的码问串扰源于其较高的码片速率，很自然的降低码流速率成为未来的发展方向。为此，人们提出来多载波调制( m c m ) 技术，该技术提出于上个世纪六十年代，多载波调制的基本思想是用多个载波进行调制。具体实现方式是对一路高速的串行信息进行串并变换，分解成多路的并行低速信号，分别调制相互正交的载波，再叠加在一起进行发射，接收端用相应的多个载波进行解调，由于载波的正交特性，多路低速并行信息将被还原出来，经过并串变换成为原始的一路高速信息。显然，与单载波的调制方式相比，多载波的每子载波上的符号脉冲宽度大大增加，提高了抗多径衰落、减小码间串扰( s i ) 与脉冲干扰、提高频谱效率等优良特性的能力。这在现今的高速无线通信中显得尤为重要。1 2 正交频分复用( 0 f d m ) 和小波包调制( w p m )提出于六十年代的正交频分复用( o f d m ) ，其基本的思想是通过允许子信道( 采用频分复用) 频谱重叠但不产生相互影响的方法将高速的数据分成若干路低速数据，并且对不同的载波进行调制传输数据。按照移动通信理论，频率选择性衰落是由于信号的带宽大于信道的相干带宽造成的。在o f d m 技术中，由于每路载频上传输的数据信号是窄带信号，如果带宽低于信道的相干带宽，这种技术就能很大程度上避免频率选择性衰落。同时由于各个频带是正交的，允许频率上存在重叠，也将大大节省移动信道的有限的带宽。第一章绪言o f d m 不仅可以抵抗频率选择性衰落的影响，也能减轻瑞利衰落的影响。这是因为在传送高速的串行码元的时候，深度的瑞利衰落将导致一连串的码元出现误码，属于突发性误码。与传统的串行方式不同，o f d m 方式中数据的传送是以多路串行低速数据传送的，码元周期较长，可以远大于深度衰落的持续时间，在出现深度的衰落时，只要信道估计足够有效，数据的损伤将很轻微。此外，o f d m 还可以通过在码间加保护间隙的方法减少码问串扰。相对于c d m a 方式，o f d m 的优势很明显，但是其缺点也是很明显的：插入保护间隔浪费了部分本可以节省的带宽，定时的不准确和频率偏移会破坏子载波间须严格保持的正交特性，信号的划分也显得不够灵活。基于小波包变换的多载波调制技术( 简称小波包调制，w p m ) 实际上是小波包理论与多载波调制技术结合而产生的一种新型调制解调技术。该技术采用不同的小波包函数作为多载波调制中的子载波，利用小波包函数良好的正交性和良好的时域频域局域性，可以充分发挥多载波潺卷8 的优点。与o f d m 档比，小波包调制具有许多优点：可以进行更加灵活的子信道配置，从而更有效地抑制i s i 、脉冲干扰、窄带干扰等的影响；更方便地实现满足不同业务和业务质量要求的多速率信号的传输；无保护间隔，进一步提高无线移动通信系统的容量与性能。大量理论分析与仿真结果表明，基于小波包变换的多载波调制技术作为一种新的调制技术，在提高通信系统性能方面具有很大优势和潜力，并且实现方案灵活多样，适于多种通信环境，因而具有广阔的发展前景。1 3 本文主要内容本文的主要斑容是对提出的小波包调制解调系统在t m s 3 2 0 c 6 7 0 1 e v m 板上的实现与优化，具体的内容为：第二章全面深入的阐述小波、小波包理论。第三章结合多载波调制技术提出小波包调制的基本系统结构、原理和特性，并与传统的o f d m 进行了比较，从理论上阐述小波包调制的优良性能。第四章提出完整的基于小波包变换的多载波调制解调系统的框图，并详细介绍系统中使用的纠错编码。第五章提出该系统的软件实现方案；结合t m s 3 2 0 c 6 7 0 1 的具体特性，提出2第一章绪言了算法的具体解决方案，给出了算法的优化方法、系统流程、d m a 设置等具体描述。第六章给出了算法在t m s 3 2 0 c 6 7 0 1 上的实验结果，从抗干扰、实时性及误码性能角度证明了小波包调制方案的可行性与优越性。本文的创新之处在于1 消除m a l l a t 算法中的对计算资源的浪费，将乘法计算量减至原来的一半。2 大量采用软件流水的汇编语言编写代码，大大提高程序的执行效率。令小波包调制方案的应用变得可能。3 提出了系统的框图，纠错编码的加入，大大提高了系统的误码性能。3第一章小波与小波包理论第二章小波与小波包理论1 3 】 8 1 1 9 1小波与小波包理论作为一科i 数学理论和方法很早就已经被提出，但是近十几年发展尤其迅速，它是泛函分析、傅立1 1r 分析、样条分析和数值分析等数学理论的完美结晶。小波与小波包理论在信号处理、图像处理、语音分析、模式识别。信息压缩等领域得到广泛的应用，近年来又逐渐应用到通信领域中。本章先介绍传统的信号分析和处理工具傅立叶变换和短时傅立叶变换，指出它们在信号分析处理领域的缺点，并引入小波理论，井对小波和小波包理论做简要的介绍。2 1 傅立叶变换与短时傅立叶变换理论先列出傅立叶变换最重要的两个公式f ( 口) = 巾) e3 u7 d tf ( o = ，( a ) p ”d 。( 2 1 )( 2 2 )傅立叶变换是信号分析处理领域最重要的工具，定义如上面( 21 ) ( 2 2 ) 。它将时域信号，( x ) 映射到频域。公式中e 。”是一系列基函数，根据数学理论，我们可以产生一个基函数的集合，即任何函数f ( x ) 都能表示成这些基两数的线性和。观察这些基函数得到它们的特点：时间区域都是 一0 0 ，+ m ；相互之间只是频率不同。通过傅立叶变换，我们可以得知一个已戋信号的频率和相位分布情况。对于大多数应用( 尤其是周期信号) ，傅立叶变换已经足够方便和准确了。但是对于某些信号，比如非平稳信号，由于是在全时域进行积分，普通的傅立叶变换往往无法满足要求。举个简单的例子，有三个余弦频率成分的稳态信号x f 0 = e o s f 2 8 矿1 0 t ) + c o s ( 2 + 矿2 5 t ) + c o s ( 2 。矿5 0 * t ) ，在任何时刻都有1 0 h z ，2 5 h z ，5 0 h z 的频蛊分量。现考虑另一信号。在 o ，3 0 0 m 3 为2 5 h z ， 3 0 0 ，6 0 0 m s 为1 0 h z ，f 6 0 0 ，8 0 0 m s 为5 h z 。其傅立叶变换仍有1 0 h z ，2 5 h z ，5 0 h z 的频率分量。但两信号在时域上是完全不同的。傅立叶分析无法将两信号区分。斟个频率成分，前者是在整个时域都包含，后者只在一段时间包含。也就是况，当信号的频率随前者是在整个时域都包含，后者只在一段时间包含。也就是说，当信号的频率随4第二章小波与小波包理论第二章小波与小波包理论8 】f 9 1小波与小波包理论作为一种数学理论和方法很早就已经被提出，但是近十几年发展尤其迅速，它是泛函分析、傅立叶分析、样条分析和数值分析等数学理论的完美结晶。小波与小波包理论在信号处理、图像处理、语音分析、模式识别。信息压缩等领域得到广泛的应用，近年来又逐渐应用到通信领域中。本章先介绍传统的信号分析和处理工具傅立叶变换和短时傅立叶变换，指出它们在信号分析处理领域的缺点，并引入小波理论，并对小波和小波包理论做简要的介绍。2 1 傅立叶变换与短时傅立叶变换理论先列出傅立叶变换最重要的两个公式f ( 口) = l ，( f ) p 1 “d t( 2 - 1 )f ( t ) = if ( 万) 口”7 d n r( 2 - 2 )傅立叶变换是信号分析处理领域最重要的工具，定义如上面( 2 - 1 ) ( 2 - 2 ) 。它将时域信号r ( x ) 映射到频域。公式中p 一，“是一系列基函数，根据数学理论，我们可以产生一个基函数的集合，即任何函数f ( x ) 都能表示成这些基函数的线性和。观察这些基函数得到它们的特点：时间区域都是 一0 0 ，+ 0 0 ；相互之间只是频率不同。通过傅立叶变换，我们可以得知一个已知信号的频率和相位分布情况。对于大多数应用( 尤其是周期信号) ，傅立叶变换已经足够方便和准确了。但是对于某些信号，比如非平稳信号，由于是在全时域进行积分，普通的傅立叶变换往往无法满足要求。举个简单的例子，有三个余弦频率成分的稳态信号x ( t ) = c o s ( 2 + 7 1 4 1 0 + t ) + c o s ( 2 + 矿2 5 + t ) + e o s ( 2 n * 5 0 + t ) ，在任何时刻都有1 0 h z ，2 5 h z ，5 0 t t z 的频率分量。现考虑另一信号。在 o ，3 0 0 m s 为2 5 h z ， 3 0 0 ，6 0 0 m s 为1 0 h z ， 6 0 0 ，8 0 0 m s 为5 h z 。其傅立叶变换仍有1 0 h z ，2 5 h z ，5 0 h z 的频率分量。但两信号在时域上是完全不同的。傅立叶分析无法将两信号区分。四个频率成分，前者是在整个时域都包含，后者只在一段时间包含。也就是说，当信号的频率随第二章小波与小波包理论着时间变化时，傅立叶分析只能确定在整个频域的频率特性，而不能描绘出在短暂的时间间隔内的频率特性。它只能给出待分析的信号有何种频率，而无法确定此频率是在哪个时刻存在。这样就需要寻求一种新的方法代替傅立叶变换。为了克服傅立叶变换不能分析局部时域信号的缺点，人们提出了另一种工具短时傅立叶变换( s t f t ，s h o r t t i m e f o u r i e r t r a n s f o r m ) 以研究信号在局部时间段上的频域特征。短时傅立叶变换采用对时域信号加窗的方式得到时域局部性。具体做法是：先让时域信号通过一个时间“窗口”，然后仅仅对落在窗口内的时域信号做傅立叶变换。短时傅里叶变换又称为加窗傅里叶变换。相应的也可在频域对【8 j 加一个窗口函数得到频域局部性。s t f t 的两个公式：s t f t ( t ，4 ) 2l 。( 7 ) g ( f 一咖。( 2 3 )s 7 ：丌j ( ，y ) 2 上，( 叻g ( 刃一y “d 珂( 2 4 )由式( 2 - 3 ) 所得到的时间信号频率谱是信号在以窗口宽度为长度的时间段上的频谱，虽然公式中短时傅立叶变换的积分域仍然是整个时间轴，但是加窗的结果使短时傅立叶变换得到的只是时间r 附近很小的时间片上的局域谱。令窗口的位置随f 的变化在时间轴上平移，就可以利用窗口函数得到时间轴上任意位置附近的时间段的频谱，也即通过窗口函数的作用实现了时域的局域化。由于在f 取值不同时结果不同，所以短时傅立叶变换的结果不仅是频率的函数，也是时间的函数，所以短时傅立叶变换得到的是一个二维的信号。是基于时间一频率二维平面上的信号。在这个平面上。可以观察特定时间段和特定频率段的信号的特点。也就是说，短时傅里叶变换可以在时间域和频率域同时获得信号的局域性质，这是傅里叶变换所不能办到的，这是短时傅里叶变换相较于傅里叶变换的优点。时频分辨率由短时傅里叶变换的窗口函数的时频窗口大小来确定。时间窗口宽度越小，相应的时间分辨率越高；频率窗口宽度越小，相应的频率分辨率越好。对于短时傅里叶变换，当窗口函数一旦选定，则时频窗在时间轴和频率轴方向上的宽度也被确定，时间域上的时问分辨率和频率域上的频率分辨率也被固定下来。时间分辨率和频率分辨率固定，并不随着时间和频率的变化而变化，这是短第二章小波与小波包理论时傅里叶变换的特点。虽然，短时傅里叶变换能够描述某一局部时间范围的频率信息，但固定频率分辨率和时间分辨率的特点使其分析非平稳信号时仍有不可克服的缺点。非平稳信号对频率分辨率和时间分辨率的要求是按照一定规律变化的，而不是固定的，一成不变的。要分析非平稳信号，需要引入一种分析工具能够分析信号的时频局域性而且时间分辨率和频率分辨率的变化符合非平稳信号的变化规律。小波变换就是这样一种有效的分析工具。2 2 小波函数与小波变换2 2 1 小波函数的定义若函妣n r 满胪斛性胖：铲箐咖一阻眈这里驴沏) 为缈( f ) 的傅立叶变换，莉称v 为小波函数。小波函数的名称与其基本性质密切相关，对其定义作一分析：由三1 知，上 y ( 叫破 0 。，即y 具有衰减性，特别地，矿( ；是局部非零的( 称为紧支；c 。m p a c t l ys u p p 。r t e d ) 函数，故称为“小”；同时由( 2 5 ) 知痧( o ) = o ，即i ( ) 击2 0 ，从而妒( f ) 具有带通性和波动性( 振幅呈正负相间的振荡形式) ，故称为“波”。这便是“小波函数”的由来。以后的分析将表明，小波和小波包函数之所以能应用于多载波调制领域，正是小波和小波包函数的这种紧支撑和波动性的优点。2 2 2 连续小波变换令p 舶( f ) = h 纵t - 。b ) ，则函数三z 的连续小波变换定义为池惦 = i 肌) y + ( 等矽6 )6第二章小波与小波包理论这里。r 一 0 ) 称为尺度因子，6 r 称为平移因子，均可连续变化为连续小波变换( 区别于后面的离散小波变换) 。连续小波反变换定义为：，( f ) = c 玎( 以6 ) | ；f ，。 ( f ) d f a d b故称( 2 - 6 )( 2 7 )小波具有以下性质：1 ) 波动性由小波母函数的可容许性条件可得痧( o ) ；0 ，即直流分量为零。因此，小波具有正负交替的波动性。2 ) 时频局域性满足可容许性条件的平方可积函数原则上都可以作为小波母函数。但一般选取紧支集或近似紧支集( 具有时域的局部性) 同时具有正则性( 具有频域的局部性) 的函数作为小波母函数，在时频域上均有良好的局部特性。3 ) 恒e 特性用小波基函数描述信号时，小波基函数与短时傅立叶变换的窗口函数有很大不同。短时傅立叶变换的窗口函数g ( t ) 一旦选定，不随时间和频率的变化而变化，也就是说时间分辨率和频率分辨率是固定的。而小波基函数则不然，它是随着尺度因子和平移因子的变化而变化，且具有一定的变化规律。2 3 多分辨率分析、尺度函数与正交小波函数在数据压缩和数字计算时，一般希望尽量减少荣誉度，理想的情况是得到组正交的小波基函数，即正交小波基。多分辩分析建立在函数空间的基础上，不仅为正交小波基的构造提供了一种简单的方法，而且为正交小波变换的快速算法提供了理论依据。多分辩分析理论在正交小波变换理论中具有非常重要的地位。2 3 1 多分辩分析多分辨率分析由一系列连续包含的逼近空间组成。定义如下：定义1 ：闭子空间序列e 砧称为空间2 ( 尺) 的一个多分辨率分析，若 。满足以下条件：( 1 ) 单调性：c 眨2 亡n 1c c kc k ；( 2 ) 逼近性：uy ，= 三2 ( r ) ，n 矿，= 0 ) ；j e zj e z第二章小波与小波包理论( 3 ) 伸缩性：，( x ) 一f ( 2 x ) + 。：( 4 ) 整数平移不变性：- 厂( x ) vj f ( x - 2 一女) _ ，t ，z( 5 ) 标准正交基存在性：存在乒，使得溉，。j 。是的一组标准正交基。这里令办，。( z ) = 2 m ( 2 x 一 ) ，n z ，则由( 3 ) ( 5 ) 知钫，。l 。构成的一组标准正交基。我们通常将称为多分辨率分析的尺度函数( s c a l i n gf u n c t i o n ) 。下得：令由多分辨率分析与尺度函数的定义，我们可以定义和构造正交小波基函数如设为空间r ( r ) 的一个多分辨率分析e l 。的尺度函数，存在 九) e l2 使( x ) = 压( 2 x 一”)”e z，( 曲= 互( 一1 ) 4 魂，( 2 x 一曲( 2 1 6 )( 2 1 7 )彤。s p a ， _ , 。( 力2 2 2 以2 z 功，刁则：一j _ o ，。巧= o 从而上2 = - ，e 矛w 一, ，上，砂。l 。是杉中的标准正交基，从而p 。 。：是p 中的标准正交基。我们通常将称为多分辨率分析的小波函数( w a v e l e tf u n c t i o n ) ，杪，l 。：称为空间矿的标准正交小波基函数a2 3 2 尺度函数与小波函数的性质尺度函数与小波函数y 的二进制伸缩与平移形成的函数集合分别构成了与的标准正交基。深入分析，可以发现与的一些有趣的性质与相互关系，这对于我们构造具有良好时频局域化特性的正交小波函数具有非常重要的意义。2 321 尺度函数的性质由于妒c u ，且疵。是k 的标准正交基，我们有：8第二章小波与小波包理论= 一扎，h 。= 且叫2 = 1 。 e 2即：( z ) = 压 。( 2 x 一”)或中) = 芹1 吃e - ”o ( 6 0 2 ) = 日，2 ) 中，2 )”( 2 1 8 )( 2 1 9 )这里中( ) 表示( x ) 的付立叶变换；h ( c o ) = 苫以口。，是上2 ( o ，2 口】) 上以2 月v ”为周期的函数，且具有以r 性质：】日叫= 1 ， ( ) = d ( h 。2 ) ，n 。( 2 2 0 )i ( ) 1 2 + i ( 卯+ 万) i2 = 1( 2 2 1 )反之，当日) 为满足以上两性质的付立叶级数，且l ( ) f 0 ，当 o ，s ”- ，则函数m 沏) ：f t ( 2 一，。) 是尺度函数( x ) 的付立叶变换。因此，可以通过选择满足性质及条件的h ) ，构造具有良好时频特性的尺度函数( x ) ，庐( x ) 的光滑程度和无穷远处的渐近衰减特性也可以从h )的性质估计。由性质可知胃如) 为低通滤波器，从而由$ ( m ) ：矗( 2 一一甜) 知尺度函数皋一个低通滤波器。2 3 2 2 小波函数的性质对于小波函数y ，由于妒k 匕k ，故也可用k 的标准正交基。线性表示有：妒( x ) = 4 2 g ( n ) o ( 2 x - )( 2 2 2 )g ( n ) = 且e i g ( m ) 1 2 = 1或甲2 去莩岛p 1 “2 m 如7 2 ) = g 7 2 ) 巾白7 2 ) ( 2 - 2 3 )这里g 如) = 芹1z g ( n ) p 。且满足”9第二章小波与小波包理论l g ( ) i2 + p ( 国+ z ) 1 2 = lh ( o ) g ( c o ) + h ( c o + 石) g + ( c o + z ) = 0( 2 2 4 )( 2 2 5 )可以证明，条件对于保证砂缸一”) ，n z ) 为的正交基，不仅必要，而且充分。因此在选定h ( 甜) 后，可以依据求得g q o ) ，进而由甲沏) = g ( c o 2 ) c b ( o 2 ) 求出小波函数。由知g ( ) 为高通滤波器，从而由甲) = g ( d o 2 ) c b ( c o 2 ) 推知小波函数是一个带通滤波器。满足上述条件的g ( 甜) 的一个例子是：g ( ) = p 。h + 沏+ 石) ，对该式取付立叶反变换，可得到g ) 与( 脚) 的冲激响应g ( 竹) 与 ( ”) 的关系g ( h ) = ( - 0 ”h ( 1 一 ) ，如( 2 - 1 7 ) 式所示。从信号逼近和滤波器的角度看，如果将h ( n ) 与g ( n ) 分另u 看作一个正交镜像滤波器的低通滤波与高通滤波系数，则通过这样的正交镜像滤波器，可以由信号( f ) 的低分辨率逼近信号一，f 与细节信号d j f 重建其高分辨率逼近信号一川f 。反之，若将h ( 聍) 与g ( n ) 分别作为正交镜像滤波器的低通滤波与高通滤波系数则通过该滤波器的滤波处理，可以将信号厂( f ) 的高分辨率逼近信号一。分解为低分辨率的逼近信号4 f 与细节信号d ，厂。这其实就是小波变换中著名的m a lf a t 算法( 或称塔形算法) 及其滤波器实现。2 ，3 3m a l a t 算法及其正交镜像滤波器实现对实际的物理信号，( f ) ，在一定的逼近精度下，可以假设，( f ) e ，j 为某一整数，于是有：，( f ) = a j f = c ( ，)( 2 2 6 )由于巧= 叱一。o 吼一故又可将，分解为它在髟一，与玛一，上的正交投影之和：朋) = 爿川f + d 一，= 勺吐 九吐。( r ) + 钆，i _ l 。( f )( 2 2 7 )e z e z式中的分解系数c 。，o _ l 。，d 。，。有下面的关系1 0第二章小波与小波包理论c j - 1 n = z h ；。c “，d j 。= g 乙勺，+( 2 2 8 )女ze z其中h 。、g 。的定义同上节，即：h 。= c 九+ 九，= c ，妒，。 且h 1 2 = ig 。= 弘磊，。 且恒( h ) 1 2 = l 。这一分解过程称为m a l3 a t 算法( 也称为塔形算法) 。若令兀，。( f ) = a j - i f ，则可继续利用m a l l a t 算法，从而快速高效地计算出，( ，) 的多分辨率分解系数。m a l l a t 算法可以采用正交镜像滤波器来实现。将h ：、g ：分别作为正交镜像滤波器的低通滤波与高通滤波系数，则通过该滤波器的滤波处理，就可以将高分辨率的信号f ( t ) 分解为其低分辨率的逼近信号与细节信号。如图2 1 ( a ) 所示。( a ) 信号的小波包分解c o ) 信号的小波包重构图2 - 1m a l t a t 算法的正交镜像滤波器实现框图m a l l a t 算法的重构过程为：c 小= h k m c 川，+ g k - z n d 巾，_ ，z ，ke z( 2 2 9 ) z”e z同样可采用正交镜像滤波器实现，如图2 - 1 ( b ) 所示。m a l l a t 算法为信号的正交小波分鳃与重建提供了一种快速高效的方法，因此也被称为快速小波变换。正如快速付立叶变换( f f t ) 对于付立叶分析具有重要意义一样，快速小波变换对于小波分析具有重要意义。2 4 紧支小波的定义在小波理论中采用支集( s u p p o r t s ) 来表示时域( 离散) 信号长度，具有有限支集的小波函数称为紧支小波( c o m p a c t l ys u p p o r t e dw a v e l e t ) 。紧支小波的优点在于其对应的正交镜像滤波器为f i r 滤波器，这为实际应用中小波变换的实1 l第二章小波与小波包理论现带来很大方便。紧支小波的一个典型例子是d a u b e c h ie s 小波族，它是选择矗s0 ，12 一1。h ( 珊) = 去，h n p ”。( 。月( 脚) 表示与每一n 值对应的h ( ) ) 构造出来的。n - - o2 5 小波包函数与小波包变换小波包理论是在小波理论的基础上发展起来的，它克服了小波变换对高频信号或信号高频成分的频率分辨率低的缺陷和不足。小波变换具有等q 特性( 带宽与中心频率之比保持不变) ，这使它在时变信号或非平稳信号的时频分析方面，与付立叶变换或短时付立叶变换相比具有很大优势。但同时，这一特点决定了它在分析高频信号或信号高频成分时的低频率分辨率。从多分辨率分析的角度看，小波变换仅能将高分辨率的逼近信号分解为低分辨率的逼近信号和细节信号，而无法对细节信号作进一步的分解。因而当某些情况下要求对高频信号或信号细节作更为灵活、细致的分析与处理时，小波变换显出了自身的局限。小波包变换是在小波变换的基础上，对高频信号或信号细节作进一步的分解，因而小波包变换有效地弥孙了小波变换之不足，对于信号的分析与处理更为灵活、精确。从小波包变换的角度看小波变换，后者其实是前者的一个特例。2 5 1 小波包函数的定义对于多尺度分析中的标准正交尺度函数o n i , 波函数，有双尺度方程：f 娴= 压( 2 x 一k ) ：压圭删( 2 “) 其帕渖颤绷崂相应的正交镜像滤波器州氐lt通与高通滤波系数。令( 曲= ( 曲，“( x ) = ( x ) ，则由下面的递推关系定义协。( x ) ) 。为：第二章小波与小波包理论f 6 ( x ) = 压 。以( 2 x a )1 “2 n + l ( x ) = 压甑以( 2 x 一女)则扫。( z 波。被称为由尺度函数导出的小波包函数。由小波包函数的定义可知，小波包函数是小波函数的推广。2 5 ，2 小波包函数的性质25 ，2 1 小渡包函数的频域表示引理1v n z ，则r l 有唯一的二进制表示定理1 = s ，2 川，q8 o ，1 )( 2 3 0 )( 2 3 1 )设n v且n = 0 2 j - ，一6 o ，i i，j = lh 。( 珊) = 寺p 。z2 ，h ，( ) = 寺吼z kj则由标准正交尺度函数声导出的小波包函数如。( x ) 。的付立叶变换为硝咖再州争脚e rs ：)252 2 小波包函数的正交性小波包函数最重要的性质在于其平移与尺度正交性，即有下面的定理定理2 设诅。( x ) ) 。是由标准正交尺度函数导出的小波包函数，则。( x 一_ ，) ，。( z t ) = t ，女，j ，k z( 2 3 3 )定理3 设扣。( x ) ) 。是由标准正交尺度函数导出的小波包函数，则： = 0 ，孟e z ，n( 2 - 3 4 )定理2 表明每个小波函数的非零平移正交性，该性质在小波包调制中可用来消除码间干扰i s i ，尤其是具有紧支撑的小波函数在抑制i s i 时更显优势。这也1 3第二章小波与小波包理论是我们在小波包调制方案中采用d b 4 小波的原因之一。此方案将在后面提到。定理3 表明小波包中的不同函数的非零平移正交性。它可用来消除邻信道干扰i c i 。2 5 ，3 基于小波包函数的正交子空间分鼹定理4 设 以( x ) ) 。是由标准正交尺度函数导出的小波包函数，令u j = s p a n 2 门。( 2 石一1 c ) ik z )f u ? ：v ，则： ：，其中j z ，h n【u j = ( 2 3 5 )进而有下面的定理：定理5u j ”上u ；肿1 ，u a 。= u ；”o u j 肿1 ，z ，斗n u o ( 2 - 3 6 )定理6 对j n ，有= u j - 1 2o u 。= u ，4 ：o u 二2o u j ：o u 工：= 。o u 艺：1o o u 譬12 哪= u ；。o 明o o 暖”l 1且对每个m = 0 ，2 一1 ，k = 1 ，和j = 1 , 2 ，函数集 2 譬。+ 。( 2 h 。一2 冉是空间u ；：m 的一个标准正交基。tj k z定理7 将全体自然数的集合n 划分为，；。= 2 ”一，2 铆+ 1 ) 一1 l n ，k z 两两不相交的形式，记为陋，】，则 2 e ( 2 f 一，) l ) e 【。：是上2 ( r ) 巾的一组标准正交基。由以上定理和多分辨分析可以得到基于小波包的上2 ( r ) 的。种正交子空间分解1 4第二章小波与小波包理论上2 ( 月) = o 一o 矿：o 矽。o o m o oj z一o 矿：o 旷o u ；o u jo u ；o u ；o 子空间，j 一，, - 2 ，- l , 0 的标准正交基y ( x ) 与子空问u ；，h = 2 , 3 , 4 的标准正交基“。0 一女) ，k z 的并集恤。啊一) ，p ，；( x ) l ，= ，一1 ，o ；h = 2 , 3 ，4 ，k z 构成三2 ( r ) 空问的一个正交规范基。事实上，只要从小波包函数族张成的全部子空间 wi ”n ，z ) 中选出一个子集，子集中的子空间两两正交，且所有的子空问的并集为上2 ( 月) 的一个覆盖就能够得到上2 ( r ) 的一个正交子空间分解，如图2 - 2 所示，相应子空间标准正交基的并集构成r ( r ) 的规范正交基。 w 1 月z 的标准正交基的全体 2 ，“。( 2 x k ) 1 ，女e z ， ，称作标准正交小波包基库。( r ) 的标准正交基是标准正交小波包基库的一个子集。( a ) 小波包完全分解。矿，砂；沙，( b ) 小波分解( 小波包分解特例)( c ) 一种任意小波包分解1 5( d ) 一种任意小波包分解一奠杉a八a m、a八：驴7 胁a苎三兰尘茎量! ：垫鱼翌堡2 5 4 快速小波包变换图2 - 2 小波包分解树图m a l l a t 算法( 见前2 ，3 3 节) 可以进一步推广到信号的小波包变换中，称为快速小波包变换。定理8 设缸。( z ) ) 。是由尺度函数导出的正交小波包函数，信号，( x ) 在子空间u j ”中的系数表示为：c f 一= e f ( x ) 2 巾。( 2 i x - k ) d x ，k z( 2 3 8 )则，( x ) 在子空间u 暑和u 川2 n + 1 中的系数可表示为c 川和c ；“一1 ，且有快速小波包变换算法f c = 醢：+ c ? 。b 2 一：i 如舯，“l，以及快速小波包反变换算法c ；k 瞻：，c ? ”。+ g * - 2 1 c ? n + l , j - i 其中h 。、g 。的定义同2 3 3 节。】6( 2 3 9 )( 2 4 0 )第三章多载波调制与基于小波包变换的多载波调制第三章多载波调制与基于小波包变换的多载波调制3 1 多载波调制多载波调制( m c m ，m u l t i c a r d e rm o d u l a t i o n ) 是将串行传送的高速率数据流转变成n 组并行的低速率子数据流，并将这些低速率的子数据流用若干个子载波分别调制，实现数据的并行传输。采用并行传输，发送信号的带宽b s 远小于信道相干带宽b c ，t s 远大于信道多径时延扩展，信号只发生平坦衰落。降低平坦衰落的影响，比降低频率选择性信道影响从技术上要简单。这样，经过多载波调制使对宽带频率选择性信道的处理变为较简单的对窄的平坦衰落信道的处理。同时，传送速率降低，符号周期拉长，使多径延时控制在符号周期内，降低了符号间的串扰。多载波处理宽带高速信号具有固有的优势。多载波调制系统的原理框图如图3 一l 所示。图3 1多载波调制系统原理框图与单载波调制系统相比，多载波调制系统主要具有以下优点：1 ) 抗频率选择性衰落的能力强：多载波调制通过将单路高速数据流变换为多路1 7第三章多载波调制与基于小波包变换的多载波调制并行低速信号，增大了信息码元周期，6 从而降低了多径时延扩展在信息码元周期中所占的百分比，这样，有效地减小了多径时延扩展造成的码间串扰( i s i ) ，提高系统抗频率选择性衰落的能力。因此单载波调制系统在高速数据传输时常常采用的复杂的均衡技术，在多载波调制系统中可以得到简化或省略。2 ) 抗脉冲干扰的能力强：这主要是由于多载波信号的解调是在多个码元周期中进行积分，从而分散了脉冲干扰的影响。提交c c i t t 的测试报告表明，使多载波调制系统发生错误的脉冲噪声的门限电平比单载波系统约高1 l d b 。另外，对于某些多载波调制系统，例如小波包调制，通过子载波的合理选择也可以降低脉冲干扰的影响。3 ) 频谱效率较高：通过适当的选择和配置子载波，可以获得较高的频谱效率。以o f d m 为例，由于各予载波( 子信道) 频谱重叠且相互正交，其极限频谱效率可达到2 b a u d h z 。4 ) 合理配置各予信道的传输方式，可以提高系统的容量、传输效率或支持多业务的能力。例如，可以采用注水法( w a t e r - f i l l i n go rw a t e r - p o u r i n g ) 动态分配各子信道的数据传输速率，从而提高系统的容量和传输效率。又如，在小波包调制系统中，可以方便地实现多速率信号的并行传输，从而满足多种业务和业务质量的要求。多载波调制系统也存在一些缺陷，如：对符号定时和频率偏移较为敏感；信号峰值功率与平均功率的比值较大，故对前端放大器的线性要求较高等。目前许多研究正是围绕着如何改善多载波调制系统以上性能缺陷而展开，并取得了一定的研究成果。多载波调制技术具有内在的抗多径衰落和抗频率选择性衰落能力，并且抗噪声能力强，频谱利用率高，适合数据的高速传输，得到人们的广泛关注。在无线本地环路( w l l ) 、数字音频广播( d a b ) 等方面，多载波调制技术都得到