（概率论与数理统计专业论文）单指数模型参数估计的递归算法及其大样本性质.pdf

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o 垂s t kf e g 陀s s 主o nl 玎o d 西a n dp f 曲i t m o d e la r ep a r a m e t r i ce x a m p l e so fs i 堇l 酉ei i l d e xm o d e l s i l l g l ei n d e x m o d e lh a sb e e na p p l i e dt o m a n yf i e l d ss u c h a si n d u s t l 了，m e d i c i n e ， e c o n o i l l y 勰ds o c i a ls c i e n c e s i tr e l a x e st h el 蛔i t a t i o n 、h i c hi sm e f o u n d a t i o n a lc o n d i t i o n 血p a r a 】【n e t r i cm o d e l 。m o r e i 吖e l c o m p a 托dw i t h n o n p 甜嘲e t 蛀c 靛d 鼓，s 选酉ei n d 蚁o n ek e e p sl ka d a v 翘鹋e 醒l 迅e 酊 燃。如1 m o 糟越d 鞠羚雒鼹曲鼗h 瑟b e 镪p 鑫y e d 幻溉p 甜鑫越e 砸c e s t 主m a 娃。珏纛薤ds 纽l i s 毫主c 蠢始f e 鼗c e 。 h lt l l i sp a p e rt h ea 1 9 0 矗t h m ，i n d u d i n gi t e r a t i v em e t h o d ( u s e di i ls m a h s a m p l c ) a n dr e c u r s i v ea l g o r i t h m ( u s e di nl a 玛es 醐叩1 e ) i ns i l l g l ei 1 1 d e x m o d e li ss t u d i e d 加dt h e s t r o n gc o n s i s t e n c y 锄dt h e 弱y n l p t o t i c n o 聊a l i t yo ft h ee s t i m a t o r sa r ee s t a b l i s h e d i nt h ef i f s tc h a p t e ro fm yt h e s i s ，t h em o d e la n ds o m | b 俎g o r i t h ma 羚 i l 】加曲c c d s 矗印l y 。弧e nw e 蕊妁曲c s 纽酉e 瓤d e x 渤黼强d 她 越g o 西l h 越i 稳圭量抡s e 蛹c h 印绝，瑟das 遗蓼e 妇蚕e x 萎约d d 逶鹞d i 董主e d 通 耄h en e 贼曲a p t 贸hm el a s 耄柳。馥a p 鼢s ，s o m e 馕e 0 捌 n sa f ep r o p o s e d a n d p r o v e d k e yw o r d s ：s i i 珥e i i l d e x m o d e l ， r e c l l r s i v e a l g o r i t h m ，s t r o n g c o n s i s t e n c y ，a s y m p t o t i c 觳o r m a l i t y 2 第1 章引言 1 1 1 研究模型 第1 章引言 在这篇文章中，我们研究的是单指数模型( s i n 西e i n d 弧m o d e l ) 。单指数 模型是只有一个未知参数向量的半参数回归模型，广泛应用在工业制造、医学、 经济和社会数据的统计分析中，尤其是应用于对商品价格函数的模型。它是一类 重要的模型，已经成为半参数统计学研究的热点。 单指数模型一般吴有如下形式： y 。议r 矽g 其中，y 为一维随桃变量( 因变量 ，x 为p 维随机列向量( 解释交量) ，p 惫l ， e 是不可观测随机变量，声是未知的p 维参数商量，g 0 必未知的联系函数， 髫f 声被称药指标( 此处x f 表示x 的转置) 。 两个著名的已知模型是该模型的特殊情况：( i ) 当g ( ) 是线性时，是线性回 归模型；( i i ) 当p = l 时，是非参数回归模型。 我们首先介绍一种因变量】，只取两个值的单指数模型。两值响应模型在经济 学孛的时闻应用，例如，选择赡买股票时，选择股票a 对应响应变量y = 王，选 择股票b 对应响应变量y = o 。两值响应模型考虑了在给定一系列解释变量的条 件下，y = l 的条件概攀，而在经济学中的问题就是要考虑如何估计这个条件概 率。最常用的模型是假设联系函数是已知的p r o b i t 和l o 西s t i c 回归模型，即分别 使用正态分布函数和1 0 西s t i c 分布函数作为联系函数的g i m ，使用的方法都是参 数方法。这种方法的缺点是缺乏稳健性，一旦当假设的分布形式和真实的联系函 数襁差太多的时候，所得的估计量很难相合。于是，人们对这种方法加i 良改进， 弱化联系丞数的假定，提毒了半参数和菲参数方法。而相比予菲参数方法，单指 数模型在实际应用中有着更明显的优势。首先，非参数模型中的估计精度会随着 解释变量维数的增加而惫剧降低( 被称作维数灾难，c u r s eo fd i m e n s i o n a l i t y ) ， 从而导致需要巨大样本量来弥补。但在单指数模型中，由于指标x 7 多能够以线 4 第1 章引富 性的形式综合x 的维数，能使8 的估计达到参数模型中一样的收敛速度。其次， 有关的统计推断的结果在单指数模型中易于了解。最后，单指数模型中得到的 e ( y l x = x ) 预测值都在指标x 7 的支撑内，这也避免了非参数估计不易于外推 ( e x t r a p o l a t i o n ) 的缺憾。 对单指数模型的研究从上个世纪八十年代就已经开始。m a n s k i ( 1 9 8 8 ) 和 i c h i 删u r a ( 1 9 9 3 ) 分别研究了一般单指数模型和两值响应模型中未知参数b 和 联系函数g ( ) 的可识别条件。对予单指数模型参数b 的估计，触1 e m i y a ( 1 9 8 5 ) 和g a l l 姐t ( 1 9 8 7 ) 曾提出用半参数加权非线性最小二乘( w m l s ) 的方法，还可 利用常见的极大似然估计方法，但是由于在计算中，基于这些方法的目标函数可 能会是非凸的，需要求解菲线性数值优化溥蹶，它们的计算毒摹紫困难。p a 轷e 糕， s 妇盘和s l i 嘲澍( 王9 8 9 ) 提出用密度加投平均导数估计( 柚e ) 的方法，跏越 和h ( 1 9 9 1 ) 提出了切片逆回归( s 娃c e d 撕e r s er e 掣姻s i o n ) 的方法。m 跬s 馘( 1 9 8 5 ) 研究了一种特殊的单指数模型：两值响应模型，提出了极大化计分函数方法来估 计b ，且证明了估计是相合的。p o l l 砌( 1 9 9 0 ) 证明了m a n 蚓( 1 9 8 6 ) 所提出的 极大计分估计在一定条件下依分布收敛到某个高斯过程的极大值点。这个估计仅 有o 。0 讲3 ) 的收敛速度。为了改进收敛速度，h o 拥娩( 1 9 9 2 ) 提出了b 的基于 光滑计分函数的极大计分估计，并建立了它的渐近正态性。 1 。2 参数估计的算法介绍 在非线性统计模型中，迭代算法被广泛地用来估计模型参数，比如g 踟s s 一 奎渤哟n 算法，梯度算法，拟梯度算法等等。但是迭代算法作为一种数值计算方 法，计算强度较大，对露标番数的凸性要求严格，当样本量很大时，运算起来很 困难，即便使用计算帆，计算速度也很慢，丽且不能保证它的收敛性。因此，一 种依靠添加样本数据的递归算法在处理大样本实际问题上的良好表现显得非常 有意义。对于递归算法，m a r o n n a ( 1 9 7 6 ) 给出了一类多元线性模型m 一估计的 一般化参数求解方程，b i c k e l ( 1 9 7 5 ) ，e n 9 1 u n d ( 1 9 8 8 ) ( 1 9 9 3 ) 等提出并研究了一种 应用于多元线性模型m 估计的递归算法，b a ia n dw u ( 1 9 9 3 ) 将这种算法扩展到 了应用予一般的多元线性模型问题，鹾i a oa 酣她( 1 9 9 6 ) 详细研究了这类递归 5 第1 章引言 算法，并给出了大样本性质的证盟。但是到隧前为止，并没有相关文章对递归算 法在单指数模型中的应用进行研究。 在实际处理半参数模型估计的问题往往比单一的参数问题和非参数问题更 加复杂，解决非线性优化问题的迭代算法和添加数据的递归算法都是解决半参数 模型估计的很好的选择。为了得到单指数模型较佳的参数估计，我们结合迭代算 法在处理小样本数据的优点和递妇算法在处理大样本数据的优势，发展一种应用 于单指数模型的可行性算法。本文主要研究单指数模型静递熄算法，给溉大样本 性质的证明，说明它的收敛性和渐近正态性。 1 。3 内容安排 第一章是引言部分，主要说明研究的模型稆参数估计的算法，分绍疆前匿走 外的研究进展，以及对作者所做工作做简要介绍。第二章介绍本文所研究的模型 单指数模型，并给出了两种算法：迭代算法和递归算法。第三章模拟了一个 典型的单指数模型，提出了在大样本问题中这两种算法综合运用的方法。第四章 研究递归算法的大样本性质，提出相关的定理。第五章证明了相关定理，即证明 其收敛性和渐近歪态性。 6 第2 章单指数模型 2 。1 引言 第2 章单指数模型 单指数模型是比广义线性模型( g l 挺 更为灵活、适用的一类重要模型， 在工业制造、医学、经济和社会数据的统计分析中有着广泛的应用。这种模型是 只有一个未知参数向量的半参数回归模型，一般有如下的形式：y = g ( x f 芦) + g ， 其中，y 为一维随机变量( 因变量) ，x 为p 维随机列向量( 解释变量) ，p l ， e 是不可观测随机变量，多是未知的p 维参数向量，g 0 为未知的联系函数， x 7 多被称为指标。在单指数模型中，给定黔x ，y 的条件期望有如下形式： e ( 叫x = x ) 黑r p ( 2 薹) 如果g ( 是谯等交换，则( 2 1 ) 是一个线性模型，如果g 0 是正态分布函数或 者l o 菩s t i c 分布函数，煲| j ( 2 王) 是一个我们菲常熟悉的p 埯睫回j | 譬模型或者l o 西s t i c 回归模型。 在单指数模型中，未知联系番数g 0 的估计可以采用局部线性圆妈估计的办 法，声盼酱计采用葛车线性加权最小二乘( w s ) 估计的方法。本章主要介绍在 已知联系函数的条件下，多的两种算法。 下面先介绍一下用到的符号及其含义。 。 x f 表示x 的转置，g 表示对g 求一阶倒数，_ 表示通常的欧式范数，1 1 表 示通常的绝对值。 7 第2 章单指数模型 2 2 传统的迭代算法 菲线性最小二乘算法( 嗣乙s ) 在一般情况下要用到迭代算法来求解，d o u 西弱 m b 鑫鼢跹dd 癍d & 戳s ( 1 9 8 8 ) 给出了一般情况下匏迭代算法，将其应用到单 指数模型孛，在邑知联系函数g ( 的条件下，w 嗣的迭代算法如下： 群一黟乙+ o 能j k 以) 慨越甄4 ( 2 1 ) 其中，以一以髓) f ， 风为该迭代算法的初值，七= 1 ，2 ， 睨。一幽昭 “) ，( 吃) ，纯) ) k 一，一( g w 反d k ，g k 反如，g 雠反以k 。) f 趣- 瓴一g 饼反) ，岁：一g 雠最) ，靠一g 饼统。) ) 可以证明，在一定条件下，迭代算法( 2 。1 ) 收敛，且可以证明它的渐近正态性。 2 3 递归算法 在“单指数模型参数估计的递归算法”这篇文章中提出，在已知联系丞数g 和g 的条件下，应用非线性加权最小二乘( 烈l s ) 的方法来估计参数多，最小化 如下的式子： 球矽= 荟吨溉一g 雠声) ) 2 其中彩0 为权函数。 乎最够) 营警一- 2 耋甜如) 戗一g 瓴f 声游雠黟淀一。， 其中芦嚣( 1 ，卢”) ，簟一仉妒y 。 8 第2 章单指数模型 在此基础上，提出了在已知联系函数g 和g 的条件下，的递归算法： ：+ l 一所+ d ( 珂+ 1 ，g ，g ：成) ( 2 2 ) 她哦g 舢，= 砉啪g 俐稀】- l 喇( 以一g ( 妒( 训z 在后面的章节中，我们主要研究递归算法( 2 2 ) 的大样本性质，证明其相 合性和渐近正态性。 9 第3 章模型的模拟计算 第3 章模型的模拟计算 我们将结合上章中提到的迭代算法和递归算法，做出单指数模型模拟计算。 y - g ( x 7 芦) + e ( 3 1 ) 在真实模型中，轧= q 1 ，1 1 ，眵，盯= l ，q ) - e x p ( 屹) ，x 的设计分 布为( o ，毛) ，噪声为g 一( o 1 ) 。我们罔m a l l a b 软件来模拟模型( 3 。1 ) ，得 到样本量为懿= 圭数据“，y | ) ，t 毛2 ，建尊 在模拟计算中，我们将其中一2 5 的样本应用予迭代算法中，取初值为 磊一辑1 2 ，o 8 ，o 7 ，o 4 ) f ，然后以迭代算法的跌代解成。为递翔算法的初值，应用 于后面的嚣一= 7 5 个数据，并利用二2 * 丢瓴一6 8 w 多) 2 来估计标准差。结 果懿下衰； 算法 迭代 递归 样本量 匆 2 5( 1 ，1 0 4 7 5 ，o 9 0 9 2 ，l 。1 0 2 4 ，o 。1 8 3 6 ) 7 5( 1 ，1 0 1 3 6 ，o 9 8 7 5 ，0 9 7 5 9 ，一0 0 6 0 3 ) l 。0 4 8 7 1 1 4 1 5 1 0 第4 章递归算法的大样本性质 第4 章递归算法的大样本性质 4 1 一些基本假定条件 下面我们研究应用予单指数模型的递归算法的大样本性质 不失一般性，我们不妨设芦的真值为0 ，郎多的真值为羔，则指标妒多的翼 值为1 ，因此m g ( 1 ) + 吃。 我们对上面的递归算法做一个改进，我们假设权函数( ) 为一个随机权，满 足e z 王，由此我们不妨把彩毪) 就看做是圭，另外，对予g k 多) ，我们可以 近似地用其真值g ( 1 ) 来估计。因此，我们提出了如下的递归算法： 既- 群+ 舻( 1 ) 2 拼) 以( 虮“一g k 。成) ) g k 成k 为方便起觅，我们定义 鼓一妻g 王) 钳， 螽( 反，娃，以) - ( 以越一g 晟) ) g ( 或) 艟 另外，我们假设g ( 1 ) 2 晰一q o ，不妨设q = ，这样，根据大数定律， 递舞算法可写成： 熊，= 彤+ ( 聆+ 1 ) 以庇( 反，吒砖，以以) ( 4 1 ) 为了进行后面的研究，我们引入一些基本的假定条件： 假定羔。瓯是由佤，岛) ，- 毛拄生成的g 一域， 假定2 误差e 是个有界量，满足& 一0 ，2 一2 ， 假定3 e 媸蚝| | 4 ) s 掰，删是一个常数。 第4 章递归算法的大样本性质 假定4 在b a i 锄d w h ( 1 9 9 3 ) 中假定，在多元线性模型中，联系函数是b l c 函数。类似的，我们不妨也对g 做如下假设：g ( ) ，g ( ) 有界，g ( ) 单调，且存 在常数m o ，使i g 扛) 一g ( y ) 卜m k 一) ，i 。可以看到，对于常见函数，比如p r o b i t 和1 0 酉s t i c 函数，这些条件是满足的。 4 2 主要定理 基于上面的假定条件，我们可以得到其大样本性质，即相合性和渐近正态性。 定理4 1 递归算法( 4 1 ) 收敛。当咒- 时，p 是群的强相合估计。 用式子表达即为：当万一时，群呻卢a s ，。 定理4 2 甩t ，2 ( 所一) 三( o ，盯v ) 。 4 3 引入一些引理 先引入几个定理证明中需要用到的引理。 令 咒( 后) ) 是一列递增的正整数，满足薹( n ( 忌) 以) ， 畋一。当时，其中小，黔1 。 例如，我们可选择，力( 尼) 一卜6 】，6 2 ，即满足。 引理4 1 令亿，f - 1 2 ，) 是一个鞅差序列，且二阶矩有界，常数列( 口j ) 满足如下条件m 罂虢m i 口f 一耻) l = d ( 1 ) ，口j ，则有 ( 七) d 一( “1 ) l p ，l 、7 。 。牌4 聂。f - 1 叫卸( 以) 舢 0 ) ，t 忙“) i f 。：手t 一l 、7 第4 章递归算法的大样本性质 证明：( 参见b a i 觚d w h ( 1 9 9 3 ) 妇a 2 1 ) 由引理中的条件啡鼢+ 1 ) l 吩一以l = d ( 1 ) ，口j ，耳r 叫一i 七+ l - ， 可得 0 ，有 鼢乒1 | f i 豁以q 鼎卜 墨埘，篡。f 簟嘶 跗1 这样，既得啡鼢乩磊。厂k 以i - d ( 畋) 舢 ( i m 埘( i “) i 扣彳”i ” 引理4 2 假设q ( ，) 是一个从尺p r ”2 到尺p 的有界函数，( 畋) 是一列正的 常数序列，( ) 是一个p 维向量序列，s 是j 5 c 雕2 上的一个集合。固定 s u p 一，7 ) f g ，y ) ：忙一刎 y ，y s ) o ，有 s u p 0 一，7 ) 严g o ，y ) ：l l 工一，7 9 y ，y s ) ，： o ，有无穷多个k 使得慨l i y ：时， 有 一2 ，7 ；d i ( g ( ，扎，圪) + d ( 1 ) ) + d ( d i ) 。 ( ”如果七k 时有i 阢0 ) ，2 ，y s 】 o 由( 4 3 ) 和引理中的两个已知条件，对所有大的k ，i 阢i y ：可推出 。1 1 2 _ 2s 一6 吒 因为畋一o ，噍；，所以即得( 1 ) ，( 2 ) 。 筑 该引理证毕。 1 4 第4 章递归算法的大样本性质 弓l 理莲3 令五* 邑墩， ( 主) 如果嚣| 邑| | 麓) s 掰 o ，有 鱼 望：墨整a 蕊 刀+ 1疗+ 1 也就是) 以，2 ( 1 + g ) 。1 ，20 毛) 以7 2 a s 露+ l嚣l 1 5 因此， f_ 第4 章递归算法的大样本性质 o + 1 ) e 僻槲q - 1 x 槲 选就是o ) 一t 与一t 露+ l -f q 。) 急( 1 + 占) ”1 0 + 1 ) e ( 1 7 2x 州q 。1x 州1 7 2 = ( 1 以白t a s ，l + 上 _f_ g o + 龌( x 。畦q 以茗葬l 令以_ ，峥o ，我们可证得( i i ) 。 q 小国一t 撼 冗+ l q 。) 1 6 第5 章定理的证明 第5 章定理的证明 卜圆我们采缎出弟4 蕈网个惩理阴让明。 先证明定理4 1 0 证明：令 聪( 七) ) 是一列递增的正整数，满足善i ) 噍) 2 ，即满足。 当嚣露) 董撵露+ 1 ) 时，我们有硝- 繇+ ( 群一繇) 由薪的递归算法 ：3 。王) ，可得： 玛一骈一i 击e 【( g ( 1 ) 一g ( 尾) ) g ( n 孱) + 。】g 詈，c 为常数 。惭嘞) l s ；鬈；b 帅。 并一昧) 呻o ，瓠p 曲 隽了涯骧定理，我们只要证明磊i ) _ o a 蕊 当靠( 露) zs 糟( 露+ 1 ) 时，由( 4 1 ) ，我 f j 有 群陈，虿0 璩( 舭尚强) = 毒产五( 而魏) 焉玛 其中，元( ，麓，见) 一e 7 l ( 声，而，m ) ， 耻；熹。以乡( “砌) 一忑( 凰砌) p 1 7 第5 章定理的证明 孙，蠢以严郾私，咒) 一元( 成础) 卜 注意到 ( 孱，毛，欺) 一i ( 孱以，恙，照) 构成了一个鞅差序列，且其二阶矩有界，由引 理4 1 ( 即b a ia n dw h ( j 9 9 3 ) k m m a 2 1 ) 知，。嵇墨瑟+ 1 ) 1 l * 。( 噍卜 因为 胁( 磊，x ，y ) 一庇( 愿，麓y ) | | 一l l ( y g ( 嘏) ) g ( 反) x 一y g ( 缓) ) g ( 矿盈) 蔗l * l 陋懒) 一g 溉泌忙热) 簸国8 一g o 盔孵够尾卜g 拶苁) ) 例l 烹暂| | 缓一愿i z k 竹 ( 4 2 ) 所以陋刎) 一五慨幽_ ) ，) 卜。麒一应l ， 可得。耻鼢哪孙材，羹j m 一叫| 爆崛。馥掣臻+ 蛩l 臃t 一成) 0 _ o ，执删扫 注意到吱= o ( 1 ) ，我们有反咎+ p = 级渤+ 喀五( 疋鳓，麓，麓) + d 编 由引理碡2 ( 帮b a ia 稍骶( 王9 9 3 )蛐a 2 2 ) ，我们只要证多蜂磊 o 因为尹竹三一声犍毯( 夕一g 妒声) ) g 芦) x + ) 一声钾e 一g 圆+ g 圆一g 舻声劳g ，声) x + 一声竹e ( g ( 1 ) 二g 声) ) g f 芦) x 一e ( _ gf 声) g 瓿) ( _ ) 2 ) 丽g ( - ) 是单调函数，所以声竹五o 综匕，定4 1 得证。 1 8 第5 耄定理的证明 再来证定理4 2 。 令葭一妒气配一弹。摇碥， 证髓：出( 4 。王) 式，可褥o 拶7 2 熊一国+ 拶7 2 葳+ 0 + 1 ) 。1 雎磊熊，毛艟，兄娃) 即厄i ( 1 + 争尼每+ 钶( 磊弧柚摆嚣+ 土 i ( 1 + 去+ o 咖赢+ 常赢五 对j l ( ) 做t a y l o r 展开，得 叩 j l 碱，轨l ，+ 1 ) 一( 心+ l g ( 1 ) ) g l ( 1 ) ，一 ，( 1 ) ) 2 舶+ l 石。n 群+ ( 炸+ l g ( 1 ) ) g ”( 1 ) 轨l - 群 岬竹 令蠢扛。+ l ，魏+ 1 ) 一( g i 擘势2 茗。戈露l 一( 芄+ l g 国g 圆菇。+ l x 。+ l 职崩茁柱，虼娃) 一e 茁砖，虼轭) 卜) 1 王，。m l o 槭，虼+ 1 ) 一e 嚣+ l ，虼轭) l q 。) l 群。玎m ( 群，菇榭，以+ 1 ) 弹【a ( 五，三+ t ，i 越) 一| l q 三一+ t ，以+ t ) + 么6 ：+ t ，欺艟 枷1 心嘲m 舞降 则有熊，一 ，一捍1 o 熨+ 。( 1 ) + ￥。一l 骞群+ 撑州碱。 可以看到，e 似占：+ 1 ，以+ ，) l q 。) = ，+ 。( 1 ) 口j 由引理4 3 ( 即m i a o 姐d w u ( 1 9 9 6 ) k 删n a 3 1 ) ，我们有 矧翠。巾。) 惩忙训 锄毪啦 4 瓯) 主e ，稼蕊。 l 登 第5 章定理的证明 椭叫陋己h 忑阼1 1 2 ， 由引理4 3 ( 即舱a o 跹dw h ( 1 9 9 6 ) 蛔a3 1 ) ，知e ( l l q ) m o ( 1 ) ，口j 。 好岛，五是裰互独蛐有配h ) 一( 却7 2 盹国刮蚴砘 职嘭嘞一嘲2 e 蛾簿恸2 二：娃：二t b ， 由弓i 理4 3 ( 即m i a 0 锄dw u ( 1 9 9 6 ) k m m a3 1 ) ，知配嘭| q 。) 啼仃2 ， ，露j ， 因此，根据m i a oa n d w b ( 1 9 9 6 ) a3 4 ，3 5 ，定理得证。 这样，在一些假设条件下，由定理4 。王，定理4 2 ，我们就证襞了递麴算法的 大样本性质。 参考文献 参考文献 1 a 盈d f i 。：jp a z 【n l 鼗( 1 9 9 3 ) 套玉。租i n e a fs t a t i s i c a l d e l s ，i s l 酞 s c i e n ( 鼍p r e s sb f a l i s l a v a 【2 】b q m i a oa n dy w | u ( 19 9 6 ) l i m i t i n gb e h a v i o ro f 糟c u r s i v e m - e s t i m a t o r smm 1 埘v 撕t c 【抽e a rr e g f e s s i o nm o d c l s ， j m a 。5 9 $ o - 8 0 ) 【3 】b a i ，z a i l dw u ，y ( 1 9 9 3 )r e c u r s i v e 趟g o 瑚1 mf o rm - e s t i m a t e s 0 fr e g s s i o nc o e f f i c i e n t sa n ds c a t t e rp a r a 玎t e r si nl i n e a rm o d e l s ， s 蠢岫y 纛s e 薹i e sb5 5 ( 羔9 9 2 董8 ) f 4 】c a r r o l l r j ，f 纵，j ，g i j b e l s ，i 觚d w a n d ，m d ( 1 9 9 7 ) g e n e r a l 娩e d p a 瓶a y 】：，i n e a rs i i l g l e - i i l d e xm o d e l s ， j a m s t a t i s t 触s o c 9 2 7 7 8 功 【5 】d o u 酎a sm b a t e sa n dd o n a l dgw a t t s ( 1 9 8 8 ) n o n l i n e a r r e g r e s s i o na n a l y s i sa n di t sa p p l i c a t i o n s ，j o h n 伽e ya n ds 0 n si n c 嘲j 。f 黼a 鑫d 重。g 袖e i s ( 重9 9 5 )b 嘲p 蘸弘。戚蠢硪i d e l l 崦 粕di t s 鲫l p l i c a t i o n s c h a p e lh i l la n db u v a i l l l a n c 恻e 【7 】 j o e l l h o r o w i t z ( 1 9 9 8 )s e m i p a r a m e t r i c m e t h o d si l l 酗程。粼嫩c s ，s p 蠢n 寥l l a g 【8 】p r a s 雄a n a i ka n d ( 溉i h 一己i 鼗gt s a i ( 2 0 0 1 )s i n g l e i n d e x m o d e ls e l e c t i o n s ，b i o m e t r 墩a8 8 ( 8 2 1 8 3 2 ) 参考文献 9 】常子青，缪柏其，金百镂单指数模型参数估计的递归算法 【l 翊s e 戚p a f a 擞e 纷i c 娥魄o d si n o n o 麟c s j o el 凇溉 【王l 】as e 撒i p a r a 糙啦琵m a x i 麟撒l 致e l 逊。硼e s t i 戳t o r e e o 觳。黼饿c a 越，c ( 1 9 9 7 ) 【1 2 】a d v a e de n o m e t r 妇，c a m b r i d g e ，m h a r v a du n i v e r s 诹 p 豫s s 【王3 】v 越曲a l es 如蕊雠i 鼗l 啦爨e 粥琴e s s 妣。 l 。c 嫩鑫魄溉s c i 。 c l l 。b 鑫量，z d ，k r l s 珏n a l a h ，曼r 。( 羔9