（基础数学专业论文）非线性微分系统正解的存在性.pdf

独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得( 注：如 没有其他需要特别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示谢意。 学位论文作者签名：桶l 瓦勉 导师签字： 学位论文版权使用授权书 溅芹纸) 本学位论文作者完全了解堂撞有关保留、使用学位论文的规定，有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。 本人授权堂撞可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在 解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：栩1 冠勉 导师签字： 沈慧茗例 签字日期：2 0 0 箩年牟月p 日签字日期：2 0 0 黟年牛月匆日 山东师范大学硕士学位论文 非线性微分系统正解的存在性 杨凤勉 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 近年来，在数学、物理、化学、生物学、医学、经济学、工程学和控制论等许多 科学领域出现了各种各样的非线性问题，在解决这些非线性问题的过程中，逐渐产 生了现代分析数学中非常重要的方法和理论，主要包括：半序方法、拓扑度方法、 锥理论和变分方法等，这些方法成为当今解决科技领域中层出不穷的非线性问题所 需的富有成效的理论工具，尤其在处理应用学科中提出的各种非线性方程中发挥着 不可替代的作用 本文主要利用非线性泛函分析的拓扑度方法研究微分方程边值问题，其中包括 奇异边值问题有关微分方程边值问题解的存在性、正解的存在性和唯一性在二十 世纪八十年代以来得到了广泛的研究( 如文 4 - 3 1 ) 在此基础上，本文进一步研究 了微分方程组边值问题解的存在性 第一章利用全连续算子的不动点指数理论研究了有限区间上微分方程组三点 边值问题 iz “( ) + 入，( ，z ( ) ，y ( ) ) = o ， t ( o ，1 ) ； j y “( ) + a 夕( ，z ( ) ，剪( ) ) = o ，( o ，1 ) ； ( 1 1 1 ) lz ( o ) = y ( o ) = o ； iq z ( 7 7 ) = z ( 1 ) ， 及可( 卵) = 剪( 1 ) 其中，9 c ( o ，1 ) r + r + ：( o ，+ o 。) ，入r + ，叩( o ，1 ) ， o ，o o ，使当任意 a ( o ，a ( 7 ) ) 时，微分系统b v p ( 1 1 1 ) 至少存在两个正解( z 1 ，y 1 ) 和( z 2 ，耽) 且满 足0 | | ( z 1 ，! ，1 ) ij r | | ( z 2 ! ，2 ) j | 第二章利用范数形式的锥拉伸与锥压缩不动点定理研究了p l a p l a c i a n 算子方 1 山东师范大学硕士学位论文 程组边值问题 l ( 妒1 ( z ) ) + n ( t ) ，( z ：可) = o ， t ( o ，1 ) ； ( 妒2 ( 可。) ) + 6 ( 。) 9 ( z ，y ) = o ， 。( o ：1 ) ； ( 2 1 1 ) iq 妒l ( z ( o ) ) 一夕妒l ( z ( o ) ) = o ， q 妒2 ( ( o ) ) 一矽妒2 ( 芗。( o ) ) = o ； 【一y 妒1 ( z ( 1 ) ) + 肛妒1 ( z ( 1 ) ) = o ， ，y 妒2 ( y ( 1 ) ) + p 妒2 ( 可( 1 ) ) = o 多个正解的存在性，其中l ，妒2 ：兄_ 冗是单调递增同胚映射，且妒l ( 0 ) = o ，妒2 ( o ) = o j 厂，9 c r + r + ，( o ：+ ) ，兄+ = o ，+ 。) ，n ，6 c ( o ，1 ) ，r + 且 在( o ，1 ) 的任意子区间上a ( t ) ，6 ( t ) o 在文献 1 1 中作者考虑此方程组问题得到 了一个正解的存在性结果，本文在文献 1 1 1 6 】的基础上进一步考虑这个问题，得 到了两个正解的存在性结果其主要结果如下： 定理2 2 1 若( h 2 1 ) 一( h 2 6 ) 成立，则微分方程组b v p ( 2 1 1 ) 至少存在两个正 解( z 1 ，y - ) 和( z 2 ，可2 ) 且满足o i i ( z ，剪1 ) | | 凰 j l ( z 2 ，y 2 ) m 定理2 2 2 若( h 2 ，1 ) 一( h 2 3 ) 和( h 2 7 ) 一( h 2 9 ) 成立，则微分方程组b v p ( 2 1 1 ) 至少存在两个正解( z 3 ，y 3 ) 和( z 4 ，y 4 ) 且满足o l i ( z 3 可3 ) | l o ，c ( o j1 ) ( o ，+ o 。) ，兄+ 】，兄+ = 【o ，+ 。) 并给出适当的条件( h 3 ，1 ) 和( h 3 2 ) 考虑了p 6 o 时奇异边值问题( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 正解的存在性，其主要结果如下： 定理3 2 1 若条件( h 3 1 ) 和( 凰2 ) 成立，那么对任意7 0 ，存在入( r ) 0 ， 使当任意a ( o ，a ( r ) ) 时，奇异边值问题( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 至少存在两个正解乱( t ) 和 u ( t ) 满足o | | u ( ) | | 7 o ，o os u e ht h a tb v p ( 1 - 1 1 ) h a sa tl e a s tt w op o s i t i v es 。1 u t i o 璐( z 1 ，分1 ) a n d ( z 2 ，剪2 ) s a t i s 岛，i n go l l ( z 1 ，y 1 ) | | r | j ( z 2 ，y 2 ) j ia s 入( o ：a ( 7 ) ) b yu s i n gc o n ee x p a n s i o na n dc o n p r e s s i o nt h e o r e m ，c h a p t e r2i n v e s t i g a t e st h e e x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o r b o u n d a r yv a l u es y s t e i 璐w i t hp l 印1 a c i a n ( 2 1 1 ) w h e r e 够1a n d 妒2 ：r _ ra r et h ei n c r e a s i n gh o m o m o r p h i s i n sa n dp o s i t i v eh o m ( 卜 m o r p h i s m s ，妒1 ( o ) = o ，妒2 ( o ) = o ，9 c 冗+ 肘，( o ，+ 。o ) 】，r + = 【o ，+ 。) ，a ，6 科( o ，1 ) ，r + t h em a i nr e s u l t sa r ea u sf 0 1 l a w s ： t h e o r e m2 2 1 s u p p o s e ( h 2 1 ) 一( h 2 6 ) h o l d t h e nb v p ( 2 1 1 ) h a sa tl e a s t t w r o p o s i t i v es o l u t i o n s ( z l ，秒1 ) a n d ( z 2 ，秒2 ) s a t i s 够i n go i i ( z 1 ，秒1 ) l l 凰 l i ( z 。，。) t h e o r e m2 2 2 s u p p o s e ( h 2 1 ) 一( h 2 3 ) a n d ( h 2 7 ) 一( h 2 9 ) h 0 1 d ，t h e nb v p ( 2 1 1 ) h a sa t1 e a s tt w op o s i t i v es 0 1 u t i o i l s ( z 3 ，y 3 ) a n d ( z 4 ，驰) s a t i s 聊n go i i ( z 3 ，可3 ) 0 o ，c ( o ，1 ) ( o ，+ 。) ，r + ，r + 2 【o ，+ 。) t h em a i nr e s u l ti sg i v e ni nf 6 u o w ： t h e o r e m3 2 1s u p p o s e ( h 3 1 ) a n d ( h 3 2 ) h o l d ，t h e nf o r7 o ，t h e r ee ) ( i s t s 入( r ) o ，s u c ht h a ta ( o ，a ( r ) ) s b v p ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) h a sa tl e a s tt r op o s i t i v es o - l u t i o n su ( t ) a n d ( ) s a t i s f y i n go ( 圳 7 愀圳 4 0 n = = 蒜d 琅小心以似 一一一一 0 叭 = = 刘枷忙卜们小裟嚣 卅 山 一 + 一、，、， y y u，z，y， 0 0 k o ，o o ， 任意( 0 ，1 ) 设e = g f o ，1 c o ，1 ，令i l ( z ，剪) | j = m a x 删z 圳) ，其中忪i j = 1 学lz ( ) j ，i = 璎擎i 可( ) i ，j = 【0 ，1 】，则( e ，”i i ) 为一个b a n a c h 空间 设p = ： ( z ，y ) e ：z ( ) o ，可( t ) 2o ，任意t o ，1 ) ，则易证尸为e 中锥对任意r o ，令只= ( z ，) p ：i i ( z ，可) i i o ，且a z p z ，v z 尸na q ，p ( o ：1 ：贝4i ( a ，pn q ，p ) = o 1 2 正解的存在性 为方便起见，先列出下列条件 ( h 1 1 ) 厂：9 c 【( o ，1 ) 矿兄+ ，( o ，+ ) ，且存在函数 ，夕1 c 【r + 兄+ 兄+ 】 ，e c f ( o ，1 ) ，( o ，+ 。) 】满足对v ( t ，z ，芗) ( o ，1 ) 冗+ r + 有 ，( t ：z ，可) u ( t ) ( z ，y ) 9 ( t ，z ，可) se ( t ) 9 l ( z ，可) ， 且n = s ( 1 一s ) u ( s ) d s 0 ，使当任意 a ( o ，入( r ) ) 时，微分系统b v p ( 1 1 1 ) 至少存在两个正解( z 1 ，可1 ) 和( z 2 ，9 2 ) 且满 足o i ( z 1 ，y 1 ) | i r i | ( z 2 y 2 ) 1 1 引理1 2 1 5 】令o 7 7 l ，o 0 ，a ：p _ p 是全连续算子 证明首先，易证算子a ：p p 其次证明a ：p p 是紧的设dcp 为任意有界集，则存在尬 0 ，使对 任意( z ，y ) d 有i i ( z ，秒) | | sm 1 ：因此当( z ，剪) d 时有 a ( z ，) i |= 嚣躏z 1 坤，s ) 弛，小) ，小) ) d s s ( 1 一s ) 厂( s ，z ( s ) ，y ( s ) ) d s s ( 1 一s ) u ( s ) ( z ( s ) ，( s ) ) d s 。z 1s ( 1 - s ) ) d s n 。- 尬 + 其中= s u p ( z ，秒) ，0 1 如同引理1 2 2 中所述，o 如同( h 1 1 ) 中所 ( 霉，| ，) 【0 ， f 1 】【0 ， f 1 】 8 筮 业耥一橘一橘而 z z o 0 一 一 山东师范大学硕士学位论文 述于是a 1 ( d ) 一致有界 同理可证a 2 ( d ) 一致有界，从而月( d ) 一致有界 另一方面，对任意 o ，1 ，( z ，) d ，由引理1 2 1 我们有 ( 似删) ) ，= 一a z s m ，小) ，小) ) d s + a 1 ( 1 叫，如) 洲圳如_ 尚z 1 撕 5 ) m 删州s ) ) d s c z ，s ，= 夏：二：；：三三；三：三： 则由( h - 1 ) 我们有 f ( a 。( z ，y ) ) 7 ( ) i a 州踟( s ) 州s ) ) d s + 入1 ( 1 - s ) ，( s 州s ) ，小) ) d s + 尚1 ，s ) m 删州圳d s a z s ) m ( s ) 洲s ) ) d s + a 1 ( 1 - s ) ) 施( s ) 州s ) ) 幽+ 尚z 1 姒 m 舯( s ) 洲s 胂s a 尬( 。s “( s ) 如+ 1 ( 1 一s ) u ( s ) 出+ i _ 兰而1 ( 7 7 ，s ) u ( s ) d s ) ( 1 2 4 ) 令 ( ) = 。s u ( s ) 如+ 1 ( 1 一s ) ( s ) 如，通过交换积分顺序，我们得到 z 1 ( t ) d t = 1 。s u ( s ) d s 出+ z 1 1 ( 1 一s ) u ( s ) d s 班 = 1 1s u ( s ) 出d s + 1 8 ( 1 一s ) u ( s ) 班d s 2 1 s ( 1 一啪( s ) d s + 。 9 山东师范大学硕士学位论文 注意到z 1 ( 叼，s ) u ( s ) d s z 1s ( 1 一s ) u ( s ) d s 令 砧) = 酢) + 南z 1 撕 s ) ) d s 则 z 1 小) d s = 1 吣) d s + 南z 1 s ) 删s ( 2 + 尚) ( 1s ( 1 叫) d s o 和 ( z 幻玑。) ) c ( 锄，玑) ) 满足 l i a l ( z h ，可k ) 一a 1 ( z o ，珈) i i o( n = 1 ，2 ，) 由于 a 1 ( z ”可t 。) ) 相对紧，故存在 a 1 ( z y 碗) ) 的子列收敛到剪p 不失一般 性，我们设 a 1 ( z ) ) 自身收敛到可，即1 i m 悄l ( z 铂) 一圳= o 显然 u ma 1 ( z i 。，箩t 。) = y ， o ，1 】 另一方面，由( h 1 1 ) 知 七( t ，s ) 厂( s ，z ( s ) ，可“( s ) ) 0 1 s ( 1 一s ) u ( s ) ( z t 。( s ) ，玑。( s ) ) o l s ( 1 一s ) u ( s ) ( 1 2 7 ) 其中 如= s u p ( z ，可) ( ，) o ，m 1 】【o ，m 1 】 根据l e b e s g u e 控制收敛定理得 可( ) = h ma 1 ( z t 。，y k ) ( t ) = a 1 ( z o ，踟) ( t ) ，t 【o ，1 】 1 0 山东师范大学硕士学位论文 即= a 1 ( z o 珈) ，得到矛盾因此a 1 ：尸_ 尸连续 同理可证a 2 ：尸一p 连续，从而4 ：p 一尸是连续算子证毕 口 令q = ： ( z ，秒) 尸：z ，是凹函数，且t 【町，黑一们】z ( 。) 7 忙忆h 罂貉一们】y ( 。) 7 捌| ) 其中o 7 ：裟 1 易证q 为p 中一个锥 m a x l ，a 引理1 2 4a qcq 证明对任意( z ：剪) q 要证a 1 ( z ，y ) q ，a 2 ( z ，箩) q 由引理1 2 2 ，我们 有 ，1 砌) l i2 暑蹴ia 1 ( 删) ( ) i n ，上s ( 1 一s ) m ，z ( s ) ，3 ，( s ) ) d s -( 1 删 由( 1 2 2 ) 易知 则可以得到 特别地， 庇o ( t ，s ) 叩( 1 一叼) s ( 1 一s ) ( 叼，s ) 7 7 ( 1 一叩) s ( 1 一s ) ，s o ，1 】，叩( o ，1 ) 由( 1 2 1 0 ) 和( 1 2 1 1 ) 式，对任意t h ，1 一叼( 1 一叩) ，得 姒铀) + 尚姒 ) ( 1 + 焉) 7 7 ( 1 一蝴一5 ) = 蚓s ( 1 - s ) 则由( 1 2 8 ) ，( 1 2 9 ) ，( 1 2 1 2 ) 式及引理1 2 2 知 ( 1 2 9 ) ( 1 2 1 0 ) ( 1 2 1 1 ) t 【仉繇刊】讹州蛇器杀。，小1 叫，( s 删州s ) ) d s ( 1 2 1 2 ) 1 1 0 o ，使对任意a ( o ，a ( r ) ) 时，i ( a ，q ，q ) = 1 ，其中q ，= ( ( z ，y ) q ：i i ( z ，可) i l o ，取正数入( r ) r o ，使当入( o ，入( r ) ) 时，有z ( a q r ，q ) = o ，其中q 兄= ( z ，可) q ：f | ( z ，y ) | i ( h 蚓研跺刊】z 七( 。：s ) d s ) 不失般性，由( h 1 3 ) 中假设 1 i m掣：+ 知，对上述m o ， z ) i 一+ xz + 存在l r 0 ，满足当z + l 时，有 ，( ，z ：y ) m ( z + ) ，t m ，1 7 7 ( 1 7 7 ) 】c o ，1 ( 1 2 1 4 ) 取r = r ( a ) = ，则我们可断言 y a ( z ：秒) p ( z ，y ) ，v ( o ，1 ，( z ，y ) a q 兄( 1 2 1 5 ) 事实上，若( 1 。2 1 5 ) 式不成立，则存在( z o ，蜘) a q 只，p o ( o ，1 】j 满足 p o ( z o ，踟) = a ( z o ，珈) 即 p o z o ( t ) = a l ( z o ，珈) ) ，p o 珈( ) = a 2 ( z o ，蜘) ( t ) ( 1 2 1 6 ) 由( z o ，珈) q 知， z o ( ) + 0 ( ) 7 ( i i z o i i + i f 乡b | f ) 7 r 三：z 切，1 一叩( 1 一刁) 由( 1 2 1 6 ) 式知，当z 叩，1 7 7 ( 1 7 7 ) 时有 铷0 ) = 二a 1 ( 。o ，珈) ( ) ： a r 1 后( ，s ) 厂( s ，z 。( s ) ，珈( s ) ) 幽 p ot ，o 、 一 ，1 入七( ，s ) 厂( s ，z o ( s ) ，珈( s ) ) d s ，1 1 一叼( 1 一叼) 久必 南( js ) ( z o ( s ) + 珈( s ) ) d s ， ，1 一卵( 1 一町) a 7 m r 后( ，s ) d s r ， 所以可得| | z o l i 咒这与( z o ，珈) a q r 矛盾 从而( 1 2 1 5 ) 成立 1 3 山东师范大学硕士学位论文 另一方面，对任意( z ，y ) a q r ：我们有 i i a ( z ，可) i i = m a x ( i i a l ( z ，) | | ，i | a 2 ( 。，耖) i i ) 厂1 i i a l ( z ，秒) i i2a 后( z ：s ) ，( s ，z ( s ) ，( s ) ) d s ，o ，1 一，7 ( 1 一 7 ) 入7 z 兄 七( t ，s ) d s o t ，” 即z ! 鹦r 愀z ，芗) j | o 从而由引理1 1 1 知，i ( a ，q r ，q ) = 0 口 引理1 2 7 设( h 1 1 ) 和( h 1 2 ) 成立，则对任意a ( o ，久( 7 ) ) ，存在7 7 ( o ，r ) ， 满足i ( a ，q ，q ) = o ，其中r ，入( 7 ) 如引理1 2 6 中所述 证明取正数g m t f ；，跺刊】1 - 斫1 - 俐姆一。 不失础，由假设( h 。2 ) 中州曼鼯。笔邑竽= + o 。知，对任意入( o ，入( r ) ) ( ) p 。 和上述g 0 ，存在6 o ：满足当0 z + ! ， 6 时，有 ，( ，z ，秒) g ( z + y ) ，t 7 7 ，1 一叩( 1 一叩) c o ，1 ( 1 2 1 7 ) 取正数r r 7 这与( z o ，珈) a q ，矛盾从而( 1 2 1 8 ) 成立 从而由引理1 1 1 知，i ( a ，q ，q ) = 0 口 定理1 2 1 的证明由引理1 2 屉1 2 8 及不动点指数的可加性可知 i ( a ，q ，q ，q ) = i ( a q ，q ) 一i ( a ：q ，q ) = 1 0 = 1 i ( a ，q 只q ，q ) = i ( a ，q r ，q ) 一z ( a ，q ，q ) = 0 一l = 一1 因此，由不动点指数的可解性知存在( z 1 ，y 1 ) q ，珥，和( z 2 ，眈) q r 珥满足 4 ( z l ，秒1 ) = ( z 1 ：可1 ) ，a ( z 2 ；矽2 ) = ( z 2 ，秒2 ) 且有o 0 结论对任意r 0 ，存在a ( r ) o ，使当a ( o ，a ( r ) ) 时，微分方程组边值问 题( 1 3 1 ) 至少存在两个正解 证明令口= 三，刁= 三， ，( ，z ( ) ，( ) ) = 志 ( z + ) 壹+ ( 3 z + 矽) 4 ， 、1 一l 9 ( ，z ( 。) ，箩( 2 ) ) 。赢【( z + ) + ( 蚪3 巩 取 1 u ( 。) 2i 巧手三亏， ( z ，秒) = ( z + 可) + ( 3 z + y ) 4 ， e ( 。) 2 赤，夕l ( 训) = ( 茹+ 秒灿( z + 3 萝) 3 则 口= 小1 叫删s = 小叫志拈z 1s s ：去， 6 = 小1 - s ) 小) d s = 去小叫渤s 0 ，口，肛o ，1 ，2 ，厂，夕，n ，6 满足以下条件： ( h 2 1 ) 妒1 ，妒2 ：r _ 冗是单调递增同胚映射，且妒l ( o ) = 0 ，妒2 ( o ) = 0 ， ( h 2 2 )厂：夕c 【冗+ r + ，( o ，+ 。) 】，r + = o ，+ o 。) ， ( h 2 3 ) n ：6 c 【( o ，1 ) ，r + 且在( o ，1 ) 的任意子区间上o ( ) ，6 ( ) o ，还有 。 z 吉妒f 1 ( 吉n ( r ) d r ) d s + 1 妒f 1 ( 么8 n ( r ) 打) d s + 。， 。 z 吉妒i 1 ( 56 ( r ) d r ) d s + z 1 妒i 1 ( 么8 6 ( r ) d r ) d s o ，令坼= ( z ，秒) k ：i i ( z ，y ) i | 7 】l ，a ，r = ( ( z ，) k ：i | ( z ，夕) | l = 7 ) 引理2 1 1 ( 1 9 】设e 是b a n a c h 空间，k 为e 中一个锥，q 1 和q 2 为e 中 两个有界开集，p q 1 ，豆1cq 2 若算子丁：kn ( _ 2 q 1 ) _ k 为全连续算子， 其中目表示e 中的零元，假设下列两条件之一成立： ( i )i l ? z l i i i z | | ，vz kna q l 且l l 丁z | | i i z i l ，vz kna q 2 ； ( i i )i i 丁z i | i l z | | ，vz k na q l 且j l t z l | i i z i i ，vz kna q 2 ， 则t 在kn ( - 2 q 。) 中至少有一个不动点 2 2 正解的存在性 在k 上定义算子 其中 a ( z ，剪) ( t ) = j e i ( z ，y ) ( ) = t ( z ，) = ：( a ( z ，箩) ，b ( z ，可) ) ，( z ，y ) k 0 t 盯 ； 盯a t 1 0 盯b ； ( 2 2 1 ) t 1 其中，盯b 定义如下，如果( a ( z ，箩) ) 7 ( o ) = o ，取= o ；如果( a ( z ，秒) ) 7 ( 1 ) = 0 ， 取仃a = 1 ；否则盯a 是方程 z 1 ( t ) = 勿( t ) ( 2 2 2 ) 的唯一解其中 z ，( t ) = 妒f 1 ( 鲁z n ( r ) ， ( r ) ，剪( r ) ) d r ) + z 妒f 1 ( n ( r ) ，( z ( 吐y ( r ) ) 打) d s ，。t 1 ， 1 8 s ， m 如 0 炒 们 m p 打 力 州 撕 渺 州 “ 一 盯 力 p “ 一 w 毋 小 似 m 町 0 o ， “ a o 啊 “ 叫厂m( 口 ( 1 ( ，上o。，z o 。 口一口 妒 “一7 妒 厂厶文广以 s ， 如 r ，：， 一 眦 ， 协 m p 办 一 州 撕 渺 州 “ 神 寸 t 力 p 从 一 “ 涫 p “ 出 似 咖 i 6 矿 ( 8 6 咖 “，日“厂盼 口 ( r b ( 厂，儿。，厶。 p 一位 畛 p 一7 妒 f 文， 山东师范大学硕士学位论文 猁= ( 等16 ( r ) 出( 吐小) ) d r ) + 1 ( 5 6 ( r ) 出( 吐卅) ) 打) d s ，。 1 方程( 2 2 2 ) 在( o 1 ) 上有唯一解，事实上，由于z l ( ) ，勿( ) 是在【o ，1 】上单 调递增的连续函数，且满足z 1 ( o ) 一z 2 ( o ) o ，故存在唯一 的盯a o ，1 是方程( 2 2 2 ) 的解因此这样定义的算子a ( z ，y ) 是有意义的且 a ( z ，y ) ( 仃a ) 5 嚣简4 ( z ：) ( 。) 同理可知b ( z ，可) 也是合理的，仃b 的定义与类 似 为方便起见，先给出下面几个引理 引理2 2 1 1 1 1 】丁( k ) ck 由此引理易证丁在中的不动点即是微分方程组b v p ( 2 1 1 ) 在k 中的解 由( h 2 3 ) 我们得到，存在j ( o ，去) 满足 。 1 6 。( t ) 出 + 。c ，。 一6 6 ( t ) d t + 。 ( 2 2 3 ) 定义函数 g ( z ) ：妒f - ( 厂。( t ) d t ) + 妒f 1 ( 厂1 6 。( ) 出) ，6 z 1 一j g ( z ) = 妒f 1 ( o ( t ) d t ) + 妒f 1 ( o ( ) 出) ，6 z 1 一j j6jo 则c ( z ) 是定义在 6 ，1 一卅上的正的连续函数，在下面所有结论中，6 始终满 足( 2 2 3 ) 式 令 l 。6 裂n - 6 c ( z ) 6 0 ，满足z 凰，可凰，z ，r + 时， ，( z ，箩) a 妒1 ( 月r o ) ，9 ( z ，y ) a 妒2 ( 月r o ) ( h 2 6 ) 。= 。或9 0 。= o 。， 则微分方程组b v p ( 2 1 1 ) 至少存在两个正解( z l ，1 ) 和( z 2 ，箩2 ) 满足o | | ( z 1 ，剪1 ) l 月r 0 0 ，满足研 2 则对任意( z ，秽) a k 日，下面分三种情况讨论； ( 1 ) 当盯 o ，6 ) 时 l i a ( z ，剪) i | 之a ( z ，剪) ( 1 6 ) 妒f 1 ( 号：口( r ) ，( z ( r ) ，y ( r ) ) 办) + 仁。妒f 1 ( z ：。( r ) ，( z ( r ) ，秒( r ) ) d r ) d s ，l，l o f 1 ( 8 ( r ) ，( z ( r ) ，( r ) ) 办) 如 p 6 2 ( 恻l + 1 ) 妒f 1 ( o ( 7 ) 咖) 筇2 c ( 6 ) ( 忙i i + 1 ) l p 占2 ( i l z i i + i i y l | ) 0 ( z ，可) | | 山东师范大学硕士学位论文 ( 2 ) 当盯a ( 1 6 ，1 时 | | a ( z ，y ) | | a ( z ，可) ( 6 ) 芝c p f l ( 鲁z 口 。( r ) ，( z ( r ) ，! ，( r ) ) d r ) + z 6 妒f 1 ( 口an ( r ) ，( z ( r ) ，y ( r ) ) d r ) d s 广占，1 6 妒f 1 ( o ( r ) 厂( z ( r ) ，可( r ) ) 办) d s j o jo a 厂1 一占 i d j 2 ( 恻l + 蚓1 ) 妒f 1 ( o ( r ) 打) p j 2 c ( 1 一j ) ( i i z i j + i i y f | ) l p 6 2 ( 1 i z i i + l i 0 ) i i ( z ，y ) l i ( 3 ) 当口a 6 ，1 一剀时 2 i l a ( z ，剪) | | a ( z ，剪) ( 6 ) + a ( z ，剪) ( 1 6 ) z 6 妒f 1 ( 口 。( r ) 。厂( z ( r ) ，y ( r ) ) d r ) d 5 + 二。妒f 1 ( ：n ( r ) 厂( z ( r ) ，y ( r ) ) d r ) d s 知1 ( 小m 洲r ) ) 州s 仁。一( f m m 岫) d r ) 幽 6 垆_ 1 ( n ( r ) ，( z ( r ) ，可p ) ) d r + 妒f 1 ( o ( r ) ，( z ( r ) ，可p ) ) d 州 p 6 2 c ( ) ( i i z | i + i i i i ) 之l p 6 2 ( i l z | | + i i 可1 1 ) 2 i l ( z ：) | | 因此， l i 丁( z ，y ) i i 之i i a ( z ，可) i i i i ( z ，y ) i i ，v ( z ，秒) a j o ， ( 2 2 4 ) 具次，田【上1 2 5 j 州，盯仕恧【z ，y j 凰，伺 a ( z ，可) ( ) 5a ( z ，) ( 仃a ) t p f l ( 笔8 an ( r ) 厂( z ( r ) ：y ( r ) ) d r ) + 盯 眵f 1 ( 盯 q ( r ) ，( z ( r ) ，秒( r ) ) d r ) d s 一( 售小锄( 驯r ) + 厂一( “m m h o ) d r ) d s 舭_ 1 ( 所am ) d r ) + 1 ( “m 炒) d s 瓤- 1 ( 鲁小州r ) + z 1 一( 1 n ( r 渺) d s 嘉拈扣洲 2 1 山东师范大学硕士学位论文 因此， s 妒i 1 ( 笔。目6 ( r ) 夕( z ( r ) ，y ( r ) ) d r ) + 4 5c p i l ( 9 b6 ( r ) 9 ( z ( r ) ，秒( r ) ) d r ) d s ( 鲁序慨( 凰川+ 厂( 仰m 风川d s 凰，当z + 凰时， 有 ，( z ，秒) 妒1 ( p ( z + y ) ) 其中p 满足筇2 2 取凰= m a x ( 2 凰，吼6 ) 对任意( z ，秒) a ，由引理2 2 2 知z ( t ) + 秒( ) 芝 6 ( 1 l z l l + | | 可1 1 ) 6 风凰，t 文1 一卅 仿以上分三种情况同理可证 i i 丁( z ，剪) i | i l a ( z ，y ) i i f i ( z ，y ) i | ，v ( z ，) a k 飓( 2 2 6 ) 由( 2 2 4 ) 一( 2 2 6 ) 式及引理2 1 1 知算子t 在耳风k 日0 与瓦凰。中有不 动点( z 2 ：可2 ) 和( z 1 ，y 1 ) 即为微分方程组b v p ( 2 1 1 ) 的正解 下证( z 1 ，秒1 ) ( z 2 ，y 2 ) 否则，则存在丁的一个不动点( z o ，珈) a k 协，由 ( h 2 5 ) 和( 2 2 5 ) 知i i 丁( z o ，珈) i i l i ( z o ，珈) | | 矛盾证毕 口 下面再讨论次线性的情况 定义 r )o 尬= m a x p t ( 盍) ，妒2 ( 盍) ， 定理2 2 2 若( h 2 1 ) 一( h 2 3 ) 成立，并且满足 ( h 2 7 )如 矗妒1 ( z + y ) ，9 ( z ，y ) a 矗妒2 ( z + y ) 山东师范大学硕士学位论文 【h 2 9 ) ，m a 9 一 a ( 哥寻另u 地，0 = g 一= 0 ) 则微分方程组b v p ( 2 1 1 ) 至少存在两个正解( z 3 ，船) 和( 钆，驰) 满足0 3 ，秒3 ) | | 万 0 ，满足f 如 万，当z + 可 风 时，有 厂( z ，矽) a 妒1 ( z + y ) ，9 ( z ，箩) a 妒2 ( z + 秒) 对任意( z ，y ) a k 4 有 a ( z ，可) ( ) sa ( z ，y ) ( 盯a ) 妒f 1 ( 鲁z 。月a ( r ) ，( z ( r ) ：y ( r ) ) d r ) + z 口 妒f 1 ( 4 。( r ) 厂( z ( r ) ，可( r ) ) d r ) d s 一( 鲁厂m 叫舰( 扣( 啪川 + t p f l ( 口 n ( r ) 妒z ( 三) 妒- ( j 茜) t p - ( z + y ) d r ) d s 等蝌鲁小枷) + 1 ( 1 m 川酬 6 斋( 咖蝌厂时渺) 手e ( j ) ( | | z o + f l 可1 1 ) f i ( z ，s ，) i | ( 2 ) 当盯a ( 1 一五1 】时，仿定理2 2 1 证得 0 a ( z ，秒) i i 之a ( z ，剪) ( 6 ) | i ( z ，y ) | | ( 3 ) 当口a 6 ，1 一卅时，仿定理2 2 1 证得 2 i i a ( z ，可) | i a ( z ，y ) ( 6 ) + a ( z ，剪) ( 1 6 ) 2 | i ( z ，剪) n 因此， l l t ( z ，可) l i i i a ( z ，秒) i i i i ( z ，y ) i | ，v ( z ，可) a _ 万( 2 2 8 ) 再次，由于( h 2 9 ) 成立知，存在常数风 0 ，满足风 耳，当z + y 风 时，有 厂( z ，箩) l ，入 o ，q ，p ，7 ，j o ，c 【( o ，1 ) ( o ，+ o 。) ，r + ，兄+ = o ，+ o o ) 近年来，对于少l 印l a c i a n 算子边值问题已许多人研究过( 见【2 0 _ 3 1 ) ，2 0 0 2 年，刘衍胜老师研究了如下边值