（应用数学专业论文）al空间上连续算子的正则性.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 本文首先讨论了算子正则性的一般结果。着重考查了算子正 则性与绝对值的关系，即绝对值的存在性问题，并得到相应的结 论：当空间具有某种序完备性时，两者等价；而当空间不具备序 完备性时，结果不成立，并给出反例说明。考察了有限维空间上 算子正则及具体的矩阵分解的含义，举例说明对于无限维空间没 有类似的结果成立。 其次，重点研究了a l 一空间上连续算子的正则性。分析了对 任意b a n a c h 格f ，a l 一空间e 应满足什么条件才能使e 到f 的有 界线性算子空间与正则算子空间相同，并且每个正则算子的正则 范数与算子范数相等。进一步地证明这个条件还是充分必要的， 而且在此条件下正则算子空间就是一个格。 最后，对b a n a c h 格上一些特殊算子的正则性研究进行了综 述。主要包括紧算子与弱紧算子，尤其是对一些重要的b a n a c h 格， 如a l 一空间、a m 一空间、k b 一空间上的算子的正则性及其绝对值进行 深入地分析。 关键词：r i e s z 空间，b a n a c h 格，a l 一空间，正则性 西南交通大学硕士研究生学位论文第页 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w e p r e s e n tt h eg e n e r a l i z e d r e s u l ta b o u tt h er e g u l a - r i t yo f o p e r a t o r s t h er e l a t i o n sb e t w e e nr e g u l a r i t ya n d m o d u l u sa r e s t u d i e d ，a n dw h e n t h es p a c e sh a v es o m ec o m p l e t i o n ，t h e ya r ee q u i v a - l e n t ，o t h e r w i s es o m ec o u n t e r e x a m p l e sa r eg i v e n t h er e g u l a r i t yo f o p e r a t o r so nf i n i t ed i m e n s i o n a l r i e s z s p a c e sa n dt h e m a t r i xm e a n so f t h e s eo p e r a t o r sa r eo b t a i n e d i na d d i t i o n s o m ee x a m p l e sa r eg i v e nt o s h o wt h a to p e r a t o r so ni n f i n i t ed i m e n s i o n a ls p a c e sh a v en o tt h i s s i m i l a r p r o p e r t i e s 1 1 1 em a i n p u r p o s e o f t h et h e s i si st os t u d yt h er e g u l a r i t yo f c o n t i n - o u s o p e r a t o r so na l s p a c e s h e r ew ep r e s e n t ac h a r a c t e r i z a t i o no n a l - s p a c e s es u c ht h a te v e r yb o u n d e dl i n e a ro p e r a t o rf r o mei n t oa b a n a c hl a t t i c ei sr e g u l a r m o r e o v e ru n d e rt h i sc o n d i t i o nt h es p a c eo f r e g u l a ro p e r a t o r s i sal a t t i c e f i n a l l y , w es u r v e yt h er e g u l a r i t yo fs o m es p e c i a lo p e r a t o r s ，s u c h a sc o m p a c ta n d w e a k l yc o m p a c to p e r a t o r s w ec o n c l u e ds o m e r e s u l t s b yi n v e s t i g a t i n gt h er e g u l a r i t ya n d m o d u l u so f t h e s e o p e r a t o r so n a l - s p a c e s ，a m - s p a c e so rk b s p a c e s k e y w o r d s ：r i e s zs p a c e ，b a n a c h l a t t i c e ，a l - s p a c e s ，r e g u l a r i t y 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 第1 章绪论 1 1r i e s z 空间理论发展简述 r i e s z 空间又称向量格或线性格，最早出现追溯至2 0 世纪初 期对b a n a c h 空间的系统研究。1 9 2 8 年，匈牙利数学家f r i e s z 在 布拉格国际数学家大会上作了关于线性泛函分解的报告，标 志着r i e s z 空间与正算子理论研究的开端。“序”作为一种新的有 力工具也开始得到了重视与发展。2 0 世纪3 0 年代，随着e r i e s z ， l v k a n t o r o v i c 和h f r e u d e n t h a l 等人在这一领域的深入研究，r i e s z 空间与正算子理论进入了系统研究阶段，也出现了以 l v k a n t o r o v i c ，a g p i n s k e r 和b z v a l i k h 为代表的苏联学派，以 h n a k a n o 、td g a s w a r a ，k y o s i d a 为代表的日本学派和以g b i r k h o f f , m m s t o n e 为代表的美国学派。 然而，从4 0 年代到5 0 年代末期，正算子理论的发展几乎处 于停滞阶段，有价值的论文也非常少见。直到5 0 年代末期， l v k a n t o r o v o i c ，b z v u l i k h 等人编写的“f u n c t i o n a la n a l y s i si n p a r t i c a l l yo r d e r e ds p a c e s ”一书的出版，才又使这一理论的研究渐 入佳境。1 9 7 4 年，德国数学家h h s c h a e f e r 的著作“b a n a c hl a t t i c e a n dp o s i t i v eo p e r a t o r s ”的问世标志着正算子理论已步入快速发展 阶段，尤其是在上世纪末的二十多年里，这一领域的研究工作受 到了空前的瞩目，不但理论上更加完善，研究内容更加丰富而且 研究的方式方法也多样、新颖，融合了经典泛函分析、拓扑学理 论、函数论、代数学等主要数学分支的内容，可谓博众家之长， 独树一帜。其中，以a c z a a n e n ，w a j l a x e m b u r g ，c d a l i p r a n t i s ， 0 b u r k i n s h a w ，d h f r e m l i n ，m m e y e r ，em e y e r - n i e b e r g ，c b 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 h u i j s m a n s ，v a a b r a m o v i e h ，a ww i e k s t e a d 等为杰出代表的一批 优秀数学工作者。 进入新世纪，随着越来越多的数学工作者投身这个领域， r i e s z 空间与正算子理论的发展日趋成熟、完善。与此同时，在其 它学科，如：数学物理、经济学、随机过程等领域的广泛应用， 为这一理论指引了新的研究方向，也使它焕发出了勃勃生机! 1 2 有关正则算子的研究与发展概况 对r i e s z 空间e 到f 的正则算子空间f ( e ，f ) 的序结构研究 是一个相当古老的问题。在r i e s z 空问理论研究的开始，也就是上 世纪3 0 年代，l v k a n t o r o v i c h ，h f r e u d e n t a l 和f r i e s z 就证明了 当像空问f 是d e d e k i n d 完备时，正则算子空间r ( e ，f ) 也是一个 d e d e k i n d 完备的r i e s z 空间。几十年以后，也就是1 9 8 2 年， y a a b r a m o w i c h 和v a g e j l e r 证明了对任意的定义域空间e ，正 则算子空间r ( e ，f ) 是一个r i e s z 空间的充分必要条件就是像空间 f 的d e d e k i n d 完备性。 1 9 8 4 年a c m v a nr o o q 在他的博士论文。1 “w h e nd ot h e r e g u l a ro p e r a t o r sb e t w e e n t w or i e s zs p a c e sf o r m sar i e s z s p a c e ? 由 就这个问题验证了很多具体空间中的情况。他所得的一个重要结 论是以下对固定的r i e s z 空间e 的一个刻画：对某个r i e s z 空间f ， r ( 五，f ) 是一个r i e s z 空间当且仅当存在一个集合s 使得e 同构于 c 矗p ) 空间( c 。$ ) 是所有s 上的实函数空间，并且对c 。 ) 中每 个元素，都存在一个有限集合d c s 使得在s d 上厂= 0 ) 。 1 9 9 0 年以后，y a a b r a m o v i c h 和a w w i c k s t e a d 开始深入研 究当像空间f 不是d e d e k i n d 完备时正则算子空间r ( e ，f ) 的序结 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 构。为了在这个研究方向有所突破，他们首先研究了像空间或定 义域空问是l o ( 除了在一个有限集上其余都是常数的所有实数序 列) 的情况。这是研究非d e d e k i n d 完备r i e s z 空间情况最具代表 性的问题。当像空间是嚣时，他们证明了如果定义域空问e 是一 致完备的r i e s z 空间，那么j 下则算子空间l r ( e ，臂) 就是一个r i e s z 空间。而当定义域e 是等空间时，正则算子空间r l 瑶，f ) 是一个 r i e s z 空间当且仅当f 是d e d e k i n d 仃一完备的。特别地，当考虑从 等到留的情况时，我们发现正则算子空间l 7 i t ；，学) 就不是一个 r i e s z 空间，更令人吃惊的是它甚至没有r i e s z 分解性质。 y a a b r a m o v i c h 和a w w i c h s t e a d 所发现的另一个重要结论 是：当定义域空间f 是可分b a n a c h 格时，的d e d e k i n d 盯一完备 性对正则算子空问r ( e ，f ) 的d e d e k i n d 盯一完备性是本质的，即有 如下刻画：b a n a c h 格，是d e d e k i n d 盯一完备的r i e s z 空间当且仅 当对所有的可分b a n a c h 格e 正则算子空间f 佃，f ) 也是d e d e k i n d 仃一完备的r i e s z 空间。 现在，这一问题的研究仍在继续，仍有相当的论文和结果不 断出现。在前人不断解决问题的同时又不断地发现新的问题，使 这个原本古老的命题又推陈出新，具有更加广泛的研究意义。 1 3 本文主要内容 本文以“a l 一空间上算子的正则性”为主线，主要讨论了以 下几个方面的内容： 首先，关于算子正则性的一般结果，着重考虑了算子正则性 与绝对值的关系，即绝对值的存在性问题，并得到相应的结论： 当空间具有某种序完备性时，两者等价；而当空间不具备序完备 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 性时，结果不成立，并给出反例说明。考察了有限维空间上算子 正则及具体的矩阵分解的含义，举例说明对于无限维空间就没有 类似的结果成立。 其次，重点讨论了a l 一空间上连续算子的正则性，这也是全 文的一个核心内容。文中第三章研究对任意b a n a c h 格f ，a l 一空 间e 究竟满足什么条件才能使e 到f 的有界线性算子空问与正则 算子空间相同，并且每个正则算子的正则范数与算子范数相等。 进一步地证明这个条件还是充分必要的，而且在此条件下正则算 子空间就是一个格。 最后，对b a n a c h 格上一些特殊算子的正则性研究进行了综 述。主要包括紧算子与弱紧算子，尤其是对一些重要的b a n a c h 格， 如a l 一空间、a m 一空间、k b 一空问上的算子的正则性及其绝对值 进行深入地分析。 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 第2 章算子的一般正则性 本章首先介绍了r i e s z 空间与正算子理论中的一些基本概念 与结果。然后重点讨论了算子的一般正则性，包括算子正则性与 绝对值存在的关系，和有限维空问上算子的正则性及具体分解的 含义，例举了一些反例，并得到相关有用结论。 2 1 r i e s z 空间的基本概念 定义2 1 1 设z 是一非空集合，x 上的二元关系“”叫做一 个偏序，如果满足，对x 中任意元素x ，y ，z ( 1 ) 自反性：x x ； ( 2 ) 传递性：如果x y ，y z 贝0 x z ； ( 3 ) 反对称性：如果工茎y ，y 刘叫x = y 。 这时我们把( x ，) 或j 称为一个偏序集，x 兰y 有时也写作 y x 。 定义2 1 2 若j 是一个偏序集，y 是j 的非空子集，x 。x 如果对任意y y ，有y ，那么称是】，的一个上界。如果对y 的任意上界x ，都有x ，那么称是y 的上确界或最小上界， 记作x o = s u p ，或x o = s u p y ：y y 。 由偏序的反对称性易知，偏序集如果有上确界，则上确界必 然唯一。类似的，可定义一个集合的下确界。如果乩是y 的下确 界，记作y 。= i n fy 。 定义2 1 3 设x 是一个偏序集， ( i ) 如果x 任意有上界的非空子集都有上确界，则x 称为 d e d e k i n d 完备； ( 2 ) 如果工的任意有限或可数非空有上界的子集均有上确 界，我们说肖是d e d e k i n d 盯完备或可数完备的； ( 3 ) 如是x 的任意两个元素都有上确界和下确界，则x 是一 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 个格。 下面，我们给出实r i e s z 空间( 向量格) 的定义：当是一 个格时，习惯用x v y 与x a y 分别表s u p b ，y ) 与i n f ( x ，y ) 。 定义2 1 ，4e 是一个实向量空间，赋予偏序使得向量空间结 构与序结构相融合，即满足下列条件： ( 1 ) 如果x s y ，那么对任意z e 。有x + 2 y + 2 ： ( 2 ) 如果x 0 ，贝u 积0 ( 0 口r ) ， 则称e 是有序向量空间。此外，如果e 关于这个偏序还是一个格， 则e 就叫做一个r i e s z 空问或向量格。 例2 1 5 ( 1 ) 设e 是非空集合k 上所有实值函数组成的集合。 按逐点的加法和数乘，以及逐点的偏序，即f g 是指f ( x ) g ( x ) ， 对任意x x 都成立，则e 是一个r i e s z 空间。特别地，当x 是 h a u s d o r f f 拓扑空间，则k 上所有连续实值函数组成的集合c ( k ) 亦 是一r i e s z 空间。 ( 2 ) n 维欧几里德空间按通常意义下的偏序作成一个 r i e s z 空间，即工= ( z l ，z 2 ，一，x 。) ，y = ( y y ，y 。) ，羔y 当 且仅当x 。y ，对任意的f ( 1 i ”) 都成立。 ( 3 ) 上。一空间也是一类重要的r i e s z 空间。如果( j ，) 是 一个测度空间，且0 p o o ，则三。) 是由所有在肖上可测并且 满足fl 卅d u 0 0 的实值函数，组成的向量空间。容易验证在偏序 f 茎g 即f ( x ) g ( x ) a e 于工上，上。) 是一个r i e s z 空间。 定义2 1 6 设e 是一个r i e s z 空间，x e ，令 z + = 工v 0 ，x 一= ( z ) v 0 ，f x i = z v ( - - x ) 则x + ，x 一分别称为x 的正部与负部，称为x 的模或绝对值，并且 我们有以下等式成立：x = 工+ 一工一，f x i = z + + x 一，定义e 的正锥为 五+ = 扛e ：z 0 。 定义2 1 7 设，是r i e s z 空间e 的一个线性子空间，如果只要 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 | x i i y i ，y i ，就有x ，那么，就叫做e 的一个序理想。 r i e s z 空间e 的理想是一个带，是指如果对于，的任意子集 d ，只要x = s u p d 在e 中存在，就有x ，。 e 的子集4 生成的序理想( 带) 就是指e 中包含a 的最小序 理想( 带) 。设0 p e ，如果由e 生成的序理想( 带) 就是e ， 则e 被称作e 的强( 弱) 序单位。 定义2 1 8r i e s z 空间e 是a r c h i m e d e a n 的，是指任意 “e + ，都有i n f i n 。：”= 1 , 2 ， = 0 成立。 并不是所有的r i e s z 空间都是a r c h i m e d e a n 的，但a r c h i m e d e a n 性质本身包含很多良好的性质，而且我们熟悉的d e d e k i n d 完备空 间、d e d e k i n d 盯一完备空间以及后文所要讨论的赋范r i e s z 空间都 是a r c h i m e d e a n 的，因此若未加说明我们规定后文所讨论的r i e s z 空间均为a r c h i m e d e a n 的。 定义2 1 9 设e 是一个r i e s z 空间，赋予e 一个范数洲，如果 对任意x ，y e ，h - l y l ，贝, m l l x l f ，这个范数就叫做r i e s z 范数 ( 或格范数) 。一个赋予r i s e z 范数的r i s e z 空间就叫做赋范r i s e z 空间。如果在此范数意义下，该空间是完备的( 即是b a n a c h 空间) ， 就称它是一个b a n a c h 格。 很多经典的b a n a c h 空间都可以成为b a n a c h 格，如：序列空 间：c 。，c ，。( 1 p m ) ( 按标准范数和坐标定序) ，以及前面举到的 函数空间三。( ) ( 1 p 0 0 ) 和连续函数空间c ( x ) ( 按相应的偏序 和范数) 等。 定义2 1 1 0 赋范r i e s z 空间e 有序连续的范数是指e 中任意 子集合dj ，0 ( d ：单调向下有序集且以0 为下确界) 都有 i n f ( 1 l f l i ：f d ) = 0 成立。 r i s e z 范数的连续性也是很重要的一类性质，并不是所有的赋 范r i s e z 空间都有这种性质。例如我们前面所谈到的 ，。，l 。( x ) ( 1 蔓p 0 ：h 血j ，我们称e 是个有单位元的a m 一空间。 显然，c ( k ) 是a m 一空间；l ，( 弘) 就是一令a l 一空间，并且每 个a l 空间都等距地序同构于这个空间。容易验证每个a l 一空间是 k b 一空间，而每个k b 一空间都有序连续的范数。 a l 空间、a m 空间和k b 空间也是b a n a c h 格理论中经常讨 论的三类重要空间，关于它们的具体性质还可以参考文献【1 1 、【2 l 。 本文其它未经解释的名词术语也可以参考文献 1 】、 2 】、【1 6 】。 2 2r i e s z 空间上算子的正贝l i l 陛与绝对值的一般结果 设e 和f 是r i e s z 空间，众所周知，所有e 到f 的线性算子按 通常的加法和数乘做成一个线性空间。并且可以定义如下鹄偏序： s t v 0 x e ，s ( x ) t ( x ) 使之成为一个偏序的向量空间。 定义2 2 1 设e 、f 是r i e s z 空间，丁是e 到f 的线性算子： ( 1 ) t 叫做正算子，若当x 0 对，有t x o 成立；且t ( e ，f ) 为e 到f 的正算子全体： ( 2 ) t 说是正则的，如果r 可以写为两个正算子之差，e 弱f 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 的正则算子全体组成的集合记为r ( e ，f ) ，并且r ( e ，f ) 是由 r ( e ，f ) 生成的线性空间； ( 3 ) 如果丁把e 中的任意序有界集映成f 中的序有界集，则 称丁为序有界算子，e 到f 的序有界算子全体组成的集合记为 l b ( e ，f ) ： 从正则算子和序有界算子的定义中，我们不难看出它们之间 的关系 命题2 2 2 对任意的r i e s z 空间e 、f 有r ( e ，f ) c 7 _ r ( e ，f ) 。 上述定理说明了正则算子与序有界算子的一个包含关系，但 反包含关系却未必成立，即上述包含关系为真包含。 例2 2 3 设算子7 1 ：c 0 ，l 】- c o ，l l g g s l 蔓b ： f 0t ：0 r f ( ) 2 1 弛i n ) 一，( s i n ( h ) ) o ，) ，它也一定对 应一个无穷矩阵，但迄今为止还不清楚无穷矩阵应满足什么条件， 西南交通大学硕士研究生学位论文第13 页 才能对应一有界算子，所以不能像有限维空间一样给出算子正则 性的条件以及相应的绝对值和正、负部的算法。事实上不是每个 有界线性算子都是正则的。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 4 页 第3 章a l 一空间上连续算子的正则性 我们在研究连续算子空间l ( e ，f ) 的格序性质时，涉及如下三 个基本的问题：( 1 ) 是否每个e 到f 的连续算子都是正则的，即 算子空间l ( e ，f ) 和正则算子空间f ( e ，f ) 是否相等? ( 2 ) 是否每 个正则算子的绝对值都存在? ( 3 ) l ( e ，f ) 中的算子范数限制在 r ( e ，f ) 上是否和正则范数相等，即俐l = 例i ，? y a a b r a m o v i c h 在 1 3 中建立了l ( e ，f ) = f ( e ，f ) 的必要特 征：若f 或e ( e 的共轭空间) 包含子格一致的同构于，。n 空间( 关 于n ，其中1 p o 。，且l ( e ，f ) = k ( e ，f ) ，则f 同构于一a m 一 空间或者e 同构于一a l 空间。而对于问题( 2 ) 、( 3 ) ，有若干反 例但正面结果极少。本章基于l ( e ，f ) = f ( e ，f ) 的必要特征，集中 解决当原像空间e 是一个a l 空间时，对任意的像空间f ，当e 满 足什么条件时，l ( e ，f ) = r ( e ，f ) ，并且正则范数与算子范数一致， 即，= ，并证明在此条件下r ( e ，f ) 还是一个格。 3 1 算子的一致范数与正则范数 设r ：e 寸f 是b a n a c h 格e 到b a n a c h 格f 的有界线性算子， 则丁的算子范数( 一致范数) 的定义如下： i i r l l = s u p ( 1 l z x l l ：x e 五， i x l l 1 ) 特别地，当r 为正算子时，我们有下面定理： 命题3 1 1 设e 、f 是赋范r i e s z 空间，r 是e 到f 的正算子， 则： i i r l i = s u p l r x l i ：x e + ，俐1 我们用l ( e ，f ) 表示赋范r i e s z 空间e 到f 的连续算子全体所 西南交通大学硕士研究生学位论文第15 页 组成的集合，当e 和f 是b a n a c h 格时，有以下定理说明l ( e ，f ) 和 f ( e ，f ) 的关系： 定理3 ，1 2 【l le 、f 是b a n a c h 格，则e 到f 的任意正则算子 一定是连续算子，即f ( e ，f ) cl ( e ，f ) 。 一般来说，连续算子却未必是正则算子： 例：3 1 3 定义c 0 ，1 到c 。的算子r 如下：v f c o ，1 】 1 1 r f = ( f ( 1 ) 一厂( o ) ，( ) 一，( o ) ，厂( ) 一厂( o ) ，- ) zj 容易验证丁是有界算子，但遗憾的是r 不是序有界算子，当 然也就不是正则算子。 正则算子空间在算子范数下一般不完备，但存在一个自然的 范数一正则范数，使得正则算子空间在此范数下一定完备。 定义3 1 4e 、f 都是b a n a c h 格，对于r ( e ，f ) 中的任意算 子丁，定义它的正则范数( r 一范数) 为： l i r l l ，= i n f0 1 s l l ：s l ( e ，f ) ，s 0 ，丁s 关于正则范数的定义有以下几种等价说法： 定理3 1 5 【l i 】【1 1t 是b a n a c h 格e 到f 的正则算子，则以下关 于正则范数的定义是等价的： ( 1 ) i i r l l ，= i n f 刮s 0 ：s r ( e ，f ) ，s o ，s 丁) ( 2 ) i i r l l ，= i n f l l z 。+ r 2 1 i ：t = 夏一疋，l r ( e ，f ) ，f = 1 ，2 ) ( 3 ) l i r l l ，= i n f 2 五一t i l ：正上+ ( e ，f ) 且瓦r ) 且互t 容易验证，对任意t f ( e ，f ) ，算子范数都不大于正则范数， 即l i r l l l i r l l ，。并且如果瓦丁，兀一丁那么一定有l l t o l i 例i ，成立。 对b a n a c h 格e 和f ，t r ( e ，f ) ，如果它的绝对值存在， 那么它的正则范数就是它的绝对值的算子一致范数，即： ，= l i = s u p 护俳1 ) 正则范数使b a n a c h 格e 到f 的正则算子空间k ( e ，f ) 成为一 西南交通大学硕士研究生学位论文第16 页 个b a n a c h 空间：进一步地，如果f 还是d e d e k i n d 完备的，那么对 u ( e ，f ) 有如下刻画： 定理3 ，1 6 1 1 3 1e 、f 是b a n a c h 格，则正则算子空间r ( e ，) 在正则范数下就是一个b a n a c h 空问。如果f 还是d e d e k i n d 完备的。 则r ( e ，f ) 是一个d e d e k i n d 完备的b a n a c h 格，并且对 v te f ( ，f ) ，4 f 虬= l l l r l 4 。 e 是b a n a c h 格时，e 的序共轭空间e 一就是它的连续泛函空 间e + ，即f = e ，线性泛函作为特殊的线性算子，可以验证，它 的算子范数和正则范数是相等的。 命题3 1 7 如果e 是一个b a n a c h 格，那么任意e 上的连续泛 函x e + ，有忖| | = 忙n = i i j x 成立a 证明：首先对任意工e 有px 】- i x i i x p 蔓肛0 l l x l l ，因此可推 得i i x , | | - 0 ，因为ix f ( x ) 5 s u p ( 圳：酬r x l ) ，所以存在y e 满足j y j i x l 并使得 i x l l x l - s i x 叫i x 。由此，胪i | l = s u p 肚1 帅：1 h i x l + ， 而占可任意小，因此肛7 i i x 换言之扩0 = 忙”。 下面两个关于有界线性算子空间与正则算子空间关系的著名 定理主要是由l vk a n t o r o v i e h r i e s z 给出的。 定理3 1 ，8 【1 3 】设e 是任意的b a n a c h 格，是d e d e k i n d 完备的 有强序单位的a m 一空间，那么每个e 到，的连续线性算子都是正 则的，即( e ，毋= r ( e ，f ) ：并且对任意t l ( e ，f ) ，它的绝对值 例存在以及j 刖f = j 例f ，。 定理3 1 90 3 1 设是一个a l 一空间，那么对每个k b 空间f ， r ( e ，f ) = f ( e ，f ) ，并且对任意t l ( e ，f ) ，它的绝对值存在 以及妒= - t l r l l ，。 一般说来，l ( e ，f ) 与r ( e ，f ) 是不等同的集合，即使 西南交通大学硕士研究生学位论文第17 页 l ( e ，f ) = r ( e ，f ) ，算子范数与正则范数未必相等，甚至不一定是 等价的。 例3 1 1 0 u i ( 1 ) 设e 是，空间，分别是c o ，c ， l p ( 1 p 。0 ) ，乞，c o ，1 】空间，贝l j l ( e ，f ) 2 k ( e ，f ) ，并且恻i = 例l ， ( v t f ( 占，f ) ) ， ( 2 ) e 是z 。空间，f 分别是f 。( 1 p 。) ，c 。，f ，c o ，1 】空 间，则r ( e ，f ) l ( e ，f ) 。 ( 3 ) 如果是c 。空间，f 分别是f 。，c 。，c ，c o ，1 】空间，则 l ( e ，f ) = r ( e ，f ) 。 ( 4 ) e 是c 【o ，1 】空间，f 分别是，c ，l p ( 1 p o ，一定存 在一个原子口使得0 睇x 成立。 离散的b a n a c h 格一定是由它的原子所产生的带。很显然，c 。， c 和l p ( 1 p ) 空间都是离散的b a n a c h 格。 e 和f 是b a n a c h 格，在有界算子空间l ( e ，) 上可以定义偏序 如下： s t 当且仅当对任意的0 蔓z e ，s ( x ) t ( x ) ，一般说来 这并不是一个很好的序，因为在这种序结构下l ( e ，f ) 不一定是一 个格，或者每个有界算子r 的绝对值也不一定存在。到目前为止还 不太清楚究竟对什么样的像与原像空间，l ( e ，f ) 中的每个算子它 的绝对值都存在。而对于a l 空间上的连续算子有以下结果： 定理3 2 4 如果e 是一个离散的a l 空间，则对任意b a n a c h 格f ，任意从e 到f 的有界线性算子丁在l ( e ，f ) 中的绝对值存在， 并j l l l z l i = ，= 证明：如果e 是一个原子的a l 空间，令r 是e + 中所有范数 西南交通大学硕士研究生学位论文第19 页 为l 的原子全体，即1 1 = 杠e e + ：提原子且恻l = 1 ) ，不难验证，f 内的元素是两两不交的，并且e = ( r ) ，现在对任意的b a n a c h 格 f ，及e 到f 的任意有界线性算子丁，我们将证明，的模刖存在， 并且= ，= t i l t 4 。 对e + 中的每个元素x ，都可以写作x = ( ) 。的形式。注意e + 上的范数是可加的，因此是序连续的范数，所以对任意x ，在r 中 至多有可数个元素a n 使得x 。0 ，从而 x = x 护。 l 此级数一定是范数收敛的，而且4 x 4 = 工。，也就是说b 。) e ，；。 容易验证级数c a 。在f 中也是范数收敛的。 l 现e z s ：e + 斗f ，s x = x a 。l 砜i ，则不难验证 s ( k ，x ，十k 2 x ：) = 女。s g ，) + ：s ( x 。) 对所有的正实数七和七，及e 中的正元素五，x 2 成立。于是s 可以唯 一延拓地到整个空间，我们记延拓后的算子仍为s ，现在我们将验 证s 就是r 的绝对值，并且= 。显然s 0 ，q 且 忡。h f i i 忆0 = l l r l i v x e + j i s & o = 1 f 莘x 。j z 。0 s 苹f 工。o ，。i i 蔓| 丁| 车i k 。i i = i i r k i i 这说明l i s l l - c lr t i l 。剩下只需说明s 是r 的绝对值即可。 对任意x = e x “口。e + ，x “o 且 t x = _ 巩阻i = li 因此t s 。另一方面，如果算子0 u ：e f ，且+ - t u ，那 么对所有的口f 有b l 沈，雨且 西南交通大学硕士嘶究生学位论文第2 0 页 s x = x 。i 地喀k 。魄= u x 所以s u ，根据算子绝对值的定义知，s = l t l 就是r 绝对值。 上面这个定理讨论了a l 空间上连续算子绝对值存在的一个 充分条件，接下来我们将讨论绝对值存在的必要条件。为此先给 出两个引理： 引理3 2 5 1 1 l 假设b a n a c h 格e 的范数是p 次可加的，即对e 中任意不交的正元素z ，y 都有峙+ y = + l l y l l 9 ( 1 s p 0 斗) 成立。 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 1 页 为了说明f 有序列l e v i 范数，根据定理3 2 2 只需要说明对 于每个不交的正序列y 。ef + ，如果有范数有界的部分和( 即对任意 月，l i e 。+ y ：+ + 乩| i 都是有界) 那么 的上确界存在即可。 令 虬 是满足上述条件的不交序列。定义算子t ：e f ， 对任意x ee ，r g ) = x o ( x ) y 。，显然，