（基础数学专业论文）欧氏空间中凸超曲面的平均曲率流.pdf

硕士学位论文 盹s t e r st h e s i s 摘要 本文主要分竹= 1 和佗2 两种情形对欧氏空间中凸超曲面的平均曲率流进行 研究，利用它们的第一和第二基本形式的发展方程和极大值原理得到关于纸形状 的一些结果。具体地说，我们证明了 l 塑：黼 定理羔设是一条闭酋线，则以为初始益线的发展方程 0 的解 ，卸2 y o 7 ( ，亡) 在有限的时间区间【o ，u ) 上存在，更迸步地，当t 一时，7 ( ，孟) 收敛到一点。 定理i i 设豫2 ，m 是紧致无冕的n 维流形，墨：m “一r 1 是欧氏空间冗1 中超曲面掰的一个光滑浸入，初始蓝面蜗= 露泌) c 彤+ 1 是光滑紧致无界的且具 有正的平均曲率，设z ：联抖一嚣针1 是欧氏空间中光滑超l l l 面浸入的单参数族，剡 发展方程j 昙f ( p ，r ) = 一日( p ，f ) 1 ，。，f ) ( 日( p ，吐v ( ，d 分别是鸠上点( p ，亡) 的平均 【，( p ，o ) = 懿( p ) 曲率和单位外法线) 在有限时间区间0 亡o o 上有解，并且当亡_ 时， f ( ，t ) 收敛到一点。更进一步地，当t u 时，m a x 胍h 2 无界 定理i i i 第三基本形式k 的发展方程为： 甍拦b 2 | 么| 2 屯一2 琢矿一2 繇l v 嚣| 2 关键诩：严格凸平面曲线；一般凸超魏面；严格凸超曲面；发展方程；极大值 原理：平均醒率 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s a b s t r a c t l 飘也i s 妒p e 毛w es 抛d y 也em e a 娃c u r v a 抛f l o w so f n v e x 娜e r s u 妊k e 遗 e u c l i d e a ns p a c e si n 铆os i t i l a t i o n s ：n = 1 a n d 他芝2 、eu s ee v o l u t i o ne q u a t i o n so f 谯e i f 触黻d 辩e o 砖细随曩趣懿斌岛腿s 鑫稚缘e 爨鑫x i 越联l 曲粒i p l et og e t 糖e s a lf e s u l t so n 也es h a p eo f a 免。s p e c 姬e a l l y ，w ep r o v c 娃l ef o l l o 谢憋n 地o r e 嫩s 。 t h e 0 1 e 越薹 s l l p p d s e主s 鑫c 董o s e de o 狲硷xe l l 飘潜。雹氐魁t l 臻s o l l 赫o a ? ( ，) o f l 望：拼 m ee v o o n e q u a t i o n 彳 w i m a s 州a lc u r v ee x i s t s 砌ya ta 觚t e t i m e m 。2 厂o i n t e r v a l 【o ，u ) f u r t l l e r m o r c ，a s 舌一+ ，t h es o i u t i o n7 ( ，亡) c o n v e 略e st oap i o n t t h e o r e mi ll e t 访2a n d 五fi sac o m p a c t 诵t l 的u tb o u n d a 搿绍- d i m e n s i o n 蕊 檄a 蘸至晒l d ， 最i sas 辙o o 也h 弹。糟w 蠡霪c ei 搬m e 麟o n 醒材栉i 哟置嚣+ 1 ，像e 主l 鹱i 鑫王 s u r 】e 磊i ss m o o 饿，c o m p a c t 弼t l l o u tb o u n d a 移雒dw i t hp o s i t i v em e 钮c i 料翻黼， s u p p o s em a te ：埘m _ r 蚪1b eao n e - p a r a m e t e rf a m i l yo fs m o o t hh y p e r s u 托置c e i “n e r s i o n si ne u c l i d e a i l s p a c e ，1 1 1 e n t h es o l 嘶o nf ( ，亡)o fe v 0 1 u t i o n e q 吼t i o n 盖f ( p ，7 ) 一胃( 胁7 ) v ( p ，( w h e r e 置( 罗，pa 芏l d 影( p ，巷) 躺龇m 嘲c u r v a 疵a n d 城t 【f ( p o ) = 懿( p ) n o 姗a la t ( p ，亡) o n 尬r e s p e c t i v e i y) e x i s t sam a x i m a lt i i i l ei n t e r v a l o t o ，则被称为是一条 埘 掰 | l | | 一瓠斜一挑 硕士学饭论文 m a s t e r st h e s i s 严格凸曲线，本文主要研究的就是严格凸平面曲线的发展，即 警= 肼( 其中 【y b i o2 1 。2 髓超曲匿的平均曲率流( 铭2 ) 设m 是紧致无界的佗维流形，露：m ”_ r 1 是欧氏空间r 肿1 中超曲面m 的 一个光滑浸入，初始曲面蜗= 塌( 膨) c 置n + 1 是光滑紧致无界的且具有正的平均曲 率，露：m ”_ 冗1 是欧氏空间中光滑超曲面浸入的单参数族，如果曩满足下面的 方程：j 昙罗( p ，f ) = 一嚣( p ，f ) v ( p ，n爹掰。，妻 。， ( 1 2 ) i f ( p ，0 ) = 磊( 力 其中曰( p ，f ) ，v ( p ，f ) 分别是眠上点( p ，毒) 的平均曲率和单位外法线，则 丝= 霹( 掰8 ) 是平均睦率流( 董。2 ) 的解。本文将在第2 节运用d e 氮瞄k ( 参考文 献 2 ) 的策略可以证明方程组( 1 2 ) 是严格抛物的，根据严格抛物方程标准理论 ( 参考文献 3 】) 知方程组( 1 。2 的解是存在的，更进一步在第3 节证鳃极大极限 时间是有限的，即u o ，存在一个常数q o ，( 仅与n ，叼，有关) 使得r 芝一卵日2 一q 在m 上 对任意【o ，“) 成立阕年，他们在 薹5 j 中把结果推广到更一般的混合平均麓率最： 设e ：m n r 1 是光滑紧致超曲面浸入且具有非负的平均曲率，对每个尼， 2 惫携，露 o ，存一个常数蔹。( 仅与珏，悫，露和坞有关) ，_ 以致对掰“溉翻) 上 有估计：最一叼日一q ，。( m 然2 即为数量曲率r 的先验估计的情形) 。 对于坛是一致凸的( 第二基本形式的特征值处处严格蓬) 的情形，王9 8 4 年 g 删s k e n 在 6 中对此作了深入的研究，对莱些 o ，不等式s 对所有 的【o ，彬) 恒成立，并且通过此不等式可以证明该流保持凸性并且可以得到些很好 的不等式( 见推论2 2 1 ) ，通过这些不等式在证明先验估计时弓l 入的函数 = 丝i ；姿垒简单一些，先验估计 6 为：存在常数6 o 且q o 。( 仅与甄 有关) 使得不等式2 一日么吼日2 一矿在og 舌 甜上成立。三个先验估计的作用 在于研究它们的奇异性，由于奇异性的研究比较复杂，本文不作研究( 可参考文献 1 】，【s 【9 和 王0 等) 。 本文主要是对平面上的曲率流和欧氏空阀中凸超曲面的平均曲率流的基本结 果和方法进行综述，并计算出它的第三基本形式的发展方程，不足之处就是没有对 第三基本形式的发展方程进行应用。 硕士学俄论文 m a s t e r st h e s i s 1 。3 本文安排 本文基于曲线收缩流，一般凸超曲面和严格凸超曲面的基础知识，将继续研究 丢_ 甜，馘的形状和利用一般凸超魑面的第一和第二基本形式的发展方程研究它 的第三基本形式( 标准度量) k 的发展方程。 本文的安排如下： 第l 节是弓| 言，对馥线收缩流和欧氏空间中凸超益面的平均曲率流进行综述。 第2 节是预备知识，介绍曲线收缩流的重要的发展方程和凸超曲面( 他2 ) 的第一第二基本形式和它们豹迹的发展方程和些不等式。 第3 节我们研究了欧氏空间凸超曲面亡_ ，尬的形状，和髓2 时第三基本 形式的发展方程，给出了本文的主要结果和证明。 第二节预备知识 2 。 凸闭曲线的曲线收缩流的发震方程 擀哮鲁叫妻三一妨 程娑。譬妾：西得出蓝线长度，越率和它所包含的厦积么的发展方程。 引理2 1 移关于时间舌的导数的发展方程害= 一老2 移 证明：由口的定义，运用砒胛甜方程和等式( 1 ) 可得： 等= 去牡 口狂a 钍 = 2 拦2 = 一2 忌2 u 2 ( + = 0 ) f 。鲁“2 移 引理2 2 曲线的长度五的发展方程蓑= 一，舻幽 证明：署= f ”蚤如= 一r ”蠢2 私如= 一，鸯2 玉( 幽一秽魂) 引理2 3 击丢= 忌2 尝+ 杀击 证鹱；圭昙：三导知 甍丢= 甍e 鲁，= 未丢+ 昙甍皖，= 一吉尝，丢+ 亳毫甍 一一= 一i 一一i = 一i i 一十一一l i = 一一i l 一卜 a 亡a sa z 、口a 仳7 a 8 、钉7a u 秽a t 、a 让7钉2 、a t 7 a u 材a ua = 砉砌丢+ 丢击麦= 班昙击去妄拦妒言+ 岳击 5 引理2 4 警= 警且等一筹r 证明：由丁：掣和引理2 。3 得： o s 署= 蛊= 言甍7 + 惫2 鲁= 杀( 树) + 是2 r = 筹+ 奄等+ 惫2 r 一= _ = 一一 + 露二= 一蝌l + 是。i = 一月+ 老一+ 是。芏 8 t8 t 8 88 s8 t l 8 80 8 、 。j a s8 3 = 誊州搬m 2 r = 考o s0 8 酬叫) 乩肛击( 叫= + = ( 瓤 + 黟= 警+ 巍 燃一丢f ” + 7 ，一恐2 讲 十 砒 燃一去r 。如一 如 一丢r 。勋一 十 一舅= 壶= 素 a s 括i 再 7 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 。3 ) 硕士学饭论文 m a s t e r st h e s i s 假设7 ( 铭，t ) 是一族满足曲线收缩流( 1 1 ) 的凸曲线，用切向角器去参数化每条 凸曲线7 ( 世，t ) ，例如设彳( 口，) = ，y ( p ，) ，亡) ，则 孚= 享。娶拿= 宴。呈榭。一= + = + 船，v a 亡 a t 靠 a t 8 丢8 铭a 舌 故支撑函数变为：露( 口，z ) = 丢触k 鲁，一 = = + = 0 一惫蒜一惫= 一= 二i 嶝 s 盼七s 。 即妄咖) = 一奄或甍瓣) = 一壶( 蚍) 甜x f 0 ，o ) ( 2 4 ) 这是一个严格抛物方程，由抛物方程的标准定理( 参考文献 3 ) 知有下面的 结果： 命题2 。8 ( 局部存在性 假设是凸闭蓝线，则存在一族凸闭曲线7 ( ，) ，考【o ，函) 且o o ，7 ( ，o ) = 满足曲线收缩流发展方程( 1 1 ) 或( 2 4 ) 定理2 9 ( 保持凸性) 设【o ，u ) 是发展方程( 1 1 ) 的解7 ( ，) 的极大时间区间，且 是初始凸呙曲线，则在【o ，) 上，y ( ，t ) 仍然是凸的。 证明：由命题1 8 知，y ( ，亡) 在某短时间区间 o ，西) ( o “) 上是凸的，且支撑 函数满足：童 t ) 嚣奄= 一瓦j 西，p ，考) 豫西) ，对云求导得： 碡= 喃蠢= 一万啬f 暖b + 童】= 越2 帮+ ( 一露) 净走2 专卷) 即包然忍2 ( 矗铂+ 屉) 在( p ，t ) s 1 o ，白) 良极大筐原理得：趣i n 是( 痧，) 越珏是( 毋，对乞限函) ，这暗示若在融“) 上 硕士学拉论文 m a s t e 疑st h e s i s ，t ) 是凸的，更进一步地在s 1 【o ，) 上，7 ( ，) 的曲率有一个一致正的下确界 m i n & 慨o ) 。 赉极大值原理有； 命题2 1 0 ( 包含原理) 设m ，：s 1 o ，) _ 冗2 ，是( 1 1 ) 或( 2 4 ) 的两 个凸解，假设锡( ，o ) 处在被m ( ，o ) 所包含的区域，则对所有害【o ，甜) ， ( ，巷) 包含在( ，亡) 所包含的区域里。 证明：设龟( 秽，o ) 曼( 毋，o ) 分别表示m ( ，t ) 和( ，t ) 的支撑函数，则 是( 毋，) 和是( 毋，t ) 都满足方程( 2 4 ) 并且是( 毋，o ) 鼋以o ) 对于9 s 1 则由抛物方程 的极大原理( 参考文献 3 ) 知对所有的【o ，u ) 有是p ，t ) 鼋p ，亡) 。 2 2 凸超曲面的平均曲率流( 纷2 ) 2 2 1 记号及准备工作 1 ) 掰上的向基，余向量，混合张量分别为x = x ，y = ，r 拦 搿 ； 第一基本形式( 诱导度量) 夕= ) ，逆为9 搿；第二基本形式4 = 气是光滑 的，在肘“心，皇) 上是连续的并且满足下面不等式：嚷一挑) 妒8 泸妒则对 所有的毒【乇，毛】，m 黻畎，) m a x 妒( ，岛) ，对于向量场8 ：m ”陈，气) _ 嚣”+ 1 只要 求它在m “心，屯) _ r 上的所有极大值点的领域是定义好了的。 注记：如果垆满足唛一飘) 汐8 铲妒，用一代替上面的妒可褥：对所 有的t 【岛，屯】，i i l i n 妒( ，t ) m i n 妒( ，气) 。 2 。2 。2 一般凸超魏面孛第一和第二基本形式和它镌的迹盼发展方程和耋要不等 式 觚2 王的知黼举甜v 只嘲谚( 最簧) _ 卅管 = 一胁，故平均曲率流方程( 1 2 ) 可以写为： 昙f 慨归也f )泣5 ) 【，( p ，o ) = 圪( p ) 性质2 1 1 丝的第一基本形式( 诱导度量) 9 群满足发展方程： 茜乳然一2 日 证明：设筹是m 中蝴向量，毒也静划，秀静一( 弘最) o z ic 嚣io 嚣；o 甾io 芏；移z 毋嚣： 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 叫器) = 茜静= 咯弘葶= k 棚矧旗对飙 昙鳓然昙譬= 晏( - 剐，譬，要( - 黝) ) 瓦岛然瓦舞面户峦卜黝，面嘧面卜拗， 一。毒风篝，一饵老，静一尝，t ，毒田一甓，日考， 一2 口( 老，鸶) 一2 性质2 量2 磁上单健外法线鬈满足筹= v 曩= v 日鼍 证明：。小，筹) = ”昙( 筹) = 。即喂萋( 去兹) 则象= e ，箸，嚣9 峙一也甍筹，鸶夕移 = 如毒c 酬，筹矿黑者露鸶 = v 日：v 日望 拶每 为了证明第二基本形式的发展方程，先引入下面的引理： 引理2 1 3 ( 1 ) = v ；v j 日十矾夕h 一l 以1 2 ( 2 ) 丢| a | 2 = l v a | 2 z 证明：( 1 ) 由v t = v i k v 1 ，v v j x “一v j v 。x “= 礤x 。 和v ；v j k v j v 。k 燃爹辆匕 故= 9 v m v 。= 夕m n v m v ；啄= 9 撇( v i v m 啄+ 瓢蜘磷+ 民；n 。磅) = 雪僦v i v ，k ；嚣+ 雪撇( 心垮k 一凌) 磁+ 夕嬲( k 髓k k 镌狂) 骘 1 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s = v ；v 歹日+ 够k 磅一霹礞+ 砜骘一雒魏拧磅 = v ；v ，日一l a l 2 + 蛾9 胁 其中耍= 箩蝴k 佶，2 = 群雒，骘= 矿 ( 2 ) 利用( 1 ) 的结果 | a f = = 雪”v 。v 矬 = 窖撕v 。( 2 ) = 幻”kv 。，v 。 + ) = 2 l v a l 2 + 2 = 2 l v a l 2 + 2 = 2 | v a f + 2 + 2 ( 墨。一l a l 4 ) = 2 i v a l 2 + 2 + 2 z 霾i 寺| 么1 2 = + | v 盖| 2 + z 性质2 1 4 第二基本形式的发展方程：甍蒜一2 砜秽融+ i a l 2 证骧：利用g a 娃s s 一黯主n g a r t 9 n 关系式： 器薏却瓦西引移瓦一移 老咖觚筹 耠一昙焉一= 一喂岛一一酝，如 燃咯一一馁，毒日筹n 拦去日十日( 矗( 9 肼筹川；筹一呐毒日薏扩) 然去嚣+ 嚣e 者渤却：兹，丢嚣罄门 慨喏嗟印 1 3 硕士擘镶论文 m a s t e r st h e s i s 燃去日+ 媳筹却一q 矗励触+ 。 燃去豆专胞筹瑚谚一坞毒置 燃去：去日一心 燃弋孓 h h h 电，h 嘲 由引理2 1 3 知道：v ；v j 日= 一她；9 觚+ i a l 2 代入上式得： 击= 一取，夕融+ | a 1 2 一跳。9 融 2 如一2 砜萝抛小l 刎 推论2 1 5 第二基本形式的迹的发展方程： ( 1 ) 晏日= 日十w 日 ( 2 ) 豪阿= w 一2 | v 盖| 2 + 2 阿 ( 3 ) 妄w 一丢2 ) = ( w 一丢日2 ) 一2 ( i v a 卜丢嗍2 ) + 2 w 一丢日2 ) ( 4 ) 设d = ( 舅) 是丝上的测度，链烹厩，则未如= 一嚣2 如 证明：c ，9 移= 醴- 警+ 鲁9 移= 。，- 警= 一口莳鲁 。警一露警严= 2 懿谚 舭筹= 掣懋警拶鲁= 2 觑搿村( 一2 甄产邮f ) = 2 日i a l 2 + 日一2 夕巧曰魄f 夕h + 日i a l 2 = 曩嚣| a | 2 1 4 ( 2 ) 甍川2 = 甍( 夕请夕剪k ) = 2 去夕磕) 9 剪+ 2 夕请击 = 4 觑谤夕+ 2 矿( 一2 砜产+ h 2 ) = 4 励“夕h k + 2 夕珐夕一4 夕皓2 砜9 h + 2l a l 4 = 2 + 2 l a | 4 而h 2 = 夕h v 女v f = 2 9 h v i = 2 夕斛 + 2 9 材 = 2 + 2i v a i 。 晏w 一w = 2 w 一2 刚2 即去w = w + 2 w 一2 刚2 ( 3 ) 的证明由( 2 ) 和下面的这个等式罟日2 = 日2 2 i v 日1 2 + 2 h 2 日2 即可得到： c 甍日2 = 2 击日日= 2 ( 日+ l a l 2 日) 日= 2 日日+ 2 i a l 2 日2 日2 = ( 日日) = 2 日日+ 2 = 2 日日+ 2 i v 日1 2 甍日2 = 日2 2 l v 日1 2 + 2 w 日2 ( 4 ) 设g = d e t ，则署= 鲁帕= 一2 砜粥= 一2 日2 g 又鲁= 击厄= 去g t 署= 丢一( 一2 日2 g ) 一日2 g k 一日2 溉对任意的叼咄吲0 7 2 】，有= 止茄坚兽等= 咿。 鲁= 瓴。+ 掣 一掣办柙阳1 2 一嘉l 观k 吨矾1 2 + 州 特别地，对盯= 0 ，夕咖：止等逻= 簪_ ( 1 刊，代入上式可得： 甍簪= 簪+ 吾 一素1 日v i k v ；肌h 1 2 ，由极大值原理可得： 簪是一致有界的，不妨设g 是拳在甄上有界的，则在鸩上任意的t o ，u ) ， 1 5 刮a 1 2 瓯日2 。 推论2 1 6 第二基本形式的迹的一些不等式： 为： ( 1 ) i c l i a l 3 ( 2 ) 设( 1 + 7 7 ) 日2 川2 g 日2 ，对某些7 7 ，q o 在m 的某些点上成立，则有 g ) 一2 z 7 7 日2i a l 2 ) 印；k 吨砜1 2 赤酬v 日1 2 证明：( 1 ) 设k 。，镌，心。是第二基本形式的特征值，则上面的不等式可以改写 防i c 静， 设地 = 1 ，l 以l 1 故露詹，那么 t = 1 ，佗 ， l 妻譬i 壹蚓3 ：妻k ( 妻2 ) ) i ：妻( 奎伤2 ) l = li 扛= li = 1 【j = lj = l 歹= 1 ( 2 ) o ) z = 日c i a l 4 且c 1 4 1 3 ，厕 l a i 而1 日 一2 z = 2 0 a 1 4 一日c ) 2 l a l 4 2 日i a l 3 = 2 l a l 3d a l 1 日1 ) 2 l a l 2 而1 日i ( 而一1 ) 日= 2 ( 1 + 叩一历) i a l 2 日2 7 7 l a l 2 日2 ( 卿1 日v 。一v i 砜1 2 = 1 日v 。一丢( v 。日k + v 。日) 一言( v ；日k v 。日) 1 2 = 1 日v ；一丢( v i 日k + v 。日) 1 2 + 丢i ( v ，日k v 。日) 1 2 ( 日v ，一三( v 。日+ v 。日忆) 与壶( v ；日一v 。日) 是垂直的) 1 6 止拶 毒匹m = 。汹 m 默 诳 咛 。同 = 怅 呼 。触 即、 “ 。斟 寺l v 。嚣k v 。嚣1 2 = 口搿9 助扩( v ；日k v 。日- 心) ( v j 日- ，一v p 尉) = 主妇簪萝劫矿v i 嚣v ，嚣。；一9 和矿v i 嚣蚝v p 嚣一磐努萝劫矿v 女嚣v j 露。k + 夕材9 如矿v 女日k v j 日。) = v 露| 2 | 盖| 2 | v 爱| 2 2 一v 僻v 。量矿k 一v 嚣v 毋每k k ) = 丢( i v 眉m 1 2 一i v 她。| 2 ) 设娩，嘞，是a 的特征值且是一个模最大的特征值，则 l v 砜1 2 2i v 驯2 ，2 h 2 ，则 | 观奴吨蛾f 喜壶v 嚣| 2 砰一丢阳| 2 = 吾曼心。i v 日1 2 = 登饿z k z 粤 二l 。i抽l厶 ，秸 击喜静砖噼击毒赛2 哥= 器嚣唧 i 器| v 露1 2 堂毫蓑黼l v 口1 2 ( ，( 王+ 秽日2 l a l 2 瓯置2 ) = 杀啷 命题2 1 7 对任何光滑紧致初始曲面坞，发展方程( 1 2 ) 在短时间都有解。 证明：由严格抛物方程的标准理论知有短时间存在性，故只须证明( 1 2 ) 是 严格抛物的，酃证下面的微分方程譬：。歹+ 矿v 。哥 d 其中扩使方程严格抛物的。 实际上，如果f ( 箩，) 是( 2 。6 ) 的解，刘f ( 茹，) = 承挈( 鬈，) ，) 满足 1 7 ( 2 。6 ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 筹= 篑+ v 。f 等= 。厅+ ( 矿+ 警慨f = 。f 选取f 警= 一矿( z ，们，现取矿= 夕巧( r 嘉一亍善) ，则( 2 6 ) 变为 脚= 矿 筹划( 基点眚这是一个严格抛物方程：由抛物方程的标准定理( 文献 3 ) 即证。 以后我们设解的存在极大区间为 o ，u ) 。 2 2 3 严格凸超曲面的平均曲率流 如果超曲面f ( ) ：m ”_ 彤+ 1 是嵌入曲面并且它的第二基本形式是正定的，则 称它为严格凸超曲面由于严格凸超曲面是一般凸超曲面的一种特殊形式，它的度 量、曲率和第一和第二基本形式的发展方程都是一样的，即2 2 里前6 个结果都是 满足的，不同的是由于眠严格凸，可以证明不等式e 在o 亡 u 上恒成 立，应用此不等式推论2 1 6 ( 2 ) 的结果又会有什么不同呢? 首先我们证明此不等 式，为此引入一个张量场的极大值原理( 证明见文献 7 ，定理9 1 ) ： 设u 七是一个向量场，如，坞，是紧致流形m “上的对称张量，假设 = p ( 坞，乳) 是一个多项式，如果鸭u o ，则我们说坞o 。 零特征向量条件：对于蚝的任意零特征向量x 有鸭x = o ，我们有 n b x j x j2qo 定理2 1 8 ( h 锄i 1 。n ) 7 假设发展方程甍蚝= + 牡v i 坞+ 扎在o 舌 o ，若 不然，则存在第一个时间o 气6 ，其中矾在某些点m ”有单位长度的零特 征向量饥，设在点( ，乞) 矾= p ( 吃，) ，则 让k 或让j + ( 一或) 让一k 一矾i 一c l 坞一也i 一2 c 茚 其中c 与l 坞l 的确界有关。 我们把让延拓到一个平行向量场，从的邻域沿着测地线发散到点之外， 且u 定义在【o ，岛】与亡无关。 设，= 吃，则在点( ，乞) 差o ，w = o ，o 但是甏= ( 去坞) 让+ g = 蚝让+ 矿v 。坞也j + + = ，+ 让v k ，+ u 钍+ 心钍+ s ( 一2 c 6 + 1 弦 当2 c ，屿差。矛盾，即证 由上面的引理可以得到第二基本形式允巧的两个估计。 推论2 1 9 如果在舌= o ，o ，则对所有的o 亡 o 在亡= o ，对某些常数o 占吉 0 日 0 1 9 首先证明e ，p 类似可证。 利用定理3 1 ，设鸭= 一 警= 鲁一g 箸乳一日鲁a ta 亡 a t 。va = 一2 砜夕h + l a l 2 一e ( 日+ l a l 2 日) 一日( 一2 ) = ( 一毋玎) 一2 觇。9 h + h 2 一h 2 毋巧+ 2 e 日2 取蚝= 一，矿兰o ，心= 一2 砜夕h + i a l 2 一9 1 4 1 2 + 2 日2 对蚝的任何零向量有心u = g 励巧u ，即= u u = 一2 月心夕h u 让+ l a l 2 u 一i a l 2 日巩+ 2 日2 u u = 一2 日她扩e 砜+ w 讹一卅u 让+ 2 日2 地让 = 一2 日3 铭”+ 9 1 4 1 2 肌吩一i a l 2 舭吩+ 2 2 日3 吩 = 0 在严格凸曲面下，与推论2 1 6 ( 2 ) 不同的是： 推论2 2 1 如果对某些g o ，日 o 且，则： “) z 佗2 日2 0 a 1 2 一日) ( 钇) l v 。日一v ；日1 2 丢e 2 日? i y 日1 2 证明：( i ) 这是一个逐点估计，我们假设乳= 毛，= ，则愧e 日 o 0 k nn z = 日c w = ( ) ( 勺3 ) 一( 心) 2 = ( 心碍+ ) 一2 愧2 吩2 i = 1 j = l i = l ji j = _ ( t 一岛) 2 一 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 又i 纠2 一譬= 黔一丢( 和2 = 丢陲n 砰一( 喜甜】= 丢( 喜 一1 ) 慨2 + 2 喜，吩) = 丢喜心一伤) 2 代入上面( 木) 式即得z 住2 日2 ( 1 a 1 2 一日z ) 。 ( 沈) 由推论2 1 6 ( 2 ) ( 既) 可知：1 日v i k v 。砜1 2 去l v 。日一v t 日1 2 由c o d 秘方程知道v ；k 关于( i ，忌) 是对称的，我们只需考虑那些v ；没有消失 的点a 为此取正交标架e 1 ，e 2 ，以致e 1 = v 乡匆日l ，则e 日21o ，i 2 i v 日，i = 1 则i v i 日k v 。日j 2 t i i 1 = l 丢( v 。日。一v 。日啊。) 2 + 丢( v ：日红：一v 。日k ) 2 = 丢砭i v 日1 2 去，日2 i v 日1 2 推论2 2 2 ( 保持凸性) 设f ( ，亡) 是平均曲率流( 1 2 ) 的解，假设初始超曲面是凸的 并且是紧致的超曲面，则对0 t u 仍然成立。 证明：由极大值原理知道对o 0 是正定的，下面证明f ( ，t ) 仍然是嵌入，采取反证法，假设第一次 出现自交时间为岛，显然在自交点必然存在一片第二基本形式为负的超曲面，这与 对t o ，f ( ，t ) 的第二基本形式处处严格正矛盾，故对t o ，f ( ，t ) 仍然是嵌入。 性质2 2 3 6 几个重要的不等式： ( 1 ) 对任意的叩 o ，存在一个常数c ( 刁，眠，佗) 使得l v 日1 2 叩日4 + d ( 7 7 ，佗) 成立。 甍刚2 = m 1 2 _ 2 l v 州4 卜+ 三。v 小v ，a 氓a 刃m a 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 第三节主要结果及证明 这一节给出本文的主要定理及证明，证明所用的方法是运用极大值原理和前面 第一第二基本形式的发展方程和一些重要的不等式。 3 1 主要定理和推论 定理3 1 1 设是一条闭曲线，则以初始曲线的发展曲线( 1 1 ) 的解7 ( ，亡) 在有限的时间区间 o ，u ) 上存在，更进一步地，当亡一u 时，y ( ，亡) 收敛到一点。 下面的推论是显然的，由引理1 7 知道被，y ( ，t ) 所包含的面积4 ( ) = 4 ( o ) 一2 莉， 又由上面的定理知道当t _ u 时曲线收缩流收敛到一点，即a ) = o ，则u = 尝堕 z 7 r 推论3 2 假设u 为极大时间，则= 号 定理3 3 6 设礼2 ，m 是紧致无界的佗维流形，昂：m “_ 彤+ 1 是欧氏空 间冗时1 中超曲面m 的一个光滑浸入，初始曲面帆= r ( m ) cr 1 是光滑紧致无界 的且具有正的平均曲率，e ：m ”一彤+ 1 是欧氏空间中光滑超曲面浸入的单参数 族，则发展方程( 1 2 ) 在有限时间区间0 t u o o 上有解，并且当亡_ u 时， f ( ，t ) 收敛到一点。更进一步，当亡_ u 时，m a x 蝇h 2 无界 引理3 4 7 设9 衍是紧致流形m 上的时间相关度量( 0 亡 u ) ，并且 上。m a x mi 妄乳l 出g 。，则度量乳( t ) 对所有的时间都是等价的，并且当_ 叫 时，它们一致收敛到一个正定的度量p ) ，其中乳0 ) 是连续且等价的 引理3 5 6 如果m a x 帆h 2 c 在o t u 上成立且u o 。，则对所有 m ，i v ”a i q ( 常数q 仅与佗，坞和c 有关) 定理3 6 第三基本形式的发展方程为： 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 击= + 2 i a l 2 吆一2 日9 驷一2 i v 日1 2 3 2 定理3 1 的证明 证明：设【o ，u ) 是( 1 ) 的解7 ( ，t ) 的极大时间区间，这个定理地证明分5 步。 1 由定理1 9 知道，y ( ，t ) 保持凸性。 2 u o o 。 由一条大的曲线r 0 包含初始曲线，并且r o 由曲线收缩流( 1 ) 发展得到一个 解r ( ，t ) ，在有限时间区间 o ，d ) 且当t _ o ( 岛时，由发展方程( 1 ) ，y ( ，岛) 被包含在7 ( ，岛) 内，即7 ( ，t ) 是收缩的， 又由凸几何的经典结果( 见文献 1 9 ) 知道，7 ( ，t ) 在h a l l s d o m 度量里收敛到一 个弱凸曲线7 ( ，) 。 4 当亡_ u ，7 ( ，t ) 所包含的面积为零。 我们断言被，y ( ，u ) 所包含的面积必须为零，比如7 ( ，u ) 要么为一点要么为一条 线段。若不然，不失一般性我们假设原点在被7 ( ，) 所包含的区域内部，更进一步 我们在区域的内部画一个小圆，半径为2 p ，圆心在原点。因为在时间，解7 ( ，舌) 变为奇异的，从发展方程( 1 4 ) 知道当亡一u 时曲率忌( ，t ) 是无界的，为了得到矛 盾，我们只需对曲率得到一致有界。考虑皿：一= 璺l ：l ，对任何d o ，则在点( 岛，气) ， 2 1 。咄= 毒+ 器，唧。= 毒+ 南 哪卯= 惫+ 南岛+ 辫+ 辫一器 ：二鳖+ 墨盘 s p ( s 一户) 2 另外一方面瓯= ( 一后) 。= 一忌2 ( + 后) 唧。= 啬+ 南= 訾+ 南 = 生：( 生墨2 塑生! + 生： s j d 。( s p ) 2 = 南c 吨，+ 南+ 南 唧型2 c 一器，+ 南+ 南。妈鲥( 一考务) + 南+ 南 = 南阱脚】+ 南2 南郸一j d 】+ 南 2 七2 p 忌3 = = 一 ( s 一们2( s p ) 2 则在s 【o ，u ) 上o 尼三矛盾故当亡_ u ，y ( ，亡) 所包含的面积为零。 p 5 收敛到一点。 假设被包含的面积趋于零该流不收敛到一点，显然i n i n 尼( 日，) ) 趋于零，但是 由命题1 9 知道7 ( ，t ) 的曲率有一个一致正的下确界，矛盾。故该流必须收缩到一 点。证毕 3 3 定理3 3 的证明 证明：这个定理的证明也分5 步： 2 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s l 宙俯越2 7 知对侄伺光漕菜载韧始衄圆埘o ，发展万程( 1 2 ) 在短时间都有解。 2 u o 如果我们把妒当作 口似 材【o ，彬) 上的一个解，划缛到：兰( 豆一妒) ( 嚣一囝土僻。一妒。) 拶嚣 由极大值原理得到在o 冬舌 上胃妒另一方面妒明显给出 ，= 商舞 当妒_ 。时亡一( ) 玩：( o ) 更进一步当是球面时，妒表示平均曲率的发展， 故有甜g ( ) 磁。 3 当嚣_ 时，m a x mh 2 无界。 我们采取反证法，假设在os 舌 甜上，m a x 馘h 2 g ，并且假设鸩由f ( p ，丢) ( p 矽c 冗“，o 岳 u ) 给出，从发展方程( 1 2 ) 可得：对o 口p u 陬卿) 一f ( 爹纠| = i f 争慨班t 卜f 岳f 如。) f 嚣( 爹，考皿 因为日是有界的，故只须证当t _ u 时，f ( ，亡) 趋于惟连续极限f ( ，u ) ， 此时由性质2 。王丢箩舔= 一2 嚣褥到 院如1 2 拦9 擅，( 丢) ( 岳如) = 矿9 掣( 一2 氓) ( 一2 ) = 4 日2 俐2 又由假设m a x 托l a l 2 e 知发展方程( 王2 ) 满足引理3 4 的条件，则f ( ，t ) 表示曲 面m 。 此时所有的馥蕊丝是微分丽胚的，应用上面的引理3 4 ，假设m a x 鹪矧2 g 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 和 乞时，坂处在被心所包含的霓砰1 的区域里， 由上面的4 知道当舌一u 时，旭的直径趋于零，证明完成。 3 4 定理3 6 的证明 证明：击燃妄( k 9 扣) 一甍心- 矿+ 蛐争击+ 吆击矿 = ( k 一2 娥。黟融| a 1 2 ) 9 孥+ 多肇( 一2 量g ”+ | a | 2 ) + 2 蕊簪 = 矿一2 觇。产矿+ 2h 2 心矿 趣# 窖挚一2 j 呈k 夕赫毳珏黟挚+ 2 嚣毪黟g 碧轴麓 = 9 扣一2 地吆9 肇+ 2 i a l 2 + 心夕和一2 日吆k 9 酗+ 2 日夕以吆 又。吃= ( & 吆爹) = 箩锇嚣v 擀v 嚣( 毛矿) = 萝”矿v m v 挂( ) 黧9 懒夕妒v m ( v 件b + 心v n k ) 黧露矿( v 。v 。奴+ v 。璐v 。+ 窖”矿( v 。蚝- v 拜+ v 。v 。略蚝) = 夕争十9 夕争v 。- v 。k + 夕”矿v 。k v 。+ 矿k = 虬矿+ b 夕酗+ 2 箩舢矿v 。魄v 。觇；矿 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 一2 地譬挚+ 2 | a | 2 毛+ 9 争 则去一= 一2 夕扫+ 2 i 纠2 一2 夕m 彰吼v 。日v 。日 = 一2 露p 静+ 2 | 盖| 2b 一2 鳓| v 嚣| 2 甍= + 2 w 吆一2 砜矿一2 l v 日1 2 2