（基础数学专业论文）notes+on+the+weil+index.pdf

摘要 本文定义了焉部域土的一种g a u s s 和，透丽遥过局部域上黼余式鹩分析证 明了由励建书教授提出的有关g a u s s ；阳以及w e i l 指标的个等式。耽册嚣标的 定义在参考文献【l l 中可以找至l f 柴劲松在其论文中用簿立i 分斩盼方法证疆了 同样的结果 荚键词：局部域，v e i 攒标，g a u s s 2 d a b s t r a c t i nt h i sa r t i c l ew ed e f i n eag a u s ss u mi nl o c a if i e l d sa n dp r o v e8 , 1 1 e q u a l i t y r e l a t i n g g a u s s 觇mt ow e d i n d e xd e f i n e di n 1 】，w h i c hi ss u g g e s t e db y 。l i a n s h ul i k e y w o r d s ：l o c mf i e l d ，w e l li n d e x 。g a u s ss u l n 第一章g a u s s 和的定义 设f 魑一个非阿基米德( n o l l a r c h i m e d e a z 0 的局部域，域的特征为0 ，移 是一个加法特征( a d d i t i v ec h a r a c t e r ) ，设o = 0 f 是f 的整数环，是个索 元( p r i m ee l e m e n t ) 假设谚憨导予( c o n d u c t o r ) 恰好为，鲡采为一个乘法特 征( m u l t i p l i c a t i v ec h a r a c t e r ) ，其导子为i1 _ 丌o 且d “o 。我们定义o a u s 薅l 如下： r 挚；) ) _x ( 嚣) 钞 ( 1 i ) 定理1 1 r ( x - 移( 万) ) 2 = l 参r 1 固定y ( p f ”0 ) 。、 予楚我们褥到 r ( 枷( i ) ) =x 妒( 警) z o 口m o ) o x x ( 孚) z ( o 加”o ) “ ” 丁( x ，孵) ) = x ( 玎卅) 丁咖 r 妒( 詈) ) 2 _ ) ( ：( 寥) 丁谚万) ) 考虑另一个在( o ”“0 ) 。上的求和 r ( ( 詈) ) r ( 贾， ( 詈) ) =x ( n 一1 ) x 丁( ) ( ，妒( 抄，( ) ) 。 o ，口* z o j 。 。“ 矗e f 西啦o j “ ”“ = t ( o 百”p ) | 彳( x ，妒丁味妒( 否) ) 这个求积1 硼1 隧写为另一蹲形式，翅暴我织怒伸x 到o 万m o 道造定y - x ( ；j = 除 2 n o t e s0 nt h ew 瓤li n d e x 菲a ( o f “o j 。，那么 ，( x ，妒( 詈) ) r ( 霄，谚) = ( x ( 等) ) ( x ( f 一1 ) 妒( 擎) a , e ( o 7 r ”o ) 。 。 “( o m o ) xx e ( o l o ) ” 。 f ( o m o ) “ = x ( 呶( 。) 妒( 竖专业) # y e ( o w m o j 脚( o f 啦o ) x ” = x ( x y 。) 妒( 0 ) # 嚣一( o w 帆o )r 芒( o ，w m 0 1 。 = l ( o 霄0 ) “l l f p 霄”o ) l - ( 一1 ) 如以匕两个等式我们有 r ( x 妒( 否) ) 下( 戈，妒( 否) ) = l d l 1 x ( 一1 ) 另外 r ( x ：毋( 抄= 瓣，( 芋) z i 。口m o ) 。 一趸( 1 ) 鼋( z ) 妒( 孚) = ( 一1 ) r ( 戈：妒( 孑) ) 从而由等式( 1 2 和f 1 3 1 ( 1 2 ) ( 1 3 ) 。) 7 ，、 r ；。= 丁( x ，妒( i ”r ( x t 妒( i j ) = ( x ( 一1 ) ) 丁( 贾，妒( 否) ) r ( ，移( 万) ) = 吲。( 1 ，4 ) 第二牵v v e i l 指标的定义 如上f 是一个菲阿基米德的局部域，县有正艇他赋谯v 和正嫂化绝对嬗 阐定具有导予o f 的加法特征移，定义 f ( n ，8 移) = 7西( 蛙z 2 ) 如( 8 f 。) 这里取适当懿测度使褥积分为1 。令 跑一。嘶“垆如= 黼 定理2 。1 。( 励建书，见f 2 1 ) 定义整数，为f 2 j = q 则 l j f ( 靠：妒) = ；2 癌r 1 2 7 ( 癌磅) ，鐾gl f ( 靠，寸) = ；2 8 | 一1 。 眇 0 r ( a ，够) ( 3 ) 3 ( a ，= t 如果p 为奇艮t j ( n ) 为偶 数 奇 打 妨黔 ： 孰 孰 勖 一 、j一、j 妞旷墨 掣2 ” ，llt，、it 第三章h e n s e l 号 理及其推论 设f 是一个菲阿基米德的局部域，具有正规化赋值u ，驭未定元搿典型腆射 移：0 _ f o _ _ 西 决定了一个多项式环映裁，如采于( z ) = 咖十a l z + + n 。矿o 阁，刘 ，( 善) 一歹z ) = 甬+ 魂。牛专碥。8 罗网 如果7 ( 。) 0 ：我们称，( 3 ：) 是本原的( p r i “l i 七! 【v e ) 定理3 1 ( h e n s d 引理) 设f 是一个非阿基朱德的局部域，) 口吲是一个 本原多项式假设譬( 。j ) ，列( 。) 是f 中鲍热个互素的多项式，并且有 ，( z ) = g ( 掣) 州( 。) 划存在多项式9 ) ，h ( z ) 0 嘲使得 ( j )，( 搿)= 9 ( 搿) 忍( z ) ( i i ) 蚕( z )= 多( z )嚣( 茹) 一笼( 搿j ( i i i ) d e 9 9 ( z ) 一d e 9 6 ( x ) 该引邂懿证明缀多，黪述也不太一样，详见f 3 _ 推论3 + 2 假设，( 。) o ，艘f 是了 ) 的一个单根，则存在一个元素p 使得 瓦一n ，( n ) = 0 第四章主要定理 4 1 h i l b e r t 符号 设：f 4 为f 上的正规化绝对值即，如果* 怒一个索元，刚h = q ， 这县g 代表剩余淡域f 肇的元素个数设o = 0 f 为f 的整数环对于某一个素 数p ，设曩。是- f q p 匏最大菲鼗亿( u n r a m i & d ) 扩蠛，粥策合冗一 国一1 ) 次单位 椴) 包含在f “。取注意到每一个元素z 0 可以唯一地写为z = 。o + 。1 汀十+ 搿n # “其中戳冗u o 我们定义藏1 5 e 符号，详鲻内容觅障 定义4 1 设。，b = f 定义h i l b e r t , 符号为： c n ，n ，= 二， 如果z 萨+ 咖2 1 有一组解扛叫姜善i 定理4 1 h i l b e r 嘻符号满足下列性质j ( n 、b ) = ( b 、n ) i 2 ( a ，b ) = 1 当且设当a n 嚣，这爨楚捩焉一尹( 两至f 妁范融。删映 射? 3 ( a ，一n ) 一1 ：( n ，l a ) = 1 i 毒。( 球8 ，b ) 一( 8 ，) ( 7 ，6 ) ， 4 。2 皇要定壤 设f f ( 、，恹) 。a f “是二次扩张，判别式满足6 f 定义x f 为二次特 经( q u m r a t i cc h a r a c t e r ) 鲡下： x f 一( a ，a ) ( a f 。) 8 n o t e s0 nt h ew e i li n d e x 这里fr ) 怒定义在f 上的h i l b e r t 符g - 定理4 2 。由以上的定义，我们有 糕=151112r7(1 嘛删j ) ，够) v u 。、艿 4 3 主要定理的证明 该定理的证明分为两部分，根据剩余类城的特征p 为奇数戚偶数 p 为奇数 引理4 3 设? 7 是p f 里的单位元，则 q 是平方单位元铮面怒户中的平方元。 由推论3 2 ，这是h e n s e l 日! 理的直接结果+ 强象霄是f 的令素元，置刁f ，令 ( 罢) = t 当且仅当舒是尹中的平方单位元这个定义笼可乘的， 引理4 4 。设即是e 中的一个单位元旦霄是一个素元：则 ，、，一l 、 哼，列2 i 魄耳) 一( 罢) 如果( 一l 并) = 1 、n - 1 ( 秽荟) 2 ，( - i ，”) = 1 ，委么，( 万，霄) = ( 一l ，霄) 一7 r ，背) = 1 另一方面，f ( 、云) f 是完全歧化( t 。t a l l yr a m i f i e d ) 且 l ， 矗是一组整基( i n t e g r a l b a s i s ) ，于鼹如果( ，霄) = 1 ，就存在c ，d o f 使得7 r = ( c + d 、，行) = c 2 一d a 7 r 由 第四章主要定理9 则确- 1 一- - c c l + d 2 ，即( 一1 ) = 1 定理的证明刁；失一般性，假设a = 或糟a 一田、这里7 r 是一个素元 且卵怒口p 璧的一个非平方单位元 盎l 聚a = 霄 脬= f ( v 回为完全歧化，且 1 ，v 石 是整鏊，判别式d = 4 7 r ，x f ( x ) = ( 丌，z ) ， + u g o f 的单位元群则有 r ( 丌，妒) = r ( 1 ，”，妒) = 两1 厶础i x 2 ) 如 = 两1 【上矽( i x 2 ) 出- 4 j - z 。廿( 譬) 如) = 一，+ 7j 】( 一l ， ，r ，一 ，r 7 ，i l 嚣l 、。、丌r 。，。”、耳7 = 妒( 等) + 1 o f o j ” ” = 2 r + l r ( 王，哲) 删吲狮呶删( 问时我们确 子是可褥裂 也就是说 = 警尝1 4 甜2 蚓焉。k 喀妒( 番) = 。母 。舻( 嘉) z ( 0 i j ”v p i ) “。g 芒【o o ) 。 妒( 嘉) 1 + 。妒( 去) +。妒( 卷) ( o o ) 1 2o 烈o 0 1 。 黼= l s l ：& - ( f ( 1 x 删( 抄 f ( 圭，矽)，移) | 、艿“ 黼邓2 r 嘶州i ) ) p i i 已篇 | i 雨咖川 于当 1 0 n o t e so nt 壬王ew e i li n d b x 如果a = 。e = f ( 问是非歧化的，且 1 ，狮) 怒整慕，判别式为d = 4 叼，x f ( z ) = 向。知等搿为o f 的单位元群员i j 等式是平凡的 p 是偶数，e l l 】p = 2 。 引瑗4 5 。如暴2 岛= 矿o f ，器么鼹有。岛+ 1 孛砖单位元都是乎方元 这也是h e n s e l g l 理敕壹接雄论，注塞到该弓l 蘧镬褥g a u s s ；5 鞋为舍遴定义静 尉上，可以假设a = 霄或者土是一个单位元令趸，即( 2 一1 ) 次单位投嶷为代 表元完全集出引理3 5 ，对于后者可以进一步假设 a 兰1 + 勤+ l 万2 + 1 + & 玎。+ + 南，了r 2 ”( 耳2 件1 ) ，0 j r ，岛+ i 0 冗 竣者 太兰1 + 耳2 妇2 + 1 ) ，0 7 己 g l 理4 。6 。设嚣= f ( 娠) ，雯 ( 1 ) 如暴a = 1 + 丌”，0 ，则目是在f 上粕f 4 h 的 ( 2 ) 如果a = 1 + t 7 r 2 j “，0 曼j r ，e 甜，则e 是完全歧化的 由予对某个f 冗川2 z + 是关于 1 + l + 7 2 ” 2 的校小多项式f 1 ) 臻盈成立 对于f 2 ) 。 f ( 瓣) = f ( 盐学) 我们有另外一个极小多项式，著且为e i n s t e i n 多璎式， 9 俺) 岔2 一翥嚣一e 丌 第翻章主要定理 黼邛2 r ( m 砂( 抄 等价于 粉= 删吲坍慨移( 移f ( 1 ，妒)l r ( 1 ，妒) l 4 ”“、如，“ 这又等价子 r ( a ，钞) 手( i 了；= | r ( 爻，妒) | - r ( i ；移) - | 5 1 舟，- ( x f ，妒( ；一) )浮1 ) 0 f e = f ( 、，牙) 在f 上是完全歧化的，且 1 v 石) 是整基，判别式5 4 “，x p ( z ) = ( 耳船) 2 注意翻对于h i l b e r t 符号，我们有( 。j b ) = l 当且仅当存在z j y f 使 得( w 2 + 的2 = 1 同时我们还需露“f 耐的引理。 ；i 谶4 7 如果z ，z ( o 矿+ 1 0 ) “，y ，轳p 矿0 ，那么可以得到 。2 一可2 7 r 麓z ，2 一可癌7 f ( 7 r 2 + 1 ) 当且仅当z 三士茁7 ( 玎十1 ) a n d y 惭y 7 ( 7 r ) 假设搿；茗o + 茁1 丌+ + 断矿( 丌+ 1 ) 其中飘咒，同样对于搿7 ，y ：弘有这种 写法。 如粜 嚣2 一。圪三7 r ( 管2 一y 瑶) ( 霄2 州) 那么 搿2 z ，2 兰丌( 掣2 一y ，2 ) ( 7 r ) 于怒有2 ：0 = z 6 ， 裁有 ( 。e + 。l 霄) 2 一( 善；+ 嚣i 万) 2 三霄( 鳐一塘) ( 霄2 ) 因此鞠= 弱继续这榉黪步骤，提寒撰理想( m o d u l oi d e a l ) j 器次耱可以证弱结 论 ! ! 翌q 曼望! q 蔓! 望璺婴望! 塾! 盟望曼茎 定理的证明 r 7 r 州r v 2 r x f ，舻赤= 酬1 2 2 7 2 r ( x 尸，抄( 赤) ) 2 r ( x f ，妒( 石) ) 2 蚓。聂m 州暑) =2 妒( 昙) ( 4 ，2 ) 8 ( ，a 2 r 1 0 ) 2 ， # 牡) 2 = l r ，妒) 一f i 玎= r p + 1 ，丌，妒) ，f f 砑 = 世( 7 r z 2 ) d x 。，f 一( r 十1 ，o = = 。磊e 务戛巧 = 。磊，。妒t 。易。矽c 等， ( 4 3 ) 妒e 静喇。，磉， 妒磊x 2 ) 十一，篆萋妒( 竖盥巡4 7 r 2 1 ( o 一卜1 0 ) 2 2 o 加0 似事+ 嘶。嘉叼，蝾，。三。母e 譬， 妒( 舞) 如粜( 7 盘) 2 = 1 ，那么存在z ，f 使得一2 矿玎十x - 2 ：1 ，因为7 r 摄f 中的 j 平方元；因此我们有盘= 善2 一封2 筇，如采i 一步静理是单位元，可良选 取# ( p 丌+ 1 0 ) 。以及掣移肪”0 。出【奠上号i 理及( 34 j ，( 3 2 j ( 3 3 ) 是攘等 的，这就证明了( 3 1 1 如果a 兰1 + 霄2 ( , f f 2 r + 1 ) ，f o 冗，结论是平凡的 ( 4 4 ) 蕊 历 o o 口 0 舻舻 o o p o 1 | 1 | = 一 蚝 第四章主要定瓒 如果a 三1 4 一巧+ 1 丌2 j + 1 + 颤7 r 。+ 十2 ，丌2 ”( 丌2 十1 ) ，0 j r ，甜+ 1 0 咒 e = f ( 弧) 在f 上是完全鼗仡的， 是整綦判别式 这受戆暴法将锻是 1 ，学) ， 4 a 。2 两 x f ( x ) 一盼，z ) 2 于楚我们要证懿下西本文静核心弓l 理 弓婚莹4 8 假设叉三l + 7 r 巧十1 ( 7 f 2 r + 1 ) ，甜。茁，寥，z 7 ，y _ 兰p 霄”o z v ( x 2 一a y 2 ) ： v ( x “一a 7 2 ) = 2 j 如果我们固定z ，y ，同余式 有2 矿组解 证酮：我们可以设 搿2 一a 2 ；，2 兰z 垲一a 可7 2 ( 丌2 ”) a ：= b l o 竹7 0 ，y = b l + a l t - 3 ，a 1 ( 0 丌7 - j o ) 。 及 7 一b l + b 。、b o p 矿0 ，y 7 一b 1 + b o + a j 、聪2 ( p w 。，o ) 。 那么圈余式裁交为 b ；一a ( 务1 + 癌1 霄。) 2 兰( b i + 粕) 2 一a ( 6 1 + b o + a 2 ) 2 ( 玎2 ) 这等份予 一( b 1 + 0 1 仃) 2 兰2 a 一1 b l b o + a 一1 磅一b i 一2 b o ( b l + a 2 ) 一( b 1 + a 27 r ) 2 ( 丌打) 1 4n o t e so nt h ew e i li n d e x 设a - 1 = 1 + 百2 j + 1 声，黟“、受对于菜e o ( t 一五“1 ) 醒+ 2 b 。( i + 现一x - 1 b i ) + b l a 2 7 r j ) 2 一b l + a l 耳) 2 + 万2 7 ( = 0 这怒关予b 的一元二次多项式，并且羼余式是可解鲍巍虽仅当该多项式楚 可艉的+ 也就是说，多项式的潮剐式是。中酶平方元 = 4 ( b l + 鳓嚣一a - i 矗1 ) 2 4 ( i a - i ) ( l + a 2 嚣j ) 2 一( 各l a lt r o ) 2 + 耳静) = 4 7 r 2 j 可2 ( ( 。一霄j + 1 ；3 b 1 ) 2 + ”卢( ( 6 ，4 - a 2 7 7 j ) 2 一( b l + a l 丌j ) 2 ) ) = t - 霹2 f 穰。一，+ 1 多甄) 2 ( t + 三壁壁垒二鼍i 三 凳墓笋) 这里q 是强+ l 墨任意单位元 嬲有 如果是平方元且v ( a 2 一a 1 ) = v ( a 2 十a 1 ) 一f r j 我们必定有 e 口e n 一 ( 2 p 6 1 行。+ 1 ( 0 2 一a 1 ) ) 0 ，和