（基础数学专业论文）rees矩阵半群的推广及某些半群的结构.pdf

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半正则半群的结构在这一章里，先定义了l r 半正 则半群，即一个o r t h o g r o u ps 且e ( s ) 为l r - 半正则带然后描述了这种半群的半 织积结构和一积结构 关键词：无零r m s 矩阵半群，+ 一完全单半群，一完全单半群，一完全单 半群的半格，+ 一完全单半群的强半格，l r - 半正则半群，半织积，积 分类号；0 1 5 2 7 些丕盟整盔堂堡：量堂丝迨塞 3 o ng e n e r a l i z e dr e e sm a t r i xs e m i g r o u p s a n ds t r u c t u r e so fs o m es e m i g r o u p s c h e nx i u m e i s c h o o lo fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a a ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r ，c h i n a a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n w ef i r s tg e n e r a l i z er e e sm a t r i xs e m i g r o u p sa n ds t u d yt h ea b s t r a c tc h a r a c t e r i z a t i o n sa n dt h eh o m o m o r p h i s mt h e o r e m so fg e n e r a l i z e dr e e sm a t r i x s e m i g r o u p s f u r t h e r ，w ed i s c u s st h ec h a r a c t e r i z a t i o n so fs e m i l a t t i c ea n ds t r o n gs e m i l a t t i c e o fg e n e r a l i z e dr e e sm a t r i xs e m i g r o u p s + t h em a i ni d e ai st od i s c u s sg e n e r a l i z e dr e e sm & - t r i xs e m i g r o u p sa n ds e m i l a t t i c eo ft h i sk i n do fs e m i g r o u p sb yg e n e r a l i z e dg r e e nr e l a t i o n s ， r e g u l a rs e m i g r o u p s ，p a t i c u l a r l yc o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p sa r eac l a s so fv e r y i m p o r t a n ts e m i g r o u p s t h es t r u c t u r e so fs o m eo r t h o d o xc o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p s h a v eb e e nd e s c r i b e d i nt h i sp a p e r ，t h es t r u c t u r e so fan e wc l a s so fo r t h o d o xc o m p l e t e l y r e g u l a rs e m i g r o u p sw i l lb ep r o v i d e d t h e r ea r et h r e ec h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ed e a lw i t ht h ec h a r a c t e r i z a t i o n sa n dt h eh o m o m o r p h i s mt h e o r e m so fg e n e r a l i z e dr e e sm a t r i xs e m i g r o u p s f i r s t l yw ei n t r o d u c et h ec o n c e p to fr e e s m a t r i xs e m i g r o u p sw i t h o u tz e r oi e as e m i g r o u pm = m l t ：，a ；p 】w h i c hi sa na n a l o g u e o fr e e sm a t r i xs e m i g r o u p so y e rg r o u p s ，w h e r eti sam o n o i d aa n d ，a r en o n e m p t ys e t s a n dpi saa i - m a t r i xo v e rtw i t he n t r i e sp m ，w h e r e ( a ，i ) a j t h em u l t i p l i c a t i o n o n m i sd e f i n e d b y a ，z ，a ) ( j ，y ，p ) = a ，x p m y ，p ) m o r e o v e rt h ea b s t r a c tc h a r a c t e r i z a t i o n so ft w oc l a s s e so fi l e e sm a t r i xs e m i g r o u p sw i t h o u t z e r ot h a ti s 一c o m p l e t e l ys i m p l es e m i g r o u p sa n d 一一c o m p l e t e l ys i m p l es e m i g r o u p sa r e p r o v i d e d t h e ya r et h en a t u r a lg e n e r a l i z a t i o no fc o m p l e t e l ys i m p l es e m i g r o u p s t h ef o r m e r i sd e f i n e da sas e m i g r o u psw h i c hs a t i s f i e st h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n s ( i ) f o ra l l s ，邑o ， ( i i ) f o ra l ld ，b 最b a r + d ，a b t d o t h el a t t e ri sd e f i n e da sas e m i g r o u psw h i c hs a t i s f i e st h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n s 一 些壅堕整盔堂亟圭堂丝迨銮 4 ( i ) f o ra l la s 玩织 ( i i ) f o ra l la ，b s ，b a c a ，a b t z a ， ( i i i ) si sw e a k l yc a n c e t t a t i v e i nt h ee n d ，w eg i v et h eh o m o m o r p h i s mt h e o r e m so ft h e s et w oc l a s s e so fr e e sm a t r i x s e m i g r o u p sw i t h o u tz e r o i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w es t u d yt h es e m i l a t t i c ea n dt h es t r o n gs e m i l a t t i c eo f 一 c o m p l e t e l ys i m p l es e m i g r o u p s w em a i n l yg i v et h ec h a r a c t e r i z a t i o n so fs e m i l a t t i c ea n d s t o n gs e m i l a t t i c e o f 一c o m p l e t e l ys i m p l es e m i g r o u p s b y g e n e r a l i z e d g r e e nr e l a t i o n s c + ，冗+ ， w + ，口+ a n dc ，梵，丸，d i n t h et h i r dc h a p t e r ，w ed e s c r i b et h es t r u c t u r e so fl r - s e m i r e g u l a rs e m i g r o u p s f i r s t l y , w eg i v et h ed e f i n i t i o no fl r - s e m i r e g u l a rs e m i g r o u p si e a no r t h o g r o u psw h i c h e ( s ) i sal r - s e m i r e g u l a rb a n d s e c o n d l y ，w eo b t a i nt h es e m i - s p i n e dp r o d u c ts t r u c t u r e a n dt h e 一p r o d u c ts t r u c t u r eo ft h i sk i n do fs e m i g r o u p s k e y w o r d s ：r e e sm a t r i xs e m i g r o u pw i t h o u tz e r o ， c o m p l e t e l ys i m p l es e m i g r o u p ， 一c o m p l e t e l ys i m p l es e m i g r o u p ，s e m i l a t t i c eo f 一c o m p l e t e l ys i m p l es e m i g r o u p ，s t r o n g s e m i l a t t i c eo f * 一c o m p l e t e l ys i m p l es e m i g r o u p ，l r - s e m i r e g u l a rs e m i g r o u p ，s e m i - s p i n e dp r o d u c t 一p r o d u c t c l a s s i f i c a t i o n ：0 1 5 2 7 前言 众所周知，完全单半群的r e e s 矩阵表示定理是半群理论的一个核心定理，它提 供了研究半群性质和结构的一个有用工具在前人工作的基础上，近年来又有了一 系列对r e e s 矩阵半群的新的研究成果，其中有l a w s o n 的【4 】和l ig a n g 的【7 】等 本文第一、二章也将来研究一下r e e s 矩阵半群，把由群得到的t t e e 8 矩阵半群推广 到由幺半群得到的r e e s 矩阵半群，然后给出它的抽象刻画和同态定理，并进一步 给出它的半格和强半格的描述 正则半群，特别是完全正则半群是种极其重要的半群，而由于纯整完全正则 半群可以表示成矩形群的半格，其结构更引起了许多作者的兴趣本文最后一章正 是在这些已有成果的基础上给出了l r 半正则半群的半织积结构和积结构 坐壅匣蔓盔芏亟主堂焦迨塞 第一章r e e s 矩阵半群的推广 1 1引言 完全单半群的r e e s 矩阵表示定理是半群理论的一个核心定理在此基础上许 多研究工作都把r e e s 矩阵半群作为了研究半群性质和结构的工具，而另一方面， 我们也可以从r e e s 矩阵半群的构造出发，然后把完全单半群看作它的一个抽象刻 画本章正是考虑到r e e s 矩阵半群是从我们熟知的，简单的半群类构造出的一类 较为复杂的半群，因此，先由幺半群构造了一类新的r e e s 矩阵半群，它显然可以 作为由群构造的r e e s 矩阵半群的一个推广，然后再来研究这类新的r e e s 矩阵半群 的抽象刻画下面我们先来看一下h o w i e 在s u s c h k e w i t s c h 1 工作的基础上给出的 完全单半群的r e e s 矩阵表示定理【2 1 设g 是一个群，j 和a 是两个非空集合，p = ( p m ) 是一个元素在g 中的a j - 矩阵设s = ，) g a ，s 上的乘法定义为 ( i ，z ，a ) ( 矗，p ) = ( i 。印幻，p ) 则s 是一个完全单半群反之，每个完全单半群同构于一个如此构造的半群 由这个定理不难发现，我们要讨论的由幺半群得到的r e e s 矩阵半群的抽象刻 画可以从推广完全单半群入手，而由【3 】，我们又知道下面陈述是等价的 ( i ) s 是完全单半群， ( i i ) s 是正则半群且对任意的d ，b s6 蜗o ( o ra b t z a ) ， ( i i i ) s 是正则半群且是弱可消的 因此，我们将首先把完全单半群一般化，从而给出t 完全单半群和一完全单半 群的定义，然后进一步给出两种推广的r e e s 矩阵半群的抽象刻画和同态定理 本章中，除非特别说明，s 代表一个半群，e ( s ) 代表s 的所有幂等元的集 合，对v a se a = e e ( s ) ie a = o e = 口) 定义s 上的关系“s ”如下 o b 争存在e ，e ( 占) ，使d = 曲= 6 ，( a ，b s ) 容易验证在e ( s ) 上有 e ，静e = e ，= ，e ( e ，e ( s ) ) ， 坐壅堕堇盔堂堡主堂堡迨塞i 且是e ( s ) 上的自然偏序 s 的一个幂等元e 称为本原的，如果e 是自然偏序 集( e ( s ) ，) 的一个极小元g ( t ) 代表一个幺半群t 的可逆元群 定义1 1 1 n 定义半群s 上的等价关系，冗+ ，丸和d + 如下 a b 当且仅当( v x ，y s 1 ) a x = a y 锌b x = b y ， a 佗+ b 当且仅当 ( v x ，y s 1 ) x a ：y & 铮x b = y b ， 7 t + = n 冗d + = v 冗+ 易见，丸4 口( 冗+ ) d + 对任意的a 只含元素n 的口- 类限+ 类，w + 一类， 口+ 一类】分别记为e 【r ：， 呓，d a 容易证明，c ，佗冗+ 又若( n ，b ) c ，c s ， 则a z = a y 铮b x 芎b y ( v x ，y s 1 ) ，从而 ( a c ) x = ( a c ) y 号口( 凹) = n ( 列) 号b ( c x ) = 6 ( 锚) = ( b c ) x = ( b c ) y ( 妇，y s 1 ) 同理可得，( 6 。) = ( b e ) y 号( a c ) x = ( a c ) y ( v 。，w s 1 ) 故( a c ，嘲岔，同理，若 ( n ，b ) 诧，c 置则( c n ，西) 冗因此c 和冗1 分另u 是s 上的右同余和左同余另 外，对任意的e e ( s ) ，e 分别是e ，磁和点r ；中的右单位元，左单位元和单位元 而若( a ，b ) 彤，则有 e o = e y 辛a b e x = a b e y 辛a b x = 口岫， a b x = a b y 辛a ( b x ) = n ( b y ) 兮e ( b x ) = e ( b y ) 辛b x = 曲寺e x = e y ， 故a b e + e 。同理，有。6 宠+ e 。因此a b 蛾，j e 譬为s 的子半群，又易碍彤为可消的，因 此，蛾是s 的一个含幺元e 的可消子半群从丽易知e w + ，铮e = ，( e ，日( s ) ) 定义1 1 2 【4 】定义半群s 上的等价关系，宠，霄和旁如下 a 如当且仅当( r e e ( s ) ) = a 甘b e = b a r i d 当且仅当( v e e ( s ) ) e a = a 鲁e b = b 磊= n 竞秀= v 宠 易见霰( 宠) 西对任意的n s ，含元素。的类【宠类，奔一类，西类】 分别记为三。【忌，瓯，西。1 易知c ，亿冗+ 曼宠，且对任意的e e ( s ) ，e 分别 是丘，觅和鼠中的右单位元，左单位元和单位元从而易得e 炙，挣e = ， 我们可以证明，在正则半群中，c = = c ，冗= 冗= 宠， 定义1 1 3 【4 】称矩阵半群m ；m 阮i ，a ；p 】为一个带有夹心矩阵p 的无零 r e e s 矩阵半群。如果t 为一个幺半群，p 为? 上的一个a i 矩阵，其元素为 p 其中a 和j 是非空的指标集m i t ；i ，a 纠上的乘法定义为 ( z ，z ， ) ( j ，y ，p ) = ( i ，x p 、j y ，p ) 定义1 1 4 称半群s 是一个+ - 完全单半群，如果s 满足条件 ( i ) 对任意的。置玩纸 ( i i ) 对任意的o ，b s ，b a c + a ，曲冗+ a 定义1 1 5 称半群s 是一个一完全单半群，如果s 满足条件 ( i ) 对任意的a 只及0 ， ( i i ) 对任意的o ，b s ，b a 厶，b 宠n ， ( i i i ) s 是弱可消的 定义1 1 6 1 5 】分别称半群s 为一个强r p p 半群和一个强l p p 半群，如果对任意 的o s 分别有i 蟛n 玩i = 1 和i 磁n e a i = 1 定义1 1 7 【6 】分别称半群s 为一个强半r p p 半群和一个强半l p p 半群，如果对 任意的n s ，分别有i 三。n 岛i = 1 和l 瓦n e a l = 1 出壅盟萱盔堂亟主堂焦迨塞 1 2 一完全单半群 引理1 , 21 设m = m 【t ；i ，a ；p 】为一个无零r e e s 矩阵半群，其中t 为可消幺 半群，且夹心矩阵p 的元都属于g p ) ，则有 ( i ) e ( m ) = ( ( i ，p 嚣，a ) 1i ， ) ， ( i i ) 在m 中，( i ，o ， ) 6 ，p ) 当且仅当 = 肛， ( i i i ) 在m 中，( i ，a ， ) 咒+ ( j 16 ，p ) 当且仅当i = j 证明( i ) 设( 1 ，n ， ) e ( m ) ，则( t ，n ， ) = ( ，n ， ) 2 = ( t ，a p m a ， ) ，从而a p m o = a ， 由t 为可消幺半群知，口= p ；i 1 ，从而( i ，口，a ) = ( t ，p ；i 1 ， ) 另一方面，有( t ，p 意， ) 2 = ( i ，p 寸p i p 五1 ，a ) = “，p 嚣，入) e ( 。 f ) ( i i ) 设( ，o ，a ) ( ，6 ，p ) ，则由( ，o ，a ) ( 1 ，p 嚣， ) = ( f ，o ，a ) ，可得 ( j ，6 ，p ) ( t ，p 五1 ，a ) = ( j ，b ，p ) ， 从而 = 肛 设 = p ，任取( f ，z ，) ，( ，y ，) m ，贝4 ( i ，a ，a ) ( f ，$ ，) = ( i ，n ，a ) ( ，y ，u ) 铮“，n p 鲥z ，p ) = ( i ，a p ，, k y ，。) 甘( i ，p 州z ，) = ( 1 ，p 从，u ) ( 由t 是可消幺半群) 辛( j ，p p f z ，p ) ：o ，p p k y ，u )( 由 = 芦) 营0 ，印z ，p ) = ( 曩场肚y ，w ) 甘0 ，b ，p ) ( f ，z ，) = o ，b ，p ) ( ，”，) ， 且 ( i ，n ，a ) ( z ，譬，p ) = ( i ，8 ，a ) 1 亭( t ，矗_ p 盘，p ) = “，a ， ) 静p 。，v ) = ( i ，e ， ) ( 其中e 为t 的幺元) ( j 如f z ，) = 积e ，芦) 铮( j ，b v , x ，1 2 ) = ( j ，b ，p ) = 争( j ，b ，p ) ( f ，$ ，l ，) = ( b ，p ) l ， 坐壅垣堇盔堂翌墨三璺焦鲨塞! q 周 里 ( i ，n ， ) - 1 = = 0 ，o ，a ) ( k ，u ) ， = ( j ，6 ，p ) 1 = ( j ，b ，肛) ( ，u ) 从而( i ，d ，a ) c + ( j ，6 ，p ) ( i i i ) 证明与( i i ) 同理 口 引理1 2 ，2 设m = m i t ；，a ；尸 为一个无零的r e e s 矩阵半群，其中? 为可消 幺半群，且夹心矩阵p 的元都属于g ( t ) ，则m 为+ 一完全单半群 证明对任意的( ，o ，a ) 则( i ，p 嚣，a ) e ( m ) 且有 “，p 嚣， ) 0 ，o ， ) = ( i ，o ，a ) ( i ，p 意，a ) ：= ( i ，n ，a ) ， 故( i ，p 意， ) t a 柚o 对任意的( i ，d ，a ) ，( j ，b ，p ) m ，由引理1 2 1 易知 ( j ，b ，p ) 0 ，d ，a ) c 4 “，n ，a ) ， ( i ，o ，a ) ( j ，6 ，p ) 冗4 0 ，n ，a ) 从而，由定义知，m 为个一完全单半群， 口 引理1 2 3 设半群s 是一个 完全单半群，则 ( i ) 对任意的o s ，取= e n 玩= e n 髓= 蠕n 玩，且f 晚i = 1 我们记玩 中的唯一元为n 。， ( i i ) 对任意的e e ( s ) ，q n e ( s ) = ，e ( s ) ie ，= e ) = ，e ( s ) ly e = ，) ， ( i i i ) 对任意的e e ( s ) ，联n e ( s ) = ，e ( s ) l ，b = e ) = ，e ( s ) ie ，= ， ， ( j v ) 对任意的e 曰( s ) ，雕= e s e ， ( v )对任意的口s ，蛾是一个含幺元矿的可消幺半群， ( v i ) 对任意的o ，b ，z s ，0 6 “+ 。b ( v i i ) 5 的所有的幂等元是本原的 证明( i ) 设o s ，若e 既，则o = e o 冗+ e ，n = a e c 4 e ，即e e n e 。，e 磁n 玩， 从而e 磁ne n 因此玩= 以n 玩= r ：n 既= 以ne a 又如果，玩，则 ，日：n 岛，即e 瓤+ ， 从丽e = ，。因此 玩| = 1 ( i i ) 设，en e ( s ) ，由，= ，得，e l = 兰e 反之，若，e ( s ) ，且e f = e ，由 定义1 1 4 ，e = e ，从而，ene ( s ) 故en e ( s ) = ，e ( s ) le ，= e ) 同 理，l ：n e s ) = ，e ( s ) 1y e = ，) ， ( i i i ) 证明与( i i ) 同理 ( i v ) 对任意的o 吼，则e 是玩的单位元，从而，o = e n eee s e 另一方 面 对v e z e e s e ，别e 。e “+ n 趣+ = 凰+ ，因此煦4 = e s e 也壅竖蕉盍堂亟圭堂鱼迨塞 i i ( v ) 设n s 由定义1 1 4 知，a = 矿a t e + 0 。，a = 8 8 。c + n 。，因此矿j ，从丽 可得或是含幺元a 。的可消幺半群 ( v i ) 设。，b ，z s ，则由s 为+ 一完全单半群知，a b r ：n 珑，a x b 磁n 露，即 0 6 7 4 + a x b ( v i i ) 设e f e ( s ) ，es f ，即e f 。，e = e ，则e = e f l + f ，e = ，e 冗+ f ，从而e 笼， 故e = f 因此e ( s ) 的所有元为本原的 口 定理1 2 。4 设s 是半群，则s 是；完全单半群当且仅当s 同构于一个无零 r e e s 矩阵半群m = m p ；i ，a ；p ，其中? 为可消幺半群，且夹心矩阵p 的元都属 于g ( ? ) 证明充分性可由引理1 2 ，2 直接得到 必要性由定义1 , 1 4 知，e ( s ) 0 设e e ( s ) ，令，= l ：h e ( s ) ，t = 雕，a = r ：n 曰( s ) ，则t 为一个可消幺半群定义映射p 如下 p ：( ，g ) h p f a = f g ( ( g ) a ，) 对v f a ，9 i ，由定义1 1 4 ， ，9 9 c + e ，f g n ，冗+ e ， 从而f g t t + e ，即 p f q = l g h ： 记h = ( g ，) 。，由引理1 2 3 ( j ) 知。| l l w + g f n 口，h h g f f ，从而 冗+ g ， 口f ，因此 g h = h ，f h = f 且 f g e h e f 9 e h e = f g h f g e h e = f h f g e h e = f f g e h e = f g e h e e h e f g e h e f g e h e f g h f g = e h e f h f g = e h e f f g = e h e f g 而f g e h e = e f g e h e 雕，e h e f g = e h e f g e 矗：，因此f g e h e ，e h e f g 都是磁的单位 元故f g e h e = e h e f g = e 因此f 9 c c h ；) 从而p 映射a 到g ( t ) 因此，我 l 了可以构造无零r e e s 矩阵半群m = m i t ；f ，a ；p 】，其中t 为可消幺半群，p 的元 都属于g ( t ) 对 c a s ，由引理1 2 3 ( i ) 有，( 。e ) o 锃4 a e e ，因此( a e ) 9 j ，对偶地有( e a ) 。a ， 又由引理1 2 3 ( i v ) 可知e a 8 蟛= t 令 x ：a 卜( ( o e ) 6 ，e o , e ，( e 口) 。)( o s ) ， 些鲞盟夔盍堂塑堂丝鲨塞 1 2 则x 是一个s 到m 的映射 对v a ，b s 令，= ( ) 。，9 = ( 6 e ) 。，我们有 n x b x = ( ( q e ) 。，e n e ，( e 8 ) 。) ( ( 6 e ) 。，e b e ，( 曲) 。) = ( ( o e ) 。，e a e p f 9 e b e ，( e 6 ) 。) = ( ( n e ) 。，e d e ( e o ) 。( k ) 。e b e ，( e 6 ) 。) = ( ( o e ) 。，e n ( e n ) 。( 6 e ) 。b e ，( e b ) 。) ( 由引理1 2 3 ( i i ) ，( i i i ) ) = ( ( o e ) 。，e a b e ，( e 6 ) 。) = ( ( a b e ) 。，e a b e ，( e a b ) 。) ( 由引理1 2 3 ( v i ) ) = ( a b ) x 从而为同态 由引理1 2 3 ( i ) 知，( e ) 。“o e 佗+ ，故( o e ) 。n = n ，对偶地o ( e o ) 。= n 设o ，b s 且8 b ，由于 ( o e ) 。e o e ( e 。) 。= ( o e ) 6 0 ( e o ) 。= a ， ( b e ) 。e b e ( e b ) 。= ( 6 e ) 。6 ( e 6 ) 。= b ， 故( ( n e ) 。，e a e ，( e o ) 。) ( ( 6 e ) 。，e b e ，( e 6 ) 。) ，因此x , 2 单射 对v ( ，b ，g ) m ，设= i b 9 则 ( 口e ) 。= ( 1 b g e ) 。 = ( ，e ) 。( 由引理1 2 ，3 ( v i ) ) = ，( 由引理t 2 3 ( i i ) ) ， 对偶地有( e o ) 。= 9 又e a e = e l b g e ，由引理1 2 3 ( i i ) ，( i i i ) 和b t 知，e 口e ：e b e ：b 故 a x = ( ( 口e ) 。，e o e ，( e ) 。) = ( ，6 ，g ) 从而) ( 为满的故s 垒m i t ；i ， ；p 】口 推论1 2 5 设s 是一个+ 完全单半群，则 ( i ) s 为弱可消的， ( i i ) 对任意的8 ，鼠有d = 口z o 净z ：g d 。 坐壅埂整盔堂亟圭堂焦迨塞 1 3 证明( i ) 由定理1 2 4 ，我们可设s = m p ；f ，a ；p j ，其中t 为可消幺半群，夹 心矩阵p 的元都属于g ( t ) 对v ( i ，。， ) ，( j ，b ，p ) ，( j ，c ，p ) s ，若 ( i ，n ，a ) ( f ，c ，) = ( j ，b ，p ) ( 2 ，c ，) ，( f ，c ，”) ( i ，a ， ) = ( f ，c ，p ) ( j ，b ，p ) ， 则 ( i ，a p x t c ，v ) = ( 矗6 p 州c ，p ) ，( f ，c p ”i a ，a ) = ( f ，c p v j b ，p ) ， 从而i = 五a = 肛，a p l c = 向嘲c ，由t 为可消的可得，8 = b ，从而( ，n ，a ) = ( j ，b ，p ) 即s 为弱可消的 ( i i ) 设a ，。只且n = o $ 8 ，则( 茹凹) n = 茁o ，n ( z d 口) = z ，从而由( i ) 知，x a x = z 口 推论1 2 ，6 设s 为半群，则s 是一个完全单半群当且仅当s 同构于一个无零 r e e s 矩阵半群m = m i t ；f ，a ；p 】，其中t 为群 证明必要性设s 为一个完全单半群，则易知对v a s ，坟o ，且对v a ，b s ，b a c + 。，n b 佗+ n ，即s 为一个+ - 完全单半群由定理1 24 知，s 同构于一个无零 r e e s 矩阵半群m = m 口；i ，a p 1 ，其中t 为可消幺半群，且夹心矩阵p 的元都属 于g ( t ) 对v a t ，取i j ， a ，则由m 正则知，m 中存在个元( b ，p ) ，使 ( i ，n ，a ) ( j ，b ，弘) ( 1 ，8 ，a ) = ( i ，8 ，a ) ， ( i ，0 p 劬m 口， ) = ( ，a ， ) 从而a p x 3 b p 。：n = ，由t 为可消幺半群知，印劬。；= e ，其中e 为t 的单位元因 此。在r 中有逆元p 却“i ，故t 为群，a ( t ) = t 充分性可直接验证 口 定理1 2 7 设s 为半群，则s 为+ 完全单半群当且仅当s 满足下列条件 ( i ) s 是一个强r p p 且强l p p 半群， ( i i ) e ( s ) 的所有元为本原的 证明必要性可由引理1 2 3 的( i ) 和( v i i ) 直接得到 充分性设s 满足条件c i ) ，( i i ) ，则由定义1 i 6 知，对v a s ，既口对v a ，b s ， 设联n 玩； e ，l k n 岛。= ， ，则d e ；e o = o ，从而蚰e = b a ，而b a c + ，故，e = ， 从而e l e l = e h = e ，e ( s ) 又e e l = e l e = e y ，即e l e ，故由e ( s ) 的所有元为 本原的知，e ，= e 困此，对比，v s 1 ，有 k $ = b a y 啼，o = 如( 由b a + ，) 出查塑整盍堂亟主兰焦鲨塞 l je ! z = e | q 号e z 圭e y ( 由e ，= e ) j a e x = a e t 1 号n $ = a y ( 由e e n ) d z = a y = b a x = b a y 故b a + n 类似地有，n 6 冗n 因此s 是一个t 完全单半群 口 引理1 2 8 设s 和r 均为+ 完全单半群，x ：s 叶_ r 为同态则 ( i ) 对任意的a s ，( o x ) 。= a 。x ( i i ) x 保持c + 一类，佑一类，科+ 类和d + 类 ( i i i ) 对任意的n ，b s ，若b g ( 蛾) ，则b x g ( 上) 证明( i ) 设o s 则 a x = ( 口口。) x = a x a t x c + a 。x ， a x = ( o 。) ) ( = a 。x a x t z n 。x ， 故a x t t + o 。) ( ，从而( 蚁) 。= a 。x ( i i ) 设a ，b s ，o c + b ，则由b b 。= b 可得0 6 。= o ，从而 a x = ( a b 。) x = a x - 矿x c + b 。x ；( b x ) 。w x ， 故a x e 峻因此) ( 保持p 类类似地可以证明x 保持冗类，从而x 保持w - 类和口一类 ( i i i ) 设n ，b sb g ( 三畦) ，则由( i i ) ，b x t t a x 若设g ( 收) ，使b b = b = 矿， 贝q6 x 。以x ，且u x b x = b x b x = a 。x = ( x ) 。，从而b x g ( 日：x ) 口 定理1 2 9设s = m p ；j ，a ；p 】，r = m 啤；工e ；q 】均为+ 一完全单半群 则s 和r 是同态的当且仅当对任意的i f ， a ，存在同态u ：t - k ，映射 妒：j _ z 妒：a 叶o 以及元素t 。口 g ( k ) ，使 p , x i w = 甄妒，i 妒地 且x 为单射( 满射) 当且仅当u ，识妒均为单射( 满射) 证明充分性设u ，忆妒，挑“n ( ) 满足条件，则可直接验证 x ：s r ，“，b ， ) h ( 妒，讪( 口u 扣 ，a 妒) 是一个同态，且若u ，仍t f i 均为单射( 满射) ，则x 为单射( 满射) 必要性设x ：s _ 兄是一个同态，取1 ina ，设e 为? 的单位元对 任意的i ，j ，有( t ，。，1 ) c ( j ，b ，1 ) ，从而由引理1 2 8 知，( i ，n ，1 ) x ( b ，1 ) x 同 理，对任意的a ，p a ，有( 1 ，o ，a ) x 冗+ ( 1 ，6 ，p ) x 因此我们可以如下定义慨讥u 和 乱，( t ，) ，口 ( a a ) ， ( 1 ，a p i l l ，1 ) x = ( t ( o u ) 瓯1 ，0 ) 陋? ) ， 0 ，p _ 1 l ，1 ) x = ( i p ，u t 口吾，0 ) ( i ，) ， ( 1 ，e ，a ) x = o ，” ， 妒)( a a ) 易见蛾妒，为映射，1 妒= 五1 妒= 0 又容易验证对v i j ，a a ，映射，p 嚣，柚。 t ，( i ，。， ) 印如为同构，故由p - 1 p l g ( t ) 知，( i ，p _ l l ，1 ) g ( 口i i 贰- ，1 ) ) ，而为 同态，故由引理1 2 - 8 知，o i p , t q 耐，p ) g ( p ，瞄；，町) ，因此蛳哂1 q o 舯g ( ) ，眦 g ( k ) 类似地可以证得叭g ( k ) 对任意的a ，b t ，我们有 ( 1 ，印_ l l ，t ) x ( 1 ，6 p _ l l ，1 ) x = ( j ，( o u ) 呖1 ，口) ( ( 6 u ) q 面1 ，p ) = ( j ，( n u ) ( 鼬) 哌1 ，既 ( 1 ，a p n l ，1 ) ( 1 ，印_ 1 l ，1 ) i x = ( 1 ，n 6 p _ l l ，1 ) x = ( j ，( ( 口6 ) u ) q 函1 ，口) ， 由) 为同态知，( 口) ( “) q 面1 = ( n 6 ) 呖1 ，从而( n u ) ( 妇) = ( 0 6 ) u ，敌u 为同态 又有 ( i ，n ， ) x = f ( i ，p i l ，1 ) ( 1 ，a p l ，1 ) ( 1 ，e ，a ) 】