（基础数学专业论文）插值系数有限元法的超收敛性.pdf

中文摘要 本文针对半线性微分方程中含有的非线性项，( 扎) ，在有限元计算中将插 值i i , 1 ( ) 代替f ( u h ) ，从而得到一种简化的有限元法一插值系数有限元法 同经典的非线性有限元相比，插值系数有限元法是一种高效而经济的算法 本文首次系统地对多种半线性问题，研究了插值系数有限元的超收敛性，获得 了比较完整的结果拳j 用单元分析方法，通过构造翅逼近的插值多项式，证明 了插值系数有限元法求解非线性一阶常微分初值问题，半线性椭圆问题，半线 性抛物问题和半线性双曲问题等仍具有与线性问题相同的超收敛性本文的 数值例子也证实了这些结论+ 本文主要结果包括以下4 方面t 1 利用单元正交逼近校正技巧，研究了常微分方程初值问题插值系数连 续有限元的超收敛性，并推导了其有限元重构导数的强超收敛性，随后把该 方法用于研究一个非线性振动问题的振动频率，与通常流行的奇异摄动法相 比，插值系数有限元法有更高的效益 2 ，对于二阶半线性椭圆第一边值问题，分别研究了插值系数三角形二次 有限元和任意矩形有限元的超收敛性，并给出对应的数值例子进行了验证 3 。对半线性抛物初边值阃题，首先研究了空间为一维的半离散插值琴数 有限元和时间连续的全离散有限元的超收敛性，其次针对空f 司为二维的抛物 问题半离散格式，分别讨论了插值系数三角形二次有限元和任意次矩形有限 元的超收敛性 4 最后本文简单i 于论了半线性双曲初边值问殛的半离散擂值系数有限元 的超收敛性 关键词：插值系数有限元法；经典有限元法；半线性微分方程；超收敛 a b s t r a c t f o rt h es e m i l i n e a rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t hn o n l i n e a rt e r m ，( u ) ，t h i s p a p e ri n t r o d u c e sas i m p l i f i e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d c a l l e da si n t e r p o l a t e d ( o e l f i c i e n tf i n i t ee l e n m n tm e t h o d ，w h i c hr e q n c s t s t h a t ，( 札h ) i sr e p l a c e db y i n t e r p o l a t i o n ，( t h ) i nn u m e r i c a lc o m p u t a t i o n i th a st h es a m es u p e r e o n v e r - g e n c ea st h a tc l a s s i c a lf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，b u tu l o r ee e o u o m i oa n de f f i c i e n t f o rt h ef i r s tt i m et h i s p a p e rm a k e sas y s t e m a t i cs t u d ya b o u ts u p e r c x 3 n v e r - g e n c eo fi n t e r p o l a t e dc o e f f i c i e n t sf i n i t ee l e n m n tm e t h o df o rm a n ys e m i l i n e a r p r o b l e u l sa n do b t a i n sr a t h e ri n t e g r a t e dr e s u l t s a p p l y i n ge l e m e n t 龇1 a l y t i c a l m e t t m da n ds t r l m t u r i n gs t l p e r e l o s ei n t e r p o l a t e dp o l y n o m i a l st h i sp a p e r p r o v e s t h a ti n t e r p o l a t e dc o e f f 6 c i e n t sf i n i t ee l e n l e n t sh a st h es a u l es u p e r c o n v e r g e n e e a st h a tl i n e a rf i n i t ed e m e n t sf o ro n eo r d e rn o n l i n e a ri n i t i a lv a l u ep r o b l e mo f o r d i i l a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，s e m i l i n e a re l l i p t i cp r o b l e m ，s e m i l i n e a rp m a b o l i c p r o ) l e m sa n ds e m i l i n e a rh y p e r b o l i cp r o b l e m t h e s ef a e t sa r ea l s os h o w nb y u n n m r i e a le x a m p l e si nt h ep a p e r t h e f o l l o w i n gi sa no u t l i n eo ft h em a i nr e s u l t so ft i mp a p e r ： 1 b ya p p l i c a t i o no fa d j u s t m e n to r t h o g o n s la p p r o x i m a t et e c h n i q u ei na n e l e m e n t ，s u p e r e o n v e r g e n e e o fc o n t i n n o n sf i n i t ee l e m e n t sf o ro n eo r d e rn o n l i n e a r i n i t i a lv a l u ep r o b l e mo f o r d i u a x yd i f f e r e n t i a le q u a t i o ni ss t u d i e dm i du l t r a c o n - v e r g e n c eo fi t sf i n i t ee l e m e n td e r i v a t i v er e c o v e r yi s d e d u c e da sa p p l i c a t i o n o ft h i sm e t h o dd e wn m n e r i c a ls c h e m ef o ran o n l i n e a xo s c i l l a t i n ge q u a t i o n si s o b t e i n e da n dt h ec o m p u t a t i o n a lr e s u l t sp r o c l a i m st h a ti n t e r p o l a t e dc o e f f i c i m l t f i n i t ee l e m e n tm e t h o d sh a sh i g h e rb e n e f i tt h a np o p u l a rp e r t u r b a t i o nm e t h o d 2 f o rt w oo r d e rs e m i l i n e a re l l i p t i c p r o b l e l nw i t hf i r s tb o u n d a r yv a l u e s u p e l ( d n v t ；r g e n g e0 f 妇i a n g u l a xq u a d r a t i c f i n i t ee l e m e n t s8 n dr e c t a n g u l a rf i n i t e e l e m e n ti ss t u d i e dr e s p e c t i v e l y t h e s eb e t t e rp r o p e r t i e sa r es h o w nb yc o r r e - n l a b s t r a c t s p o n d i n gn u m e r i c a le x p e r i m e n t s 3f o rt h em o d e l i n i t i a l - b i n m d a r y v a l u ep r o b l e mf o rt h es c m i l i n e a rp a r a b o l i c c q l l a t i o n s ，f i r s ts u p e r e o n v e r g e n c eo fs e m i d i s c r e t ef i n i t ee l e n l e n t se a l de o n t i n u - o i l st i m ef u l m i s c r e t ef i n i t ee l e m e n t sf o r0 1 1 1 3 , d i m e n s i o np r o b l e mi ss t u d i e dr e s p e c t i v e l y ，n e x ts u p e r c o n v e r g e n e eo fs e m i d i s c r e t et r i a n g u l a rq u a d r a t i cf i n i t e e l e m e n t sm i ds e m i d i s c r e t er e c t a n g u l a rf i n i t ee l e m e n t sf o rt w od i m e n s i o np r o b l e mi ss t u d i e dr e s p e c t i v e l y 4 f i n a l l yt h e m o d e l i n i t i a l b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m f o rt h et w od i m e n s i o n s c m i l i n e a r1 1 y p e r b o l i ee q u a t i o n st h ep a p e rs i m p l ed i s c u s s e ss n p e r c o n v e r g e n c e o fs e m i d i s c r e t ef i n i t ee l e m e n t s k e yw o r d s ：i n t e r p o l a t e dc o e f f i c i e n t f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ；c l a s s i c a l f i n i t ec l e l n e n tm e t h o d ；s e m i l i n c rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；s u p e r c o n v e r g e n c e 第一章绪论 1 1 有限元方法及发展 有限元是科学与工程领域中应用最广泛的一种数值计算方法，它不但可 以解决工程中的结构分析问题，而且也成功地解决了传热学，流体力学，电磁 学和声学等领域的问题，经过五十多年的发展，有限元方法的理论已经相当 完善，将有限元理论，计算机图形学和优化技术相结合，逐渐形成薪的高效可 靠的软件产品，它们已经成功地解决了国际工程领域众多大型科学和工程计 算难题，包括物理，力学，化学等科学计算与大量工程设计计算，如机械，水 工，土建，桥梁，机电，冶金，锻造，造船，宇航，核能，地震，物探，气象， 水文，物理，力学，电磁学等有限元软件已经成为推动科技进步和社会发展 的生产力，并且取得了巨大的经济和社会效益 有限元法首先是将连续的求解区域剖分为一组有限个单元，在每个单元 内未知函数用低次多项式表示，在单元之间用节点上未知节点值连接从而将 一个连续的无限自由度问题变为离散的有限自由度问题用能量极小原则导 出它们的一个方程组一经求解出这些未知量，就可以通过函数插值计算出各 个单元函数的近似值显然，随着单元的数量的增加，也即单元尺寸的减少， 解的近似程度将不断改进对有限元作收敛性分析，是有限元法首先耍研究的 问题 有限元法基本思想的提出，可以追朔到c o u r a n t 在1 9 4 3 年的工作但由 于当时没有计算机，未得到应有的重视和发展直到1 9 5 6 年t u r n e r c l o u g h 等人在分析飞机结构时，从力学角度再次提出此种分析思想，并命名为有限元 法因此有限元法在工程设计中取得了巨大成功 有限元方法很快地引起了数学界的关注2 ( ) 世纪6 0 年代至7 0 年代对 有限元的收敛性，稳定性和误差分析等方面，进行了卓有成效的研究，巩固了 有限元法的数学基础应当提到我国数学家冯康f 6 “，在1 9 6 4 年在国际上最早 1 2 第一章绪论 论证了有限元收敛性，为有限元理论的刨立作出了突出的贡献 从上世纪8 0 年代开始，有限元理论与应用进入蓬勃发展时期，由于现代 科学技术的发展也提出了越来越高的要求其中最为突出的有计算规模超 过百万至千万个节点，面对各种复杂的非线性问题为了解决这些困难，各 国学者从多个方面作了巨大努力，也取得了重大进展例如，在解次规模巨大 问题，创造了多网格法，区域分解法，预处理快速并行算法等在解决高精度 方面( 提高精度也意味着可缩小计算规模) ，建立了超收敛与外推理论，后验误 差估计等在处理各种复杂问题方面，人们也提出了混合元，杂交元，非协调 元，间断元等为解决非线性问题，也取得很大进展但面对复杂流动计算， 却仍是困难重重解决各种复杂困难的非线性问题，可能是当代科学家，数学 家，计算数学家永久的主题 最后回到本论文的主题，有限元的超收敛性早在1 9 7 0 年前后人们就发 现有限元解或导数在某些点上有特别好的精度，称为超收敛以后提出多种方 法和理论，得到丰富的结果1 9 9 5 年芬兰召开有限元国际会议，b a b u s k a 称 超收敛是有限元的十大进展之一，目前国际上超收敛公认有三大学派，其中有 中国学派的单元正交分析法对一般非线性问题，在一定条件下已经证明，非 线性有限元具有线性有限元相同的超收敛性对一类较特殊但应用很广泛的 半线性问题，插值系数有限元是一种简单经济有效的算法本文将采用中国学 派的研究方法，系统地研究了多种半线性问题插值系数有限元的超收敛性， 给出了较完整的结果 1 2 插值系数有限元法的基本概念 为了定义插值系数有限元方法，先考察如下形式的半线性二阶椭圆问题 a “+ ，( “) = 9 ( 茁) i nq ，札= 0 o l l d q ，( 1 1 ) 其弱形式为寻求“h 1 满足 n ( u ， ) + ( ，( “) ，口) = ( 9 ( 口) ， ) ，v v j 玷( 1 2 ) 1 2 插值系数有限元法的基本概念 3 其中qc r 。是边界为r 的有界域，且双线性型a ( u ，u ) = 厶( o d ( 出) 仇札功 十 c 。( ：e ) 札 ) 幽是s o 一强制的设s “是? l 维有限元子空间且， n ：1 是它的一 组基因此( 1 1 ) 的有限元解u s “可以表示为u ( z ) = 墨1 ( ) s “， 再取t j = 慨，i = 1 ，2 ，则有 n n ea ( m ) u j 十( ，( v a x ) u j ) m ) = ( 9 触) ，江1 州2 一，( 1 2 ) i = 1 j = 1 当用n e w t o n 迭代法求解非线性方程组( 1 2 ) 时，每一次迭代，都必需计算它 的切矩阵 i a ( 妒j m ) k w + ( ，( 仍( ) ) m ) k j 1 1 但这个切矩阵的计算却依赖于所选定的u 值因此用n e w t o n 法求解( 1 2 ) 时，人们不得不多次计算这些切矩阵的值，其工作量是相当巨大的 为了简化算法，可以采用一种朴实且非常优美的思想，即直接对函数f ( u ) 本身作插值厶厂( u ) ，用i h f ( u ( x ) ) = 竺，厂( 屿) 鳓代替，( l ，( 茁) ) 在n 上定义扎次插值系数有限元 ，满足 nn e a ( ，忧) + ，( ) ( 仍，妒。) 一( g ，q o 。) ，i = 1 ，2 ， ( 1 3 ) ，】j 二l 用n e w t o n 迭代法求解非线性方程组( 1 3 ) 时，切矩阵为 a ( 仍，妒i ) x n + ( 咿j ，咿i ) 】。_ d i a g ( f ( 巩) ，( u 2 ) ，( u ) ) 其中刚度矩阵( ，慨) 与质量矩阵( ( ，协) j 可一次形成，而计算第二项只 是简单的乘法因此迭代计算只是简单地在节点值屿和，( ) 之间完成，因 此整个计算工作量将大大减少以上的方法即为插值系数有限元法 还可以考虑更复杂一些的弱非线性抛物问题 m v ( n ( 札) v ) + m ) = 口( 贯，) ，( z ，) g ，1 i “= 0 ，在r 上，札( 搿，0 ) = 妒( 。) 在q 上 、 。 4 第一章绪论 这里要求b ( 札) 0 ，a ( u ) 0 采用k i r c h i h o f f 变换 n ( 札) = a ( s ) d s ，卢( u ) = b ( s ) d s ， 注意v ( ( 。( t 。) v 札) = a a ( u ) 及f ( u ) = f ( 9 - 1 ) ) ，则此问题变为以下等价形式 恍一g ( u ) + f ) 2 g ( x , t ) ，( 口，。) q f 1 5 ) i “= 0 在1 1 上，u ( o ) = ( z ) = p ( 妒) 在s 2 上 、 利用插值系数有限元法，将它半离散化，即寻求u ( t ) 鳓使 墨t ( m 埘警+ 如，g ( “。) + m ”f ( ) ) = = b d t ) ，( 1 6 ) i ( o ) = 慨( ) ，i = 1 ，2 ， 这里 7 ) 与 知玎) 分别是质量矩阵与刚度矩阵，它们都可以一次形成，并且 与t 没有关系用任何一种求解常微分方程初值问题的方法都可以求解此类 常微分方程组 1 3 插值系数有限元法研究的历史背景与发展状况 z l a i n 8 1 1 2 8 , 1 2 9 】等在1 9 8 0 年首次提出的上述插值系数有限元法( z i e n k i e n w i c z 也曾提出这种插值的思想) ，成功应用于拟线性抛物问题他基于一个未 证明的相关的椭圆型有限元的最大模估计l n o xi “n ( 。) j c ，证明了分片线性 的插值系数有限元的最佳阶收敛性估计怕一= o ( h 2 ) 对半线性抛物问 题，用三角形线性元空间离散化的半离散问题，s l a r s s o n ，v t h o m 6 ，| e ，张乃 莹f 7 6 1 1 9 8 9 年证明了插值系数有限元t “有误差估计 i ( 乱n u ) ( 洲= o ( ) 随后，陈传淼，s l a r s s o n ，张乃莹 4 5 对分片均匀三角形剖分情形，使用超 收敛技巧，并基于算子a 的椭圆投影r h t t 和插值h u 所满足的超收敛估计式 ( 比最佳阶低1 阶) i t i h u ( t ) 一z h a ( t ) l i = ( ) ( f 产 i n n p ) 51 4 本文的主要工作 5 证明了几乎最佳阶收敛性估计 此后1 0 年，对插值系数有限元的研究没有重要进展直到2 0 0 0 年，留丹，陈 传淼 7 7 对一维半线性椭圆边值问题，证明了任意n 次插值系数有限元的超 收敛性陈传淼，谢资清对非线性椭圆问题，讨论了插值系数法的一致收敛性 4 8 1 在一般的拟一致剖分下，n 次插值系数有限元札h 是否具有最佳阶收敛 性l ( “ 一u ) ( 圳= o ( 驴“) ，至今尚不清楚对多维插值系数有限元札 ，是否 具有超收敛性质，还未研究，这也许是由于插值算子带来的困难所致总之， 插值系数有限元确实是计算弱非线性问题的有效方法，但插值算子h 在多大 程度上保持着椭圆算子r h 所具有的收敛与超收敛性质，所知甚少，有待于研 究 对于非线性椭圆问题，在多解的存在性理论基础上i 妣6 ，】，陈传淼，谢资 清等首次提出了新的计算方法搜索延拓法，并将其应用到多解逼近计算与 激光传输数值模拟4 6 ，4 7 ，1 1 1 ，1 1 0 在他们的计算中，都采用了插值系数有限 元法大量数值计算表明，擂值系数有限元求解此类半线性问题非常有效 1 4 本文的主要工作 全文的结构安排如下：第一章已经介绍了国际上研究此类问题已有的结 果和进展主要阐述插值系数有限元的研究背景与现状第二章研究插值系 数有限元所需的工具与引理，引进了两类基本l e g c n d r e 正交展开和m 一拟 正交展开的定义及相关性质等等以后4 章是本工作的主要内容t 即将插值 系数有限元法i c f e 用于求解各种不同问题的超收敛性第三章利用单元正 交逼近校正技巧，研究解半线性常微分方程初值问题的超收敛性，并推导了 其重构导数的强超收敛性随后把该方法用于研究一个非线性振动问题的振 动频率，与通常流行的奇异摄动法相比，插值系数有限元法有更高的效益第 四章研究求解半线性椭圆问题，首先给出了已有的两点边值问题的结果，然后 6 第一章绪论 分别研究了三角形二次元与任意矩形元的超收敛性。最后对这两种单元类型 都给出了典型的数值例子第五章研究插值系数有限元求解半线性抛物初边 值问题，对一维情形，分别研究了半离散和全离散格式的超收敛性，对二维情 形则研究了半离散三角形元的任意次矩形元的超收敛性第六章研究了二维 情形的半线性双曲问题的半离散插值系数有限元法，并利用一个简洁的方法 证明了它的超收敛性 第二章准备工作 石钟慈院士为陈传淼的著作。有限元超收敛构造理论”( 2 0 0 1 年1 4 2 1 作 序，曾指出“据国际著名有限元专家i b a b u s k a 和l ，w a h l b i n 在2 0 0 0 年 3 月美国b e r k e l e y 的研讨会上称，当今国际上超收敛研究有三大学派，即 i t h a c a ( 美) ，t e x a s ( 美) 与中国，可见中国学者的存在与他们的工作已为世界公 认陈传淼教授早于1 9 7 8 年与捷克学者m z l a m a l ( 1 9 7 7 年) 独立发现并提出 单元分析法，经过中国学者的大量出色的工作，逐步奠定了中国学派的基础并 形成自己的独特风格和方法体系”这表明在有限元超收敛性的研究中，陈传 淼教授提出的单元正交分析法是国际上重要的研究方法之一而单元上的几 种正交展开是此法的重要基础本文对非线性微分方程简题的插值系数法超 收敛性的研究也是基于单元分析法，而在一维区间上则主要采用了l e g e n d r e 正交展开和m 一拟正交展开 “本章先介绍这两种展开，然后给出它们的一 些性质 2 1 两类基本正交展开 征参亏早兀e = 【一1 ，1 ) 上足义眄仪与弛甄分别力 ( 刚) 。 。u v d t , = ( “) v 2 - 引进l e g e n d r e 正交多项式 = 州- = 州。= ；( 3 t 2 - 1 ) ，2 。= ；( s t 3 - 3 吼 仁；( 3 5 t 4 _ 3 2 十3 5 _ j ( 6 3 t 5 _ 7 0 t 3 + 1 5 硗 f e = 1 去( 2 3 1 t 6 - 3 1 5 t 4 + 1 0 5 t 2 - - 5 ) ， 其通式为 k = 南扩妒一1 ) “n = 0 1 1 ，2 ， ( 2 1 ) 8 第二章准备工作 它们是e 上的正交多项式族，其范数为 舶e = 熹 = 叫，。， 7 7 , 1 次l e g e n d r e 多项式l ( t ) 在e 内有n 个相异的实零点t ； t ： ： 1 ，称为n 阶g a u s s 点在t = 士1 上有f 。( 士1 ) ： l e g e n d r e 多项式满足微分方程 ( 1 一t 2 ) l ：( t ) 一2 t u t ) + n ( 7 9 + 1 ) l 。( ) = 0 不同阶的l e g e n d r e 多项式有以下的递推关系 ( n + 1 ) f n + l ( ) 一( 2 n + 1 ) t l 。( ) + 他f 。一l ( t ) = 0 f 2 2 - - 1 t ： ( 士1 ) “m 阶 ( 2 3 ) ( 2 4 ) 将2 。( t ) 积分一次，导t t l 另- 个重要的m 一多项式蕨 m 0 = 1 ，m l = t ，m 2 = ；( 2 1 ) = ；( 一) ， m 4 2 i ( 5 t 4 - - 6 “1 ) ，m 5 一i ( t t 5 _ 1 0 护+ 3 。) ， m 6 2 熹6 ( 2 1 t 6 3 5 t 4 + 1 乳2 1 1 其通式为 + - = 岫= 南扩。舻_ l 九n 刨，1 1 2 ，- ( 2 5 ) 1 1 次多项式 ( t ) 在e 上有n 个相异的实零点t j ：一1 = t l t 2 t 3 t 。：1 、称为n 阶l o b a t t o 点注意，当n 2 时总有a 靠( 1 ) = 0 多项式族 m 。) 构成拟正交系，其内积 c 慨，屿，= 菱姜喜：，j 。一0 土2 盹 皿6 ， 将微分方程( 2 3 ) 写为( n 十1 ) n 。( ) = 一( ( 1 一t 2 ) 匕( t ) ) 7 ，两边对t 积分并 注意眠+ 1 ( 4 - 1 ) = 0 ，得到 ( n + 1 ) 礼 厶+ 1 ( ) = 一( 1 一2 ) 矗( ) ( 2 7 ) 2 2 正交展开的基本性质 9 日此札十1 阶l o b a t t o 点是由两个端点t i l 及n 1 次多项式匕( t ) 的零 点组成此外，积分( 2 , 4 ) ，并注意到等式 r l，l k ( t ) 疵= 螈 l ( t ) 一眠+ 1 ( t ) d t j lj l 1 = 。眠+ t ( t ) 一寿i ( 帆+ 2 ( t ) 一眠( t ) ) ， 可得到以下递推关系 ( 7 l + 2 ) 眠+ 2 ( )( 2 n + 1 ) t 尬汁1 ( t ) + ( ，t 一1 ) 4 。( t ) = 0 为了清楚起见，可以将n 阶g a u s s 点及l o b a t t o 点的数值列于下表它 们不仅在数值求积中，而且在有限元的超收敛的研究中，起着非常重要的作 用 礼次l o b a t t o 点t ，g a u s s 点t ： 1口 2士1 1 0 5 7 7 3 5 ，0 2 6 9 2 3土1 0 0 ，1 0 7 7 4 5 9 ，6 6 6 9 2 4土1士0 3 3 9 9 8 1 4 4 3 6 士0 6 5 4 6 5 3 6 7 0 7士0 8 6 1 1 3 6 3 1 1 6 5土1 o 0 ，1 0 5 3 8 4 6 ，9 3 1 0 1 士o 6 5 4 6 5 3 6 7 0 7士0 9 0 6 1 7 ，9 8 4 5 9 6土l士0 2 3 8 6 1 9 1 8 6 1 士o 7 6 5 0 5 5 3 2 3 9o ，6 6 1 2 0 9 3 8 6 5 土0 ，2 8 5 2 3 1 5 1 6 4士0 9 3 2 4 6 9 5 1 4 2 2 2 正交展开的基本性质 在标准单元了i = ( 一h ，h ) 上用坐标变换= h t r ，t ( 一1 ，1 ) ，对适当光 滑的“( z ) 可变为u ( x ) = u ( h t ) ，因此o ；u ( h t ) = 珑u ( m ) = 0 9 即对t 求 导i 次，则变为对茁求导时，前面出现r , 5 因子h i ，这个注对以后多次利用， 而不再说明 1 0 第二章准备工作 为了本文的分析需要，我们采用标准s o b o l e v 空间【9 7 1 并赋予范数 w k , 9 ( q ) = u l o 。札l ”( q ) ，v i ! l k ) m 一扩( z i 暑刚如p 。 训m n 2 高要 8 8 8 篓r i 沪u ( ) m 若”= 2 ，则w k , 2 ( n ) 简记为( q ) ，b ，n 简记为b 1 对任意适当光滑的函数，( ) ，由多次分部积分可得 ，i ，沙( c 21 ) “m = ( 一l 尸f _ l i o v o “一，( c 2 1 ) d r , 0j ，。( 2 8 ) 因此，若，一1 是他一1 次多项式，当j = z 时，上式变为0 ，即n 次 l e g e n d r e 多项式与任何r 一1 正交而对任何函数，w j , t ( e ) ，由( 2 8 ) 可推 出以下重要的估计式 i ( ，k ) i 曼g v l o j f ( t ) l d t ，0s js n ，( 2 9 ) 其中常数a 。仅与? 。，j 有关，而与，无关 任何平方可积函数，l 2 ( e ) 可以展开为l e g e n d r e 多项式级数 ) = ，。2 ( j 十i ) ( ，b ) ， ( 2 t l o ) 并有p a r s e v a l 等式 胪d c - 。2 万呼 其实，等式( 2 i o ) 对任何。f 护( e ) ，1 p 。，都是有意义的在我们的分 析中，还需要m 一型展开 2 2 正交展开的基本性质 引理2 1 【2 0 】若f ( t ) w n + l , ”( 门) ，7 。1 ，1spso o ，刘有7 7 , 次多项式 眦) = b j m b ( t ) ， ( 2 1 1 ) i = o b o ，b l = 妄( ，( 1 ) 土1 ，( 一1 ) ) ， 一。一；) ( o t f ，6 一1 ) ，j 一1 ，2 ，3 ， 使得余项t ，。= f 有如下性质， 1 r 。( 土1 ) = o ； 2 岛，z 。( t ) 上r l 及h 。上匕一2 ； 3 对0 o 礼，及任何1sq ，p 。，有估计式 l 陋p r ( t ) i i o 肌f e l l a p 厂； 。晶f ，( 1 + 1 卢sn + 1 证明将导数a ，在e 上展开为l e g e n d r e 多项式级数 a 邢) = 1 ( t ) ( 2 1 2 ) 其中f o u r i e r 系数仉有估计式 j b i i c ll a j 3 。f l l 1 ，h ，1sp 茎j 积分( 2 1 2 ) ，又可以得到 ) = b j m j ( t ) ， ( 2 1 3 ) j = o 其中b o 是待定常数在一维情形，空间w 1 ，1 ( f ) 可嵌入到连续函数空间g ( e ) ， 因此节点值，( 土1 ) 是有意义的为了使部分和 ( 土1 ) = ，( 土1 ) ，并注意到当 7 2 时m j ( 土1 ) = 0 ，这只要取满足 f ( 1 ) = b o + b l ，f ( - i ) = b o b 1 由于b 1 = ( a _ 厂，l o ) = j ( ，( 1 ) 一，( 一1 ) ) ，可知b o = ( 厂( 1 ) + ，( 一1 ) ) 在这种选 取之下，余顶风( 土1 ) = 0 1 2 第二章准备工作 其次讨论余项忍的正交性首先对i 札一1 次多项式l i ( ) 有 ( 扫r ，k ) = ( 臼m ) 一b 5 ( i j “i i ) ，- - = 1 = ( 0 ，f 。) 一b i + l ( 1 i 、f ；) = 0 即o t r 上r - t 对i n 一1 ，由分部积分知 ( 风，0 1 。) = 风啦。一( a 巩，n ) = 0 可得r 。上，一2 为证明第3 个结论，将余项沪心看着是，的个线性泛函俨风= f ( 1 厂) 酽心( t ) = f ( ，) ：沪，一幻沪坞( t ) j = 1 由于在一维情形，w 1 + 。，1 ( e ) 可嵌入到连续可微空间c 8 ( f ) ，函数护f 及系数 皆可用范数l i f l l 口，p ，e 估计，故i 俨r 。( ) l c l l f l l f l , p , e 另一方面，当r 是p 一1 次多项式时( 口一1 礼) ，显然有( ) = 0 因此由著名的b r a m b l o _ h i i b e r t 引 理1 1 2 蚓可以得到所需的估计l 沪( 驯sa l l 扩门b ，e 引理得证+ 在有限元超收敛的研究中，我们有时也把余项写为无穷级数形式，因为它 们的正交性质可由其结构明显看出。 其中主要的项b + 厶+ ，( t ) 及b n + l l 。( ) 将起着特别重要的作用由此可以看 到，利用单元正交展开方法，由函数。r w l , l ( e ) 可得到一个相应的n 次多 项式厶它确定了一个从1 ，1 ( e ) 到r ( e ) 的单元( 局部) 投影算子骗： 厶= 吼，= b j m j ( t ) ， ( 2 1 5 ) j = 1 对于该算子虢，有以下精致的性质 吟 n & l 上 ， 0 似 “ b 幻 。善。 | | 如 u 眦 诋 2 2 正交展开的基本性质 1 3 引理2 , 21 4 2 1 在e 上的投影算子q 。是c ( z ) 上的有界算子则有 q 。l l c 【e 1sc l i ，i l g ( b ) ( 2 1 6 ) 证明首先写出 6 0 = ；( ，( 1 ) + ，( 一1 ) ) ， 6 t = ；上： m = 互t ( ，( 1 ) 一，( 一1 ) ) 利用分郁积分还可以改写b 为 幻= ( j 一；) 。 ( ) f ，一l ( t ) d t = b 一 ) i ， ) 一- i ! - 一。f ( t ) l j 一- ( ) 出 ，j 2 因此，对所有系数如都有估计 i b j lsc ；。( m a x l 蜓l1 f ( t ) l + 】i 。f ( t ) l d t ) ( i l f l l c c e ) ，0 j 曼n ， 由于多项式基底坞( t ) 在e 上有界，由显然的不等式估计 i i q 。f l l c ( f ) o 吲i i m j l l c ( 曰) 晓翟。c n l l f l lr ， 即得到所需的结果 第三章非线性常微分方程 作为最简单情形，本章研究非线性常微分方程初值问题的插值系数法的 超收敛性我们首先研究它的n 次连续的插值系数有限元，利用文f 4 1 1 中提出 的新的单元正交修正技巧，通过构造超逼近插值函数，证明了有限元在n 十1 阶l o b a t t o 点上有超收敛性这表明非线性一阶常微分方程初值问题和一维 二阶椭圆问题的插值系数法具有相同的超收敛结构其次利用巳获得的超收 敛结构，重构了单元块上有限元导数，并证明了它拥有丰富的强超收敛点最 后，我们就一个非线性振动问题，利用插值系数有限元法求出了高精度近似频 率和近似周期解，与求解此类问题通常的非奇异摄动法相比，插值系数法确实 是一种高效而经济的算法对此本人已将值系数有限元法求解非线性振动问 题频率的新算法成文，并投往s c i 源刊”t h ej o u r a lo fs o u n da n dv i b r a t i o n ”， 不久前已收到修改意见 3 1 连续有限元的超收敛性 考虑如下非线性一阶常微分方程初值问题 札7 = ，( t ，札) ，一( 0 ，t ，u ( 0 ) = ? 如( 3 1 ) 这里f ( t ，“) 是关于变量t ，1 1 , 的充分光槽函数 设。，h 是区域j 的剖分t0 = o t l 0 满足h c h j 定 义对应于剖分j h 的有限元空间 s “= = 札e ( ，) ：u l 。p n ( 厶) ，j = 1 ，2 ，- ，) 其中p 。( l ) 表示定义域为f ，上的所有次数不超过n 的一元多项式集合 1 5 1 6 第三章非线性常微分方程 方程( 3 1 ) 的古典连续有限元面h 可以表示为面h = ( ) 面( 。) s “满 足 ：，( 砜吖引弦拈( ) ( 3 2 ) 为简化计算，采用连续的插值系数有限元法求解( 3 1 ) 定义n 次插值系数有 限元h 如下 ( “；。一i h f ( t ，u n ) ) v d t ， p 。一l ，u h ( o ) 一札o( 3 3 ) j ， 这里， 表示在n 十1 阶l o b b a t o 点上的佗次插值算子，并且札 ，l h f ( t ，? t h ) 分 别表示为 札h = ( t ) u h ( t 。) s “， f ( t ，r u , h ) = 妒。( t ) m 。锄( k ) ) s “ 其中妒。( ) 是单元 上的形函数注意到( 3 1 ) 的精确解满足 ( 扎m ，枷础扎v 蜒 ( 3 4 ) 因此将( 3 4 ) 减去( 3 3 ) ，误差e = u u h 满足 f ( t ，札) + i h f ( t ，“h ) ) v d t = 0 ，v p 。一l ，e ( o ) = 0 ( 3 5 ) 关于非线性常微分方程初值问题的连续插值系数有限元，我们有下列结 果： 定理3 1 设区间，= ( 0 ，t ) 的剐分是拟一致的，u h ，牡分别是p 别和似， 的解。则 ( 1 1 , 一“h ) ( z ) = o ( ，+ 2 ) ，n 2 ，。z o ， ( 3 6 ) 其中玩表示剖分弘的( ，。十1 ) 阶l o b b a t o 最的集合 此定理表明插值系数有限元求解非线性常微分方程对非线性项中含t 也 仍有效 3 1 连续有限元的超收敛性 1 7 为证明非线性问题插值系数有限元的超收敛性，首先构造u 的辅助线性 投影面h s “满足 毛峨) 一触u ) ( u 一饥) ) 础= o 艇p 一 ( 3 7 ) l 砒( o ) = i , 0 根据文f 4 2 中所得到的线性常微分方程的连续有限元结果。可以得到下列引 理 引理3 1 设u 和锄分别是p j ，的精确解和由p 所定义的辅助线性投 影，u ，是u 的n + 1 阶l a g r a n g e 插值，则在所有( 礼+ 1 ) 阶l o b b a t o 点g z o 上有 ( u 一 u h ) ( 。) = o ( h - + 。2 ) ，1 1 , 2 ， ( 3 8 ) 和一致逼近估计 怕，一饥l l = 0 ( 扩“) ，他2 ( 3 9 ) 定理的证明由( 3 5 ) 和( 3 7 ) 得 ( ( 面：一“：) 一( ，( t ，u ) 一，h ，( ，t 地) 一 ( ，札) ( 一面 ) ) ) ”d = 0 1 ， ( 3 1 0 ) 设0 = 砒一札h ，p = u j 一珏h ，j = 厂( ，札) ，且州j 和札j 分别表示删和札关于变 量t 的 次l a g r a n g e 插值( 3 1 0 ) 可重写为 j ( ，( 肚胁，) 跏出 ，( 川一 ，+ h ( ，( t ，u ) 一f ( t ，u ) ) 一，u ( ，札 u , - - u h ) ) 疵( 3 1 1 ) j f 在单元，上展开 i h ( f ( t ，札) 一仲，u h ) ) = ( f ( t k 胁) 一f ( t 邮h ) ) 妒k = ( t 洲m ) ( 一) + o s f 。( t k ，) ( k u h k ) 2 慨 ：凡( t ，u ) ( 让，一u7 i ) 4 - d ( f 1 ) t i i a xl l + o ( 1 ) i n a xi ， 2 1 8 第